Внешняя геометрия поверхностей с постоянным типом точек

Рассмотрим допустимые случаи для F по возможному числу неэквивалентных рогов или чаш на F.

1). Поверхность F гомеоморфна , имеет единственную бесконечно удаленную точку , и эта точка соответствует чаше. Примером будет гиперболический параболоид (рис.25).

2) . Поверхность F гомеоморфна цилиндру и имеет две бесконечно удаленные точки и . Хотя бы одной из них соответствует чаша. Следовательно, возможны такие случаи:

а) Каждой бесконечно удаленной точке и соответствует чаша, пример: однополостный гиперболоид (рис.26);

б) Одной бесконечно удаленной точке, скажем точке , соответствует рог ненулевого вращения, а точке - чаша. Пример: поверхность F: . В этом случае - большая окружность на , а потому лежит в одной полусфере, ограниченной .

в) Точке соответствует рог нулевого вращения, а точке - чаша. Пример: поверхность, заданная уравнением . Поверхность рассматриваемого типа всегда имеет самопересечения.

3) . На поверхности F должна быть чаша. Но на F не существует двух эквивалентных чаш. В силу леммы 2 на F также не может быть рога ненулевого вращения, так как на F есть геодезический цикл, гомотопный поясам чаши поверхности F. Следовательно, в рассматриваемом случае одна бесконечно удаленная точка поверхности F соответствует чаше, а две другие - рогам ненулевого вращения.

4) . Если бы F имела хотя бы одну чашу, то на F существовали бы два непересекающихся геодезических цикла: один из них был бы гомотопен поясам на этой чаше, а другой отделял бы на F одну пару бесконечно удаленных точек от другой. Это невозможно в силу леммы 1. Поэтому на F нет чаш, и, в силу леммы 2, все рога могу иметь лишь нулевое вращение. То, что таких поверхностей не существует, доказано П.Ш.Речевским и С.З.Шефелем.

Таким образом, поверхность может принадлежать лишь одному из пяти перечисленных подклассов: 1), 2а), б), в) и 3), причем пока не найдено примеров поверхностей подкласса 3).

Среди поверхностей этих подклассов наиболее простыми и геометрически наглядными свойствами обладают поверхности, у которых имеется рог ненулевого вращения, т.е. поверхности подкласса 2б). Рассмотрим такую поверхность.

Теорема: Пусть F - сферически однолистная седловая поверхность, имеющая рог с ненулевым вращением. Если - декартовы координаты в и ось имеет направление рога поверхности F, то в этих координатах F можно задать уравнением , причем областью задания функции - проекцией F на плоскость Р: - будет область , где М - ограниченное замкнутое выпуклое множество на Р, соответствующее бесконечно удаленной точке рога поверхности F.

Доказательство. Будем считать, что F задана погружением , причем , точка соответствует рогу, а точка - чаше поверхности F. Сферическое изображение бесконечно удаленной точки рога будет экватором на сфере . Мы считаем, что F ориентирована так, что ее сферический образ лежит в верхней полусфере сферы .

Пусть плоскость Q параллельна оси z, а (Q) - полный прообраз множества FQ в W. Плоскость Q не может быть касательной к F. Поэтому компоненты множества (Q) не имеют точек ветвления. Среди этих компонент нет замкнутых кривых, так как образ такой компоненты на F имел бы вертикальную касательную прямую, а тогда F имела бы вертикальную (т.е. параллельную оси z) касательную плоскость, что невозможно. Поэтому компонентами (Q) могут быть лишь простые дуги с концами в точках и . Образами этих компонент на F будут простые незамкнутые кривые, полные относительно F. Они не имеют вертикальных касательных, а потому каждая такая кривая однозначно проектируется на Р.

Пусть - компонента (Q). Из свойств седлового рога (теорема 8, пункт 2.2) вытекает, что не может иметь оба конца в , поэтому возможны два случая.

а) Оба конца лежат в точке . Тогда проекцией на Р будет прямая, так как s бесконечна по длине в обе стороны, и касательные к s образуют с Р углы, не большие некоторого .

б) Дуга идет от точки к точке . В этом случае в одну сторону s уходит на рог, и потому ее проекция на Р с этой стороны ограничена, а в противоположную сторону проекция s на Р снова неограниченна, т.е. в этом случае проекций s на Р будет луч.

Теперь будем пересекать F плоскостями Р(): z=. Среди таких плоскостей разве лишь одна будет касательной к F. Поэтому найдется такое , что для в множестве , где , компоненты не имеют точек ветвления и одна из компонент будет циклом, внутри которого лежит точка (теорема 8, пункт 2.2). На F образом цикла будет пояс , отсекающий от F рог Т. Так как F не допускает отрезания горбушек, то лишь одна компонента в может быть циклом. Поскольку рог Т уходит в направлении оси z, то внутри нет других компонент множества . Пусть замкнутая выпуклая кривая , а С - выпуклый цилиндр с направляющей G и образующими, параллельными оси z. Рог Т лежит внутри С. Обозначим через часть поверхности F, лежащую вне С.

Из отмеченных выше свойств проекции кривой на Р легко следуют, что проекцией части на Р будет множество Р\.

Рассмотрим теперь множество . Пусть - его прообраз в W. Множество компактно в W. Поэтому его компонентами могут быть лишь циклы. Образы этих циклов на F не могут иметь вертикальных касательных, а потому все кривые из имеют внутри точку , т.е. их образы будут поясами на F. Если бы имело более одной компоненты, то на F нашлась бы такая кольцевая область U, граница которой состояла бы из двух замкнутых кривых, лежащих на С. Очевидно, U лежит внутри С, так как U не допускает отрезания горбушек. Пусть - проекция U на Р. Возьмем точку Х, лежащую на границе множества , но не на G, и проведем через Х прямую параллельно оси z. Прямая будет касательной к F, а потому на U имеется вертикальная касательная плоскость, что р

Каждая образующая цилиндра С пересекает , а значит и F, в одном и том же числе точек. Это число (обозначим его через ) равно числу оборотов вокруг цилиндра. Оно будет одним и тем же для любого цилиндра C, внутри которого лежит С, а потому одним и тем же для всех , когда .

Гладкие циклы и гомотопны в W, причем лежит внутри . Пусть - замкнутая область в W между и , а D - ее образ на F. Множество D можно разбить на конечное число таких частей , каждая из которых однозначно проектируется на Р. Соединим внутри кривые и однопараметрическим семейством гладких кривых , где , , , причем при кривые сходятся к вместе с касательными. Через обозначим образы кривых на F.

Пусть и - проекции и на Р. Дуга кривой , лежащая внутри , не имеет самопересечений. Поэтому при согласованных обходах кривых вращение полей касательных кривых у всех одно и то же и равно вращению поля касательных кривой , т.е. равно . А тогда у плоской кривой вращение поля внешних нормалей также равно . Но нормали к являются проекциями на Р нормалей к F в соответствующих точках кривой . Так как сферическим изображением кривой будет жорданова кривая , для достаточно больших сколь угодно близкая к экватору , то вращение поля нормалей к равно +1, т.е. . А это означает, что F взаимно однозначно проектируется на Р.

Проекцией F на Р или, что то же самое, на Р будет такая область , что замкнутое множество будет односвязно и ограничено. Множество М будет выпуклым. В противном случае от F можно было бы вертикальной плоскостью Q отсечь часть U, ограниченную плоской кривой L, прообраз которой в W имеет оба конца в точке , что невозможно, как доказано выше. Итак, М выпукло. Теорема доказана.

Заключение

В данной работе я рассмотрела теоретические аспекты, связанные с поверхностями с постоянным типом точек, в частности вопросы, касающиеся выпуклых и седловых поверхностей. Познакомилась с классификацией точек регулярной поверхности, с некоторыми свойствами внешней геометрии выпуклых и седловых поверхностей, рассмотрела связь поверхностей с постоянным типом точек с теорией сферического изображения и теорией кривизны.

Материал работы может быть использован студентами при получении высшего профессионального образования, а также преподавателями для проведения учебных занятий.

Список литературы

1.Александров А.Д. Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. - М.: ОГИЗ, 1948.

2.Бакельман И.Я., Вернер А., Л., Кантор Б.Е. Введение в дифференциальную геометрию "в целом". - М.: Наука, 1973.

3.Бляшке В. Дифференциальная геометрия. - М.:ОНТИ, 1935.

4.Вернер А.Л. О внешней геометрии простейших полных поверхностей неположительной кривизны. - М., 1968.

5.Дубровин А.А. О регулярности выпуклой поверхности с регулярной метрикой в пространствах постоянной кривизны. - Укр., 1965.

6.Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. - М.:Наука,1979.

7.Ефимов Н.В. Возникновение особенностей на поверхностях отрицательной кривизны. - М., 1964.

8.Кон-Фоссен С.Э. Изгибаемость поверхности "в целом". - М.:УМН, 1936.

9.Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии. - М.: ФИЗМАЛИТ, 2004.

10.Норден А.П. Теория поверхностей. - М.: Гостехиздат, 1956.

11.Погорелов А.В. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. - М.: Наука

12.Погорелов А.В. Изгибание выпуклых поверхностей. - М.: Гостехиздат

13.Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия: Первое знакомство. Изд. 2-е, исправл. и доп. - М.: Едиториал УРСС, 2003.

14.Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. - М.: Гостехиздат, 1956. поверхность сфера кривизна седловой

15.Розендорн Э.Р. О полных поверхностях отрицательной кривизны в евклидовых пространствах. - М., 1962.

16.http://slovari.yandex.ru/dict/bse/article/00015/74000.htm

Размещено на Allbest.ru