Средняя кривизна поверхности

Размещено на http://www.allbest.ru/

План

Введение

§1. Возможно ли кривое пространство?

§2. Первая основная квадратичная форма

§3. Вторая основная квадратичная форма

§4. Вычисление главных кривизн

§5. Свойства средней кривизны

§6. Классификация точек поверхности

§7. Минимальные поверхности

§8. Примеры

Заключение

Список используемых источников литературы

Введение

На арене цирка раньше выступали силачи с различными трюками: они сгибали медные пятаки, завязывали узлом железную кочергу и гнули на плечах полосовое железо. Но даже сам легендарный Геркулес встал бы в тупик, если бы ему предложили согнуть не какой-нибудь предмет, а пространство. Ведь здесь пришлось бы изгибать пустоту, а это сложнее, чем побороть великана Антея или добыть яблоки из сада Гесперид. И в решении этой задачи не помогли бы никакие достижения современной техники - блюминги, штампы и прессы предназначены для того, чтобы деформировать предметы, а не пространство.

Искривленностью пространства, а точнее ее кривизной занимается дифференциальная геометрия, которая появилась в 1687г, чье появление связано с именами Л. Эйлера и Г. Монжа. Она представляет собой важный раздел математики, изучает геометрические образы, в первую очередь кривые и поверхности. Дифференциальная геометрия возникла и развивалась в тесной связи с анализом, который сам в значительной степени вырос из задач геометрии.

Моя курсовая работа является попыткой, самостоятельно, более глубоко и творчески изучить один из вопросов дифференциальной геометрии, а именно, среднюю кривизну поверхности. Интерес к ней у меня возник не случайно. Она представляет собой важный аспект в изучении дифференциальной геометрии, которая в наше время представляется необходимым каждому математику.

§1. Возможно ли кривое пространство?

Легко представить себе, что такое кривая линия, кривая поверхность, но представить себе кривое пространство очень трудно.

Обычные возражения против искривленности пространства таковы: кривую линию невозможно совместить с прямой, а приходится располагать на плоскости или в пространстве; точно так же и кривую поверхность невозможно поместить на плоскости - чтобы вместить ее, нужно по крайней мере трехмерное пространство. Следовательно, и искривленное трехмерное пространство должно лежать в каком-то объемлющем его пространстве четырех, а то и пяти измерений. А так как никто четырехмерного пространства не наблюдал, то пространство, в котором мы живем, никак не может быть искривленным. Некоторые философы добавляли к этим рассуждениям всякие страшные слова об идеализме, фидеизме и т.д. Зато авторам научно-фантастических рассказов идея четырехмерно пространства очень понравилась. Во многих рассказах и повестях Уэллса происходят путешествия в четвертом измерении.

На самом деле, искривленность пространства никак не связана с четвертым измерением, а является, так сказать, его внутренним телом. И установить искривленность можно не выходя из этого пространства, а лишь проводя измерения внутри него.

В течение многих тысячелетий люди думали, что Земля плоская. Однако астрономические наблюдения (за тенью Земли во время лунных затмений, за Солнцем и звездами) привели древнегреческих ученых к мысли о шарообразности Земли. Эратосфену удалось даже с довольно большой точностью измерить радиус Земли. Но после того как христианство стало государственной религией, достижения языческой науки, были забыты, и снова воцарилась мысль, что Земля - плоская. И для доказательства шарообразности Земли понадобилось кругосветное путешествие Магеллана.

А теперь представьте себе некую планету, где живут разумные существа, но небо закрыто вечной пеленой облаков, а океанские путешествия по тем или иным причинам невозможны. Смогли бы жители этой планеты узнать, что они живут не на куске плоскости, со всех сторон окруженном водой, а на сфере? Иными словами, было ли необходимо путешествие Магеллана для того, чтобы доказать шарообразность Земли?

Чтобы понять, как возникает идея кривизны поверхности, проследим за ходом развития геометрии на этой воображаемой планете. Геометрия возникает как экспериментальная наука, как теоретическое обобщение многовековых наблюдений над свойствами пространства. Поскольку небо планеты покрыто облаками, геометрам пришлось вести наблюдения лишь на ее поверхности. Оказалось, что среди всех линий, соединяющих две точки этой поверхности, всегда наикратчайшая (рис.1).

Рис.1

Наикратчайшие линии и были названы «отрезками прямых». Разумеется, наблюдатель, который посмотрел бы на планету со стороны, сказал бы, что эти линии совсем не прямые, а кривые - это дуги больших кругов сферы. Но жители не могли посмотреть на свою планету со стороны и считали наикратчайшие линии, проведенные на поверхности, прямыми (впрочем, ведь и мы часто говорим «дорога прямая, как стрела», хотя на самом деле она идет по дуге большого круга).

Затем установили свойства этих «прямых». В самом начале наблюдения была доступна лишь малая часть планеты, а точность измерения оставалась очень небольшой. Поэтому в пределах точности измерения свойства «прямых» на поверхности планеты были такими же, как свойства прямых на плоскости, -- через две точки проходила одна и только одна «прямая», две «прямые» пересекались в одной и только одной точке (вторая точка пересечения, диаметрально противоположная первой, была недосягаема для наблюдателей). Наконец, геометры были уверены, что их «прямые линии» бесконечны. Сама мысль, что при движении по «прямой» в одном и том же направлении они вернутся в исходную точку, казалась дикой, непонятной и противоречащей здравому смыслу. И ученые были убеждены, что поверхность их планеты бесконечна, а тех, кто выдвигал иные идеи, обвиняли во всех смертных грехах.

Дальнейшее изучение свойств «прямых» показало, что в пределах точности измерения сумма углов любого треугольника равна 180 градусам, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов и т.д. Иными словами, жители этой планеты построили геометрию Евклида и считали, что она полностью приложима к поверхности их планеты.

Вскоре, однако, им пришлось убедиться, что это не так. По мере развития техники удавалось измерить все большие и большие куски суши (океанских плаваний жители совершать не могли). И эти измерения вступили в противоречие с евклидовой геометрией. Чтобы понять в чем дело, возьмем на сфере три точки А, В и С (рис.2,а). Эти точки можно соединить «отрезками прямых», а по-нашему - дугами больших кругов (т.е. дугами меридианов АВ и АС и дугой экватора ВС). В результате получается треугольник ABC. Легко видеть, что все три угла этого треугольника прямые. Значит, сумма его углов равна 270 градусам, а не 180 градусам, как полагается по геометрии Евклида. На 90 градусов больше, чем нужно.

У других треугольников избыток суммы углов был бы другой. Например, у треугольника ABD (рис.2,б) каждый из углов В и D равен 90 градусам, а угол BAD - 180 градусам. Сумма углов этого треугольника равна 360 градусам - на 180 градусов больше, чем нужно. ?+?+? - избыток этого треугольника, где ?, ?, ? - его углы.

Рис.2

Но не только наличие избытка у треугольников показало жителям, что они живут не на плоскости, а на кривой поверхности. Неверной оказалась и теорема Пифагора. Например, у треугольника ABC угол А составляет 90 градусов, а все его стороны равны друг другу. Вообще, здесь трудно разобрать, где гипотенуза, а где катеты, - все углы прямые.

К неожиданным результатам привело и изучение «параллельных прямых» на поверхности планеты. Ведь если провести на плоскости замкнутую линию, а потом перемещать вдоль нее отрезок так, чтобы он оставался все время параллелен самому себе, то отрезок вернется в исходную точку, не изменив направления (рис.3,а). Измерения малых участков поверхности планеты, казалось бы, подтверждали этот результат («параллельными» жители считали «прямые», перпендикулярные одной и той же «прямой»).

Но измерения больших участков поверхности привели совсем к иным результатам. Возьмем, например, треугольник ABN (рис.3,б) и проведем в точке N «отрезок», перпендикулярный NA. Будем переносить этот отрезок вдоль контура треугольника ABN, следя за тем, чтобы он оставался все время параллельным самому себе. Когда мы придем в точку А, то получим отрезок, направленный по экватору. Так как экватор сам является «прямой» , то после параллельного переноса в точку В отрезок снова будет направлен по экватору. А когда мы перенесем его еще по меридиану BN, то получим отрезок, повернутый на 90 градусов относительно первоначального направления (т.е. как раз на величину избытка треугольника ABN). А если бы мы переносили отрезок по контуру треугольника ABD на (рис.3,б), то он повернулся бы на 180 градусов.

Рис. 3

Вообще, при параллельном переносе по контуру любого сферического треугольника отрезок поворачивается на угол, равный избытку этого треугольника. Любопытный результат получается, если переносить отрезок вдоль экватора. На первый взгляд кажется, что он возвратится в исходную точку, не повернувшись. Но это неверно. Если все время сносить движущийся отрезок в одну и ту же точку - полюс сферы, то мы увидим, что он повернулся на 360 градусов (рис.4).

Это и неудивительно. Дополним экватор дугой меридиана AN. Мы получим «треугольник» NAN. В этом треугольнике два угла прямые, а третий равен 360 градусов. Поэтому и его избыток равен 360 градусам.

Итак, измеряя сумму углов треугольника, наблюдая за поворотом параллельных при переносе по замкнутому контуру, проверяя теорему Пифагора, жители планеты убедились, что они живут не на плоскости, а на какой-то искривленной поверхности Егоров А.А. Такая разная геометрия. - М.:Бюро Квантум, 2001., (Прил. к журналу «Квант» №2/2001.), С.25-32..

Рис.4

§2. Первая основная квадратичная форма

Нам следует изучить поверхность в бесконечно малом вблизи какой-нибудь её точки М(u,v) и мы ограничимся точностью 1-го порядка. Сместимся из точки М(u,v) по какой-нибудь кривой на поверхности

u = u(t), v=v(t)

в бесконечно близкую точку М' (рис.5). Если приращение параметра t при этом будет dt, то дифференциалы криволинейных координат на поверхности (отличные, вообще говоря, от их приращений) будут

du=u'(t)dt, dv= v'(t)dt.

В дальнейшем просто будем говорить о дифференциалах du, dv, отвечающих данному бесконечно малому смещению по поверхности.

Отношение этих дифференциалов dv:du (если du?0) имеет вполне определенное значение v'(t): u'(t) и характеризует направление касательной к пути смещения.

Рис.5

Вычислим дифференциал радиус-вектора r вдоль нашей кривой, отвечающий смещению из М в М'. По формуле dr=ru(u,v)du+rv(u,v)dv, где du=u'(t)dt, dv=v'(t)dt, получаем:

dr=rudu +rvdv.

Теперь нетрудно вычислить и дифференциал дуги ds кривой, отвечающей тому же смещению ММ'.

|ds|=|dr|=|rudu+rvdv|

или ds²=dr²=(rudu+rvdv)².

Раскрывая скобки, вычисляем скалярный квадрат в правой части и получаем

ds² = ru²du²+2rurvdudv+rv²dv².

Векторы ru, rv, а следовательно, и их скалярнмые произведения суть функции от u, v зависят, лишь от выбора точки М(u,v). Введем для этих скалярных произведений сокращенные обозначения



Тогда предыдущая формула может быть переписана в виде

ds² = E(u,v)du²+ 2F(u,v)dudv+ G(u,v)dv².

Выражение в правой части называется первой основной квадратичной формой на поверхности и играет в теории поверхностей огромную роль.

Как известно, вообще квадратичной формой называется целая рациональная функция (многочлен), однородная второй степени. Таким образом, эта формула является квадратичной формой по отношению к дифференциалам du, dv. Что же касается коэффициентов квадратичной формы Е, F, G, то они от du, dv не зависят, а зависят лишь от выбора точки М(u,v) на поверхности, по отношению к которой квадратичная форма составлена.

Значение первой квадратичной формы заключается в том, что она выражает квадрат дифференциала дуги ds при бесконечно малом смещении по поверхности. При этом коэффициенты квадратичной формы определяются той точкой М(u,v), из которой производится смещение, а дифференциалы du, dv отвечают данному смещению из М.

Таким образом, первая квадратичная форма служит нам прежде всего для измерения в бесконечно малом длин вдоль поверхности. Но также, зная эту формулу, можно измерять углы между кривыми и вычислять на поверхности площади Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии, изд. 3-е, переработанное. - М., 1950, С. 226-229..

§3. Вторая основная квадратичная форма

Продолжим изучение поверхности вблизи какой-нибудь ее точки М. Пусть ММ' (рис.6) - одна из кривых на поверхности, проходящих через М.

Рис.6

Предположим для простоты, что вдоль этой кривой за параметр принята длина дуги s, так что текущие координаты u, v выражаются как функции s:

u=u(s), v=v(s)

и, следовательно,

r = r{u(s), v(s)}.

Пусть длина дуги ММ' равна ?s, т. е. ?s есть приращение параметра s при смещении по кривой из М в М' (считая, что s растет в этом направлении). Соответствующее приращение ?r радиус-вектора r равно, очевидно, , так что, разлагая это приращение в ряд Тейлора, можно записать

=?r=r'?s+1/2r''(?s)²+…,

где r', r'', ... взяты в точке М. Пусть теперь ?s стремится к нулю, т. е. смещение ММ' берется бесконечно малым. Если вести исследование с точностью 1-го порядка, то в правой части достаточно принять во внимание лишь первое слагаемое r'?s, совпадающее c дифференциалом dr. В таком случае смещение можно считать направленным по касательной к кривой в точке М и, следовательно, лежащим в плоскости, касательной к поверхности в М.

Перейдём к более глубокому изучению поверхности в бесконечно малом, учитывая при смещении по кривой ММ' бесконечно малые не только 1-го, но и 2-го порядка. Это скажется в том, что в рассмотрение войдут кривизна и соприкасающаяся плоскость кривой смещения ММ', которое нельзя уже считать расположенным в касательной плоскости. Мы начнем именно с оценки уклонения от касательной плоскости при смещении из точки касания М в бесконечно близкую точку М' по какой-нибудь кривой на поверхности (рис.6).

Пусть Р будет основание перпендикуляра, опущенного из М' на касательную плоскость. Построим в точке М единичный вектор m, направленный по нормали к поверхности (в произвольно выбранную сторону). Очевидно, что тогда вектор параллелен m, так что можно записать

=lm,

где l - численный коэффициент, положительный, если уклонение РМ' от касательной плоскости направлено в сторону m, и отрицательный - если оно направлено в обратную сторону. Кроме тогo, так как m - вектор единичный, то l по модулю равен как раз уклонению РМ'. Мы будем называть l уклонением и постараемся его вычислить. Так как, очевидно,

=+=+lm,

то равенство =?r=r'?s+1/2r''(?s)²+… можно переписать в виде

+lm=r'?s+1/2r''(?s)²+…

Теперь нетрудно вычислить l, умножая скалярно обе части равенства на m. Так как m перпендикулярен к касательной плоскости с лежащими в ней векторами и r'?s, то первые слагаемые в левой и в правой частях обратятся в нуль. Кроме того, вектор m - единичный, так что m²=1. В итоге получим

l=1/2r''m(?s)²+…

Мы вычислили уклонение l от касательной плоскости при смещении из точки касания М; оно будет бесконечно малым 2-го порядка. Главная часть его выписана, точками же обозначены бесконечно малые более высокого порядка. Займемся главной частью уклонения l.

Скалярное произведение r''m можно представить в двух видах. Во-первых, дифференцируя формулу r = r{u(s), v(s)} по s, получим

r'=ruu'+rvv'.

Дифференцируем по s еще раз, учитывая, что ru=ru(u(s), v(s)), rv= rv(u(s), v(s)).

Получим

r''=ruuu'²+ruvu'v'+ruu''+rvuv'u'+rvvv'²+rvv''

Через ruu, ruv=rvu, rvv обозначены вторые частные производные.

Умножая предыдущую формулу скалярно на m и учитывая, что ru, rv лежат в касательной плоскости и, следовательно, перпендикулярны к m, получим

r''m=ruum'²+2ruvmu'v'+rvvmv'².

Введем обозначения

Значения L, М, N зависят от выбора точки (u, v) на поверхности, касательная плоскость в которой сейчас рассматривается. Так как направление m может быть изменено на обратное, то L, M, N являются не вполне определенными в том смысле, что знаки у них можно изменить одновременно на обратные. Обычно мы будем предполагать, что вектор m выбран в каждой точке поверхности по формуле

Действительно, вектор в числителе направлен по нормали к поверхности, а так как в знаменателе стоит его модуль, то получается единичный вектор по нормали. При данном выборе криволинейных координат u, v вектор m, а следовательно, и L, М, N будут являться вполне определенными функциями от u, v.

Вставляя выражение для m в мформулы ruum=L(u, v), ruvm=M(u, v), rvvm=N(u, v), мы получим выражения для L, М, N в виде

В числителях здесь стоят смешанные произведения соответствующих векторов.

Переписывая теперь r''m=ruum'²+2ruvmu'v'+rvvmv'² в сокращенных обозначениях

r''m=(Lu)^'2+2Mu'v'+(Nv)'²

и умножая обе части на 1/2(?s)², получим

1/2r''m(?s)²=1/2(Ldu²+2Mdudv+Ndv²),

так как

u'?s=du, v'?s=dv.

Теперь формулу l=1/2r''m(?s)²+… можно переписать в виде

l=1/2(Ldu²+2Mdudv+Ndv²)+…

Таким образом, главная часть уклонения от касательной плоскости при смещении по поверхности из точки касания М в бесконечно близкую точку М' выражается половиной квадратичной формы

Ldu²+2Mdudv+Ndv²

Эта форма называется второй основной квадратичной формой на поверхности. Как и первая, она является квадратичной формой по отношению к дифференциалам координат, отвечающим смещению из М в М', причем коэффициенты ее суть функции координат u, v точки М.

Коэффициенты второй квадратичной формы можно выразить и несколько иначе. Воспользуемся тем, что вектор m, направленный по нормали к поверхности, ортогонален к касательным векторам ru, rv и образует с ними скалярные произведения, всегда равные нулю:

mru=0, mrv=0.

Дифференцируем каждое из этих тождеств по каждому из аргументов u и v поочередно:

muru+mruu=0, murv+mrvu=0,

mvru+mruv=0, mvrv+mrvv=0.

Сравнивая с формулами ruum=L(u, v),ruvm=M(u, v),rvvm=N(u, v), получаем

Далее получаем, что

dr=rudu+rvdv

и аналогично

dm= mudu+mvdv.

Перемножая скалярно dr на dm, получим

drdm=rumudu²+ (rumv+rvmu)dudv+rvmvdv².

Пользуясь выше перечисленными формулами, можем переписать это равенство в виде:

drdm=-Ldu²-2Mdudv-Ndv².

Отсюда получаем такую краткую запись второй основной квадратичной формы:

Ldu²+2Mdudv+Ndv²=-drdm.

Дифференциалы du, dv, dr, dm берутся в этой формуле при одном и том же (произвольном) бесконечно малом смещении из данной точки поверхностиРашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии, изд. 3-е, переработанное. - М., 1950, С. 235-238. .

§4. Вычисление главных кривизн

Найдем отношение первой и второй квадратичных форм

II/I=(Ldu²+2Mdudv+Ndv²)/( Edu²+ 2Fdudv+ Gdv²)=k₀

Полученную величину k₀ назовем нормальной кривизной поверхности в данном направлении (du:dv)

Направление (du:dv) на поверхности будем называть главным, если нормальная кривизна поверхности в этом направлении достигает экстремального значения Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. - М., изд. «Наука», 1969, С. 126,132. .

Пусть на поверхности в данной точке уже вычислены коэффициенты первой и второй основных квадратичных форм. Требуется найти главные кривизны. Мы их можем найти из (необходимого и достаточного) условия теоремы Родрига:

В случае бесконечно малого смещения в главном направлении (первом или втором) dm и dr коллинеарны и имеют место формулы dm=-k1dr или dm=-k2dr (первая или вторая).

Обратно, если для какого-нибудь бесконечно малого смещения из данной точки М по поверхности dm и dr коллинеарны, так что можно записать формулу dm=-kdr, где k - некоторый численный коэффициент, то направление смещения - главное, а k равно соответствующей главной кривизне k1 или k2.

Воспользуемся формулой dm=-kdr из этой теоремы и напишем вместо dr, dm их развернутые выражения

mudu+mvdv = -k(rudu + rvdv).

Это одно векторное равенство можно заменить двумя скалярными, а именно, умножая скалярно обе части равенства на ru и rv по очереди:

murudu+mvrudv=-k(rurudu+rvrudv),

murvdu+mvrvdv=-k(rurvdu+rvrvdv).

Двух скалярных равенств достаточно потому, что векторы dm и -kdr заведомо лежат в касательной плоскости, и для их равенства не только необходимо, но и достаточно, чтобы они давали одинаковые скалярные произведения с двумя неколлинеарными векторами в этой плоскости. В качестве таких векторов мы взяли ru, rv.

Полученные уравнения можно переписать, умножив их почленно на -1 и заменив скалярные произведения коэффициентами первой и второй квадратичных форм. Получим

Из этих двух уравнений мы должны определить главную кривизну k.

Перенесем в этих уравнениях все члены влево, и перепишем следующим образом:

(L-kE)du+(M-kF)dv=0,

(M-kF)du+(N-kG)dv=0.

Так как для главной кривизны k эта система двух однородных уравнений относительно du, dv, совместна, то определитель этой системы должен быть равен нулю:

L-kE M-kF

M-kF N-kG =0

Мы получаем квадратное уравнение относительно k, которому должны удовлетворять главные кривизны k1 и k2 и из которого их можно определить. Напишем это уравнение в развернутом виде:

(EG-F²)k²+(2MF-EN-LG)k+(LN-M²)=0.

Нетрудно было бы написать явные выражения для каждой из главных кривизн k1,k2, как для корней этого квадратного уравнения. Но эти выражения были бы довольно громоздки, и вычисление их не дало бы какого-либо преимущества. Зато из уравнения (EG-F²)k²+(2MF-EN-LG)k+(LN-M²)=0 можно сравнительно просто получить сумму и произведение главных кривизн. Действительно, после того как левая часть уравнения будет поделена на коэффициент при k², т.e. на EG-F², произведение корней будет равно свободному члену, а сумма корней - коэффициенту при k с обратным знаком. Итак,

Произведение главных кривизн в данной точке поверхности называется полной или гауссовой кривизной поверхности в данной точке. Мы будем обозначать полную кривизну через К.

Полусумма главных кривизн в данной точке поверхности называется средней кривизной поверхности. Ее мы будем обозначать через H.

Эти кривизны могут быть вычислены через коэффициенты квадратичных форм поверхности. Окончательно предшествующие формулы перепишутся в виде:

. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии, изд. 3-е, переработанное. - М., 1950, С. 258-259,261-262.

§5. Свойства средней кривизны

Название «средняя кривизна» оправдывается следующими свойствами.

1. Если k? и k?+?/2 - нормальные кривизны поверхности в двух взаимно перпендикулярных направлениях, то их полусумма равна средней кривизне поверхности.

2. Среднее значение нормальных кривизн поверхности в данной точке поверхности

?₀^2?k_? d?

равно средней кривизне поверхности.

Оба этих свойств получаются из формулы Эйлера для нормальной кривизны в произвольном направлении

k_?=k₁cos²?+k₂sin²?,

где k_? - нормальная кривизна, k₁ и k₂ - главные кривизны, ? - угол, образуемый произвольным направлением с главным Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. - М., изд. «Наука», 1969, С. 137-138..

§6. Классификация точек поверхности.

В зависимости от Н и K точки поверхности классифицируются следующим образом:

Точка называется

· эллиптической, если K>0, все точки поверхности S располагаются по одну сторону от касательной плоскости поверхности в точке x₀, (Рис.7,а).

· гиперболической, если K<0, вблизи такой точки x₀ поверхность S располагается по разные стороны от касательной плоскости, (Рис.7,б).

· параболической, если K=0, H?0, (Рис.7,в).

· точкой уплощения, если K=H=0, расположение точек поверхности, близких к точке уплощения, относительно касательной плоскости поверхности в этой точке может быть разнообразным, (Рис.7,г).

· при K=H²- получаем омбилические точки, они подразделяются на точки уплощения и шаровые точки, в которых K=H²>0.

Рис.7, а б в г Поздняк Э.Г., Попов А.Г. Уравнение синус-Гордана: геометрия и физика.- М.: «Знание», 1991. (Новое в жизни, науке, технике. Сер. «Математика, кибернетика»; №6), С. 10-11.

§7. Минимальные поверхности

Отметим один замечательный класс поверхностей отрицательной полной кривизны - минимальные поверхности. Так называются поверхности со средней кривизной H, равной нулю во всех точках, которые, начиная с 1960 г., чаще всего привлекали внимание геометров.

Эти поверхности характеризуются тем свойством, что площадь их локально минимальна по сравнению с площадью других гиперповерхностей, отличающихся от исходной только внутри (любого) шара достаточно малого радиуса (Рис.8).

Физической моделью минимальных поверхностей являются «мыльные пленки», возникающие на замкнутых контурах, изготовленной из проволоки, после извлечения их из сосуда, наполненного мыльной водой. При этом на один и тот же контур можно натянуть несколько минимальных пленок. Выведем уравнение двумерных минимальных поверхностей. Так как

Рис. 8

,

то уравнение Н=0 принимает вид:

GL-2MF+EN=0.

Если поверхность задана с помощью графика z=f(x,y),то:

;

; ; .

следовательно,

Уже сам вид этого уравнения и частных производных (решениями которого и являются минимальные поверхности) показывает, что решение его довольно сложно. Евклидова плоскость является минимальной поверхностью, так как Q=0.

Более сложный пример некомпактной минимальной поверхности получается так: рассмотрим в R³ две ортогональные, пересекающиеся в точке О, прямые l₁ и l₂. Фиксируем прямую l₁ и будем перемещать вдоль нее, с постоянной угловой скоростью ? вокруг оси l₁ (возникает винтовое движение). Прямая l₂ будет заметать некоторое двумерное гладкое многообразие , которое называется прямым геликоидом (Рис.9), который является минимальной поверхностью.

Рис.9

Рассмотрим некомпактную минимальную поверхность вращения, образованную вращением вокруг оси ox гладкой кривой ?(t), задаваемый уравнением y=ach. Как известно из курса анализа, эта кривая определяет форму провисания тяжелой цепи, закрепленной в двух точках: А и В (Рис.10). При этом мы предполагаем, что тяжелая цепь подвешена достаточно высоко, так что кривая y(x) не пересекает оси ox. Сила тяжести направлена вниз, вдоль оси oy. соответствующая поверхность называется катеноидом (рис.11), средняя кривизна которой равна 0.

Рис. 10 Рис. 11

Итак, катеноид - минимальная поверхность. Если рассмотреть только ту часть катеноида, которая заключена между двумя окружностями, образованными вращением точек А и В вокруг оси ox, то получим пример минимальной поверхности, натянутой на контур, состоящий из этих двух граничных окружностей.

Существует еще минимальная с тем же граничным контуром - это два диска, затягивающие граничные окружности (Рис. 12).

Рис. 12

Эта минимальная пленка существует для любой пары точек А и В, в то время как катеноид далеко не всегда натягивается на граничные окружности. Если точки А и В расположены достаточно далеко друг от друга, то катеноид построить нельзя (Рис. 13).

Препятствие к его построению особенно наглядно проявляется, когда мы начинаем раздвигать граничные окружности, растягивая катеноид, первоначально построенный для достаточно близко расположенных точек А и В. Процесс растяжения показан на Рис. 14. При растяжении тяжелая цепь начинает провисать, горловина катеноида уменьшается, и в момент ее касания с осью ox гауссова кривизна поверхности в точке касания обращается в бесконечность (мыльная пленка разрывается).

Еще один пример контура, для которого существует два решения уравнения Н=0, показан на Рис. 15. Здесь обе минимальные пленки гомеоморфны друг другу.

Рис. 13 Рис. 14

Рис. 15

В зависимости от способа вложения окружности S¹ и R³ меняется и вид затягивающих ее минимальных пленок. При стандартном вложении S¹ в плоскость (x,y): x²+y²=1 минимальная пленка, затягивающая этот контур. Только одна и совпадает с диском x²+y²1. Если же S¹ два раза оборачивается вокруг оси oz, то решение уравнения Н=0 является листом Мебиуса (Рис. 16).

Рис. 16

Если S¹ оборачивается вокруг оси oz три раза, то решение уравнения Н=0 является «тройным листом Мебиуса» (Рис. 17). Его можно получить, перемещая вдоль окружности, стандартно вложенной в плоскость, «трилистник», составленный из трех отрезков одинаковой длины, соединяющихся под равными углами 2?/3. При этом трилистник должен после полного оборота вокруг окружности перейти в себя с поворотом на 2?/3 (Рис.17).

Рис. 17

Процесс построения этих поверхностей в некотором смысле аналогичен построению прямого геликоида. «Тройной лист Мебиуса» гомеоморфен поверхности с самопересечениями, показанной на Рис. 18.

Минимальная пленка, показанная на Рис. 17, в отличие от предыдущих примеров, имеет много особых точек, сингулярностей, т.е. точек, никакая открытая окрестность которых не гомеоморфна диску. Окрестность каждой такой точки имеет структуру, показанную на Рис. 19 , т.е. три половинки диска склеены по общему диаметру. Легко сообразить, что любая особая точка двумерной минимальной пленки, являющейся некомпактной поверхностью без границы, имеет структуру, показанную на Рис. 19.

Рис. 18

Рис. 19

В самом деле, если в особой точке сходятся две половинки диска, то тогда окрестность точки гомеоморфна диску. Если в особой точке сходятся четыре половинки диска (см. рис. 20), то существует деформация окрестности, уменьшающая площадь. Суммарная длина отрезков АВ, АС, АD, AR больше суммарной длины отрезков А'В, A'R, A'A", A"C, A"D (распад четырехкратной особенности на трехкратные особенности). Для минимальных пленок с границей это утверждение уже неверно. Пример приведен на Рис. 21. Здесь четырехкратные точки заполняют отрезок АВ.

Интересно, что на этот же контур , но изготовленный из проволоки конечной толщины, можно натянуть еще одну мыльную пленку, особые точки которой, расположенные вдоль отрезка АВ, ( Рис. 22), являются уже трехкратными.

Рис. 20

Рис. 21 Рис. 22

С минимальными поверхностями тесно связаны так называемые гармоничные поверхности . Пусть V² задано так: r=r(u, v), где u, v - криволинейные координаты на V².

Определение. Радиус вектор (u, v) называется гармоническая относительно координат u, v, если , т.е. ?=0, где ? - оператор Лапласа в координатах u, v.

Радиус-вектор (u, v), гармонический в координатах (u, v), не обязан быть гармоническим в других координатах u', v'.

Определение. Поверхность называется гармонической, если она может быть задана с помощью некоторого гармонического радиус-вектора (u, v) в некоторых криволинейных координатах u, v.

Будем говорить, что радиус-вектора (u, v) минимален, если средняя кривизна его тождественно равна нулю. Так как функция H=- скаляр и, в частности, не меняется при регулярных заменах координат на поверхности, то если радиус-вектор является минимальным относительно одной системы координат, он будет минимальным и относительно любой другой регулярной системы координат. Для гармонических поверхностей это уже не так, а потому обычно говорят о гармонических отображениях :D(u, v)R³(x, y, z), где D(u, v) - отображение, определяющее поверхность . Отображение , гармоническое в одних координатах, уже не будет, вообще говоря, гармоническим в других координатах.

Пример гармонической поверхности: зададим (u, v) формулой: (u, v)=(x, y, x² - y²), где x, y, z - декартовы координаты в R³, т.е. поверхность V² задается графиком z= x² - y², отнесенным к декартовой системе координат. Ясно, что , т.е. поверхность z=x²-y² - гармоническая. В то же время она не минимальна: Н=0 только в точке (0,0), а в других точках Н?0.

Криволинейные координаты (u, v) на поверхности называется комформными, если в них метрика Edu²+2Fdudv+Gdv², индуцированная на V² объемляющей евклидовой метрикой, является диагональной, т.е.E=G, F=0

Как связаны гармонические и минимальные векторы? Пример гармонического, но не минимального вектора приведен выше. Верно ли обратное, т.е. любой ли минимальный вектор - гармонический? Это тоже неверно. Но тем не менее, минимальный вектор, записанный в комформных координатах, является гармоническим.

Любая минимальная пленка может быть задана вещественно-аналитическим радиус-вектором, а следовательно, в окрестности любой точки на минимальной поверхности всегда можно ввести комфорные координаты. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. - М.: Изд. Моск.ун-та, 1980, С. 194-202.

1. Задача Плато.

Вопрос о равновесии тонкой мыльной пленки приводит к «задаче Плато», сформулированной в 1866 г.: через замкнутую линию r провести гладкую минимальную поверхность f, имеющую r своей границей. Риман и Вейерштрасс заметили, что эту задачу можно поставить сравнительно просто, если r является многоугольником, составленным из прямоугольных отрезков. Предположим, что сферическое отображение f* поверхности f «однолистно». Тогда f* снова является многоугольником на k. С помощью аналитической функции

область f* на сфере k конформно отображается на область f** комплексной p₀-плоскости. Но эта область снова является прямолинейным многоугольником. Прямолинейные стороны r являются асимптотическими линиями поверхности f , а их образы в p₀-плоскости, изображаются прямыми линиями u=const, v=const. Обратно, если известно конформное отображение p₀= p₀(t) многоугольника f** p₀-плоскости на многоугольник f*t-сферы k , то из соотношения определится функция g(t), а затем будет построена и наша минимальная поверхность f .

Итак в этом случае задача Плато сводится по существу к задаче конформного отображения сферического многоугольника f* на плоский многоугольник f**.

Эта мысль была подробнейшим образом проведена для одного особого случая Шварцем 1867 г. Именно, если a,b,c,d - четыре вершины правильного многогранника, то четыре его ребра ab, bc, cd, da образуют «косой четырехугольник» r. Для этого четырехугольника задача Плато может быть полностью решена (Рис. 23), а соответствующая минимальная поверхность - представлена с помощью «эллиптических функций».

Рис. 23

При отображении в четырех ребрах многоугольника r поверхность f переходит в «аналитическое продолжение» f. Четыре этих отражения порождают группу движений G.

2. Минимальные поверхности как поверхности переноса.

Эти поверхности тесно связаны с функциями комплексного переменного и потому составляют излюбленный предмет для геометров от Лагранжа до наших дней.

Минимальную поверхность можно представить как «поверхность переноса»:

,

Причем координатные линии p,q=const удовлетворяют условиям

Это означает, что линии y(p), z(q) имеют нулевую длину дуги. Такие минимальные линии называются изотропными.

Минимальные поверхности являются поверхностями переноса с изотропными линиями в качестве линий сети переноса.

Этот же результат справедлив и для комплексных аналитических минимальных поверхностей, если их определить как поверхности, для которых Н=0.

3. Изгибание минимальных поверхностей.

Определим наиболее общую пару минимальных поверхностей, допускающих изометрическое отображение друг на друга. x(p,q), x*(p,q) - минимальные поверхности, то a(p,q), a*(p,q) их сферические отображения.

Отображение a>a*, будучи конформным и сохраняющим площади, является изометрическим и непременно сводится к движению или отражению. Если мы применим к x(p,q) надлежащее движение или отражение, то получим новую поверхность, которую обозначим через x*(p,q) и которая соответствует поверхности x(p,q) параллелизмом нормалей: a = a*. Но тогда соответствующие изотропные касательные совпадают:

dy*=ady, dz*=bdz.

Из условий изометричности следует, что ab=1. Для вещественной минимальной поверхности a и b комплексно сопряжены, а будет постоянным, как аналитическая функция с постоянным модулем. Поэтому, с точностью до параллельных смещений, y*=e^i?y, z*=e^-i?z. Это семейство минимальных поверхностей

,

зависящих от вещественного параметра ?. Бонне в 1853 г. назвал их семейством ассоциированных минимальных поверхностей. В частности, поверхности ?=0, ?/2 снова являются «присоединенными» друг к другу.

Отметим основные свойства ассоциированных минимальных поверхностей:

1. В соответственных точках поверхности семейства обладают параллельными касательными плоскостями.

2. Из формулы ds²=dxdx=?dpdq следует, что соответствие между поверхностями семейства, устанавливаемое равенством p и q является изометрическим.

3. На поверхностях x(p,q,?₁), x(p,q,?₁) соответственные касательные заключают между собой постоянный угол ?₁-?₂=?.

4. Линиями уровня для произвольного направления отвеса на одной поверхности семейства отвечают изогональные траектории линий уровня на каждой другой поверхности.

5. Из равенства следует: траекториями точки x(p,q,?) при фиксированных p, q и изменяющемся ? являются эллипсы с центром в начале координат. Бляшке В. Введение в дифференциальную геометрию. - М.: Изд. технико-теоритической литературы., 1957.- С.180-215.

§8. Примеры

Приведем несколько примеров нахождения средних кривизн поверхностей.

Пример 1:

Eсли поверхность задана уравнением z=f(x, y), найдите ее среднюю кривизну.

Решение: Поверхность, определяемая уравнением z=f(x, y), может быть задана параметрически в виде

r(x, y)=(x, y, f(x,y)), r_x=(1, 0, f_x), r_y=(1, 0, f_y).

Матрица первой квадратичной формы имеет вид

r_{x ?} r_y=(- f_x, - f_y, 1), | r_{x ?} r_y |=

m==

r_{x x}=(0, 0, f_xx), r_xy=(0, 0, f_xy), r_yy=(0, 0, f_yy),

L=‹r_xx, m›=

M=‹r_xy ,m›=

N=‹r_yy, m›= .

Матрица второй квадратичной формы имеет вид

Иначе эту формулу можно записать в другом виде

,

где p, q, r, s, t - обычные обозначения для производных функций.

Ответ: .

Пример 2:

Найдите среднюю кривизну поверхности вращения.

Решение: r_u=(x?, ??cos?, ??sin?), r_?=(0, -?sin?, ?cos?). Здесь ? обозначает дифференцирование по u.

Матрица первой квадратичной формы

r_{x ?} r_y=(???, -?x?cos?, -?x?sin?), ), | r_{x ?} r_y |=?

m=

r_uu=(x??, ???cos?, ???sin?),

r_u?=(0, -??sin?, ??cos?),

r_??=(0, -??cos?, -?sin?),

L=,

M=0,

N=.

Теперь вычислим среднюю кривизну поверхности вращения:

Ответ: H.

Пример 3:

Показать, что средняя кривизна геликоида равна 0.

Решение: Параметрическое уравнение геликоида имеет вид x=ucosv, y=usinv, z=av.

Тогда

r(u,v)=(ucosv, usinv, av),

r_u=(cosv, sinv, o), r_v=(-usinv, ucosv, a),

E=1, F=0, G=a²+u²,

r_{u ?} r_v=(asinv, -acosv, u), ), | r_{u ?} r_v |=,

m==,

r_uu=(0, 0, 0),

r_uv=(-sinv, cosv, 0),

r_vv=(-ucosv, -usinv, 0),

L=0,

M=,

N=0.

.

Ответ: H=0

Пример 4:

Вычислить среднюю кривизну винтовой поверхности x=ucosv, y=usinv, z=u+v.

Решение: Имеем:

r=(ucosv, usinv, u+v),

r_u=(cosv, sinv, 1), r_v=(-usinv, ucosv, 1),

E=2, F=1, G=1+u²,

r_{u ?} r_v=(sinv-ucosv, -cosv-usinv, u), | r_{u ?} r_v |=,

m==,

r_uu=(0, 0, 0), r_uv=(-sinv, cosv, 0), r_vv=(-ucosv, -usinv, 0),

L=0,

M=,

N=.

.

Ответ: .

Пример 5

Найти среднюю кривизну поверхности x=cosv-usinv, y=sinv+ucosv, z=u+v.

Решение: Имеем:

r(u,v)=( cosv-usinv, sinv+ucosv, u+v).

r_u=(-sinv, cosv,1), r_v=(-ucosv-sinv, -usinv+cosv, 1),

E=‹r_u, r_u›=2, F=‹r_u, r_v›=2, G=‹r_v, r_v›=2+u²,

r_{u ?} r_v=(usinv, -ucosv, u), | r_{u ?} r_v |=uv2,

m=(sinv, -cosv, 1),

r_uu=(0, 0, 0), r_uv=(-cosv, -sinv, 0), r_vv=(usinv-cosv, -ucos-sinv, 0),

L=‹r_uu, m›=0,

M=‹r_uv, m›=0,

N=‹r_vv, m›=u,

.

Ответ: H=u.

Пример 6:

Вычислить среднюю кривизну данной поверхности x=3u+3uv²-u³, y=v³-3v-3u² v, z=3(u²-v²).

Решение: Имеем:

r=(3u+3uv²-u³, v³-3v-3u² v, 3(u²-v²),

r_u=(3+3v²-3u², -6uv, 6u), r_v=(6uv, 3v³-3u²-3, -6v),

E=9((1+v²-u ²)²+4u ²v²+4u ²)=9(u²+v²+1)²,

F=9(1- u²+v²)2uv+(-2uv)( v²-u ²-1)-4uv)=0,

G=9(4u ²v²+(u²-v²+1)² +4v²)=9(u²+v²+1)²,

r_{u ?} r_v=9(2u(u²+v²+1), 2v(u²+v²+1), (u²+v²)¹-1), | r_{u ?} r_v |=9(u²+v²+1)²,

m=,

r_uu=(-6u, -6v, 6), r_uv=(6v, -6u, 0), r_vv=(6u, 6v, -6),

L=,

M=,

N=,

.

Ответ: H=0.

Пример 7:

Пусть r=r(u,v)- уравнение поверхности S, а r*=r+am- уравнение параллельной ей поверхности S*. Выразить среднюю кривизну поверхности S*,через среднюю кривизну поверхности S.

Решение: Коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхностей S и S* связаны соотношениями:

E*=(1-a²K)E+2a(aH-1)L,

F*=(1-a²K)F+2a(aH-1)M,

G*=(1-a²K)G+2a(aH-1)N,

L*=aKE+(1-2aH)L,

M*=aKF+(1-2aH)M,

N*=aKG+(1-2aH)N.

Отсюда получаем искомое выражение:

.

Ответ: .

Пример 8:

Докажите, что для средней кривизны поверхности имеет место формула

,

где d? и d?* - соответствующие элементы площади параллельных поверхностей S и S*.

Доказательство: Пусть на поверхности S координатные линии совпадают с линиями кривизны. Используя основной оператор, получаем

r_u*=(1-ak₁)r_u, r_v*=(1-ak₂)r_v.

Следовательно, коэффициенты первых квадратичных форм поверхностей S и S* связаны соотношениями

E*=(1-ak₁)²E, G*=(1-ak₂)²G, F*=F=0.

Отсюда

d?*=(1-ak₁)(1-ak₂) d?

и .

искривленность кривизна поверхность пленка

Заключение

При выборе темы для написания курсовой работы я руководствовалась своим желанием узнать как можно больше о теории поверхностей, а точнее о ее средней кривизне. Данную работу я начала с рассмотрения кривого пространства. На самом деле, искривленность пространства никак не связана с четвертым измерением, а является, так сказать, его внутренним телом. И установить искривленность можно не выходя из этого пространства, а лишь проводя измерения внутри него.

Далее хотелось бы отметить, что важную роль в теории поверхностей играют формулы первой и второй квадратичных форм. С помощью них мы выводим формулы для главных кривизн и, следовательно, для средней кривизны поверхности. Детальное изучение данной темы раскрывает нам много нового и интересного. Для нас открывается новый класс поверхностей, который мы называем минимальными. Физической моделью минимальных поверхностей являются «мыльные пленки», возникающие на замкнутых контурах. При этом на один и тот же контур можно натянуть несколько минимальных пленок.

Знание этого опыта особенно важно при решении задач. Задачи, представленные в данной работе, позволяют сформировать представления о средней кривизне, сделать материал более доступным, понятным и интересным в понимании.

Но хотелось бы отметить, что каждая минута времени затраченная на поиски и изучение данного вопроса была мной полностью окуплена, когда все больше и больше приходило понимание того, как много мы не знаем о кривизне поверхностей.

Список используемых источников литературы

1. Бакельман И.Я., Вернер А.Л., Кантор Б.Е. Введение в дифференциальную геометрию «в целом». - М.: «Наука», 1973,

2. Бляшке В. Введение в дифференциальную геометрию. - М.: Изд. технико- теоритической литературы.,1957. - 164с.,

3. Гусак А.А., Нахимовская А.Н., Рябушко А.П., Тутаев Л.К., Феденко А.С. Сборник задач по дифференциальной геометрии. Под общей редакцией Тутаева Л.К.: Изд. Министерства высшего, среднего специального и профессионального образования БССР. - Минск 1963,

4. Егоров А.А. Такая разная геометрия. - М.: Бюро Квантум, 2001. - 128с. (Прил. к журналу «Квант» №2/2001.),

5. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии., т. 11: Пер. с англ. - М.: «Наука», 1981,

6. Мищенко А.С., Соловьев Ю.П., Фоменко А.Т. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии: Учеб. пособие для вузов. - 2е изд., перераб. и доп. - М.: Изд. физико-математической литературы, 2004 - 412с.,

7. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. - М.: Изд. Моск. ун-та, 1980. - 439 с.,

8. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. - М.: «Наука», 1969,

9. Погорелов А.В. Лекции по дифференциальной геометрии. - Харьков: Изд. харьковского ордена трудового красного знамени гос. ун-та им. А.М. Горького, 1967. - 164с.,

10. Поздняк Э.Г., Попов А.Г. Уравнение синус-Гордана: геометрия и физика.- М.: «Знание», 1991. - 48с. (Новое в жизни, науке, технике. Сер. «Математика, кибернетика»; №6),

11. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии, изд. 3-е, переработанное. - М., 1950. - 428с.,

12. Розендорн Э.Р. Задачи по дифференциальной геометрии. М.: «Наука», 1971. - 64с.,

13. Феденко А.С. Сборник задач по дифференциальной геометрии. Изд. 2-ое, перераб. - М.: «Наука», 1979. - 272с.

Размещено на Allbest.ru