Кривые Евклидова пространства

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

1. Кривые Евклидова пространства

1.1 Касательная прямая и нормальная плоскость кривой. Практическая часть нахождения касательной прямой и нормальной плоскости кривой

1.2 Соприкасающаяся плоскость в произвольной и в выбранной точке. Практическая часть нахождения соприкасающейся плоскости в произвольной и в выбранной точке

1.3 Кривизна и кручение в выбранной и произвольной точке. Практическая часть вычисления кривизны и кручения в произвольной и выбранной точке

1.4 Построение кривой

2. Поверхности Евклидова пространства

2.1 Касательная плоскость и нормаль поверхности. Нахождение касательной плоскости и нормали в произвольной и выбранной точке

2.2 Первая квадратичная форма в выбранной и произвольной точке. Вычисление первой квадратичной формы в произвольной и выбранной точке

2.3 Вторая квадратичная форма в выбранной и произвольной точке. Вычисление второй квадратичной формы поверхности в произвольной и выбранной точке

2.4 Полная и средняя кривизна поверхности. Вычисление полной и средней кривизны поверхности

2.5 Изображение поверхности

Список использованной литературы

касательная нормаль плоскость кривизна

1. Кривые Евклидова пространства

Нам даны параметрические координаты кривой: x= , y=, z=-. Найдем на ее примере касательную прямую, нормальную плоскость, кривизну и кручение в произвольной и выбранной точке. Построим кривую.

1.1 Касательная прямая и нормальная плоскость прямой в произвольной и в выбранной точке. Практическая часть нахождения касательной прямой и нормальной плоскости кривой

Вектор () является вектором касательной кривой в точке . Обозначим точку кривой , соответствующую значению параметра , через P, т.е. P=P. Плоскость, проходящая через точку P кривой и перпендикулярная вектору , называется нормальной плоскостью кривой в точке . По вектору = и точке P запишем уравнения касательной прямой и нормальной плоскости кривой

+=0.

Практическая часть нахождения касательной прямой и нормальной плоскости кривой

Применим все вышесказанное к нашей кривой: найдем касательную прямую и нормальную плоскость в произвольной и выбранной точке.

В уравнение касательной прямой:



подставим наши координаты: x, y и z вместо , и соответственно, и производные вместо , получим:

Мы получили уравнение касательной прямой в общем виде, теперь найдем уравнение прямой в выбранной точке, приняв :

Нами получено уравнение касательной прямой в выбранной точке. Теперь найдем уравнение нормальной плоскости кривой, по аналогии с нахождением уравнения касательной прямой, подставив в формулу:

+=0

наши координаты:

+=0.

Уравнение нормальной плоскости кривой в произвольной точке найдено. Напишем уравнение в выбранной точке, напомню, что . В итоге получаем:

+=0.

Нами получено уравнение нормальной плоскости кривой в выбранной точке.

1.2 Соприкасающаяся плоскость в произвольной и выбранной точке. Практическая часть нахождения соприкасающейся плоскости в произвольной и в выбранной точке

Рассмотрим плоскости, проходящие через касательную кривой (t) в точке Р=Р (t₀) кривой. При изменении параметра t получаем вектор . Для вектора имеет место формула Тейлора:

= + + , 0.

Точка М(t₀+?t) кривой и касательная P, ?(t₀) определяют плоскость

=P, ?(t₀), ? (t₀+?t).

Нормальный вектор плоскости есть ? (t₀) ?(t₀+?t).

Плоскость P , ?(t₀), ?(t₀) называется соприкасающейся плоскостью кривой в точке t₀ .

Уравнение соприкасающейся плоскости:



Практическая часть нахождения соприкасающейся плоскости в произвольной и в выбранной точке

Найдем формулу соприкасающейся плоскости в произвольной и выбранной точке:

=

=0.

Мы нашли формулу соприкасающейся плоскости в произвольной точке. Теперь найдем в произвольной точке, которую мы ранее приняли равной :

= =0.

Соприкасающаяся плоскость в выбранной точке найдена.

1.3 Кривизна и кручение кривой. Вычислительные формулы для кривизны и кручения. Практическая часть вычисления кривизны и кручения в произвольной и выбранной точке

Величина k₁ называется кривизной или первой кривизной кривой r(s) в точке Р; функция k_{1 =} k₁(s) называется функцией кривизны кривой r(s), k₁ ? 0,

(s) -вектор кривизны кривой (s).

Величина k₂ называется кручением кривой ?(s) или второй кривизной кривой (s) в точке Р. При движении точки Р по кривой (s), т.е. с изменением параметра s, имеем функцию k₂= k₂(s) - функцию кручения. Знак величины k₂ может быть и положительным, и отрицательным

k₁=(1);

k_{2 =} (2).

Практическая часть вычисления кривизны и кручения в произвольной и выбранной точке

Вычислим, имея компоненты нашей кривой: кривизну и кручение в произвольной и выбранной точке.

Кривизна кривой () в произвольной точке вычисляется согласно формуле (1).Подставляем наши координаты в эту формулу, получаем:



Мы нашли кривизну кривой в произвольной точке. Найдем кривизну выбранной точке, подставив вместо значение равное 1, которое мы выбрали ранее.

Кривизна кривой в выбранной точке найдена.

Кручение кривой () в произвольной точке вычисляется согласно формуле (2).Подставляем наши координаты в эту формулу, получаем:

Мы нашли кручение кривой в произвольной точке. Найдем кручение выбранной точке, подставив вместо значение равное 1, которое мы выбрали ранее.

Кручение кривой в выбранной точке найдена.

1.4 Построение кривой

Изобразим нашу кривую; она будет иметь следующий вид:

2. Поверхности евклидова пространства

Нам даны компоненты поверхности: x=, y=, z= Найдем на ее примере уравнение касательной плоскости и нормали, первую и вторую квадратичные формы в произвольной и выбранной точке. Вычислим полную и среднюю кривизны поверхности. Изобразим поверхность.

2.1 Касательная плоскость и нормаль поверхности. Нахождение касательной плоскости и нормали в произвольной и выбранной точке

Пусть P - точка регулярной поверхности (u,v). В этой точке имеем неколлинеарные векторы . Для любой линии (t) = (u(t),v(t)) выполняется .

Касательная прямая P , ?(t) всякой кривой (t) = (u(t),v(t)) поверхности (u,v) лежит в плоскости . Касательные всех линий поверхности (u,v) ,проходящих через точку Р, образуют плоскость.

Пусть Р=(x₀,y₀,z₀) и производные вычислены в точке Р.

Тогда уравнение касательной плоскости таково

.

Прямая называется нормалью поверхности (u,v) в точке Р. Ее уравнение



Нахождение касательной плоскости и нормали в произвольной и выбранной точке

Вычислим производные по u и v. Получим следующее:

Возьмем точки =, =.

Найдем касательную плоскость в произвольной точке:

Уравнение касательной плоскости в произвольной точке найдено.

Найдем в выбранной точке, подставив значения и расписав

sh и ch:



Мы нашли уравнение касательной плоскости в выбранной точке.

Теперь найдем уравнение нормали в произвольной и выбранной точке, используя теоретическую часть нашего вопроса, получим:

Получено уравнение нормали в произвольной точке. Найдем в выбранной:

Уравнение нормали в выбранной точке найдено.

2.2 Первая основная квадратичная форма поверхности. Вычисление первой квадратичной формы в произвольной и выбранной точке

В произвольной точке Р поверхности (u,v) зададим направление, выбрав u=u(t), v=v(t). Отношение дифференциалов

определяет направление на поверхности , имеем

.

Производная от (u,v) по направлению du: dv имеет вид:

.

Малое смещение ds по кривой (u(t),v(t)) на поверхности вычисляется на основании равенств

.

Отсюда получаем ,вычисляя скалярный квадрат

=,

ds²=.

Введем обозначения

, .

Значения этих скалярных произведений зависят от выбора точки Р поверхности . Выражение:



называется первой квадратичной формой поверхности (u,v).

Вычисление первой квадратичной формы в произвольной и выбранной точке.

Вычислим первую квадратичную форму в выбранной точке.

Найдем

Теперь, когда найдены значения E,F и G, напишем формулу первой квадратичной формы в произвольной точке:

Нами получена формула первой квадратичной формы в произвольной точке.

Теперь, подставив наши значения в формулу первой квадратичной формы, найдем ее значение в выбранной точке:

)

Первая квадратичная форма в выбранной точке найдена.

2.3 Вторая квадратичная форма поверхности. Вычисление второй квадратичной формы поверхности в произвольной и выбранной точке

На поверхности (u,v) рассмотрим линию u=u(s), v=v(s) в естественной параметризации :

.

Кривизна кривой :

(s) =,

где k₁ кривизна кривой, - единичный вектор главной нормали кривой. Обозначим - единичный вектор нормали поверхности

(u,v) , это вектор

.

Умножим скалярно и :

,

если - угол между и . Величина

Называется нормальной кривизной (s) на поверхности (u,v) или нормальной кривизной поверхности

.

Вычислим k_n в окрестности точки Р=(x₀,y₀,z₀) . Находим

,

,

,

здесь и , так как . Обозначим

, , .

На основании формул:

и имеем

Коэффициенты L,M,N вычислены в точке Р поверхности .Выражение для нормальной кривизны линии на поверхности таково:

.

Отсюда получаем

.

Воспользуемся значением ds² из первой квадратичной формы поверхности

.

Квадратичная форма

Называется второй квадратичной формой поверхности.

Вычисление второй квадратичной формы поверхности в произвольной и выбранной точке.

Найдем вторую квадратичную форму в произвольной точке:

Вычислим, для начала чему равен , подставив ранее полученные значения E, G и F для первой квадратичной формы:

)

Найдем векторное произведение и:

= )

Затем вычислим

, и:

Найдем коэффициенты второй квадратичной формы, подставив в формулы



наши значения:

L=

M=

N=0

Теперь напишем формулу второй квадратичной формы поверхности в произвольной точке

Вторая квадратичная форма в произвольной точке найдена.

Подставив значения в нашу формулу, получим уравнение второй квадратичной формы в выбранной точке:

Уравнение второй квадратичной формы в выбранной точке найдено.

2.4 Полная и средняя кривизны поверхности. Вычисление полной и средней кривизны поверхности

Рассмотрим регулярную (u,v) в окрестности точки Р.

.

Отсюда получаем

.

Дифференцируем это неравенство по x и по y

Главные направления в касательной плоскости определяются этой системой уравнений, если она имеет ненулевые решения, т.е. в случае ?=0

Значение определителя

.

Главные кривизны есть корни выписанного уравнения. Воспользуемся теоремой Виета

,

где К- полная кривизна поверхности (Гауссова кривизна),

Н- средняя кривизна поверхности.

Вычисление полной и средней кривизны поверхности

Мы вычислили полную и среднюю кривизну поверхности.

2.5 Изображение поверхности

Изобразим нашу поверхность; она будет иметь следующий вид:

Список использованной литературы

1.Долгарев А.И. Элементы дифференциальной галилеевой геометрии и одуль галилеевых преобразований. - Саранск: Средневолжское математическое общество, 2003(препринт 63). - 116 с.

2.Долгарев А.И. Классические методы в дифференциальной геометрии одулярных пространств. - Пенза: Инф.-изд. Центр Пенз. гос. ун-та, 2004. - 306 с.

3.Позняк Э.Г. Дифференциальная геометрия. Первое знакомство / Э.Г. Позняк, Е.В. Шикин. - М.: Изд-во МГУ, 1990.-384 с.

4.Долгарев А.И. Одулярное описание афинных преобразований плоскости: Деп. В ВИНИТИ 07.02.97, №369 - В97. - 59 с.

Размещено на Allbest.ru