Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ЧЕЧЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Институт дистанционного и заочного обучения

(факультет/институт)

Математического анализа

(кафедра)

КУРСОВАЯ РАБОТА

По дисциплине: Математический анализ

На тему: «Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя»

Выполнена студентом 3 курса МИ - 218 группы Заочной

формы обучения Профили «Математика и Информатика»

Абдулкаримова Медни Висаевна

Руководитель д. ф-м.н, профессор Умаров Хасан Галсанович

Грозный 2021



Содержание

правило лопиталь функция теорема

Введение

1. Некоторые теоретические аспекты, связанные с применением правил Лопиталя

1.1 Предел функции в точке

1.2 Понятия бесконечно большой и бесконечно малой функций

1.3 Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях

2. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя

2.1 Правило Лопиталя 1

2.2 Правило Лопиталя 2

2.3 Раскрытие неопределенностей

2.4 Решение задач

Заключение

Список использованной литературы



Введение

Понятие предела - очень сложное понятие современной математики.

Раскрытие неопределённостей - методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа:

по которым невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют. Самым мощным методом является правило Лопиталя, однако и оно не во всех случаях позволяет вычислить предел. К тому же напрямую оно применимо только ко второму и третьему из перечисленных видов неопределённостей, то есть отношениям, и чтобы раскрыть другие типы, их надо сначала привести к одному из этих. Все вышесказанное обосновывает актуальность выбранной темы.

Это правило названо в честь французского математика, жившего в XVII веке, Франсуа Гийома Антуана, маркиза де Лопиталя (1661-1704), который в 1692 году написал Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1696), первую книгу по дифференциальному исчислению. Книга состоит из десяти разделов, и девятый, в частности, включает в себя результат, в настоящее время известный, как правило Лопиталя.

Объект исследования - правила Лопиталя.

Предмет исследования - раскрытие неопределенностей при помощи правил Лопиталя.

Цель курсовой работы - раскрыть тему «Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя».

Для достижения цели необходимо решить задачи исследования:

· ознакомиться с понятием предела функции в точке;

· изучить понятие бесконечно малой (большой) функции;

· ознакомиться с некоторыми теоремами о дифференцируемых функциях (Ролля, Коши, Лагранжа);

· изучить и доказать правила Лопиталя;

· продемонстрировать на примерах, как применяются правила Лопиталя для раскрытия неопределенностей .

Структура исследования: курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Объем: 26 страниц.



1. Некоторые теоретические аспекты, связанные с применением правил Лопиталя

1.1 Предел функции в точке

Пусть функция определена на некоторой окрестности точки , кроме быть может самой точки .

Определение 1. Число называется пределом функции в точке (или при), если для любой последовательности допустимых значении аргумента , сходящейся к , последовательность соответствующих значений функции сходится к числу . Обозначается

Геометрический смысл предела функции:

заключается в том, что для всех точек , достаточно близких к , соответствующие значения функции сколь угодно мало отличаются от .

Определение 2. Число называется пределом функции в точке , если для любого положительного числа существует число такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Коротко пишут: если

Геометрический смысл предела функции:

если для любой окрестности точки найдется окрестность точки , что для всех из этой окрестности соответствующие значения лежат в окрестности точки .

Первое определение основано на понятии предела числовой последовательности, поэтому его часто называют определением ''на языке последовательностей'', или определением по Гейне. Второе определение называют определением ''на языке '' , или определением по Коши.

Пусть функция определена в промежутке . Число называется пределом функции при , если для любого положительного числа существует такое число , что при всех , удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство и пишут



1.2 Понятия бесконечно большой и бесконечно малой функций

Функция называется бесконечно большой функцией (или просто бесконечно большой) в точке (или при ), если для любого существует такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство В этом случае пишут

и говорят, что функция стремится к бесконечности при , или что она имеет бесконечный предел в точке . Аналогично определяется бесконечно большая функция при . Особо подчеркнём, что бесконечно большая функция предела (в смысле определения) не имеет - символ не является числом.

Функция заданная на всей числовой прямой называется бесконечно большой при , если для любого найдется такое число , что при всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Например, есть б.б.ф. при .

Функция заданная на всей числовой прямой называется бесконечно малой при , если

Примерами бесконечно малых функций служат при ; при .

Функция называется бесконечно малой в точке , если для любого существует такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Бесконечно малые функции обладают свойствами, которые можно сформулировать в виде теорем.

Теорема 1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Теорема 2. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.

Следствие 1. Произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая.

Следствие 2. Произведение б.м.ф. на число есть функция бесконечно малая.

Теорема 3. Частное от деления б.м.ф. на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая.

Теорема 4. Если функция бесконечно малая , то функция есть бесконечно большая функция и наоборот.

Доказательство.

1) Пусть б.м.ф. при , т.е.

Тогда ,

т.е. , т.е. , где А это означает, что функция есть бесконечно большая.

2) Пусть б.б.ф. при , т.е.

Тогда ,

т.е. , т.е. , где А это означает, что функция есть бесконечно малая.

Сравнение бесконечно малых

Пусть и являются бесконечно малыми при . Эти бесконечно малые функции можно сравнивать по быстроте их убывания, т.е. по быстроте их стремления к нулю. В отличие от других операций деление одной бесконечно малой на другую может привести к различным результатам.

Если , то называется бесконечно малой более высокого порядка, чем функция .

Если , то называется бесконечно малой более низкого порядка, чем функция .

Если , то и называются бесконечно малыми одного порядка.

Если то и называются эквивалентными бесконечно малыми и пишут .

1.3 Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях

Рассмотрим ряд теорем, имеющих большое теоретическое и прикладное значение.

Теорема 1. (РОЛЛЬ)

Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и на концах отрезка принимает одинаковые значения , то найдется хотя бы одна точка , в которой производная обращается в нуль, т.е. .

Так как функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений, соответственно, . Если , то функция постоянна на и, следовательно, ее производная в любой точке отрезка .

Если , то функция достигает хотя бы одно из значений во внутренней точке интервала , т.к. .

Пусть, например, функция принимает значение в точке , т.е. . Тогда для всех выполняется соотношение

(1)

Найдем производную в точке :

Рис. 1	Рис. 2	Рис. 3

В силу условия (1) верно неравенство . Если (т.е. справа от точки ), то

и поэтому



Если , то

Таким образом,

В случае, когда , доказательство аналогичное.

Пусть, например, функция принимает значение в точке , т.е. . Тогда для всех выполняется соотношение

(1*)

Найдем производную в точке :

В силу условия (1*) верно неравенство .

Если (т.е. слева от точки ), то

и поэтому

Если , то

Таким образом,

Геометрически теорема Ролля означает, что на графике функции найдется точка, в которой касательная к графику параллельна оси . На рис. 3 таких точек две.

Теорема 2. (КОШИ)

Если функции непрерывны на отрезке , дифференцируемы на , причем для , то найдется хотя бы одна точка такая, что выполняется неравенство

Отметим, что , так как в противном случае по теореме Ролля нашлась бы точка , такая что , чего не может быть по условию теоремы. Рассмотрим вспомогательную функцию

Она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , так как является линейной комбинацией функций ; на концах отрезка она принимает одинаковые значения .

На основании теоремы Ролля найдется точка такая, что . Но , следовательно,



Отсюда следует

Теорема 3. (ЛАГРАНЖ)

Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , то найдется хотя бы одна точка такая, что выполняется равенство

(2)

Доказательство. Теорему Лагранжа можно рассматривать как частный случай теоремы Коши. Действительно, положив , находим

Подставляя эти значения в формулу

Получаем

Полученную формулу называют формулой Лагранжа или формулой о конечном приращении: приращение дифференцируемой функции на отрезке равно приращению аргумента, умноженному на значение производной функции в некоторой точке этого отрезка.

Рис. 4

Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл. Запишем формулу (2) в виде

где . Отношение есть угловой коэффициент секущей а величина угловой коэффициент касательной к кривой в точке с абсциссой .

Следовательно, геометрический смысл теоремы Лагранжа таков: на графике функции найдется точка см. рис.4), в которой касательная к графику функции параллельна секущей .

Следствие 1. Если производная функции равна нулю на некотором промежутке, то функция постоянна на этом промежутке.

Пусть для всех . Возьмем произвольные и пусть . Тогда по теореме Лагранжа такая, что . Но по условию , стало быть, , где . Поэтому имеем , т.е. . А так как произвольные точки интервала , то имеем .

Следствие 2. Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке, то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.

Пусть при . Тогда . Следовательно, согласно следствию 1, функция есть постоянная, т.е. для .



2. Раскрытие неопределенностей по правилам Лопиталя

2.1 Правило Лопиталя 1

Теорема 1. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида

Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки и обращаются в нуль в этой точке: . Пусть в окрестности точки . Если существует предел

Доказательство. Применим к функциям и теорему Коши для отрезка , лежащего в окрестности точки . Тогда

где лежит между . Учитывая, что , получаем

(3)

Пусть , величина также стремится к ; перейдем в равенстве (3) к пределу

Так как

Поэтому

Коротко полученную формулу читают так: предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения их производных, если последний существует.

Замечание 1. Теорема верна и в случае, когда функции и не определены при , но и . Достаточно положить и .

Замечание 2. Теорема верна и в случае, когда . Действительно, положив , получим

Замечание 3. Если производные и удовлетворяют тем же условиям, что и функции и , теорему 1 можно применить еще раз:

и т.д.



2.2 Правило Лопиталя 2

Теорема 2. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида

Пусть:

1) функции и определены в промежутке ;

2) и

3) существуют в промежутке конечные производные и , причем ;

4) существует (конечный или нет) предел

Тогда

Доказательство. В виду того, что и можно считать, что и для любого значения .

Рассмотрим сначала случай конечного Если задать произвольное число , то в силу условия 4 найдется такое , что при будет

Положим для краткости и возьмем между и . К промежутку применим формулу Коши:

где следовательно,

Напишем теперь тождество

Оно проверяется непосредственно:

Так как при , то найдется такое (можно считать ), что для будет одновременно и

При указанных значениях будем иметь тогда

что и доказывает требуемое утверждение.

Пусть теперь (случай при предположениях 2 невозможен); тогда , по крайней мере, для значений , достаточно близких . Обменяв ролями функции , будем иметь

так что, по доказанному,

откуда, наконец, в связи со сделанными вначале замечаниями,

В тексте теоремы 2 можно было бы считать и без существенных изменений в доказательстве. Если бы было правым концом рассматриваемого промежутка, то, в частности, можно было бы считать . Таким образом, случай охвачен, по существу, уже теоремой 2.



2.3 Раскрытие неопределенностей

	Правило	Примечание
	Раскрывается: а) по правилу Лопиталя б) делением числителя и знаменателя на критический множитель в) по 1-му и 2-му замечательным пределам	1. применяются тождественные преобразования: а) освобождение от иррациональности в числителе или знаменателе б) разложение на множители числителя и знаменателя 2. применяется таблица эквивалентных бесконечно малых: при
	Раскрывается: а) по правилу Лопиталя б) делением числителя и знаменателя на высшую степень
	Раскрывается по II-му замечательному пределу
	Сводится к неопределенности или	Применяются преобразования: а) приведение к общему знаменателю; б) освобождение от иррациональности в числителе (знаменателе).
	Сводится к неопределенности или
	Сводится к неопределенности
	Используется тождество: если



2.4 Решение задач

Задание: Найти указанные пределы, пользуясь правилом Лопиталя.

Во второй главе мы сформулировали в виде теорем и доказали правила Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида и . Также мы рассмотрели 25 различных примеров по вычислению пределов по теме «Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя».



Заключение

Данная курсовая работа посвящена очень мощному методу вычисления пределов от отношения двух бесконечно малых (больших) функций - применению правил Лопиталя. Однако, бывают случаи, когда невозможно сразу применить эти правила, например, если это неопределенности вида . В этих случаях при помощи некоторых преобразований нужно сводить их к виду или .

Способ раскрытия такого рода неопределенностей был опубликован Лопиталем в его сочинении «Анализ бесконечно малых», изданном в 1696 году. В предисловии к этому сочинению Лопиталь указывает, что без всякого стеснения пользовался открытиями Лейбница и братьев Бернулли и «не имеет ничего против того, чтобы они предъявили свои авторские права на все, что им угодно». Иоганн Бернулли предъявил претензии на все сочинение Лопиталя целиком, и в частности, после смерти Лопиталя опубликовал работу под примечательным названием «Усовершенствование моего опубликованного в «Анализе бесконечно малых» метода для определения значения дроби, числитель и знаменатель которой исчезают», 1704.

В первой главе ознакомились с понятием предела функции в точке, изучили понятие бесконечно малой (большой) функции, ознакомились с некоторыми теоремами о дифференцируемых функциях (Ролля, Коши, Лагранжа).

Во второй главе мы сформулировали и доказали первое и второе правила Лопиталя для раскрытия неопределенностей типа соответственно, продемонстрировали на примерах, как применяются правила Лопиталя на практике.

Мы полагаем, что цель курсовой работы достигнута, а задачи решены в достаточной мере.



Список литературы

1. Аксенов, А.П. Математический анализ в 4 ч. часть 2: Учебник и практикум для академического бакалавриата / А.П. Аксенов. Люберцы: Юрайт, 2016. 344 c.

2. Баврин, И.И. Математический анализ: Учебник и практикум для СПО / И.И. Баврин. Люберцы: Юрайт, 2016. 327 c.

3. Балдин, К.В. Математический анализ: Учебник / К.В. Балдин, В.Н. Башлыков, А.В. Рукосуев.. М.: Флинта, МПСУ, 2015. 368 c.

4. Барбаумов, В.Е. Математический анализ: N-мерное пространство. Функции. Экстремумы: Учебник / В.Е. Барбаумов, Н.В. Попова. М.: Инфра-М, 2018. 480 c.

5. Берман, Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учебное пособие. СПб.: издательство «Лань», 2016. 492 с.

6. Ведина, О. Математический анализ для экономистов / О. Ведина. СПб.: Лань, 2015. 360 c.

7. Виноградов, О.Л. Математический анализ / О.Л. Виноградов. СПб.: BHV, 2017. 752 c.

7. Виноградова, И.А. Математический анализ в задач и упражнениях. В 3-х томах. Т.1: Дифференциальное и интегральное исчисление/ И.А. Виноградова. М.: МЦНМО, 2017. 412 c.

8. Гаврилов, В.И. Математический анализ: учебник / В.И. Гаврилов. М.: Academia, 2016. 320 c.

9. Горлач, Б.А. Математический анализ: Учебное пособие / Б.А. Горлач. СПб.: Лань, 2015. 308 c.

10. Гусак, А.А. Математический анализ и диф. уравнения: Справ. пособие к реш. задач / А.А. Гусак. Минск: ТетраСистемс, 2015. 416 c.

11. Заднепровская, Г.В. Математический анализ: Учебное пособие / Г.В. Заднепровская. СПб.: Лань, 2015. 608 c.

13. Кудрявцев, Л.Д. Краткий курс математического анализа. Т.1. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной. Ряды: учебник. 4-е изд., перераб. М: Физматлит, 2015. 444 с.

14. Малугин, В.А. Математический анализ для экономического бакалавриата: Учебник и практикум / В.А. Малугин. Люберцы: Юрайт, 2016. 557 c.

15. Никитин, А.А. Математический анализ. углубленный курс: Учебник и практикум для академического бакалавриата / А.А. Никитин, В.В. Фомичев. Люберцы: Юрайт, 2016. 460 c.

16. Опойцев, В.И. Школа Опойцева: Математический анализ / В.И. Опойцев. М.: Ленанд, 2017. 272 c.

17. Петрушко, И.М. Курс высшей математики. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление. Лекции и практикум: Учебное пособие / И.М. Петрушко. СПб.: Лань, 2017. 288 c.

18. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс / Д.Т. Письменный. 10-е изд., испр. М: Айрис-пресс, 2011. 608 с.

19. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учебник: в 3 томах / Г.М. Фихтенгольц. 14 изд., стер. Санкт-Петербург: Лань, 2020. Том 2. 800 с.

Размещено на Allbest.ru