Эвклидова геометрия

Размещено на http://www.allbest.ru/

РЕФЕРАТ

Эвклидова геометрия

Студентка Федотова Татьяна

1 курс, 113-2 ЗДО группа

Проверила Тухватулина Л.Ф.

Нижневартовск 2014

Содержание

1. Общие сведения о Эвклиде

2. Аксиоматика

3. Постулаты Эвклида

4. Аксиомы Эвклидовой геометрии

Список литературы

1. Общие сведения о Эвклиде

Евклид или Эвклид (греч. «добрая слава», ок. 300 г. до н. э.) -- древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения об Эвклиде крайне скудны. Достоверным можно считать лишь то, что его научная деятельность протекала в Александрии в 3 в. до н. э. [1]

Эвклид -- первый математик Александрийской школы. Его главная работа «Начала» содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел; в ней он подвёл итог предшествующему развитию греческой математики и создал фундамент дальнейшего развития математики. Из других сочинений по математике надо отметить «О делении фигур», сохранившееся в арабском переводе, 4 книги «Конические сечения», материал которых вошёл в произведение того же названия Аполлония Пергского, а также «Поризмы», представление о которых можно получить из «Математического собрания» Паппа Александрийского. Эвклид -- автор работ по астрономии, оптике, музыке и др. [2]

эвклид геометрия аксиома постулат

2. Аксиоматика

Аксиомы эвклидовой геометрии, сформулированные в III--IV веке до н. э., составляли основу геометрии до второй половины XIX века, так как хорошо описывали физическое пространство и отождествлялись с ним. [1]

Пяти постулатов Эвклида было недостаточно для полного описания геометрии и в 1899 году Гильберт предложил свою систему аксиом. Гильберт разделил аксиомы на несколько групп: аксиомы принадлежности, конгруэнтности, непрерывности (в том числе аксиома Архимеда), полноты и параллельности. Позднее Шур заменил аксиомы конгруэнтности аксиомами движения, а вместо аксиомы полноты стали использовать аксиому Кантора. Система аксиом Эвклидовой геометрии позволяет доказать все известные школьные теоремы [3].

Существуют и другие системы аксиом, в основе которых, помимо точки, прямой и плоскости, лежит не движение, а конгруэнтность, как у Гильберта, или расстояние, как у Кагана. Другая система аксиом связана с понятием вектора. Все они выводятся одна из другой, то есть аксиомы в одной системе можно доказать как теоремы в другой [4].

Для доказательства непротиворечивости и полноты аксиом Эвклидовой геометрии строят её арифметическая модель и показывают, что любая модель изоморфна арифметической, а значит они изоморфны между собой [4]. Независимость аксиом Эвклидовой геометрии показать сложнее из-за большого количества аксиом. Аксиома параллельности не зависит от других, так как на противоположном утверждении строится геометрия Лобачевского. Аналогично была показана независимость аксиомы Архимеда (в качестве координат вместо тройки вещественных чисел используется тройка комплексных чисел), аксиомы Кантора (в качестве координат вместо тройки любых вещественных чисел используются вещественные числа, построенные определённым образом), а также одной из аксиом принадлежности, которая фактически определяет размерность пространства (вместо трёхмерного пространства можно построить четырёхмерное, и любое многомерное пространство с конечным числом измерений) [5].

3. Постулаты Эвклида

Постулаты Эвклида представляют собой правила построения с помощью идеального циркуля и идеальной линейки [6]:

1. Всякие две точки можно соединить прямой линией;

2. Ограниченную прямую линию можно неограниченно продолжить;

3. Из всякого центра всяким радиусом можно описать окружность;

4. Все прямые углы равны между собой;

5. Если прямая падает на две прямые и образует внутренние односторонние углы в сумме меньше двух прямых, то при неограниченном продолжении этих двух прямых они пересекутся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Другая формулировка пятого постулата (аксиомы параллельности), гласит [7]: Через точку вне прямой в их плоскости можно провести не более одной прямой, не пересекающей данную прямую.

4. Аксиомы Эвклидовой геометрии

Через каждые две различные точки проходит прямая и притом одна;

На каждой прямой имеется, по крайней мере, две точки;

Существуют три точки, не лежащие на одной прямой;

Через каждые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна;

На каждой плоскости имеется, по крайней мере, одна точка;

Если две точки лежат на плоскости, то и проходящая через них прямая лежит на этой плоскости;

Если две плоскости имеют общую точку, они имеют, по крайней мере, ещё одну общую точку;

Существуют четыре точки, не лежащие на одной плоскости.

Аксиомы порядка:

Из любых трёх различных точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими;

Для всяких двух точек прямой существует на этой прямой такая третья точка, что вторая точка лежит между первой и третьей;

Если прямая l, лежащая в плоскости ABC, не проходит ни через одну из точек A, B, C и содержит одну точку отрезка AB, то она имеет общую точку с хотя бы одним из отрезков AC, BC;

Аксиомы движения:

Всякое движение является взаимно однозначным отображением пространства на себя;

Пусть f -- произвольное движение. Тогда, если точки A, B, C расположены на одной прямой, причём C лежит между A и B, то точки f(A), f(B), f(C) также расположены на одной прямой, причём f(C) лежит между f(A) и f(B);

Два движения, произведённые один за другим, равносильны некоторому одному движению;

Для всяких двух реперов, взятых в определённом порядке, существует одно и только одно движение, переводящее первый репер во второй;

Аксиомы непрерывности:

Аксиома Архимеда. Пусть A0, A1, B -- три точки, лежащие на одной прямой, причём точка A1 находится между A0 и B. Пусть далее f -- движение, переводящее точку A0 в A1 и луч A0B в A1B. Положим f(A1)=A2, f(A2)=A3, …. Тогда существует такое натуральное число n, что точка B находится на отрезке An-1An.

Аксиома Кантора. Пусть A1, A2, … и B1, B2, … -- такие две последовательности точек, расположенных на одной прямой l, что для любого n точки An и Bb различны между собой и лежат на отрезке An-1Bn-1. Тогда на прямой l существует такая точка C, которая находится на отрезке AnBn при всех значениях n.

Аксиома параллельности:

Через точку A, не лежащую на прямой l, можно провести в их плоскости не более одной прямой, не пересекающей прямую 1.

Список литературы

1. Перейти к: 1 2 3 4 5 Геометрия // Математическая энциклопедия: в 5 т. -- М.: Советская Энциклопедия, 1982. -- Т. 1.

2. Перейти к: 1 2 3 4 5 6 7 8 БСЭ, 1971

3. Перейти к: 1 2 3 4 Геометрия, 1963, с. 32--41

4. Геометрия, 1963, с. 41--44

5. Геометрия, 1963, с. 44--48

6. Перейти к: 1 2 Геометрия, 1963, с. 12--17

7. Геометрия, 1963, с. 18--21

Размещено на Allbest.ru