Логарифмическая функция в задачах

Размещено на http://www.allbest.ru/

Государственный Педагогический Университет

Физико-математический факультет

Кафедра математического анализа и МПМ

КУРСОВАЯ РАБОТА

на тему:

«Логарифмическая функция в задачах»

Содержание

Введение

Немного из истории

I. Логарифмические тождества

§1. Логарифм

§2.Свойства логарифмов

§3.Логарифмическая функция, ее свойства и график

§ 4. Тождественные преобразования и вычисления логарифмических выражений на практике

II. Логарифмические уравнения

§ 1. Простейшие логарифмические уравнения

§ 2. Вид: простейшие логарифмические уравнения. Метод решения: по определению логарифма. Логарифмо-показательные уравнения

§ 3. Вид: уравнения. Содержащие суммы и разности логарифмов, умножение логарифма на число. Метод решения: применение свойств логарифмов

§ 4. Вид: степени логарифма. Одно основание - одно выражение под логарифмом. Метод решения: введение новой переменной и приведение к алгебраическим

§ 5 Вид: степени логарифма. Одно основание - разные выражения под логарифмом. Метод решение: введение новой переменной и сведение к алгебраическим

§6 . Вид: степени логарифма. Разные основания логарифмов. Метод решения: переход к логарифмам одного основания с использованием формулы перехода от логарифма одного основания к логарифму другого

§ 7. Логарифмические уравнения с применением тригонометрии

§ 8. Показательно-логарифмические уравнения

§ 9. Системы уравнений

III. Заключение

Заключение

Литература

Введение

В данной курсовой работе будут рассмотрены свойства, графики тождественные преобразования, примеры решений уравнений и систем уравнений логарифмической функции

Первая глава рассматривает непосредственно саму логарифмическую функцию, её основные свойства, используемые при тождественных преобразованиях, а так же будут рассмотрены примеры тождественных преобразований на практике.

Вторая глава - решение уравнений с использованием тождественных преобразований логарифмической функции, а так же несколько видов решений уравнений, которые станут хорошей опорой при решении всех логарифмических задач, для учителя и учеников при подготовке к ЕГЭ.

Анализ результатов экзамена позволил выделить проблемы в обучении математике, которые явно проявляются при сдаче ЕГЭ выпускниками, которые продемонстрировали «удовлетворительный» уровень математической подготовки.

1. Выделяются разделы, темы, вопросы, усвоение которых вызывает серьезные затруднения учащихся. Они допускают грубые ошибки при выполнении заданий базового уровня сложности по следующим темам:

-преобразование логарифмических выражений;

- решение логарифмических неравенств с основанием 0 < a < 1.

2. Анализ ответов на задания базового уровня сложности выявил, что учащимися не усвоены стандартные алгоритмы выполнения изученных преобразований, основных методов решения уравнений и неравенств, элементарных методов исследования свойств функций. Так, например, допускаются следующие ошибки в преобразовании разности логарифмов в логарифм частного: до 25% участников - экзамена пишут в ответе логарифм разности, до 10% - разность чисел, стоящих под знаком логарифма, до 15% - частное чисел, стоящих под знаком логарифма уменьшаемого и вычитаемого.

При решении простейших логарифмических неравенств положение еще более плачевное. Около трети учащихся не учитывают область определения логарифма, еще треть учащихся не меняют знак неравенства на противоположный, когда основание логарифма 0 < a < 1.

3. Очень небольшой процент участников экзамена, получивших оценку «З», справляется только с отдельными заданиями повышенного уровня сложности. Обычно для решения таких задач нужно применить не одну формулу или одно свойство, а две формулы или два свойства или применить изученные знания (формулы, свойства) в несколько измененной ситуации.

С описанными заданиями повышенного уровня сложности справляются лишь около половины выпускников, получившие оценку «4». Им оказывается под силу лишь те задания, где требуется выполнить более сложные вычисления или преобразования, но школьные, «хорошисты» испытывают затруднения в тех заданиях, где нужно изменить стандартный алгоритм решения, согласуясь с данными задачи. Так, при нахождении наибольшего и наименьшего значений сложной функции на заданном отрезке (например, «Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями функции Анализ результатов экзамена позволил выделить проблемы в обучении математике, которые явно проявляются при сдаче ЕГЭ выпускниками, которые продемонстрировали «удовлетворительный» уровень математической подготовки.

Немного из истории

Логарифмы были придуманы для ускорения и упрощения вычислений. Идея логарифма, т. е. идея выражать числа в виде степени одного и того же основания, принадлежит Михаилу Штифелю. Но во времена Штифеля математика была не столь развита и идея логарифма не нашла своего развития. Логарифмы были изобретены позже, одновременно и независимо друг от друга, шотландским учёным Джоном Непером(1550-1617) и швейцарцем Иобстом Бюрги(1552-1632). Первым опубликовал работу Непер в 1614г. под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов». Теория логарифмов Непера была дана в достаточно полном объёме, способ вычисления логарифмов дан наиболее простой, поэтому заслуги Непера в изобретении логарифмов больше, чем у Бюрги. Бюрги работал над таблицами одновременно с Непером, но долгое время держал их в секрете и опубликовал лишь в 1620г. Идеей логарифма Непер овладел около1594г., хотя таблицы опубликовал через 20 лет. Вначале он называл свои логарифмы «искусственными числами» и уже потом предложил эти «искусственные числа» называть одним словом «логарифм», который в переводе с греческого- «соотнесённые числа», взятые одно из арифметической прогресси, а другое из специально подобранной к ней геометрической прогресси. Первые таблицы на русском языке были изданы в 1703г. при участии замечательного педагога 18 в. Л. Ф Магницкого. В развитии теории логарифмов большое значение имели работы петербургского академика Леонарда Эйлера. Он первым стал рассматривать логарифмирование как действие, обратное возведению в степень, он ввёл в употребление термины «основание логарифма» и «мантисса» Бригс составил таблицы логарифмов с основанием 10. Десятичные таблицы более удобны для практического употребления, теория их проще, чем у логарифмов Непера. Поэтому десятичные логарифмы иногда называют бригсовыми. Термин «характеристика» ввёл Бригс.

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) - собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата - "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении") - со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово "алгебра", а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

I. Логарифмические тождества

§1 Логарифм

Определение 1. Логарифмом положительного числа b по положительному и не равному единице основанию a называется показатель степени, в которую нужно возвести основание a, чтобы получить число b:

.

Примеры:

; .

Определение 2. Десятичным логарифмом называется логарифм по основанию десять:

.

Примеры:

lg10 = 1;

lg100 = 2, так как 102 = 100;

.

Определение 3. Основанием натуральных логарифмов называется число e, определенное замечательным пределом



или производной

.

Замечательное число e для математического анализа имеет такое же значение, как число для геометрии. Основание натуральных логарифмов - число иррациональное и равно e = 2,71...

Определение 4. Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию натуральных логарифмов:

lnb = logeb.

Примеры:

lne = 1;

lne2 = 2.

Определение 5. Логарифм по любому допустимому основанию от этого же числа равен единице:

или .

§ 2. Свойства логарифмов

При любом и любых положительных х и у выполняются следующие свойства:

1. Логарифм единицы по основанию а равен нулю:

loga1 = 0 или 0 = loga1

2. Логарифм а по основанию а равен 1:

logaa =1 или 1 = logaa

3. Логарифм произведения равен сумме логарифмов:

loga(xy) = logaх + logaу или logaх + logaу = loga(xy).

4. Логарифм частного равен разности логарифмов:

loga = logaх - logaу или logaх - logaу = loga.

5. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени:

или .

для любого действительного числа р.

6. Формула перехода от одного основания логарифма к другому основанию:

.

Следствие из формулы перехода:

.

Первое свойства логарифмов следуют из определения логарифма и свойства степени с показателем 0 и 1: а0 = 1, значит, loga1= 0; а1 = а, значит, logaa = 1.

Докажем свойство 3. Воспользуемся основным логарифмическим тождеством () и свойством показательной функции (aх + у = аx аy).

Имеем

.

Отсюда следует, что loga(xy) = logax + logay.

Докажем свойство 4. Вновь воспользуемся основным логарифмическим тождеством

,

следовательно, .

Докажем свойство 5. Воспользуемся тождеством , откуда (использовано свойство возведения в степень). Логарифмируя полученное равенство, имеем .

Докажем формулу перехода к другому основанию.

Воспользуемся основным логарифмическим тожеством ():

;

применяя свойство логарифмирования степени (), получим

.

Разделив обе части равенства на logba, имеем .

§ 3 Логарифмическая функция, её свойства и график

Определение. Логарифмической функцией называется функция вида у = logax, где а -- заданное число, а > 0, .

Свойства логарифмической функции:

1. Областью определения логарифмической функции являются все положительные действительные числа: .

Это следует из определения логарифма числа b по основанию а:

logab имеет смысл, если b > 0.

2. Множеством значений логарифмической функции являются все действительные числа: .

Пусть у0 -- произвольное действительное число. Покажем, что найдется такое положительное значение аргумента x0, что выполняется равенство у0 = logax0. По определению логарифма числа имеем: . Мы показали, что нашлось значение x0>0, при котором значение логарифмической функции равно y0 (y0 -- произвольное действительное число).

3. Логарифмическая функция обращается в нуль при х = 1.

Решим уравнение logaх = 0. По определению логарифма получаем: а0 = х, т. е. х=1.

4. а) Логарифмическая функция у = logaх возрастает на всей области определения, если а > 1.

Докажем, что большему значению аргумента (x2 > x1) соответствует большее значение функции (logax2 > logax1), если a > 1. Пусть x2 > x1 > 0; тогда, используя основное логарифмическое тождество, запишем это неравенство в виде

. (1)

В неравенстве (1) сравниваются два значения показательной функции. Поскольку при а > 1 показательная функция возрастает, большее значение функции может быть только при большем значении аргумента, т. е. logax2 > logax1.

б) Логарифмическая функция у = logaх убывает на всей области определения, если 0<а<1.

Свойство б) доказывается аналогично.

5. Логарифмическая функция у = logaх:

а) при а > 1 принимает положительные значения, если х > 1; отрицательные значения, если 0 < х < 1.

б) при 0 < а < 1 принимает положительные значения, если 0 < х < 1, и отрицательные значения. если х > 1.

Пусть а > 1, тогда функция у = logaх возрастает на всей области определения (рис.2); причем loga1=0.

Из этого следует, что: для х > 1, logax > loga1, т. е. logax > 0;

для 0 < х < 1, logax < loga1, т. е. logax < 0.

Пусть 0 < а < 1; тогда функция у = logaх убывает на всей области определения (рис.2); причем loga1 = 0.

Из этого следует, что: для х > 1, logax < loga1, т. е. logax < 0;

для 0 < х < 1, logax > loga1, т. е. logax > 0.

6. Логарифмическая функция непрерывна на всей области определения.



§4. Тождественные преобразования логарифмических выражений на практике

Задание 1.

Вычислите:

1.1) ;

1.2) ;

1.3) .

Решение:

1.1) ;

1.2)

;

1.3)

.

Ответ: ; ; .

Задание 2.

Найдите значение выражения:

3.1) ;

3.2) ;

3.3) ;

3.4).

Решение:

3.1) ;

3.2) ;

3.3) ;

3.4)

.

Ответ: ; ; ; .

Задание 3.

Прологарифмируйте по основанию выражение:

4.1) при ;

4.2) при , , .

Решение:

4.1)

;

4.2)

.

Ответ: ; .

Задание 4.

Найдите , если:

5.1) ;

5.2) .

Решение:

5.1)

;

5.2)

. Ответ: ; .

Задание 5.

Известно, что . Найти .

Решение:

.

Ответ: .

II. Логарифмические уравнения

§1. Простейшие логарифмические уравнения

Определение 1

Логарифмическим уравнением (неравенством) называется уравнение (неравенство), содержащее переменную под знаком логарифма и (или) в основании логарифма.

Пример: .

Определение 2. Простейшим логарифмическим уравнением называется уравнение вида

Пример: .

Теорема. Простейшее логарифмическое уравнение решается потенцированием:

Доказательство

Потенцируя обе части уравнения по основанию a и используя основное логарифмическое тождество, получаем:

что и требовалось доказать.

Решить уравнение .

Решение

Тип: простейшее логарифмическое уравнение.

Метод: потенцирование.

. Ответ: x = 32.

Определение 2. Простейшим логарифмическим уравнением с одинаковыми основаниями логарифмов называется уравнение вида:

,

где a - заданное число.

Замечание. Уравнение вида не является простейшим логарифмическим уравнением. Однако его можно привести к простейшему логарифмическому уравнению:

Чтобы не делать каждый раз этого преобразования, мы в дальнейшем, уравнение вида будем называть простейшим логарифмическим уравнением с одинаковыми основаниями логарифмов. (Если говорить боле строго, такое уравнение следует называть обобщенным простейшим логарифмическим уравнением.)

Пример: .

Теорема. Если два логарифма с одинаковыми основаниями равны, то равны и выражения под знаком логарифма:



Доказательство

Потенцируя обе части уравнения по основанию a и используя основное тождество логарифмов, получаем:

что и требовалось доказать.

Решить уравнение .

Решение

Это уравнение равносильно системе:

.

Ответ: x = 2.

§2 Вид: простейшие логарифмические уравнения. Метод решения: по определению логарифма. Логарифмо-показательные уравнения

Пример 1. Решите уравнение .

Решение:

Область допустимых значений - множество всех действительных чисел, так как при всех .

По определению логарифма имеем . Получим показательное уравнение, которое решим методом приведения к алгебраическому.

Пусть , получим уравнение , . - не удовлетворяет условию и является посторонним.

.

Ответ: .

Пример2. Решите уравнение .

Решение

Область допустимых значений - множество всех действительных чисел, так как при всех .

Преобразуем уравнение: .

По определению логарифма имеем . Получим показательное уравнение, которое решим методом приведения к алгебраическому.Пусть , получим уравнение

. - не удовлетворяет условию и является посторонним.

.

Ответ: .

Пример 7. Решить уравнение .

Решение:

Область допустимых значений: .

Преобразуем уравнение:

.

Пусть , тогда получим систему:

, .

Ответ: 1.

Определение 2. Простейшим логарифмическим уравнением с переменным основанием логарифма называется уравнение вида:

,

где g(x) - параметр или функция переменной x.

Пример: .

Определение 3. Простейшим логарифмическим уравнением с одинаковыми переменными основаниями логарифмов называется уравнение вида:

,

где g(x) - параметр или функция переменной x.

Замечание. Уравнение вида не является простейшим логарифмическим уравнением. Однако его можно привести к простейшему логарифмическому уравнению:

Чтобы не делать каждый раз этого преобразования мы в дальнейшем уравнение вида будем называть простейшим логарифмическим уравнением с одинаковыми основаниями логарифмов.

Пример 8. Решите уравнение .

Решение

Область допустимых значений:

По определению логарифма имеем , , , .

Проверим, входят ли полученные значения в область допустимых значений.

При , получим система не выполняется, значит, не является корнем уравнения.

При , получим система выполняется, значит, является корнем уравнения.

Ответ: 3.

Пример 9. Решите уравнение .

Решение

Область допустимых значений:

По определению логарифма имеем:

, , , .

Проверим, входят ли полученные значения в область допустимых значений.

При , получим система не выполняется, значит, не является корнем уравнения.

При , получим система выполняется, значит, является корнем уравнения.

Ответ: 3.

Пример 10. Решите уравнение .

Решение

Область допустимых значений:

.

Преобразуем уравнение:

.

не входит в область допустимых значений и является посторонним корнем.

- входит в область допустимых значений

Ответ: 1.

Пример 11. Решите уравнение .

Решение

Область допустимых значений:

.

По определению логарифма, имеем: , . входит в область допустимых значений, .

Ответ:.

Пример 12. Решите уравнение .

Решение

Область допустимых значений:

Рис. 1

По определению логарифма, имеем:

.

не входит в область допустимых значений и являются посторонними корнями. Остается один корень: .

Проверим значение x = 1, при котором основание обращается в 1, получим:

- равенство не выполняется. x = 1 не удовлетворяет уравнению.

Ответ: 6.

Пример 13. Решите уравнение .

Решение

Область допустимых значений:

Рис. 2

Получим объединение промежутков: .

По определению логарифма, имеем:

.

не входит в область допустимых значений и являются посторонними корнями. Остается один корень: .

Ответ: .

§ 3. Вид: уравнения, содержащие суммы и разности логарифмов, умножение логарифма на число. Метод решения: применение свойств логарифмов

Для решения уравнений вида:

, (1)

, (2)

, (3)

используются формулы

logaх + logaу = loga(xy), (4)

logaх - logaу = loga,. (5)

, (6)

которые приводят уравнения к следующим:

, (7)

, (8)

. (9)

Дальнейшее решение полученных уравнений выполняется как простейших, т. е. приводятся к одной из следующих трех систем:

(10)

(11)

(12)

Замечание. Если при решении уравнения с помощью формул (4) - (6) производятся преобразования вида , где p - четное число, то возникает опасность потери корней заданного уравнения. Чтобы предотвратить возможную потерю корней, надо пользоваться указанными формулами в таком виде:

,

, где p - четное число.

Пример 14. Решите уравнение .

Решение

Область допустимых значений:

Рис. 4

Получим промежуток .

Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов:

,

.

- не входит в область допустимых значений и является посторонним корнем.

Ответ: 5.

Пример15. Решите уравнение

Решение

Область допустимых значений:

Показательная и логарифмическая функции с основанием 3 являются возрастающими, тогда получим:

.

Преобразуем уравнение:

Положим , получим систему:

.

- этот корень входит в область допустимых значений.

Проверка

При уравнение примет вид :

, значит,

удовлетворяет уравнению.

Ответ: .

Пример 16. Решите уравнение .

Решение

Область допустимых значений:

.

Получим промежуток .

Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов:

.

- не входит в область допустимых значений и является посторонним корнем; .

Ответ: 1.

Пример 17. Решите уравнение

.

Решение

Область допустимых значений:

.

Получим промежуток .

Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов:

.

- не входит в область допустимых значений и является посторонним корнем; .

Ответ: 2.

Пример 18. Решите уравнение

.

Решение

Область допустимых значений:

Получим промежуток .

Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов:

,

,

.

- не входит в область допустимых значений и является посторонним корнем.

Ответ: 1.

Пример 19. Решите уравнение .

Решение

Область допустимых значений:

.

Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов:

.

логарифмический функция уравнение основание

- не входит в область допустимых значений и является посторонним корнем; .

Ответ: 8.

Пример 20. Решите уравнение .

Решение

Область допустимых значений: .

Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов:

, .

Это уравнение равносильно совокупности двух систем:

(1) решений нет.

(2) .

Ответ: 4.

§4. Вид: степени логарифма. Одно основание - одно выражение под логарифмом. Метод решение: введение новой переменной и приведение к алгебраическим

Пример 21. Решите уравнение .

Решение

Найдем область допустимых значений из системы неравенств:

.

Преобразуем уравнение: .

По определению логарифма будем иметь: .

Пусть , тогда получим квадратное уравнение:

.

Первый корень, не удовлетворяет условию y > 0 и является посторонним.

.

x = 1 - входит в область допустимых значений.

Проверка

При x = 1 уравнение примет вид: , , значит, является корнем уравнения.

Ответ: 1.

Пример 22. Решите уравнение .

Решение

Область допустимых значений: x > 0.

Пусть , получим уравнение

,

. ;

.

Ответ: 0,001; 0,1; 10; 1000.

Пример 23. Решите уравнение .

Решение

Область допустимых значений: x > 0.

Преобразуем уравнение: .

Пусть , получим уравнение .

.

Ответ: .

§5. Вид: степени логарифма. Одно основание - разные выражения под логарифмом. Метод решение: введение новой переменной и сведение к алгебраическим

Пример 24. Решите уравнение .

Решение

Область допустимых значений: x > 0.

Преобразуем уравнение: .

Пусть , получим уравнение .

.

Ответ: 2; 8.

Пример 25. Решите уравнение .

Решение

Область допустимых значений: x > 0.

Преобразуем уравнение: .

Пусть , получим уравнение

, .

.

Ответ: ; 30.

Пример 26. Решите уравнение .

Решение

Область допустимых значений: x > 0.

Преобразуем уравнение: .

Пусть , получим уравнение

, .

.

Ответ: ; 10.

Пример 27. Решите уравнение .

Решение

Область допустимых значений: x > 0.

Преобразуем уравнение:

.

.

Пусть , получим уравнение

, . .

Ответ: 1; 4; 8.

§6 Вид: степени логарифма. Разные основания логарифмов. Метод решение: переход к логарифмам одного основания с использованием формулы перехода от логарифма одного основания к логарифмам другого

Пример 28. Решите уравнение .

Решение

Область допустимых значений: x > 0.

Перейдем в каждом логарифме к основанию 3, применяя формулу перехода:

.

Ответ: 27.

Пример29. Решить уравнение .

Решение

Область допустимых значений:

Преобразуем уравнение. Перейдем к логарифмам по основанию 9, получим:

.

Пусть , тогда получим уравнение

,

.

. Оба корня входят в область допустимых значений и являются решениями уравнения.

Ответ: ; 3.

Пример 30. Решите уравнение .

Решение

Область допустимых значений:

.

Пусть . Перейдем в каждом логарифме к основанию x, получим:

,

, корней нет.

При x = 1 получим , значит x = 1 - корень уравнения.

Ответ: 1.

Пример 31. Решите уравнение .

Решение

Область допустимых значений: .

Перейдем в логарифме к основанию 3, получим: .

Уравнение примет вид: . Пусть , получим уравнение:

. .

При x = 1 получим , значит, x = 1 не является корнем уравнения.

Ответ: ; 9.

Пример 32. Решите уравнение .

Решение

Область допустимых значений:



Рис. 5

Получаем область допустимых значений: .

Преобразуем уравнение. Перейдем во втором логарифме к основанию 3, получим:

перейдем во втором логарифме к логарифмам по основанию 2, получим

,

.

Оба корня входят в область допустимых значений:

.

Ответ: -5; 5.

Пример 33. Решите уравнение

Решение

Выражение, находящееся в основании логарифмической функции, должно быть положительным кроме того, необходимо проверить, может ли принимать значение, равное 1.

При получаем тогда логарифм по основанию 1 становится неопределенным значит

Получим систему неравенств

Преобразуем уравнение

- не входит в область допустимых значений и не является корнем уравнения, входит в область допустимых значений.

Ответ: 3.

Пример 34. Решите уравнение

Решение

Область допустимых значений переменной. Переменная под знаком логарифма должна быть положительной x > 0 (область определения логарифмической функции множество положительных действительных чисел).

В данном уравнении переменная находится в основании логарифма, значит необходимо установить, будет ли являться решением уравнения значение

x = 1.

При x = 1 получим: значит

Окончательно находим область допустимых значений переменной для данного уравнения:

Преобразуем уравнение:

Положим тогда получим:

Проверка

При получим: значит, - корень уравнения.

При получим: значит является корнем уравнения. Ответ: , 5.

§7. Логарифмические уравнения с применением тригонометрии

Пример 35. Решите уравнение

.

Решение

Найдем область допустимых значений:

Рис. 6

Решением системы неравенств является объединение промежутков:

и , или .

По свойству логарифмической функции, получим:

.

Поскольку , что следует из области допустимых значений, значит,

.

Найдем значения x, входящие в область допустимых значений, т. е. в промежутки и .

Для этого разобьем полученное множество корней на две группы с и найдем значения n, при которых x, входят в указанные промежутки.

Из .

Для первой группы корней и первого промежутка, находим:

, n = 0,

значит . Для первой группы корней и второго промежутка, находим:

,

целых значений для n нет, значит, на этом промежутке нет корней из первой группы.

Для второй группы корней и первого промежутка:

,

здесь также целых значений n нет, значит, корней нет.

Для второй группы корней и второго промежутка:

-

это неравенство выполняется только для одного целого значения n = 1, получаем еще один корень .

Ответ: , .

Пример 36. Решите уравнение

.

Решение

Найдем область допустимых значений:



Областью значений будет являться объединение промежутков:

или

.

По свойству логарифмической функции получим:

.

Из области допустимых значений известно, что , тогда получим:

.

Эту запись можно представить в виде двух множеств корней:

.

Остается определить, при каких целых значениях n корни будут входить в промежутки из области допустимых значений:

.

Исследуем первую группу корней .

На первом промежутке: .

Целых значений n на этом промежутке нет.

На втором промежутке: .

Целых значений нет и на этом промежутке.

На третьем промежутке: ,

.

Получаем одно целое значение n = 1. Тогда, .

Исследуем вторую группу корней .

На первом промежутке: , получаем одно целое значение n = 0. .

На втором промежутке: - целых значений n на этом промежутке нет.

На третьем промежутке:

.

Целых значений n нет.

Ответ: , .

Пример 37. Решите уравнение

.

Решение

Область допустимых значений:



Рис. 8

Областью допустимых значений является объединение промежутков:

или

.

По свойству логарифмической функции получаем: ,

.

Из области допустимых значений известно, что , значит,

.

Установим, какие значения из первой группы корней входят в промежутки из области допустимых значений.

Рассмотрим первый промежуток

- целых значений n не принимает.

На втором промежутке

- целых значений n нет.

Установим, какие значения из второй группы корней входят в промежутки из области допустимых значений.

На первом промежутке:

- целых значений n нет.

На втором промежутке:

- на этом промежутке, также нет целых значений n.

Значит, ни при каких целых значениях n не найдутся значения x, которые удовлетворяют области допустимых значений.

Ответ: корней нет.

§8. Показательно-логарифмические уравнения

Пример 38. Решите уравнение

Решение

Область допустимых значений: или

.

Применим основное логарифмическое тождество. Для этого преобразуем уравнение:

, .

Ответ: 3.

Пример 39. Решить уравнение .

Решение

Область допустимых значений: x + 1 > 0x > -1, .

Преобразуем уравнение:

.

Пусть , получим систему:

.

Получим совокупность уравнений:

Ответ: 0; 4.

Пример 40. Решить уравнение .

Решение

Область допустимых значений .

Так как переменная находится в основании степени, то надо проверить значение x=1.

При этом значении, получим: , значит .

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 4, получим:

.

Пусть , получим .

Ответ: 2; 64.

Пример 41. Решить уравнение .

Решение

Область допустимых значений: x > 0. Проверим x = 1, получим:

, значит x = 1 является корнем уравнения.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3, получим:



Все три значения переменной входят в область допустимых значений и являются корнями уравнения.

Ответ: .

Пример 42. Решить уравнение .

Решение

Область допустимых значений:

.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3, получим:

.

входит в область допустимых значений и является корнем уравнения,

не входит в область допустимых значений.Ответ: .

§9. Системы уравнений

Пример43 . Решить систему уравнений

Решение

Преобразуем второе уравнение систему, применяя определение логарифма и учитывая, что выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

Ответ: .

Пример 44. Решить систему уравнений:

Решение

Преобразуем второе уравнение систему, применяя определение логарифма и учитывая, что выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

Ответ:.

Пример 45. Решить уравнение

Решение

Преобразуем систему уравнений:

Пусть , тогда первое уравнение примет вид:

.

Получим совокупность уравнений:

Получим совокупность двух систем:

(1) и (2)

Решим систему (1). Положим , получим систему:

(1) система не имеет решений.

Решим систему (2). Положим , получим систему уравнений:

(2) .

.

Ответ: .

§ 10 . Разные уравнения

Пример 46. Решите уравнение

Решение

Область допустимых значений переменной найдем из решения системы неравенств (рис. 23):



Рис. 23

Отсюда получаем или

Преобразуем уравнение:

так как, из области допустимых значений следует, что x > 1, то а значит числитель и знаменатель дроби можно разделить на x + 1, получим уравнение:

При Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:

не входит в область допустимых значений и не является корнем уравнения, - это посторонний корень.

входит в область допустимых значений и может быть корнем уравнения. Чтобы точно установить это, выполним проверку.

Проверка

значит x = 3 является корнем уравнения.

Упражнения

Решите уравнения:

47. . 48. .

49. . 50. .

51. . 52. .

53. . 54. .

Ответы

47. . 63. -3. 48. . 49. . 50. 8. 51. . 52. -4. 53. . 54. ; 4.

Решения и указания

50. . Несмотря на то, что область допустимых значений этого уравнения не была найдена, равносильность преобразования не нарушалась, и полученный ответ принадлежит О. Д. З.

§11 Логарифмические неравенства

Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании называется логарифмическим неравенством. В процессе решения логарифмических неравенств часто используются следующие утверждения относительно равносильности неравенств и учитываются свойства монотонности логарифмической функции.

Утверждение 1. Если a > 1, то неравенство loga f(x) > loga g(x) равносильно системе неравенств

f(x) > g(x),

g(x) > 0.

Утверждение 2. Если 0 < a < 1, то неравенство loga f(x) > loga g(x) равносильно системе неравенств

f(x) < g(x),

f(x) > 0.

Утверждение 3. Неравенство logh(x) f(x) > logh(x) g(x) равносильно совокупности систем неравенств

h(x) > 1,

f(x) > g(x) > 0,

0 < h(x) < 1,

0 < f(x) < g(x).

Подчеркнем, что в неравенстве loga f(x) > loga g(x) вместо знака > может фигурировать любой из знаков ? , < , ? . В этом случае утверждения 1-3 соответственно преобразуются.

Пример 1. Решить неравенства

a) log3(x2 - x) ? log3(x + 8);

b)

c)

Решение. a) Используя утверждение 1 , получим

log3(x2 - x) ? log3(x + 8) x2 - x ? x + 8, x2 - 2x - 8 ? 0,

x+8 > 0, x > -8,

x ? -2,

x ? 4, x (-8;-2][4;+?).

x > -8,

b) Основание логарифма число между нулем и единицей, поэтому, используя утверждение 2, получим



c) Запишем 0 = log21 и, используя утверждение 1, получим

Запишем и, используя утверждение 2, получим

Заключение

В данной работе была кратко приведена основная теоретическая информация, необходимая для решения логарифмических уравнений и неравенств. Помимо этого, были рассмотрены некоторые общие приемы решения и приведены примеры решения. Следует отметить, что решение логарифмических уравнений и неравенств часто вызывает затруднения у школьников при подготовке к Единому государственному экзамену по математике. Это, в свою очередь, требует повышенного внимания к данной теме.

Логарифмические неравенства встречаются учащимся как при решений заданий части В (как правило, это простейшие логарифмические неравенства), так и при решении заданий уровня повышенной сложности, встречающихся в части С. В последнем случае, задания требуют от учащихся уверенных навыков решения логарифмических неравенств, и наиболее рационально подходить к решению этих заданий в рамках функционального метода решения логарифмических неравенств.

Итак, что нужно для того, чтобы решать логарифмические уравнения и неравенства?

Во-первых, внимание. Не допускайте ошибок в проводимых преобразованиях. Следите за тем, чтобы каждое ваше действие не расширяло и не сужало область допустимых значений неравенства, то есть не приводило ни к потере, ни к приобретению посторонних решений.

Во-вторых, умение мыслить логически. Составители ЕГЭ по математике заданиями C3 проверяют умение учащихся оперировать такими понятиями, как система неравенств (пересечение множеств), совокупность неравенств (объедение множеств), осуществлять отбор решений неравенства, руководствуясь его областью допустимых значений.

В-третьих, четкое знание свойств всех элементарных функций (степенных, рациональных, показательных, логарифмических, тригонометрических), изучаемых в школьном курсе математики и понимание их смысла.

Математика, как и любая другая наука не стоит на месте, вместе с развитием общества меняются и взгляды людей, возникают новые мысли и идеи. И XX век не стал в этом смысле исключением. Появление компьютеров внесло свои корректировки в способы решения уравнений и значительно их облегчило. Но компьютер не всегда может быть под рукой (экзамен, контрольная), поэтому знание хотя бы самых главных способов решения уравнений необходимо знать. Использование уравнений в повседневной жизни - редкость. Они нашли свое применение во многих отраслях хозяйства и практически во всех новейших технологиях.

Литература

1. Багманов А. Т., Иванов Л. А., Толстых И. В. Математика. Избранные задачи. Абитуриенту - 2002 для самостоятельной работы. - СПб. Из-во СПбГТУ, 2002. 150 с.

2. Виленкин Н. Я., О. С. Ивашев-Мусатов. и. Шварцбурд “Алгебра и математический анализ” для 11 класса, учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики, Москва “Просвещение”, 1993 г.

3. Гальперин Г. А., А. К. Толпыго “Московские математические материалы”, под ред. А. Н. Колмогорова, Москва “Просвещение”, 1986 г.

4. Доброва О. Н. “Задания по алгебре и математическому анализу”, Москва “Просвещение”, 1996 г.

5. Егорова А. А. “Практикум абитуриента”. Алгебра и тригонометрия. Приложение к журналу “Квант”, 3, 1995 г., Москва, 1995 г., бюро “Квантум”.

6. Ивлев Б. М., А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын, С. И. Пиварцбурд “Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа”, Москва “Просвещение”, 1990 г.

7. Ляпин С. Е., И. В. Баранова, С. Г. Борчугова “Сборник задач по элементарной алгебре”, Москва “Просвещение”, 1973 г.

8. Потапов М. К., С. Н. Олехник, Ю. В. Нестеренко “Математика для абитуриента”, Москва, НТЦ “Университетский”, 1994.

9. Журналы “Квант”, 1/1972, 3/1975, 4/1975, 7/1976, 5/1987, 6/1987, 1/1990, 2/1991, 3/1991, 5/1991, 1/1995, 2/1995, 3/1995.

10. Журналы “Математика в школе”, 3/1991, 1/1992, 1, 2, 3, 4, 5, 6/1993.

Размещено на Allbest.ru