Исследование и логическое проектирование конечного частично определенного автомата

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Уфимский государственный авиационный технический университет

филиал в городе Ишимбай

Кафедра физики и математики

Курсовая работа

по математическим основам дискретно-логических систем

«Исследование и логическое проектирование конечного частично определенного автомата»

Вариант 54

Ишимбай 2009г.

Индивидуальные задания

Выполнить исследование и логическое проектирование конечного частично определенного автомата по данным, приведенным в таблицах 1-4. Для этого по соответствующему варианту:

1) составить таблицу поведения автомата и нарисовать граф;

2) найти систему булевых функций для возбуждения триггеров (JK для четных вариантов и Т - для нечётных), реализующих функции y;

3) определить булеву функцию для реализации функции j;

4) составить логическую схему автомата, используя комбинационные автоматы и триггеры.

Введение

Автоматом называется дискретный преобразователь информации, способный принимать различные состояния, переходить под воздействием входных сигналов из одного состояния в другое и выдавать выходные сигналы.

Если множество состояний автомата, а так же множества входных и выходных сигналов конечны, то автомат называется конечным автоматом.

Существуют различные варианты задания конечного автомата. Например, конечный автомат может быть задан с помощью пяти параметров

где: Q -- конечное множество состояний автомата;

q₀ -- начальное состояние автомата ();

F -- множество заключительных (или допускающих) состояний, таких что ;

? -- допустимый входной алфавит (конечное множество допустимых входных символов), из которого формируются строки, считываемые автоматом;

? -- заданное отображение множества во множество подмножеств Q

(иногда ? называют функцией переходов автомата).

Автомат начинает работу в состоянии q₀, считывая по одному символу входной строки. Считанный символ переводит автомат в новое состояние из Q в соответствии с функцией переходов. Если по завершении считывания входного слова (цепочки символов) автомат оказывается в одном из допускающих состояний, то слово «принимается» автоматом. В этом случае говорят, что оно принадлежит языку данного автомата. В противном случае слово «отвергается».

Конечные автоматы подразделяются на детерминированные и недетерминированные:

- детерминированным конечным автоматом (ДКА) называется такой автомат, в котором для каждой последовательности входных символов существует лишь одно состояние, в которое автомат может перейти из текущего.

- недетерминированный конечный автомат (НКА) является обобщением детерминированного. Недетерминированность автоматов достигается двумя способами:

1) существуют переходы, помеченные пустой цепочкой ?;

2) из одного состояния выходит несколько переходов, помеченных одним и тем же символом.

Одна из областей эффективного использования конечного автомата (КА) - разработка игровых программ. Другая предметная область - системы управления и/или функционирования в реальном времени. В этих областях в полной мере присутствуют элементы, которые сложно реализовать при обычных подходах. Это - параллельный характер работы составных частей системы, их синхронизация в реальном времени. В таких областях обычно применяются специализированные системы проектирования. В их основу положена, примененная и в КА-технологии, концепция микроядра, которое реализует параллельные механизмы среды функционирования.

Конечные автоматы актуальны сейчас и останутся актуальными впредь, так как широко применяются очень во многих областях. Они содержатся, например, в каждом компиляторе. Существует обширная и хорошо разработанная теория автоматов, которая опять же используется каким-либо боком практически во всех областях теоретической информатики.

Идея применения конечных автоматов является чрезвычайно полезной концепцией, плодотворность которой прошла проверку временем. Использование конечных автоматов позволяет разработчикам создавать хорошо организованные приложения с гибкими возможностями. Их применение позволяет создавать ясный, понятный и надежно функционирующий код.

Использование конечных автоматов стало уже обычной практикой при проектировании приложений для настольных компьютеров, серверов и мобильных устройств.

Преимущества, обеспечиваемые применением конечных автоматов, заметнее всего проявляются в случае приложений для мобильных устройств, требующих экономного расходования экранного пространства, памяти, вычислительной мощности и других ресурсов.

Постановка задачи

Для выполнения данной курсовой работы необходимо выполнить несколько следующих этапов:

1. Составить таблицу поведения автомата

Эта таблица составляется с помощью начальных данных, заданных в форме фрагментов четырех таблиц с соответствующим вариантом.

2. Нарисовать граф

Граф рисуется по результатам, полученным из таблицы поведения. Но, чтобы не перегружать рисунок графа многочисленными переходами, можно разбить его на фрагменты. Количество фрагментов должно совпадать с количеством состояний. Затем, нужно построить таблицу соединений, с помощью которых сигнал переходит из одного состояния в другое.

3. Произвести кодирование данных

Необходимо произвести двоичное кодирование всех элементов, т.е. следует закодировать состояния и символы входного алфавита. Учитывая это кодирование, записать таблицу поведения в кодах.

4. Найти систему булевых функций для возбуждения JK-триггеров, реализующих функции ?

Составляем таблицу по данным таблицы поведения в кодах и схемы работы JK-триггера. По полученным в ней значениям записываем функции U_Ji и U_Ki, которые необходимо будет максимально упростить (склеить). Так же следует найти одинаковые элементы (конъюнкты или дизъюнкты) в различных формулах U_Ji и U_Ki.

5. Определить булеву функцию для реализации функции ?

Составляется таблица, в которую вносятся символы выходного алфавита из таблицы поведения автомата. По ней записывается формула для функции у, которую так же необходимо упростить (склеить).

6. Составить логическую схему автомата, используя комбинационные автоматы и JK-триггеры

Необходимо составить две схемы: первая формирует функцию ? на JK-триггерах, вторая - формирует функцию ?. В них должны использоваться следующие элементы: конъюнкты, дизъюнкты и триггеры. Количество конъюнктов для первой схемы не должно превышать 25 штук.

После их выполнения необходимо будет провести проверку результатов путем частичной трассировки автомата.

1. Построение таблицы поведения

Такая таблица состоит из строк - текущих состояний q₁, q₂, …, q₁₂ и столбцов - символов входного алфавита x₁, x₂, x₃, x₄. В ячейки данной таблице записывают по два значения через дробь: первое значение - это значение очередных состояний автомата , в которые он переходит для каждой пары ; второе значение - это значения символов выходного алфавита , которые генерирует автомат для каждой пары .

Данные в таблицу поведения мы заносим из индивидуального задания по таблицам 1, 2, 3 и 4 в соответствии с нужным вариантом.

Символ (*/*) в ячейках обозначает, что переход из одного состояния в другое и значение символа на выходе из состояния неопределенны.

После таблицы поведения записаны значения, которые при переходе из одного состояния могут применяться для любого другого состояния. И в соответствии с ними следует построение графов.

Таблица 1. Таблица поведения

xi q[?]	x1	x2	x3	x4
q1	q10/*	q12/0	*/0	*/0
q2	q11/*	*/0	*/0	*/0
q3	q12/0	*/0	*/*	*/0
q4	*/0	*/0	q5/1	*/*
q5	*/0	*/*	q6/1	q5/1
q6	*/0	q5/1	q7/1	q6/1
q7	*/*	q6/1	q8/1	q7/1
q8	q5/1	q7/1	q9/*	q8/1
q9	q6/1	q8/1	q10/*	q9/*
q10	q7/1	q9/*	q11/*	q10/*
q11	q8/1	q10/*	q12/0	q11/*
q12	q9/*	q11/*	*/0	q12/0

*/* - не рассматриваем

Таблица 2. Таблица свободных переходов

q1 - (x3/0)v(x4/0)
q2 - (x2/0)v(x3/0) v(x4/0)
q3 - (x2/0)v(x4/0)
q4 - (x1/0)v(x2/0)
q5 - (x1/0)
q6 - (x1/0)
q12 - (x3/0)

2. Построение графа

Выбираем центральное состояние и вокруг него располагаем все остальные. Затем по таблице поведения автомата расставляем переходы (стрелки) из центрального состояния в другие, подписывая их.

Если вместо очередного состояния автомата стоит знак * (например, */1), то данное значение можно использовать для всех недостающих состояний.

По построенным графам составляем таблицу соединений состояний автомата, где строки - это текущее состояние , а столбцы - очередное состояние .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Таблица 3. Таблица соединений

qi q[?]

q1

q2

q3

q4

q5

q6

q7

q8

q9

q10

q11

q12

q1

x1/*

x2/0

q2

x1/*

q3

x1/0

q4

x3/1

q5

x4/1

x3/1

q6

x2/1

x4/1

x3/1

q7

x2/1

x4/1

x3/1

q8

x1/1

x2/1

x4/1

x3/*

q9

x1/1

x2/1

x4/*

x3/*

q10

x1/1

x2/*

x4/*

x3/*

q11

x1/1

x2/*

x4/*

x3/0

q12

x1/*

x2/*

x4/0

3. Кодирование данных

Требуется произвести однозначное двоичное кодирование элементов множеств X, Y, Q. Первоначально для каждого множества требуется определить его мощность, т.е. число элементов. Затем, определить число бит необходимых для однозначного кодирования.

Так как у нас X={x₁, x₂, x₃, x₄}, Y={0,1}, Q={ q₁, q₂, …, q₁₂}, то для Х (т.е. (x₁, x₂)), для Y (т.е.(у)) и для Q (т.е. (q₁, q₂, q₃, q₄)). В соответствии с полученными значениями мы запишем таблицу поведения в кодах. В ячейки данной таблицы вписаны закодированные состояния и значения выходных символов (например, 0110/1), причем символ */* остается неизменным.

Таблица 4

q1	q2	q3	q4	q5	q6	q7	q8	q9	q10	q11	q12
0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011

Таблица 5

x1	x2	x3	x4
00	01	10	11

Таблица 6. Таблица поведения автомата в кодах

	x1	x2	x3	x4
q1	1001/*	1011/0	*/0	*/0
q2	1010/*	*/0	*/0	*/0
q3	1011/0	*/0	*/*	*/0
q4	*/0	*/0	0100/1	*/*
q5	*/0	*/*	0101/1	0100/1
q6	*/0	0100/1	0110/1	0101/1
q7	*/*	0101/1	0111/1	0110/1
q8	0100/1	0110/1	1000/*	0111/1
q9	0101/1	0111/1	1001/*	1000/*
q10	0110/1	1000/*	1010/*	1001/*
q11	0111/1	1001/*	1011/0	1010/*
q12	1000/*	1010/*	*/0	1011/0

4. Нахождение системы булевых функций для возбуждения JK-триггеров, реализующих функции ?

Составляем таблицу, где строки - код состояния, столбцы - код символа входного алфавита. Позициями таблицы являются сигналы на информационном входе соответствующего канала U_JiU_Ki.

При помощи таблицы поведения в кодах и схемы работы JK-триггера заполняем данную таблицу, в которой содержится информация для построения 8 логических функций двух типов: J и K для четырех триггеров.

Затем, запишем формулы для логических функций. Например, рассмотрим функцию U_J1, которая подается на вход триггера. Она содержит 5 единиц и 11 нулей. Выбираем единицы. Если эта единица соответствует кодированному значению (р₁, р₂, р₃, р₄) и (у₁, у₂), то в формулу записываем просто , если же единица не соответствует, то пишем . Данные действия проводим с каждой единицей. В результате получим следующую формулу:

U_J1=

Ищем здесь дизъюнкты, имеющие одно различие. В U_J1 это скобки и ; и , которые различаются только на у₂. Его можно вынести за скобки, т.е. и . Выражение даёт единицу, тогда остается только и . В свою очередь, и эти скобки различаются только на , которое так же можно вынести, и получаем одну скобку вместо четырех .

В итоге получим:

U_J1=

Аналогично рассматриваем каждую из функций U_J и U_K.

Таблица 7. Таблица возбуждения памяти автомата для JK-триггера р₁р₂р₃р₄ y₁y₂ y₁y₂ y₁y₂ y₁y₂

	00	01	10	11
0000	1001 ****	1011 ****	**** ****	**** ****
0001	101* ***1	**** ****	**** ****	**** ****
0010	10*1 **0*	**** ****	**** ****	**** ****
0011	**** ****	**** ****	01** **11	**** ****
0100	**** ****	**** ****	0*01 *0**	0*00 *0**
0101	**** ****	0*0* *0*1	0*1* *0*1	0*0* *0*0
0110	**** ****	0**1 *01*	0**1 *00*	0**0 *00*
0111	0*** *011	0*** *001	1*** *111	0*** *000
1000	*101 1***	*111 1***	*001 0***	*000 0***
1001	*11* 1**1	*00* 0**1	*01* 0**1	*00* 0**0
1010	*1*1 1*0*	*0*1 0*1*	*0*1 0*0*	*0*0 0*0*
1011	*0** 0*11	*0** 0*01	**** ****	*0** 0*00

U_J1===

U_J2==

=

U_J3===

U_J4===

==

U_K1==

U_K2=

U_K3===

U_K4===

5. Определение булевой функции для реализации функции ?

Составляем таблицу из строк - коды состояний автомата и столбцов - код символа входного алфавита. В ячейках таблицы записываются значения символов выходного алфавита.

Данная таблица имеет одинаковое количество единиц и нулей. Здесь были выбраны единицы. Сравниваем единицу с кодированными значениями. Записываем полученную формулу и упрощаем её.

автомат триггер кодирование логический

Таблица 8. Таблица символов выходного алфавита р₁р₂р₃р₄ y₁y₂ y₁y₂ y₁y₂ y₁y₂

xi q[?]	00	01	10	11
0000	*	0	0	0
0001	*	0	0	0
0010	0	0	*	0
0011	0	0	1	*
0100	0	*	1	1
0101	0	1	1	1
0110	*	1	1	1
0111	1	1	*	1
1000	1	1	*	*
1001	1	*	*	*
1010	1	*	0	*
1011	*	*	0	0

y==

6. Составление логической схемы автомата

На основании полученных выражений функций возбуждения элементов памяти и функций выходов автомата можно перейти к построению логических схем. Первая схема формирует функцию ? на JK-триггерах. Вторая схема формирует функцию ?.

При построении схемы используем такие элементы: конъюнкт, дизъюнкт и триггеры. При совпадении нескольких конъюнктов или дизъюнктов, рисуется только один элемент и из него выходит сигнал в нескольких направлениях.

На схеме, формирующей функцию ? на JK-триггерах, введены дополнительные входы триггеров R, S и C. Сигнал, поданный на вход R, обеспечивает принудительный перевод триггеров в состояние «1», на вход S в состояние «0». Сигнал, поданный на вход С, является синхронизирующим для всего автомата.

р₁р₂р₃ р₄ y₁y₂ C S R

Заключение

Для выполнения данной курсовой работы необходимо было выполнить 6 следующих пунктов:

1. Построение таблицы поведения автомата.

2. Построение графа.

3. Кодирование данных.

4. Нахождение системы булевых функций для возбуждения JK-триггеров, реализующих функции ?.

5. Определение булевой функции для реализации функции ?.

6. Составление логической схемы автомата.

Отметим каждый из них и покажем, что они полностью выполнены:

1. Построение таблицы поведения автомата.

Первоначально исходные данные представлены в виде фрагментов четырех таблиц. Объединяя эти данные и транспонируя полученную таблицу, получим таблицу поведения автомата (Таблица 1. Таблица поведения) (стр. 7).

После таблицы поведения и по ее данным построена таблица свободных переходов (Таблица 2. Таблица свободных переходов), которые при переходе из одного состояния могут применяться для любого другого состояния (стр. 8).

Данные таблицы полностью заполнены и проверенны, поэтому данный этап можно считать выполненным.

2. Построение графа.

По данным, взятым из первых двух таблиц (Таблице поведения и Таблице свободных переходов), должен быть построен граф. Но, чтобы не загромождать многочисленными переходами рисунок одного графа, было решено разбить его на фрагменты. Так как у нас дано 12 состояний, т.е. q1,q2,q3,…, q12, то и фрагментов графа перехода получилось тоже 12, каждый со своей вершиной-истоком. Результат построения фрагментов графа перехода можно посмотреть на стр. 8-14.

Затем по данному графу была составлена таблица соединений (стр.15).

3. Кодирование данных.

Для того чтобы продолжить исследование автомата, необходимо было провести кодирование данных, так состояния q1,q2,q3,…, q12 получили следующие коды: 0000, 0001, …, 1011 (Таблица 4), а символы входного алфавита x1, x2, x3, x4 - 00, 01, 10, 11 (Таблица 5). Учитывая эти коды, была записана таблица поведения в кодах (Таблица 6. Таблица поведения автомата в кодах). На этом этап кодирования завершен (стр. 16).

4. Нахождение системы булевых функций для возбуждения JK-триггеров, реализующих функции ?.

По данным таблицы поведения в кодах и схемы работы JK-триггера заполняем новую таблицу (Таблица 7. Таблица возбуждения памяти автомата для JK-триггера).

После заполнения данной таблицы последовало составление формул для логических функций U_Ji и U_Ki. Всего таких формул получилось 8 для четырех триггеров. Эти формулы были предельно упрощены до минимального количества конъюнктов (28 штук). Так же были выявлены одинаковые конъюнкты из разных формул. С учетом этого конечное число конъюнктов составило 24 штуки (стр.17-19).

Данный пункт исследования автомата можно считать выполненным.

5. Определение булевой функции для реализации функции ?.

В ячейки таблицы возбуждения памяти автомата были записаны символы выходного алфавита из таблицы поведения автомата. Так получили новую таблицу (Таблица 8. Таблица символов выходного алфавита). Затем, как и в пункте 6 записали функцию y, состоящую из 16 конъюнктов. Но после ее упрощения (склеивания) получили конъюнктов в количестве 11 штук (стр. 20).

6. Составление логической схемы автомата.

Проведя все исследования и вычисления, приступили к построению логической схемы автомата. Их у нас две. Первая схема формирует функцию ? на JK-триггерах. Вторая - формирует функцию ?.

В первую схему вошли, определенные выше, 24 конъюнкта, 7 дизъюнктов и 4 JK-триггера. Так же дополнительно были введены входы триггеров R, S и C (стр. 21-24). Во вторую схему вошли 11 конъюнктов и 1 дизъюнкт (стр. 21, 25).

На этом построение логической схемы автомата завершено.

Закончив перечисленные выше пункты, исследование и логическое проектирование конечного частично определенного автомата можно считать выполненным. Осталось лишь провести проверку результатов путем частичной трассировкой автомата.

Размещено на Allbest.ru