Размещено на http://allbest.ru

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ХЕРСОНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Факультет фізики, математики та інформатики

Кафедра алгебри, геометрії та математичного аналізу

Дипломна робота

на здобуття ступеня вищої освіти бакалавр

Повнота метричного простору

Виконала: студентка 4 курсу

Махницька Вікторія Анатоліївна

Керівник: к. ф.-м. н., доцент Самойленко В. Г.

Рецензент: старший викладач Черненко І. Є.

Херсон - 2018

ЗМІСТ

ВСТУП

РОЗДІЛ 1. Поняття метричного простору

1.1 Визначення та основні приклади

1.2 Неперервні відображення метричних просторів

РОЗДІЛ 2. Збіжність. Відкриті та замкнені множини

2.1 Граничні точки. Замикання

2.2 Збіжність

2.3 Щільні підмножини

2.4 Відкриті та замкнені множини

2.5 Відкриті та замкнені множини на прямій

РОЗДІЛ 3. Повні метричні простори

3.1 Визначення та приклади повних метричних просторів

3.2 Теорема про вкладені кулі

3.3 Теорема Бера

3.4 Поповнення простору

ВИСНОВКИ

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ



ВСТУП

Однією з найважливіших операцій математичного аналізу є граничний перехід. Суть її полягає в тому, що на числовій прямій визначено відстань від однієї точки до другої. Багато фундаментальних результатів математичного аналізу базуються не на алгебраїчних властивостях дійсних чисел, а лише на понятті відстані. Узагальнюючи це поняття переходимо до поняття метричного простору, яке є одним з важливих понять сучасної математики.

Метричний простір являє собою множину з деякою метрикою на ній. Теоретико-множинний підхід до вивчення фігур та просторів заснований на дослідженні взаємного розташування складових їх елементарних частин. Одним із фундаментальних понять сучасної математики є поняття відстані, яке за своєю природою є геометричним.

Воно використовується в аналітичній геометрії при вивченні властивостей геометричних об'єктів в евклідових просторах, в математичному аналізі при визначенні такого фундаментального поняття як границя числової послідовності (або функції).

Виявилося, що природну метрику несуть на собі множини об'єктів різноманітної природи. Як метричні простори можуть розглядатися множини функцій та відображень, будь-які підмножини евклідових просторів. Узагальнивши деякі поняття, французький математик Моріс Фреше [28] побудував теорію метричних просторів.

Розвиток теорії метричних просторів відбувався за наступними важливими напрямками: загальна теорія, топологічна теорія та теорія просторів. В загальній теорії метричних просторів досліджуються властивості цих просторів, інваріантні відносно ізометрій - взаємно однозначних відображень, що зберігають відстань. До числа таких властивостей відноситься повнота.

Предметом топологічної теорії метричних просторів є властивості цих просторів, які зберігаються при гомеоморфізмах. Серед них - компактність та зв'язність.

Теорія метричних просторів була в основному побудована після 1920 року у роботах Урисона П. С., Александрова П. С., Банаха С. П., Березанський Ю. М., Комогоров О. М. та інші, а встановлені властивості метричних просторів та спеціальних метрик знайшло своє застосування в питаннях функціонального аналізу, алгебри, диференційованої геометрії, фізики, а також в питаннях дослідження неевклідової геометрії.

Актуальність: дана тема є досить актуальної на даний час, тому що сучасними математиками ведеться дослідження даних просторів, вони досить широко застосовуються як в лінійній алгебрі, математичному аналізі, так і в аналітичній геометрії.

Метою роботи є розгляд повних метричних просторів.

Об'єкт дослідження: загальна теорія метричних просторів.

Предмет дослідження: властивість метричного простору - повнота.

Для досягнення поставленої мети необхідно розв'язати наступні завдання:

1. проаналізувати наукову та методичні літературу з теми дослідження;

2. розглянути основні поняття метричного простору;

3. дослідити метричну властивість простору - повноту;

4. привести приклади повних метричних просторів.

Методи дослідження: теоретичний аналіз науково-методичної літератури, методи метричної теорії чисел, математичного аналізу, описовий метод та метод теоретичного узагальнення.

Робота складається із вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг роботи складає 40 аркушів.

Перший розділ містить теоретичні відомості стосовно властивостей метричних просторів, які безпосередньо використовуються у подальшому, а також питання стосовно неперервності відображення метричного простору.

У другому розділі досліджується замикання та збіжність метричного простору, вивчаються відкриті та замкнені множини, та відкриті та замкнені множини на прямій.

Третій розділ присвячено дослідженню повноти метричного простору, визначенню необхідних та достатніх умов наявності цієї властивості у просторах, також аналізуванню теореми про вкладені кулі, та теореми Бера.

Матеріал роботи може бути використаний викладачами та студентами фізико-математичних факультетів вищих навчальних закладів.



РОЗДІЛ 1. ПОНЯТТЯ МЕРТИЧНОГО ПРОСТОРУ

1.1 Визначення та основні приклади

Однією з найважливіших операцій аналізу є граничний перехід. В основі цієї операції лежить той факт, що на числовій прямій визначено відстань однієї точки до іншої. Багато фундаментальних фактів аналізу не пов'язані з алгебраїчною природою дійсних чисел (тобто, з тим, що вони утворюють поле), а опираються лише на поняття відстані. Узагальнюючи уявлення про дійсні числа як у множині, якому введено відстань між елементами, маємо змогу прийти до поняття метричного простору - одного із найважливіших понять сучасної математики.

Визначення. Метричним простором називається пара (X,с), що складається з деякої множини (простору) Х - елементів (точок) та відстані, тобто являється однозначною, невід'ємною, дійсною функцією с(х,у), визначеною для будь-яких х та у з Х, що підпорядковується наступним трьом аксіомам:

1) с(х,у)=0 тоді і тільки тоді, коли х=у;

2) с(х,у)= с(у,х) (аксіома симетрії);

3) с(х,z)? с(x,y)+ с(y,z) (аксіома трикутника).

Сам метричний простір, тобто пару (Х, с), позначатимемо, як правило, однією літерою:

R=(X, с)

Наведемо приклади метричного простору. Деякі з цих просторів відіграють в аналізі велике значення:

1) Поклав для елементів деякої множини

с(x,y)=

отримаємо метричний простір. Його можна назвати простором ізольованих точок.

2) Множина дійсних чисел з відстанню

с(x,y)=

утворює метричний простір .

3) Множина впорядкованих груп з n дійсних чисел з відстанню

(1)

називається n-вимірним арифметичним евклідовим простором .

Справедливість аксіом 1) та 2) для очевидна. Покажемо, що в виповнюється і аксіоми трикутника. [13]

Нехай , ,; тоді аксіома трикутника записується у вигляді

. (2)

Поклавши , отримаємо , а нерівність (2) приймає при цьому вигляд

. (3)

Та ця нерівність одразу слідує із відомої нерівності Коші-Буняковського.

. (4)



Дійсно, в силу цієї нерівності маємо

;

тим самим нерівність (3), відповідно і (2), доведено.

4) Розглянемо ту саму множину впорядкованих груп з n дійсних чисел, але відстань визначимо в ній формулою

. (5)

Справедливість аксіом 1 - 3 тут очевидна. Позначимо цей метричний простір символом .

5) Знову візьмемо ту саму множину, що в прикладах 3 і 4, і визначимо відстань між його елементами формулою:

.

Справедливість аксіом 1) - 3) очевидна. Цей простір ,в багатьох питаннях аналізу не менш зручний, ніж евклідовий простір .

Останні три приклади показують, що інколи й насправді важливо мати різні позначення для метричного простору та для множини точок, адже один і той самий запас точок може бути по різному метризований. [22,29]

6) Множина всіх неперервних дійсних функцій, визначених на проміжку [a,b] з відстанню

(7)

також утворює метричний простір. Цей простір відіграє дуже велику роль у аналізі.

7) Позначимо через метричний простір, точками якого слугують всі можливі послідовності дійсних чисел, що задовольняють умові:

,

а відстань визначається формулою:

(8)

Із елементарної нерівності слідує, що функція існує для усіх x,y ?, тобто ряд сходиться, якщо

та

Покажемо тепер, що функція (8) задовольняє аксіомам метричного простору. Аксіоми 1 та 2 очевидні, а аксіома трикутника приймає вид

(9)

В силу вищесказаного кожен з трьох написаних рядів сходиться. З другої сторони, при кожному n справедлива нерівність:

(див. приклад 4). Переходячи тут до межі при n > ?, отримаємо (9), тобто нерівність трикутника в l₂.

8) Розглянемо, як і в прикладі 6, сукупність усіх функцій, неперервних на відрізку [a,b], але відстань визначимо по-іншому, а саме:

(10)

Такий метричний простір позначимо і будемо називати простором неперервних функцій з квадратичною метрикою.

9) Розглянувши множину усіх обмежених послідовностей дійсних чисел, отримаємо простір з метрикою:

(11)

ми отримаємо метричний простір, яке позначимо m. Справедливість аксіом 1 - 3 очевидна.

10) Множина впорядкованих груп з n дійсних чисел з відстанню:

де p - будь-яке фіксоване число . Цей простір позначимо .

Провіримо аксіому 3. Нехай x=(x₁, …, x_n), y=(y₁, …, y_n), z=(z₁, …, z_n) - три точки із Припустимо , тоді нерівність

,

справедливість якого ми повинні встановити, прийме вигляд

(13)

Це так звана нерівність Мінковського. При p=1 нерівність Мінковського очевидне (модуль суми не більше суми модулів), тому будемо рахувати, що p>1.

Доведення нерівності (13) при p>1 засновано на нерівності Гельдера



де числа p>1 та q>1 зв'язані умовою

Нерівність (14) однорідна. Це означає, що якщо воно виконане для будь-яких двох векторів та , то воно виконане і для векторів та , де - будь-які числа. Тому нерівність (14) достатньо довести у випадку, коди

Отже, нехай виконана умова (16); доведемо, що

Розглянемо на площині криву, що визначається рівнянням , або, що те саме рівняння (рис.1).

Із малюнка, видно, що при будь-якому виборі додатних значень а та в буде . обчислимо площі :

Таким чином, справедлива числова нерівність

Замінив а на та додаючи по k від 1 до n, отримаємо, враховуючи (15) та (16),

.

Нерівність (17), а відповідно, і загальну нерівність (14) доведені.

При р=2 нерівність Гельдера (14) переходить в нерівність Коші-Буняковського (4).

Перейдемо до доведення нерівності Мінковского. Для цього розглянемо тотожність

(| a |+| b | )^p=( | a |+| b | )^p-1 | a | + ( | a |+| b | )^p-1| b |.

Замінивши в написаній тотожності а на та в на та додаючи по k від 1 до n, отримаємо

.

Застосовуючи тепер до кожної з двох сум, що стоять справа, нерівність Гельдера та враховуючи, що , отримаємо

.

Поділивши обидві частини цієї нерівності на

отримаємо

звідки відразу слідує нерівність (13). Тим самим встановлена аксіома трикутника у просторі .

Розглянута в цьому прикладі метрика перетворюється в еклідову метрику при р=2. Можна сказати, що метрика

є граничним випадком метрики , а саме:

Із нерівності

що встановлена раніше, легко виводиться інтегральна нерівність Гельдера

,

справедливе для будь-яких функцій x(t) та y(t), для яких інтеграли, що стоять праворуч маюсь сенс. Звідси в свою чергу отримується інтегральна нерівність Мінковського

.

11. Вкажемо ще один цікавий приклад метричного простору. Його елементами є усі можливі послідовності дійсних чисел x=(x₁, …, x_n),, такі, що

,

де - деяке фіксоване число, а відстань визначається формулою

Цей метричний простір позначимо .

В силу нерівності Мінковського (13) маємо при будь-якому n.

.

Так як, за припущенням, ряди

сходяться, то переходячи до границі при , отримаємо

Таким чином, доведено, що формула (18), що визначає відстань в , дійсно має сенс для будь-який . Одночасно нерівність (19) показує, що в виконується аксіома трикутника. Усі інші аксіоми очевидні. [25]

Необмежена кількість наступних прикладів дає наступний прийом. Нехай - метричний простір і M - будь-яка підмножина в Х. Тоді М з тією ж функцією , яку ми рахуємо тепер визначеною для х та у із М, також представляє собою метричний простір; воно називається підпростором простору R.

1.2 Неперервні відображення метричних просторів

Нехай X та Y - два метричні простори та f - відображення простору X в Y. Таким чином, кожному елементу x ? X ставиться у відповідність деякий елемент y=f(x) з Y. Це відображення називається неперервним у точці , якщо для кожного е>0 існує таке д>0, що для усіх x ? X таких, що

,

виповнюється нерівність

де с - відстань в X, а - відстань в Y.

Якщо відображення f неперервне в усіх точках простору X , то кажуть, что f неперервне на X. Якщо X та Y - числові множини, тобто f - числова функція, визначена на деякій підмножині X числової осі, тоді приведене визначення неперервності відображення перетворюється у відоме із елементарного аналізу визначення неперервності функції. [17,27]

Аналогічно можна визначити неперервну функцію (відображення) f від декількох змінних (де - метричні простори) зі значеннями в метричному просторі Y.

Замітимо, що сама відстань , якщо розглядати його як функцію змінних x та y із X, неперервно. Це слідує із наступної нерівності

,

легко видимого із нерівності трикутника.

Якщо відображення f: X>Y взаємно однозначне, то існує зворотне відображення x=(y) простору Y на простір X. Якщо відображення f взаємно однозначне та взаємно неперервне (тобто f та неперервні відображення), то воно називається гомеоморфним відображенням або гомеоморфізмом, а самі простори X та Y, між якими можна встановити гомеоморфізм, називаються гомеоморфними між собою. Прикладом гомеоморфних метричних просторів може слугувати уся числова пряма (?, -?) та інтервал, наприклад, інтервал (-1,1). В цьому випадку гомеоморфізм встановлюється формулою

.

Важливим окремим випадком гомеоморфізма є так зване ізометричне відображення.

Кажуть, що бієкція f між метричними просторами R=(X,с) та =(X,) є ізометрією, якщо

для будь-яких . Простори ,між якими можна встановити ізометричну відповідність, називаються ізометричними.

Ізометрія просторів означає, що метричні зв'язки між їх елементами однакові; різною може бути лише природа їх елементів , що з точки зору теорії метричних просторів несуттєво. [31,14]



РОЗДІЛ 2. ЗБІЖНІСТЬ. ВІДКРИТІ ТА ЗАМКНЕНІ МНОЖИНИ

2.1 Граничні точки. Замикання

Відкритою кулею у метричному просторі R будемо називати сукупність точок x ? R, що задовольняє умові

.

Точка називається центром цієї кулі, а число r - його радіусом.

Замкненою кулею назвемо сукупність точок , що задовольняє умові

.

Відкрита куля радіуса е з центром будемо називати також е-околом точки та позначати символом .

Множина називається обмеженою, якщо вона повністю міститься в деякій кулі.

Точка x ? R називається точкою дотику множини , якщо будь-яка її околиця містить хоча б одну точку з M. Сукупність усіх точок дотику множини M позначається та називається замиканням цієї множини . Таким чином, операція замикання для множин метричного простору - перехід від множини M до її замикання .

Теорема 1. Операція замикання володіє наступними властивостями:

1) ,

2) ,

3) якщо , то ,

4) .

Доведення. Перший вираз очевидний, адже будь-яка точка, що належить M, є для M точкою дотику. Доведемо другий вираз.

Нехай . Тоді в будь-якому околі цієї точки знайдеться точка . Покладемо та розглянемо кулю . Ця куля повністю лежить всередині кулі . Дійсно, якщо то , то згідно із аксіомою трикутника

тобто Так як , то в знайдеться точка .Але тоді , то . Другий вираз доведено.

Третя властивість очевидна. Доведемо, четверту властивість.

Якщо , то x міститься, що найменше, в одній із множин або , тобто

.

Так як та , то зворотне включення слідує із властивості 3). Теорема доведена повністю.

Точка x ? R називається граничною точкою множини , якщо будь-який її окіл містить безкінечно багато точок із M.[12,38]

Гранична точка може належати, а може і не належати M. Наприклад, якщо M - множина раціональних чисел із відрізка , то кожна точка цього відрізка - гранична точка для М.

Точка x, що належить М, називається ізольованою точкою цієї множини, якщо в достатньо малій її околиці не моє точок із М, відмінних від х.

2.2 Збіжність

Нехай - послідовність точок в метричному просторі R. Кажуть що, що ця послідовність збігається до точки х, якщо кожний окіл точки х містить усі точки , починаючи з деякої, тобто якщо для будь-якого знайдеться таке число , що містить усі точки . Точка х називається границею послідовності .

Це визначення можна сформулювати ще й наступним чином: послідовність сходиться до х, якщо

.

Безпосередньо із визначення границі слідує, що 1) жодна послідовність не може мати двох різних границь, і що 2) якщо послідовність збігається до точки х, то і будь-яка її послідовність збігається до тієї ж точки.

Наступна теорема встановлює тісний зв'язок між поняттями точки дотику та границі. [19]

Теорема 2. Для того щоб точка х була точкою дотику множина М, необхідно та достатньо щоб існувала послідовність точок із М, що збігаються до х.

Доведення. Умова необхідна, так як х - точка дотику множини М, то в кожному її околі міститься хоча б одна точка Ці точки утворюють послідовність, що збігається до х. Достатність очевидна.

Якщо х - гранична точка множини М, то точки , що відповідає різним n, можна вибрати попарно різними. Таким чином, для того щоб точка х була граничною для М, необхідно і достатньо, щоб в М існувала послідовність попарно різних точок, що збігаються до х.

2.3 Щільні підмножини

Нехай А та В - дві множини в метричному просторі R. Множина А називається щільною в В, якщо . Множина А називається всюди щільним (у просторі R), якщо його замикання співпадає з усім простором R. Наприклад, множина раціональних чисел всюди щільна на числовій прямій.

Множина А називається ніде не щільною, якщо вона не щільна у жодній кулі, тобто якщо в кожній кулі В R міститься інша куля , не маючи з А жодної спільної точки.

Приклади просторів, що мають всюди щільні зчисленні множини. Простір, в якому є зчисленна всюди щільна множина, називають сепарабельними.

1. У просторі - сукупність усіх многочленів з раціональними коефіцієнтами.

2. У просторі - сукупність послідовностей, в кожній із яких усі члени раціональні, і лише останнє (своє для кожної послідовності) число цих членів відмінне від нуля.

3. У просторі - сукупність усіх многочленів з раціональними коефіцієнтами.

Разом з тим простір обмежених послідовностей m не сепарабельний.

Дійсно, розглянемо усі можливі послідовності, що складаються із нулів та одиниць. Вони складають множину потужності континуума (так як між ними і підмножинами натурального ряду можна встановити взаємно однозначну відповідність ). Відстань між двома такими точками дорівнює 1. Оточимо кожну із цих точок відкритою кулею радіусом . Ці кулі не перетинаються. Якщо деяка множина всюди щільна в m, то кожна із побудованих куль повинна містити хоча б по одній точці із цієї множини і, відповідно, вона не може бути зчисленною. [7, 9, 32]

2.4 Відкриті та замкнені множини

Множина М, що лежить у метричному просторі R, називається замкненим, якщо воно співпадає зі своїм замиканням: . Інакше кажучи, множина називається замкнутою, якщо вона містить усі свої граничні точки.

В силу теореми 1 замикання будь-якої множини М є замкнена множина. Із тієї ж теореми випливає, що є найменша замкнена множина, що містить М.

Приклади. 1. Будь-який відрізок числової прямої є замкнена множина.

2. Замкнена куля представляє собою замкнену множну. Зокрема, у просторі множина функцій f, що задовольняє умові , замкнена.

3. Множина функцій , що задовольняє умові (відкрита куля), незамкнена; його замикання є сукупність функцій, що задовольняють умові .

4. Яким би не був метричний простір R, пуста множина Ш та всі R замкнені.

5. Будь-яка множина, що складається із зчисленного числа точок, замкнене.

Основні властивості замкнених множин можна сформулювати у вигляді наступної теореми.

Теорема 3. Перетин будь-якого числа і суми будь-якого зчисленного числа замкнених множин зміст замкненої множини.

Доведення. Нехай F= - перетин замкнених множин і нехай x - гранична точка для F. Це означає, що будь-який окіл (x) містить безкінечно багато точок із F. Але коли, тим паче (x) містить безкінечно багато точок із кожного та , отже так як усі - замкнені, належить кожному ; таким чином, , тобто F - замкнено.

Нехай тепер F - сума кінцевого числа замкнених множин: F=, і нехай точка x не належить F.

Покажемо, що х не може бути граничною для F. Дійсно, х не належить жодному із замкнених множин . Отже, не є граничною для жодного з них. Тому для кожного i можна знайти такий окіл точки х, яка містить не більше ніж кінцеве число точок із .

Взявши із околів ,…, найменший ми отримаємо окіл точки х, що містять не більше ніж кінцеве число точок із F. [33,37]

Якщо точка х не належить F, то вона не може бути граничною для F, тобто F замкнене. Теорема доведена.

Точка х називається внутрішньою точкою множини M, якщо існує окіл цієї точки, цілком міститься в M.

Множина, усі точки якого внутрішні, називається відкритим.

Приклади. 6. Інтервал числової прямої є відкрита множина; дійсно, якщо , то , де , цілком міститься в інтервалі (a,b).

7. Відкрита куля B(a,r) в будь-якому метричному просторі R є відкрита множина. Дійсно, якщо , то . Покладемо . Тоді .

8. Множина неперервних функцій на , що задовольняють умові , де - деяка фіксована неперервна функція, що представляє собою відкриту підмножину простору .

Теорема 4. Для того, щоб множина була відкритою, необхідно і достатньо, щоб її доповнення до всього простору було замкненим.

Доведення. Якщо відкрита, то кожна точка х із має окіл, що цілком належить , тобто не має жодної спільної точки з .

Таким чином, жодна з точок , не належить , не може бути точкою дотику для , тобто замкнена.

Навпаки, якщо замкнена, то будь-яка точка із М має окіл , що цілком належить в М, тобто М відкрита.

Так як пуста множина та усі Rзамкнені і слугують доповненням одне для одного, то пуста множина і всі R відкриті. [36, 4, 1]

Із теореми 3 та із принципу подвійності (перетин доповнення = доповненню суми, сума доповнень = доповненню перетинів) витікає наступна важлива теорема, подібна теоремі 3.

Теорема . Сума будь-якого (кінцевого або нескінченого) числа та перетину будь-якого кінцевого числа відкритих множин суть відкритих множин.

Множини, що належать -алгебрі, породжений всіма відкритими за замкнутими підмножинами простору R, називаються борелевськими множинами.

2.4 Відкриті та замкнені множини на прямій

Структура відкритих та замкнених множин у тому чи іншому метричному просторі може бути вельми складною. Це відноситься до відкритих та замкненим множинам навіть евклідових просторів двох або більшого числа вимірів.

Однак, у одномірному випадку, тобто на прямій, повний опис усіх відкритих множин (а, відповідно, і всіх замкнених) не складає труднощів. Він задається наступною теоремою.

Теорема 5. Будь-яка відкрита множина на числовій прямій представляє собою суму кінцевого або рахункового числа інтервалів, що попарно не перетинаються.

Доведення. Нехай G - відкрита множина на прямій. Введемо для точок із G відношення еквівалентності, рахуючи, що , якщо існує такий інтервал (,), що х ,

Очевидно, що відношення рефлексивне та симетричне, воно і транзитивне, адже якщо та , то існують такі інтервали та , що

та

Але тоді та інтервал лежить цілком в G та містить точки x та y . Відповідно, G розпадається на класи , що не перетинаються, еквівалентних між собою точок:

,

Доведемо, що кожне є інтервал (a,b), де , . Включення очевидне. З іншого боку, якщо , то по самому визначенню інтервал міститься в .

На будь-якій відстані від a справа та на будь-якій відстані від b зліва є точки з Тому містить будь-який інтервал , кінці якого належать , звідки .

Система таких інтервалів , що не перетинаються не більше ніж зчисленна; дійсно, вибираючи в кожному із цих інтервалів довільним чином раціональну точку, ми встановимо взаємно однозначну відповідність між цими інтервалами та деякою підмножиною множини раціональних чисел. Теорема доведена. [1,12]

Так як замкнені множини - це доповнення відкритих, то звідси слідує, що будь-яка замкнена множина на прямій утворюється викидом із прямої кінцевого чи рахованого числа інтегралів.

Найпростіші приклади замкнених множин - відрізки, окремі точки та суми кінцевого числа таких множин.

Розглянемо більш важкий приклад замкненої множини на прямій - множина Кантора.

Нехай F₀ - відрізок . Викинемо із нього інтервал (), а замкнену множину, що залишилась назвемо F_1.

Потім викинемо із F₁ інтервали ) та , замкнену множину, що залишилась (чотири відрізки, що залишились) , назвемо F_2. В кожному із цих чотирьох відрізках викинемо середній інтервал довжини тощо. (рис. 2).

Рис. 2

Продовжуючи цей процес, отримаємо спадну послідовність замкнених множин F_n. Покладемо

_,

F - замкнена множина (як перетин замкнених). Вона отримується із відрізка викиданням зчисленного числа інтервалів.

Розглянемо структуру множини F. Їй належать, очевидно, точки

(1)

- кінці інтегралів, що викидаємо. Проте множина F не вичерпується цими точками. Дійсно, ті точки відрізка , котрі входять в множину F, можна охарактеризувати наступним чином. За пишемо кожне з чисел х, в трійчастій системі:

,

де числа можуть приймати значення 0, 1 та 2. Як у випадку десяткових дробів, деякі числа допускають двоякий запис. Наприклад,

.

Легко перевірити, що множині F належить ті, і тільки ті числах, що , які можуть бути записані хоча б одним способом, у вигляді трійчастого дробу так, щоб у послідовності жодного разу не зустрілась одиниця. Таким чином, кожній точці можна поставити у відповідність послідовність

(2)

де дорівнює 0 або 2. Сукупність таких послідовностей створює множину потужності континуума. В цьому можна пересвідчитися, поклавши у відповідність кожній послідовності (2) послідовність

()

де , якщо , і , якщо . Послідовність () можна розглядати як запис деякого дійсного числа y, , у вигляді двійкового дробу. Таким чином, отримуємо множину F на весь відрізок . Звідси випливає, що F має потужність континуума. Так як множина точок (1) підрахована, то ці точки не можуть вичерпувати усе F.

Показавши, що множина F має потужність континуума, тобто містить стільки ж точок, скільки і весь відрізок . З цім фактом цікаво спів поставити наступний результат: сума довжин усіх викинутих інтервалів складає у точності одиницю.



РОЗДІЛ 3. ПОВНІ МЕТРИЧНІ ПРОСТОРИ

3.1 Визначення та приклади повних метричних просторів

Важливе значення у математичному аналізі відіграє роль властивість повноти числової прямої, тобто той факт, що будь-яка фундаментальна послідовність дійсних чисел збігається до деякої границі. Числова пряма слугує найпростішим прикладом так званих повних метричних просторів.[15, 28, 39]

Послідовність точок метричного простору називають фундаментальною, якщо вона задовольняє умові Коші, тобто якщо для будь-якого існує таке число , що для усіх .

Із аксіоми трикутника безпосередньо слідує, що будь-яка послідовність, що сходиться - фундаментальна.

Дійсно, якщо збігається до х, то для даного можна знайти таке число , що для усіх . Тоді для будь-яких .

Визначення 1. Якщо у просторі будь-яка фундаментальна послідовність збігається, то цей простір називається повним.

Приклади. Усі просторі наведені у розділі 1 повні (за винятком прикладу 8). Дійсно:

1. У просторі ізольованих точок фундаментальні тільки стаціонарні послідовності, тобто такі, у котрих, починаючи з деякого номеру, повторюється увесь час одна і таж сама точка. Всяка така послідовність збігається, тобто цей простір повний.

2. Повнота евклідового простору - сукупності дійсних чисел - відома з аналізу.

3. Повнота евклідового простору безпосередньо витікає з повноти . Тобто, нехай - фундаментальна послідовність точок з , це означає, що для кожного знайдеться таке , що

при усіх більших, чим . Тут, . Тоді для кожного отримаємо відповідну нерівність для координати :

для усіх , тобто - фундаментальна числова послідовність.

Покладемо

.

Тоді, очевидно,

.

4-5. Повнота просторів доводиться повністю аналогічно.

6. Доведемо повноту простору . Нехай - деяка фундаментальна послідовність в . Це означає, що для кожного існує таке , що

при для усіх t , . Звідси витікає, що послідовність рівномірно збігається. Як відомо, в цьому випадку її границя x(t) буде неперервною функцією. Спрямовуючи в попередній нерівності до нескінченості, отримаємо

для усіх t і для усіх n>N, а це і означає, що збігається до x(t) у сенсі метрики простору .

7. Простір . Нехай - фундаментальна послідовність в Це означає, що для будь-якого знайдеться таке , що

(1)

Тут . Із (1) слідує, що при будь-якому k , тобто при кожному k послідовність дійсних чисел фундаментальна і тому збігається.

Покладемо . Позначимо через х послідовність . Важливо показати, що :

a) ,

b) .

Із нерівності (1) слідує, що для будь-якого фіксованого М

В цій сумі тепер тільки скінченне число доданків, і ми можемо, зафіксував n, перейти до границі при . Отримаємо

.

Ця рівність правдива при будь-якому М. Відновимо безкінечний ряд, переходячи до границі при ; отримаємо

(2)

Із збіжності рядів слідкує збіжність ряду (в силу елементарної нерівності ), тобто твердження а). доведено. Далі, так як достатньо мале, то нерівність (2) означає, що

,

тобто у метриці . Твердження б) доведено.

8. Переконаємось, що простір не повне. Розглянемо, наприклад, послідовність неперервних функцій

Вона фундаментальна в , так як

.

Однак вона не збігається до жодної з функцій із . Дійсно, нехай f - деяка функція, рівна -1 при та +1 при .

У силу інтегральної нерівності Міньковкого (справедливого, вочевидь, і для кусково-неперервних функцій) маємо

.

В силу неперервності функції f інтеграл у лівій частині відмінний від нуля. Далі, зрозуміло, що

.

Тому прагнути до нуля при .

3.2 Теорема про вкладені кулі

В аналізі широко використовується так названа лема про вкладені відрізки. В теорії метричних просторів аналогічну роль грає наступна теорема, що зветься, теорема про вкладені кулі.

Теорема 1. Для того, щоб метричний простір R був повним, необхідно та достатньо, щоб в ньому всяка послідовність вкладених один в одного замкнених куль, радіуси яких прагнуть до нуля, мала непустий перетин.

Доведення. Необхідність. Нехай простір R повний та нехай - послідовність вкладених одне в одного замкнених куль. Нехай - радіус, а - центр кулі . Послідовність центрів фундаментальна, оскільки .

Так як R повне, то існує. Покладемо ; тоді . Дійсно, куля містить усі точки послідовності , за виключенням, можливо, точок .

Таким чином, х є точкою дотику для кожної кулі . Але так як замкнена множина, то , для усіх n.

Достатність. Нехай - фундаментальна послідовність. Доведемо, що вона має границю. В силу фундаментальності ми можемо вибрати точку нашої послідовності, що . Приймемо точку центр замкненої кулі радіуса 1. Позначимо цю кулю . Виберемо потім із так, щоб було при усіх .

Приймемо точку за центр кулі радіуса та позначимо цю кулю . Взагалі, якщо точки ,,…, уже вибрані, (), то виберемо точку так, щоб було , та оточимо її замкненою кулею радіуса . Продовжуючи цю побудову, отримаємо послідовність замкнених куль , вкладених одне в одного, при чому куля має радіус . Ця послідовність куля, за припущенням, має загальну точку; позначимо її х. Ця точка слугуватиме границею послідовності . Але якщо фундаментальна послідовність містить підпослідовність, що збігається до х, то вона сама збігається до тієї ж границі. Таким чином, . [8, 33]



3.3 Теорема Бера

У теорії повних метричних просторів фундаментальну роль грає наступна теорема.

Теорема 2. (Бер). Повний метричний простір R не може бути представлений у вигляд об'єднання зчисленного числа ніде не щільних множин.

Доведення. Припустимо зворотне. Нехай , де кожна із множин ніде не щільна. Нехай - деяка замкнена куля радіуса 1. Оскільки множина , будучи ніде не щільною, не щільна в , існує замкнена куля радіуса менше , така, що і . Оскільки множина не щільна в , за тією ж причиною, в кулі міститься замкнена куля радіуса менше , для якого тощо.

Отримуємо послідовність вкладених одне в одного замкнених куль , радіуси котрих прагнуть до нуля, причому . В силу теореми 1 перетин містить деяку точку х.

Ця точка за побудовою не належить жодній із множин , отже, , тобто , в протиріччі з пропозицією. [34, 33]

Зокрема, всякий повний метричний простір без ізольованих точок не зчисленний. Дійсно, у такому просторі кожна множина, що містить лишь одну точку, ніде не щільне.

3.4 Поповнення простору

Якщо простір R не щільний, то його завжди можна приєднати деяким (по суті, єдиним) способом в повний простір.

Визначення 2. Нехай R - метричний простір. Повний метричний простір називається поповненням простору R якщо:

1. R є підпростором простору ;

2. R всюди щільне в , тобто .

(Тут означає замикання простору R в )

Наприклад, простір всіх дійсних чисел є поповненням простору раціональних чисел.

Теорема 3. Кожний метричний простір R має поповнення, і це поповнення єдине, з точністю до ізометрії, котра залишає нерухомими точки з R.

Доведення. Почнемо з єдиності. Потрібно довести, що якщо - два поповнення простору R, то існує таке взаємно однозначне відображення простору , що

1. ;

2. , то , де - відстань в , а .

Відображення визначається наступним чином. Нехай - довільна точка з . Тоді, за визначенням поповнення існує послідовність точок з R, що збігається до . Точки входять в . Так як щільне, то збігається в до деякої точки . не залежить від вибору послідовності , що збігається у точці . Покладемо . Відображення і є шукане ізометричне відображення.

Дійсно, за побудовою для усіх . Далі, нехай

,

;

тоді в силу неперервності відстані

та, аналогічно,

.

Отже,

.

Доведемо тепер існування поповнення. Нехай R - довільний метричний простір. Назвемо дві фундаментальні послідовності та із R еквівалентними, якщо .

Назва «еквівалентність» виправдано, оскільки це відношення рефлексивне, симетричне та транзитивне. Звідси слідує, що всі фундаментальні послідовності, корті можна скласти із точок простору R, розпадаються на класи еквівалентних між собою послідовностей. Визначимо тепер простір . За його точки приймемо усе можливі класи еквівалентних між собою фундаментальних послідовностей, а відстань між ними задаймо наступним чином. Нехай - два таких класи. Виберемо в кожному із цих класів по одному представнику, тобто по деякій фундаментальній послідовності та . Покладемо

. (3)

Доведемо коректність цього визначення відстані, тобто доведемо, що границя (3) існує та не залежить від вибору представників та .

В силу нерівності

(4)

отримаємо, що для усіх достатньо великих n та m

,

так як послідовності та фундаментальні.

Таким чином, послідовність дійсних чисел задовольняє критерію Коші і, відповідно, має границю.

Ця границя не залежить від вибору та . Дійсно, нехай

та .

Викладка, у точності аналогічна (4), дає

.

Оскільки та , звідси слідує, що

.

Доведемо, що виконуються аксіоми метричного простору.

Аксіома 1) безпосередньо витікає з означення еквівалентності фундаментальних послідовностей.

Аксіома 2) очевидна.

Перевіримо тепер аксіому трикутника. Так як в вихідному просторі R аксіома трикутника виконується, то

.

Переходячи до границі при , отримаємо

,

тобто

.

Доведемо, що R можна розглядати як підпростір простору .

Кожній точці відповідає деякий клас еквівалентних фундаментальних послідовностей, а саме, сукупність усіх послідовностей, що збігаються до точки х.

Цей клас не порожній, оскільки він містить стаціонарну послідовність, усі члени котрої рівні х.

При цьому, якщо та , то

) .

Відповідно, віднісши кожній точці клас , що збігається до неї фундаментальних послідовностей, ми ізометрично відобразимо R в простір .

Покажемо тепер, що R всюди щільне в . Дійсно, нехай - деяка точка з та довільне. Виберемо в представника, тобто деяку фундаментальну послідовність . Нехай N таке, що для усіх n,m > N .

Тоді маємо

при n > N, тобто довільний окіл точки містить деяку точку з R. Таким чином замикання R в є усе

Залишається довести повноту . За побудовою будь-яка фундаментальна послідовність точок із R збігається до до деякої точки, а саме, до точки , що визначається самою послідовністю. математичний метричний простір послідовність

Далі, так як R щільне в , то для будь-якої фундаментальної послідовності точок з можна побудувати еквівалентну їй послідовність точок з R, таку, що . Побудована послідовність фундаментальна в R та, за визначенням, збігається до деякої точки . Але тоді до збігається і послідовність .[22, 29]



ВИСНОВКИ

Під час виконання дослідження було розглянуто основні структурні властивості повних метричних просторів; виконано дослідження метричної властивості просторів - повноти.

Метричним простором називається пара (X,с), що складається з деякої множини (простору) Х - елементів (точок) та відстані, тобто являється однозначною, невід'ємною, дійсною функцією с(х,у), визначеною для будь-яких х та у з Х.

Точка x ? R називається граничною точкою множини , якщо будь-який її окіл містить безкінечно багато точок із M.

Якщо відображення f взаємно однозначне та взаємно неперервне, то воно називається гомеоморфним відображенням, а самі простори X та Y, між якими можна встановити гомеоморфізм, називаються гомеоморфними між собою. Прикладом гомеоморфних метричних просторів може слугувати уся числова пряма (?, -?).

Точка x ? R називається граничною точкою множини , якщо будь-який її окіл містить безкінечно багато точок із M.

Гранична точка може належати, а може і не належати M. Наприклад, якщо M - множина раціональних чисел із відрізка , то кожна точка цього відрізка - гранична точка для М.

Точка x, що належить М, називається ізольованою точкою цієї множини, якщо в достатньо малій її околиці не моє точок із М, відмінних від х.

Безпосередньо із визначення границі слідує, що 1) жодна послідовність не може мати двох різних границь, і що 2) якщо послідовність збігається до точки х, то і будь-яка її послідовність збігається до тієї ж точки.

Множина А називається щільною в В, якщо . Множина А називається всюди щільним (у просторі R), якщо його замикання співпадає з усім простором R. Наприклад, множина раціональних чисел всюди щільна на числовій прямій.

Множини, що належать -алгебрі, породжений всіма відкритими за замкнутими підмножинами простору R, називаються борелевськими множинами.

Теорема. Будь-яка відкрита множина на числовій прямій представляє собою суму кінцевого або рахункового числа інтервалів, що попарно не перетинаються.

Найпростіші приклади замкнених множин - відрізки, окремі точки та суми кінцевого числа таких множин. Більш важкий приклад замкненої множини на прямій - множина Кантора.

Якщо в просторі будь-яка фундаментальна послідовність збігається, то цей простір називається повним.

Простір дійсних чисел є повним.

Щоб метричний простір був повним, необхідно і достатньо, щоб у ньому будь-яка послідовність укладених одна в одну замкнутих куль, радіуси котрих прямують до нуля, мала непорожній переріз.

Теорема Бера. Повний метричний простір не можна подати у вигляді об'єднання зліченного числа ніде не щільних множин.

Із теореми Бера зокрема випливає, що всякий повний метричний простір без ізольованих точок незліченний.

Кожний метричний простір R має поповнення, і це поповнення єдине, з точністю до ізометрії, котра залишає нерухомими точки з R.



СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Колмогоров А. Н. Елементи теорії функцій та функціонального аналізу /А. Н. Колмогоров.-М. : Наука, 2017.-314 с.

2. Александров П.С. Введення в загальну теорію множин і функцій / П.С. Александров.- Гостехиздат : Наука,1998. - 345 с.

3. Банах С. Курс функціонального аналізу / С. Банах. - К. : Рад. шк.,1979 - 287 с. .

4. Бурбаки Н., Загальна топологія. Основні структури / Н. Бурбаки. - Фізматгіз, 1958 - 382 с. .

5. Дьедонне Ж., Основи сучасного аналізу, «Мир», 2006 - 273 с.

6. Келли Дж. Л., Загальна топологія, «Наука», 2001 - 194 с.

7. Куратовський К.,Топологія, т.1, «Мир», 2000 - 199 с.

8. Буземан Г., Геометрія геодезичних. - М., 2011 - 291 с.

9. Зорич В. А. Математичний аналіз. Ч.1. - М .: Наука, Головна редакція фізико-математичної літератури, 2006 - 281 с.

10. Розенфельд Б. А., Багатовимірні простору. М., 2004 - 230 с.

11. Розенфельд Б. А., Неевклідові простору. М., 2006 - 197 с.

12. Олевський А. М. Завдання з функціонального аналізу. Випуск 1 і 2. - М.: МІЕМ, 1999 - 355 с.

13. Олевський А. М. Завдання з функціонального аналізу (Міра і інтеграл Лебега. Лінійні оператори). - М .: МІЕМ, 2016 - 322 с.

14. Кірілллов А. А., Гвишиани А. Д. Теореми і задачі функціонального аналізу. - М .: Наука, 2013 - 410 с.

15. Бородін П. А., Савчук А. М., Шейпак І. А. Завдання з функціонального аналізу. - М .: Изд-у ЦПИ при механіко-математичному факультеті МДУ ім. М.В. Ломоносова, 2010 - 299 с.

16. Люстерник Л. А., Соболєв В. І., Елементи функціонального аналізу. - М .: Наука, 1999 - 300 с.

17. Рід М., Саймон Б., Методи сучасної математичної фізики, т. 1 «Функціональний аналіз ». - М .: Мир, 1999 - 410 с.

18. Рудін В., Функціональний аналіз. - М .: Мир, 2004 - 219 с.

19. Banah S. Theorie des operations lineaires. Warszawa, 2009 - 219 с.

20. Journal American Mathematical Society.H.B.Cohen. A bound-two isomorphism between C(X) Banach spaces. 2015. P. 136-138.

21. Journal of Mathematical Analysis and Applications. Galego E.M. When dothe (К,R) spaces determine the locally compact subspaces K of the real line R. Galego E.M. 2015. P. 256-269.

22. Journal American Mathematical Society.Amir.On isomorphism of continuous function spaces. 2013. P. 18-19.

23. Енгелькінг Р. Загальна топологія:Пер. з англ. -М . Світ, 2014. -752 с.

24. Тер-Крікоров А.М. і Шабунін М.І. «Курс математичного аналізу» , 2011 - 385 с.

25. У.Рудін «Основи математичного аналізу» 2-е вид., 2010 - 210 с.

26. Зорич В.А. Математичний аналіз, М.: - 2011 - 310 с.

27. Шилов Г.Є. Математичний аналіз. Спеціальний курс. - М .: Наука, 2003. - 436 с.

28. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функціональний аналіз.- М .: Мир, 2010.- 744 с.

29. Рудін В. Функціональний аналіз.- М .: Мир, 2012.- 443 с.

30. Рісс Ф., Секефальві-Надь Б. Лекції з функціонального аналізу.- М .: Мир, 2011.- 587 с.

31. Треногін В. А. Функціональний аналіз.- М .: Наука, 1997.- 496 с.

32. Давидов М. О. Курс математичного аналізу, т.II - Київ: “Вища школа”, 1991. - 368с.

33. Давидов М. О. Курс математичного аналізу, т.III - Київ: “Вища школа”, 1992. - 360с.

34. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа, часть II.- М.: ”Наука”, 1993. - 448с.

35. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Краткий курс функционального анализа. - М.: “Высшая школа”, 1982. - 273с.

36. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа, т.II. - М.: ”Наука”, 2003. - 464с.

37. Дороговцев А.Я. Математический анализ: Сборник задач. / А.Я.Дороговцев. - К.: Вища школа, 2001. - 408 с.

38. Дороговцев А.Я. Математичний аналіз: Підручник. У двох частинах. Частина 1 / А.Я.Дороговцев. - К.:Либідь, 2011. - 320 с.

39. Дороговцев А.Я. Математичний аналіз: Підручник. У двох частинах. Частина 2 / А.Я.Дороговцев. - К.:Либідь, 2012. - 304 с.

Размещено на Allbest.ru