Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины

Факультет математический

Кафедра ЭК и ТВ

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

СТАЦИОНАРНОЕ ФУНКЦИОНИРОВАНИЕ СЕТИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С РОМБОВИДНЫМ КОНТУРОМ

Исполнитель:

студентка группы М-52 Щобова Д. А.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

Малинковский Ю. В.

профессор

Гомель 2011

РЕФЕРАТ

Дипломная работа 46 страниц, 4 рисунка, 2 источника.

Ключевые слова: входящий поток, стационарное распределение, инвариантность стационарного распределения, модель открытой сети, немарковский случай, отрицательные заявки.

Объект исследования: четырехузловая сеть массового обслуживания с ромбовидным контуром (возвратом на первый и третий узлы).

Предмет исследования: стационарное распределение сети с ромбовидным контуром.

Методы исследования: методы теории вероятностей.

Цель дипломной работы: исследовать стационарное функционирование сети с ромбовидным контуром.

Задачами дипломной работы являются: исследовать марковскую модель на эргодичность, найти стационарное распределение; найти стационарное распределение для дополнительного процесса в полумарковской модели; составить уравнения трафика, уравнения равновесия, найти стационарное распределение для модели с отрицательными заявками.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1 Основные теоретические материалы

1.1 Марковский процесс

1.2 Простой поток

1.3 Время обслуживания

1.4 Сети Джексона

1.5 Инвариантность стационарного распределения

1.6 СМО с положительными и отрицательными заявками

2 Стационарное функционирование сети с ромбовидным контуром. Марковский случай

2.1 Описание модели

2.2 Уравнения трафика

2.3 Уравнение равновесия

2.4 Стационарное распределение

2.5 Условие эргодичности

3 Стационарное функционирование сети с ромбовидным контуром. Немарковский случай

3.1 Описание модели

3.2 Составление дифференциально-разностных уравнений

3.3 Решение дифференциально-разностных уравнений

4 Стационарное функционирование сети с положительными и отрицательными заявками

4.1 Описание модели

4.2 Система уравнений трафика

4.3 Уравнение равновесия

4.4 Стационарное распределение

Заключение

Список использованных источников

ВВЕДЕНИЕ

Теория массового обслуживания -- раздел теории вероятностей, целью исследований которого является рациональный выбор структуры системы обслуживания и процесса обслуживания на основе изучения потоков требований на обслуживание, поступающих в систему и выходящих из неё, длительности ожидания и длины очередей.

В теории массового обслуживания исследуются такие системы, в которые в случайные моменты времени на обслуживание поступают требования (извне или изнутри системы). Они должны быть обслужены системой на некотором приборе, причем длительность обслуживания в общем случае случайная. Природа требований и их обслуживания зависит от конкретного вида системы. Если под требованиями понимать, например, отказы элемента системы или станков и под обслуживанием их замену или ремонт, то многочисленные задачи теории надежности можно решать методами теории массового обслуживания.

Толчком к возникновению теории массового обслуживания послужили исследования, связанные с обработкой телефонных вызовов, датского ученого А.К. Эрланга впервые два десятилетия XX века. Фундаментальные результаты были опубликованы А.Я. Хинчиным в начале 30-х годов. В середине 30-х годов В. Феллер ввел понятие процесса размножения и гибели, после чего теория массового обслуживания привлекла еще большее внимание математиков. В последние годы интерес к теории массового обслуживания значительно возрос благодаря широкому применению ее для анализа характеристик вычислительных систем и сетей.

1 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ

1.1 Марковский процесс

Пусть T и X- некоторые подмножества числовой прямой R

Определение 1. Случайный процесс со значениями в X называется марковским, если из T и выполняется .

Другими словами, марковский процесс - это такой случайный процесс, у которого при фиксированном настоящем будущее не зависит от прошлого.

Если Х={i} конечно или счётно, то марковский процесс называют цепью Маркова.

Если вероятности P((t+s)=j /(s)=i) (st) не зависят от s, а зависят только от t, то цепь Маркова называется однородной.

Цепь Маркова с T={0,1,2,…) называют цепью с дискретным временем.

Цепь Маркова c называют цепью с непрерывным временем. , () - вероятности перехода из состояния i в состояние j за время t.

Для цепи Маркова с дискретным временем - вероятности перехода из i в j за n шагов.

Набор вероятностейназывают начальным распределением цепи Маркова.

Определение 2. Цепь Маркова называется слабо эргодической, если для любого начального распределения при .

Если все , то цепь называется эргодической.

Набор называется эргодическим распределением, называются финальными вероятностями.

Определение 3. Распределение вероятностей называется стационарным распределением, если

1) - распределение вероятностей, то есть и ;

2) ,

Определение 4. Однородная марковская цепь называется неприводимой, если для существует , : .

Определение 5. Однородная марковская цепь называется эргодической, если для любых начальных распределений абсолютное распределение всегда сходится к одному и тому же распределению, которое является единственным стационарным распределением цепи: ,.

Теорема (Эргодическая теорема Фостера)

Консервативная Марковская цепь с непрерывным временем и счетным числом состояний эргодична, если она неприводима и система уравнений при имеет нетривиальное решение такое, что . При этом существует единственное стационарное распределение, которое совпадает с эргодическим.

1.2 Простейший поток

Если у рекуррентного потока ), то такой поток называется простейшим или пуассоновским потоком.

Определение 6. Если промежутки времени между моментами поступления заявок независимы и имеют показательное распределение с параметром , то поток заявок называется простейшим или пуассоновским с параметром .

Для простейшего потока вероятность поступления заявок в промежутке времени равна

(1)

Определение 7. Поток заявок называется стационарным, если для любых попарно непересекающихся интервалов времени вероятность поступления в них соответственно заявок зависит только от этих чисел и от длин и не зависит от их расположения на временной оси.

Определение 8. Поток заявок называется потоком без последействия, если вероятность поступления k заявок в течение промежутка времени [T,T+t) не зависит от того, сколько требований и каким образом поступало до момента Т.

Определение 9. Поток заявок называется ординарным, если , , , где - вероятность поступления двух или более заявок в промежутке

Определение 10. Простейшим потоком называется стационарный ординарный поток без последействия.

Определение 11. Стационарный поток, для которого вероятность поступления k заявок за время t равна называется простейшим или пуассоновским потоком с параметром .

В силу (1) среднее число заявок, поступающих за время t, равно . Значит - среднее число заявок, поступающих в единицу времени. Поэтому называют интенсивностью пуассоновского потока.

1.3 Время обслуживания

Рассмотрим работу обслуживающего прибора (канала, линии). Длительности обслуживания заявок неотрицательные величины.

Обозначим через длительность обслуживания k-ой заявки, которую предполагают статистически независимой от поступающего на прибор потока заявок. Пусть B(t) - функция распределения времени обслуживания заявки.

Говорят, что обслуживание задано, если задано совместное распределение случайных величин , причем для различных n эти распределения согласованы.

Определение 12. Обслуживание называется рекуррентным, если независимы и одинаково распределены.

Определение 13. Рекуррентное обслуживание с называют экспоненциальным (показательным) с параметром .

Если время обслуживания любой заявки неслучайно (и равно b единиц времени), то обслуживание называют детерминированным или регулярным.

1.4 Сети Джексона

Теорема Джексона (для решения уравнения локального равновесия)

Решение системы уравнений

имеет вид



Определение 14. Матрица

называется маршрутной матрицей, а элемент - вероятность перехода из i в j.

Стационарное распределение имеет вид:

,

где .

В частном случае, когда, стационарное распределение имеет следующий вид :

, где.

Отсюда следует, что

,

тогда

В частном случае, когда, имеем

Теорема Фостера.

Консервативная марковская цепь с непрерывным временем и счетным числом состояний эргодична, если она неприводима и система уравнений имеет нетривиальное решение такое, что При этом существует единственное стационарное распределение, которое совпадает с эргодическим.

Лемма Келли.

Пусть - равновесная стационарная консервативная цепь Маркова с непрерывным временем, - распределение вероятностей на X и существует функция , ставящая в соответствие и удовлетворяющая . Для того, чтобы являлось стационарным распределением цепи , необходимо и достаточно, чтобы

.

В этом случае цепь с обращенным временем консервативна, а ее стационарное распределение совпадает со стационарным распределением первоначальной цепи.

1.5 Инвариантность стационарного распределения

Рассмотрим СМО с потерями, состоящую из n приборов. Длительность обслуживания - случайная величина с функцией распределения - ее математическое ожидание. Основной интерес представляют стационарные характеристики , где - вероятность того, что в момент времени t заняты обслуживанием k приборов.

Необходимо доказать, что эта формула справедлива

Рассмотрим случайный процесс (СП) Пусть число приборов, в момент t занятых обслуживанием требований, обозначим - длительность времени обслуживания с момента t до того момента, когда прибор с j-ым индексом закончит обслуживание, длящееся в момент t.

Пусть входящий в открытую марковскую сеть массового обслуживания поток заявок описывается чистым процессом размножения с интенсивностью ?, причем в i-ую систему массового обслуживания входящая заявка поступает с вероятностью . Времена обслуживания заявок в i-той системе массового обслуживания распределены по показательному закону , зависящим от текущего числа заявок в i-той системе i=1,...,n.

Дисциплины обслуживания заявок в системе сети FIFO. Переходы заявок между системами, а также уход заявки из сети описывается неприводимой цепью Маркова. Заявка, завершающая обслуживание в системе , переходит с вероятностью в систему , есть вероятность ухода заявки из i-ой системы массового обслуживания сети.

В этом случае многомерный процесс N (t), определяющий состояние сети, является многомерным аналогом процесса размножения и гибели.

Предположим, что существует стационарное распределение , где принимает все возможные значения. Тогда, аналогично одномерному процессу размножения и гибели, можно показать, что стационарное распределение единственно и удовлетворяет системе уравнений равновесия (баланса), которая представляет собой систему линейных разностных уравнений:

Здесь

, , где i=1,…,n и - символ Кронекера.

- вектор размерности n, компоненты которого равны нулю, за исключением i-той.

Для упрощения системы (1) введем величины так, что есть полная интенсивность поступления заявок в системы . Интенсивность состоит из интенсивности потока заявок, поступающих извне , и интенсивности поступления заявок в систему от других СМО, в том числе и от самой системы .

Поэтому

. (2)

Из (2) получим

. (3)

Соотношение (2) иногда называют законом сохранения потока заявок. Оно говорит о том, что интенсивность входящего потока заявок в i-тую СМО, i=1,...,n, в стационарном режиме равна интенсивности входящего потока заявок из этой системы.

Вид функции распределения находится из системы дифференциально-разностных уравнений для случайного процесса . Отсюда и .

1.6 Сети массового обслуживания с положительными и отрицательными заявками

Рассмотривается открытая сеть МО, состоящая из N узлов (в каждом узле находится 1 прибор). Узлы взаимодействуют независимо друг друга и имеют экспоненциальные времена обслуживания с интенсивностями для i-го узла i=1…N. В сети циркулируют 2 типа заявок «положительные» и «отрицательные». Положительные заявки поступают извне в очередь i-го узла, в соответствии с пуассоновским процессом интенсивности , а отрицательные заявки образуют пуассоновский поток поступления интенсивности в i-тую очередь (i=1…N). Положительная заявка ведет себя как обычная заявка. Поступая в очередь она увеличивает ее длину на 1, она требует обычного обслуживания, покидая узел после обслуживания, она уменьшает длину очереди на 1. Отрицательная заявка, поступающая в очередь, сокращает общее число заявок в очереди на 1, если длина очереди положительная, и не воздействует на нее, если длина очереди равна нулю. Отрицательные заявки не требуют обслуживания. Положительная заявка, которая покидает i-тый узел после окончания обслуживания, направляется в j-тый узел как положительная заявка с вероятностью , либо как отрицательная с вероятностью , либо покидает сеть с вероятностью (i, j =1…N). Обозначим =+- вероятность перехода, выражающая перемещение заявок между узлами. Очевидно, что (i=1…N).Длина очереди составляется только с помощью положительных заявок.

Уравнение трафика.

Обозначим через

=,

где есть решения системы нелинейных уравнений трафика:

+

=+ (i=1…N).

Пусть - марковский процесс, описывающий поведение сети. - длина очереди положительных заявок в i-том узле. - пространство состояний нашего процесса. Пусть , тогда эти стационарные вероятности удовлетворяют уравнениям равновесия:

=+++

+, ().

Теорема Геленбе.

Стационарное распределение рассматриваемой модели имеет мультипликативную форму =, если ! неотрицательное решение уравнений трафика ( и , i=1,…, n) такое, что (i=1…n).

Если из рассматриваемой модели исключить отрицательные заявки, т.е. положить =0 и =0 (i=1…N), тогда =0 (i=1…N) и уравнения трафика превращаются в обычные линейные уравнения трафика сети Джексона, а сама модель и результаты совпадают с результатами, полученными для сетей Джексона.

Если в модель замкнутой сети включить в рассмотрение отрицательные заявки, то если хотя бы одна вероятность >0, то очевидно, что через некоторое время число заявок в сети станет равным нулю и стационарное распределение будет: , а Р=0, где(- ненулевой вектор). Этот случай неинтересен для исследования, следовательно замкнутые сети с отрицательными заявками не рассматриваются.

2 СТАЦИОНАРНОЕ ФУНКЦИОНИРОНИЕ СЕТИ С РОМБОВИДНЫМ КОНТУРОМ. МАРКОВСКИЙ СЛУЧАЙ

2.1 Описание модели

Рис.1 Схематическое изображение сети

Пуассоновский поток заявок интенсивностью входит в открытую четырехузловую сеть и попадает с вероятностью на первый узел и с вероятностью на второй узел.

В каждом узле находится экспоненциальный прибор, время обслуживания заявок в узлах распределены по показательному закону с параметром , не зависящим от текущего числа заявок в i-той системе.

После окончания обслуживания из первого узла заявка может перейти в очередь третьего узла с вероятностью 1.

После окончания обслуживания из второго узла заявка может перейти в очередь третьего узла с вероятностью 1.

После окончания обслуживания из третьего узла заявка может перейти в очередь первого и четвертого узлов:

- на первый с вероятностью ;

- на четвертый с вероятностью .

После окончания обслуживания из четвертого узла заявка может перейти в очередь второго узла с вероятностью и из четвертого узла может выйти за пределы системы с вероятностью . (рис.1)

2.2 Уравнения трафика

Составим уравнение трафика:

Решаем данную систему:

Таким образом, уравнение трафика имеет единственное положительное решение:

2.3 Уравнение равновесия

Из состояния может перейти в одно из следующих состояний:

- за счет поступления заявки в очередь первого узла с интенсивностью ;

- за счет поступления из первого узла обработанной в нем заявки в очередь третьего узла с интенсивностью при условии, что число заявок в очереди первого узла ненулевое ;

- за счет поступления из третьего узла обработанной в нем заявки в очередь четвертого узла с интенсивностью при условии, что число заявок в очереди третьего узла ненулевое ;

- за счет поступления из третьего узла обработанной в нем заявки в очередь первого узла с интенсивностью при условии, что число заявок в очереди третьего узла ненулевое ;

- за счет поступления из четвертого узла обработанной в нем заявки в очередь второго узла с интенсивностью при условии, что число заявок в очереди третьего узла ненулевое ;

- за счет выхода из четвертого узла обработанной заявки за пределы системы с интенсивностью ;

- за счет поступления заявки извне в очередь второго узла с интенсивностью ;

- за счет поступления из второго узла обработанной заявки в очередь третьего узла с интенсивностью при условии, что число заявок в очереди второго узла ненулевое .

В состояние можно перейти из одного из состояний:

- за счет поступления заявки в очередь первого узла с интенсивностью ;

- за счет поступления из первого узла обработанной заявки в очередь третьего узла с интенсивностью при условии, что число заявок в очереди первого узла ненулевое ;

- за счет поступления из третьего узла обработанной заявки очередь четвертого узла с интенсивностью при условии, что число заявок в очереди третьего узла ненулевое ;

- за счет поступления из третьего узла обработанной заявки в очередь первого узла с интенсивностью при условии, что число заявок в очереди третьего узла ненулевое ;

- за счет поступления из четвертого узла обработанной заявки в очередь второго узла с интенсивностью при условии, что число заявок в очереди третьего узла ненулевое ;

- за счет выхода из четвертого узла обработанной заявки за пределы системы с интенсивностью ;

- за счет поступления заявки извне в очередь второго узла с интенсивностью ;

- за счет поступления из второго узла обработанной заявки в очередь третьего узла с интенсивностью при условии, что число заявок в очереди второго узла ненулевое .

Общий вид уравнения равновесия выглядит следующим образом:

Приравнивая интенсивности выхода из состояний и входа в состояния, получим следующее равенство:

2.4 Стационарное распределение

Стационарное распределение имеет следующий вид:



Составим уравнения локального равновесия:

Для проверки правильности решения подставим стационарное распределение в уравнения локального равновесия:

Разделим на :



Разделим на :

Разделим на :



Разделим на :

Приводя подобные, получили систему верных равенств:

Следовательно, найденное решение является верным.

Поскольку , то

откуда получаем:

Вычислив суммы членов бесконечных геометрических прогрессий, получим:

Тогда окончательно стационарное распределение запишется в виде:

2.5 Условие эргодичности

Для проверки эргодичности системы воспользуемся эргодической теоремой Фостера:

Консервативная марковская цепь с непрерывным временем и счетным числом состояний эргодична, если она неприводима и система уравнений имеет нетривиальное решение :.

При этом существует единственное стационарное распределение, совпадающее с эргодическим.

Проверим данные условия:

Этот ряд будет сходиться, если

При выполнении этих условий данная система эргодична.

3 СТАЦИОНАРНОЕ ФУНКЦИОНИРОНИЕ СЕТИ С РОМБОВИДНЫМ КОНТУРОМ. НЕМАРКОВСКИЙ СЛУЧАЙ

3.1 Немарковский случай. Описание модели

Дана модель открытой сети массового обслуживания таже, что в марковском случае только предполагается, что длительность обслуживания отдельного требования распределена по произвольному закону.

Рис.2 Схематическое изображение сети

Пусть - произвольная функция распределения времени обслуживания заявки в i-том узле, при этом предполагаем, что выполняется следующее требование:

Заявка, поступающая в i-ый узел, вытесняет заявку с прибора и начинает обслуживаться. Вытесненная заявка идет в начало очереди. Такая дисциплина облуживания называется LSCFS PR.

 - немарковский процесс.

Позиции нумеруются в соответствии с рисунком:

1	2	3	…

Рис.3 i- тый узел

Состояние сети в момент времени t определяется вектором

где

Ї остаточное время обслуживания заявки, стоящей в i-ой позиции первой подсистемы;

Ї остаточное время обслуживания заявки, стоящей в i-ой позиции второй подсистемы;

Ї остаточное время обслуживания заявки, стоящей в i-ой позиции третьей подсистемы;

Ї остаточное время обслуживания заявки, стоящей в i-ой позиции четвертой подсистемы.

3.2 Составление дифференциально-разностных уравнений

Рассматриваем случайный процесс

,

где h - некоторый достаточно малый промежуток времени.

Тогда вероятность события А будет равна сумме следующих вероятностей:

1) если в промежуток h в систему не пришло ни одного требования и ни на одном приборе обслуживание не закончилось:

2)

3) если в промежуток времени h первая подсистема обслужила одну заявку, и произошел переход заявки на третью подсистему, то:

;

4) если в промежуток времени h вторая подсистема обслужила одну заявку, и произошел переход заявки на третью подсистему, то:

;

5) если в промежуток времени h третья подсистема обслужила одну заявку, и произошел переход заявки на первую подсистему с вероятностью , то:

6) если в промежуток времени h третья подсистема обслужила одну заявку, и произошел переход заявки на четвертую подсистему с вероятностью , то:

7) если в промежуток времени h четвертая подсистема обслужила одну заявку, и произошел переход заявки на вторую подсистему с вероятностью , то:



;

8) если в промежуток времени h четвертая подсистема обслужила одну заявку, и произошел выход заявки из системы с вероятностью , то:

,

;

9) если в промежуток времени h на первую подсистему поступила заявка с интенсивностью , то:

,

;

10) если в промежуток времени h на вторую подсистему поступила заявка с интенсивностью , то:



.

Получим:

,

,

Введем функцию



и составим уравнения Колмогорова:

Используя формулы Тейлора



преобразуем полученное равенство:



Приводя подобные члены, деля обе части равенства на h и переходя к пределу при h>0, получим:

Существуют положительные пределы (по теореме Смита для регенерирующих процессов)

Так как предельные функции не зависят от времени, то уравнения примут вид:

3.3 Решение дифференциально-разностных уравнений

Непосредственной подстановкой можем убедиться, что решением данного уравнения будет:

Для этого найдем

Тогда получим, что



Подставим полученные выражения в уравнения:

Приведя подобные, получили верное равенство. Таким образом,

Ї

действительно является решением дифференциально-разностных уравнений.

Учитывая, что - произвольные функции распределения с конечными математическими ожиданиями

,

стационарные вероятности немарковского процесса будут равны

Из условия найдем, что

Таким образом, доказано, что при любом распределении времени обслуживания заявки с фиксированным математическим ожиданием стационарное распределение немарковского процесса совпадает со стационарным распределением этого же, но марковского процесса. Этим установлена инвариантность стационарного распределения по отношению к распределению времени обслуживания с фиксированным математическим ожиданием для этой дисциплины облуживания.

4 СТАЦИОНАРОНОЕ ФУНКЦИОНИРОВАНИЕ СЕТИ С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЗАЯВКАМИ

4.1 Описание модели

Рис.4 Схематическое изображение сети

Дана СеМО с положительными и отрицательными заявками. Положительные увеличивают длину очереди на 1, а отрицательные - уменьшают ее на 1, при условии, что очередь не пустая. Входящий поток и обслуживание имеют Пуассоновское распределение. - интенсивность потока положительных заявок, идущих к i-му узлу; - интенсивность потока отрицательных заявок, идущих к i-му узлу. Сеть характеризуется вектором , где - число положительных заявок в очереди.

4.2 Система уравнений трафика

Составим систему уравнений трафика:

 (4.1)

где =, =, =, .

Тогда систему можно переписать в виде:

(4.2)

Выразим , , , через :

=-1;

=;

(4.3)

Для исследования решения системы уравнений трафика, используя формулы (4.3) и систему (4.2), составим уравнение относительно :

Сделаем замену t=:

Приводя подобные слагаемые, получим квадратное уравнение:

Решаем полученное квадратное уравнение:



Так как - положительные числа, то очевидно, что дискриминант положителен. Таким образом, квадратное уравнение имеет один положительный корень:

Возвращаясь к замене , получим, что ,,,, также будут положительны:

=

Таким образом, уравнение трафика имеет единственное положительное решение:

4.3 Уравнение равновесия.

Введем обозначения:

.

Тогда уравнение равновесия имеет вид:

(4.4)

4.4 Стационарное распределение

Введем обозначения:

(4.5)

которые можно записать в виде

(4.6)

С учетом обозначений (4.5) система (4.1) запишется следующим образом:

(4.7)

По теореме Геленбе стационарное распределение будет иметь вид:

Подставим стационарное распределение в уравнение равновесия (4.4) и сократим обе части на неравный нулю множитель :

Преобразуем выражение это выражение, деля обе части на неравный нулю множитель и группируя коэффициенты при индикаторах, получим:

(4.8)

Преобразуем выражения при индикаторах с помощью (4.6) и (4.7):

Подставим в выражение (4.8), получим:

(4.9)

Проверим справедливость теоремы Геленбе, перебирая все возможные значения вектора , подставляя их в (4.9).

Рассмотрим по отдельности все возможные случаи:

1)

Верное равенство.

2)

Верное равенство.



Верное равенство.

3)

Верное равенство.

4)

Верное равенство.

5)

Верное равенство.

6)

Верное равенство.

7)

Верное равенство.

8)

Верное равенство.

9)

Верное равенство.

10)

Верное равенство.

11)

Верное равенство.

12)

Верное равенство.

13)

Верное равенство.

14)

Верное равенство

15)

Верное равенство.

Таким образом, доказано, что стационарное распределение сети с отрицательными заявками действительно имеет вид



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В дипломной работе исследовано стационарное распределение сети с ромбовидным контуром:

- для марковского процесса (описана модель сети, составлены и решены уравнение трафика, уравнение равновесия, определены условия эргодичности);

- для немарковского процесса (описана модель сети, составлены и решены дифференциально-разностные уравнения, найдено стационарное распределение, доказана инвариантность стационарного распределения);

- для сети с отрицательными заявками (описана модель сети, составлены и решены уравнение трафика, уравнение равновесия, найдено стационарное распределение).

Краткие выводы:

1) Сеть с ромбовидным контуром для марковского процесса

имеет единственное стационарное распределение следующего вида:

Сеть является эргодичной при одновременном выполнении условий

2)Стационарные вероятности немарковского процесса равны

массовое обслуживание стационарное распределение

При любом распределении времени обслуживания заявки с фиксированным математическим ожиданием стационарные распределения марковского процесса и немарковского совпадают (стационарное распределение при дисциплине обслуживания LCFS PR инвариантно по отношению к распределению времени обслуживания с фиксированным математическим ожиданием);

3) Стационарное распределение сети с отрицательными заявками имеет следующий вид:

где

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1 Малинковский, Ю. В. Методические указания по спецкурсу «Теория марковских процессов» для студентов 3-5 курсов математического факультета [Текст] / Ю. В. Малинковский. - Гомель: ГГУ им. Ф. Скорины

2 Буриков, А. Д. Теория массового обслуживания (учебное пособие по спецкурсу) / А. Д. Буриков, Ю. В. Малинковский, М. А. Маталыцкий. - Гродно: 1984. -108 стр.

3 Ширяев, А. Н. Вероятность / А.Н. Ширяев. - Москва: 1980.- стр. 529-554.

4 Бочаров, П. П. Теория массового обслуживания (учебное пособие) / П. П. Бочаров, А. В. Печинкин. - М.: изд-во РУДН: 1995.- 529 стр.

5 Вентцель, А. Д. Курс теории случайных процессов / А. Д. Вентцель. - М.: 1996.- 400 стр.

Размещено на Allbest.ru