Математические основы теории систем

3

Задача 1. Элементы теории графов

Связный ориентированный граф G (Х, Г) задан множеством вершин X={x₁, x₂, …, x_n} и отображением Гx_i={x_|Ik|, x_|Il|}, i =1, 2,…, n. Здесь i - текущий номер вершины, n- количество вершин графа. Значение индексов n, k и l возьмем из табл.1 в соответствии с номером варианта. Индексы k и l формируют значения индексов , , … переменной x в отображении Гx_i = {x , x , x,…}. Если значения индексов , , … переменной x не соответствуют ни одному из номеров вершин графа, то эта переменная не учитывается во множестве Гx_i.

Выполнить следующие действия:

а) определить исходный граф и ассоциированный с ним неориентированный граф графическим, матричным и аналитическим способами;

б) установить центры и периферийные вершины графов, найти радиусы и диаметры графов;

в) выделить в ориентированном графе два подграфа. Найти объединение, пересечение и разность подграфов;

г) описать систему уравнений, соответствующую сигнальному графу, считая, что передача между вершинами x_i и x_j

i*j при i j;

Kij =

1/ (p+1) при i<j .

Найти передачу между вершинами x₁ и x_n, используя правило Мезона. Построить структуру кибернетической системы, определяемой топологией графа;

Таблица 1

№ варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
N	5	5	5	5	5	5	5	5	5	6	6	6	6	6	6
K	2	3	4	1	1	1	3	5	2	4	2	3	4	5	6
L	1	1	1	2	3	4	2	1	3	3	1	1	1	1	1
№ варианта	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
N	6	6	6	6	6	6	6	6	6	7	7	7	7	7	7
K	1	1	1	1	3	2	5	5	2	3	4	5	6	5	3
L	2	3	4	5	2	3	2	3	3	2	3	2	1	3	5

Решение:

Множество вершин

X = {x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆ }, n = 6 k = 2, l = 1 Гx_i={x_|Ik|, x_|Il|}.

а) определим исходный граф и ассоциированный с ним неориентированный граф графическим, матричным и аналитическим способами:

Определим граф аналитическим способом:

Гx₁ = { x₁, x₃, x₂ };

Гx₂ = { x₄, x₁, x₃ };

Гx₃ = { x₁, x₅, x₂, x₄ };

Гx₄ = { x₂, x₆, x₃, x₅ };

Гx₅ = { x₃, x₄, x₆ };

Гx₆ = {x₄, x₅ }.

Ориентированный граф графическим способом:

Неориентированный граф графическим способом:

Ориентированный граф матричным способом:

R_G - матрица смежности

	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x1	1*	1	1	0	0	0
x2	1	0	1	1	0	0
x3	1	1	0	1	1	0
x4	0	1	1	0	1	1
x5	0	0	1	1	0	1
x6	0	0	0	1	1	0

A_G - матрица инцидентности

	v1	v2	v3	v4	v5	v6	v7	v8	v9	v10	v11	v12	v13	v14	v15	v16	v17	v18	v19
x1	1*	1	-1	0	0	0	0	0	0	0	0	1	-1	0	0	0	0	0	0
x2	0	-1	1	1	-1	0	0	0	0	0	0	0	0	1	-1	0	0	0	0
x3	0	0	0	-1	1	1	-1	0	0	0	0	-1	1	0	0	1	-1	0	0
x4	0	0	0	0	0	-1	1	1	-1	0	0	0	0	-1	1	0	0	1	-1
x5	0	0	0	0	0	0	0	-1	1	1	-1	0	0	0	0	-1	1	0	0
x6	0	0	0	0	0	0	0	0	0	-1	1	0	0	0	0	0	0	-1	1

Неориентированный граф матричным способом:

R_D - матрица смежности

	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x1	1*	2	2	0	0	0
x2	2	0	2	2	0	0
x3	2	2	0	2	2	0
x4	0	2	2	0	2	2
x5	0	0	2	2	0	2
x6	0	0	0	2	2	0

A_D - матрица инцидентности

	v1	v2	v3	v4	v5	v6	v7	v8	v9	v10	v11	v12	v13	v14	v15	v16	v17	v18	v19
x1	1*	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	0	0	0	0	0	0
x2	0	1	1	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	0	0	0	0
x3	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0
x4	0	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	0	0	1	1
x5	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	0	0
x6	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	0	0	0	0	0	0	1	1

б) установить центры и периферийные вершины графов, найти радиусы и диаметры графов:

- матрица отклонений имеет вид:

	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x1	1	1	1	2	2	3
x2	1	0	1	1	2	2
x3	1	1	0	1	1	2
x4	2	1	1	0	1	1
x5	2	2	1	1	0	1
x6	3	2	2	1	1	0

- вектор отклонения

=>

х₂, х₃, х₄, х₅ - центры графа с наименьшей удаленностью. Радиус с (G) = 2.

Периферийными вершинами являются вершины х₁, х₆ с наибольшей удаленностью. Диаметр графа D (G) = 3.

в) выделим в ориентированном графе два подграфа и найдем объединение, пересечение и разность подграфов.

Выделяем два подграфа: G₁ и G₂

X₁ - {x₁, x₂}, Г_1х1 = {x₁, x₂}, Г_1х2 = {x₁},

X₂ - {x₁, x₂, x₃}, Г_2х1 = {x₂}, Г_2х2 = {x₃}, Г_2х3 = {x₂}.

Объединение ,

,, , .

G

Пересечение

,,, .

G

Разность

,

, , .

G

г) Считая, что передача между вершинами x_i и x_j

i*j при i j;

Kij =

1/ (p+1) при i<j .

Сигнальный граф имеет вид

Система уравнений, соответствующая сигнальному графу имеет вид

x₁ = x₁ +2x₂ +3x₃

x₂ = x₁ +6 x₃ +8 x₄

x₃ = x₁ + x₂+12x₄ +15x₅

x₄ = x₂ + x₃ +20 x₅ +24x₆

x₅ = x₃ + x₄ +30x₆

x₆ = x₄ +x₅

Определить передачу k₁₆ по правилу Мезона. Формула Мезона имеет вид

P_S - передача пути,

D_S - алгебраическое дополнение,

D - определитель.

Пути из х₁ в х₆ и передаточные функции для каждого из них имеют вид:

Контура:

;

;;

;;

;;

;;

;;

;

;.

;.

Пары несоприкасающихся контуров

L₁L₃, L₁L₄, L₁L₅, L₁L₆, L₁L₈, L₁L₉, L₁L₁₀, L₁L₁₃, L₁L₁₄, L₁L₁₅, L₁L₁₆, L₁L₁₇, L₁L₁₈;

L₂L₄, L₂L₅, L₂L₆, L₂L₈, L₂L₉, L₂L₁₀, L₂L₁₅, L₂L₁₆, L₂L₁₇, L₂L₁₈;

L₃L₅, L₃L₆, L₃L₁₀, L₃L₁₇, L₃L₁₈;

L₄L₆, L₅L₇; L₅L₁₁, L₅L₁₂, L₆L₇, L₆L₈, L₆L₁₁, L₆L₁₂, L₆L₁₃, L₆L₁₄;

L₇L₈, L₇L₁₀, L₇L₁₇, L₇L₁₈;

L₈L₉, L₉L₁₀, L₁₀L₁₁, L₁₀L₁₂, L₁₁L₁₇, L₁₁L₁₈, L₁₂L₁₇, L₁₂L₁₈.

Независимые тройки

L₁L₃L₅, L₁L₃L₆, L₁L₃L₁₀, L₁L₃L₁₇, L₁L₃L₁₈, L₁L₄L₆, L₁L₆L₈, L₁L₆L₁₃, L₁L₆L₁₄, L₁L₈L_9,L₁L₉L₁₀, L₂L₄L₆, L₂L₉L₁₀, L₆L₇L_8.

Отсюда

D = 1 - (L₁ +L₂ +L₃ +L₄ +L₅ + L₆ +L₇ + L₈ +L₉ +L₁₀ +L₁₁ +L₁₂ +

+L₁₃ +L₁₄+L₁₅ +L₁₆+L₁₇ +L₁₈)+ (L₁L₃+L₁L₄+L₁L₅+L₁L₆+L₁L₈+L₁L₉+L₁L₁₀+L₁L₁₃+L₁L₁₄+L₁L₁₅+L₁L₁₆+L₁L₁₇+L₁L₁₈+L₂L₄+L₂L₅+L₂L₆+L₂L₈+L₂L₉+L₂L₁₀+L₂L₁₅+L₂L₁₆+L₂L₁₇+L₂L₁₈ +L₃L₅+L₃L₆+L₃L₁₀+L₃L₁₇+L₃L₁₈ L₄L₆+L₅L₇+L₅L₁₁+L₅L₁₂+L₆L₇+L₆L₈+L₆L₁₁+L₆L₁₂+L₆L₁₃+L₆L₁₄+L₇L₈+L₇L₁₀+L₇L₁₇+L₇L₁₈+L₈L₉+L₉L₁₀+L₁₀L₁₁+L₁₀L₁₂+L₁₁L₁₇+L₁₁L₁₈+L₁₂L₁₇+L₁₂L₁₈) -

(L₁L₃L₅+L₁L₃L₆+L₁L₃L₁₀+L₁L₃L₁₇+L₁L₃L₁₈+L₁L₄L₆+L₁L₆L₈+L₁L₆L₁₃+L₁L₆L₁₄+L₁L₈L₉+L₁L₉L₁₀+L₂L₄L₆+L₂L₉L₁₀+L₆L₇L₈).

D₁ = 1- L₈;

D₂ = 1;

D₃ = 1;

D₄ = 1 - L₉;

D₅ = 1;

D₆ = 1.

.

Структура кинематической системы представлена на рисунке:

Задача 2. Задача о максимальном потоке и потоке минимальной стоимости

Транспортная сеть задана в виде ориентированного графа, приведенного на рисунке.

На каждом из ребер проставлены значения пропускной способности С () ребра .

Для заданной сети определить максимальный поток _max транспортировки груза между указанной парой вершин, считая одну из них источником, а другую -- стоком.

Решение:

Максимальный поток _max транспортировки груза между указанной парой вершин, считая одну из них источником, а другую -- стоком:

Первый шаг.1. Находим какой-либо путь из х₁ в х₉ с положительной пропускной способностью.

Tаблица 1.

	x1	x2 (1)	x3 (1)	x4 (1)	x5 (2)	x6 (3)	x7 (3)	x8 (2)	x9 (6)
x1		7	9-	4
x2	0			8	3			6
x3	0+			5		8-	4
x4	0	0	0				9	2
x5		0						2
x6			0+				5		3-
x7			0	0		0		7	6
x8		0		0	0		0		8
x9						0+	0	0

В результате получен путь l₁ = (x₁, х₃, х₆, х₉). Элементы этого пути C_ij помечаем знаком минус, а симметричные элементы C_ji - знаком плюс.

Определяем пропускную способность найденного пути, которая равна наименьшей из пропускных способностей дуг:

Определяем остаточные пропускные способности дуг найденного пути и симметричных ему дуг. Для этого из элементов табл.1 вычитаем C₁, а к элементам прибавляем C₁. В результате получим новую табл.2 с измененными пропускными способностями.

Tаблица 2

	x1	x2 (1)	x3 (1)	x4 (1)	x5 (2)	x6 (3)	x7 (3)	x8 (2)	x9 (7)
x1		7	6-	4
x2	0			8	3			6
x3	3+			5		5	4-
x4	0	0	0				9	2
x5		0						2
x6			3				5		0
x7			0+	0		0		7	6-
x8		0		0	0		0		8
x9						3	0+	0

Второй шаг.1. Помечаем столбцы табл.2, находим второй путь l₂ = (x₁,x₃, х₇, х₉) и расставляем знаки.

2. Пропускная способность пути l₂

Изменим пропускные способности помеченных дуг на С₂ в табл.3.

Tаблица 3

	x1	x2 (1)	x3 (1)	x4 (1)	x5 (2)	x6 (3)	x7 (4)	x8 (2)	x9 (7)
x1		7	2	4-
x2	0			8	3			6
x3	7			5		5	0
x4	0+	0	0				9-	2
x5		0						2
x6			3				5		0
x7			4	0+		0		7	2-
x8		0		0	0		0		8
x9						3	4+	0

Третий шаг.1. Пометив столбцы, находим l₃ = (x₁, х₄, х₇,x₉).

Величина потока по пути l₃

Вычислив новые пропускные способности дуг, приходим к табл.4.

Таблица 4

	x1	x2 (1)	x3 (1)	x4 (1)	x5 (2)	x6 (3)	x7 (4)	x8 (2)	x9 (8)
x1		7-	2	2
x2	0+			8	3			6-
x3	7			5		5	0
x4	2	0	0				7	2
x5		0						2
x6			3				5		0
x7			4	2		0		7	0
x8		0+		0	0		0		8-
x9						3	6	0+

Четвертый шаг.1. Помечаем столбцы табл.4, находим четвертый путь l₄ = (x₁, х₂, х₈, х₉) и расставляем знаки.

2. Пропускная способность пути l₄

Изменим пропускные способности помеченных дуг на С₄ в табл.5.

Таблица 5

	x1	x2 (1)	x3 (1)	x4 (1)	x5 (2)	x6 (3)	x7 (4)	x8 (4)	x9 (8)
x1		1	2	2-
x2	6			8	3			0
x3	7			5		5	0
x4	2+	0	0				7	2-
x5		0						2
x6			3				5		0
x7			4	2		0		7	0
x8		6		0+	0		0		2-
x9						3	6	6+

Пятый шаг.1. Помечаем столбцы табл.5, находим четвертый путь l₅ = (x₁, х₄, х₈, х₉) и расставляем знаки.

2. Пропускная способность пути l₅

Изменим пропускные способности помеченных дуг на С₅ в табл.6.

Таблица 6

	x1	x2 (1)	x3 (1)	x4 (1)	x5 (2)	x6 (3)	x7 (4)	x8 (5)	x9
x1		1	2	0
x2	6			8	3			0
x3	7			5		5	0
x4	4	0	0				7	0
x5		0						2
x6			3				5		0
x7			4	2		0		7	0
x8		6		2	0		0		0
x9						3	6	8

Шестой шаг. Просматривая строки и помечая столбцы, убеждаемся в том, больше не существует ни одного пути с положительной пропускной способностью из вершины x₁ в вершину x₉. Подмножество R образуют помеченные вершины х₁, х₂, х₃, х₄, х₅, х₆, х₇, х₈, а подмножество - одна непомеченная вершины х₉. Разрез с минимальной пропускной способностью образуют дуги, начальные вершины которых принадлежат подмножеству R, а конечные - . Таким образом, разрез с минимальной пропускной способностью . Удалив дуги этого разреза, блокируем все пути из источника в сток. Пропускная способность разреза

Заключительный шаг. Вычитая из элементов табл.1 соответствующие элементы табл.6, получим табл.7

Таблица 7.

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9
x1		6	7	4
x2	-6			0	0			6
x3	-7			0		3	4
x4	-4	0	0				2	2
x5		0						0
x6			-3				0		3
x7			4	2		0		0	6
x8		-6		-2	0		0		8
x9						-3	-6	-8

Величина максимального потока равна сумме элементов x₁-й строки табл.7 или сумме элементов x₉-го столбца.

Максимальный поток равен .

Задача 3. Анализ сетей Петри

Сеть Петри задана графически (рис.23…30). В табл.1 в соответствии с вариантом и указанным номером рисунка приведены различные начальные маркировки сети.

Выполнить следующие действия:

Описать сеть аналитическим и матричным способами.

Проверить условия срабатывания каждого из переходов и найти новые маркировки, к которым приведет срабатывание соответствующих переходов, путем выполнения матричных преобразований.

Построить дерево достижимости заданной сети.

Проверить, является ли достижимой одна из маркировок, получаемых на четвертом шаге построения дерева, составив и решив матричные уравнения.

Таблица 1

№ варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
1	0	1	0	1	1	1	1	2	2	0	1	3	0	1	1
2	1	2	2	2	3	1	2	2	1	2	3	1	1	2	0
3	2	3	1	0	1	1	1	3	2	1	0	1	2	3	3
4	3	1	3	4	0	2	1	1	0	1	1	2	1	1	2
5	1	2	5	1	2	2	3	0	3	3	2	0	3	2	1
№ рисунка	Рис.23	Рис.27	Рис.28	Рис.29

Решение:

Опишем сеть аналитическим и матричным способами. Приведем графическое представление сети Петри, в которой позиции P = {p₁, p₂, p₃, p₄, p₅} и переходы T = {t₁, t₂, t₃ , t₄ }.

Начальная маркировка сети обозначается вектором м₀ [м₁,м₂,м₃,м₄,м₅], м₀ [1 3 0 1 2]. Отсюда получим:

При аналитическом способе задания сеть Петри задается как C = (P,T,F,H,м₀), где, кроме множеств позиций Р и переходов Т, задаются входная F и выходная Н функции.

Через F (t_j) обозначается множество входных позиций, а через H (t_j) - множество выходных позиций перехода t_j; м₀ - начальная маркировка сети.

F (t₁) = {p₅},H (t₁) = {p₁, p₂ },

F (t₂) = {p₁},H (t₂) = {p₃, p₄},

F (t₃) = {p₃, p₄}H (t₃) = {p₁ },

F (t₄) = {p₂, p₃, p₄}H (t₄) = {p₅ }.

м₀ [1 3 0 1 2]

Матричная форма определения сети Петри эквивалентна аналитическому способу задания C = (P,T,D^-,D⁺,м⁰). Здесь D^- и D⁺ - матрицы входных и выходных инциденций соответственно размером m Ч n, где m - число переходов и n - число позиций.

Элемент d_ij^- матрицы D^- равен кратности дуг, входящих в i-й переход из j-й позиции.

Элемент d_ij⁺ матрицы D⁺ равен кратности дуг, выходящих из i-ro перехода в j-ю позицию.

Для рассматриваемой сети Петри

Матрица D = D⁺ - D ^- называется матрицей инцидентности сети Петри,

2. При начальной маркировке м₀ [1 3 0 1 2] сети Петри разрешенными являются переходы t₁ и t₂.

Условия срабатывания для перехода t₃ и t₄ не выполняется.

Переход t₁

[м₀] ? [1000]* D^- = [1000] · ; [1 3 0 1 2] ? [00001] -

условие выполняется, переход разрешен.

Новая маркировка при срабатывании перехода t₁ равна:

.

Переход t₂

[м₀] ? [0100]* D^- = [0100] ·;[1 3 0 1 2] ? [10000] -

условие выполняется, переход разрешен.

Новая маркировка при срабатывании перехода t₂ равна:

.

Переход t₃

[м₀] ? [0010]* D^- = [0010] ·;[1 3 0 1 2] ? [00110] - условие не

выполняется, переход запрещен.

Переход t₄

[м₀] ? [0001]* D^- = [0001] ·;[1 3 0 1 2] ? [01110] -

условие не выполняется, переход запрещен.

Построим дерево достижимости заданной сети.

Проверим, является ли достижимой одна из маркировок, полученных на пятом шаге построения дерева, составив и решив матричные уравнения.

Уравнение принимает вид

Перенесем в левую часть и выполним умножение, тогда

.

Приравняем составляющие векторов

Система имеет решение x₁ = 1; x₂ = 2; x₃ = 0; x₄ = 2.

Это значит, что исследуемая маркировка достижима и в последовательности срабатываний переход t₁ срабатывает один раз, переходы t₂ и t₄ - по два раза, переход t₃ не срабатывает.

Задача 4. Элементы математической логики и теории автоматов

Конечный автомат задан графом, определенным в задаче 1. Вершины графа отождествляются с состояниями автомата таким образом, что множество состояний Q = {q₁, q₂ ,…, q_n}. Переход автомата из одного состояния в другое осуществляется под воздействием множества входных сигналов X={x₁, x₂, x₃, x₄}. Переходы определяются законом отображения Г вершин графа, причем каждому переходу соответствует только одна из букв множества X. При задании графа эти буквы расставить произвольно.

Автомат позволяет вырабатывать выходные сигналы Y={y₁, y₂, y₃}:

y₁ - переход из состояния q_i в состояние q_i (петля);

y₂ - переход из состояния q_i в q_j при i<j;

y₃ - переход из состояния q_i в q_j при i>j.

Осуществить структурный синтез конечного автомата. Реализацию осуществить на элементах, указанных в табл.1, в соответствии с номером варианта. Обязательной является минимизация реализуемых функций.

Таблица 1

№ варианта	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Тип элементов	И НЕ	И ИЛИ НЕ	И НЕ	ИЛИ НЕ	И НЕ	И ИЛИ НЕ	И НЕ	ИЛИ НЕ	И ИЛИ НЕ	И НЕ
Тип триггера	D	JK	T	D	RS	RSD	D	JK	T	D

Решение:

Множество вершин X = {x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆},

Вершины графа отожествляются с состояниями автомата таким образом, что множество состояний Q = {q₁, q₂, q₃, q₄, q₅, q₆}. Переход автомата из одного состояния в другое осуществляется под воздействием множества входных сигналов X={x₁, x₂, x₃, x₄}.

Автомат позволяет вырабатывать выходные сигналы Y={y₁, y₂, y₃}.

На основании аналитического описания ориентированного графа из задания № 1 запишем закон отображения состояний автомата:

Гq₁ = {q₁ (x₁/y₁), q₃ (x₂/y₂), q₂ (x₃/y₂)},

Гq₂ = {q₄ (x₃/y₂), q₁ (x₄/y₃), q₃ (x₁/y₂)},

Гq₃ = {q₁ (x₁/y₃), q₅ (x₂/y₂), q₂ (x₃/y₃), q₄ (x₄/y₂)},

Гq₄ = {q₂ (x₁/y₃), q₆ (x₂/y₂), q₃ (x₃/y₃), q₅ (x₄/y₂)},

Гq₅ = {q₃ (x₄/y₃), q₄ (x₁/y₃), q₆ (x₂/y₂)}, Гq₆ = {q₄ (x₃/y₃), q₅ (x₄/y₃)}.

Обобщенная таблица переходов и выходов соответствующего конечного автомата представлена в табл.2.

Таблица 2

X	Q	q1	q2	q3	q4	q5	q6
X1	q1/y1	q3/y2	q1/y3	q2/y3	q4/y3	-
X2	q3/y2	-	q5/y2	q6/y2	q6/y2	-
X3	q2/y2	q4/y2	q2/y3	q3/y3	-	q4/y3
X4	-	q1/y3	q4/y2	q5/y2	q3/y3	q5/y3

Осуществим структурный синтез автомата, заданного табл.1. В качестве элементов памяти используем D-триггеры, в качестве элементной базы используем логические элементы И-НЕ.

Количество букв входного алфавита n = 4

Количество входовp ? log₂ n = log₂ 4 = 2;

Количество букв выходного алфавита m = 2

Количество выходовe ? log₂ m = log₂ 3 = 2;

Количество состояний r = 6

Количество триггеровz ? log₂ r = log₂ 6 = 3.

Приступаем к кодированию:

x	u	u1	u2
x1	1	0	5
x2	1	1	4
x3	0	0	5
x4	0	1	5

	v1	v2
y1	1	0	1
y2	0	1	9
y3	0	0	9

q	w	w1	w2	w3
q1	0	0	1	3
q2	0	1	0	3
q3	0	0	0	4
q4	1	0	0	4
q5	0	1	1	3
q6	1	1	0	2

На основании результатов кодирования строим обобщенную таблицу переходов и выходов структурного автомата (табл.3), заменяя состояния, входные и выходные переменные их кодами.

Таблица 3

u1u2	w1w2w3	001	010	000	100	011	110
10	001/10	000/01	001/00	010/00	100/00	-
11	000/01	-	011/01	110/01	110/01	-
00	010/01	100/01	010/00	000/00	-	100/00
01	-	001/00	100/01	011/01	000/00	011/00

Используя таблицу переходов D-триггера и данные предыдущей таблицы, составим обобщенную таблицу функционирования структурного автомата (табл.4). Функции возбуждения трех триггеров обозначены через D₁, D₂, D₃, соответственно.

Таблица 4

u1	u2	w1 (t)	w2 (t)	w3 (t)	w1 (t+1)	w2 (t+1)	w3 (t+1)	v1	v2	D1	D2	D3
1	0	0	0	1	0	0	1	1	0	0	0	1
1	1	0	0	1	0	0	0	0	1	0	0	0
0	0	0	0	1	0	1	0	0	1	0	1	0
0	1	0	0	1	*	*	*	*	*	*	*	*
1	0	0	1	0	0	0	0	0	1	0	0	0
1	1	0	1	0	*	*	*	*	*	*	*	*
0	0	0	1	0	1	0	0	0	1	1	0	0
0	1	0	1	0	0	0	1	0	0	0	0	1
1	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	1
1	1	0	0	0	0	1	1	0	1	0	1	1
0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	1	0
0	1	0	0	0	1	0	0	0	1	1	0	0
1	0	1	0	0	0	1	0	0	0	0	1	0
1	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	1	0
0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0	1	1	0	0	0	1	1	0	1	0	1	1
1	0	0	1	1	1	0	0	0	0	1	0	0
1	1	0	1	1	1	1	0	0	1	1	1	0
0	0	0	1	1	*	*	*	*	*	*	*	*
0	1	0	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	1	0	*	*	*	*	*	*	*	*
1	1	1	1	0	*	*	*	*	*	*	*	*
0	0	1	1	0	1	0	0	0	0	1	0	0
0	1	1	1	0	0	1	1	0	0	0	1	1

По этой таблице запишем СДНФ выходных функций V и функций возбуждения триггеров D₁, D₂, и D₃, зависящих от набора переменных u₁, u₂, w₁ (t), w₂ (t), w₃ (t). В результате получим систему логических функций для построения комбинационной части автомата:

.

.

.

.

.

Минимизируем функции согласно картам Карно:

После минимизации имеем набор функций в базисе И-НЕ

=

.

.

.

Функциональная схема структурного автомата: