Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ

З

ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ

ЛЕКЦІЯ № 1

Тема: Основні поняття теорії ймовірностей та комбінаторики

Мета: Ознайомити студентів з поняттями випадкових подій та принципами комбінаторики.

Хід лекції.

I. Організаційний момент лекції.

II. Пояснення нового матеріалу.

1. Предмет теорії ймовірностей.

2. Коротка історична довідка.

3. Алгебра випадкових подій.

4. Означення та властивості імовірності та частості.

5. Основні поняття та принципи комбінаторики.

1. Якщо розглянути деякий дослід, у результаті якого може з'явитися або не з'явитися подія А. Прикладами такого досліду можуть бути:

а) дослід-виготовлення певного виробу, подія А-стандартність цього виробу;

б) дослід-кидання монети, подія А-випав герб.

Події бувають достовірними, випадкові та неможливі.

Достовірною називають таку подію, яка при розглянутих умовах обов'язково трапиться.

Неможливою називають таку подію, яка при розглянутих умовах не може трапитись.

Випадковою називають таку подію, яка при умовах, що розглядаються, може трапитися, а може й не трапитися.

Наприклад, якщо в урні є лише червоні кулі, то витягування червоної кулі-достовірна подія, а витягування з цієї урни кулі іншого кольору-неможлива подія.

Якщо кинути монету на підлогу, то поява герба буде випадковою подією, тому що замість герба може з'явитися надпис.

Випадкові події позначають великими літерами, наприклад A, B, C, D, X, Y, A₁, … A_n.

Кожна випадкова подія є наслідком багатьох випадкових або невідомих нам причин, які впливають на подію.

Якщо розглядати подію багато разів при однакових умовах то можна виявити певну закономірність її появи або не появи. Таку закономірність називають імовірнісною закономірністю масових однорідних випадкових подій.

У теорії ймовірностей під масовими однорідними випадковими подіями розуміють такі події, які здійснюються багатократно при однакових умовах або багато однакових подій.

Предметом теорії ймовірностей є вивчення імовірнісних закономірностей масових однорідних випадкових подій.

2. Перші роботи, в яких виникли основні поняття теорії ймовірностей, з'явились у XV-XVI ст. як спроба побудови теорії азартних ігор і належать таким видатним ученим, як Б. Спіноза, Дж. Кардано, Галілео Галілей.

Слідуючий етап (кінець XVII - початок XVIII ст.) розвитку теорії імовірностей пов'язаний з роботами Б. Паска ля, П. Ферма, Х. Гюйгенса, К. Гауса, Я. Бернуллі, Н. Бернуллі, С Пуассона, А. Мавра, П. Лапласа, Т. Байєса.

В XIX ст. теорію імовірностей почали успішно застосовувати у страховій справі, артилерії, статистиці.

Лише наприкінці XIX ст. П.Л. Чебишов та його учні А.А. Марков та А.М. Ляпунов перетворили теорію імовірностей у математичну науку.

Подальшим розвитком теорії імовірностей та випадкових процесів зобов'язані таким математикам, як С.Н. Берштейн, А.М. Колмогоров, Б.В. Гніденко, А.В. Скороход, В.С. Королюк, Ю. Нейман, І.І. Гіхман, І.М. Коваленко.

3. Означення 1. Події називають несумісними, якщо поява однієї з них виключає появу інших подій в одному і тому ж випробуванні.

Приклад 1. Серед однорідних деталей у ящику є стандартні та не стандартні. Навмання беруть із ящика одну деталь.

Події

А-взята стандартна деталь, В-взята нестандартна деталь

Несумісні тому, що взята лише одна деталь, яка не може бути одночасно стандартною та нестандартною.

Означення 2. Події називають сумісними, якщо поява однієї з них не виключає можливості появи інших (не обов'язково одночасно).

Приклад 2. Два стрільця стріляють у мішень.

Події

А₁-перший стрілок влучив у мішень,

А₂-другий стрілок влучив у мішень

Будуть сумісними випадковими подіями.

Означення 3. Випадкові події А₁, А₂,… А_n утворюють повну групу подій, якщо внаслідок випробування хоча б одна з них з'явиться обов'язково.

Приклад 3. Кидають шестигранний кубик. Позначимо події так

А₁-випала грань 1; А₂ - випала грань 2; А₃ - випала грань 3;

А₄ - випала грань 4; А₅ - випала грань 5; А₆ - випала грань 6.

Події А₁, А₂,… А₆ утворюють повну групу.

У прикладі 2 події А₁ та А₂ не утворюють повної групи. Але якщо позначити А₀ подію, що ніхто із стрільців не влучив у мішень, тоді події А₀, А₁, А₂ утворюють повну групу.

Означення 4. Події називають рівно можливими, якщо немає причин стверджувати, що будь-яка з них можлива за інші.

Приклад 4. Події-1,2,3,4,5 або 6 очок при киданні шестигранного кубика - рівноможливі при умові, що центр його ваги не зміщений.

Означення 5. Дві несумісні події, які утворюють повну групу, називають протилежними.

Подія, протилежна події А позначається В.

Приклад 5. Якщо позначити через А подію, що при стрільбі по мішені вибито 8 очок, то подія В-при стрільбі по мішені вибито будь-яке інше число очок.

Означення 6. Елементарними наслідками називають такі події, які неможливо розділити на більш прості. Множину усіх можливих елементарних наслідків називають простором елементарних наслідків.

Простір елементарних наслідків може містити скінчену, злічену або незлічену множину елементів.

У ролі елементарних наслідків можна розглядати точки n-вимірного простору, відрізок лінії, точки поверхні S або об'єму V трьохвимірного простору, функцію однієї або багатьох змінних.

Приклад 6.

а) При дворазовому киданні монети простір елементарних наслідків містить 4 точки

{(Г, Г), (Г, Н), (Н, Г), (Н, Н)}

де Г-означає появу герба, Н - означає появу надпису.

б) Нехай по мішені стріляють одиночними пострілами до першого влучення. Можливі такі елементарні події

w₁{влучення при першому пострілі},

w₂{влучення при другому пострілі},

w₃{влучення при третьому пострілі},

іт.д.

У цьому випадку простір. елементарних наслідків може мати нескінченну кількість точок, які можна шляхом нумерації перелічити. Тому простір елементарних наслідків буде зліченим.

в) При виробництві кінескопів виникають неоднакові умови технологічного процесу, тому час роботи кінескопа відрізняється від його номінального значення, тобто буде випадковою подією.

Простір елементарних наслідків у цьому випадку буде нескінченною незліченою множиною, елементи якої неможливо пронумерувати.

Нехай А та В-випадкові події.

Об'єднанням (сумою) випадкових подій А U В (АБО А+В) називають таку випадкову подію, яка полягає у появі подій

А або В

або

А та В.

Якщо А та В-несумісні, то А U В означає події А або події В.

Малюнок 1.

Подія А та подія В

в)

Подія В та протилежна їй подія

г) Заштрихована площина-добуток подій АВ



д) Заштрихована площина-сума подій А U В

е) Заштрихована площина-різниця подій А - В

Означення 7. Об'єднанням (сумою) випадкових подій А₁ U А₂ U… U А_n називають таку випадкову подію, яка полягає в появі хоча б однієї з цих подій.

Приклад 7. Стрілок робить один постріл у мішень, поділену на три області. Позначимо

подія А₁-влучення в першу область;

подія А₂-влучення в другу область;

подія А₃-влучення в третю область;

подія А₄-немає влучення у мішень;

подія В-влучення в першу або другу області;

подія D-влучення хоч би в одну область мішені.

Тоді маємо В= А₁ U А₂; D= А₁ U А₂ U А₃. Відмітимо, що події А₁, А₂, А₃ та А₄-несумісні.

Означення 8. Різницею В-А (або В/А) двох випадкових подій В, А називають усі наслідки, які полягають у тому, що подія А не з'являється.

Добутком (перетином) А ? В (або А*В) випадкових подій А, В називають таку випадкову подію, яка полягає у появі подій А та В одночасно.

Якщо А та В-несумісні, то добуток А ? В є множина, яка не має жодного елемента. Така множина називається пустою (порожньою) і позначається Ш.

Означення 9. Добутком (перетином) скінченої кількості випадкових подій А₁, А₂,… А_n називають таку випадкову подію, яка полягає у сумісній появі усіх цих подій одночасно.

Приклад 8. Стрілець стріляє двічі по мішені. Описати простір елементарних наслідків. Записати подію, яка полягає в тому, що: а) стрілець влучив у мішень принаймні один раз (подія С); б)) стрілець влучив рівно один раз (подія D); в) стрілець не влучив у мішень (подія F).

Р о з в' я з а н н я.

Позначимо

подія А-влучення при першому пострілі,

подія В-влучення при другому пострілі.

Простір елементарних наслідків складається з чотирьох подій

{АВ, А, ВВ, В}.

а) Якщо стрілець влучив у мішень принаймні один раз, то це означає, що він влучив або при першому пострілі А, або при другому пострілі ВВ, або при обох АВ.

Тобто, С= А U ВВ U АВ.

б) Рівно одне влучення може бути тільки тоді, коли стрілець при першому пострілі влучив, а при другому-ні, або при першому пострілі не влучив, а при другому-влучив.

Тому, D= А U ВВ.

в) Якщо стрілець не влучив у мішень, то це означає, що він не влучив при обох пострілах.

Тобто, F= В.

4. Означення 1. Імовірність події є численна міра степеня об'єктивної можливості цієї події.

Це означення імовірності визначає філософську суть імовірності, але не вказує закону знаходження імовірності будь-якої події.

Означення 2. (Класичне) Імовірність події А дорівнює відношенню числа елементарних наслідків, які сприяють появі події А, до загального числа усіх єдиноможливих та рівноможливих елементарних наслідків.

Імовірність події А позначають Р(А). Тому за означенням 2

де m-число елементарних наслідків, що сприяють події А, n-число усіх єдино можливих та рівно можливих наслідків.

Приклад 9. В урні 6 однакових за розміром куль: 2 червоні, 3 сині, 1 біла. Знайти імовірність появи червоної кулі, якщо беруть одну кулю з урни навмання.

Р о з в' я з а н н я.

Нехай подія А-навмання взята червона куля. З урни можна взяти будь-яку кулю з шести, тому усіх можливих наслідків 6 (n=6). Для появи червоної кулі сприяти лише будуть 2 кулі, тому m=2. за формулою (1) отримаємо

Відповідь:

Якщо множина усіх елементарних наслідків нескінчена і, як наслідок, займає деяку область G, а подія А сприяє лише частина g G, то обчислення імовірності події А виконують згідно геометричного означення імовірності.

Означення 3. (Геометричне) Імовірність випадкової події А дорівнює відношенню міри g до міри G



Приклад 10. Два туристичних пароплава повинні причалити до одного причалу. Час прибуття обох пароплавів рівноможливих на протязі доби. Визначити імовірність того, що одному з пароплавів доведеться чекати звільнення причалу, якщо час стоянки першого пароплава дорівнює одній годині, а другого-двом годинам.

Р о з в' я з а н н я

Мал. 2.

Нехай Х та У-час прибуття пароплавів. Можливі значення Х та У: 0?Х?24; 0?У?24. Сприятливі значення: У-Х?1; Х-У?2. Побудуємо цю область (мал. 2.). Відношення площі заштрихованої фігури m(g) до площі квадрата, сторона якого дорівнює 24 згідно формули (2) дорівнює шуканій імовірності.

Відповідь:

Означення 4. Відносною частотою або частістю події А називають відношення числа випробувань, у яких подія А з'явилась, до числа фактично виконаних випробувань.

Відносну частоту події А позначають W(А) або р_n(А). Отже,



де m-кількість випробувань, у яких з'явилась подія А,

n-кількість усіх випробувань.

Приклад 11. Відділ технічного контролю серед 100 виробів виявив 8 нестандартних. Чому дорівнює відносна частота появи нестандартних виробів?

Р о з в' я з а н н я

Позначимо через А таку подію, як поява нестандартного виробу. Тоді за означенням частості події А одержимо

Відповідь:

Означення 5. Статистична імовірність - це відносна частота (частість) або число близьке до неї.

Властивості.

1. Якщо подія А достовірна, то її імовірність дорівнює одиниці, тобто р(А)=1.

2. Якщо подія А неможлива, то її імовірність дорівнює нулеві, тобто р(А)=0.

3. Якщо подія А випадкова, то її імовірність задовольняє співвідношення

0<Р(А)<1. (3)

5. Означення 1. Різні групи, складені з будь-яких елементів, що відрізняються елементами або порядком цих елементів, називають сполуками або комбінаціями цих елементів.

Приклад 12. Із цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 можна скласти багато різних сполук по 2,3,4,…, цифр. Деякі з них будуть відрізнятися кількістю цифр, а деякі відрізнятимуться лише порядком цифр. Наприклад 123, 8045, 56, 315, 230, 548.

Сполуки бувають трьох видів:

- переставлення;

- розміщення;

- сполучення.

Означення 2. Сполуки з n елементів, що відрізняються лише порядком елементів, називають переставленням цих елементів.

Кількість переставлень з n елементів позначають P_n і знаходять за формулою

P_n=1·2·3·…·(n-1)·n= n! (1)

Позначення n! говорять «n факторіал». За означенням 0!=1.

Приклад 13. Скільки п'ятизначних чисел можна записати, використовуючи п'ять різних цифр (крім нуля)?

Р о з в' я з а н н я

Сполуки, що утворюють з п'яти різних цифр п'ятизначні числа, можуть відрізнятися лише порядком цифр, тому такі сполуки будуть представленням з 5 елементів. Згідно формули (1) їх кількість буде P₅=5!=1·2·3·4·5=120.

Відповідь: P₅=120.

Означення 3. Розміщенням з n елементів по m називають такі комбінації, які складаються з m елементів, взятих з даних n елементів (m < n) і відрізняються як порядком, так і елементами.

Кількість розміщень з n елементів по m позначають і знаходять за формулою

Приклад 14. Студенти другого курсу згідно учбового плану вивчають 10 дисциплін. На один день можна планувати заняття з 4 дисциплін. Скількома способами можна скласти розклад занять на один день?

Р о з в' я з а н н я

Усі можливі розклади занять на один день-це сполуки з 10 по 4, які можуть відрізнятися дисциплінами або їх порядком, тобто ці сполуки-розміщення. Кількість таких розміщень згідно формули (2) буде

Відповідь:

Означення 4. Сполученням з n елементів по m називають комбінації, що складаються з m елементів, взятих з даних n елементів і які відрізняються хоч би одним елементом.

Кількість сполучень з n елементів по m позначають і знаходять за формулою

(3)

За означенням

Між кількістю переставлень, розміщень та сполучень існує простий зв'язок

(4)

Приклад 15. У ящику 10 виробів, з яких 2 нестандартні. Навмання беруть 6 виробів. Яка імовірність того, що усі взяті вироби будуть стандартними?

Р о з в' я з а н н я

Позначимо подію А-взято 6 стандартних виробів. згідно умови задачі, немає значення, в якому порядку беруть 6 виробів, тобто це будуть сполучення. Тому кількість усіх можливих елементарних наслідків буде

Події А сприяють лише сполуки по 6 виробів з 8 стандартних у будь-якому порядку, тобто

Отже згідно класичному означенню імовірності події А маємо

Відповідь:

Основні принципи комбінаторики.

Принцип суми. Якщо множина А містить n елементів, а множина В містить m елементів і А?В=Ш, тоді множина А U В містить n + m елементів.

Принцип добутку. Якщо множина А містить n елементів, а множина В містить m елементів то множина С усіх можливих пар (а_і, b_к) (і=1,2,… n; к=1,2,… m) містить n · m елементів.

Приклад 16. У кошику 4 яблука першого сорту та 5 яблук другого сорту. Навмання беруть 2 яблука. Знайти імовірність того, що будуть взяті яблука різних сортів.

Р о з в' я з а н н я

Нехай подія А-навмання взяті 2 яблука різних сортів. Всього яблук 9, з них сполучень по 2 буде , тобто кількість усіх можливих наслідків Події А будуть сприяти сполуки, утворені з пар, елементами яких будуть яблука різних сортів. Згідно принципу добутку кількість таких пар буде дорівнювати Використовуючи класичне означення імовірності, одержимо шукану імовірність події А

Відповідь:

III. Підсумок заняття.

Лекція № 2

Тема: Основні теореми теорії ймовірностей.

Мета: Ознайомити студентів з основними теоремами ймовірностей, формулою повної імовірності та формулою Байєса.

Хід лекції.

І. Організаційний момент лекції.

ІІ. Пояснення нового матеріалу.

1. Додавання імовірностей несумісних подій.

2. Залежні та незалежні події, умовні імовірності.

3. Множення імовірностей.

4. Імовірність появи хоча б однієї випадкової події.

5. Теорема додавання імовірностей сумісних події.

6. Формули повної імовірності та Байєса.

1. Теорема 1. Імовірність об'єднання двох випадкових несумісних подій дорівнює сумі їх імовірностей

Теорема 2. Якщо випадкові події А₁, А₂,… А_n попарно несумісні, то імовірність появи хоча б однієї з цих подій дорівнює сумі їх імовірностей

Приклад 1. Імовірність влучення стрілком у першу область мішені дорівнює 0,45, у другу область - 0,35, у третю - 0,15. знайти імовірність того, що при одному пострілі стрілок влучить у першу або другу області мішені.

Р о з в' я з а н н я

Позначимо за подію А₁-влучення у першу область мішені; за подію А₂ - влучення у другу область мішені. При одному пострілі події А₁ та А₂ несумісні. Тому імовірність влучення в першу або другу області мішені буде

Відповідь:

Теорема 3. Сума імовірностей повної групи випадкових подій дорівнює одиниці

Наслідок. Дві протилежні події А та утворюють повну групу, тому має місце рівність з якої одержуємо формулу

знаходження імовірності протилежної події.

Приклад 2. Імовірність одержати повідомлення від певної особи на протязі доби дорівнює 0,25. Знайти імовірність того, що повідомлення на протязі доби від цієї особи не буде одержано.

Р о з в' я з а н н я.

Позначимо за подію А-повідомлення від цієї особи на протязі доби поступить. За умовою задачі має місце співвідношення протилежна подія означає, що на протязі доби від цієї особи повідомлення не поступить. За формулою (2) одержимо

Відповідь:

Приклад 3. За статистичними показниками держави можна зробити висновок, що 68% чоловіків, які досягли 60-ліття, досягають також і 70-ліття. Яка імовірність того, що 60-річний чоловік не досягне свого 70-річчя?

Р о з в' я з а н н я

Якщо подія А-60-річний чоловік досягає свого 70-ліття, то протилежна подія -60-річний чоловік не досягає свого 70-ліття. За умовою задачі тому за формулою (2) одержимо

Отже, використовуючи статистичні дані держави, можна обчислити імовірність того, що 32% 60-річних чоловіків помре на протязі 10 років.

Відповідь: 32%.

2. Означення 1. Випадкові А та В називають залежними, якщо імовірність появи однієї з них залежить від появи або не появи другої події. Якщо імовірність появи однієї події не залежить від появи або не появи другої, то такі події називають незалежними.

Означення 2. Імовірність події В, обчислена при умові появи події А, називають умовною імовірністю події В і позначають Р (В\А) або

Приклад 4. В урні 10 куль: 3 білих і 7 чорних. Навмання беруть дві кулі. Нехай подія А-взята біла куля; подія В-взята чорна.

Якщо кулю, яку взяли першою, повертають до урни, то імовірність появи другої кулі не залежить від того, яка взята перша куля.

Якщо перша куля не повертається до урни, то імовірність другої події залежить від результату першого випробування.

Якщо першою взяли білу кулю, то в урні залишилося 2 білих кулі та 7 чорних, тому Якщо першою взяли чорну кулю, то в урні залишилося 3 білих кулі та 6 чорних, тому Отже імовірність події В залежить від появи або не появи події А.

Зауваження. Якщо події А та В незалежні, то умовна імовірність дорівнює безумовній імовірності, тобто

3. Теорема 4. Імовірність сумісної появи двох випадкових подій А та В дорівнює добутку імовірностей однієї з цих подій та умовної імовірності другої події при умові, що перша подія з'явилась

(3)

Співвідношення (1) називають формулою множення імовірностей залежних випадкових подій.

Наслідок. У випадку незалежних випадкових подій А та В формула (1) приймає вигляд

(4)

і називається формулою множення імовірностей незалежних подій.

Приклад 5. У деякому людському суспільстві 70% палять, 40% хворіють на рак легенів та 25% палять та мають рак легенів. Знайти імовірність того, що навмання взята особа з цього суспільства:

а) не палить, але має рак легенів;

б) палить, але не має раку легенів;

в) ніколи не палить, і не має раку легенів;

г) палить і має рак легенів;

д) або палить або має рак легенів.

Р о з в' я з а н н я

Позначимо події: А-особа палить; В-особа хворіє на рак легенів. Тоді за умовою задачі отримаємо

а)

б)

в)

г)

д)

Відповідь:

Приклад 6. Навести ілюстративну діаграму властивості

Відповідь: дивись мал. 1.

Мал. 1.

4. Нехай є n сумісних випадкових подій А₁, А₂, … А_n. Позначимо через А подію, яка полягає в тому, що з'явиться хоча б одна з цих подій. Тоді подія полягає в тому, що події А₁, А₂, … А_n не з'являться, тобто Події А та утворюють повну групу подій, тому

.

Звідси отримаємо

(5)

За цією формулою потрібно обчислювати імовірність появи хоча б однієї випадкової події з n сумісних подій.

Приклад 7. Імовірність влучення у мішень першого стрілка дорівнює 0,7, другого стрілка - 0,8, а третього - 0,9. Знайти імовірність влучення у мішень хоча б одного стрілка.

Р о з в' я з а н н я

Позначимо події

А₁-у мішень влучив перший стрілок;

А₂- у мішень влучив другий стрілок;

А₃- у мішень влучив третій стрілок;

А- у мішень влучив хоча б один стрілок.

За умовою задачі події А₁, А₂, А₃ незалежні, тому події , та також незалежні. Тому згідно формули (5) та формули множення імовірностей незалежних подій отримаємо

(6)

Так як то за формулою (6) одержимо

Відповідь:

5. Теорема 5. Якщо випадкові події А та В сумісні, то імовірність їх об'єднання дорівнює сумі їх імовірностей без імовірності їх сумісної появи, тобто

(7)

Зауваження. Якщо події А та В незалежні, то формула (7) прийме вигляд

Для залежних випадкових подій маємо

Приклад 8. У залежності від наявності сировини підприємство може виробити та відправити замовникам щодобово кількість певної продукції від 1 до 100. Яка імовірність того, що одержану кількість продукції можна розподілити без залишку

а) трьом замовникам;

б) чотирьом замовникам;

в) дванадцяти замовникам;

г) трьом або чотирьом замовникам?

Р о з в' я з а н н я

Позначимо події

А-одержана кількість виробів ділиться на 3 без залишку;

В-одержана кількість виробів ділиться на 4 без залишку.

Використовуючи класичне означення імовірності, знаходимо

а) б) в)

події А та В-сумісні, тому за формулою (1) одержимо

г)

Відповідь:

6. Теорема 5. Якщо випадкова подія А може з'явитись лише сумісно з однією із несумісних між собою подій В₁, В₂, … В_n, що утворюють повну групу, тоді імовірність події А обчислюється за формулою

(8)

Формулу (8) називають формулою повної імовірності.

Приклад 9. У першому ящику 20 деталей, з яких 15 стандартних. У другому ящику 10 деталей, з яких 9 стандартних. З другого ящика беруть навмання одну деталь і перекладають її до першого ящика. Знайти імовірність того, що взята після цього навмання деталь з першого ящика стандартна.

Р о з в' я з а н н я

Позначимо такі події: А- з першого ящика взято стандартну деталь; В1-з другого ящика переклали до першого стандартну деталь; В2-з другого ящика переклали до першого нестандартну деталь. Згідно з умовою задачі, з першого ящика можна взяти деталь лише після того, як здійсниться подія В1 або подія В2. Події В1 та В2 несумісні, а подія А може з'явитись лише сумісно з однією із них. Тому для знаходження імовірності події А можна використати формулу повної імовірності (1), яка у даному випадку прийме вигляд

(9)

Знайдемо потрібні імовірності

Підставимо ці значення у формулу (9) отримаємо

Відповідь:

В умовах Теореми 1 невідомо, з якою подією із несумісних подій В1, В2, … Вn з'явиться подія А. Тому кожну з подій В1, В2, … Вn можна вважати гіпотезою. Тоді Р(Вк)-імовірність к-ої гіпотези.

Якщо випробування проведено і в результаті його подія А з'явилась, то умовна імовірність РА(Вк) може не дорівнювати Р(Вк). Порівняння імовірностей Р(Вк) та РА(Вк) дозволяє переоцінити імовірність гіпотези при умові, що подія А з'явилася.

Для одержання умовної імовірності використовуємо теорему множення імовірностей залежних подій



(10)

підставимо у формулу (3) замість Р(А) її значення з формули повної імовірності. Отримаємо

(11)

Формулу (11) називають формулою Байєса.

Вона дозволяє переоцінювати імовірності гіпотез. Це важливо при контролі або ревізіях.

Приклад 10. Деталі, виготовленні цехом заводу, попадають для перевірки їх стандартності до одного з двох контролерів. Імовірність того, що деталь попаде до першого контролера, дорівнює 0.6, а до другого - 0,4. Імовірність того, що придатна деталь буде признана стандартною першим контролером, дорівнює 0,94, а другим - 0,98. Придатна деталь при перевірці признана стандартною. Знайти імовірність того, що деталь перевіряв перший контролер.

Р о з в' я з а н н я

Позначимо такі події: А-придатна деталь признана стандартною; В1-деталь перевіряв перший контролер; В2 - деталь перевіряв другий контролер. За умовою задачі отримаємо

Р(В1)=0,6; Р(В2)=0,4;

За формулою Байєса при к=1 отримаємо



Відмітимо, що до появи події А імовірність Р(В1)=0,6, а після появи події А імовірність перевірки деталі першим контролером РА(В1)=0,59 поменшала.

Відповідь: РА(В1)=0,59.

Приклад 11. Імовірність знищення літака з одного пострілу для першої гармати дорівнює 0,2, а для другої гармати - 0,1. Кожна гармата робить по одному пострілу, причому було одне влучення у літак. Яка імовірність того, що влучила перша гармата?

Р о з в' я з а н н я

Позначимо такі події: А-знищення літака з одного пострілу першою гарматою; В-знищення літака з одного пострілу другою гарматою; С-одне влучення у літак. Маємо чотири гіпотези

які утворюють повну групу подій. Імовірностями цих гіпотез будуть

Так як сума

Н1+Н2+Н3+Н4

є достовірна подія, то

Р(Н1)+Р(Н2)+Р(Н3)+Р(Н4)=1.

Умовні імовірності події С будуть

Тепер за формулою Байєса знаходимо шукану імовірність

Відповідь:

ІІІ. Підсумок заняття.

Лекція № 3

Тема: Послідовності випробувань.

Мета: ознайомити студентів з формулою Бернуллі та теоремами Бернуллі, а саме теорема Пуассона, Мавра-Лапласа та простою течією подій.

Хід лекції.

І. Організаційний момент лекції.

ІІ. Пояснення нового матеріалу.

1. Схема та формула Бернуллі.

2. Граничні теореми у схемі Бернуллі.

3. Послідовність випробувань з різними імовірностями.

4. Теорема Бернуллі.

5. Проста течія подій.

ймовірність бернуллі теорія

1. У багатьох задачах теорії імовірностей, статистики та повсякденної практики треба досліджувати послідовність (серію) n випробувань. Наприклад, випробування «кинуто 1000 однакових монет» можна розглядати як послідовність 1000 більш простих випробувань - «кинута одна монета». При киданні 1000 монет імовірність герба або надпису на одній монеті не залежить від того, що з'явиться на інших монетах. Тому можна казати, що у цьому випадку випробування повторюються 1000 разів незалежним чином.

Означення 1. Якщо усі n випробувань проводити в однакових умовах імовірність появи події А в усіх випробуваннях однакова та не залежить від появи або не появи А в інших випробуваннях, то таку послідовність незалежних випробувань називають схемою Бернуллі.

Нехай випадкова подія А може з'явитись у кожному випробуванні з імовірністю Р(А)=р або не з'явитись з імовірністю

Нехай потрібно розв'язати задачу: знайти імовірність того, що при n випробуваннях подія А з'явиться m разів і не з'явиться n-m разів. Шукану імовірність позначимо Р_n(m).

Спочатку розглянемо появу події А три рази в чотирьох випробуваннях. Можливі такі події

тобто їх

Якщо подія А з'явилася 2 рази в 4 випробуваннях, то можливі такі події

їх

У загальному випадку, коли подія А з'являється m разів у n випробуваннях, таких складних подій буде

Обчислимо імовірність однієї складної події, наприклад,

Імовірність сумісної появи n незалежних подій дорівнює добутку імовірностей цих подій згідно з теоремою множення імовірностей, тобто

Кількість таких складних подій і вони несумісні. Тому, згідно з теоремою додавання імовірностей несумісних подій, маємо

Формулу (1) називають формулою Бернуллі. Вона дозволяє знаходити імовірність появи події А m разів при n випробуваннях, які утворюють схему Бернуллі.

Зауваження 1. Імовірність появи події А в n випробуваннях схеми Бернуллі менш m разів знаходять за формулою

Р_n (k<m) =Р_n (0)+Р_n (1)+ … +Р_n (m-1).

Імовірність появи події А не менш m разів можна знайти за формулою

Р_n (k?m) =Р_n (m)+Р_n (m+1)+ … +Р_n (n)

або за формулою

Імовірність появи події А хоча б один раз у n випробуваннях доцільно знаходити за формулою

Р_n (1?m?n) =1-qⁿ.

Зауваження 2. У багатьох випадках треба знаходити найбільш імовірне значення m₀ числа m появ події А. Це значення m визначається співвідношеннями

np ? q ? m_о ? np + p або (n+1) p?1 ? m_о ? (n+1) p.

Число m_о повинно бути цілим. Якщо (n+1) p? ціле число, тоді найбільше значення імовірність має при двох числах

m₁=(n+1) p?1 та m₂=(n+1) p.

Зауваження 3. Якщо імовірність появи події А в кожному випробуванні дорівнює р, то кількість n випробувань, які необхідно здійснити, щоб з імовірністю Р можна було стверджувати, що подія А з'явиться хоча б один раз, знаходять за формулою

Приклад 1. Прилад складено з 10 блоків, надійність кожного з них 0,8. Блоки можуть виходити з ладу незалежно один від одного. Знайти імовірність того, що

а) відмовлять два блоки;

б) відмовить хоча б один блок;

в) відмовлять не менше двох блоків.

Р о з в' я з а н н я

Позначимо за подію А відмову блока. Тоді імовірність події А за умовою прикладу буде

Р(А)=р=1-0,8=0,2, тому q=1-р=1-0,2=0,8.

Згідно з умовою задачі n=10. Використовуючи формулу Бернуллі та Зауваження 1., отримаємо

а)

б)

в)

Відповідь:

Приклад 2. За годину автомат виготовляє 20 деталей. За скільки годин імовірність виготовлення хоча б однієї бракованої деталі буде не менше 0,952, якщо імовірність браку будь-якої деталі дорівнює 0,01?

Р о з в' я з а н н я

Застосовуючи формулу (2), знайдемо спочатку таку кількість виготовлених деталей, щоб з імовірністю р=0,952 можна стверджувати про наявність хоча б однієї бракованої деталі, якщо імовірність браку за умовою р=0,01

Отже, за час (годин) автомат з імовірністю 0,952 виготовить хоча б одну браковану деталь.

Відповідь:

Приклад 3. При новому технологічному процесі 80% усієї виготовленої продукції має найвищу якість. Знайти найбільш імовірне число виготовлених виробів найвищої якості серед 250 виготовлених виробів.

Р о з в' я з а н н я

Позначимо шукане число m_о. Згідно Зауваження 2.

np ? q ? m_о ? np + q.

За умовою прикладу n=250, p=0,8, q=0,2, тому

199,8 ? m_о ? 200,8.

Але m_о повинно бути цілим числом, тому m_о=200.

Відповідь: m_о=200.

2. Знаходження імовірностей імовірностей Р_n(m) та Р_n(m₁ ? m ? m₂) за формулою Бернуллі ускладнюється при досить великих значеннях n та при малих p та q. У таких випадках часто можна використовувати замість формули Бернуллі наближені асимптотичні формули.

Сформулюємо без доведення три граничні теореми, які містять наближені формули для імовірностей

Р_n(m) та Р_n(m₁ ? m ? m₂)

Теорема 1. (Теорема Пуассона.) Якщо n>? і p>0 так, що n > л, 0<л<?, то

для будь-якого постійного m=0,1,2,…

Наслідок 1. Імовірність появи події А m разів у n випробуваннях схеми Бернуллі можна знаходити за наближеною формулою Пуассона

(3)

де л= nр.

Формулу (3) доцільно застосовувати при великих n та малих р.

Приклад 4. Підручник надруковано тиражем 100000 екземплярів. Імовірність невірного брошурування підручника дорівнює 0,0001. Знайти імовірність того, що тираж має 5 бракованих підручників.

Р о з в' я з а н н я

Брошурування кожного підручника можна розглядати як випробування. Випробування незалежні і мають однакову імовірність невірного брошурування, тому задача вкладається у схему Бернуллі. Згідно з умовою задачі n=10000 досить велике; р=0,0001 мала; m=5.

Застосовуючи формулу Пуассона (3), одержимо

Відповідь:

Для наведення ще двох граничних теорем треба спочатку визначити локальну та інтегральну функції Лапласа та ознайомитись з їх основними властивостями.

Означення 2. Локальною функцією Лапласа називають функцію вигляду

Ця функція часто використовується, тому її значення для різних х наведені в підручниках та посібниках із теорії імовірностей. Вона табульована для додатних х.

Основні властивості локальної функції Лапласа.

1. Функція Лапласа ц(х) парна, тобто ц(-х)=ц(х);

2. Функція ц(х) визначена для усіх х (-?;?);

3. ц(х)>0, коли х>?;

4. 

Графік локальної функції Лапласа має вигляд, зображений на мал. 1.

Мал. 1.

Означення 3. Інтегральною функцією Лапласа називають функцію

Легко бачити, що між локальною функцією ц(х) та інтегральною функцією Ф(х) існує простий зв'язок

Основні властивості інтегральної функції Лапласа.

1. Інтегральна функція Лапласа є непарною, тобто Ф(-х)= -Ф(х);

2. Ф(0)=0;

3. Ф(х)=0,5 для х?5.

Графік інтегральної функції Лапласа зображено на мал. 2.



Мал. 2.

Інтегральна функція Лапласа Ф(х) табульована для х[0,5].

Теорема 2. (локальна теорема Мавра-Лапласа)

Якщо у схемі Бернуллі кількість випробувань n достатньо велика, а імовірність p появи події А в усіх випробуваннях однакова, то імовірність появи події А m разів може бути знайдена за наближеною формулою

(4)

де

Зауваження 4. Формулу (4) доцільно використовувати при n>100 та npq>20.

Приклад 5. Гральний кубик кидають 800 разів. Яка імовірність того, що кількість очок, кратна трьом, з'явиться 267 разів?

Р о з в' я з а н н я

У даному випадку п та m досить великі. Тому для знаходження Р₈₀₀(267) можна використати формулу (4). Маємо

Отже, за формулою (2) отримаємо

Значення ц (0,025) взято з таблиці так

Х ц(х) х ц(х)

0,02 0,398862

0,025

0,03 0,398783

Відповідь:

Теорема 3. (інтегральна теорема Мавра-Лапласа.)

Якщо у схемі Бернуллі в кожному із n незалежних випробувань подія А може з'явитися з постійною імовірністю р, тоді імовірність появи події А не менш m₁ та не більш m₂ разів може бути знайдена за формулою

(5)

де Ф(х) - інтегральна функція Лапласа,

(6)

Приклад 3. Гральний кубик кидають 800 разів. Яка імовірність того, що кількість очок, кратна трьом, з'явиться не менше 260 та не більше 274 разів?

Р о з в' я з а н н я

Для знаходження імовірності використаємо формули (5) та (6). Маємо

Відповідь: .

Значення інтегральної функції Лапласа взято з таблиці і використана властивість непарності Ф (-0,5)= -Ф (0,5) функції Ф(х).

3. У схемі Бернуллі імовірність появи події А в усіх випробуваннях однакова. Але у практичній діяльності іноді зустрічаються і такі випадки, коли у n незалежних випробуваннях імовірності появи події А різні, наприклад, вони дорівнюють р₁, р₂,…, р_n.

Тоді імовірності не появи події А також будуть різними

q₁=1-р₁, q₂=1-р₂,…, q_n=1-р_n.

У цьому випадку не можна обчислювати за формулою Бернуллі імовірність появи події А у m разів у n випробуваннях, а треба використовувати твірну функцію

(7)

Правило

Шукана імовірність Р_n(m) дорівнює коефіцієнту, що стоїть при zⁿ.

Приклад 4. Імовірність відмови кожного з 4 приладів у 4 незалежних випробуваннях різні і дорівнюють р₁=0,1; р₂=0,2; р₃=0,3; р₄=0,4. Знайти імовірність того, що внаслідок випробувань

а) не відмовить жоден прилад;

б) відмовлять один, два, три, чотири прилади;

в) відмовить хоча б один прилад;

г) відмовлять не менше двох приладів.

Р о з в' я з а н н я

Імовірність відмови приладів у випробуваннях різні, тому застосовуємо твірну функцію (1), яка у даному випадку матиме вигляд

Розкриємо дужки та зведемо подібні члени. Тоді матимемо

Відповідно Правилу звідси одержуємо відповіді на питання прикладу

а) Р₄(0)=0,302;

б) Р₄(1)=0,46; Р₄(2)=0,205; Р₃(1)=0,031; Р₄(4)=0,002;

в) Р₄(1?m?4)=1-Р₄(0)=0,698;

г) Р₄(m?2)=1 - (Р₄(0)+Р₄(1))=1 - (0,302+0,46)=0,238.

Відповідь: Р₄(0)=0,302; Р₄(1)=0,46; Р₄(2)=0,205; Р₃(1)=0,031; Р₄(4)=0,002; Р₄(1?m?4)=0,698; Р₄(m?2)=0,238.

Приклад 5. Працівник обслуговує три станка, що працюють незалежно один від одного. Імовірність того, що на протязі години перший станок не вимагатиме уваги працівника, дорівнює 0,9, а для другого та третього станків - 0,8 та 0,85, відповідно. Якою є імовірність того, що на протязі години

а) жоден станок не потребуватиме уваги працівника;

б) усі три станок потребують уваги працівника;

в) хоч би один станок потребує уваги працівника?

Р о з в' я з а н н я

Цей приклад можна розв'язати з використанням теорем множення та додавання імовірностей. Розв'яжемо цей приклад з використанням твірної функції, яка у даному випадку прийме вигляд

Отже, коефіцієнти при z^k (k=0,1,2,3) дорівнює імовірності того, що на протязі години уваги працівника не потребують k станків. Тому одержуємо відповіді на питання цього прикладу:

а) імовірність того, що усі три станка не потребують уваги працівника, дорівнює коефіцієнту при z³, тобто Р₃(3)=0,612;

б) Р₃(0)=0,003;

в) Р₃(1 ? m ? 3)=1-Р₃(3)=1-0,612=0,388.

Відповідь: Р₃(3)=0,612, Р₃(0)=0,003, Р₃(1 ? m ? 3)=0,388.

4. Теорема Бернуллі встановлює зв'язок теорії імовірностей з її практичними застосуваннями. Вона була доведена Я. Бернуллі в кінці ХVІІ століття, а опублікована у 1713 році.