Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами
Описание ненильпотентных групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами. Изучение групп с Х-перестановочными I-максимальными подгруппами. Особенности групп, в которых 2-максимальные подгруппы перестановочны с 3-максимальными подгруппами.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 02.03.2010 |
| Размер файла | 431,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
.
Это означает, что подгруппы и перестановочны. Если , то и поэтому . Следовательно, подгруппы и перестановочны.
4. Если , то подгруппа является максимальной подгруппой группы индекса и - 2-максимальная подгруппа в . Но подгруппы такого вида уже изучены.
5. Если , то подгруппа является максимальной подгруппой группы с индексом и - максимальная подгруппа группы . Но как мы уже знаем, максимальные подгруппы группы перестановочны со всеми -максимальными подгруппами группы .
Это означает, что в любом случае перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы .
Легко видеть, что в группе типа (4) каждая -максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы .
Пусть - группа типа (5). Легко видеть, что в группе все -максимальные подгруппы группы нормальны в группе . Таким образом, каждая -максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы .
Пусть - группа типа (6). Пусть - максимальная подгруппа группы . Понятно, что либо , либо , где . Отсюда следует, что - единственная неединичная -максимальная подгруппа группы . Так как , то - нормальная подгруппа в группе , и поэтому подгруппа перестановочна со всеми -максимальнаыми подгруппами группы .
Пусть - группа типа (7). Тогда , где - подгруппа группы простого порядка , - подгруппа группы простого порядка и - циклическая -подгруппа группы , которая не является нормальной подгруппой в группе , но максимальная подгруппа группы нормальна в . Покажем, что в группе любая -максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы . Предположим, что данное утверждение не верно, и пусть - контрпример минимального порядка.
Предположим, что . Пусть - -максимальная подгруппа группы . Понятно, что - нормальная подгруппа группы . Следовательно, перестановочна с любой -максимальной подгруппой группы . Полученное противоречие с выбором группы показывает, что .
Пусть - подгруппа группы с индексом . Так как , то - неединичная подгруппа группы . Ясно, что - нормальная подгруппа группы . Факторгруппа имеет вид , где - силовская подгруппа порядка , - силовская подгруппа порядка , - циклическая силовская -подгруппа, которая не является нормальной подгруппой в , но максимальная подгруппа группы нормальна в группе . Поскольку , то и поэтому по выбору группы мы заключаем, что любая -максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы . Пусть - произвольная -максимальная подгруппа группы и - -максимальная подгруппа группы . Понятно, что и . Отсюда следует, что - -максимальная подгруппа группы и - -максимальная подгруппа группы , и поэтому
Следовательно, подгруппы и перестановочны. Полученное противоречие с выбором группы заканчивает доказательство теоремы.
Если в группе любая ее -максимальная подгруппа перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы и , то - нильпотентная группа.
Классы групп типов (1) -(7), очевидно, попарно не пересекаются. Покажем, что все это классы не пусты. Но фактически мы должны установить это лишь для классов (2), (3), (5) - (7).
Хорошо известно, что в группе автоморфизмов группы кватернионов имеется элемент порядка . Пусть . Тогда принадлежит типу (2). Действительно, пусть - единственная подгруппа порядка 2 группы . Тогда и поэтому . Понятно, что - главный фактор группы и кроме того, . Таким образом, - максимальная подгруппа группы и все максимальные в подгруппы, индекс которых делится на 2, сопряжены с . Следовательно, - группа Шмидта.
Пусть
и - группа порядка 7. Ввиду леммы , - абелева группа порядка 9. Поскольку изоморфна некоторой подгруппе порядка 3 из группы автоморфизмов , то - группа операторов для с . Пусть . Ясно, что - -максимальная подгруппа группы и не является нормальной подгруппой группы . Легко проверить, что все максимальные подгруппы группы , отличные от , цикличны и не являются нормальными подгруппами группы и поэтому - группа типа (3).
Пусть теперь и - такие простые числа, что делит . Тогда если - группа порядка , то в группе ее автоморфизмов имеется подгруппа порядка . Пусть , где - группа порядка . Тогда - группа операторов для с и поэтому группа принадлежит типу (3).
Пусть снова и - группы, введенные в примере, и , где Пусть - канонический эпиморфизм группы на факторгруппу . Пусть - прямое произведение групп и с объединенной факторгруппой (см. лемму ). Пусть - силовская -подгруппа группы . Тогда , где и поэтому
, где
Покажем, что . Поскольку и , то . Следовательно, и поэтому . Значит, . Так как и , то и поэтому . Пусть - неединичная подгруппа из . Ясно, что . Пусть . Мы имеем
Значит, и поэтому . Следовательно, - нормальная погруппа в . Таким образом, группа принадлежит типу (5).
Пусть - циклическая группа порядка , где - простое нечетное число. Согласно лемме , . Пусть теперь - произвольный простой делитель числа и - группа порядка в . Обозначим символом полупрямое произведение . Пусть - подгруппа порядка группы . Тогда и поэтому если , то согласно лемме , , что противоречит определению группы . Следовательно, , что влечет . Значит, группа принадлежит типу(6).
Покажем, наконец, что класс групп (7) не пуст. Пусть и - группы нечетных простых порядков и соответственно (). Тогда
и поэтому найдется такой простой делитель числа , который одновременно отличен от и . Пусть , где - группа порядка в . Тогда группа принадлежит типу (7).
4. Группы, в которых максимальные подгруппы перестановочны с -максимальными подгруппами
В данном разделе дано описание групп, у которых каждая максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми ее -максимальными подгруппами.
Для доказательства основного результата данного раздела нам понадобятся следующие леммы.
Класс всех таких абелевых групп ,что не содержит кубов, является формацией.
Доказательство.
Пусть . И пусть - произвольная нормальная подгруппа группы . Тогда абелева. Так как по определению экспоненты делит и поскольку не содержит кубов, то не содержит кубов. Следовательно, .
Пусть и . Покажем, что
.
Пусть . Тогда , где и . Так как , то по определению экспоненты . Из того, что и не содержат кубов, следует, что не содержит кубов. Поскольку группа изоморфна подгруппе из , то делит , и поэтому не содержит кубов. Так как группа абелева, то . Следовательно, - формация. Лемма доказана.
[4.1]. Пусть , где - формация, описанная в лемме. Если каждая максимальная подгруппа группы перестановочна с любой -максимальной подгруппой группы , то .
Доказательство. Предположим, что лемма не верна, и пусть - контрпример минимального порядка. Доказательство разобьем на следующие этапы.
(1) Для любой неединичной нормальной подгруппы группы , факторгруппа .
Пусть - максимальная подгруппа группы и - -максимальная подгруппа группы . Тогда - максимальная подгруппа группы и - -максимальная подгруппа группы . Из того, что по условию подгруппы и перестановочны, мы имеем
Поскольку , то и поэтому по выбору группы мы заключаем, что .
(2) имеет единственную минимальную нормальную подгруппу для некоторого простого , и где - максимальная подгруппа группы с .
Пусть - минимальная нормальная подгруппа группы . Ввиду леммы, - разрешимая группа, и поэтому - элементарная абелева -группа для некоторого простого . Так как - насыщенная формация , то ввиду (1), - единственная минимальная нормальная подгруппа группы и . Пусть - максимальная подгруппа группы , не содержащая и . По тождеству Дедекинда, мы имеем . Из того, что абелева, следует, что и поэтому . Это показывает, что , .
(3) Заключительное противоречие.
Ввиду (2), для некоторой максимальной подгруппы группы имеем . Так как , то . Пусть - -максимальная подгруппа группы . Тогда по условию, для каждого . По лемме , и поэтому . Следовательно, . Это означает, что каждая -максимальная подгруппа группы единичная, и следовательно, - простое число для всех максимальных подгруппы группы . Так как для некоторого простого , то - максимальная подгруппа группы . Это означает, что - -максимальная подгруппа группы .
Предположим, что . Тогда в имеется неединичная максимальная подгруппа . Ясно, что - -максимальная подгруппа группы , и поэтому перестановочна с . Следовательно, , но . Полученное противоречие показывает, что .
Поскольку ввиду (1),
, то - нильпотентная подгруппа.
Из того, что - неединичная нормальная подгруппа в группе , следует, что .
Так как факторгруппа изоморфна подгруппе группы автоморфизмов и группа автоморфизмов группы простого порядка является циклической группой порядка , то абелева. Из того, что и не содержит кубов, следует, что не содержит кубов. Это означает, что . Следовательно, , и поэтому - нильпотентная подгруппа. Таким образом, . Полученное противоречие с выбором группы доказывает лемму.
[4.1]. В примитивной группе каждая максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы тогда и только тогда, когда группа имеет вид:
(1) ,
где - группа порядка и - группа порядка , где ;
(2) ,
где - минимальная нормальная подгруппа в порядка и - группа порядка , где ;
(3) ,
где - группа порядка и - группа порядка , где .
(4) ,
где - группа порядка и - группа порядка , где - различные простые делители порядка группы .
Доказательство. Необходимость. Так как ввиду теоремы, группа разрешима, то , где - примитиватор группы и - единственная минимальная нормальная подгруппа группы , . Ввиду леммы , .
Пусть - произвольная максимальная подгруппа группы и - максимальная подгруппа группы . Ясно, что - -максимальная подгруппа группы . По условию подгруппы и перестановочны. Следовательно, для любого , - подгруппа группы , и поэтому либо , либо . Ввиду леммы, первый случай не возможен. Следовательно, . Это означает, что для любого . Значит, . Следовательно, в группе все -максимальные подгруппы единичны. Это означает, что либо , либо , либо .
1. Пусть . Если , то группа принадлежит типу (1). Если , то группа принадлежит типу (3).
2. Пусть . Допустим, что . Ясно, что - -максимальная подгруппа группы . Пусть - максимальная подгруппа группы . Тогда - -максимальная подгруппа группы . По условию подгруппы и перестановочны. Следовательно, . Полученное противоречие показывает, что . В этом случае - группа типа (2).
3. Пусть . Рассуждая как выше, видим, что . Значит, - группа типа (4).
Достаточность очевидна. Лемма доказана.
Поскольку в любой нильпотентной группе максимальная подгруппа нормальна, то все они перестановочны со всеми -максимальными подгруппами группы . Опишем теперь ненильпотентные группы, у которых каждая максимальная подгруппа перестановочна со всеми -максимальными подруппами.
[4.2]. В ненильпотентной группе каждая ее максимальная подгруппа перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы тогда и только тогда, когда либо где - различные простые числа и либо - группа типа (2) из теоремы , либо - сверхразрешимая группа одного из следующих типов:
(1) ,
где - группа простого порядка , а - такая бипримарная группа с циклическими силовскими подгруппами, что , где и ;
(2) ,
где - группа простого порядка , - циклическая -группа с () и ;
(3) ,
где - группа простого порядка , - -группа с (), и все максимальные подгруппы в , отличные от , цикличны.
Доказательство. Необходимость.
Пусть - группа, в которой каждая максимальная подгруппа перестановочна с любой -максимальной подгруппой группы .
Поскольку - ненильпотентная группа, то в ней существует максимальная подгруппа , которая не является нормальной в . Тогда . Следовательно, - примитивная группа, которая удовлетворяет условиям леммы .
I. Пусть , где и - простые числа (не обязательно различные). Ввиду леммы , и .
Так как , то содержится в некоторой максимальной подгруппе группы . Пусть - произвольная максимальная подгруппа группы и - максимальная подгруппа группы . Ясно, что - -максимальная подгруппа группы . Следовательно, для любого подгруппы и перестановочны. Это означает, что . Поскольку , то либо , либо . Ясно, что первый случай не возможен. Следовательно, - единственная максимальная подгруппа группы , и поэтому - примарная циклическая группа. Ввиду произвольного выбора , - примарная циклическая группа.
Пусть . Тогда для некоторого . Пусть - силовская -подгруппа группы , - силовская -подгруппа группы и - силовская -подгруппа группы . Так как
,
то - группа порядка и . Из того, что факторгруппа сверхразрешима и подгруппа циклическая, следует, что - сверхразрешимая группа. Допустим, что - наибольший простой делитель порядка группы . Тогда и поэтому . Значит, и , противоречие. Если - наибольший простой делитель порядка группы , то рассуждая как выше видим, что и . Полученное противоречие показывает, что - наибольший простой делитель порядка группы . Значит, - нормальная подгруппа в группе . Если , то и , где - группа порядка , - -группа. Ясно, что - единственная -максимальная подгруппа в . Поскольку - неприводимая абелева группа автоморфизмов группы , то - циклическая группа и поэтому - циклическая группа. Следовательно, - группа типа (2).
Пусть теперь . Поскольку в группе все максимальные подгруппы примарны и цикличны, то и поэтому .
II. Пусть . Согласно лемме , , где - минимальная нормальная подгруппа в группе и либо , либо .
1. Пусть .
Пусть - силовская -подгруппа группы .
Пусть - произвольная максимальная подгруппа группы , отличная от . Рассуждая как выше видим, что - примарная циклическая группа. Значит, .
Предположим, что - -группа. Тогда . Пусть - максимальная подгруппа группы .
Допустим, что . Ясно, что - -максимальная подгруппа группы . Пусть - максимальная подгруппа группы такая, что . Тогда - -максимальная подгруппа группы , и следовательно, - подгруппа группы , что влечет
Полученное противоречие показывает, что и поэтому . Значит, , где - минимальная нормальная подгруппа группы порядка и . Следовательно, .
Пусть теперь и . Пусть - силовская -подгруппа в и - максимальная подгруппа группы , которая содержит . Тогда .
Так как - циклическая силовская -подгруппа группы , то - -сверхразрешимая группа.
Предположим, что . Пусть - силовская -подгруппа группы и пусть - максимальная подгруппа группы . Тогда . Допустим, что . Тогда ввиду леммы , - сверхразрешимая группа, и поэтому - нормальная подгруппа в группе . Пусть - силовская -подгруппа группы . Так как - нормальная максимальная подгруппа в группе , то . Поскольку сверхразрешима, то , и поэтому - нормальная подгруппа в группе . Из того, что - циклическая группа, следует, что . Значит, - нормальная подгруппа в группе . Предположим, что . Пусть - максимальная подгруппа группы , такая что . Ясно, что - -максимальная подгруппа группы . Поскольку по условию подгруппы и перестановочны, то
противоречие. Следовательно, . Пусть теперь - произвольная максимальная подгруппа группы . Поскольку - -максимальлная подгруппа группы , то
Полученное противоречие показывает, что . Значит, и . Так как - максимальная подгруппа группы , то - минимальная нормальная подгруппа в группе . Из того, что - силовская -подгруппа группы , следует, что . Ясно, что . Следовательно, , и поэтому - нормальная подгруппа в группе . Допустим, что . Пусть - максимальная подгруппа группы , такая что . Рассуждая как выше видим, что
противоречие. С другой стороны, если , то как и выше получаем, что
что невозможно. Следовательно, .
Предположим теперь, что . Допустим, что . Пусть - максимальная подгруппа группы , такая что . Поскольку - максимальная подгруппа группы и , то - -максимальная подгруппа группы . По условию - подгруппа группы . Следовательно, , противоречие. Используя приведенные выше рассуждения можно показать, что при этот случай также невозможен.
Полученное противоречие показывает, что . Пусть . Тогда , и поэтому - нормальная силовская -подгруппа в группе . Значит, , где . Пусть - максимальная подгруппа группы такая, что - максимальная подгруппа в . Пусть - произвольная максимальная подгруппа группы . Ясно, что - -максимальная подгруппа группы . Поскольку , то и поэтому . Значит, - единственная максимальная подгруппа группы . Следовательно, - циклическая группа. Пусть - произвольная максимальная подгруппа группы , отличная от . Так как
,
то . С другой стороны, и поэтому - максимальная подгруппа группы . Пусть - максимальная подгруппа группы , отличная от . Ясно, что - -максимальная подгруппа группы . Поскольку подгруппы и перестановочны и , то и поэтому . Следовательно, - единственная -максимальная подгруппа группы . Значит, согласно теореме , - либо циклическая группа, либо группа кватернионов порядка . Пусть имеет место первый случай. Тогда . Это означает, что - нормальная подгруппа в , и поэтому Полученное противоречие показывает, что первый случай невозможен. Следовательно, , где - группа кватернионов порядка и - группа порядка .
Пусть теперь . Пусть - максимальная подгруппа группы . Тогда - -максимальная подгруппа группы , и, следовательно, - подгруппа группы . Но поскольку , то этот случай невозможен.
2. Для любой максимальной и не нормальной в подгруппы имеет место , где и - различые простые числа. Более того, мы теперь уже можем предполагать, что индекс любой максимальной в подгруппы есть простое число. Это означает, что группа сверхразрешима, что в свою очередь влечет сверхразрешимость подгруппы . Пусть - произвольная максимальная подгруппа группы , отличная от . Рассуждая как выше видим, что - примарная циклическая подгруппа и поэтому для некоторых и . Следовательно, . Пусть - силовская -подгруппа группы , пусть - силовская -подгруппа группы , которая содержится в и пусть - силовская -подгруппа группы , которая содержится в . Если - нормальная подгруппа группы , то . Полученное противоречие показывает, что не является нормальной подгруппой группы .
Допустим, что . Тогда - силовская -подгруппа группы и . Из сверхразрешимости группы следует, что - нормальная подгруппа группы . Значит, , где - группа простого порядка . Ясно, что и поэтому . Поскольку все максимальные подгруппы группы , отличные от , цикличны, то - группа типа (3).
Пусть . Тогда и - нормальная подгруппа группы . Значит, . Так как - максимальная подгруппа группы , то - циклическая подгруппа и . Если , то . Если , то - группа типа (1).
Пусть теперь, - различные простые числа. Тогда и . Если - нормальная подгруппа группы , то и поэтому - группа типа (1). Пусть не является нормальной подгруппой группы . Тогда - наибольший простой делитель порядка группы и поэтому - нормальная подгруппа группы . Пусть - максимальная подгруппа группы , такая что и . Допустим, что - нормальная подгруппа группы . Значит, в ней существует нормальная силовская подгруппа. Если , то и поэтому - нормальная подгруппа группы . Полученное противоречие показывает, что для некоторого , - нормальная подгруппа группы . Следовательно, - нормальная подгруппа группы , противоречие. Значит, не является нормальной подгруппой в группе . Рассуждая как выше видим, что у все максимальные подгруппы отличные от примарны и цикличны и . Значит, - группа типа (1).
Достаточность. Если и , то очевидно, что любая -максимальная погруппа группы перестановочна с ее максимальными подгруппами.
Пусть - группа Шмидта, где - группа кватернионов порядка и - группа порядка . Ясно, что в группе -максимальные подгруппы перестановочны со всеми максимальными подгруппами.
Предположим теперь, что - группа типа (1)-(3). Пусть - произвольная максимальная подгруппа группы и - -максимальная подгруппа группы . Докажем, что подгруппы и перестановочны.
Пусть - группа типа (1). Пусть .
1. Пусть , где - простое число, отличное от . Пусть - силовская -подгруппа группы , которая содержится в . Тогда .
Допустим, что . Поскольку группа сверхразрешима, то индекс максимальной подгруппы является простым числом.
Пусть . Тогда . Значит, . Поскольку
,
то - максимальная в подгруппа. Если , то - примарная циклическая группа. Так как делит , то , и поэтому для некоторого , . Полученное противоречие показывает, что . Это означает, что - нормальная подгруппа в .
Допустим, что . Пусть . Тогда - нормальная подгруппа в . Поскольку в любая максимальная подгруппа индекса совпадает с , то - нормальная подгруппа в и поэтому перестановочна с .
Пусть теперь . Пусть - силовская -подгруппа и - силовская -подгруппа в соответственно. Пусть . Тогда и поэтому для некоторого , . Из того, что , следует, что - максимальная подгруппа группы . С другой стороны, - максимальная подгруппа циклической группы . Значит, . Отсюда следует, что и поэтому - нормальная подруппа в . Следовательно, перестановочна с . Пусть . Тогда для некоторого , . Рассуждая как выше видим, что . Значит, - нормальная подгруппа в . Поскольку
,
то . Это означает, что подгруппы и перестановочны. Пусть . Используя приведенные выше рассуждения видим, что - нормальная подгруппа в . Поскольку , то - нормальная подгруппа в . Следовательно, подгруппы и перестановочны. Пусть . Рассуждая как выше видим, что - нормальная подгруппа в и . Значит, . Следовательно, подгруппы и перестановочны. Пусть теперь . Поскольку , то - нормальная подгруппа в . Пусть . Тогда , где . Пусть - силовская -подгруппа группы . Пусть . Тогда - -группа и для некоторого , . Без ограничения общности можно предположить, что . Поскольку , то . Значит, . Следовательно, подгруппы и перестановочны. Пусть . Тогда . Следовательно, и поэтому подгруппа перестановочна с . Пусть . Тогда . Ясно, что . Следовательно, . Это означает, что подгруппы и перестановочны. Пусть . Тогда . Поскольку , то
и поэтому подгруппы и перестановочны.
Если , то рассуждая подобным образом, получаем, что перестановочна с .
Допустим, что . Так как в все максимальные подгруппы, отличные от , примарные и циклические, то - максимальная подгруппа в . Следовательно, . Это означает, что в группе существует единственная -максимальная подгруппа и она единична. Таким образом, перестановочна с .
2. Пусть теперь .
Пусть . Тогда - нормальная подгруппа в и поэтому перестановочна с . Пусть . Тогда . Поскольку для некоторого , , то без ограничения общности можно предположить, что . Значит, . Если , то и поэтому
Допустим, что . Тогда - -группа. Поскольку для некоторого , и , то и поэтому . Пусть теперь . Пусть - силовская -подгруппа и - силовская -подгруппа в соответственно. Тогда . Ясно, что для некоторого и . Следовательно, и поэтому . Если , то
Если , то
В любом случае, -максимальная подгруппа перестановочна с максимальной подгруппой .
Пусть - группа типа (2) или (3). Если , то . Поскольку , то - -максимальная подгруппа группы . Если , то содержится в некоторой максимальной циклической подгруппе группы . Так как , то - нормальная подгруппа в . Отсюда следует, что
Значит, перестановочна с . Пусть . Если , то для некоторого . Поскольку то
и поэтому перестановочна с . Если , то . Из того, что , следует, что . Значит, перестановочна с .
Пусть теперь . Тогда - -группа и, следовательно, для некоторого , . Без ограничения общности можно предположить, что . Ясно, что - -максимальная подгруппа группы . Пусть - максимальная подгруппа группы , содержащая . Допустим, что . Если , то . Предположим, что . Тогда - циклическая группа. Поскольку , то - максимальная подгруппа группы . Из того, что - циклическая подгруппа следует, что . Значит, . Поскольку , то - нормальная подгруппа в . Отсюда следует, что - нормальная подгруппа в . Значит, перестановочна с .
Пусть . Поскольку - циклическая группа, то - нормальная подгруппа в . Следовательно, перестановочна с . Теорема доказана.
Если в группе любая ее максимальная подгруппа перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы и , то - нильпотентная группа.
Легко видеть, что классы групп теоремы попарно не пересекаются. Отметим, что, как и в случае теоремы, можно построить примеры групп типов (1) - (3).
Заключение
В данной работе дано описание групп, у которых максимальные подгруппы перестановочны с -максимальными подгруппами групп; описание ненильпотентных групп, у которых каждая -максимальная подгруппа перестановочна со всеми -максимальными подгруппами; описание ненильпотентных групп, у которых каждая максимальная подгруппа перестановочна со всеми -максимальными подгруппами. Доказана -разрешимость и найдены оценки -длины групп, у которых каждая -максимальная подгруппа -перестановочна со всеми -максимальными подгруппами, где .
Литература
1.Боровиков М.Т. Группы с перестановочными подгруппами взаимно простых порядков // Вопросы алгебры. Выпуск 5. - Минск: Университетское, 1990. - С. 80-82.
2.Боровиков М.Т. О -разрешимости конечной группы // Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп / Под редакцией М.И. Салука. - Минск: Наука и техника, 1986. - С. 3-7.
3.Белоногов В.А. Конечные разрешимые группы с нильпотентными -максимальными подгруппами // Матем. заметки. - 1968. - Т. 3, № 1. - С. 21-32.
4.Беркович Я.Г. Конечные группы с дисперсивными вторыми максимальными подгруппами // Докл. АН СССР. - 1964. - Т. 158, № 5. - С. 1007-1009.
5.Беркович Я.Г. Конечные группы, у которых все -е максимальные подгруппы являются обобщенными группами Шмидта // Мат. заметки. - 1969. - Т. 5, № 1. - С. 129-136.
6.Беркович Я.Г. Конечные неразрешимые группы с абелевыми третьими максимальными подгруппами // Изв. высш. учебн. заведений. Математика. - 1969. - № 7. - С. 10-15.
7.Беркович Я.Г., Пальчик Э.М. О перестановочности подгрупп конечной группы // Сиб. мат. журн. - 1967. - Т. 8, № 4. - С. 741-753.
8.Веньбинь Го, Шам К.П., Скиба А.Н., -накрывающие системы подгрупп для классов -сверхразрешимых и -нильпотентных конечных групп // Сиб. мат. журнал. - 2004. - Т. 45, № 3. - С. 75-92.
9.Голубева О.В., Пальчик Э.М. К теореме Виланда // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-матэм. навук. - 2001. - № 3. - С. 135-136.
10.Курносенко Н.М. О факторизации конечных групп сверхразрешимыми и нильпотентными подгруппами // Вопросы алгебры. Выпуск 12. - 1998. С. 113-122.
11.Пальчик Э.М. О -квазинормальных подгруппах // Докл. АН БССР. - 1967. - Т. 11, № 11. - С. 967-969.
12.Пальчик Э.М. О группах, все -максимальные подгруппы которых перестановочны с силовской подгруппой // ИАН БССР. Сер. физ.-матем. наук. - 1968. - № 1. - С. 45-48.
13.Пальчик Э.М. О конечных группах с перестановочными подгруппами // Докл. АН БССР. - 1967. - Т. 11, № 5. - С. 391-392.
Подобные документы
Понятие и виды бинарной алгебраической операции. Определения, примеры и общие свойства -перестановочных подгрупп. Характеристика и методика решения конечных групп с заданными -перестановочными подгруппами. Доказательство p-разрешимости конечных групп.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 22.09.2009Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного и непримарного индекса. Неразрешимые группы с заданными подгруппами непримарного индекса. Классификация и строение конечных минимальных несверхразрешимых групп. Доказательство теорем и лемм.
курсовая работа [427,2 K], добавлен 18.09.2009Факторизуемые группы с Х-перестановочными силовскими подгруппами. Классическая теорема Холла о разрешимых группах. Нахождение признаков сверхразрешимости группы на основе условий Х-перестановочности ее подгрупп. Доказательство тождества Дедекинда.
курсовая работа [229,4 K], добавлен 02.03.2010Строение конечных групп по заданным свойствам их обобщенно субнормальных подгрупп. Использование методов абстрактной теории групп и теории формаций конечных групп. Субнормальные и обобщенно субнормальные подгруппы и их свойства. Обобщение теоремы Хоукса.
дипломная работа [288,7 K], добавлен 20.12.2009Рассмотрение методов экстремальных классов (Картер, Фишер, Хоукс), и критических групп (Семенчук). Классификация наследственных насыщенных формаций F, замкнутых относительно произведения обобщенно субнормальных F-подгрупп с взаимно простыми индексами.
курсовая работа [191,3 K], добавлен 14.02.2010Изучение строения групп по заданным свойствам системы их подгрупп как направлениt в теории конечных групп. Обзор конечных групп с плотной системой F-субнормальных подгрупп в случаях, когда F - произвольная S-замкнутая формация p-нильпотентных групп.
курсовая работа [163,6 K], добавлен 07.03.2010Разрешимости, сверхразрешимости и изоморфизма конечных групп. Доказательства теорем о произведении двух групп, одна из которых содержит циклическую подгруппу индекса менее или равную двум. Произведение разрешимой и циклической групп, рассмотрение лемм.
курсовая работа [523,5 K], добавлен 26.09.2009Изучение свойств критических групп и субнормальных подгрупп. Нахождение серии наследственных насыщенных формаций Шеметкова (минимальная не F-группа тут группа Шмидта, либо простого порядка) и Фиттинга (замкнутые относительно произведения F-подгрупп).
дипломная работа [272,8 K], добавлен 14.02.2010Сущность теории групп. Роль этого понятия в математике. Мультипликативная форма записи операций, примеры групп. Формулировка сущности подгруппы. Гомоморфизмы групп. Полная и специальная линейная группы матриц. Классические группы малых размерностей.
курсовая работа [241,0 K], добавлен 06.03.2014Формации как классы групп, замкнутые относительно фактор-групп и подпрямых произведений, методика их произведения. Операции на классах групп, приводящие к формациям. Виды простейших свойств локальной формации всех групп с нильпотентным компонентом.
курсовая работа [461,6 K], добавлен 20.09.2009
