Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

КУРСОВАЯ РАБОТА

Вычисление интегралов от тригонометрических функций, зависящих от параметра

Введение

Математика является одной из древнейших наук. Само слово «математика» имеет древнегреческие корни и означает «наука» или «знание».

Математика - это язык. Язык нужен для коммуникации, чтобы передать смысл, возникший у одного человека к другому человеку. Для этого служат предложения этого языка, составленные по определенным правилам.

Почему люди учат разные языки, что это им дает кроме возможности общаться в других странах? Каждый язык имеет слова, не существующие в других языках, поэтому позволяет описывать (и видеть) такие явления, которые никогда человек бы не увидел, если бы не знал этого языка. Знание еще одного языка позволяет получить еще одно, отличное от других, видение мира. (У эскимосов в языке существует 20 разных слов для обозначения снега, в отличие от русского, где всего одно).

Объектом исследования данной работы являются интегралы от тригонометрических функций, зависящие от параметра, а предметом исследования - вычисление интегралов от тригонометрических функций, зависящих от параметра.

Выделяют особый класс функций, представимых в виде собственного либо несобственного интеграла, который зависит не только от формальной переменной, а и от параметра. Такие функции называются интегралами зависящими от параметра. К их числу относятся гамма и бета функции Эйлера. Бета функции представимы интегралом Эйлера первого рода: . Гамма функция представляется интегралом Эйлера второго рода: .

Гамма-функция относится к числу самых простых и значимых специальных функций, знание свойств которой необходимо для изучения многих других специальных функций, например, цилиндрических, гипергеометрических и других. Благодаря её введению значительно расширяются возможности при вычислении интегралов. Даже в случаях, когда конечная формула не содержит иных функций, кроме элементарных, получение её всё же часто облегчает использование функции Г, хотя бы в промежуточных выкладках.

Эйлеровы интегралы представляют собой хорошо изученные неэлементарные функции. Задача считается решённой, если она приводится к вычислению эйлеровых интегралов.

Цель данной курсовой работы - научиться вычислять интегралы от тригонометрических функций, зависящих от параметра.

При написании данной курсовой работы были использованы учебные пособия, конспекты лекций, справочные издания.

1. Понятие интеграла

Функция называется первообразной для , если .

Неопределенным интегралом от функции называется совокупность всех первообразных для этой функции.

Обозначение: , где c - произвольная постоянная.

Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

Свойства неопределенного интеграла

1. Производная неопределенного интеграла:

2. Дифференциал неопределенного интеграла:

3. Неопределенный интеграл от дифференциала:

4. Неопределенный интеграл от суммы (разности) двух функций:

;

5. Вынесение постоянного множителя за знак неопределенного интеграла:

, где - константа.

Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача. Ниже будут рассмотрены способы нахождения неопределенных интегралов для основных классов функций - рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и др.

Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций.

Вот лишь один из вариантов таблицы интегралов:

Таблица 1. Таблица интегралов

Рассмотрим основные методы интегрирования.

1) Использование свойств неопределенного интеграла.

Пример 1.

.

Здесь мы воспользовались свойствами неопределённого интеграла:

, , где - константа,

табличными интегралами , .

2) Подведение под знак дифференциала.

Пример 2.

3) Метод замены переменной:

а) замена в интеграле :

,

где - функция, интегрируемая легче, чем исходная; - функция, обратная функции ; - первообразная функции .

Пример 3.

б) замена в интеграле вида:

;

Пример 4.

Вычислим . Сделаем замену переменной: .

Тогда , откуда .

.

Пример 5.

Вычислим . Сделаем замену переменной: .

Тогда

,

откуда .

Подставляя в интеграл, получаем:

.

Здесь мы воспользовались свойством , (С - константа) неопределённого интеграла, а также табличным интегралом и независимостью вида формулы интегрирования от переменной.

4) Метод интегрирования по частям:

Пример 6.

Вычислим . Воспользуемся формулой интегрирования по частям, взяв , .

Тогда ,

.

.

Здесь мы применили свойство ( - константа) неопределённого интеграла, а также табличные интегралы , и независимость вида формулы интегрирования от переменной.

Введём понятие определенного интеграла и рассмотрим его свойства. Пусть на некотором интервале задана непрерывная функция . Построим ее график.

Фигура, ограниченная сверху кривой , слева и справа прямыми и снизу отрезком оси абсцисс между точками a и b, называется криволинейной трапецией.

S - область - криволинейная трапеция.

Разделим интервал точками и получим:

Интегральная сумма: ,

Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что и произвольном выборе точек _i интегральная сумма стремится к пределу S, такой предел называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b] и обозначается При этом а - нижний предел, b - верхний предел, х - переменная интегрирования, [a, b] - отрезок интегрирования.

Если для функции f(x) существует предел то функция называется интегрируемой на отрезке [a, b].

Кроме того,

Свойства определенного интеграла:

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

2. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов этих функций:

3. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е. при любых a, b, c :

4. Если на отрезке , то и

5. Пределы интегрирования можно менять местами, при этом меняется знак интеграла:

6. Интеграл в точке равен 0:

7. Пусть y = f(x) - функция, интегрируемая на [a, b]. Тогда , где , f(c) - среднее значение f(x) на [a, b]: (Теорема о среднем).

8. Если m и M - соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b], то:

9. Формула Ньютона-Лейбница

, где F(x) - первообразная для f(x).

Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подынтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.

2. Вычисление интегралов от тригонометрических функций

Таблица 2. Интегралы от тригонометрических функций

Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда.

Интеграл вида вычисляются с помощью подстановки (универсальной тригонометрической подстановки). Эта подстановка позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную.

,

Таким образом:

Здесь R - обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и cosx.

3. Интегралы, зависящие от параметра

Список использованной литературы

1. Демидович, Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. - М.: Наука, 1972.

2. Зорич, В.А. Математический анализ: в 2 т./ В.А. Зорич. - М.: Наука, 1984.

3. Ильин, В.А., Позняк Э.Г. Математический анализ. М.: Наука, 1999.

4. Ковальчук В.Е., Чалов П.А. Лекции по математическому анализу: Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметров. - Ростов-на-Дону, Южный федеральный ун-т, 2007. - 63 с.

5. Кудрявцев, Л.Д. Краткий курс математического анализа. М.: Наука, 2000.

6. Ляшко, И.И. Боярчук, А.К. Гай, Я.Г. Головач, Г.П. Математический анализ: в 3 т. Т. 3. Кратные и криволинейные интегралы/ И.И Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач. - М.: Едиториал УРСС, 2001.

7. Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа (под редекцией А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича). - Т.2. М.: Наука, 2004.

8. Мышкис, А.Д. Лекции по высшей математике. М.: Наука, 2003.

9. Шерстнев, А.Н. Конспект лекций по математическому анализу/ А.Н. Шерстнев. - М., 2003.

Размещено на Allbest.ru