Пусть А ? <А, ·> - мультипликативная группа,

Н - подмножество множества А, Н ?.

Определение 1. <Н,·> - называется подгруппой мультипликативной группы А, если выполняются следующие условия:

1. Н - замкнуто относительно бинарной операции "*" а, b Н, ab H;

2. Существует е_Н = е_{А -} единственный элемент относительно "°";

3. а Н существует а^-1 Н.

Определение 2. Если Н = А или Н = {е}, то <Н,·> - называется несобственной подгруппой группы А.

Если Н А, Н - собственное подмножество множества А, то подгруппа называется собственной подгруппой группы А.

Н = А - сама группа А.

Н = {е} - единичная подгруппа.

циклическая подгруппа группа мультипликативная

Пример. Является ли <А, ·>, где А = {1, - 1, i, - i}, i - мнимая единица, группой?

Решение.

1) Проверим условия мультипликативной группы.

"·" - бинарная ассоциативная операция на множестве А.

Таблица Кэли для "·" на множестве А.

2) е_Н = 1 А: а А а Ч 1 = 1 Ч а = а;

3) а А а^-1 А

<А, ·> - подгруппа.

Важным примером мультипликативных подгрупп являются так называемые мультипликативные циклические подгруппы.

Пусть <А, ·> - группа. Элемент е А - единичный элемент. Элемент а ? е, а А.

(а) - множество целых степеней элемента а: (а) = {х = аⁿ: n Z, a A, a ? e}

Справедлива

Теорема 1. < (а), ·> является подгруппой группы <А, ·>.

Доказательство. Проверим условия мультипликативной подгруппы.

1) Н = (а) - замкнуто относительно "·":

х = аⁿ, y = a^l, n,e Z, x, y Н, xy = aⁿa^l = a^n+l H, т.к. n + l Z;

2) e = 1 = a⁰ H, A: x H xa⁰ = a⁰x = x;

3) x = a H, x^-1 = a^-n Н: aⁿa^-n = a^-naⁿ = a⁰ = 1.

Из 1) - 3) по определению Н имеем < (а), ·> - подгруппа мультипликативной группы А.

Определение 3. Пусть <А, ·> - некоторая мультипликативная группа и

а ? е, а А.

Порядком элемента а называется наименьшее натуральное число n такое, что аⁿ = е.

Пример. Найти порядки элементов а = - 1, b = i, c = - i мультипликативной группы А = {1; - 1; i; - i}

1: (-1) ¹ = - 1, (-1) ² = 1 = e. Следовательно,

n = 2 - порядок элемента - 1.

i: (i) ¹ = i, (i) ² = - 1, (i) ⁴ = 1 = e. Следовательно,

n = 4 - порядок элемента i.

i: (-i) ¹ = - i, (-i) ² = - 1, (-i) ⁴ = 1 = e. Следовательно,

n = 4 порядок элемента - i.

Теорема 2. Пусть <А, ·> - группа, а А, а ? е, а - элемент n-го порядка, тогда:

1) Подгруппа (а) группы А имеет вид: (а) = {а⁰ = е, а, а², …, а^n-1} -

n - элементное множество неотрицательных степеней элемента а;

2) Любая целая степень элемента а^k, k Z, принадлежит множеству (а) и

a^k = e <=> k = nq, n N, q Z.

Доказательство. Покажем, что все элементы (а) различны. Предположим противное: a^k = a^l, k > l, тогда a^k-l = e. k - l < n, что противоречит определению порядка элемента (а). В множестве (а) все элементы различны.

Покажем, что а^k, К Z, принадлежит множеству (а).

Пусть k = n, k: n, a^k = a^{nq + r} = a^k Ч a^{nq + r} = (aⁿ) ^q Ч a^r = e^q Ч a^r = e Ч a^r = a^r,

0 ? r ? n ? 1 => a^k (a). Если r = 0, то k = nq <=> a^k = e.

Определение 4. Подгруппа < (а), ·>, где (а) = {а⁰ = е, а, а², …, а^n-1}, группы А, а - элемент n-го порядка, называется циклической подгруппой группы А (мультипликативной циклической подгруппой группы А).

Определение 5. Группа, совпадающая со своей подгруппой <А, ·>, < (а), ·>, мультипликативной циклической подгруппой, называется циклической группой.

Теорема 3. Всякая мультипликативная циклическая группа является абелевой.

Доказательство. А = (а), а ? е, а - образующий элемент группы

a^k, a^l A, a^k Ч a^l = a^l Ч a^k. Действительно, a^k Ч a^l = a^k+l = a^l+k = a^l Ч a^k, l,k Z.

§ 4. Аддитивные циклические подгруппы и группы

(a - b) - c ? a - (b - c) => <Z, - > не является группой,

<Z, - > - не группа.

2. А - множество целых чисел, кратных любому натуральному числу n относительно сложения.

Решение.

А = nZ = {x: x = nk, k Z, n N, n - фиксированное натуральное число}.

<A, +> - группа?

Решение.

1) Проверим, является ли "+" бинарной операцией на множестве А.

Пусть x = nk, y = nl, k, l Z x, y A.

x + y = nk + nl = n (k + l) A, k + l Z =? "+" - бинарная операция на множестве А.

Проверим, является ли "+" ассоциативной операцией на множестве А.

x, y, z, z = np, p Z,

(x + y) + z = x + (y + z). Действительно,

(nl + nk) + np = nk + (nl + np),

n (l + k) + np = nk + n (l + p) - это равенство выполняется, т.к. "+" целых чисел - ассоциативная операция => "+" ассоциативная операция на А.

2) Существует ли нейтральный элемент относительно "+"?

х А выполняются ли равенства х + е = е + х = х?

Рассмотрим равенство х + е = х

nk + e = nk, e = 0 = n0 A.

е - существует относительно "+".

3) Существует ли х^` А относительно операции "+"?

х + х^{`</sup> = х<sup>`} + х = е?

Рассмотрим равенство х + х^` = е.

х^{`</sup> = е - nk = n0 - nk = n (0 - k) = n (-k), - k Z => х<sup>`} A x A

Из 1) - 3), по определению группы, => данная система является группой, аддитивной группой.

4) Проверим, является ли группа коммутативной.

х, у А выполняется ли равенство х + у = у + х?

nk + nl = nl + nk

n (k + l) = n (l + k) - выполняется, так как "+" - коммутативная операция на Z.

Из 1) - 4) => алгебраическая система <A, +> - коммутативная аддитивная группа.

3. <Q, ·> - группа?

Q = {x: x = m/n, m Z, n N}.

Решение.

1) Проверим, является ли умножение бинарной операцией на Q.

y = k/l, k Z, l N.

xy = m/n * k/l = mk/nl Q => "·" - бинарная операция на Q.

Проверим, является ли "·" ассоциативной операцией на Q.

z = p/q, p Z, q N, x, y, z Q: x · (y · z) = (x · y) · z?

Проверка: x · (y · z) = m/k · (k/l · p/q) = m/n · kp/lq = m/n · (kp/lq) = "_{·" ассоциативна на Z, N (}mk) p/ (nl) q = mk/nl · p/q = (m/n · k/l) · p/q = (x · y) · z.

"·" ассоциативная операция на Q => 1) условие группы выполняется.

2) Существует ли нейтральный элемент относительно "·" на Q?

x · e = e · x = x? x Q, x · e = x, e = 1 Q

3) Существует ли х' относительно операции "·" на Q?

x Q, х · х' = х' · х = е? х · х' = е = 1,х · х' = 1,х'= 1/x, x ? 0 => не выполняется, элемент х = 0 не имеет обратного.

<Q, ·> - не является группой.

4. <R\{0}, ·> - группа? Если да, является ли она абелевой?

Решение.

1) a, b R\{0} a · b = с R\{0} => "·" - бинарная операция на множестве R\{0};

a, b, c х R\{0}, a · (b · c) = (a · b) · c => "·" - ассоциативная операция на множестве R\{0} = R^*.

2) Существует ли нейтральный элемент на множестве R\{0}?

a R^*, а · е = е · а = а.

Рассмотрим равенство а · е = а, е = 1 R\{0} => существует е R\{0}.

3) Существуют нейтрализующий элемент а^'?

a R^*. а' · а = а' · а = е = 1, а' = 1/а = х^-1 ? R\{0}.

Из 1) - 3) => <R\{0}, ·> - группа.

4. Найти порядок a = (1243) S₄

S₄ - симметрическая группа подстановок 4 - ой степени.

aⁿ = e, n - натуральное.

a = ? e,

a² = * = ? e,

a³ = * = ? e,

a⁴ = * = = e,

a⁴ = e, n = 4 - порядок группы.

5. S₃ = {₀ = e, ₁, ₂, …, ₅}

₁ = ⁿ =

n - ?, n = 1, ₁ ? e, n = 2

₁² = =

n = 2.

₂ = ⁿ = e

n - ?, n = 1 - ?, ₂ ? e, n = 2

₂² = * = = e.

Заключение