Решение численными методами краевой задачи математической физики
Аналитическое решение уравнения для вынужденных поперечных колебаний консольного стержня. Численное решение уравнения с помощью метода "бегущего счёта". Вывод уравнения движения из основных законов физики. Построение дискретной модели и выбор сетки.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 25.02.2013 |
| Размер файла | 1,0 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Решение численными методами краевой задачи математической физики
1. Теоретико-аналитическая часть
1.1 Постановка задачи
Исследовать вынужденные поперечные колебания консольного стержня длины , к правому концу которого, находящегося в состоянии равновесия, прикладывается, начиная с момента времени , растягивающая сила . Найти амплитуду поперечного отклонения консоли в точке от положения равновесия в момент времени .
Продемонстрировать физику процесса.
Исходные данные:
Постановка задачи
- уравнение движения колебаний стержня
где ,
Граничные условия
Так как на левом конце стержень защемлен, а к праву концу стержня применяется растягивающая сила, то граничные условия имеют следующий вид:
Начальные условия
Так как колебания происходят под воздействием растягивающей силы и в начальный момент стержень находится в покое, то начальные условия можно записать следующим образом:
1.2 Вывод уравнения движения из основных законов физики
Стержень - упругое твёрдое тело, длина которого значительно превышает его поперечные размеры.
Рассмотрим стержень цилиндрической формы, на который действует вдоль оси стержня сила .
Исследуем такие колебания стержня, при которых поперечные сечения площадью , перемещаясь вдоль оси стержня, остаются плоскими и параллельными друг другу. Данные предположения оправдываются, если поперечные размеры стержня малы по сравнению с его длиной.
Продольные колебания возникают тогда, стержень предварительно немного растягивается (или сжимается), а затем предоставляется самому себе.
Рис. 1. Стержень
Направим ось вдоль оси стержня и будем считать, что в состоянии покоя концы стержня имеют соответственно абсциссы и . Рассмотрим сечение ; его абсцисса в состоянии покоя. Смещение этого сечения в любой момент времени будет характеризоваться функцией
Найдём относительное удлинение участка стержня, ограниченного сечениями и .
Если абсцисса сечения в состоянии покоя , то смещение этого стержня в момент времени с точностью до бесконечно малых высшего порядка равно:
Отсюда ясно, что относительное удлинение стержня в сечении с абсциссой в момент времени выражается производной:
Считая, что стержень совершает малые колебания, можно вычислить натяжение, вызывающие это удлинение. Натяжение подчиняется закону Гука. Найдем величину силы натяжения , действующей на сечение :
где - площадь поперечного сечения стержня, а модуль упругости (модуль Юнга) материала стержня.
Соответственно сила , действующая на сечение равна
Возьмем элемент стержня, заключённый между сечениями и . На этот элемент действуют силы и , приложенные в этих сечениях и направленные вдоль оси . Результирующая этих сил имеет величину
и направлена также вдоль оси .
С другой стороны, ускорение элемента равно , вследствие чего, используя второй закон Ньютона , мы можем написать равенство
(1)
где объёмная плотность стержня, масса выделенного участка стержня
Сокращая и вводя обозначение , для свободных продольных колебаний однородного стержня можно получить дифференциальное уравнение в частных производных:
(2)
Форма этого уравнения показывает, что продольные колебания стержня носят волновой характер, причём скорость распространения продольных волн определяется формулой
Если дополнительно предположить, что к стержню приложена внешняя сила , рассчитанная на единицу объёма и действующая вдоль оси стержня, то к правой части уравнения (1) добавится слагаемое и уравнение (1) примет вид:
(3)
(4)
это уравнение вынужденных продольных колебаний стержня.
1.3 Проверка задачи по критерию размерности
Вывод: размерности совпадают
1.4 Аналитическое решение задачи
Граничные условия:
Начальные условия:
Так как граничные условия ненулевые, использовать напрямую метод Фурье нельзя. С помощью введения новой переменной , приведём граничные условия к нулю:
тогда: граничные условия:
начальные условия:
частные производные:
.
Таким образом, постановка задачи для новой функции имеет следующий вид:
граничные условия:
начальные условия:
В силу того, что задача неоднородна представим функцию в виде:
где функция будет описывать собственный колебаний стержня, а - вынужденные.
Собственные колебания
Рассмотрим задачу для , которая описывает собственные колебания стержня.
граничные условия:
начальные условия:
По методу Фурье решение можно представить в виде произведения функций, каждая из которых зависит только от одной переменной:
,
Так как тривиальное решение не может быть по физической трактовке задачи, тогда это уравнение можно записать:
Две функции от разных переменных равны между собой только тогда, когда они константы. Константу запишем в виде . Тогда уравнение можно свести к следующему виду:
Решение дифференциального уравнения II порядка с постоянными коэффициентами ищем на основе характеристического уравнения:
Корни этого характеристического уравнения:
Следовательно, общее решение можно записать в виде:
Из граничных условий следует:
, т.к. , то
по условию и , т.к. следовательно,
Отсюда получаем, что собственные значения краевой задачи равны:
Тогда собственные функции краевой задачи имеют вид:
Функции ортогональны, но не ортонормированны т.к. при . Следовательно, собственные функции задачи с учетом нормировки имеют следующий вид:
Рассмотрим решение уравнения
Для нахождения решения этого уравнения составим характеристическое уравнение:
Корни этого характеристического уравнения:
Следовательно, общее решение можно записать в виде:
Каждому соответствует своё решение :
Решение задачи составляем как линейную комбинацию из решений, соответствующих каждому .
Пусть , тогда:
Для нахождения коэффициентов и используем начальные условия:
Так как линейная комбинация линейно независимых функций равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты равны нулю, то .
Итак,
Таким образом:
Вынужденные колебания
Рассмотрим задачу для , которая описывает вынужденные колебания стержня
граничные условия:
начальные условия:
Уравнение является неоднородным, но нулевые граничные условия позволяют строить решение в виде:
Пусть функция удовлетворяет условиям Дирихле на промежутке , тогда её можно представить в виде:
где коэффициенты вычисляются следующим образом:
то есть:
Подставляя в уравнение разложенную в ряд Фурье функцию , получаем:
Получили равенство двух линейных комбинаций, в этом случае коэффициенты равны:
Данное уравнение является неоднородным дифференциальным уравнением II порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение такого уравнения складывается из суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения II порядка
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения II порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
Общее решение однородного дифференциального уравнения можно представить в виде:
Построение графиков приближенного решения при учете пяти и гораздо более пяти гармоник в среде MatLab. Для построения графика приближенного решения создан M-file (приложение 1), в котором записана функция, описывающая аналитическое решение задачи. Используя функцию из «analitic», построим графики приближенного решения, для крупной сетки и мелкой сетки при учёте 5 и 100 гармоник. Для это создадим M-file «a_reshenie» (приложение 2) и запустим его. Получим следующие графики:
Рис. 2. Аналитическое решение задачи для мелкой сетки при учёте 5 гармоник
Рис. 3. Аналитическое решение задачи для крупной сетки при учёте 5 гармоник
Рис. 4. Аналитическое решение задачи для мелкой сетки при учёте 100 гармоник
Из рисунков 2 и 4 видно, что количество гармоник не влияет на график функции, в отличие от масштаба сетки (рис. 2 и 3).
При этом для крупной сетки в командном окне выводятся значения функции в узлах сетки:
Рис. 5. Значения функции, вычисленной приближенно в узлах крупной сетки при учёте 5 гармоник
Найдём в заданной точке значение функции . Для это воспользуемся возможностями MatLab. А затем построим эту точку на графике аналитического решения для мелкой сетки при учёте 5 гармоник. Для этого создадим M-file «point» (приложение 3) и запустим его.
2. Дискретная модель
При нахождении численного решения краевой задачи мы используем метод сеток - численный метод, при котором краевая задача для дифференциального уравнения заменяется системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно приближенных значений искомой функции в узлах сетки (разностной схемы).
2.1 Построение дискретной модели и выбор сетки
Постановка задачи содержит прямоугольную область Д, для нее естественно использовать прямоугольную сетку, узлы которой образованы пересечением прямых линий, проведенных в декартовой системе координат.
Шаг по оси : ,
Шаг по оси : ,
где - длина стержня,
- рассматриваемый промежуток времени, - номера узлов по осям и соответственно,
- количество узлов по оси ,
- количество узлов по оси .
Получаем, что - граничные узлы; - внутренние узлы.
2.2 Разностная схема и разностная задача
Подставляя выбранные шаблоны в непрерывную модель, получаем разностное уравнение для внутренних узлов:
Разностная задача - это записанная при выбранных значениях количества узлов M и N и, следовательно, шагов , разностная схема. В разностной схеме зависят друг от друга таким образом, чтобы выполнялось условие устойчивости решения:
.
3. Численное решение задачи методом «бегущего» счёта
3.1 «Ручной» счет методом «бегущего» счёта для крупной сетки
Пусть , , , , , , тогда из условия устойчивости получаем, что шаг по оси можно взять Выбранные значения параметров дают следующую точность вычисления разностного решения:
Тогда разностная схема будет выглядеть следующим образом:
Преобразовав, получим:
При расчёте сетки необходимо произвести сглаживание и допустить, что . Вычислим, чему равны остальные узлы сетки:
Таблица 1. Таблица значений вычисленной функции в узлах выбранной сетки
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0.0100 |
||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0.0025 |
0.0625 |
||
|
0 |
0 |
0 |
0.0006 |
0.0194 |
0.0994 |
||
|
0 |
0 |
0.0002 |
0.0058 |
0.0516 |
0.1516 |
||
|
0 |
0.0000 |
0.0017 |
0.0210 |
0.0973 |
0.2173 |
||
|
0 |
0.0005 |
0.0076 |
0.0504 |
0.1540 |
0.2940 |
||
|
0 |
0.0026 |
0.0225 |
0.0951 |
0.2197 |
0.3797 |
||
|
0 |
0.0090 |
0.0505 |
0.1527 |
0.2943 |
0.4743 |
||
|
0 |
0.0236 |
0.0937 |
0.2202 |
0.3785 |
0.5785 |
3.2 Численное решение методом «бегущего» счёта в среде MatLab
Для численного решения задачи необходимо создать M-file «numerical» (приложение 4), в котором функция вычисляет разностную задачу для крупной сетки. Для запуска данной функции необходимо создать файл «n_reshenie». При этом мы получим график.
А программа выведет нам значения функции в узлах сетки.
Аналогичные значения мы уже получили при расчёте разностной задачи «вручную». Для более мелкой сетки создадим M-file «small_numerical» (приложение 6), и запускающий функцию M-file «n_reshenie_sm» (приложение 7).
Список литературы
Вьюненко Л.Ф., Бестужева А.Н. Применение численных методов для решения задач электрического транспорта железных дорог (уравнения с частными производными). Учебное пособие. СПб, 2003.
Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики. М., Наука, 1969.
Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М., Наука, 1981.
Смирнов М.М. Уравнения в частных производных второго порядка. М., Наука, 1981.
Михлин С.Г. Курс математической физики. М., Наука, 1968.
Приложение 1
M-file «analitic»
function u1=analitic (x, t, n)
u1=t'*(x.^2)/2;
for k=1:n
u1=u1+16/((pi*(2*k+1))^3)'.*(((-1)^(k+1))*sin((2*k+1)*pi*t/2)+t)'*
*sin((2*k+1)*pi*x/2);
end
Приложение 2
M-file «a_reshenie»
clc
clear all
%% Построение графиков при учёте 5 гармоник (n=5)
% Для мелкой сетки:
x=0:0.01:1;% 1 - один метр
t=0:0.01:1;% 1 - одна минута
u1= analitic (x, t, 5);
figure(1);
mesh(u1);
%
% Для крупной сетки, (аналогичной сетке численного решения задачи):
x=0:0.2:1;% 1 - один метр
t=0:0.1:1;% 1 - одна минута
u2= analitic (x, t, 5);
figure(2);
mesh(u2);
u2
%
%% Построение графиков при учёте 100 гармоник (n=100)
% Для мелкой сетки:
x=0:0.01:1;% 1 - один метр
t=0:0.01:1;% 1 - одна минута
u3= analitic (x, t, 5);
figure(3);
mesh(u3);
Приложение 3
M-file «point»
clc
clear all
%% Построение графиков при учёте 5 гармоник (n=5)
% Для мелкой сетки:
x=0:0.01:1;% 1 - один метр
t=0:0.01:1;% 1 - одна минута
u1=analitic (x, t, 5);
figure(1);
mesh(u1);
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel ('u(x, t)');
title ('Вывод заданной точки x=0.81 (м), t=45 (сек) на график аналитического решения задачи')
%
x=0.81;% 81 сантиметр
t=45/60;% 45 секунд
u1=analitic (x, t, 5);
u1
x=82;% номер узла по оси x
t=76;% номер узла по оси t
hold on
plot3 (x, t, u1,'k*');
hold off
%
Приложение 4
M-file «numerical»
function u=numerical (l, t, a, h);
h=0.2;
tau=0.1;
a=1;
m=6;% по оси x
n=11;% по оси t
%
u=zeros (m, n);
%
for j=1:n
u (1, j)=0;
end
%
for i=1:m
u (i, 1)=0;
u (i, 2)=0;
end
%
u (m, 2)=0.01;
%
for j=3:n
for i=2:m-1
u (i, j)=0.25*(u (i+1, j-1)+u (i-1, j-1))+1.5*u (i, j-1) - u (i, j-2);
end
u (m, j)=u (m-1, j)+0.02*j;
end
u=u'
Приложение 5
M-file «n_reshenie»
u=numerical (1,1,1,0.2);
figure(1);
surf(u);
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel ('u(x, t)');
title ('Численное решение задачи для крупной сетки')
u
Приложение 6
M-file «small_numerical»
function u=small_numerical (l, t, a, h);
a=1;
tau=h^2/(2*a^2);% условие устойчивости
m=round (1+l/h);% по оси x
n=round (1+t/tau);% по оси t
%
u=zeros (m, n);
%
for j=1:n
u (1, j)=0;
end
%
for i=1:m
u (i, 1)=0;
u (i, 2)=0;
end
%
u (m, 2)=0.01;
%
for j=3:n
for i=2:m-1
u (i, j)=0.25*(u (i+1, j-1)+u (i-1, j-1))+1.5*u (i, j-1) - u (i, j-2);
end
u (m, j)=u (m-1, j)+0.02*j;
end
u=u';
Приложение 7
M-file «n_reshenie_sm»
clc
clear all
u=small_numerical (1,1,1,0.05);
figure(1);
mesh(u);
xlabel('i');
ylabel('j');
title ('Численное решение задачи для мелкой сетки')
уравнение стержень физика модель
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Последовательность решения линейной краевой задачи. Особенности метода прогонки. Алгоритм метода конечных разностей: построение сетки в заданной области, замена дифференциального оператора. Решение СЛАУ методом Гаусса, конечно-разностные уравнения.
контрольная работа [366,5 K], добавлен 28.07.2013Изучение численно-аналитического метода решения краевых задач математической физики на примере неоднородной задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Численная реализация вычислительного метода и вычислительного эксперимента, особенности их оформления.
практическая работа [332,7 K], добавлен 28.01.2014Сущность методов сведения краевой задачи к задаче Коши и алгоритмы их реализации на ПЭВМ. Применение метода стрельбы (пристрелки) для линейной краевой задачи, определение погрешности вычислений. Решение уравнения сшивания для нелинейной краевой задачи.
методичка [335,0 K], добавлен 02.03.2010Решение краевой задачи. Методы конечно-разностных, центрально-разностных отношений и метод прогонки. Приближенное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с помощью методов Галеркина, Ритца и коллокации, сравнение результов.
курсовая работа [596,2 K], добавлен 27.04.2011Общий интеграл уравнения, применение метода Лагранжа для решения неоднородного линейного уравнения с неизвестной функцией. Решение дифференциального уравнения в параметрической форме. Условие Эйлера, уравнение первого порядка в полных дифференциалах.
контрольная работа [94,3 K], добавлен 02.11.2011Общий вид линейного однородного уравнения. Нахождение производных, вещественные и равные корни характеристического уравнения. Пример решения дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Общее и частное решение неоднородного уравнения.
презентация [206,3 K], добавлен 17.09.2013Теория решения диофантовых уравнений. Однородные уравнения. Общие линейные уравнения. Единственности разложения натурального числа на простые множители. Решение каждой конкретной задачи в целых числах с помощью разных методов. Основные неизвестные х и у.
материалы конференции [554,8 K], добавлен 13.03.2009Проверка непрерывности заданных функций. Интегрирование заданного уравнения и выполние преобразования с ним. Интегрирование однородного дифференциального уравнения. Решение линейного дифференциального уравнения. Общее решение неоднородного уравнения.
контрольная работа [65,3 K], добавлен 15.12.2010Дифференциальные уравнения Риккати. Общее решение линейного уравнения. Нахождение всех возможных решений дифференциального уравнения Бернулли. Решение уравнений с разделяющимися переменными. Общее и особое решения дифференциального уравнения Клеро.
курсовая работа [347,1 K], добавлен 26.01.2015Уравнения Фредгольма и их свойства как классический пример интегральных уравнений с постоянными пределами интегрирования, их формы и степени, порядок формирования и решения. Некоторые приложения интегральных уравнений. Общая схема метода квадратур.
курсовая работа [97,2 K], добавлен 25.11.2011
