Теорема 1. Следующие три свойства треугольников с вершинами в узлах клетчатой бумаги эквивалентны друг другу:

1) треугольник имеет площадь ,

2) треугольник прост,

3) треугольник достижим.

Познакомимся со следующими свойствами простого треугольника, которые и приводят к справедливости данной теоремы.

1. Площадь треугольника при прыжке не меняется.

2. Любой достижимый треугольник имеет площадь .

3. Если достроить простой треугольник АВС до параллелограмма ABCD, то ни внутри, ни на сторонах этого параллелограмма не будет узлов (не считая вершин).

4. Из простого треугольника при прыжке получается простой.

5. Из простого треугольника один из углов - тупой или прямой (причём последний случай возможен только для треугольника, у которого три вершины принадлежат одной клетке, такой простой треугольник - со сторонами 1, 1, будем называть минимальным.)

6. Из любого простого не минимального треугольника можно одним прыжком получить треугольник, у которого наибольшая сторона меньше, чем наибольшая сторона исходного.

7. Любой простой треугольник можно конечным числом прыжков перевести в минимальный.

8. Любой простой треугольник достижим.

9. Любой простой треугольник имеет площадь .

10. Любой треугольник можно разрезать на простые.

11. Площадь любого треугольника равна , причём при любом разрезании его на простые их количество равно m.

12. Любой треугольник площади - простой.

13. Для любых двух узлов А и В решётки, на отрезке между которыми нет других узлов, найдётся узел С такой, что треугольник АВС - простой.

14. Узел С в предыдущем свойстве можно всегда выбрать так, что угол АСВ будет тупым или прямым.

15. Пусть клетчатая плоскость разрезана на равные параллелограммы так, что все узлы являются вершинами параллелограммов. Тогда каждый из треугольников, на которые один из этих параллелограммов разрезается своей диагональю - простой.

16. (Обратное 15). Треугольник АВС - простой тогда и только тогда, когда всевозможные треугольники, полученные из АВС параллельными переносами, переводящими узел А в различные узлы решётки, не накладываются друг на друга.

17. Если решётку - узлы клетчатой бумаги - разбить на четыре подрешётки с клетками (рис. 1.36), то вершины простого треугольника обязательно попадут в три разные подрешётки (все три имеют разные обозначения).

Рис. 1.36

Следующие два свойства дают ответ к задаче о трёх кузнечиках.

18. Три кузнечика могут одновременно попасть в те и только те тройки точек, которые служат вершинами простого треугольника и имеют тот же знак, что и соответствующие вершины начального треугольника.

19. Два кузнечика могут одновременно попасть в те и только те пары узлов соответствующих знаков, на отрезке между которыми нет других узлов.

Триангуляция многоугольника

Мы рассмотрим частный вид многоугольников на клетчатой бумаге, которому в формуле Пика соответствуют значения . Но от этого частного случая можно перейти сразу к самому общему, воспользовавшись теоремой о разрезании на треугольники произвольного многоугольника (клетчатая бумага больше не нужна).

Пусть на плоскости задан некоторый многоугольник и некоторое конечное множество К точек, лежащих внутри многоугольника и на его границе (причём все вершины многоугольника принадлежат множеству К).

Триангуляцией с вершинами К называется разбиение данного многоугольника на треугольники с вершинами в множестве К такое, что каждая точка из К служит вершиной каждому из тех треугольников триангуляции, которым эта точка принадлежит (то есть точки из К не попадают внутрь или на стороны треугольников, рис. 1.37).

Рис. 1.37

Теорема 2. а) Любой n-угольник можно разрезать диагоналями на треугольники, причём количество треугольников будет равно n - 2 (это разбиение - триангуляция с вершинами в вершинах n-угольника).

б) Пусть на границе многоугольника отмечено r точек (включая все вершины), внутри - ещё i точек. Тогда существует триангуляция с вершинами в отмеченных точках, причём количество треугольников такой триангуляции будет равно .

Разумеется, а) - частный случай б), когда .

Справедливость этой теоремы следует из следующих утверждений.

1) Из вершины наибольшего угла n-угольника () всегда можно провести диагональ, целиком лежащую внутри многоугольника.

2) Если n-угольник разрезан диагональю на р-угольник и q-угольник, то .

3) Сумма углов n-угольника равна .

4) Любой n-угольник можно разрезать диагоналями на треугольника.

5) Для любого треугольника, внутри и на границе которого отмечены несколько точек (в том числе и все три его вершины), существует триангуляция с вершинами в отмеченных точках.

6) То же самое верно и для любого n-угольника.

7) Число треугольников триангуляции равно , где i и r - количество отмечены несколько точек соответственно внутри и на границе многоугольника. Назовём разбиение n-угольника на несколько многоугольников правильным, если каждая вершина одного из многоугольников разбиения служит вершиной всех других многоугольников разбиения, которым она принадлежит. 8) Если из вершин k-угольников, на которые разбит правильным образом n-угольник, i вершин лежат внутри и r - на границе n-угольника, то количество k-угольников равно

.

9) Если точек плоскости и отрезков с концами в этих точках образуют многоугольник, правильно разбитый на многоугольников, то (рис. 1.38)

.



Рис. 1.38

Из теорем 1 и 2 и вытекает формула Пика:

.

1.5 Теорема Пифагора о сумме площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника

Теорема. Сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе этого треугольника .Доказательство. Пусть АВС (рис. 1.39) - прямоугольный треугольник, а BDEA, AFGE и BCKH - квадраты, построенные на его катетах и гипотенузе; требуется доказать, что сумма площадей двух первых квадратов равна площади третьего квадрата.

Рис. 1.39

Проведём ВС. Тогда квадрат BCKH разделится на два прямоугольника. Докажем, что прямоугольник BLMH равновелик квадрату BDEA, а прямоугольник LCKM равновелик квадрату AFGC.

Проведём вспомогательные прямые DC и АН. Рассмотрим треугольники DCB и ABH. Треугольник DCB, имеющий основание BD, общее с квадратом BDEA, а высоту СN, равную высоте АВ этого квадрата, равновелик половине квадрата. Треугольник АВН, имеющий основание ВН, общее с прямоугольником BLMH, и высоту АР, равную высоте BL этого прямоугольника, равновелик его половине. Сравнивая эти два треугольника между собой, находим, что у них BD = ВА и ВС = ВН (как стороны квадрата);

Сверх того, DCB = АВН, т. к. каждый из этих углов состоит из общей части - АВС и прямого угла. Значит, треугольники АВН и ВСD равны. Отсюда следует, что прямоугольник BLMN равновелик квадрату BDEA. Точно также доказывается, что прямоугольник LGKM равновелик квадрату AFGC. Отсюда следует, что квадрат ВСКН равновелик сумме квадратов BDEA и AFGC.

1.6 Равносоставленность треугольников. Теорема Больяя-Гервина

Немало формул и теорем в геометрии доказывается с помощью разрезания фигур, а затем перекладывания их частей - вспомним, например, теорему Пифагора. Если две фигуры можно разрезать на одинаковые наборы частей (т. е. между частями из таких наборов можно установить взаимнооднозначное соответствие, при котором соответственные части равны), то эти фигуры называются равносоставленными. Равносоставленные фигуры, разумеется, равновелики - они имеют равные площади. Для многоугольников верна и обратная теорема: любые два равновеликих многоугольников равносоставлены. В 1832 г. Её доказал венгерский математик Фаркаш Больяй, а годом позже, но независимо от него, немец П. Гервин. Ключ к доказательству - перекройка прямоугольника, показанная на рисунке 1.40: разрезав «низкий» прямоугольник на два треугольника и пятиугольник, сдвинув треугольники вдоль наклонной линии разреза, мы получаем другой, «высокий» прямоугольник.

Рис. 1.40

Этим способом данный прямоугольник не трудно превратить почти в любой другой равновеликий ему - надо только, чтобы новый прямоугольник был «выше» исходного, но не более, чем вдвое. Если же отношение высот прямоугольников больше двух (рис. 1.41, а), «низкий» можно «сделать повыше» с помощью простого преобразования (рис. 1.41, б), применённого нужное число раз.

а) б)

Рис. 1.41

Теперь любой многоугольник мы сумеем перекроить в прямоугольник какой-то фиксированной высоты h: разрежем его на треугольники, каждый треугольник превратим в прямоугольник (рис. 1.42), приведём полученные прямоугольники к некоторой постоянной высоте h и состыкуем вертикальными сторонами.

Рис. 1.42

Если два треугольника равновелики, то соответствующие им прямоугольники к некоторой постоянной высоте h равны. Таким образом, эти многоугольники равносоставлены с одной и той же фигурой, а отсюда уже заключаем, что они равносоставлены между собой.

1.7 Отношение площадей подобных треугольников

Теорема 1. Площади двух треугольников, имеющих по равному углу, относятся, как произведения сторон, заключающих эти углы.

Доказательство. Пусть в треугольниках АВС и (рис. 1.43) углы А и равны.

Рис. 1.43

Проведя высоты и , будем иметь:

.

Треугольники и подобны ( А = А₁ и D = D₁ = =90⁰), поэтому ; заменив первое отношение вторым, получим:

.

Теорема 2. Площади подобных многоугольников относятся как квадраты сходственных сторон.

Доказательство. 1) Если и - два подобных треугольника, то углы одного равны соответственно углам другого; пусть

А = А₁, В= = В₁, С = С₁.

Применим к ним предыдущую теорему:

. (1.14)

Но из подобия треугольников следует:

(1.15)

Поэтому в равенстве (1.14) мы можем каждое из отношений и заменить любым отношением ряда (1.15), следовательно,

.

2) Если и (рис. 1.44) - два подобных многоугольника, то их можно разложить на одинаковое число подобных и одинаково расположенных треугольников.

Рис. 1.44

Пусть эти треугольники будут:

и , и , …, и .

Согласно доказанному в первой части этой теоремы, получим пропорции:

…; .

Но из подобия многоугольников следует:

.

И поэтому

.

Значит,

,

откуда

,

Следствие. Площади правильных одноимённых многоугольников относятся как квадраты сторон, или как квадраты радиусов апофем.

1.8Фигуры с наибольшей площадью

1.8.1 Трапеция или прямоугольник

Рассмотрение этого пункта начнём с решения задачи.

Задача. В роковой в своей жизни день Пахом прошёл 40 вёрст, идя по сторонам трапеции площадью 78 квадратных вёрст. Его первоначальным намерением было идти по сторонам прямоугольника, трапеция же получилась случайно, в результате плохого расчёта. Интересно определить: выгадал он или прогадал от того, что участок его оказался не прямоугольником, а трапецией? В каком случае должен он был получить большую площадь земли?

Решение. Прямоугольников с обводом в 40 вёрст может быть очень много, и каждый имеет другую площадь.

Вот ряд примеров:

14 6 = 84 кв. вёрст

13 7 = 91 кв. вёрст

12 8 = 96 кв. вёрст

11 9 = 99 кв. вёрст

Мы видим, что у всех этих фигур при одном и том же периметре в 40 вёрст площадь больше, чем у нашей трапеции. Однако возможны и такие прямоугольники с периметром в 40 вёрст, площадь которых меньше, чем у трапеции:

18 2 = 36 кв. вёрст

19 1 = 19 кв. вёрст

19,5 0,5 = 9,75 кв. вёрст.

Следовательно, на вопрос задачи нельзя дать определённого ответа. Есть прямоугольники с большей площадью, чем трапеция, но есть и с меньшей, при одном и том же обводе. Зато можно дать вполне определённый ответ на вопрос: какая из всех прямоугольных фигур с заданным периметром заключает самую большую площадь? Сравнивая наши прямоугольники, замечаем, что чем меньше разница в длине сторон, тем площадь прямоугольника больше. Естественно заключить, что когда этой разницы не будет вовсе, т. е. когда прямоугольник превратится в квадрат, площадь фигуры достигнет наибольшей величины. Она будет равна тогда 10 10 = 100 кв. вёрст. Легко видеть, что этот квадрат действительно превосходит по площади любой прямоугольник одинакового с ним периметра. Пахому следовало идти по сторонам квадрата, чтобы получить участок наибольшей площади, - на 22 квадратной версты больше, чем он успел охватить.

1.8.2 Замечательное свойство квадрата

Замечательное свойство квадрата - заключать в своих границах наибольшую площадь по сравнению со всеми другими прямоугольниками того же периметра. Приведём строгое доказательство.

Обозначим периметр прямоугольной фигуры через Р. Если взять квадрат с таким периметром, то каждая сторона его должна равняться . Докажем, что укорачивая одну его сторону на какую-нибудь величину b при таком же удлинении смежной стороны, мы получим прямоугольник одинакового с ним периметра, но меньшей площади. Другими словами, докажем, что площадь квадрата больше площади прямоугольника:

.

Так как правая сторона этого неравенства равна , то всё выражение принимает вид: или .

Но последнее неравенство очевидно: квадрат всякого количества, положительного или отрицательного, больше нуля. Следовательно, справедливо и первоначальное равенство, которое привело нас к этому.

Итак, квадрат имеет наибольшую площадь из всех прямоугольников с таким же периметром.

Отсюда следует и то, что из всех прямоугольных фигур с одинаковыми площадями квадрат имеет наименьший периметр. В этом можно убедиться следующим рассуждением. Допустим, что это не верно и что существует такой прямоугольник А, который при равной с квадратом В площади имеет периметр меньший, чем у него. Тогда, начертив квадрат С того же периметра, как у прямоугольника А, получим квадрат имеющий большую площадь, чем у А, и, следовательно, большую, чем у квадрата В. В итоге получили, что квадрат С имеет периметр меньший, чем квадрат В, а площадь большую, чем он. Это, очевидно, невозможно: раз сторона квадрата С меньше, чем сторона квадрата В, то и площадь должна быть меньше. Значит нельзя было допустить существование прямоугольника А, который при одинаковой площади имеет периметр меньший, чем у квадрата. Другими словами, из всех прямоугольников с одинаковой площадью наименьший периметр имеет квадрат.

Знакомство с этими свойствами квадрата помогло Пахому правильно рассчитать свои силы и получить прямоугольный участок наибольшей площади. Зная, что он может пройти в день без напряжения, например, 36 вёрст, он пошёл бы по границе квадрата со стороной 9 вёрст и к вечеру был бы обладателем участка в 81 квадратную версту, - на 3 квадратные версты больше, чем он получил со смертельным напряжением сил. И, наоборот, если бы он наперёд ограничился какой-нибудь определённой площадью прямоугольного участка, например, в 36 квадратных вёрст, то мог бы достичь результата с наименьшей затратой сил, идя по границе квадрата, сторона которого - 6 вёрст.

1.8.3 Участки другой формы

Но, может быть, Пахому ещё выгоднее было бы выкроить себе участок вовсе не прямоугольной формы, а какой-нибудь другой - четырёхугольной, треугольной, пятиугольной и т. д.

Познакомимся со следующими утверждениями, которые и отвечают на поставленный вопрос.

Во-первых, из всех четырёхугольников с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет квадрат. Поэтому, желая иметь четырёхугольный участок, Пахом никакими ухищрениями не мог бы овладеть более чем 100 квадратными вёрстами (считал, что максимальный дневной пробег его - 40 вёрст).

Во-вторых, квадрат имеет большую площадь, чем всякий треугольник равного периметра. Равносторонний треугольник такого же периметра имеет сторону вёрстам, а площадь (по формуле , где S - площадь, а - сторона) кв. вёрст, т. е. меньше даже, чем у той трапеции, которую Пахом обошёл. Дальше будет доказано, что из всех треугольников с равными периметрами равносторонний обладает наибольшей площадью. Значит, если этот наибольший треугольник имеет площадь, меньшую площади квадрата, то все прочие треугольники того же периметра по площади меньше, чем квадрат).

Но если будем сравнивать площадь квадрата с площадью пятиугольника, шестиугольника и т. д. равного периметра, то здесь неравенство его прекращается: правильный пятиугольник обладает наибольшей площадью, правильный шестиугольник - ещё большей, и т. д. Легко убедиться в этом на примере правильного шестиугольника. При периметре в 40 вёрст его сторона , площадь (по формуле ) равна

кв. вёрст.

Избери Пахом для своего участка форму правильного шестиугольника, он при том же напряжении сил овладел бы площадью на 115 -78, т. е. на 37 квадратных вёрст больше, чем в действительности, и на 15 квадратных вёрст больше, чем дал бы ему квадратный участок.

1.8.4 Треугольник с наибольшей площадью

Мы уже заметили раньше, что из всех треугольников с равными периметрами равносторонний обладает наибольшей площадью. Докажем это.

Площадь S треугольника со сторонами а, b, с и периметром выражается так:

,

откуда

Площадь S треугольника будет наибольшей тогда же, когда станет наибольшей величиной и её квадрат , или выражение , где р, полупериметр, есть, согласно условию, величина неизменная. Но так как обе части равенства получают наибольшее значение одновременно, то вопрос сводится к тому, при каком условии произведение становится наибольшим. Заметив, что сумма этих трёх множителей есть величина постоянная,

заключаем, что произведение их достигает наибольшей величины тогда, когда множители станут равны, т. е. когда осуществится равенство

,

откуда .

Итак, треугольник имеет при данном периметре наибольшую площадь тогда, когда стороны его равны между собой.

Глава 2. Методические особенности изучения площадей многоугольников в математических классах

2.1 Тематическое планирование и особенности преподавания в классах с углубленным изучением математики

№	Содержание изучаемого материала	Кол-во часов
	Площади многоугольников.	26
1	Вычисление площадей в древности.	1
2	Различные подходы к изучению понятий «площадь», «многоугольник», «площадь многоугольника».
	Понятие о площади. Свойства площади.	1
	Понятие о многоугольнике.	1
	Понятие о площади многоугольника. Дескриптивное определение.	1
3	Различные формулы площадей многоугольников.	1
4	Вывод формул площадей многоугольников
	Площадь треугольника. Формула Герона.	2
	Площадь прямоугольника.	1
	Площадь трапеции.	1
	Площадь четырёхугольника.	2
	Универсальная формула.	1
	Площадь n-угольника.	3
	Вычисление площади многоугольника по координатам его вершин.	2
	Формула Пика.	3
5	Теорема Пифагора.	2
6	Равносоставленность многоугольников. Теорема Больяя-Гервина.	1
7	Отношение площадей подобных многоугольников	1
8	Фигуры с наибольшей площадью	2

В углубленном изучении математики выделяются два этапа, отвечающие возрастным возможностям и потребностям и потребностям школьников и соответственно различающимся по целям.

Первый этап углубленного изучения математики является в значительной мере ориентационным. На этом этапе ученику надо помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им, с тем, чтобы по окончании IX класса он смог сделать сознательный выбор в пользу дальнейшего углубленного выбор в пользу дальнейшего углубленного либо обычного изучения математики. Интерес и склонность учащегося к математике должны всемерно подкрепляться и развиваться. В случае же потери интереса, изменения его в другом направлении ученику должна быть обеспечена возможность перейти от углубленного изучения к обычному.

Углубленное изучение на втором этапе предполагает наличие у учащихся более или менее устойчивого интереса к математике и намерение выбрать после окончания школы связанную с ней профессию. Обучение на этом этапе должно подготовить подготовку к поступлению в вуз и продолжению образования, а также к профессиональной деятельности, требующей достаточно высокой математической культуры.

При углубленном изучении математики учащиеся должны приобрести умения решать задачи более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности, точно и грамотно формулировать изученные теоретические положения и излагать доказательства теорем, правильно пользоваться математической терминологией и символикой.

Следует иметь в виду, что требования к знаниям и умениям учащихся при углубленном изучении математики не должны быть завышены. Чрезмерность требований порождает перегрузку, что ведёт, особенно на первом этапе, к угасанию интереса к математике. Поэтому требования к результатам углубленного изучения математики на первом этапе ненамного превышает требования общеобразовательной программы. Требования на втором этапе в соответствии с его целями согласуются со средним уровнем требований, предъявляемых вузами к математической подготовке абитуриентов. Заметим, что минимальный обязательный уровень подготовки, достижение которого учащимися является необходимым и достаточным условием выставления ему положительной оценки, при углубленном и обычном изучении математики один и тот же. Однако тем учащимся классов с углубленным изучением математики, успехи которых в течении длительного времени не поднимаются выше минимального обязательного уровня.

Успешность решения задач углубленного изучения математики во многом зависит от организации учебного процесса. Учителю предоставляется возможность свободного выбора методических путей и организационных форм обучения, проявления творческой инициативы. Однако при этом следует иметь в виду ряд общих положений, изложенных ниже.

- Учебно-воспитательный процесс должен строится с учётом возрастных возможностей и потребностей учащихся.

- Основной причиной отсева школьников из классов с углубленным изучением математики является перегрузка, поэтому не следует стремиться к чрезмерному насыщению программы дополнительными вопросами.

- Углубленное изучение математики предполагает прежде всего наполнение курса разнообразными, интересными и сложными задачами, овладение основным программным материалом на более высоком уровне.

- Для поддержания и развития интереса к предмету следует включать в процесс обучения занимательные задачи, сведения из истории математики. Это особенно важно на первом этапе, когда интерес учащихся ещё недостаточно устойчив.

- На втором этапе возрастает роль теоретических знаний, становятся весьма значимыми такие их качества, как системность и обобщённость. Значительное место должно быть уделено решению задач, отвечающих требованиям для поступающих в вузы, где математика является профилирующим предметом.

- В связи с тем, что в классы с углубленным изучением приходят школьники с разным уровнем подготовки, в процесс обучения на каждом этапе должны быть включены повторение и систематизация опорных знаний.

- Учебный процесс должен быть ориентирован на усвоение учащимися прежде всего основного материала; при проведении текущего и итогового контроля знаний качество усвоения этого материала проверяется в обязательном порядке.

- Значительное место в учебном процессе должно быть отведено самостоятельной математической деятельности учащихся - решению задач, проработке теоретического материала, подготовке докладов, рефератов и т. д.

- Очень важно организовать дифференцированный подход к учащимся, позволяющий избежать перегрузки и способствующий реализации возможностей каждого из них.

2.2 Методика проведения уроков

Урок 1

Тема: «Решение задач с использованием свойств площадей»

Цель: Освоение различных путей поиска решения задач с использованием свойств площадей.

Оборудование: Таблица «Свойства площадей».

С - 1 С - 2

С - 3 С - 4

С - 5 С - 6

С - 7 С - 8

Рис. 2.1

Ход урока

Сегодня мы на уроке будем решать задачи с использованием свойств площадей.

Двух учеников приглашают к доске.

I. Запишите на доске все формулы площади треугольника.

II. Запишите на доске формулы площади трапеции.

Ответы

I. 1). 2) 3) , где 4) 5) , r - радиус вписанной в треугольник окружности 6)	II. 1). 2) , где MN - средняя линия трапеции 3) , где d1, d2 - диагонали трапеции, б - угол между ними 4) , где с - боковая сторона трапеции, h -перпендикуляр из середины другой боковой стороны на первую или её продолжение

Пока ученики записывают формулы, спросить учеников с мест правила «Свойства площадей».

Ответ

1). Каждая фигура имеет положительную площадь.

2). Площадь квадрата со стороной равной единице длины равна единице площади.

3). Если фигура разбивается на две части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей её частей.

Рассмотрите площади треугольника, написанные на доске.

Вопрос. Какая из формул является основной?

Ответ. .

Назовите следствия из этой формулы, используя таблицу «Свойства площадей».

С-1. Если вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной основанию, то площадь при этом не изменится.

С-2. Если два треугольника имеют одинаковые высоты, то отношение их площадей равно отношению длин оснований (сторон, на которые опущены эти высоты).

С-3. Если два треугольника имеют общий угол, то их площади относятся как произведение сторон, заключающих этот угол.

С-4. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

С-5. Медиана треугольника делит его на 2 равновеликие части.

С-6. Медианы треугольника делят его на три равновеликие части.

С-7. Медианы треугольника делят его на 6 равновеликих частей.

С-8. Средняя линия треугольника площади отсекает от него треугольник площади .

Решение задач

Задача 1. Дано - трапеция, и - диагонали. Пересекающиеся диагонали разбивают трапецию на 4 треугольника с вершиной в точке О. и - треугольники, которые прилегают к основаниям и треугольники и - треугольники, которые прилегают к боковым сторонам. Обозначим , , , , .

Найдите связь между площадями треугольника.

Рис. 2.2

Выразите площадь трапеции через и , т. е. через площади треугольников, прилегающих к основаниям трапеции.

Так как , то надо выразить и через и .

Вопрос. Что можно сказать про площади и ?

Ответ. =, т. к. треугольники и имеют одинаковые площади, а если от равных отнять площадь , то получим равные площади и .

Выразите через и . , .

Докажите, что и .

(2.1)

(2.2)

Перемножив (2.1) и (2.2), получим

.

.

Вопрос. Как сформулировать правило, которое мы вывели?

Ответ. Площадь треугольника, прилегающего к боковой стороне трапеции есть среднее геометрическое между площадями треугольников, прилегающих к основаниям трапеции.

Вопрос. Как вывести соотношение , используя свойства площадей?

Ответ. .

Вопрос. Какое свойство площадей здесь использовались?

Ответ. С - 3, С - 2 (ученики отвечают устно).

Вопрос. Как можно ещё вывести соотношения ?

Ответ. .

; .

Найдите площадь трапеции (рис. 2.3)

Рис. 2.3

или .

Таким соотношением связана площадь трапеции с площадями треугольников, прилегающих к её основаниям. Итак, для трапеции

.

Вопрос. Справедливо ли это соотношение для любого четырёхугольника?

Ответ. Нет, т. к. .

Основания у треугольников и одинаковые (рис. 2.4), но их вершины не на параллельных прямых.

Рис. 2.4

Вопрос. А какое соотношение между можно вывести для четырёхугольника (рис. 2.4)?

Ответ. ,

т. е. произведения площадей треугольников, прилегающих к противоположным сторонам четырёхугольника равны.

Задача 2. (обратная).

Дано: выпуклый четырёхугольник

Докажите, что этот четырёхугольник есть трапеция.

Доказательство.

С другой стороны, (рис. 2.4). , следовательно , но , (рис. 2.4), следовательно , следовательно , следовательно , следовательно и , т. е. , а это означает, что , т. е. четырёхугольник - трапеция.

Задача 3. Через некоторую точку, взятую внутри треугольника проведены 3 прямые, соответственно параллельные сторонам треугольника. Эти прямые разделяют треугольник на 6 частей, из которых три треугольника с площадями . Найдите площадь треугольника.

Рис. 2.5

Дано: . . . . , , .

Найдите .

Решение.

1) , следовательно 9площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия).

2) ; ; ; .

.

, отсюда .

Итог урока

Повесить таблицу «Итог урока» (сделать из достаточно плотной бумаги, с магнитами на обратной стороне, прикрепляется мгновенно на обратную доску).

Вопрос. Мысленно вернитесь ко всем задачам, которые были рассмотрены на уроке. Попытайтесь вспомнить из всех свойств площадей, какие свойства мы применяли на уроке.

Ответ. 1) Равные фигуры имеют одинаковые площади.

2) Если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей её частей.

3) Если от равных отнять равные, то получим равные.

Вопрос. Какие следствия из формулы мы применяли?

Ответ. С - 1, С - 2, С - 3, С - 4, С - 5 все следствия ученики рассказывают.

Вопрос. Из множества формул для нахождения площади простых фигур какие бы вы использовали?

Ответ. ; ; ; .

Задание на дом

1. Диагонали делят трапецию на 4 треугольника. Площади двух из них равны 1 см² и 2 см². Какой может быть площадь трапеции?

2. Точки - середины сторон выпуклых четырёхугольников и . Докажите, что .

3. Дано: ; - середины сторон соответственно. пересекает в точке . Докажите, что (задача автора).

4. В параллелограмме точки и делят диагональ на три равные части. Точки и - середины сторон и . Найдите отношение площади четырёхугольника к площади параллелограмма (задача автора).

5. На одной стороне угла с вершиной отложены равные отрезки , и . На другой стороне - равные отрезки , и . Докажите, что и равновелики.

Домашнее задание выдаётся каждому ученику на листке.

Урок 2

Тема: «Понятие площади. Площадь квадрата»

Цели урока: 1) учащиеся должны понять практическую необходимость измерения площадей;

2) усвоить: свойства простой фигуры; формулу вычисления площади квадрата и уметь её доказывать с учётом того, каким числом измеряется длина стороны квадрата - рациональным или иррациональным.

Ход урока

1. Устный счёт

Вспомните известные ранее единицы измерения площади (1 мм², 1 см², 1 дм², 1 м², 1 км², 1 ар, 1 га), равносильность этих единиц:

1) 1 см² = 100 мм²;

2) 1 дм² = 100 см² = 10 000 мм²;

3) 1 м² = 100 дм² = 10 000 см² = 1 000 000 мм²;

4) 1 ар = 100 м²;

5) 1 га = 100 ар = 10 000 м²;

6) 1 км² = 100 га;

7) 1 см² = 0, 01 дм²;

8) 1 м² = 0, 000001 км²;

9) 1 дм² = 0, 01 м²;

10) 1 ар = 0, 01 га;

11) 1 м² = 0, 01 ар = 0, 0001 га.

2. Проверка задания на дом

Опрос по домашнему заданию, которое заключалось в следующем: узнайте из литературы, как появилась необходимость измерения площадей в древности в различных странах (Египте, Китае, Индии, России и др.); приведите примеры необходимости вычисления площадей в настоящее время.

1-й ученик. Геометрия возникла ещё в глубокой древности в связи с практическими потребностями человека. Измерения расстояний, изготовление орудий труда определённых размеров, нахождение площади земельного участка, вместимость сосудов и т. д. Слово геометрия - греческого происхождения ( гео - земля, метрио - меряю) и означает землемерие.

2-й ученик. Ещё 4-5 тыс. лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Для вычисления площади произвольного четырёхугольника древние египтяне четыре тысячи лет назад использовали формулу

,

где - длины сторон четырёхугольника. Эта формула верна только для прямоугольника.

3-й ученик. Практический характер имела и древнеиндийская геометрия, развитие которой связано как с повседневными жизненными потребностями, так и с религиозными обрядами, с культом жертвоприношения. В труде «Сульва-Сутра» встечаются вопросы вычисления площадей, деления площадей прямоугольников, квадратов и трапеций с помощью прямых.

4-й ученик. В произведении «Патиганита» - руководству по арифметике и измерению фигур - предложена формула:



где - полупериметр, - стороны четырёхугольника. Эта приближённая формула верна только для вычисления площадей вписанных четырёхугольников.

5-й ученик. В древней Руси уже в XVI в. нужды землемерия, строительства, военного дела привели к созданию сочинений по геометрии. Первое дошедшее до нас сочинение такого рода, называется «О земном верстании», написано при Иване IV в 1556 г. В этой рукописи все геометрические сведения сводятся к вычислению площадей квадрата, прямоугольника, треугольника и равнобочной трапеции.

6-й ученик. Практическая необходимость измерения площадей возникает в быту и на производстве и в настоящее время. Так, например, площадь зеркала водохранилища нужно знать проектировщикам, чтобы определить, как будет испаряться вода из заполненного водохранилища.

7-й ученик. Площадь поверхности стен помещения нужно знать строителям до того, чтобы рассчитать необходимое для их покрытия количество краски, обоев и кафеля.

8-й ученик. Площадь поверхности дороги нужно знать при расчёте необходимого для её покрытия количества асфальта.

3. Объяснение нового материала

Свойства площадей

Будем рассматривать площадь многоугольника. Можно сказать, что площадь многоугольника - это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник.

За единицу измерения площадей принимают квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков.

1 см² - площадь квадрата со стороной 1 см;

1 м² - площадь квадрата со стороной 1 м и т. д.

Площадь многоугольника - это положительное число, которое показывает, сколько раз единица измерения и её части укладываются в данном многоугольнике.

На плакатах рисунки

Нецелые квадраты со стороной 1 см можно разбить на квадраты с ещё меньшей длиной стороны. Любой многоугольник можно разбить на квадраты и треугольники. Но такой способ измерения площадей неудобен. Существуют формулы для вычисления площадей, которые учитывают следующие свойства площадей.

1. Равные многоугольники имеют равные площади.

2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

3. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Докажем третье свойство.

Случай 1. Длина стороны квадрата выражается целым числом ед. Разобьём сторону квадрата на равных частей. Получим квадратиков со стороной 1 ед². Площадь квадрата равна ед.² = ед.².

Случай 2. Длина стороны выражается дробным числом

,

где - натуральные числа.

Примем -ю долю линейной единицы за новую единицу длины. Тогда площадь квадратика равна , а всего квадрат разбит на малых квадратиков. Площадь квадрата равна

.

Случай 3. Дина стороны квадрата выражается иррациональным числом или бесконечной десятичной непереодической дробью, - бесконечная десятичная дробь.

Имеем:

, , ,

.

(На доске плакат с рисунком и выводом формулы.)

Будем неограниченно увеличивать число . Тогда число становится сколь угодно малым числом, значит число сколь угодно мало отличается от числа . Следовательно, число сколь угодно мало отличается от числа ;

.

4. Решение задач

(Условия задач заранее написаны на доске.)

1. (Устно.) вычислите площадь сечения дорожной трубы, изображённой на рисунке.

м².

2. Железная проволока, сечение которой 1 мм², разрывается под действием груза в 40 кг. Какой нагрузкой разорвётся железный стержень, поперечное сечение которого - квадрат со стороной 24 мм.

Решение. 1. Найдём площадь поперечного сечения:

24 24 = 576 (мм²).

2. Найдём массу груза, от которого разорвётся стержень:

576 40 = 23 040 (кг).

3. Стороны двух участков земли квадратной формы соответственно равны 120 м и 50 м. Определите сторону квадратного участка земли, равновеликого двум участкам.

1) 120² = 14 400 (м²) - площадь первого участка.

2) 50² = 2500 (м²) - площадь второго участка.

3) 14 400 + 2500 = 16 900 (м²) - площадь двух участков.

4) 16 900 = 130² - 130 - сторона квадратного участка, равновеликого первым двум участкам.

4. Площадь квадратного участка земли (масштаб 1: 10 000) равна

552, 25 м². Найдите площадь участка в натуре.

Решение. Имеем:

552, 25 10 000 = 5 522 500 (см²) = 552, 25 (м²) - площадь участка в натуре.

5. Задание на дом

1. Определите площадь квадрата по его диагонали .

2. Как изменится площадь квадрата, если каждую его сторону увеличить в 3 раза? В 1,5 раза?

Подведение итогов

1. Само возникновение геометрии говорит о практической направленности этой науки.

2. Площадь квадрата выражается формулой , где - длина стороны квадрата.

3. Понятие площади является основополагающим не только в математике, но и в окружающем нас мире.

Урок 3

Тема: «Измерение площади фигуры с помощью палетки»

Цели: Научить выполнять приближённое вычисление площадей; познакомить с вычислением площади с помощью палетки по алгоритму; повторить единицы длины и единицы измерения площади; развивать мышление, внимание и память.

Оборудование. Учебник «Математика» (4-й класс, часть 1, авт. М. И. Моро и др.), таблица алгоритма, палетки, индивидуальные карточки, экран, эпидиаскоп, плёнки с фигурами.

Ход урока

I. Организационный момент

II. Сообщение темы урока

Учитель. Сегодня на уроке вы научитесь выполнять приближённое вычисление площади и познакомитесь с приспособлением для этого.

I. Знакомство с новым материалом

У. Рассмотрите фигуру на экране.

- Сколько места занимает фигура на плоскости? Другими словами, какова её площадь?

Выслушиваются ответы детей.

- Ответ на этот вопрос мы можем дать лишь приблизительно, указав границы, в которых находится площадь фигуры . Площадь фигуры больше 6 клеток, но меньше 16.

На доске:

- Как мы будем рассуждать, чтобы вычислить площадь данной фигуры? Внутри фигуры расположены 6 целых клеток, а остальные 10 клеток входят в неё частично: иногда меньшая часть клеток, а иногда - большая. Поэтому всего в фигуре содержится примерно…

На доске:

6 + 10 : 2 = 6 + 5 = 11 ед.

- Значит площадь нашей фигуры приблизительно 11 квадратных единиц.

На доске:

кв. ед.

Всё это мы смогли вычислить благодаря тому, что фигура разбита на клетки. Что делать, если таких клеток нет?

Дети. Самим расчертить фигуру на квадраты.

У. Правильно, но на это уйдёт много времени. Чтобы ускорить работу, люди придумали приспособление для определения площади фигур.

Учитель раздаёт детям прозрачные палетки, расчерченные на квадратные сантиметры и карточки с фигурами.

- Перед вами такое приспособление. Откройте учебники на странице 49 и прочитайте, как оно называется.

Д. Для приблизительного определения площади фигуры используется палетка.

Палетка - прозрачная плёнка, разделённая на одинаковые квадраты: это могут быть квадратные дециметры, квадратные сантиметры, квадратные миллиметры.

У. Посмотрите на ваши палетки. Как они разделены?

Д. На квадратные сантиметры.

У. В учебнике на странице 49 на цветные фигуры также наложена палетка, разделённая на квадратные сантиметры. Прочитайте, как находили площадь фигуры голубого цвета.

Дети читают текст, отмеченный красной чертой.

- Чему равна площадь этой фигуры?

Д. Примерно 31 квадратный сантиметр.

У. Попробуем вывести формулу, по которой приблизительно считается площадь.

Дети вместе с учителем выводят и записывают формулу.

На доске:

- целые клетки

- частичные клетки

- Найдите площадь фигур зелёного и розового цветов.

Д. Площадь зелёной фигуры приблизительно равна квадратных сантиметров.

- Площадь розовой фигуры приблизительно равна квадратных сантиметров.

У. Возьмите в руки карточки с изображёнными на них фигурами. С помощью палетки найдите их площадь.

Дети выполняют задание.

- Попробуем вывести алгоритм нахождения площади фигуры при помощи палетки.

Учитель записывает каждый шаг на доске.

На доске:

Алгоритм

1. Наложить палетку на фигуру.

2. Сосчитать число целых клеток внутри фигуры.

3. Сосчитать число клеток, входящих в фигуру частично.

4. Сосчитать приближенное значение площади.

(если число нечётное, то увеличить или уменьшить его на 1).

VI. Физкультминутка

V. Практическая работа

У. Нарисуйте на листе бумаги какую-нибудь замкнутую линию и найдите площадь фигуры, ограниченной этой линией.

Дети выполняют задание в тетради, находят площадь, называют свои ответы.

- Начертите циркулем окружность радиусом 4 сантиметра, найдите с помощью палетки площадь получившегося круга.

Дети находят площадь.

VI. Закрепление пройденного материала

У. Найдите задание 265 на странице 50. Задание выполняем по вариантам: вариант 1 - первая часть номера, вариант 2 - вторая часть.

Дети самостоятельно выполняют задание.

- Поменяйтесь тетрадями и проверьте работу ваших соседей.

Дети делают проверку.

- Вычислите периметр и площадь многоугольника.

На доске:

Ученики выполняют задание по вариантам: вариант 1 - находят периметр, вариант 2 - находят площадь.

На доске:

дм

дм²

- Решите логическую задачу. Для каждой фигуры объясните, почему она лишняя.

На доске:

Д. сначала уберём фигуру , так как среди четырёхугольников - треугольник. Затем уберём фигуру , так как останутся фигуры с попарно равными сторонами. Уберём фигуру , так как в ней углы не прямые.

VII. Самостоятельная работа

У. Выполните упражнения 267 и 262.

Дети выполняют работу и сдают тетради.

VIII. Итог урока

У. С помощью какого инструмента вы научились находить приближённое значение площади фигуры?

Д. С помощью палетки.

У. Какой формулой вы пользовались?

Д. .

У. Кто из вас научился выполнять приближённое вычисление площади фигуры?

Дети поднимают руки.

IX. Домашнее задание

Учитель раздаёт карточки с цифрой 5.

У. Дома вычислите площадь цифры и решите задачи 261 и 263.

Урок 4

Тема: «Площадь прямоугольного треугольника»

Цели урока: 1) научить находить площадь прямоугольного треугольника; применять формулу для решения практических задач;

2) развивать познавательный интерес учащихся;

3) воспитывать ответственность за достигнутый результат.

Класс делится на четыре группы. Для работы на уроке каждой группе необходимы:

а) цветные жетоны для «светофора» («светофор» - это сигнал обратной связи, в конце урока ученики с его помощью сигнализируют учителю: красный - ничего не понял; жёлтый - понял, но не очень хорошо; зелёный - всё хорошо понял);

б) две большие одинаковые модели прямоугольного треугольника;

в) карточки с изображениями прямоугольных треугольников для самостоятельной работы;

г) конверт с деталями для практической работы;

д) доски и пластилин.

Оформление доски

Тема: «Площадь прямоугольного треугольника»

Формулы

Рисунки

а) б) с)

Таблица

А	Н	У	Е	Р	Т
9	12	6	20	10	18

Ход урока

1. «Стихотворение-интрига»

Жили-были два брата:

треугольник с квадратом.

Старший - квадратный -

Добродушный, приятный.

Младший - треугольник -

Вечно недовольный.

Стал расспрашивать квадрат:

«Почему ты злишься брат?»

Тот кричит ему: «Смотри,

Ты полней меня и шире.

У меня улов лишь три,

У тебя их все четыре».

Но квадрат ответил: «Брат!

Я же старше, я - квадрат».

И сказал ещё нежней:

«Незвестно, кто нужней!»

2. Постановка вопроса: так кто же нужней, кто важней?

Вспомним, что мы знаем о квадрате, прямоугольнике и прямоугольном треугольнике.

3. Опрос в форме викторины.

За правильный ответ группа получает жетон.

1. Какой четырёхугольник называется прямоугольником?

2. Какой четырёхугольник называется квадратом?

3. Какой треугольник называется прямоугольным?

4. Как называется сторона прямоугольника?

5. Как называются стороны прямоугольного треугольника?

6. Назовите катеты и гипотенузу прямоугольного треугольника, изображённого на доске?

7. Как называется отрезок, соединяющий противолежащие вершины прямоугольника?

8. Как быстро вырезать два равных прямоугольных треугольника?

9. Как найти площадь прямоугольника, квадрата?

10. Найдите площадь прямоугольника, квадрата, изображённых на доске.

11. Знаете ли вы, как найти площадь прямоугольного треугольника?

4. Нахождение площади прямоугольного треугольника.

Перед учениками модели двух равных прямоугольных треугольников. Как найти площадь каждого из них? (Ученики догадываются, что нужно площадь прямоугольника разделить пополам.)

5. Вывод.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: .

6. Проверяем, как ученики поняли эту формулу?

а) Найдите площадь , изображённого на доске:

(см²).

б) Найдите площадь моделей, выполнив необходимые измерения:

(см²).

в) найдите площади прямоугольных треугольников, изображённых на карточках.

Для этого нужно измерить катеты, найти их произведение и разделить его на 2.

Образец карточки

Найдите площадь треугольника

7. Отвечаем на вопрос: Зачем нужно уметь находить площади фигур, в частности, площадь прямоугольного треугольника? (В строительстве, швейном деле и т. д.)

8. Ролевая игра. Известный художник Половинкин прославился своими работами-мозаиками.

Придумайте свой узор. С помощью пластилина на досках из различных деталей ребята составляют свою мозаику (работа в группах).

Узнайте, сколько «материала» потребуется для мозаики. Для этого найдите площади треугольников, из которых состоит мозаика.

; ;

; ;

см² ; см²;

см²; см².

9. а) Как же разрешить спор между квадратом и треугольником?

б) Подведение итогов. Награждение команд и отличившихся учеников вымпелами.

в) Ответный сигнал «Светофор».

2.3 Результаты опытно-экспериментальной работы

С целью практического обоснования выводов, полученных в ходе наблюдения за деятельностью учащихся двух восьмых классов нами был проведён частичный психолого-педагогический эксперимент в средней общеобразовательной школе № 10 с. Бурлацкого Благодарненского района Ставропольского края.

Работа предусматривала несколько этапов. На первом этапе проводился констатирующий эксперимент, направленный на выяснение уровня сформированности методов научного познания у учащихся восьмых классов.

На следующем этапе была проведена сери экспериментальных занятий, направленных на формирование у учащихся основ методов научного познания.

Заключительный этап исследования проводился теми же методами, что и первый. Затем следовало подведение итогов опытно-экспериментальной работы. Рассмотрим подробнее каждый из этапов.

1. Констатирующий этап эксперимента

Опытно-экспериментальная работа велась в двух восьмых классах средней общеобразовательной школы № 10 с. Бурлацкого Благодарненского района Ставропольского края. В экспериментальном классе участвовало 20 человек, а в контрольном - 18 человек, таким образом, участвовало 38 человек. В рамках данного этапа были использованы следующие методы:

1. Невключённые наблюдения;

2. Тестирование;

3. Метод математической и статистической обработки данных.

На данном этапе эксперимента нами были апробированы задания. Цель их состояла в выявлении уровня общей сформированности методов решения геометрических задач. На этом этапе принимало участие два восьмых класса, каждому из которых были предложены задания, содержащие приёмы: классификация, аналогия, анализ, обобщение.

Ход эксперимента

1. Дан равнобедренный треугольник с основанием . Где надо отметить точку , чтобы ?

2. В треугольнике см, см. Каков периметр треугольника, если у него все углы равны?

3. Начертите фигуру так, чтобы её можно было разбить на 2 равных треугольника.

4. Дан параллелограмм. Проведите два отрезка так, чтобы получилось четыре пары равных треугольников.

5. Известно, что в параллелограмме (рис. 2.6). С помощью одной линейки постройте прямой угол.

Рис. 2.6

Проанализировав работы, мы получили следующие результаты:

Таблица 1.

Результаты выполнения работы в экспериментальном классе

Полностью верно	Частично верно	Не верно	Не приступили к выполнению задания
чел.	%	чел.	%	чел.	%	чел.	%
6	30	3	15	9	45	2	10

Таблица 2.

Результаты выполнения заданий в контрольном классе

Полностью верно	Частично верно	Не верно	Не приступили к выполнению задания
чел.	%	чел.	%	чел.	%	чел.	%
5	28	6	29	5	28	2	15

Как видно из таблиц на данном этапе работы нет существенных отличий экспериментального класса и контрольного. По полученным данным можно судить, что сформированность методов решения геометрических задач находится на уровне ближе к среднему.