Творческая тетрадь как средство обеспечения выполнения творческих работ по математике для учащихся 6 классов
Математическое образование в школе. Характеристика детского математического творчества. Средства обеспечения выполнения творческих работ по математике. Действия детей с материалом тетради. Методическое обеспечение работы учителя с творческой тетрадью.
| Рубрика | Педагогика |
| Вид | дипломная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 26.08.2011 |
| Размер файла | 428,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Проблематизация способа обоснования. Учитель должен обсудить с ребенком текст о необходимости обоснования полученных догадок. Обсудить имеющийся у ребенка опыт, связанный с необходимостью обоснования, если он был. Если нет, то пусть ребенок на опыте работы с тетрадью рассудит, приведет пример, что обоснование является важным. Учителю нужно обсудить способ действия ребенка в процессе проверки догадки полным перебором чисел. Если во время проведения полного перебора чисел ребенок, посмотрев на другой способ обоснования на странице 12, решает разобрать его, то необходимо помочь ему в этом. Сначала обратить его внимание на текст на странице 11, разобрать на примерах новый способ записи чисел, и дать при помощи него записать уже выведенные утверждения. В процессе разбора доказательств, нужно объяснить введение сокращающихся слагаемых. Можно показать новый способ доказательства на примерах доказательств известных ребенку признаков делимости на 5 и на 3, оформляя их таким же способом как в тетради. После разбора приведенных доказательств необходимо вернуть ребенка обратно, для продолжения исследования. После доказательства признака делимости на 11 для трехзначных чисел в тетради предлагается вернуться к введению и попробовать решить задачи при помощи уже обоснованного признака. В этом случае необходимо обсудить с ребенком, какие задачи он сможет выполнить при помощи выведенного признака, а также определить, какие еще признаки ему необходимы для решения задач из введения. В процессе дальнейшего исследования, обсудить с ребенком способ работы с тетрадью на странице 10. При работе с этой страницей возможно два способа движения, либо сверху вниз, заполнив сначала свое облачко числами; либо снизу вверх, т.е. разбив сначала имеющиеся числа в облачке на две группы. Обсудить также с ребенком, какие числа он объединил в одну группу с числом 1210. Здесь может быть два варианта: 1) четырехзначное число, образованное от трехзначного, делящегося на 11, приписыванием к нему нуля, например, 3520; 2) четырехзначные числа, у которых сумма цифр, стоящих на четных местах равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, тогда это и 3520, и 3333 и т.д. Также учитель должен обсудить с ребенком выполнение отдельно выделенных заданий (солнышко и звездочку). Необходимо обсудить с ребенком проблематизацию старого способа обоснования (полным перебором), которая возникает при доказательстве чисел с большим количеством знаком, и затем, если это не было сделано ранее перейти к разбору нового способа доказательства. Однако учитель не должен настаивать на разборе нового способа доказательства, если ребенок не хочет этого делать, можно остановиться с ним на обсуждении границ старого способа. Необходимо удержать эмоциональный фон, сложившийся в процессе исследования, который может снижаться у ребенка, если он сталкивается с трудностями, которые не может преодолеть. Поэтому, возможность работы с новым способом доказательства учитель должен регулировать в зависимости от способностей ребенка: сильный ребенок может разобрать с учителем доказательства признаков для двухзначных и трехзначных чисел, а затем самостоятельно провести доказательства для четырехзначных чисел и т.д. Более слабые дети могут остановиться на совместном с учителем разборе доказательств, либо же не разбирать новый способ доказательства, но при этом нужно обсудить с ребенком, что если он не докажет свою гипотезу каким-либо способом, то останется на уровне правдоподобных рассуждений.
Введение нормативного языка. В процессе работы с тетрадью посредством текста вводится культурный язык. Нужно обсудить с ребенком текст, разобрать введенную в нем схему исследования, соотнести ее с проводимой в тетради работой. Учитель должен настаивать на культурном оформлении исследования, должен выдерживать форму общения с ребенком в процессе работы на введенном нормативном языке.
Обобщение. В процессе обобщения признака для пятизначных чисел и чисел с большим количеством знаков учитель должен опираться на уровень работы ребенка. Исследование может быть закончено на любом признаке. Если ребенок хочет обобщить признак для чисел с любым количеством знаков, но у него не получается, можно предложить ему разобраться только с признаками, которые ему необходимы для решения задач из введения. Если ребенок не может закончить работу с тетрадью в шестом классе, то он может это сделать в начале седьмого класса, и тогда разобраться с доказательством признака и с его обобщением (работа со страницами 12 - 15). Главное что должен сделать учитель в конце работы с тетрадью - помочь ребенку проанализировать опыт, который тот получил в процессе работы с ней.
В конце работы с тетрадью учитель должен помочь ребенку представить полученные им в процессе работы с тетрадью результаты. Для этого можно устроить презентацию, на которую пригласить одноклассников ребенка, возможно, других учителей математики, на которой ребенок расскажет о проведенной им работе.
Необходимо отметить о недостатках, которые выделяются в процессе индивидуальной работы ребенка с тетрадью:
1. Процесс индивидуальной работы с тетрадью не позволяет ребенку видеть возможности представленности других гипотез (версий).
2. Мотивация движения ребенка к доказательству может быть небольшой, когда он двигается один, так как в процессе индивидуальной работы отсутствует дух сотрудничества, соревновательности.
3. Темп работы может быть низким, так как отсутствует дух соревновательности.
Групповая работа.
Для работы с тетрадью дети могут объединяться в группы по 2 - 4 человека. Работу с тетрадью можно организовывать как в одной группе, так и между несколькими группами. Учителю необходимо договориться с детьми о способе работы с тетрадью:
· Выделить в материале “порции”, например, две - три страницы тетради, с которыми дети будут работать в промежутках между встречами с учителем.
· Договориться о ведении записей в тетради. Необходимо, чтобы творческая тетрадь была у каждого из детей работающих в группе, с которой ребенок мог бы заниматься в процессе самостоятельного исследования, записывая свои мысли, как сможет. Также необходимо, чтобы у учителя был еще один экземпляр тетради, в которую будут вноситься уже окончательно оформленные, прошедшие обсуждение утверждения.
В процессе групповой работы выделяется три основных этапа:
1. Индивидуальный этап, во время которого дети работают с тетрадью самостоятельно.
2. Обсуждение проведенной работы, полученных версий:
· Представление всех версий.
· Сопоставление версий в процессе дискуссии между детьми.
· Оформление окончательного варианта, который заносится в тетрадь.
3. Выбор направления дальнейшего творчества, переход к следующему этапу работы.
Задачей учителя в процессе групповой работы с творческой тетрадью является организация общих занятий, на которых бы происходило обсуждение работы, которую дети проводили самостоятельно. Можно выделить следующие ключевые занятия:
1. Работа с догадками (гипотезами).
2. Введение нормативного языка.
3. Проблематизация старого способа обоснования, введение доказательства.
Опишем идеи ключевых занятий.
Занятие 1. Работа с догадками (стр. 4 - 6).
Цель: Обсудить все гипотезы, оценить корректность формулировки, записать наиболее корректную формулировку гипотез.
Задачи: 1. Организовать сравнение содержания утверждений и формулировок. Обнаружить, что одно и тоже содержание может быть по-разному оформлено.
2. Записать оптимальную формулировку гипотез.
Начать занятие можно с обсуждения того, какой признак делимости на 11 для двухзначных чисел дети получили, записать его формулировку. Обсудить, как ответили на вопрос: “Есть ли еще двухзначные числа, делящиеся на 11?”.
Обсуждение результатов вывода признака для трехзначных чисел нужно начать с того, что узнать какой выбор сделали при ответе на вопрос: “Как тебе сейчас кажется, трехзначное число делится на 11, если оно записывается одинаковыми цифрами?”. Обсудить с детьми, почему они сделали тот или иной выбор. Если все ответили одинаково, обсудить с ними вопрос: “Как мог рассуждать тот, кто выбрал другой ответ?”. Обсудить их действия после выбора.
Узнать у детей, какие догадки у них получились и на что они смотрели, чтобы их получить. Записать все догадки на доске. Обсудить, что общего и что разное в догадках. Сформулировать оптимальный вариант записи догадки, записать чистовой вариант в тетрадь.
Обратить внимание детей на следующий выбор. Обсудить какой они сделали выбор, почему, как рассуждал человек сделавший другой выбор. Обсудить с детьми, нужно ли проверять свой выбор. Обсудить их действия после выбора. Узнать какие закономерности выделили у чисел из облачка. Обсудить какие догадки получились, сформулировать общий вариант догадки, записать в тетрадь. Обсудить с детьми, нужно ли проверять получившийся результат.
Занятие 2. Введение нормативного языка (стр. 7 - 11).
Цель: Ввести нормативный язык.
Задачи: 1. Прочитать и обсудить текст.
2. Вывести признак делимости для четырехзначных чисел, проводя рассуждения на нормативном языке.
3. Ввести общую запись числа.
Начать занятие с прочтения текста на стр. 7 вслух, обсудить, как дети его поняли, почему текст выделен восклицательным знаком, что важного хотел сказать автор. Далее обсудить обоснование признака делимости трехзначных чисел, каким способом его проводили. Записать окончательный вариант признака делимости на 11 для трехзначных чисел.
Прочитать текст на стр. 9 (индивидуально), обсудить, что нового дети узнали, что поняли. Вернуться к выводу признака для трехзначных чисел, чтобы дети определили, где гипотезы, выделили этапы исследования.
Перейти к выводу признака для четырехзначных чисел, с условием, что обсуждения проходят на культурном языке, в процессе выделять этапы исследования. Обсудить с детьми как они работали с облачком, сначала нашли свои числа и разделили их на две группы или разделили числа из заполненного облачка. Обсудить, каким способом дети находили четырехзначные числа для своего множества. Выделить, какие числа входят в одну группу с числом 1210, выдвинуть гипотезу о делимости для этих чисел. Провести проверку гипотезы - пусть каждый ребенок предложит свое число. Обсудить задания обозначенные солнышком и звездочкой.
Прочитать текст в рамочке на стр. 11 и обсудить, что дети поняли, попросить детей записать числа с разным количеством знаков. Записать уже выведенные признаки и гипотезы, используя новую форму запись числа.
Занятие 3. Проблематизация старого способа обоснования, введение
Доказательства (стр. 12 - 15).
Цель: Ввести общий способ доказательства.
Задачи: 1. Обсудить недостатки обоснования гипотез с помощью полного перебора чисел.
2. Разобрать доказательство для двухзначных и трехзначных чисел.
3. Провести доказательство для четырехзначных чисел, заполнив текст с пробелами.
4. Вывести признак делимости для пятизначных чисел, доказать его.
В начале занятия вспомнить, что записали гипотезу о делимости для четырехзначных чисел, обсудить нужно ли ее доказывать и каким способом. Обсудить недостатки полного перебора. Прочитать текст, обозначенный восклицательным знаком.
Разобрать доказательство признака для двухзначных чисел, определить, что понятно, а что нет. Разобрать непонятные моменты в доказательстве. Предложить детям объяснить друг другу доказательство для трехзначных чисел, выделить основные этапы доказательства. Заполнить пустые места в доказательстве гипотезы о делимости для четырехзначных чисел.
Вывести признак делимости для пятизначных чисел, обсудить каким способом был он выведен. Записать гипотезу. Дать задание по группам, чтобы дети проверили гипотезу, каждой группе свой способ. Записать признак в тетрадь. Предложить детям провести доказательство признака для пятизначных чисел. Вывести и записать признак делимости для произвольного числа, обсудить способ вывода признака.
В заключение работы с творческой тетрадью проводится защита, презентация полученных детьми результатов, а именно, того, что они смогли сделать, чего нет, какие дополнительные задачи они решали в процессе работы с творческой тетрадью. Защита проводится в форме образовательного праздника. На нее приглашаются как одноклассники, не принимавшие участия в работе, так и внешние слушатели: старшеклассники, другие учителя, директор, родители. В процессе защиты дети представляют результаты в виде выступлений с плакатами. Работа детей оценивается компетентным жюри по номинациям: “ Самый эмоциональный доклад”, ”Самая интересная гипотеза”, и т.д., дети награждаются.
Необходимо выделить некоторые достоинства и недостатки групповой формы работы. Достоинством является то, что, работая в коллективе, ребенок начинает видеть свое движение, результаты; выделять индивидуальный, авторский характер своих гипотез. В качестве недостатка можно выделить сложность организации работы с тетрадью, которая выражается в необходимости проектировать занятия.
математический творчество школа тетрадь
2.1.4.2 Описание организационной формы передачи учителям методики работы с творческими работами
В 2002 - 2003 годах на базе гимназии №1 “Универс” по заказу института повышения квалификации проходил семинар для учителей по теме: “Руководство творческими работами по математике в 6 и 7 классах”, проводимый сотрудниками лаборатории развивающего обучения математике института психологии и педагогики развития: О.И. Белоконь, О.В. Знаменская, Ю.Г. Юдина. Вела семинар О.В. Знаменская. В создании проекта семинара также принимали участие студенты психолого-педагогического факультета, обучающиеся по специальности “Математик. Преподаватель”. Семинар состоял из двух частей, одна из которых была посвящена творческой тетради и методике работы с ней.
Первая часть семинара состоялась осенью 2002 года и проходила в течение двух дней. Целью данной части семинара было познакомить учителей с детским математическим творчеством. Первый день семинара начался со знакомства с учителями, которые должны были рассказать о школе, в которой они работают, о том, что интересного происходит в их школе, связанного с математическим образованием. После этого учителям было дано задание: написать, что, по их мнению, является математическим творчеством, а что им не является, с вынесением ответов на доску, подведением итогов. У учителей получилось, что к математическому творчеству относятся: решение нестандартных задач, исследовательская деятельность, сопровождающаяся эстетическими переживаниями, в результате которой происходит развитие мышления, воображения, “математической зоркости”; в качестве особенности детского математического творчества было выделено умение использовать литературу, а также обязательное наличие у ребенка базового уровня предметной подготовки. При этом к математическому творчеству нельзя отнести действие по образцу. После подведения итогов, состоялась лекция, на которой были сообщены характеристики детского математического творчества, а также, откуда берутся творческие задачи. Например, для нахождения задачи выделяются следующие этапы:
1. Решаем какую-либо известную задачу:
и ; и ; и
2. Происходит удивление, формулируется задача: есть ли еще такие числа?
3. Происходит постановка творческой задачи: как найти все такие числа.
Далее было дано задание для работы в группах: несколько задач, которые нужно решить, затем чему-то удивиться и сформулировать задачу для творческой работы. После выполнения работы группы делают доклады о получившихся результатах, о трудностях с которыми они столкнулись при выполнении задания; происходит общее обсуждение решения задач. В конце первого дня семинара учителя получили тексты, с которыми необходимо было разобраться.
Второй день семинара начался с работы в группах, обсуждения текстов, после чего состоялась лекция, в которой говорилось о возможности использования разного рода текстов при выполнении творческой работы. Далее учителям был предложен текст с описанием типов творческих работ, которые обсуждались в течение лекции-беседы. Затем давалось задание (в группах): прочитать детскую творческую работу, определить какого она типа и представить ее от лица ребенка так, чтобы всем было понятно, какого типа работу выполнял ребенок. После этого происходило обсуждение каждого из представлений. И, в заключение этой части семинара были подведены итоги и дано задание учителям: попробовать себя в роли руководителя творческой работы по решению одной из разобранных на семинаре творческих задач.
Вторая часть семинара состоялась весной. Целью этой части семинара было познакомить учителей с творческой тетрадью и методикой работы с ней. В начале семинара была прочитана лекция, содержащая общие характеристики детского математического творчества, а также особенности выполнения творческих работ шестиклассниками. После этого учителям была предложена работа с творческой тетрадью. Им было необходимо (работая в группах) приняв позицию ребенка заполнить творческую тетрадь, при этом выделяя задуманные в тетради ловушки и ключевые места. Результаты работы были представлены на общем заседании. Например, в качестве ловушки была выделена следующая провокация: в процессе доказательства признака делимости на 11 полным перебором, ребенку предлагается рассмотреть другой способ доказательства, который ему пока непонятен; однако если ребенок решится в нем сразу разобраться, чтобы не продолжать проверять оставшиеся числа, вернувшись обратно на исходную страницу тетради, он обнаружит задание, в котором необходимо записать количество трехзначных чисел, делящихся на 11, для выполнения которого необходимо до конца разобраться с доказательством признака полным перебором. В качестве ключевых мест учителя выделили места, имеющие значение для продолжения работы:
· Текст в рамочке, в котором говорится о необходимости обязательного обоснования гипотез.
· Схема, определяющая этапы исследования.
· Переход к позиционной записи числа: .
Итоги данного задания подводила лекция о содержании и структуре творческой тетради. Далее учителям была предложена лекция о методике работы с творческой тетрадью, после которой было дано последнее задание: спроектировать ключевые занятия, которые необходимы при работе с творческой тетрадью. Результаты были представлены группами на общем заседании, на котором были доработаны прожекты групп к ключевым занятиям, связанным с работой детей с догадками на начальном этапе исследования и с введением новых терминов. Семинар закончился итоговой лекцией.
Проведя анализ вышеописанного семинара, можно выделить следующие организационные формы работы, необходимые для освоения учителями методики работы с творческими работами, в частности с творческой тетрадью:
· Представление творческой работы от лица ребенка.
· Работа с творческой тетрадью с позиции ребенка.
· Анализ творческой тетради, выделение ключевых мест, ловушек структуры.
· Проектирование ключевых занятий.
§ 2 Комплект материалов для обеспечения творческой работы по теме “Некоторые вопросы, связанные с изучением бинома Ньютона”
Настоящий параграф посвящен описанию второго из разработанных нами средств, которое представляет собой комплект учебно-исследовательских материалов, обеспечивающих постановку подростком творческой задачи, а также процесс ее решения.
2.2.1 Общая характеристика материалов
Для организации исследования школьников 7 - 8 классов нами был разработан учебный комплект материалов по теме “Некоторые вопросы, связанные с изучением бинома Ньютона”, содержащий:
1. Учебную тетрадь по теме: “Обобщение распределительного закона. Доказательство истинности полученных в результате обобщения утверждений”.
2. Список тем творческих работ и описание возможных путей исследования материала.
3. Аннотацию к литературе по темам творческих работ.
Разработанная нами учебная тетрадь организует учебно-исследовательскую деятельность подростка и приводит учащихся к постановке задачи творческой работы. Кроме этого, в процессе работы с тетрадью создаются условия для осуществления выбора учащимися уровня самостоятельности в исследовании, средств для исследования.
Список тем творческих работ и указанием на возможные пути исследования материала. Список тем дает ученику свободу выбора темы для творческой работы, которая будет ему интересна, а также будет соответствовать уровню его подготовки. Кроме этого, список с описанием путей исследования дает возможность знать ребенку о имеющихся путях развития выбранной им темы.
Аннотация к литературе. Представлен список аннотированной литературы, в которой содержатся ответы на некоторые вопросы по заданной теме. Каждый из источников имеет подробную характеристику, с описанием вопросов, которые освещаются в книге и имеют непосредственное отношение к творческой работе.
2.2.2 Возможное содержание творческой работы
Одной из главных задач разработки учебно-исследовательского комплекта была разработка содержания творческой работы по теме: “Некоторые вопросы, связанные с изучением бинома Ньютона”. Так как творческих работ на эту тему написано не было, то встала необходимость в проведении самостоятельного исследования, чтобы выделить возможные пути обобщения формул сокращенного умножения по степени, по количеству слагаемых, а также трудности, которые могут возникнуть в процессе исследования материала. Описание данного исследования с выделением трудностей и будет представлено в данном пункте.
В седьмом классе на уроках математики изучаются формулы сокращенного умножения: и . Эти равенства могут быть обобщены школьниками по степени до формулы, дающей разложение для . Выпишем ряд формул, являющихся частными случаями для , которые можно получить раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
(2.1)
Проведя анализ этих формул, можно выделить следующие свойства:
1. Количество слагаемых в правой части равенства на единицу больше степени, в которую был возведен двучлен - бином (от латинского bis - дважды и греческого “номос” - член) [7] - сумма двух членов. Поэтому, при возведении бинома в n-ю степень число слагаемых будет равно .
2. Сумма степеней членов бинома при разложении равна степени, в которую возводился бином. Например:
, видим, что ;
; ; .
3. В правой части равенства степень у одного из членов бинома от наибольшей постепенно уменьшается на 1 до нулевой степени, а у другого одновременно с этим увеличивается с нулевой степени до степени, в которую возводился бином.
4. Коэффициенты при членах бинома с наибольшей степенью равны 1.
Зная эти свойства, получаем следующее разложение для формулы , биномиальные коэффициенты которой пока неизвестны:
Для получения полного разложения формулы необходимо найти, чему равны биномиальные коэффициенты.
Продолжая анализ формул (2.1), выпишем все биномиальные коэффициенты в виде треугольной таблицы:
или
Данная таблица называется “арифметическим треугольником” или, треугольником Паскаля, в честь выдающегося французского математика и философа XVII века Блез Паскаля (1623-1662) [3]. Она является одной из самых знаменитых таблиц в истории математики. Паскаль посвятил ей специальный “Трактат об арифметическом треугольнике”. Однако эта треугольная таблица была известна задолго до 1665 года, даты выхода труда Паскаля. Так, в 1529 году треугольник Паскаля был воспроизведен на титульном листе учебника арифметики, написанного Петром Апианом, астрономом из Ингольштадского университета. Изображен треугольник и на иллюстрации в книге “Яшмовое зеркало четырех элементов” китайского математика Чжу Шицзе, выпущенной в 1303 году. Омар Хайям, не только поэт и философ, но и математик, знал о существовании треугольника коло 1100 года, а в свою очередь заимствовал его из более ранних китайских или индийских источников. Но именно Паскаль обобщил известные и привел много новых свойств треугольника, которые сформулированы в девятнадцати теоремах [12].
рис. 2.1
Рассмотрим арифметическую таблицу, выписанную в виде равнобедренного треугольника (рис. 2.1.) Видим, что в нем на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, а каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке. Треугольник можно продолжать неограниченно. Он обладает симметрией относительно вертикальной оси, проходящей через его вершину. Строка с номером n состоит из коэффициентов разложения бинома .
Треугольник Паскаля содержит и другие свойства, о которых можно прочитать в [2, 12]. Например, вдоль диагоналей, параллельных сторонам треугольника, выстроены треугольные числа и их обобщения на случай пространств всех размерностей (рис. 2.2). Суммы чисел, стоящих вдоль восходящих диагоналей, образуют последовательность чисел Фибоначчи. Если, спускаясь по центральному столбцу, из каждого числа вычитать соседнее справа (или слева), то возникает последовательность чисел Каталана.
рис. 2.2
Таким образом, биномиальные коэффициенты можно найти при помощи треугольника Паскаля и выведенного правила. Однако этот способ не всегда удобен для получения биномиальных коэффициентов.
Разберем второй способ нахождения биномиальных коэффициентов, связанный с поиском числа сочетаний, которые принято обозначать или - число сочетаний из n по k элементов.
Рассмотрим известные формулы:
и
Раскроем скобки в правой части этих равенств, причем будем записывать все множители в том порядке, в котором они нам встретятся:
Видно, что в формулу квадрата суммы входят все сочетания, составленные из букв a и b по две буквы, а в формулу куба суммы - сочетания из тех же букв, но состоящие из трех букв каждое. То же самое будет и в общем случае:
мы получим всевозможные сочетания с повторениями букв x и y, состоящие из n элементов[4].
Теперь найдем формулу для получения числа сочетаний, т.е. биномиальных коэффициентов. Для этого рассмотрим уже известные формулы. Однако так как сочетания для x и y повторяются, то будем рассматривать сочетания по числу вхождений в них х.
Итак, для получаем, что в рассматриваемом множестве два элемента , тогда получаем число сочетаний из двух элементов по два равно единице (два элемента из двух мы можем выбрать только единственным образом); число сочетаний из двух элементов по одному равно двум, число сочетаний из двух элементов по нулю элементов равно единице: , , - биномиальные коэффициенты. Получили формулу:
Для получаем множество из трех элементов , тогда получаем, что число сочетаний из трех элементов по три равно единице ; число сочетаний из трех элементов по два равно трем , число сочетаний из трех элементов по одному равно трем , число сочетаний из трех элементов по нулю элементов равно . Получили формулу:
.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
рис. 2.3
Теперь проведем рассуждения для . Рассмотрим множество из пяти элементов . Найдем число сочетаний из пяти элементов по два, рассуждая следующим образом: во множестве пять элементов, каждый из которых может быть взят в паре с другими, четырьмя способами (рис. 2.3), но среди получившихся сочетаний встречаются повторяющиеся, каждая пара повторяется еще раз, поэтому получаем формулу: . Подобные рассуждения проводятся и для сочетаний с другим количеством элементов.
Рассмотрим общий случай, т.е. множество из элементов. Найдем число сочетаний из элементов по два: во множестве элементов, каждый из которых может быть взят в паре с другим способом (рис. 2.4), но среди них есть повторяющиеся, каждая пара повторяется еще раз, поэтому получаем формулу:
.
Проводя рассуждения при выводе общей формулы для числа сочетаний , где k большое число, легко запутаться. Поэтому предлагаем проводить рассуждения для k = 3, 4, 5, 6,7.
Проводя подобные рассуждения для других случаев будем получать следующие формулы:
;
; … … … …; =
==.
Формулы для , , ,- очевидны.
Таким образом, формулы биномиальных коэффициентов найдены. Получаем следующее разложение для формулы :
.
Данное разложение называется формулой бинома Ньютона.
Формулу называют формулой бинома Ньютона, но это название с точки зрения истории неверно. Формулу для хорошо знали среднеазиатские математики Омар Хайям, Гиясэддин и др. Заслуга же Ньютона в том, что ему удалось обобщить формулу на случай нецелых показателей [4].
Таким образом, мы вывели разложение формулы бинома Ньютона, которая является обобщением формул и ; два способа нахождения биномиальных коэффициентов: через треугольник Паскаля и формулу числа сочетаний .
Бином Ньютона можно обобщить по количеству слагаемых, т.е. найти разложение для , однако вывод данной формул является довольно сложным для школьника. Поэтому рассмотрим частный случай формулы, формулу для суммы трех переменных, т.е. для тринома. Выведем разложение для тринома , а также арифметическую таблицу триномиальных коэффициентов.
Рассмотрим ряд формул, являющихся частными случаями для , которые можно получить раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
рис. 2.5
Построим арифметическую таблицу из триномиальных коэффициентов, данная таблица будет представлять собой пирамиду, которую называют пирамидой Паскаля (рис. 2.5). Видим, что по трем внешним ребрам пирамиды стоят единицы. Каждая из трех боковых граней представляет собой треугольник Паскаля. В n-ом сечении (треугольнике) пирамиды (n ? 0), параллельном основанию, располагаются триномиальные коэффициенты (которые обозначаются ) подобно биномиальным коэффициентам в треугольнике Паскаля.
Рассмотрим сечения пирамиды для , и (рис. 2.6):
рис. 2.6
Видим, что коэффициенты, лежащие внутри сечения пирамиды в углу, равны сумме двух коэффициентов располагающихся на внешней стороне сечения, которые лежат на одной прямой с этим коэффициентом. Правило для нахождения триномиальных коэффициентов, стоящих внутри сечения пирамиды, вызвало большие трудности, поэтому правило вывода триномиальных коэффициентов было взято из литературы [12].
Известно, что любой внутренний элемент пирамиды Паскаля, стоящий в n -ом сечении, равен сумме трех элементов, расположенных в углах элементарного треугольника - го сечения пирамиды [2]. Построение n-го сечения связывают с равенством :
;
Сечение получается из треугольника Паскаля, основанием которого служит -я строка треугольника, умножением элементов его строк почленно на элементы основания, повернутого против часовой стрелки на угол . Рис. 2.7, а иллюстрирует построение сечения при n=4. Расположение элементов сечения показано на рис. 2.7, б [12, 13].
рис. 2.7
Получим разложение тринома . Для этого воспользуемся полученными формулами: формулой бинома Ньютона и формулой биномиальных коэффициентов.
В полученной формуле часть:
выражает основание треугольника Паскаля, т.е. триномиальные коэффициенты, которые лежат на внешней стороне -го сечения пирамиды. А часть полученной формулы: выражает триномиальные коэффициенты, лежащие внутри -го сечения пирамиды.
В литературе разложение тринома представляют в виде:
,
где - триномиальные коэффициенты, , , - неотрицательные целые числа, которые выражаются формулой:
Для триномиальных коэффициентов справедлива рекуррентная формула:
с начальными условиями ; .
Триномиальные коэффициенты удовлетворяют условиям:
и равенствам
,
указывающих на наличие трех осей симметрии [12].
Итак, наше исследование показало, что можно обобщить формулы квадрата суммы и куба суммы по степени, получив разложение формулы бинома Ньютона. Биномиальные коэффициенты можно найти либо при помощи треугольника Паскаля, записав коэффициенты разложения в виде треугольной таблицы и выведя очевидное правило, либо посредством формул числа сочетаний , которые возможно вывести. Также оказался возможным построение пирамиды Паскаля и вывод разложения для тринома. При этом нужно отметить, что если для вывода разложения бинома литература является средством подтверждения полученных результатов, то для разложения тринома литература является дополняющим средством к полученным результатам. Полученные результаты исследования были сопоставлены и дополнены материалом книг по этим вопросам.
Заключение
Моя работа была направлена на разрешение проблем, возникающих у учителей, которые не имеют опыта работы с детскими творческими работами, но хотели бы заниматься ими со своими учениками. Для этого было разработано учебно-методическое средство, которое мы назвали творческой тетрадью - особым образом оформленная тетрадь, содержащая логику предъявления исследовательской задачи и специальным образом представленные задания. Используя эту тетрадь, учитель может освоить идею руководства детским исследованием в математике. Кроме этого, тетрадь также должна обеспечивать эмоциональную включенность и сохранение устойчивого интереса к теме у шестиклассника, инициировать возникновение у него своих вопросов, творческое отношение к предложенным задачам.
Итак, была разработана творческая тетрадь по теме “Признаки делимости на 11 натуральных чисел”. Результаты проведенной апробации подтвердили, что она действительно является средством обеспечения выполнениям ребенком творческой работы по математике. Действительно, учащимся интересна работа с тетрадью, кроме имеющихся в тетради вопросов, они начинают ставить свои вопросы, придумывать задачи, которые с интересом решают.
Также в процессе работы учащихся с тетрадью было отмечено, что они действительно попадают в придуманные нами ловушки. Это подтвердило выдвинутую нами гипотезу о преобладании эмпирического обобщения при решении учащимися подобных задач. И детям, и учителям работа с тетрадью понравилась. По материалам апробации была написана методика работы с творческой тетрадью.
В процессе работы нами также были решены дополнительные задачи. Был разработан учебный комплект по теме “Некоторые вопросы, связанные с изучением бинома Ньютона”, организующий исследование учащихся 7-8 классов. Однако апробации разработанного комплекта проведено не было.
Возможными направлениями дальнейших исследований связанных с творческой тетрадью может быть, например, исследование специфики работы с тетрадью детьми, обучающимися по программам традиционного и развивающего обучения; предметно сильных и слабых детей; исследование, связанное с выделением особенностей ловушек, содержащихся в творческой тетради по сравнению с ловушками в программах по математике начальной школы развивающего обучения.
Литература
1. Аронов А.М., Ермаков С.В., Знаменская О.В. Учебно-образовательное пространство в педагогике развития: математическое образование: Монография / КГУ, 2001.
2. Бондаренко Б.А. Обобщенные треугольники и пирамиды Паскаля, их фрактали, графы и приложения. Ташкент: “Фан”, 1990.
3. Бородин А.И., Бугай А.С. Биографический словарь деятелей в области математики. Киев: “Радянська школа”, 1979.
4. Виленкин Н.Я. Комбинаторика. М.: “Наука”, 1969.
5. Виленкин Н.Я., Сурвилло Г.С., Дробышев Ю.А., Кудрявцев А.И. Алгебра-8. Учебное пособие для школ и классов с углубленным изучением математики. Новосибирск: “Наука”, 1992.
6. Воронцов А.Б., Заславский В.М., Егоркина С.В., Захарова О.А. Учебная самостоятельность подростка как одно из условий организации образовательного процесса в основной школе.
7. Глейзер Г.И. История математики в школе. М., 1983.
8. Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении. М., 1972.
9. Знаменская О.В., Юшкова Е.В. Признаки делимости на 11 натуральных чисел: творческая тетрадь для учащихся 6 классов. На правах рукописи, 2002.
10. Кашапов М.М., Табаков Ю.А. Обучение творческому решению проблемных ситуаций в процессе преподавания психологии как средство формирования интеллектуальных способностей старшеклассников // Педагогика развития: проблемы современного детства и задачи школы: Материалы III науч.-практ. конф. Красноярск, 1996, Ч. 2.
11. Кордемский Б.А. Математическая смекалка., 2000.
12. Кузьмин О.В. Обобщенные пирамиды Паскаля и их приложения. Новосибирск: “Наука”, 2000.
13. Кузьмин О.В. Треугольник Паскаля: свойства и обобщения //Соросовский образовательный журнал. Том 6, № 5, 2000.
14. Миндюк М.Б., Рудницкая В.Н. Математика. Рабочая тетрадь для 6 класса. Часть 1. М.: “Генжер”, 2001.
15. Поливанова К.Н. Психологическое содержание подросткового возраста // Вопросы психологии. 1996, № 1.
16. Табидзе О.И. Ценностный аспект творчества // Вопросы философии. 1981, №6.
17. Щетников А.И. Арифметика по Пифагору. Рабочая тетрадь. : издательство гимназии “Открытый мир”,
18. Шумилин А.Т. Проблемы теории творчества: Монография. М.: Высшая школа, 1989.
19. Юдина Ю.Г. Организация творческой деятельности подростков. Методическое пособие для педагогов и студентов педагогических специальностей университета. Красноярск, 2003.
20. Яковлева О.В., Торопова Ю.Г. Педагогические условия выполнения учащимися 6 класса творческих работ по математике // Педагогический ежегодник. Красноярск, 1996.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Понятия творчества и творческих способностей, проблема творчества в коррекционной педагогике. Развитие творчества в разных возрастах у детей с нарушением слуха. Методы изучения творческих способностей. Опытная работа по развитию творческих способностей.
дипломная работа [253,6 K], добавлен 01.11.2017Цели использования лабораторных работ в обучении математике, этапы подготовки и проведения. Аналитический обзор лабораторных работ по математике, предлагаемых в литературе для учителей и учащихся. Методические рекомендации к проведению лабораторных работ.
дипломная работа [490,1 K], добавлен 23.04.2011Определение сущности творческих способностей учащихся основной школы. Обоснование комплекса педагогических условий применения дидактических игр для развития творческих способностей в процессе обучения математике. Разработка игр для разных этапов урока.
дипломная работа [1,3 M], добавлен 20.08.2014Исследование развития творческих способностей детей с особыми образовательными потребностями. Разработка системы кружковых занятий для детей коррекционной школы на основе природного материала, учитывающей психолого-педагогические особенности учащихся.
дипломная работа [257,1 K], добавлен 08.10.2010Значение воспитательной работы в специальной (коррекционной) школе. Особенности познавательной деятельности умственно отсталых детей. Педагогические проблемы при их обучении. Рекомендации по повышению интереса к математике у учащихся начальных классов.
дипломная работа [160,2 K], добавлен 20.12.2015Особенности познавательной деятельности умственно отсталых детей. Возможности организации внеклассной работы по математике в специальной (коррекционной) школе VIII вида. Разработка внеклассных мероприятий для учащихся коррекционной школы по математике.
дипломная работа [166,8 K], добавлен 23.01.2016Методика формирования умений творческой деятельности будущего учителя информатики. Примеры творческих работ учащихся младших классов в курсе информатики. Разработка школьного урока по изучению основных видов принтеров, их устройств, технологии печати.
курсовая работа [33,7 K], добавлен 18.09.2010Содержание, роль и место внеклассной работы в процессе обучения математике. Методы и приемы развития творческой активности учащихся начальной школы. Изучение влияния внеклассных занятий по математике на развитие творческой активности младших школьников.
курсовая работа [92,5 K], добавлен 28.01.2016Педагогические технологии, активизирующие творческие способности учащихся. Изучение методики выполнения творческих проектов на уроках технологии в старших классах. Разработка примерных планов-конспектов уроков. Творческий проект по теме "Вязание варежек".
курсовая работа [3,2 M], добавлен 03.06.2009Анализ целесообразности применения математического вечера как одной из форм внеклассной работы по математике. Общая характеристика и методика проведения основных форм внеклассной работы, особенности их применения среди учащихся средних и старших классов.
дипломная работа [82,8 K], добавлен 30.11.2010
