Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Творческая тетрадь как средство обеспечения выполнения творческих работ по математике для учащихся 6 классов

Дипломная работа

Оглавление

• Введение
• Глава 1. О значении творческих работ для школьного математического образования
• § 1 Задачи математического образования в подростковой школе
• § 2 Математическое творчество подростков
• 1.2.1 Характеристика детского математического творчества
• 1.2.2 Творческая работа по математике в 6 - 8 классах. Особенности выполнения творческих работ шестиклассниками
• Глава 2. Средства обеспечения выполнения творческих работ по математике
• §1. Творческая тетрадь для шестого класса по теме “Признак делимости на 11 натуральных чисел”
• 2.1.1 Материал и содержание творческой работы
• 2.1.2 Характеристика творческой тетради
• 2.1.2.1 Структура творческой тетради
• 2.1.2.2 Особенности оформления
• 2.1.2.3 Действия детей с материалом тетради
• 2.1.3 Анализ результатов апробации творческой тетради
• 2.1.4 Методическое обеспечение работы учителя с творческой тетрадью
• 2.1.4.1 Методические рекомендации
• 2.1.4.2 Описание организационной формы передачи учителям
• методики работы с творческими работами
• § 2 Комплект материалов для обеспечения творческой работы по теме “Некоторые вопросы, связанные с изучением бинома Ньютона”
• 2.2.1 Общая характеристика материалов
• 2.2.2 Возможное содержание творческой работы
• Заключение
• Литература

Введение

Многие исследователи развивающего обучения (Воронцов А.Б, Эльконин Б.Д, Поливанова К.Н.) отмечают, что инициация детского творчества является особенно важной при обучении подростков, поскольку творчество способствует личностному росту ученика, развитию его мыслительных способностей, способностей к его самостоятельной деятельности и планированию [15]. Разработчики программ развивающего обучения математики г. Красноярска отмечают, что уже в шестом классе появляется возможность детского научного (математического) творчества [1]. Сравнивая представления о творчестве, как рассматривал его А.Т. Шумилин, математическом творчестве, сформулированном в монографии [1] и об учебно-исследовательской задаче в подростковой школе, описанной Юдиной Ю.Г., мы обнаружили, что под математическим творчеством в подростковой школе можно понимать исследовательскую деятельность учащегося, процесс которой характеризуется:

· самостоятельной постановкой учащимся задачи, поиском средств и способов ее решения;

· эмоциональной вовлеченностью учащегося в работу с проблемой;

· значимостью полученного результата для самого учащегося и его новизна относительно материала школьной программы.

При выполнении творческой работы по математике в шестом классе перед учеником встают различные трудности, которые он сам преодолеть еще не может, поскольку не умеет оформлять свои мысли и испытывает большие трудности при написании текста творческой работы. Поэтому большое значение имеет руководство учителя при написании творческой работы.

Отметим, что руководство творческой работой является достаточно новой, не освоенной учителями II ступени деятельностью. Учитель, как правило, испытывает трудности, впервые столкнувшись с задачами руководителя творческой работы, а именно, с удержанием логики исследования, помощью ребенку в оформлении его мыслей, представлением норм изложения работы. Поэтому возникла необходимость создания учебно-методического обеспечения, которое поможет учителю в разрешении возникающих у него проблем.

Цель работы: разработать учебно-методическое средство, обеспечивающее выполнение шестиклассниками творческой работы по теме “Признаки делимости на 11 натуральных чисел”.

Гипотеза: Специально организованный текст, названный нами творческой тетрадью может являться методическим средством, обеспечивающим руководство учителя, который только начинает пробовать себя в роли руководителя творческой работы, поскольку содержит логику разворачивания исследовательской задачи. Также этот текст может инициировать творческое отношение учащегося к задаче, поскольку содержит ловушки, специальным образом представленные задания.

Для достижения цели решались следующие задачи:

· Провести анализ материала и выделить содержание творческой работы по указанной теме.

· Разработать творческую тетрадь для 6-х классов, а именно: задания и структуру тетради; форму предъявления заданий и оформление тетради.

· Разработать методику работы с творческой тетрадью.

Во время работы над дипломом возникли дополнительные задачи, связанные с динамикой учебно-методических средств от 6 к 9 классу. Появилась гипотеза, что для обеспечения выполнения творческой работы по математике в 7 - 8 классах, необходимо учебно-методическое средство по форме отличное от творческой тетради для 6 классов, поскольку к 7 классу учащийся уже имеет опыт выполнения творческой работы. На данном этапе учебно-методическое средство должно предполагать большую самостоятельность ребенка при выполнении творческой работы. Таким средством может являться, например, комплект материалов, содержащих список возможных тем творческих работ с рекомендациями и выделением возможных трудностей в материале, а также аннотированный список литературы по заданной теме для учителя и ученика.

Дополнительные задачи:

· Провести анализ материала и выделить содержание творческой работы по теме “Некоторые вопросы, связанные с изучением бинома Ньютона”.

· Разработать комплект материалов по теме “Некоторые вопросы, связанные с изучением бинома Ньютона”, организующий исследование школьников 7 - 8 классов.

Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложений.

В первой главе дипломной работы обсуждаются задачи математического образования в подростковой школе (актуальность творчества), и понятие математического творчества учащегося. Выделяются общие принципы создания творческих работ, типы творческих работ и соответствующие им цели и содержание. Определяется специфика и трудности выполнения творческих работ шестиклассниками.

Вторая глава полностью посвящена разработке учебно-методических средств для 6-х классов и 7-8 классов.

Разработка творческой тетради. В качестве материала для творческой тетради был выбран признак делимости на 11 в десятичной системе счисления. Нами он был обобщен и доказан признак делимости на в системе счисления по основанию . Кроме этого, был проведен анализ детских творческих работ по теме “Признак делимости на 11 натуральных чисел”. Было определено, что дети могут вывести признаки делимости на 11 для двузначных, трехзначных чисел и обобщить их для чисел с большим количеством знаком, при этом двигаясь путем эмпирических обобщений.

В ходе анализа детских работ были выделены “ловушки”, провоцирующие детей на формальный перенос признака. Была разработана система заданий, выполняя которые учащийся проходит все этапы исследования. Задания в тетради представлены в виде вопросов, либо особым образом расположенного материала, провоцирующего ребенка на вопрос. Для усиления свободы оперирования с тетрадью, материал сформулирован таким образом, чтобы содержание каждой страницы было логически завершенным, подводящим итог какого-либо из этапов исследования.

Разработанная нами творческая тетрадь полностью готова к изданию. Она прошла апробацию, в которой принимали участие учителя и учащиеся шестых классов. В процессе апробации было отмечено, что, проводя исследование, ребенок действительно двигается путем эмпирических обобщений, о чем свидетельствует его попадание в ловушки. Учащимся интересна работа с тетрадью, кроме имеющихся в тетради вопросов они начинают ставить свои вопросы, придумывать задачи, которые с интересом решают. По материалам апробации написаны методические рекомендации для индивидуальной и групповой работы с творческой тетрадью.

Разработка учебного комплекта по теме “Некоторые вопросы, связанные с изучением бинома Ньютона” для 7 - 8 классов. Были разработаны:

· Содержание творческой работы по теме “Некоторые вопросы, связанные с изучением бинома Ньютона”. Творческих работ по данной теме учащимися ранее написано не было, поэтому нами было проведено собственное исследование, в результате которого выведено разложение формул бинома и тринома Ньютона, правило нахождения биномиальных коэффициентов в треугольнике и триномиальных коэффициентов в пирамиде Паскаля, а также формулы нахождения биномиальных коэффициентов через число сочетаний . В процессе работы были выделены трудности, связанные с исследованием материала. Полученные результаты исследования сопоставлены и дополнены материалом книг по этим вопросам и оформлены в виде описания возможного содержания творческой работы.

· Пробная форма учебного комплекта, организующего творчество подростка, в который входит: 1) учебная тетрадь, приводящая к постановке задачи творческой работы; 2) список тем творческих работ и описанием возможных путей исследования материала; 3) аннотация к литературе по заданной теме.

В заключении описываются основные результаты работы.

В приложениях приводятся: творческая тетрадь по теме “Признаки делимости на 11 натуральных чисел” для 6 класса; учебная тетрадь для 7-го класса, аннотация к литературе для творческой работы по теме “Некоторые вопросы, связанные с изучением бинома Ньютона” для 7 - 8 классов; список тем творческих работ.

Местами для апробации, разработанной нами творческой тетради, явились средняя общеобразовательная школа № 14 г. Назарово и семинар института психологии и педагогики развития (ИППР) г. Красноярска.

Результаты работы были доложены на краевой научной конференции молодых ученых и студентов, а также на рабочем семинаре лаборатории развивающего обучения математике института психологии и педагогики развития.

Глава 1. О значении творческих работ для школьного математического образования

§ 1 Задачи математического образования в подростковой школе

Исследователи развивающего обучения Б.Д. Эльконин и И.Д. Фрумин полагают, что “учебная деятельность в подростковом возрасте должна быть продолжена как учебно-эксперементальная”, в которой предметом являются условия существования и границы предметной области, описываемой через некое исходное отношение. “Учеба подростка должна быть в основном игрой с границами понятия как системы, своеобразной игрой в допущения, гипотезы и их проверку” [1]. На материале математики это означает, что подростковая школа должна стать этапом освоения учебно-исследовательской деятельности, которая предполагает пробность и поисковость. На этом этапе развития учебной деятельности изменяется содержание математического образования, его целью становится освоение математики как вида деятельности. Кроме этого подростковая школа должна стать этапом постепенного выращивания из коллективного субъекта учебной деятельности индивидуального субъекта [6].

Заметим, что учебная деятельность не является ведущей в подростковом возрасте и не определяет развития. Психологи утверждают, что «для подростка …ведущей воспроизводящей деятельностью является общественно-значимая деятельность» [8]. Основные интересы подростка лежат либо в «пространстве общения», либо в таких предметах учебного пространства, которые отличаются прагматичностью (обучение езде на машине) или психологичностью (обучение ответственности, «урок разговора по душам»). И, конечно, обучение математике не лежит в области запросов подростков, а сама математика не рассматривается ими как значимая деятельность. Анализ областей интересов, предложенных самими подростками, позволяет предположить, что интересными и значимыми для них являются такие формы взрослых деятельностей, которые в современной социокультурной ситуации естественным образом представлены как взрослые. По отношению к ним можно построить образование как удовлетворение запросов подростка.

Однако, математическая деятельность относится к тем профессиональным деятельностям, которые требуют специальной работы взрослого по их представленности [1].

Позитивное здесь - готовность подростка к тем видам учебной деятельности, которые делают его более взрослым в его собственных глазах. Такая готовность может быть одним из мотивов учения. Одной из возрастных особенностей учащихся является утрата интереса подростка к классно-урочной форме работы и освоенным учебным отношениям [1]. Для подростков становятся привлекательными самостоятельные формы занятий. Подростку это импонирует, и он легче осваивает новые способы действия, когда учитель лишь помогает ему.

В соответствии с представлениями о ведущей деятельности учебно-исследовательская математическая деятельность может быть освоена подростком только как общественно значимая. Для младших подростков (6 класс) общую значимость можно создать внутри школы, посредством разработки “мест”, задающих значимость [1].

Таким образом, задачами математического образования в подростковом периоде являются:

1. Введение новых основных средств изучения понятий.

2. Включение подростка в такие формы, где бы формировался интерес к занятию математическим исследованием (такой формой может являться математический клуб).

3. Формирование образовательного запроса, который не складывается стихийно.

Реализация этих задач возможна в рамках математического творчества.

§ 2 Математическое творчество подростков

1.2.1 Характеристика детского математического творчества

Последнее время термин “математическое творчество” все чаще употребляется при попытках описания содержания математического образования в средней ступени школы. Для того, чтобы говорить о детском математическом творчестве, сначала определимся с тем, что мы будем под этим понимать.

Мы будем следовать пониманию математического творчества, представленному в [20]. Согласно этому пониманию творчество обладает следующими важными характеристиками:

· Творчество тесно связано с познавательной деятельностью. Математическое творчество - это форма овладения математическими знаниями.

· Необходимым условием начала творческого поиска (исследования) является осознание проблемы, ее постановка; процесс творчества - это процесс решения проблемы. В процессе творчества формулировка проблемы претерпевает изменения, уточняется, ее решение распадается на ряд задач. Разными авторами отмечается этапность, цикличность в решении проблемы, то есть наличие истории творческого поиска.

Средством исследования проблемной ситуации, проблемы, задачи и орудием их разрешения является гипотеза [18]. Гипотеза, или проба решения, даже если она неверна, подготавливает представление о верном пути решения. Гипотеза - основная форма творческого мышления.

Отметим, что творчество в математике связано с получением новых утверждений о свойствах математических объектов (этапом выдвижения и проверки гипотез), формулированием новых теорем и поиском способов доказательства и (лишь на последнем этапе) проведением строгих доказательств.

· В процессе творчества всегда создается новая вещь (получается новый математический результат), совершается открытие, применяются либо новые средства, способы.

А.Т. Шумилин выделяет четыре этапа движения творчества (которые зависят от того, какие задачи на нем решаются) [18]:

1. осознание, постановка, формулирование проблемы.

2. нахождение принципа решения проблемы, нестандартной задачи (решающая гипотеза, идея изобретения, замысел).

3. обоснование и развитие найденного принципа, теоретическая разработка, конкретизация и доказательство гипотезы (научное творчество). А также разработка плана экспериментальной проверки гипотезы, реализации замысла, идеи и т.д.

4. практическая проверка гипотезы, реализация изобретения, объективизация результатов.

Заметим, что вышеперечисленные этапы тесно связаны с этапами решения учебно-исследовательских задач в подростковой школе, сформулированными Ю.Г. Юдиной в [19]. Приведем эти этапы:

1. Постановка проблемы в исследовании предмета (фиксация затруднений, появление у учащихся проверки и обоснования).

2. Гипотезирование (переформулировка проблемы в форме гипотез, требующих проверки и обоснования).

3. Формулировка и обоснование утверждений, появление теорем. Построение «маленькой теории».

4. Оформление полученных знание для применения(описание логики рассуждений, составление культурного текста, написание «статьи» по предмету).

5. Практическое применение полученных знаний (решение класса аналогичных задач, перенос полученных способов исследования на другой материал).

В случае математического творчества эти этапы фактически идентичны, т.е. предполагают постановку проблемы, процесс продуцирования правдоподобных утверждений (гипотез) и их обоснование, презентацию результатов либо как теоретического знания, либо как практического. Таким образом, подростковое математическое творчество, есть фактически осуществление исследовательской деятельности.

Однако нужно выделить некоторые отличия математического творчества от решения учебно-исследовательской задачи. А именно:

· Творчество учащегося отмечено наличием активной личностной позиции по отношению к познанию, личной заинтересованностью в творческой деятельности, эмоционально окрашенным отношением к исследуемому материалу[10].

· При решении учебно-исследовательских задач для учащегося важно приобрести умение решать подобные задачи, а сам результат является второстепенным.

Отличительной характеристикой математического творчества является значимость результата для учащегося. Однако результат творчества подростка обычно является объективно известным в науке, но как индивидуально, “психологически новым”, т.е. достигнутым собственными силами ребенка [16]. Либо объективно новым по отношению к материалу школьной программы.

Таким образом, под математическим творчеством подростков будем понимать исследовательскую деятельность с высокой мотивацией, для которой характерна ярко выраженная авторская позиция учащегося и высокий уровень самостоятельности, результат, полученный в процессе этой деятельности, является объективно новым по отношению к школьной программе, выходит за ее рамки.

1.2.2 Творческая работа по математике в 6 - 8 классах. Особенности выполнения творческих работ шестиклассниками

Практика выполнения творческих работ, начиная с 6 класса, существует в гимназии №1 “Универс” г. Красноярска, а также начинает складываться в других школах, в которых присутствует развивающее обучение. В гимназии “Универс”, для организации творчества подростков 7 - 9 классов организовано специальное образовательное пространство “Школа молодого ученого”, где происходит встреча ребенка с ученым. Темы творческих работ в “Школе молодого ученого” учащимся могут представить как учителя, так и ученые (преподаватели университета), в процессе прочтения лекций, при этом представленные темы, обычно выходят за рамки школьной программы. Результаты творческих работ учащиеся представляют на конференции, куда могут прийти все желающие, и в виде правильно оформленных текстов. А для организации творчества в 6 - 7 классах разработана методика.

Чтобы творчество шестиклассников стало возможным необходимо создание особых условий организации обучения математике [1]. Такие условии были выделены сотрудниками лаборатории развивающего обучения математике института психологии и педагогики развития г. Красноярска О.В. Знаменской, Ю.Г. Юдиной и описаны в методике руководства творческими работами. Они выделяют следующие условия творческого самоопределения учащихся [19]:

1. Открытость обучения предмету, понимаемую как “особый стиль работы учителя, содержания образования, общения между учащимися и т.д. ”, оставляющие за учащимся возможность выбора и свободного планирования собственной деятельности.

2. Определенная поляризация образовательного пространства класса, предполагающая наличие различных мест содержательного общения подростков с взрослым, позволяющем создать, с одной стороны, особую эмоциональную атмосферу отношения к предметам в классе, с другой стороны, представляет различное предметное видение действительности разными взрослыми, например, ученым - исследователем, учителем - предметником, ведущим предметного клуба.

3. Построение подростком совместно с учителем индивидуального маршрута собственной творческой деятельности. Составление гибкого плана и прохождение определенных этапов выполнения творческой работы как средство построения подростком индивидуального маршрута. Демонстрация подростком продуктов собственной творческой деятельности.

Согласно третьему условию творческого самоопределения, выполнение творческой работы учащимся происходит в сотрудничестве с учителем, который должен создать такие условия, при которых стало возможным самостоятельное движение учащихся, включающее выбор темы, формулирование и решение задачи, оформление и защиту работы. В деятельности учителя выделяют 4 этапа [1, 19]:

1. Подготовительная работа. Цель педагога на этом этапе - создание на уроке условий для возникновения предметного творчества подростков, т.е. “мест” где возможно возникновение интереса и вопроса учащегося.

2. Этап обмена письменными текстами. Цель педагога на этом этапе - помочь учащемуся сформулировать собственную проблему и поставить задачу, а также задать образцы изложения своих мыслей.

3. Этап работы по плану в режиме консультаций с учителем. Задача педагога на данном этапе - “поддержать пробу учащегося, сохранив при этом авторский подход учащегося к теме, помочь ему осознать, что он пытается узнать нового о предмете и о себе”.

4. Защита работы. Задача педагога на данном этапе - создание условий для демонстрации подростками результатов их личного творчества с выходом на коллективное обсуждение работы, оценку работы участниками обсуждения, самооценку самого ученика. Должна быть официально организована в школе и представлена учащимся как особый этап демонстрации, презентации результатов их творческой работы, а также получения коллективной оценки качества творческой работы.

Описание выделенных этапов деятельности учителя относится к организации детского творчества в шестом классе, когда подросток только начинает знакомиться с новой для него деятельностью. В шестом классе ученик еще действительно нуждается в помощи со стороны учителя, она особенно ему необходима в процессе оформления своих мыслей, написания текста (поэтому иногда оформление работы, написание текста может быть выполнено ребенком в седьмом классе).

Данная методика предполагает выбор учащимся темы творческой работы, источником которой является вопрос, возникший в процессе урока, что накладывает некоторые ограничения на возможность выбора подростка. Также хочется отметить о трудностях реализации методики, связанных с организацией первого этапа, на котором происходит творческое самоопределение учащегося. Эти трудности могут возникнуть у учителя при выполнении условия открытости обучения предмету, и быть связаны со сложностью и отсутствием опыта создания особой среды на уроках.

Как говорилось выше, текст творческой работы должен быть “культурно” оформлен. Сотрудниками лаборатории развивающего обучения математике института психологии и педагогики развития г. Красноярска: О.В. Знаменской, О. И. Белоконь, Ю.Г. Юдиной были проанализированы реальные творческие работы учащихся 6 - 9 классов, в результате чего были выделены их жанры. Обнаружены не только чисто исследовательские творческие работы, но и работы основной целью которых являлось проведение анализа, однако средством для его проведения служило исследование [19]:

Виды аналитических работ

Реферативная работа преследует цель научиться чему-то новому, сформировать свое отношение к определенной теме. В подобной работе существенным является фиксация разрывов в понимании, систематизация знаний. Работа обязательно включает в себя изучение и проведение анализа литературы по данной теме: обнаружение общего и особенного по данной тематике, применение полученных знаний по теме в решении задач, оформление собственного отношения к данной теме, выявление связей со школьной программой.

Работа по обобщению и систематизации знаний преследует цель определения границ знания - незнания об объекте, выявления связей имеющихся знаний. Работа включает в себя описание системы знаний, типов связей на начало работы: , , обосновывает , , частный случай , а также обнаружение незнания за счет фиксации несвязности знаний. Результатом может являться обзор, либо постановка исследовательской задачи.

Аналитическая работа преследует цель восстановления логики предметного содержания, обнаружение “разрывов” в самой логике изложения содержания. Работа включает в себя обязательное изучение литературы. Результатом является формулировка возможных тем для исследования.

Таким образом, аналитические работы связаны с рефлексией своей прошлой деятельности, своих знаний, анализом литературы, и как правило результатом таких работ является постановка исследовательской задачи. Выполнение таких работ характерно для 8 - 9 классов.

Виды исследовательских работ

Исследовательские виды работ связаны либо с исследованием объекта, либо способа.

Исследовательская работа направлена на решение предметной проблемы, построение “маленькой” теории об объекте. Работа включает в себя исследование некоторого свойства математического объекта. Исследование, если оно самостоятельное, как правило, носит характер эмпирических обобщений некоторых свойств объектов, а лишь затем попыток теоретического обоснования. Если полученный результат является “переоткрытием” известного в литературе результата, то работа должна обязательно содержать описание хода открытия.

Работа по изучению способа связана с изобретением, применением, обобщением, развитием методов и способов. Работа включает в себя описание известного способа, обоснование, выделение класса задач. которые решаются данным способом, изучение границ применимости данного способа и возможности его распространения на более широкий класс объектов.

Основная масса работ в 6 - 7 классах являются исследовательскими, поэтому остановимся на них подробнее. В качестве примера приведем содержание двух работ.

Работа на перенос способа

Известен способ деления угла пополам при помощи циркуля и линейки. Он состоит в следующем: чтобы разделить угол пополам, нужно из вершины угла провести дугу произвольного радиуса. Соединить между собой точки, полученные при пересечении дугой сторон угла. Чтобы разделить угол пополам, отметим середину полученного отрезка. Соединим середину отрезка с вершиной угла, в результате получим два равных угла (рис. 1.1 а).

А а б В в рис. 1.1

Возможно ли распространение этого способа на случай деления угла на большее количество равных частей? Рисунок 1.1 б наводит нас на мысль, что да, деля АВ на три равные части, мы, и угол делим на три равные части. Это гипотеза. Один из способов проверки - мысленный эксперимент. Раздвинем мысленно угол, превратив его почти в развернутый, и получим контрпример (см. рис. 1.1 в).

Направлением дальнейшего исследования может являться выделение класса углов, для которых способ дает верное решение (последовательно его применяя, получим ).

Изучение объекта:

Известны тройки взаимно простых чисел 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; 9, 40, 41; 11, 60, 61; удовлетворяющих равенству (Пифагоровы тройки). Как найти все такие тройки чисел?

Проводя исследование можно получить формулы для всех таких чисел: , , , где . Это гипотеза. Общие они или нет? Оказывается можно привести пример тройки, которая не описывается такими формулами - 8, 15, 17. Направлением дальнейшего исследования может являться обобщение формулы для всех троек.

Отметим, что описанная выше методика организации выполнения учащимися 6 классов творческих работ по математике является трудно воспроизводимой для учителя математики из-за трудности создания условий для возникновения творчества (создания особой среды на уроках). Кроме этого, у данной методики существует ограничение, связанное с тем, что она предполагает выбор учащемуся темы творческой работы, источником которой может являться только вопрос, возникший в процессе урока. Это не дает возможности для возникновения вопросов, связанных с областью, лежащей вне школьной программы.

Поскольку деятельность руководителя творческой работой является пока не освоенной учителями, однако у многих есть желание заниматься творчеством с детьми. Поэтому есть необходимость в создании методического средства, которое помогло бы учителям в освоении идеи руководства творческой работой детей, а в частности руководства детским математическим исследованием.

Глава 2. Средства обеспечения выполнения творческих работ по математике

§1. Творческая тетрадь для шестого класса по теме “Признак делимости на 11 натуральных чисел”

Настоящий параграф посвящен одному из средств обеспечения выполнения творческих работ по математике, которое мы назвали творческой тетрадью. Творческая тетрадь - это особым образом оформленная система заданий и мест для решения, выстроенная в соответствии с логикой разворачивания исследовательской задачи. Далее будет описано содержание тетради, ее структура, нормы оформления, а также анализ апробации и методика работы с ней.

2.1.1 Материал и содержание творческой работы

Особое место в школьной программе занимает изучение теории целых чисел. Признаки делимости чисел являются важным элементом этой теории. Они быстро позволяют определить, делится ли одно число на другое в том случае если не нужно знать результата деления. В школьной программе признаки делимости изучаются в пятом классе. Поэтому можно ожидать, что шестикласснику постановка задачи поиска признака делимости является знакомой и понятной, а поиск новых признаков может быть интересным и полезным. Т.е. не потребуется особых действий по включению ребенка в проблему. Поэтому мы решили в качестве темы для творческой работы выбрать признак делимости на число, который шестикласснику еще не известен, а именно делимости на 11.

В [11] мы нашли идею доказательства этого признака и его словесную формулировку:

Если сумма цифр данного числа через одну равна сумме остальных цифр через одну или разность этих сумм делится на 11, то и данное число делится на 11.

Мы сформулировали этот признак на математическом языке, используя позиционную запись числа, и получили строгое доказательство, следующего утверждения.

Пусть произвольное натуральное число.

Теорема 1. Если, при , делится на 11;

при , делится на 11,

то число делится на 11.

Пытаясь провести строгое доказательство теоремы 1, мы заметили, что признак можно легко распространить на произвольную систему счисления, т.е. получить признак делимости на в системе счисления по основанию .

Пусть произвольное число, - основание системы счисления, {0, 1, …, }.

Теорема 2. Если, при , делится на ;

при , делится на ,

то число делится на .

Доказательство теоремы 2. По условию делится на при . Докажем, что число делится на .

Рассмотрим позиционную запись числа:

.

Из условия известно, что делится на . Выделим в позиционной записи числа слагаемое . Имеем:

. Полученное выражение делится на . Действительно, делится на по условию. Оставшиеся слагаемы, также делятся на .

Действительно, распишем при помощи формулы разности квадратов, . Видим, что один из множителей делится на значит, произведение делится на . Разложим в произведение двух множителей при помощи формулы суммы нечетных степеней формула заимствована из [5], получим . Видим, что один из множителей произведения делится на значит, произведение делится на , значит и делится на . Проведя аналогичные рассуждения для остальных слагаемых , , …, , получим, что они делятся на .

Итак, делится на , а значит, делится на .

Доказательство теоремы 2 для в точности повторяет доказательство теоремы 2 для .

Заметим, что доказательство теоремы 1 получается из доказательства теоремы 2 подстановкой вместо числа 11, а вместо числа 10.

Заметим, что, вообще говоря, признак выполняется и в другую сторону, т.е. справедливо

Утверждение. Если делится на , то

при , делится на ,

а при , делятся на .

Помимо обобщения и обоснования признака делимости для определения содержания творческой работы был выполнен анализ нескольких творческих работ по теме “Признаки делимости на 11”, выполненных учащимися 6 -7 классов гимназии “Универс” г. Красноярска. Анализ работ показал, что шестиклассники могут провести исследование и вывести признаки делимости на 11 для двузначных, трехзначных, четырехзначных чисел, например, анализируя числа: 121, 484, 308, 616, 242, 209. Также они могут обобщить полученные признаки для чисел с большим количеством знаков. При этом, ребенок, проводя исследование, двигается путем эмпирического обобщения. Было выделено, что обосновать признаки делимости для двухзначных, трехзначных чисел дети могут посредством полного перебора. Нам кажется, что доказательство признаков в общем виде от шестиклассников требовать еще преждевременно, потому, что оно опирается на позиционную запись числа, которая им еще не известна. Однако нужно отметить, что в работах детей, обучавшихся в шестом классе по курсу “Начала алгебры”, где вводится позиционная запись числа, мы обнаружили попытки обоснования признаков в общем виде. Поэтому у нас появилась гипотеза, что если ввести форму записи числа в общем виде, которая используется в доказательстве признаков, то дети освоив ее и идею доказательства, смогут перенести их на числа с большим количеством знаков.

Таким образом, материалом для творческой работы доступным шестикласснику может являться вид записи числа, а содержанием вывод признака делимости на 11, обоснование его полным перебором, освоение идеи доказательства и перенос на числа с большим числом знаков.

Преимуществом данной творческой работы является то, что она может быть продолжена и в более старших классах, возможность этого продолжения связана с возможностью обобщения признака в произвольной системе счисления.

2.1.2 Характеристика творческой тетради

Разработанная нами творческая тетрадь состоит из двух частей:

1. Вводная часть, содержащая задачи, привлекающие внимание ребенка к проблеме.

2. Основная часть:

· Исследовательская часть, посвященная выводу правдоподобных утверждений, т.е. выдвижению гипотез, их подтверждению и опровержению.

· Часть, посвященная обоснованию выведенных утверждений.

Тетрадь выполняет функции:

1. Обеспечение эмпирического исследования.

2. Введения нормативного языка описания процесса исследования и его результатов.

3. Обеспечение условий для осознания возникновения необходимости идеи доказательства (ее частичного освоения).

2.1.2.1 Структура творческой тетради

Вводная часть тетради содержит четыре задачи. Две задачи связаны с делимостью чисел на 5, решить которые шестиклассник может либо при помощи непосредственного деления чисел, либо при помощи известного ему признака делимости на 5. Оставшиеся задачи связаны с делимостью чисел на 11, которые он может решить уже только одним способом, используя непосредственное деление чисел. При этом ребенку предлагается оценить способы решения задач, выделить более простой способ решения, определить дефицит своих знаний. Таким образом, вводная часть тетради привлекает внимание ребенка к проблеме, приводит к постановке задачи, которую он будет решать в процессе работы с тетрадью. В принципе, эту часть можно опустить.

Остановимся подробнее на структуре основной части. Исследовательская часть тетради представлена заданиями, выполняя которые ребенок проходит все этапы исследования: наблюдение, выделение свойств объекта; выдвижение гипотез и проверка их правдоподобности, записывая результаты в виде гипотез (догадок) и теорем (признаков). При этом ребенку сначала предлагается сформулировать признаки делимости для двузначных, трехзначных чисел, и затем перенести эти признаки на числа с большим количеством знаков. Таким образом, выполняя предложенные в тетради задания, ребенок двигается путем эмпирических обобщений.

Важную роль в исследовательской части тетради играют ловушки. Они создают интригу движения в материале, приводят к пониманию того, что утверждения нуждаются в обосновании и доказательстве. Ловушки представляют собой специальным образом представленный материал, провоцирующий и обнаруживающий формальный перенос признака на более широкий класс чисел. Ряд ловушек был выделен в результате анализа детских творческих работ по данной теме. Например, на стр. 4 творческой тетради [9 или приложения 2], ловушка, провоцирует ребенка на перенос признака делимости на 11 для двузначных чисел на трехзначные: “Верно ли, что трехзначное число делится на 11, если оно записывается одинаковыми цифрами?” При попадании в эту ловушку ребенку предлагается проверить выдвинутое им предположение на числах посредством деления. Однако, выполняя проверку, ребенок может попасть еще в одну ловушку. Среди чисел, предложенных для проверки, встретятся: 484, 242, 121, 535, 636, имеющие, с первого взгляда общий вид: крайние цифры этих чисел равны. При этом первые три числа делятся на 11, из этого ребенок может предположить, что числа, имеющие такой вид, а значит и числа 535, 636, делятся на 11. Однако это не так, и проверив их, ребенок убедиться в этом. Еще одна ловушка, задуманная в тетради (смотри стр.5 [9]), провоцирует ребенка на то, чтобы он догадку, выдвинутую для части трехзначных чисел, без обоснования принял в качестве признака делимости для всех трехзначных чисел. Попав в эту ловушку, ребенку, в который раз придется проверить выдвинутое им предположение при помощи деления. Подчеркнем, что цель ловушек состоит в том, чтобы ребенок осознал необходимость обоснования своих гипотез.

Осознав необходимость обоснования, учащийся может на начальном этапе обосновать свою гипотезу о делимости только одним способом - полным перебором чисел. Таким способом ему и предлагается обосновать гипотезу о делимости трехзначных чисел на 11 (смотри стр. 7 - 8 [9]). Далее ребенок сталкивается с тем, что доказательство полным перебором становится трудоемким, в связи с увеличением количества чисел, которые придется проверять. Трудоемкость провоцирует желание найти другой способ обоснования. Таким образом, создаются условия для того, чтобы у ребенка возникло желание и необходимость в другом способе доказательства.

Освоение идеи доказательства признака для всех чисел требует от ребенка знания позиционной записи числа, которое, как правило, ему еще не известно, если он не обучается по специальной программе развивающего обучения. Поэтому встает необходимость введения нового материала (см. стр. 11 творческой тетради [9]). Идея обоснования признака в общем виде (для всех чисел) вводится на примере признаков, истинность которых уже известна, т.е. признаков для двухзначных и трехзначных чисел. Задача учащегося - перенести этот способ на числа с большим количеством знаков. Необходимо отметить, что по мере продвижения по творческой тетради постепенно увеличивается число действий, которые должен ребенок провести самостоятельно.

Творческая тетрадь содержит два типа текстов:

· Описывающих образ действий (схема описания этапов исследования).

· Описывающих идею доказательства.

Разработка тетради преследовала несколько целей, поэтому мы получили сложную структуру тетради. Итак, сначала происходит работа со словесной формулировкой в процессе вывода гипотез для двузначных и трехзначных чисел, обнаруживается необходимость в обосновании; на следующем этапе вводятся общепринятые термины для описания процесса исследования (гипотеза, обоснование); далее выводится признак для четырехзначных чисел, при этом уже используется введенная терминология. На следующем этапе проблематизируется обоснование полным перебором и последний этап представлен введением идеи доказательства и переносом его на доказательства признаков для чисел с большим количеством знаков.

2.1.2.2 Особенности оформления

Вторая задача, которая стояла перед автором - разработка оформления тетради. Необходимо было разработать форму предъявления заданий, форму для обратной связи (того, что пишут дети) и структуру страницы.

Первоначально мы придерживались способу оформления принятому для рабочих тетрадей [14, 17]. Тетрадь представляла собой сборник пронумерованных заданий, имеющих прямую формулировку, а также места для записи решений, представленных в виде пустых мест [см. приложение 1]. Однако монотонная, “скучная” тетрадь не вызывает интерес, ребенок не воспринимает ее как занимательную. Кроме этого, недостатком такой тетради являлась прямая формулировка заданий, взятая из рабочих тетрадей, которая приводит ребенка лишь к исполнительским действиям, и не вызывая у него своих вопросов, не представленных автором. Поэтому необходимо было переоформить тетрадь.

Таким образом, была разработана особая форма тетради, привлекающая к себе интерес, как со стороны ребенка, так и со стороны взрослого, позволяющая удерживать интерес к материалу при работе с ней; а также, которая, решает проблемы, связанные с представлением культурных норм оформления творческой работы.

А именно, в творческой тетради задания оформлены в виде вопросов или особым образом организованного материала (красочных схем), провоцирующего ребенка на вопрос (см. стр. 6, 9 творческой тетради[9]).

Так как тетрадь должна решать проблемы связанные с нормотивным представлением результатов, то были введены тексты с “пробелами”, в которых был задан образец оформления утверждений.

Все ключевые места в тетради выделены в рамочку и отмечены восклицательным знаком, который обозначает, что на это необходимо обратить внимание. Также специальным образом выделены задания (звезда и солнышко), которые ребенок может захотеть выполнить самостоятельно.

Особое внимание было уделено организации страницы. Для усиления свободы оперирования с тетрадью, материал скомпонован таким образом, чтобы содержание каждой страницы было логически завершенным, каждая страница заканчивалась некоторым утверждением, подводящим итог какого-либо из этапов исследования. Это позволяет начинать работу с тетрадью, практически с любой страницы, но не отменяет необходимости возвращения к началу.

2.1.2.3 Действия детей с материалом тетради

Процесс работы ребенка с тетрадью требует от него выполнения разных действий с материалом. Ему приходится не только применять имеющиеся у него знания, но также осваивать новые.

Работа ребенка с введением тетради требует от него решения задач, проверки правильности и анализа полученных решений. Работа в тетради посвящена проведению исследования, поэтому действия связаны с проведением этапов этого исследования. Этап наблюдения и выделения свойств объектов, связан с анализом чисел. Однако, если в начале тетради некоторые из чисел, анализ которых необходимо выполнить даны в готовом виде, то далее ребенку уже приходится самому их находить, например, посредством умножения. На этапе проверки и обоснования гипотез возможно применение уже выведенных утверждений. В процессе работы с тетрадью происходит введение новых терминов и знаковых средств, при помощи текста, который ребенку необходимо понять и научиться использовать в процессе работы с тетрадью.

2.1.3 Анализ результатов апробации творческой тетради

Творческая тетрадь прошла апробацию, в которой принимали участие учителя и учащиеся шестых классов. Основными местами для апробации детьми явилась средняя общеобразовательная школа № 14 г. Назарово, а учителями семинар института психологии и педагогики развития (ИППР) г. Красноярска. В результате работы с тетрадью детьми было проведено исследование и выведен признак делимости на 11 для произвольного натурального числа, который был ими доказан для четырехзначных и пятизначных чисел. Итоги работы были представлены детьми в виде докладов на отчетном занятии, на которое были приглашены их одноклассники.

При работе с тетрадью у детей было отмечено эмоциональное отношение к материалу, что свидетельствует о том, что тетрадь действительно заинтересовывает детей.

В процессе работы детей с тетрадью было отмечено, что они попадали в запроектированные нами ловушки. Из этого можно сделать вывод, что, проводя исследование, ребенок действительно двигается путем эмпирических обобщений. Также эмпирический характер исследования подтверждается тем, что дети выводя признаки делимости, опирались при этом на математическую запись имеющихся признаков. Это подтвердило нашу гипотезу о способе движения ребенка.

Также можно отметить высокую степень самостоятельности детей во время проведения исследования, участие учителя при работе ребенка с тетрадью определялось его помощью при оформлении мыслей, а также организацией коммуникации между детьми во время работы.

Было подтверждено наше предположение, связанное с возможностью возникновения у детей в процессе работы с тетрадью своих вопросов, задач. Так в процессе работы с тетрадью у детей кроме гипотез, логика дальнейшего исследования которых заложена в тетради, была получена гипотеза, которая не была учтена при разработке тетради. Ребенком была предложена догадка о делимости на 11 трехзначных чисел:

Пусть - произвольное трехзначное число. Если делится на 11, то делится на 11.

Данная гипотеза верна для всех трехзначных чисел, и может быть обобщена для чисел с большим количеством знаков. Таким образом, тетрадь может являться источником нового детского исследования.

Также в процессе работы с тетрадью детьми были решены свои задачи, не сформулированные в тетради. Например, при обосновании гипотезы для трехзначных чисел полным перебором, детьми был обнаружен способ выделения трехзначных чисел делящихся на 11 среди всех остальных: отметем первое число, делящееся на 11, каждое следующее число, которое делится на 11, будет стоять на каждом одиннадцатом месте в ряду всех трехзначных чисел. Еще был определен способ нахождения числа всех трехзначных чисел без их полного пересчета: необходимо посчитать, сколько чисел делящихся на 11 находится между 101 и 200, а их получается 9 и умножить на количество сотен среди трехзначных чисел, которых тоже 9; получаем, что число трехзначных чисел делящихся на 11 равно 81.

Учителям в на семинаре, посвященном детским творческим работам, была предложена работа с тетрадью. Одним из заданий было: поработать с тетрадью с позиции ребенка, после чего попробовать выделить ловушки, заложенные в материале, и структуру тетради. Учителя довольно легко справились с заданием, ими были выделены все ловушки, а также адекватно определена структура тетради. Таким образом, наша цель - прозрачность структуры для учителя также была достигнута. У учителей появился интерес к использованию творческой тетради при работе с детьми, это значит, что учителя видят в тетради методическое средство, которое способствует выполнению творческих работ детьми.

В процессе работы с тетрадью была обнаружена творческая активность учителей, в процессе работы с тетрадью у них появилась новая задача, выделенная из материала тетради: определить способ нахождения по виду числа , сомножителя числу 11 при получении данного трехзначного числа. При решении этой задачи ими была замечена закономерность для трехзначных чисел, у которых сумма крайних цифр числа равна средней: сомножитель числу 11 при нахождении числа равен числу . Это говорит о том, что творческий характер тетради может также проявляться в процессе работы с ней учителя.

Результатом апробации творческой тетради явился заказ от учителей на создание методики работы с творческой тетрадью.

Таким образом, в процессе апробации были подтверждены наши гипотезы, а именно:

· Об эмпирическом характере обобщений.

· О форме предъявления заданий, провоцирующих собственные вопросы детей.

· О том, что логика изложения исследовательской задачи служит методическим средством для учителя.

2.1.4 Методическое обеспечение работы учителя с творческой тетрадью

2.1.4.1 Методические рекомендации

Данный пункт представляет собой готовые методические рекомендации по работе с творческой тетрадью. Рекомендации представлены в виде ограничений действий учителя, как учитель может помогать учащемуся при работе с тетрадью.

В процессе апробации были выделены формы работы с творческой тетрадью: индивидуальная и групповая, соответственно разработано два варианта рекомендаций.

Индивидуальная работа

Учитель предлагает ребенку самостоятельно заполнить тетрадь, после чего встретится на консультации. Консультации происходят в форме свободной беседы с учеником, в процессе которой происходит обсуждение того, что ему удалось сделать, и что вызвало у него трудности.

Работа с тетрадью начинается с выполнения заданий предложенных во введении. Учитель может регулировать количество решаемых задач в зависимости от возможностей и желания ребенка, но ни в коем случае учитель не должен решать задачи вместо ребенка, а также объяснять ему их решения. Не обязательно решать все четыре задачи, пусть ребенок решит одну задачу с делимостью на 5, а другую с делимостью на 11. Этого ему хватит, чтобы ответить на предложенные во введении вопросы. Также может возникнуть такая ситуация, что ребенок захочет начать работу сразу с исследования, не выполняя задания из введения. В этом случае нельзя запрещать ему этого делать, к задачам из введения он сможет вернуться позже.

Далее начинается работа с основной частью тетради (Приложение 2), в которой можно выделить несколько ключевых этапов:

1. Гипостазирование (стр. 4 -6).

2. Проблематизация способа обоснования (стр. 7, 8, 10 - 12).

3. Введение культурного языка (стр. 9).

4. Обобщение (стр. 13 -15).

Гипостазирование. В начале этого этапа необходимо договориться с ребенком о способе работы с тетрадью:

· Выделить в материале “порции”, например, две - три страницы тетради, с которыми ребенок будет работать в промежутках между встречами с учителем.

· Договориться с ребенком о ведении записей в тетради. Например, для работы иметь два экземпляра творческой тетради: чтобы с одной ребенок работал дома и записывал в нее, как сможет, появляющиеся идеи, а вторую тетрадь использовать во время работы с учителем для записи уже обоснованных мыслей. Либо, договориться, чтобы в процессе самостоятельной работы записи в тетради ребенок делал карандашом или в “месте для твоих мыслей”, а окончательную запись делать в тетради ручкой в процессе работы с учителем.

Работая с тетрадью, учитель должен постоянно обращать ребенка к вопросам и к выбору, которые содержатся в тетради. Все гипотезы и ответы на вопросы должны быть обязательно оформлены. Однако если ребенок не может пока объяснить свой выбор или ответ, не нужно его торопить или отвечать вместо него; можно пока оставить место для ответа не заполненным, а спустя некоторое время вернуть к нему ребенка. Нельзя игнорировать мысли, высказываемые ребенком, а также останавливать его рассуждения, тем самым, прерывая инициативу, даже если они неверные. Необходимо обращать внимание ребенка на дополнительные сведения, которые предлагаются в тетради и являются важными для дальнейшей работы. Также нужно обратить внимание ребенка на форму записи догадки: “Число делится на 11, если …” и обсудить на что нужно ПОСМОТРЕТЬ в задании, чтобы сформулировать ее. Если для выделения догадки ребенку не хватает числового материала, то, в зависимости от его возможностей, либо дать ему этот материал, либо обсудить способ получения материала, чтобы он сам смог его найти.