В ходе обсуждения этой задачи предлагаются различные варианты её решения, которые проверяются опытными путями, например, скрепить две вершины четырехугольника планкой по диагонали, соединить планкой середины двух противоположных сторон и т. д.

Убедившись на опыте в разумности сделанных предложений, учащихся приходят к необходимости обосновать тот или иней способ «наведения жесткости». С помощью учителя они приходят к возможности провести это обоснование, переформулировать задачу в виде соответствующей задачи на построение. Роли по заданным элементам можно построить единственную фигуру, то её модель будет жёсткой.

Возможность сведения конкретной задачи, определённой на модели, к решению абстрактной геометрической задачи на построение реализует одну из важнейших воспитывающих функций геометрических задач: связь обучения математике с жизнью, т.е. показывает реальное происхождение математических абстракций.

Учитывая «свойство жесткости» треугольника первое из вышеназванных решений обосновывается достаточно просто. Однако обоснование второго пути решения задачи не столь очевидно. Возникает уже чисто геометрическая абстрактная задача.

Задача 2. Построить 4-х угольник АВСД, зная длину его сторон и длину отрезка MN, соединяющего середины сторон АВ и ДС.

Допустим, что искомый 4-х угольник АВСД построен (рис. 3а). Выполним параллельный перенос (ДN) стороны ДА и || перенос (CN) стороны СВ, теперь из точки исходят 3 отрезка А₁N, MN, NВ₁ известной длины.

Нетрудно показать, что точка М является серединой АВ₁. В самом деле, длины отрезков АА₁ и ВВ₁ равны 1/2ДС, а сами отрезки || ДС.

Поэтому четырехугольник А₁АВ₁В является параллелограммом. Точка М -- середина его диагонали АВ. Поэтому М принадлежит диагонали А₁В₁ и является ее серединой.

Итак, в NA₁B₁ известны стороны NA₁, В₁N и заключённая между ними медиана. Для того, чтобы построить этот треугольник, отметим точку N₁, симметрично относительно М. Очевидно, |АN| = |В₁N|.

Треугольник N₁NA₁ можно построить по трем известным сторонам: |NA₁| = |ДА|, |A₁N₁| = |В₁N| = |CB| и |NM₁| = 2|NM|.

Теперь построим искомый четырехугольник. Делим отрезок N₁N точкой М на два конгруэнтных отрезка, строим точку В₁, симметричную А₁ относительно М. По трем сторонам построим треугольники А₁МА и МВВ₁. Перенеся отрезок А₁А на вектор А₁N, а отрезок ВВ₁ на вектор В₁N, подучим все четыре вершины искомого 4-х угольника АВСД. Нетрудно показать единственность решения задачи.

Усилению развивающих функций задачи способствует последующая постановка задач-аналогов, при решении которых используется некоторый(один и тот же) прием, основанный на применении определённого метода. Так как параллельный перенос элементов фигуры(АС) приводит к построению вспомогательного четырехугольника СВВ₁Д₁ с весьма интересными свойствами.

Например, 4_х угольник ДД₁В₁В -- параллелограмм, стороны которого конгруэнтны диагоналям 4-х угольника АВСД, в углы конгруэнтны углами между этими диагоналями; длины диагоналей ДД₁В₁В вдвое больше длин отрезков, соединяющих середины противоположных сторон АВСД; расстояния от точки С до вершин этого параллелограмма равны соответственно длинам сторон 4-х угольника АВСД и т.д.

Многие в этих свойств позволяют решить задачи, аналогичные исходной, создают условия для распространения определенного приема на целый класс задач, способствуя, т.о., формированию у учащихся способностей к обобщению (через анализ).

Таковы, например, следующие задачи:

Задача 3. В четырехугольнике АВСД известны длина отрезка М, соединяющего середины сторон АВ и СД, длина диагонали АС и длины сторон АВ, ВС и АД.

Является ли данная фигура жесткой?

Задача 4. Построить трапецию АВСД по данным диагоналям АС, ВД, стороне АД и отрезу МN, соединяющему середины её оснований.

Рассмотрение этого примера показывает, как достаточно широко можно использовать обучающие, развивающие и воспитывающие функции задач в их единстве. В самом деле, в ходе решения этих задач используются различные свойства геометрических фигур, активно работает метод параллельного переноса и прием построения вспомогательной фигуры с весьма интересными свойствами, тесно связанными со свойствами заданной (искомой) фигуры (реализуются различные развивающие функции), задача легко моделируется (дотекает опытные решения), возбуждает интерес школьников (реализуются воспитывающие функции). Задача такова, что может служить источником разнообразных аналогичных задач, многие из которых как показал опыт, успешно составляются самими школьниками, что способствует формированию у них творческой активности.

Опыт показывает, что успешность в реализации воспитывающих функций математических задач во многом определяется пробуждением у учащихся интереса к данной задаче, возникновением у них устойчивой потребности в её решении, наличием интереса к самому процессу решения задач на основе последнего часто возбуждается и формируется интерес учащихся к изучению самой математики и смежных учебных дисциплин, интерес к учению в целом.

Факторы, существенно влияющие на формирование у учащихся устойчивого интереса к решению математических задач, весьма разнообразны. К ним, например, относится доступность предложенной задачи, внешняя или внутренняя занимательность задачи, осознанная возможность проявить при этом творческую самостоятельность.

Глава III. Описание и результаты эксперимента.

Перед проведением уроков по обобщающему повторению в обоих классах была проведена самостоятельная работа с целью узнать их уровень знаний.

Проверочная самостоятельная работа.

Через точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AD и BC в точках Е и F соответственно. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 28 см, АЕ = 5 см, ВF = 3 см. [1. Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекаются в т. М лежащей на стороне ВС. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 36 см.]

Найдите меньшую боковую сторону прямоугольной трапеции, основания которой равны 10 см и 6 см, а один из углов 45^о [2. Найдите боковую сторону равнобедренной трапеции, основания которой равны 12 см и 6 см, а один из углов 60^о]

Самостоятельная показала, что знания у учеников в обоих классах разрозненные, решают задания очень медленно. Оценки по самостоятельной работе низкие. (Это показано на графике.)

После самостоятельной работы, используя таблицу темы: «Четырехугольники», которая приведена в методическом пособии по геометрии (Гудвин и Гангнус ч.1). Перед учащимися можно поставить ряд вопросов, ответы на которые ученики не найдут в готовой форме в учебнике, а должны поработать головой, чтобы дать их.

Приведём некоторые вопросы, которые ставятся нами перед учащимися:

Как из равнобедренной трапеции получить квадрат? Какие дополнительные условия необходимы для этого?

Ответ учащихся: равенство боковых сторон сохранится. В равнобедренной трапеции боковые стороны сделаем перпендикулярными к основаниям трапеции. Тогда получим прямоугольник. Так как в квадрате смежные стороны равны, то в полученном прямоугольнике смежные стороны сделаем равными, получим искомый квадрат.

Как из параллелограмма получить квадрат?

Как трапецию обратить в ромб?

Являясь параллелограммом, ромб имеет свои обычные свойства. Перечислите их. Тоже о квадрате.

Перечислите , какими свойствами параллелограмма обладает ромб? Квадрат? Прямоугольник? И т.д.

Наряду с использованием указанной таблицы перед учащимися были поставлены вопросы: в каком четырехугольнике:

Диагональ делит его на два равных треугольника?

Диагонали пересекаются в одной точке и делятся пополам?

Диагонали являются биссектрисами внутренних углов?

Диагонали взаимно перпендикулярны?

Диагонали служат осями симметрии?

Учащиеся должны были дать не только ответы на вопросы, но каждый ответ обосновать, ссылаясь на изученные теоремы.

Ответ считали малоценным, если он перечислял без системы отдельные виды четырехугольников, в которых диагонали обладают требуемым свойством. Так если на вопрос: «В каких четырехугольниках диагонали пересекаясь делятся пополам? »

Ученик отвечал: «Диагонали, пересекаются в одной точке, делятся пополам в параллелограмме, ромбе, квадрате ».

Не перебивая его давали возможность ученику высказаться, но по окончанию ответа ставили вопрос: «Следует ли для ответа на поставленный вопрос перечислять все виды четырехугольников? Нельзя ли дать полный и исчерпывающий ответ, но в более короткой формулировке? »

Если ученик затрудняется ответить на эти вопросы, перед ним ставились дополнительные вопросы: «Является ли прямоугольник параллелограммом? Почему?»

Подобные вопросы ставились и по отношению к ромбу и квадрату.

Следовательно, можно ли утверждать, что прямоугольник, квадрат, ромб -- есть параллелограмм?

После этого учащимся не составляло затруднений дать такой ответ:

«Диагонали, пересекаются и точкой пересечения делятся пополам в параллелограммах».

Если учащихся давали сразу исчерпывающий ответ и при том в краткой форме, мы давали дополнительные вопросы с целью выяснить, на сколько сознательно усвоен материал.

Так если на вопрос: «В каком четырехугольнике диагональ делит его на два равных треугольника?»

Следовал ответ: «Диагональ делит четырехугольник на два равных треугольника в том случае, если он параллелограмм», то ученику ставился вопрос: «А в прямоугольнике, квадрате, ромбе диагональ не обладает тем же свойством?»

«Прямоугольник, квадрат, ромб -- это параллелограммы, но каждый с особыми свойствами. Поэтому, когда говорил о параллелограмме, говорил и о них», -- отвечал ученик.

Подобные ответы мы считали наиболее ценными, так как они показывают, что ученик действительно поработал сам над данным ему заданием, что материал не зазубрил, а усвоил сознательно.

Однако таких ответов было очень мало. Тогда в одном из классов (8^б) было проведено обобщающее повторение. А в 8^г была пройдена тема «четырехугольники» и закреплена. После всего этого была проведена контрольная работа.

Контрольная работа. (1ч.)

Диагонали прямоугольника АВСД пересекаются в точке О. Найдите угол между диагоналями, если АВО = 30^о [1. Диагонали ромба КМНР пересекаются в точке О. Найдите углы треугольника КОМ, если угол МНР = 80^о].

В параллелограмме КМНР проведена биссектриса угла МКР, которая пересекает сторону МН в точке Е.

а) Докажите, что треугольник КМЕ равнобедренный.

б) Найдите сторону КР, если МЕ = 10 см, а периметр параллелограмма = 52 см. [2. На стороне ВС параллелограмма АВСД взята точка М так, что АВ=ВМ. а) Докажите, что АМ -- биссектриса угла ВАД. б) Найдите периметр параллелограмма, если СД=8 см, а СМ = 4 см].

Результаты контрольной работы можно показать диаграммой.

Проведённый эксперимент показывает, что класс, в котором было проведено обобщающее повторение, легко работает с материалом, быстро решает задачи, может ответить на любой дополнительный вопрос, пояснить, что и как решается, обосновать свой ответ.

Эффективность обобщающего повторения заметна сразу.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Преподавание математики не может стоять на должном уровне, а знания учащихся не будут достаточно полными и прочными, если в работе учителя отсутствует система повторительно-обобщающих уроков.

Это объясняется психологическими особенностями процесса познания и свойств памяти. Только постоянное в определенной системе осуществляемое включение новых знаний в систему прежних знаний может обеспечить достаточно высокое качество усвоения предмета. Только через повторение можно приходить к логическим выводам. Без повторения невозможно, раскрыть сущность вещей и явлений, их развитие. Не даром говорят: «Повторение -- мать учения».

2. Повторение математики необходимо как для учащихся с целью углубления, упрочнены и систематизации своих знания, так и для самого учителя в чётности совершенствование методов обучения и поднятия эффективности своей работы.

3. Повторение математики должно систематически проводиться на уроках, органически сочетаясь с основным содержанием урока.

При сообщении нового материала одновременно надо повторять ранее изучаемый материал. Учащиеся должны чувствовать потребность к повторений. Это достигается тем, что при изучении нового материала учитель сравнивает его, сопоставляет со старым, устанавливает аналогии между ними, проводит обобщение, углубление и систематизацию.

4. Перед началом учебного года или четверти необходимо тщательно спланировать материал для повторения, указать виды повторения, через которое оно может проводится, т.е. устанавливается, какой материал будет проводится параллельно с изучением новой темы и какой на специально отведенных уроках повторения.

5. Необходимо систематически практиковать текущее повторение. Необходимо и тематическое повторение по окончании темы, заключительное -- по окончании раздела, курса в целом, на которых устанавливаются более широкие логические связи между темами и разделами, подчеркиваются те основные и ведущие идеи, которые лежат в основе данной учебной дисциплины.

6. Для повышения интереса и активности учащихся при повторении необходимо применять различные приемы и методы работы, разнообразить повторяемый материал, старый материал рассмотреть с новых точек зрения, устанавливать все новые и новые логические связи, стимулировать самостоятельную работу учащихся.

Только таким путём можно устранить то противоречие, которое возникает, с одной стороны, ввиду отсутствия желания у части учащихся повторять то, что ими усвоено однажды, а с другой в силу необходимости повторять с целью углубления, обобщения и систематизации ранее изученного материала.

7. Необходима хорошо продуманная теоретическая и практически обоснованная система повторения, которая должна обеспечить высокое качество и прочность знаний учащихся. Только в этом случае преподаватель достигает тех целей, которые он преследует повторением.

8. Необходимо тщательно проанализировать теорию и практику повторения с целью установления положительных и отрицательных сторон работы школ при повторении.

Повторение учебного материала требует от учителя творческой работы. Он должен обеспечить четкую связь между видами повторения, осуществить глубоко продуманную систему повторения.

Овладеть искусством организации повторения -- такова задача учителя, от её решения во многом зависит прочность знаний учащихся.

БИБЛИОГРАФИЯ

Школьный факультатив по математике. Межвузовский сборник. Издательство Саратовского педагогического института 1993.

Эрдниев П.М. Обучать математике активно, творчески, экономно. «Народное образование», 1962.

Эрдниев П.М. Сравнение и обобщение при обучении математике, М. Учпедгиз, 1960.

Фёдоров И.Г. Некоторые методологические проблемы математики. М. 1975.