В процессе обучения математике важное место отводится организации повторения изученного материала. Необходимость повторения обусловлена задачами обучения, требующими прочного и сознательного овладения ими.

Указывая на важность процесса повторения изученного материала, современные исследователи показали значительную роль при этом таких дидактических приёмов, как сравнение, классификация, анализ, синтез, обобщение, содействующее интенсивному протеканию процесса запоминания. При этом вырабатывается гибкость, подвижность ума, обобщённость знаний.

В процессе повторения память у учащихся развивается. Эмоциональная память опирается на наглядно-образные процессы, постепенно уступает памяти с логическими процессами мышления, которая основана на умении устанавливать связи между известными и неизвестными компонентами, сопоставлять абстрактный материал, классифицировать его, обосновывать свои высказывания.

Повторение учебного материала по математике осуществляется во всей системе учебного процесса: при актуализации знаний -- на этапе подготовки и изучения нового материала, при формировании учителем новых понятий, при закреплении изученного ранее, при организации самостоятельных работ различных видов, при проверке знаний учащихся.

Необходимость повторения изученного ранее материала вызвано самой структурой программы учебного курса математики. Например, учащиеся проходят по учебной программе тему: «Четырёхугольники» в 8 классе, но пользуются ей в 10---11 классах при изучении темы: «Поверхность тел вращения», «Площадь поверхности», «Объёмы тел» и др. Школьная программа устроена так, что, не повторяя ранее изученного материала, трудно понять новый. Поэтому повторение пройденного материала необходимо учащимся. На практике чувствуется важность и полезность обобщающего повторения. Обобщающие уроки являются итогом большой работы учащихся по повторению, оказывают им практическую помощь в подготовке к экзаменам. Отзывы восьмиклассников об этих уроках, их осознанные, логически правильные ответы, с правильным использованием символической записи, умением применять теоретические знания при решении задач говорят о большой эффективности такого повторения.

Литературы по организации повторения не хватает. Важность обобщающего повторения и методических разработок определяют актуальность этой проблемы.

Проблема заключается в изучении влияния обобщающего повторения на качество знаний учащихся.

В связи с возникшей проблемой выдвигается гипотеза: предлагаемая методика обобщающего повторения способствует повышению качества знаний учащихся.

Объектом является учебно-воспитательный процесс в периоды повторения пройденного материала.

Предметом служит обобщающее повторение на уроках математики в 8 классе.

Для решения проблемы необходимо решить задачи:

Изучить научно-педагогический материал по психологии, по математике, по методике преподавания.

Изучить состояние обобщающего повторения в процессе работы, практику работы учителей, то есть, опыт их работы.

Проанализировать виды обобщающего повторения.

Разработать содержание и метод приёмов на примере темы: «Четырехугольники».

Провести экспериментально в средней школе.

§1. Возрастные критерии.

1. Ученик как объект и субъект процесса обучения.

В процессе обучения математике непосредственно участвуют с одной стороны -- учитель, с другой -- ученик. Роли их в этом процессе представляются, по крайней мере на первый взгляд, достаточно ясными: учитель организует, направляет и руководит процессом обучения математике, а ученик должен учиться, выполнять все требования учителя.

Вот как, например, определяется процесс обучения в одном из учебников по педагогике: «Обучением называется двусторонний процесс, состоящий из деятельности учителя, когда он ученикам объясняет, рассказывает, показывает, заставляет их выполнять упражнения, исправляет их ошибки и т.д., и из деятельности учеников, которые под руководством учителя усваивают знания и соответствующие умения и навыки».

Основная роль учителя математики в современных условиях -- это воспитание личности учащихся, формирование их потребностно-мотивационной сферы, воспитание их способностей, нравственных идеалов и убеждений. Обучение знаниям умениям и навыкам по математике является составной частью этого воспитания и тем процессом, в котором это воспитание осуществляется.

2. Возрастные психологические особенности ученика как объекта обучения математике.

О том, что надо учитывать возрастные особенности учащихся, говорится всюду, но не всегда указывается, что это означает, какие особенности надо учитывать и как их надо учитывать. Между тем, надо иметь в виду, что возрастные особенности -- это не нечто неизменное и вечное, что присуще ученикам определённого возраста. Сами эти особенности довольно резко меняются со временем. Скажем, возрастные психологические особенности ученика младшего школьного возраста теперь и лет 30 тому назад совсем не одни и те же. Точно также современный подросток весьма существенно отличается от подростка довоенных лет.

Рассмотрим некоторые психологические особенности современного ученика, имея в виду лишь те его особенности, которые важно учитывать в процессе обучения математике.

Ученик -- это растущий, развивающийся человек. Придя в школу в семь лет, он заканчивает её в 17 лет вполне сложившимся человеком юношеского возраста. За эти десять лет обучения ученик проходит огромный путь физического, психического и социально-нравственного развития.

Подростковый возраст -- это весьма сложный, таящий в себе опасность кризисных явлений, период в жизни ученика. В этот период организм ребёнка претерпевает кардинальные изменения. Развёртывается процесс полового созревания. С этим процессом связано возникновение у подростка физического ощущения собственной взрослости. У него возникает представление о себе уже не как о ребёнке, он стремится быть и считаться взрослым. Отсюда у подростка возникает новая жизненная позиция по отношению к себе, к окружающим людям, к миру. Он становится социально активным, восприимчивым к усвоению норм ценностей и способов поведения, которые существуют среди взрослых.

Поэтому период подросткового возраста характерен тем, что здесь начинается формирование морально-нравственных и социальных установок личности ученика, намечается общая направленность этой личности.

Подросток стремится к активному общению со своими сверстниками, и через это общение он активно познаёт самого себя, овладевает своим поведением, ориентируясь на образцы и идеалы, почерпнутые из книг, кинофильмов, телевидения.

Подросток становится более независимым от взрослых ещё и потому, что у него возникают такие потребности, которые он должен удовлетворить только сам (потребность в общении со сверстниками, в дружбе, в любви). Родители и вообще взрослые при всём их желании не могут решить проблемы, встающие перед подростками в связи с возникновением у них новых потребностей, между тем как удовлетворение всех основных потребностей младших школьников зависит в основном от родителей. Всё это зачастую болезненно сказывается на отношении учащихся к учению. Вот как характеризует это известный психолог Н.С. Лейтес: «Дети 12-13 лет в подавляющем большинстве своём относятся к учению в основном благодушно: не утруждают себя излишними раздумьями, выполняют только уроки в пределах заданного, часто находят поводы для развлечения… Ослабление связи с учителем, снижение его влияния особенно дают о себе знать в недостатках поведения учеников на уроках. Теперь учащихся не только иногда позволяют себе игнорировать получаемые замечания, но могут и активно им противостоять. В средних классах можно столкнутся с изобретательными шалостями и проявлением самого легкомысленного поведения».

Общая картина работы учащихся-подростков на уроках по сравнению с младшими классами ухудшается. Ранее примерные и аккуратные ученики позволяют себе не выполнять задания. Тетради ведутся неряшливо. У многих учащихся меняется подчерк, он становится неразборчивым и небрежным. При решении математических задач многие подростки не проявляют нужной настойчивости и прилежания. Попытки учителя заинтересовать учеников занимательностью формы изложения или какими-либо другими способами зачастую не приносят ожидаемого результата.

В то же время эти же подростки весьма охотно участвуют в работе различных кружков, где, казалось бы, наиболее трудные подростки охотно выполняют все указания взрослого руководителя кружка, с интересом и усердием овладевают теоретическими знаниями, нужными для выполнения практических работ.

Если подростковый возраст есть начало внутреннего перехода ученика от положения объекта обучения и воспитания, которым он был в младшем школьном возрасте, к положению субъекта этого процесса, то в юношеском возрасте ученик становится (во всяком случае, должен становиться) уже подлинным субъектом своей деятельности в учебно-воспитательном процессе.

В то же время ученики ещё сохраняют материальную зависимость от родителей. Главным в их жизни становится подготовка к будущей самостоятельной, взрослой жизни, подготовка к труду, выбор жизненного пути, профессии.

В эти годы особую значимость для учеников приобретает ценностно-ориентационная деятельность. Ученик пытается произвести глубокую самооценку своей личности, своих способностей. Растёт и развивается рефлексия, познавательный интерес к философским проблемам, юноша пытается выяснить смысл жизни; оценить наблюдаемые явления с этой точки зрения.

Особо следует отметить стремление учеников старшего школьного возраста к автономии, к эмоциональной и ценностной самостоятельности, к независимости, к самоуважению, между тем как для подростков характерна зависимость от группы своих сверстников. Подросток весьма податлив влиянию сверстников. Внутренне отойдя от родителей, он ещё не пришёл к своей индивидуальности, которая обретается в юношеском возрасте. Если подростка волнует вопрос: «Неужели я не такой, как все?», то юношу: «Неужели я такой, как все?».

Учителю всё это надо иметь в виду и учитывать в своей работе.

3. Мотивация процесса учения.

Выше мы установили, что ученик в процессе обучения математике из объекта этого обучения постепенно становится его субъектом. Что это значит? В чём выражается различие между объектом и субъектом обучения? Ведь в том и в другом случае ученик как-то учится, приобретает знания, умения.

Действительно, и когда ученик является лишь объектом обучения математике, и когда он становится субъектом этого процесса он выполняет задания учителя, решает задачи, повторяет изученный материал и т.д., т.е. он учится. Все различия между учением ученика в роли объекта и его же учением в роли субъекта состоят в том, ради чего он это делает.

Человек, ученик есть деятельное существо. Он всегда что-то делает, участвует в какой-то деятельности. Но ученик участвует во многих различных деятельностях, совершает разные действия. Для того чтобы ученик эффективно учился, он должен совершать не любые действия, а вполне определённые. Встаёт вопрос: почему ученик совершает именно эти действия, а не другие, что побуждает совершать эти действия, что направляет и регулирует его деятельность в процессе обучения? Иными словами, что мотивирует -- побуждает и направляет -- деятельность ученика.

Только разобравшись в этом, мы сможем понять, в чём различия между объектом и субъектом процесса обучения. Кроме того, в этом надо разобраться ещё и потому, а может быть главным образом потому, что учитель должен научиться управлять деятельностью учащихся в процессе обучения, а для этого он должен формировать у них нужную мотивацию. Ведь в противном случае, если этого не делать, становится вполне реальной опасность, о которой говорил В.А.Сухомлинский:

«Все наши замыслы, все поиски и построения превращаются в прах, если нет у учащихся желания учиться.»

Поэтому учитель должен вызвать у учащихся такое желание, а это значит, что он должен формировать у них соответствующую мотивацию.

Что такое мотивация, как она формируется у человека? Под мотивацией понимают обычно совокупность побуждений к деятельности.

Однако когда деятельность уже началась, то она имеет определённую цель. Цель -- это то, чего сознательно хочет достигнуть человек в результате этой деятельности. Но между целью деятельности и её побуждениями не всегда существует полное соответствие. Когда оно имеется, то говорят, что эта деятельность имеет смысл; в противном случае, когда цель деятельности и вызвавшие эту деятельность побуждения не соответствуют друг другу, то говорят, что деятельность не имеет смысла, лишена для данного человека смысла.

Например, ученики решают задачу. Цель у них одна -- научиться решать подобные задачи. Побуждения же могут быть самые различные. Так, одни из них решают задачу потому, что привыкли выполнять требования учителя, у них ещё имеется достаточно стойкая установка на выполнение требований учителя, но некоторые из них, кроме того, хотят получить хорошую отметку, похвалу. Для других главное -- получить хорошую отметку; третьи решают задачу ещё и потому, что их интересует сам процесс решения, он приносит эмоциональное удовольствие; наконец, есть и такие, у которых, кроме перечисленных побуждений, есть ещё и стремление овладеть общим способом решения подобных задач. Возможно, что у некоторых учащихся и другие побуждения.

Однако независимо от мотивов, которые побуждают учащихся решать задачу, объективно эта деятельность направлена на какие-то учебные цели, например, на то, чтобы каждый из них научился решать подобные задачи. Заметим, что сама задача с психологической точки зрения выступает лишь как материал, как средство этой деятельности.

Итак, ученик всегда является объектом деятельности в процессе обучения, а субъектом этой деятельности он становится тогда, когда сознательно принимает объективные цели деятельности за свои личные цели. Очевидно, что в последнем случае обучение является наиболее эффективном, только в этом случае учитель может легко и с удовольствием полностью осуществить цели и задачи обучения.

Учителю необходимо стремиться к тому, чтобы каждый ученик становился субъектом деятельности в процессе обучения. А для этого нужно, чтобы все стороны учебно-воспитательного процесса, его содержание, организация и методы содействовали такому становлению, были прямо направлены на воспитание ученика -- субъекта своей деятельности. К описанию одного из путей построения процесса повторения математики мы и переходим.

§2. Повышение уровня обобщённости изучаемых знаний.

Ушинский воспитывал против механического повторения. "Нет никакой надобности повторять выученное в том порядке, в каком оно было пройдено, а напротив, ещё полезнее повторения случайные, сводящие выученное в новые комбинации", -- говорил он.

Повторение пройденного материала должно стать необходимейшим элементом в преподавании математики, органической и неотъемлемой частью каждого урока.

§2. Виды повторения.

4. Заключительное повторение (организуемое при окончании прохождения большого раздела программы или в конце учебного года).

Цели и время повторения тесно связаны и взаимообусловлены и в свою очередь определяют методы и приемы повторения.

При планировании повторения необходимо отобрать материал, установить последовательность и время повторения, распределить отобранный материал по урокам, установить формы и методы для осуществления повторения, разумеется, надо учитывать и свойство памяти.

Основные требования к организации повторения должны исходить из целей повторения, специфики математики как учебного предмета, её методов.

Первое требование к организации повторения, исходящее из его целей, это определение времени: когда повторять? Оно должно осуществляться по принципу: "Учить новое, повторяя, и повторять, изучая новое" (В. П. Вахтеров).

Это не означает, однако, что нельзя специально отводить уроки для повторения, скажем, для таких вопросов программы, которые трудно увязать с текущим материалом.

План повторения и выбор тем для повторения учитель должен составлять в каждом отдельном случае на основании общих теоретических соображений с учетом того, как усвоен учащимся материал соответствующих разделов.

К сказанному добавим еще то, то характер урока в связи с переходом учащихся из одного класса в другой значительно меняется. В старших классах существенно перестраивается закрепление и повторение учебного материала. Увеличивается объем фактического материалами, выносимого на закрепление и повторение; поурочное закрепление в ряде случаев переходит и тематическое или перерастает в обобщающее повторение, увеличивается доля самостоятельности учащихся при закреплении и повторении.

Второе требование к организации повторения должно отвечать на вопрос: Что повторять? Исходя из высказываний классиков педагогики, можно выдвинуть следующие положения при отборе учебного материала по различным видам повторения:

1. Не следует повторять все ранее пройденное. Нужно выбрать для повторения наиболее важные вопросы и понятия, вокруг которых группируется учебный материал.

2. Выделять для повторения такие темы и вопросы, которые по трудности своей недостаточно прочно усваиваются.

3. Выделять для повторения надо то, что необходимо обобщить, углубить и систематизировать.

4. Не следует повторять все в одинаковой степени. Повторять основательно надо главное и трудное. При отборе материала для повторения необходимо учитывать степень его связи с вновь изучаемым материалом.

Третье требование к организации повторения математики должно отвечать на вопрос, как повторять, т. е. осветить те методы и приемы, которыми должно осуществляться повторение. Методы и приемы повторения должны находиться в тесной связи с видами повторения.

При повторении необходимо применять различные приемы и методы, сделать повторение интересным путём внесения, как в повторяемый материал, так и в методы изучения некоторых элементов новизны. Только разнообразие методов повторения может устранить те противоречие, которое возникает ввиду отсутствия желания у части учащихся повторять то, что ими усвоено однажды.

Различные виды повторения тесно взаимодействуют; от своевременного и успешного проведения одного из видов повторения, например, тематического или текущего, зависит продолжительность и успешность повторения другого вида -- заключительного повторения или повторения в конце года. Перейдём к краткой характеристике видов повторения.

1. Повторение пройденного в начале года.

При повторении в начале учебного года в первый план должно выдвигаться повторение тем, имеющих прямую связь с новым учебным материалом. Новые знания, приобретаемые на уроке, должны опираться на прочный фундамент уже усвоенных.

При повторении в начале года необходимо наряду с повторением тем, тесно связанных с новым материалом, повторить и другие разделы, которые пока не примыкают к вновь изучаемому материалу. Здесь необходимо сочетать обе задачи: провести общее повторение в порядке обзора основных вопросов из материала прошлых лет и более глубоко повторить вопросы, непосредственно связанные с очередным материалом по программе учебного года.

Само повторение следует проводить как в классе, так и дома. При решении вопроса, какой материал должен быть повторен в классе и какой оставлен учащимся для самостоятельного повторения дома, нужно исходить из особенности материала. Наиболее трудный материал повторили в классе, а менее трудный дали на дом для самостоятельной работы.

2. Текущее повторение пройденного.

Текущее повторение в процессе изучения нового материала -- весьма важный момент в системе повторения. Оно помогает устанавливать органическую связь между новым материалом и ранее пройденным.

Текущее повторение может осуществляться в связи с изучением нового материала. В этом случае повторяется материал, естественно увязывающийся с новым материалом. Повторение здесь входит составной и неотъемлемой частью во вновь изучаемый материал.

Под руководством учителя ученики на уроке воспроизводят ранее изученный ими необходимый материал. В результате этого доказательство новой теоремы воспринимается учащимися легко, а дальнейшая работа учителя -- воспроизведение доказанного и упражнения, обеспечивающие вторичное осмысление теоремы и её закрепление.

Во втором случае все связи с новым материалом, когда повторяемый материал не находит естественной увязки с новым и его приходится повторять на специальных уроках.

При текущем повторении вопросы и упражнения могут быть предложены учащимся из различных разделов программы.

Текущее повторение осуществляется в процессе разбора упражнений, включается в домашнее задание. Оно может быть проведено как в начале или в конце урока, так и во время опроса учащихся.

Текущее повторение дополняется сопутствующим повторением, которое нельзя строго планировать на большой период. Сопутствующее повторение не вносится в календарные планы, для него не выделяется специальное время, но оно является органической частью каждого урока. Сопутствующее повторение зависит от материала, привлекаемого для изучения очередного вопроса, от возможности установить связи между новым и старым, от состояния знаний учащихся в данный момент. Успех сопутствующего повторения в значительной степени обусловливается опытом и находчивостью учителя. Сопутствующим повторением учитель по ходу работы устраняет неточности в знаниях, напоминает вкратце давно пройденное, указывает их связь с новым.

3. Тематическое повторение.

В процессе работы над математическим материалом особенно большое значение приобретает повторение каждой законченной темы или целого раздела курса.

При тематическом повторении систематизируются знания учащихся по теме на завершающем этапе его прохождения или после некоторого перерыва.

Для тематического повторения выделяются специальные уроки, на которых концентрируется и обобщается материал одной какой-нибудь темы.

В процессе работы над темой вопросы, предлагаемые учащимся по каждому разделу, следует вновь пересмотреть; оставить наиболее существенные и отбросить более мелкие. Обобщающий характер вопросов при тематическом повторении отображается и на их количестве. Учителю приходится основной материал темы охватить в меньшем числе вопросов.

Повторение на уроке проводится путём беседы с широким вовлечением учащихся в эту беседу. После этого учащиеся получают задание повторить определённую тему и предупреждаются, что будет проведена контрольная работа.

Контрольная работа по теме должна включать все ее основные вопросы. После выполнения контрольной работы проводится разбор характерных ошибок и организуется повторение для их устранения.

При тематическом повторении полезно составить вопросник, а затем логический план по теме и завершить работу составлением итоговых схем. Таблица или схема экономно и наглядно показывает общее для понятий, входящих в данную тему, их взаимосвязь в логической последовательности.

Процесс составления таблиц в одних случаях, подбор и запись примеров после анализа готовой таблицы в других случаях является одновременно и формами письменных упражнений при обобщающем и систематизирующем повторении.

Последовательное изучение различных особых случаев при повторении весьма полезно закончить их классификацией, что поможет учащимся яснее различить отдельные случаи и группировать их по определенному признаку.

4. Заключительное повторение.

Повторение, проводящееся на завершающем этапе изучения основных вопросов курса математики и осуществляемое в логической связи с изучением учебного материала по данному разделу или курсу в целом, будем называть заключительным повторением.

Цели тематического повторения и заключительного повторения аналогичны, материал повторения (отбор существенного) весьма близок, а приемы повторения в ряде случаев совпадают.

Заключительное повторение учебного материала преследует цели:

1. Обозрение основных понятий, ведущих идей курса соответствующего учебного предмета; напоминания в возможно крупных чертах пройденного пути, эволюции понятий, их развития, их теоретических и практических приложений.

2. Углубления и по возможности расширения знаний учащихся по основным вопросам курса в процессе повторения.

3. Некоторой перестройки и иного подхода к ранее изученному материалу, присоединения к повторному материалу новых знаний, допускаемых программой с целью его углубления.

§3. Содержание и методика обобщающего повторения на примере темы: «Четырехугольники».

Решением одной из важных задач общеобразовательной и профессиональной школы является усиление прикладной направленности обучения. В этой связи важно выработать у учащихся умение при решении конкретных вопросов ориентироваться на существенные свойства объектов и явлений. Большие возможности для формирования такого умения имеются при изучении темы "Четырёхугольники".

Предлагаемый материал представляет большие возможности для организации разных форм коллективной учебно-познавательской деятельности учащихся, формирования их диалектико-материалистического мировоззрения, закладывает фундамент для развитая умения применять геометрические знания при решении вопросов жизненно-практического и производственного характера.

В качестве ведущей идеи берем идею четкого разграничения свойств и признаков параллелограмма и его частных видов.

Прежде всего нужно добиться, чтобы учащиеся научились различать понятия "свойство фигуры" и "признак фигуры". Если дано, что фигура параллелограмм, и исходя из этой посылки доказывают некоторые соотношения между элементами рассматриваемой фигуры, то каждое из этих соотношений называется свойством фигуры, о которой речь идет в условии теоремы.

Например, теорема: "У параллелограмма противоположные стороны равны, противоположные углы равны", кратко может быть записано так:

Дано: АВСД - параллелограмм.

Доказать: 1) АВ = СД; АД = ВС

2) А = С; В = Д

Каждое из соотношений (1), (2) заключения теоремы дает свойство параллелограмма.

В теореме же "Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник -- параллелограмм" указаны соотношения между элементами некоторого четырехугольника (АО=ОС, ВО=ОД) и доказывается, что при их выполнении четырехугольник будет принадлежать к классу параллелограммов (будет являться параллелограммом). В этом случае условия (АО=ОС, ВО=ОД) называют признаками параллелограмма, т. к. при их выполнении мы можем смело утверждать, что четырехугольник, для которого выполняются эти условия, обязательно будет параллелограммом (теорема).

Более глубокого и осознанного усвоения понятий "свойство" и "признак" можно добиться, если связать их с понятиями "необходимое условие", "достаточное условие", "необходимое и достаточное условие".

Сообщаем школьникам, что любая теорема может быть записана в виде АЮВ, где А -- условие теоремы (что дано), а В -- заключение теоремы (что требуется доказать).

Если доказана теорема АЮВ, то А является достаточным для В (как только есть А, то сейчас же будет и В), а В -- необходимо для А, из А неизменно (необходимо) следует В.

Ещё более убедительное обоснование того, почему условие В считается необходимым для А, можно дать, если познакомить учащихся с вопросом о видах теорем и связи между ними. Записываем схему:

(1) АЮВ ВЮА (2)

(3) нет А Ю нет В нет В Ю нет А (4)

Сообщаем, что если утверждение (1) назвать прямым, то утверждение (2) будет к нему обратным, утверждение (3) -- противоположным прямому, а (4)--противоположно обратному. Далее доказывается, что из справедливости утверждения (1) следует справедливость утверждения (4) [(1)Ю(4)] и наоборот, т. е. (4)Ю(1).

Сообщается, что если (1)Ю(4), то утверждения называются эквивалентными. Аналогично эквивалентны утверждения (2) и (3) [(2)Ы(3)].

Словами формулу (1)Ю(4) можно расшифровать так: если из условия А следует (вытекает) условие В, то без в нет и А (из нет в нет А), иными словами В необходимо для А (без В не будет и А).

А далее сообщаем, что необходимое условие дает нам свойство, а если условие не только необходимо, но и достаточно, то получаем признак.

Иными словами, чтобы получить свойство В какого-нибудь объекта А, достаточно доказать теорему АЮВ, а чтобы убедиться, что рассматриваемое свойство В является признаком, следует ещё доказать теорему ВЮА (обратную).

Вместе с учащимися вспоминаем все свойства параллелограмма и составляем таблицу.

Дано: АВСД - параллелограмм

Доказать: 1) АВ || СД

ВС || АД

АВ = СД

ВС = АД

АО = ОС

ВО = ОД

А = С

В = Д

А + В = 180⁰

С + В = 180⁰

С + Д = 180⁰

А + Д = 180⁰

Обращаем внимание на тот факт, что каждое из условий 1-12 вытекает из того, что АВСД -- параллелограмм, следовательно, каждое из них является необходимым условием того, чтобы четырехугольник АВСД был параллелограммом. Легко убедиться, что из каждого из условий 1-12 не следует, что АВСД -- параллелограмм (например, если дано, что АВ II СД, что имеем трапецию, ибо ВС || АД).

Таким образом, каждое из условий 1-12, взятое в отдельности, признаком параллелограмма не является. Теперь начнём комбинировать свойства по два (Сколько таких комбинаций будет? Как сосчитать все комбинации, чтобы быть убеждённым, что ни одна не пропущена?). Убеждаемся, что некоторые из комбинаций дают признак параллелограмма. Какие из комбинаций по два дают известные уже вам признаки параллелограмма? [(1, 2), (1, 3), (2, 4), (5, 6)].

В то же время легко видеть, что не каждая из комбинаций по два дает признак параллелограмма. Например, из того что АВ II СД и ВС = АД следует, что фигура АВСД -- равнобочная трапеция, а не параллелограмм.

Естественно встает вопрос, сколько же всего признаков у параллелограмма? Для ответа на этот вопрос нужно перебрать все возможные комбинации и либо доказать полученную теорему, либо привести пример, опровергающий её (контрпример). Ясно, что эта работа на уроке проделана быть не может. Она может быть дана в качестве индивидуальных заданий на дом хорошо успевающим учащимся, или еще лучше, предложена в качестве коллективной работы кружковцам. Здесь встают интересные вопросы о планировании работы, о разделении труда при решении этой проблемы, об организации самоконтроля и взаимоконтроля, о подведении окончательных итoгoв, т.e. вопросы, возникающие при организации любой трудовой деятельности.

Далее аналогичную работу можно провести по выяснению признаков прямоугольника и ромба. Но этой работе должно предшествовать уточнение определений прямоугольника и ромба. Действительно, достаточно потребовать, чтобы у параллелограмма был один прямой угол, т. к. из условия (АВСД -- параллелограмм; РА=900) следует, что РВ=90⁰, РС=90⁰, РД=90⁰. Для доказательства этого факта достаточно воспользоваться известными свойствами углов параллелограмма.

Аналогично, легко доказать теорему (АВСД -- параллелограмм, АВ=ВСЮАВ=ВС=СД=АД), из которой следует, что ромбом называется параллелограмм, у которого две смежные стороны равны.

Можно не менять привычные учащимся избыточные определения, но обязательно подчеркнуть тот факт, что, чтобы убедиться, что рассматриваемый параллелограмм будет ромбом, достаточно проверить равенство двух смежных сторон, а чтобы убедиться, что он будет прямоугольником, достаточно доказать, что один из его углов прямой.

После этого отмечаем особые свойства диагоналей прямоугольника и ромба и опять ставим вопрос, будут ли эти условия не только необходимыми, но и достаточными, т. е. являются ли эти условия признаками рассматриваемых фигур. Как это проверить? Учащиеся должны сообразить, что для ответа на поставленный вопрос следует сформулировать и доказать теоремы, обратные к теоремам, выражающим свойства диагоналей прямоугольника и ромба.

Запишем одну из этих теорем.

Дано: АВСД - прямоугольник. Доказать: АС=ВД.

Обратное к этой теореме утверждение записывается так:

Дано: в четырёхугольнике АВСД АС=ВД .

Доказать: АВСД -- прямоугольник.

Легко убедиться, что это утверждение несправедливо. Приведите примеры, подтверждающие этот факт. Учащиеся могут вспомнить, что диагонали равны у равнобочной трапеции, или начертить произвольный четырехугольник с равными диагоналями. Таким образом, мы убеждаемся, что равенство диагоналей не выделяет прямоугольник из класса четырехугольников (среди четырёхугольников с равными диагоналями есть и не являющиеся прямоугольниками).

Здесь учитель знакомит учащихся с еще одним способом получения утверждений, обратных данному. Замечает, что условие прямой теоремы может быть разбито на две части.

Дано: 1) АВСД -- параллелограмм.

2)РА=900.

Доказать: АС = ВД.

Если теперь поменять местами заключение и вторую часть условия, то мы получим утверждение:

Дано: АВСД -- параллелограмм

АС=ВД.

Доказать: РА=900.

Это утверждение легко доказать. Докажите самостоятельно.

Если учащиеся затрудняются, то можно "навести" их на мысль, обратив внимание, что РА + РД = 1800 (АВСД -- параллелограмм ). Что осталось теперь доказать? (РА=РД).

Аналогичную работу проводим с установлением признаков ромба, основанных на свойствах его диагоналей. Вспоминаем теорему о свойствах диагоналей ромба.

Дано: АВСД -- ромб.

Доказать: 1) ВД | АС;

2) РВАС =РСАД.

Для этой теоремы можно составить две обратные:

Теорема 1 Теорема 2

Дано: ВД | АС Дано: РВАС = РСАД

Доказать: АВСД -- ромб. Доказать: АВСД -- ромб.

Легко показать, что каждая из этих теорем несправедлива, приведя хотя бы по одному "контрпримеру";

Интересен вопрос. А как можно видоизменить первый чертеж чтобы его можно било использовать одновременно для "опровержения" и теоремы 1 и теоремы 2 (Достаточно взять АО=ОС и тогда РAВД=РДВС.

Используя второй способ образования обратных теорем, с которым учащиеся ознакомлены при установлении признака прямоугольника.

Имеем:

Прямая теорема: Дано:

АВСД -параллелограмм, АВ = ВС.

Доказать: ВД | АС

Обратная теорема:

Дано: АВСД -параллелограмм, ВД | АС.

Доказать: АВ=ВС

Вспоминая уточненное определение ромба, даем такую формулировку обратной теоремы: "Если в параллелограмме диагонали взаимоперпендикулярны, то этот параллелограмм -- ромб".

Схема аналитического рассуждения при отыскании доказательства этой теоремы.

АВСД - ромб

АВСД - параллелограмм АВ=ВС

АВО = СВО АОВ = СОВ

ВД | АС

АО = ОС ВО - общая АОВ = СОВ

АВСД - параллелограмм ВД | АС

Аналогично формулируем второй признак ромба: "Если в параллелограмме диагональ делит угол пополам, то этот параллелограмм -- ромб". Аналитическое рассуждение проводится аналогично.

Схематическая запись доказательства

АВСД -- параллелограмм ЮАД II ВС Ю (Р1 = Р3, Р1 = Р2) Ю

ЮР2 = Р3 Ю (АВ=BС, АВСД - параллелограмм) Ю АВСД -- ромб.

Обобщая полученные результаты, полезно обратить внимание школьников на тот факт, что равенство диагоналей не выделяет прямоугольник из множества всех четырехугольников, но выделяет его из множества параллелограммов, и предложить им самостоятельно сформулировать аналогичные утверждения (их 2!) для ромба.

Для поверки того, владеют ли учащиеся признаками параллелограмма, ставим перед ними следующую проблему:

Как сформулировать признаки прямоугольника и ромба, основанные на свойствах их диагоналей, чтобы они выделяли прямоугольник и ромб из множества всех четырехугольников? Подсказка, если ученики не справляются: условие АВСД -- параллелограмм, каким требованием относительно его диагоналей можно заменить.

Получаем признаки:

1. Если в четырехугольнике диагонали равны и точкой их пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник -- параллелограмм.

2. Если в четырехугольнике диагонали взаимноперпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, то этот четырехугольник -- параллелограмм.

3. Признак формулируем аналогично.

Переходя к выяснению признаков квадрата, подчеркиваем, что квадрат является как частным случаем прямоугольника, так и ромба и следовательно обладает всеми свойствами прямоугольника и всеми свойствами ромба. Ставится проблема: выделить комбинации свойств диагоналей, которые выделяли квадрат из множества прямоугольников, из множества ромбов, их множества параллелограммов, из множества четырехугольников.

Если ученики осмыслили рассмотренный материал о признаках прямоугольника и ромба, то они легко ответят на поставленные вопросы и сформулируют следующие признаки квадрата:

Квадратом является:

Прямоугольник с взаимно-перпендикулярными диагоналями,

Прямоугольник, у которого диагональ делит угол пополам.

Ромб с равными диагоналями.

Параллелограмм, у которого диагонали равны и взаимно-перпендикулярны.

Параллелограмм, у которого диагонали рваны и делят угол пополам.

Четырехугольник, у которого диагонали равны, взаимно-перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам.

После этого можно перейти к решению задач, требующих применения изученных признаков.

Для приведения в систему материала по теме "Параллелограмм и его виды» очень хороша задача: «Определить вид четырехугольника, который получится, если последовательно соединить отрезками прямых середины сторон произвольного четырехугольника».

После доказательства того факта, что полученный четырехугольник будет параллелограммом, ставится вопрос: «Каким должен быть исходный четырехугольник, чтобы полученный оказался прямоугольником, ромбом, квадратом?».

Начертим произвольный четырехугольник.

Найдём середины сторон и изобразим схематично на чертеже равенство отрезков.

Соединим последовательно полученные точки E, F, M, N.

Вопрос: какой четырехугольник получился?

У разных учащихся ответ будет различным: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат. Учитель обращает внимание на то, что прямоугольник, ромб, квадрат -- частные виды параллелограмма, поэтому всем придется доказывать, что четырехугольник EFMN -- параллелограмм.

Дано: АЕ = ЕB, BF=FC, СМ=МД, ДN=NА.

Доказать: EFMN -- параллелограмм.

Проводится анализ:

Вопрос: Для того, чтобы доказать, что EFMN -- параллелограмм, что достаточно доказать?

Ответ; параллельность прямых EF и MN, а также ЕN и MF.

Вопрос: Как можно доказать? (или, если не отвечают: Используя какой признак параллельности прямых можно это доказать?).

Ответ: Первый признак параллельности прямых т.к. в других признаках участвуют углы, а в условии задачи об углах ничего не сказано.

Вопрос: В первом признаке параллельности прямых говорятся о трех прямых. Где взять третью прямую?

Ответ: Соединить точки А и С. Получим два треугольника -- АВС и АДС.

Вопрос: Какое соотношение известно в этих треугольниках? Или: Чем являются ЕF и MN в АВС и АДС?

Ответ; ЕF является средней линией АВС, ибо АЕ = FВ и ВГ = FC, а MN является средней линией АДС, т.к. СМ = МД и ДN = NА.

Вопрос: Какой признак средней линии мы знаем?

Ответ: Средняя линия параллельна основанию.

Вопрос: Какой вывод можно сделать о ЕF и MN?

Ответ: ЕF || АС и МN || АС. Значит, по первому признаку параллельности прямых следует, что ЕF || MN.

Аналогично доказывается, что ЕN || FM.

Проведем так называемый «взгляд назад» и попробуем найти другое решение, более рациональное и короткое.

Вопрос: Как еще можно доказать, что четырехугольник EFMN -- параллелограмм?

Или: Каким признаком параллелограмма можно воспользоваться, чтобы доказать, что четырехугольник EFMN -- параллелограмм?

Ответ: Воспользоваться признаком параллелограмма, который заключается в том, что если в четырехугольнике противоположные стороны попарно параллельны и равны, то этот четырехугольник -- параллелограмм. Значит надо доказать, что EF || MN и EF = MN.

Вопрос: Параллельность прямых EF и MN доказывается так, как это было сделано выше. Как доказать равенство ЕF и МN? или: Какое свойство средней линии мы знаем?

Ответ: Так как ЕF -- средняя линия АВС, то ЕF равна половине основания АС; MN средняя линия АДС и М равна половине основания АС. Значит ЕF = MN.

Это решение является более рациональным и коротким.

Теперь надо записать решение задачи. Для этого уже используется синтез.

АЕ = ЕВ ЕF || AC

BF = FC EF = 1/2 AC EF || MN EFMN - парал-

СМ = МД MN || AC EF = MN лелограмм

ДN = NA MN = 1/2 AC

В классе всегда есть ученики, которые быстро найдут решение этой задачи. Для организации индивидуальной групповой деятельности более сильным учащимся можно дать дополнительные задания:

Какой вид должен иметь исходный четырехугольник, чтобы полученный был

а) прямоугольником?

б) ромбом?

в) квадратом?

В этом случае целесообразно подойти к распределению дифференцированно: наиболее сильным предложить вариант в), средним -- вариант б), остальным -- а).

Предлагая учащимся задачи с избыточной и неполной информацией, мы воспитываем в них готовность к практической деятельности. Рассматривая изящное решение той или иной математической задачи, мы способствуем эстетическому воспитанию школьников.

Мне хочется привести несколько примеров задач, возникших из рассмотрения шарнирной модели четырехугольника.

Убедившись вместе со школьниками в подвижности этой модели (не жёстко скрепленной в вершинах) учитель побуждает их к выводу, что четыре данные стороны не определяют четырехугольник однозначно,

Затем перед учащимися формируется сама задача.

Задача 1. Имеется модель шарнирного четырехугольника со сторонами определённой длины. Каким способами можно придать «жёсткость» данной модели четырехугольника, если его вершины не могут быть закреплены? Ответ обосновать.