Главная База знаний "Allbest" Педагогика Разработка элементов модульной технологии обучения математике в 6-ом классе

Разработка элементов модульной технологии обучения математике в 6-ом классе

Об актуальности, основных проблемах и резервах введения курса теории вероятностей в школьный курс математики. Методика изложения теории вероятностей в школе. Знакомство школьников с миром вероятностей. Методические элементы введения комбинаторики.

Рубрика Педагогика
Вид дипломная работа
Язык русский
Дата добавления 11.01.2011
Размер файла 353,1 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Страница:

Теория вероятностей - математическая наука, которая как раз и изучает математические модели случайных явлений, с ее помощью вычисляют вероятности наступления определенных событий [5].

5. Классическое определение вероятности

Вероятностью события называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех равновозможных исходов опыта, в котором может появиться это событие. Вероятность события A обозначают через P (A) (здесь P - первая буква французского слова probabilite - вероятность):

(2.1),

где m - число элементарных исходов, благоприятствующих событию A; n - число всех равновозможных элементарных исходов опыта, образующих полную группу событий.

Это определение вероятности называют классическим. Оно возникло на начальном этапе развития теории вероятностей.

Игра “Сколько окажется на своем месте? ” Эта игра помогает на интуитивном уровне подвести детей к понятию относительной частоты.

Надо вырезать из картона 5 одинаковых карточек, написав на них цифры от 1 до 5, затем перетасовать их и выложить на стол в той последовательности, в которой они оказались после перетасовывания, например, в такой:

При этом только одна цифра - 5 - соответствует номеру места, на котором она лежит.

Далее можно сформулировать серию вопросов, на которые дети должны ответить на основании данных, полученных в ходе экспериментов. Такими вопросами могут быть:

1) Как вы думаете, насколько редким является исход

2) Будет ли еще более редкий случай, когда ни одна карточка не окажется на своем месте?

3) Будет ли случай, когда все карточки лежат на своем месте?

4) Что можно сказать о частоте исхода, когда две (три, четыре) цифры окажутся на своем месте?

Эксперименты можно вести в следующем направлении: провести опыты 10 раз; результаты занести в таблицу и вычислить значение относительной частоты по каждому вопросу при n = 10.

Таблица 3

Вопрос

Кол-во раз

Относительная

частота

из 10

из 20

из.

из 100

1

Сколько раз был исход 3,1,4,2,5?

2

Сколько раз был случай, когда ни одна карточка не оказалась на своем месте?

3

Сколько раз все карточки оказались на своем месте?

4

Сколько раз две карточки оказалась на своем месте?

5

Сколько раз три карточки оказалась на своем месте?

6

Сколько раз четыре карточки оказалась на своем месте?

Затем повторить опыт еще 10 раз. На самом деле мы имеем уже 20 опытов, которые опять заносим в таблицу и вычисляем относительную частоту при n = 20. Проделав опыт, например, 100 раз, можно определить приближенное значение вероятности для каждого исхода.

А как определить вероятность на множестве элементарных событий? Далее можно привести формулу классической вероятности (выше мы ее предлагали).

Элементарным, как это видно из самого названия, является самое простое событие, которое нельзя разложить на другие события.

Например, выпадение на кубике четного числа - событие не элементарное. Оно раскладывается на три события: выпала двойка, выпала четверка, выпала шестерка. А вот выпадение каждого числа как раз и есть элементарное событие.

При бросании кубика получаем множество из 6-ти элементарных событий. Событию “выпадание четного числа" соответствует подмножество из элементов 2, 4, 6 (мера этого подмножества M = 3). Событию “выпадание числа больше двух” соответствует подмножество из четырех элементов. Обозначим множество элементарных событий греческой буквой (омега). Тогда можем записать:

.

Пример 1. Пусть событие A - выпадание на кубике четного числа; M (A) = 3. Здесь - множество всех возможных выпаданий; M () = 6. Значит, .

Для более интересного и занимательного обучения можно в эксперимент с подбрасыванием кубика внести элемент противоречия. Например, предложить ребятам разделиться на группы и в качестве задания они должны фиксировать результаты подбрасывания кубика, а затем вывести закономерность, какое число выпадает чаще. Но, например, двум группам дать ”правильные" кубики, а третьей со смещенным центром тяжести. У ребят с ”неправильным" кубиком в итоге возникнут подозрения, что с их кубиком что-то не так.

Пример 2. Возьмем мешок с 10 шариками (4 красных, 3 желтых, 3 синих). Ты наугад вынимаешь из мешка шарик. Множество элементарных событий состоит из 10-ти элементов; каждый элемент - вынимание одного шарика (M () = 10). Множество элементарных событий разбито здесь на три подмножества: красное (M (K) = 4), желтое (M (Ж) = 3), синее (M (С) = 3). Вероятность вытянуть с закрытыми глазами синий шарик определяется по формуле:

.

Аналогично без труда находятся вероятности P (K) и P (Ж).

Пример 3. В урне 10 одинаковых по размерам и весу шаров, из которых 4 красных и 6 голубых. Из урны извлекается 1 шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется голубым? Событие ”извлеченный шар оказался голубым" обозначим буквой A.

Данное испытание имеет 10 равновозможных элементарных исходов, из которых 6 благоприятствуют событию A. В соответствии с формулой получаем:

.

Задачи:

1. В урне 10 одинаковых по размерам и весу шаров, из которых 4 красных и 6 голубых. Из урны извлекается 1 шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется голубым?

2. Все натуральные числа от 1 до 30 записаны на одинаковых карточках и помещены в урну. После тщательного перемешивания из урны извлекается одна карточка. Какова вероятность того, что число на взятой карточке окажется делящимся на 5?

3. Какова вероятность того, что в наудачу выбранном двузначном числе цифры одинаковы?

Решение. Двузначными числами являются числа от 10 до 99; всего таких чисел 90. Одинаковые цифры имеют 9 чисел (11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). В данном случае m = 9, n = 90:

,

где A - событие “число с одинаковыми цифрами”.

4. Подбрасывается два игральных кубика, отмечается число очков на верхней грани каждого кубика. Найти вероятность того, что на обоих кубиках выпало одинаковое число очков.

5. Подбрасываются два игральных кубика, подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Что вероятнее - получить в сумме 7 или 8?

Решение. Обозначим события: A - “выпало 7 очков”, B - “выпало 8 очков”. Событию A благоприятствуют 6 элементарных исходов, а событию B - 5 исходов (см. табл.1, рис.1). Всех равновозможных элементарных исходов - 36, что видно из той же таблицы. Значит: , .

Итак, , т.е. получить в сумме 7 очков - более вероятное событие, чем получить в сумме 8 очков.

6. В урне лежат 5 красных, 12 белых и 9 синих шаров. Найти вероятность того, что: а) вынут белый шар; б) вынут красный шар; в) вынут синий шар; г) вынут цветной шар.

7 (двойное испытание). В урне 3 черных и 4 белых шара. Вы вынимаете один из них, кладете обратно, перемешиваете и вынимаете другой. Возможно одно из трех:

1) оба шара черные,

2) оба шара белые,

3) шары различных цветов. Каковы вероятности этих событий?

Обсуждение. Условно черным шарам дадим номера 1, 2, 3; белым - 4, 5, 6,7. Пары букв показывают цвет двух вынутых шаров (левая буква относится к первому выниманию, правая - ко второму). Составим таблицу.

Таблица 4

1 (ч)

2 (ч)

3 (ч)

4 (б)

5 (б)

6 (б)

7 (б)

1 (ч)

чч

Чч

чч

чб

чб

чб

чб

2 (ч)

чч

Чч

чч

чб

чб

чб

чб

3 (ч)

чч

Чч

чч

чб

чб

чб

чб

4 (б)

бч

Бч

бч

бб

бб

бб

бб

5 (б)

бч

Бч

бч

бб

бб

бб

бб

6 (б)

бч

Бч

бч

бб

бб

бб

бб

7 (б)

бч

Бч

бч

бб

бб

бб

бб

Нетрудно подсчитать, что равновозможных исходов 49. Вероятность появления двух черных шаров равна , двух белых - , шаров разных цветов - .

8. Найдите вероятности того, что при двойном испытании как в предыдущей задаче: а) вынут по крайней мере один черный шар; б) вынут хотя бы один белый шар; в) первым вынут черный шар; г) последним вынут белый шар.

Обсуждение. Для решения воспользуемся таблицей из предыдущей задачи. Вероятности равны: а) ; б) ; в) ; г) .

3. Методические элементы введения комбинаторики

Предлагаемый материал рекомендуется изучать в конце VII класса, исходя из тех соображений, что к этому времени у школьников еще свежи арифметические знания, сохранилась память о предметных действиях, но уже стало очевидным влияние алгебраических и геометрических знаний, т.е. наблюдается стремление к обобщению, алгоритмизации полученной информации, повышается графическая культура. Материал для этого раздела взят из журнала ”Математик в школе" [20].

Основная цель изучения комбинаторики в старшей школе и в вузе - это получение средств решения вероятностных задач. В основной же школе комбинаторика призвана, в основном, сформировать так называемое комбинаторное мышление, позволяющее человеку разумно организовать перебор ограниченного числа данных, подсчитать всевозможные комбинации элементов, составленных по определенному правилу.

В математике существует немало задач, в которых требуется из имеющихся элементов составить различные наборы, подсчитать количество всевозможных комбинаций элементов, образованных по определенному правилу. Такие задачи называются комбинаторными, а раздел математики, занимающийся решением этих задач, называется комбинаторикой.

Некоторые комбинаторные задачи еще в Древнем Китае, а позднее - в Римской империи. Однако как самостоятельный раздел математики комбинаторика оформилась в Европе лишь в XVIII в. в связи с развитием теории вероятностей.

3.1 Фигурные числа

В древности для облегчения вычислений часто использовали камешки. При этом особое внимание уделялось числу камешков, которые можно было разложить в виде правильной фигуры. Так появились квадратные числа (1, 4, 16, 25, …). На рис.1 показано правило их изображения.

3

Рисунок 1

Любое n-е по порядку квадратное число вычисляется по формуле

N=n2 (2.2)

Были сконструированы треугольные (1, 3, 6, 10, 15, …) и пятиугольные (1, 5, 12, 22, …) числа.

На рис.2 и 3 показан способ образования этих чисел.

Любое n-e по порядку треугольное число можно найти по формуле

(2.3),

а любое n-e по порядку пятиугольное - по формуле

(2.4).

3

Рисунок 2

3

Рисунок 3

Все остальные числа древние математики представляли в виде прямоугольника размером m x n, выложенных из камней, где обязательно m1 и n1 (на рис.6 изображены всевозможные представления составного числа 12). Простые числа представляли в виде линий 1x n (рис.5). В связи с этим составные числа древние ученые называли прямоугольными, а простые - непрямоугольными числами.

3

Рисунок 4

3

Рисунок 5

Пример 4. Найти седьмое по порядку:

1) квадратное число;

2) треугольное число;

3) пятиугольное число.

Решение:

1) по формуле N=n2 при n=7 находим N=72=49.

2) по формуле при n=7 находим .

3) по формуле при n=7 находим .

3.2 Магические квадраты

Поместим натуральные числа от 1 до 9 в клетках квадрата размером 3 x 3 таким образом, чтобы все суммы чисел по горизонтали и по вертикали, а также по диагоналям были равны 15 (рис.6). Полученный квадрат, а также другие квадраты с теми же свойствами называют магическими квадратами.

6

1

8

7

5

3

2

9

4

Рисунок 6

Известно, что составлением магических квадратов увлекались в Древнем Китае несколько тысяч лет назад.

Магического квадрата размером 2 x 2 не существует. Существует единственный магический квадрат размером 3 x 3, внешне отличные от него варианты можно получить либо зеркальным отображением чисел относительно осей симметрии рассмотренного квадрата (их у квадрата 4, см. рис.7), либо поворотом на 900 вокруг центра квадрата (рис.8).

3

Рисунок 7 Рисунок 8

Пример 5. Составьте магический квадрат, полученный из квадрата, изображенного на рис.6:

1) зеркальным отображением клеток от горизонтальной оси симметрии квадрата;

2) поворотом клеток квадрата на 900 вокруг его центра против часовой стрелки.

С увеличением количества клеток, на которые разбит квадрат, увеличивается число возможных магических квадратов.

Например, число всевозможных магических квадратов размером 4 x 4 (с записью в его клетках чисел от 1 до 16 по оговоренным правилам) уже 880, а число магических квадратов размером 5 x 5 более 200 000.

Пример магического квадрата размером 4 x 4 приведен на рис.9.

16

3

2

13

5

10

11

8

9

6

7

12

4

15

14

1

Рисунок 9

3.3 Латинские квадраты

Латинскими называют квадраты размером n x n клеток, в которых записаны натуральные числа от 1 до n, причем таким образом, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа по одному разу. На рис.10 приведен пример латинского квадрата размером 3 x 3.

1

2

3

2

3

1

3

1

2

Рисунок 10

На рис.11, а изображены два латинских квадрата размером 4 x 4, которые имеют такую особенность: если один квадрат наложить на другой (например, второй квадрат считать сделанным из прозрачной бумаги и положить его на первый), то все пары образовавшихся двухзначных чисел (рис.11, б), будут различными. Такие пары латинских квадратов называют ортогональными.

3

1

2

3

4

2

1

4

3

3

4

1

2

4

3

2

1

1

2

3

4

3

4

1

2

4

3

2

1

2

1

4

3

11

22

33

44

23

14

41

32

34

43

12

21

42

31

24

13

Рисунок 11

Пример 6. Составьте латинский квадрат, ортогональный квадрату, изображенному на рис.10

Решение. Запишем числа изображенного на рис.12 квадрата в левой половине клеток (рис.12, а). Допишем, справа от них цифры, чтобы в клетках образовались всевозможные двузначные цифры 1, 2 и 3. Будем следить за тем, чтобы вторые цифры чисел в строках и столбцах не повторялись. Затем образуем квадрат из вторых цифр, полученных в клетках чисел (рис.12, б).

11

22

33

23

31

12

32

13

21

1

2

3

3

1

2

2

3

1

а) б)

Рисунок 12

Историческая справка

Впервые задачу построения латинских квадратов сформулировал Л. Эйлер (1707 - 1783), причем в такой форме: ”Среди 36 офицеров 6 улан, 6 драгун, 6 гусар, 6 кирасир, 6кавалергардов и 6 гренадеров, и, кроме того, среди них поровну генералов, полковников, майоров, капитанов, поручиков и подпоручиков. При этом каждый род войск представлен офицерами всех шести рангов. Можно ли этих офицеров выстроить в каре 6 x 6 так, чтобы в любой колонне и в любой шеренге были офицеры всех рангов? ”

Эйлер не мог решить эту задачу, а позднее в 1901 г. Математики доказали, что ортогональных латинских квадратов 6 x 6 не существует. И лишь в 1959 г. С помощью ЭВМ было обосновано, что для любого n, кроме 6, существует ортогональные квадраты размера n x n.

1

2

3

4

5

2

3

4

5

1

3

4

5

1

2

4

5

1

2

3

5

1

2

3

4

1

2

3

4

5

4

5

1

2

3

2

3

4

5

1

5

1

2

3

4

3

4

5

1

2

Рисунок 13

На рис.13 представлен вариант эйлеровых ортогональных латинских квадратов размером 5 x 5 для: а) 5 улан (обозначены цифрой 1); 5 драгун (обозначены цифрой 2); 5 гусар (обозначены цифрой 3); 5 кирасир (обозначены цифрой 4); 5 кавалергардов (обозначены цифрой 5); б) 5 генералов (обозначены цифрой 1); 5 полковников (обозначены цифрой 2); 5 майоров (обозначены цифрой 3); 5 капитанов (обозначены цифрой 4); 5 поручиков (обозначены цифрой 5).

Упражнения:

1. Подсчитайте число однобуквенных слов русского языка.

2. Перечислите знакомые виды:

1) четырехугольников;

2) треугольников.

3. Составьте всевозможные двухбуквенные слова, используя буквы:

1) т, в, ы;

2) н, о, а.

4. Подсчитайте, сколько среди букв А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К таких, которые имеют:

1) вертикальную ось симметрии;

2) горизонтальную ось симметрии.

5. Запишите первые двенадцать квадратных чисел.

6. запишите n-е по порядку квадратное число, если:

1) n=20;

2) n =25;

3) n=31;

4) n=50.

7. Каким по порядку квадратным числом является число:

1) 169;

2) 225;

3) 324;

4) 3600?

8. Запишите n-е по порядку треугольное число, если:

1) n=20;

2) n=21;

3) n=33;

4) n= 34.

9. Запишите первые десять треугольных чисел.

10. Запишите n-е по порядку пятиугольное число, если:

1) n=5;

2) n=6.

11. Изобразите, как это делали в древности, с помощью кружков (камешков) простое число:

1) 5;

2) 11.

12. Изобразите, как это делали в древности, с помощью кружков (камешков) всеми возможными способами составное число:

1) 6;

2) 8;

3) 18;

4) 20.

13. Продолжите составление магических квадратов, изображенных на рис.14.

4

9

5

4

9

5

3

5

4

5

4

3

Рисунок 14

14*. Продолжите составление латинских квадратов, изображенных на рис.15.

2

2

2

2

3

1

1

2

2

3

3

2

Рисунок 15

15*. На рис.16 приведены латинские квадраты. Составьте ортогональные им латинские квадраты.

3

1

2

1

2

3

2

3

1

2

3

1

3

1

2

1

2

3

Рисунок 16

16. Используя повороты и осевые симметрии, постройте несколько магических квадратов размером 4 x 4, беря за основу квадрат, изображенный на рис.9.

Материал следующих пунктов не должен вызвать затруднений (с аналогичными заданиями учащиеся эпизодически встречались при изучении математики в V - VI классах). Фактически здесь происходит знакомство с основными видами соединений: сочетаниями, размещениями и перестановками (учитель может и не вводить в обиход эти термины).

3.4 Различные комбинации из трех элементов

Нередко в жизни возникают ситуации, когда задача имеет не одно, а несколько решений, которые нужно сравнить, а может быть, и выбрать наиболее подходящее для конкретной ситуации. Например, при рассмотрении меню обеда в столовой человек мысленно составляет комбинации из различных первых, вторых и третьих блюд, после чего делает выбор согласно своему вкусу и совместимости продуктов.

Рассмотрим простейшие задачи, связанные с составлением различных комбинаций из трех элементов.

Пример 7. Три друга, Антон, Борис и Виктор, приобрели два билета на футбольный матч. Сколько существует различных вариантов похода на футбол?

Решение. По имеющимся билетам на матч могут пойти:

1) либо Антон и Борис;

2) либо Антон и Виктор;

3) либо Борис и Виктор.

Ответ: 3 варианта.

Пример 8. Три друга, Антон, Борис и Виктор, приобрели два билета на футбольный матч на 1-е и 2-е места первого ряда стадиона. Сколько существует способов занять эти два места на стадионе? Записать все виды вариантов.

Решение. Для удобства перечисления всех возможных вариантов размещения друзей на 1-е и 2-е места будем вместо полных имен мальчиков записывать лишь их первые буквы. При этом запись АБ будет означать, что на первом месте сидит Антон, а на втором - Борис. Способ составления комбинаций будет следующим: после записи каждой пары имен мальчиков, идущих на матч (по результатам решения предыдущей задачи таких пар три), запишем новые пары, полученные перестановкой букв. Такая перестановка обозначает пересаживания мальчиков со своего места на место друга.

Ответ: 6 способов: АБ, БА, АВ, ВА, БВ, ВБ.

Заметим, что пары мальчиков, составленные в примерах? и?, существенно отличаются друг от друга. В первой задаче нас не интересовал порядок рассаживания двух из трех мальчиков по местам, т.е. пары А и Б, Б и А считались одной и той же парой мальчиков, идущих на матч. Во второй же задаче пары АБ и БА были различными парами, так как нас интересовал и порядок рассаживания мальчиков на двух местах (поэтому в примере? количество вариантов пар было в два раза больше, чем в примере?).

Говоря математическим языком, в примере? были составлены всевозможные сочетания из трех элементов по два: пары элементов, выбранные из имеющихся трех элементов А, Б и В. Пары отличались друг от друга лишь составом элементов, а порядок расположения в паре, т.е. все составленные пары отличались друг от друга либо составом элементов, либо их расположением в паре. В комбинаторике такие пары называют размещениями из трех элементов по паре.

Если нужно представить комбинацию некоторых элементов, в которой порядок расположения элементов не важен, то удобно записывать (перечислять) эти элементы через запятую (например, А, Б и Б, А - одна и та же пара элементов). Если же порядок расположения элементов в комбинации важен, то в последовательности записи элементов запятую ставить не нужно (например, АБ и БА - разные пары).

Пример 9. Антону, Борису и Виктору повезло, они купили 3 билета на футбол на 1-е, 2-е и 3-е места первого ряда стадиона. Сколькими способами могут занять мальчики эти места?

Решение. Число способов будет таким же, как и в примере?. Действительно, если к каждой паре мальчиков, сидящих на 1-м и 2-м местах, посадить на 3-е место их друга, не попавшего ранее по условию примере? на матч, то будут составлены всевозможные варианты (обозначенные тройками букв) рассаживания мальчиков по трем местам: АБВ, БАВ, АВБ, ВАБ, БВА, ВБА.

Ответ: шестью способами.

Говоря математическим языком, в примере? были составлены всевозможные перестановки из трех элементов - комбинации из трех элементов, отличающихся друг от друга порядком расположения в них элементов. Элементы в комбинациях не повторялись.

Пример 10. Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2 и 3 при условии, что:

1) цифры в числе должны быть различны;

2) цифры в числе могут повторяться?

Решение.1) Способ составления трехзначных чисел из различных цифр аналогичен способу записи троек букв в примере?:

123; 213; 132; 312; 231; 321.

Получили 6 чисел.

2) Перебор вариантов организуем следующим образом. Выпишем все числа в три блока: в первом - числа, начинающиеся цифрой 1, в порядке их возрастания; во втором - числа, начинающиеся цифрой 2, в порядке возрастания; в третьем - начинающиеся цифрой 3, в порядке возрастания.

111; 112; 112; 211; 212; 213; 311; 312; 313;

121; 122; 123; 221; 222; 223; 321; 322; 323;

131; 132; 133; 231; 232; 233; 331; 332; 333.

Получили 27 чисел.

Ответ:

1) 6;

2) 27.

Упражнения:

1. Сколько подарочных наборов можно составить:

1) из одного предмета;

2) из двух предметов, если в наличии имеются одна ваза и одна ветка сирени?

2. Сколькими способами Петя и Вова могут занять 2 места за одной двухместной партой?

3. Сколько различных по комплекции парфюмерных наборов из 2 предметов можно составить, если в наличии имеются одинаковые флаконы одеколона и одинаковые куски мыла?

4. С помощью цифр 2 и 3 запишите всевозможные двузначные числа, в которых:

1) цифры должны быть разными;

2) цифры могут повторяться.

5. Имеются помидоры (П), огурцы (О) и лук (Л). Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый из них должны входить в равных долях два ингредиента? Запишите все сочетания овощей в составляемых салатах.

6. Имеются три предмета: карандаш, тетрадь и линейка. Сколькими способами из этих канцелярских принадлежностей можно выбрать:

1) один предмет;

2) три предмета;

3) два предмета?

7. Боря идет на день рождение к одноклассникам, близнецам Алеше и Яше. Он хочет подарить каждому из них по мячу. В магазине остались для продажи только 3 мяча: белый, черный и пятнистый. Сколькими способами, купив 2 мяча, Боря может сделать подарки братьям?

8. Ашот (А), Марат (М) и Сергей (С) могут занять 1-е, 2-е и 3-е призовые места в соревнованиях. Перечислите все возможные последовательности из имен мальчиков, где порядковый номер в последовательности соответствует занятому мальчиком месту в соревнованиях. Подсчитайте их количество.

9. В магазине продаются кепки: белые (б), красные (к) и синие (с). Кира и Лена покупают себе по одной кепке. Сколько существует различных вариантов покупок для этих девочек? Перечислите их.

10. Перечислите все двузначные числа, в записи которых встречаются цифры 2, 3 и 4, если:

1) одинаковых цифр в числах нет;

2) цифры в числах могут повторяться.

11. Перечислите все двузначные числа, в записи которых встречаются только цифры 0, 1 и 2, если:

1) одинаковых цифр в числах нет;

2) цифры в числах могут повторяться.

12. Перечислите все трехзначные числа, в записи которых встречаются только цифры 1 и 2.

13. Перечислите все трехзначные числа, в записи которых используются цифры 0, 1 и 2, при условии, что:

1) все цифры в числах различны;

2) цифры в числах могут повторяться.

14. У жителей планеты ХО в алфавите три буквы: А, О, Х. Слова в языке состоят не более чем из трех букв (буква в слове может использоваться любое число раз). Какое наибольшее количество слов может быть в словаре жителей этой планеты?

15. Правила игры ”Детская типография” таковы. Выбираем любое слово - нарицательное имя существительное (желательно с большим числом букв). Все играющие в секрете друг от друга из букв выбранного слова составляют всевозможные новые слова - имена существительные (в новом слове буква используется не чаще, чем она встречается в исходном слове). Побеждает тот, кто за условное время составит больше слов. (В игре ”Взрослая типография” победителем считается тот, у кого больше сумма всех букв в составленных словах.)

Задание. Сыграйте в игру ”Детская типография”, используя слово:

1) полк;

2) комбинаторика.

3.5 Таблица вариантов и правило произведения

При решении комбинаторных задач существует опасность потери какой-либо комбинации элементов, поэтому и появились приемы, исключающие эту возможность. Например, дл подсчета числа комбинаций из двух элементов подходящим средством является таблица вариантов.

Пример 11. Записать всевозможные двузначные числа, используя при этом:

1) цифры 1, 2 и 3;

2) цифры 0, 1, 2 и 3. Подсчитать их количество N.

Решение. Для каждого случая составим таблицу вариантов.

3

3

Ответ:

1) N=9;

2) N=12.

Пример 12. Бросают две игральные кости (каждая кость - кубик с отмеченными на его гранях точками от одной до шести, причем на различных разное число точек). Сколько различных пар точек может появиться на верхних гранях костей?

Решение. С помощью составленной ниже таблицы пар выпавших точек можно утверждать, что число всевозможных пар равно .

3

Ответ: 36.

При решении, аналогичных примерам 11 и 12, необязательно каждый раз составлять таблицу вариантов. Можно пользоваться правилом, которое получило в комбинаторике название ”Правило произведения”: если существует n вариантов выбора первого элемента и для каждого из них есть m вариантов выбора второго элемента, то всего существует различных пар с выбранными первым и вторым элементами.

Пример 13. Катя и Оля пришли в магазин, где продаются в любом количестве плитки шоколада трех видов. Каждая девочка хочет купить одну плитку. Сколько существует способов покупки?

Решение. Катя может купить плитку любого из трех видов шоколада (n=3). Аналогично может поступить и Оля (m=3). Пара шоколадок для Кати и для Оли может быть куплена различными способами.

Ответ: 9.

Пример 14. Имеются три различные плитки шоколада. Катя и Оля по очереди выбирают себе по одной плитке. Сколько существует различных способов выбора шоколадок для Катя и Оли?

Решение. Допустим, первой шоколадку выбирает Катя. У нее есть 3 возможности выбора плитки (n=3). После этого Оля может выбрать одну из двух оставшихся плиток (m=2). Тогда способов выбрать пару шоколадок для Кати и для Оли существует .

Ответ: 6.

Пример 15. Сколько существует различных двузначных кодов, составленных с помощью букв А, Б, В, Г и Д, если:

1) буквы в коде могут повторяться;

2) буквы в коде должны быть различны?

Решение.1) Первой буквой в коде может быть любая из данных 5 букв (n=5), второй - также любая из 5 букв (m=5). Согласно правилу произведения число всевозможных пар букв (с возможным их повторением в паре) равно.

2) Первой буквой в коде может быть любая из 5 данных букв (n=5), а второй - любая из 4 оставшихся (m=4). Согласно правилу произведения число двузначных кодов с различными буквами равно .

Ответ:

1) 25;

2) 20.

Упражнения:

1. Используя таблицу вариантов, перечислите все двузначные числа, записанные с помощью цифр:

1) 3, 4, 5;

2) 7, 8, 9.

2. С помощью таблицы вариантов перечислите всевозможные двухбуквенные коды (буквы в коде могут повторяться), в которых используются буквы:

1) а, б, в;

2) x, y, z.

3. Пользуясь таблицей вариантов, перечислите все двузначные числа, в записи которых используются цифры 7, 8, 9.0, и подсчитайте количество этих чисел.

4. Составляя расписание уроков на понедельник для 7 "А" класса, завуч хочет первым уроком поставить либо физику, либо алгебру, а вторым - либо русский язык, либо литературу, либо историю. Сколько существует вариантов расписания на первые два урока?

5. Чтобы попасть из города А в город В, нужно по дороге доехать до реки, а затем переправиться на другой берег. До реки можно доехать на мотоцикле, автобусе, автомобиле или дойти пешком. Через реку можно переправиться либо вплавь, либо на лодке, либо на пароме. Сколько существует различных способов добраться из города А в город В?

6. У Светланы 3 юбки и 5 кофт, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций одежды имеется у Светланы?

7. На стол бросают 2 игральных тетраэдра (серый и белый), на гранях каждого из которых точками обозначены числа от 1 до 4. Сколько различных пар чисел может появиться на гранях этих тетраэдров, соприкасающихся с поверхностью стола?

8. В киоске продается пять видов мороженого (не менее двух брикетов каждого вида). Оля и Таня хотят купить по одному брикету. Сколько существует вариантов такой покупки?

9. Мама решила сварить компот из фруктов двух различных видов. Сколькими способами мама может это сделать, если у нее имеется 7 видов фруктов?

10. Из коробки, содержащей 8 мелков различных цветов, Гена и Таня берут по одному мелку. Сколько существует вариантов такого выбора?

11. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых используются цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если:

1) цифры в числе могут повторяться;

2) цифры в числе должны быть различны.

12. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, если:

1) цифры в числе могут повторяться;

2) цифры в числе должны быть различны.

3.6 Перестановки

Пример 16. Семиклассники Анна, Борис, Виктор и Галина побежали на перемене к теннисному столу, за которым уже шла игра. Сколькими способами подбежавшие к столу семиклассники могут занять очередь для игры в настольный теннис?

Решение. Первым (I) в очереди мог стать любой из четырех семиклассников, вторым (II) - любой из оставшихся трех, третьим (III) - любой из оставшихся двух и четвертым (IV) - семиклассник, подбежавший последним. По правилу произведения у четверых ребят существует =24 способа занять очередь. Рис.17 иллюстрирует решение с помощью дерева вариантов.

Ответ: 24 способа.

В примере 16 были подсчитаны всевозможные комбинации из четырех элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения в них элементов. Такие комбинации называются перестановками из четырех элементов.

Комбинации из n элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения в них элементов, называются перестановками из n элементов. Число всевозможных перестановок из n элементов обозначают Pn (P - первая буква французского слова permutation - перестановка). Читается: ”Число перестановок из эн элементов" или ”Пэ из эн”. В примере 16 было показано, что P4 = 4·3·2·1. Пользуясь переместительным законом умножения, можно записать P4 = 1·2·3·4. С помощью правила произведения можно обосновать, что

.

После применения переместительного закона умножения эту формулу можно переписать в виде

(2.5).

Таким образом, число перестановок из n элементов равно произведению всех натуральных чисел от 1 до n.

Пример 17. Сколько различных пятизначных чисел, все цифры которых различны, можно записать с помощью цифр 4, 5, 6, 7 и 8? Решение. Задача сводится к подсчету чисел перестановок из пяти элементов.

.

Ответ: 120 различных чисел.

Для сокращения записи произведения первых n натуральных чисел в математике используется символ n! (читается как ”Эн факториал”), т.е.

,

и формула (2.5) приобретает вид

(2.6).

Пример 18. Сколькими способами можно расставить на полке 8 книг, если среди них 2 книги одного автора, которые при любых перестановках должны стоять рядом?

Решение. Первоначально будем считать 2 книги одного автора единой книгой. Тогда количество способов расстановки условных семи книг на полке будет равно числу перестановок из 7 элементов:

.

Но в каждой такой перестановке книги одного автора можно поменять местами, поэтому общее число способов расстановки книг на полке будет в два раза больше, т.е.5040·2=10080. Ответ: 10080 способами.

Пример 19. Вычислить:

1) ;

2) .

Решение.1)

;

2) .

Ответ:

1) 156;

2) .

Упражнения:

1. Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу:

1) 3 человека;

2) 5 человек?

2. Сколько существует вариантов рассаживания вокруг стола:

1) 6 гостей на 6 стульях;

2) 7 гостей на 7 стульях?

3. Сколькими способами с помощью букв K, L, M, N можно обозначить вершины четырехугольника?

4. Четыре друга купили билеты в кино на 1-е и 2-е места в 1-м ряду и 1-е и 2-е места во 2-м ряду. Сколькими способами друзья могут занять эти места?

3

Рисунок 17

5. Сколько различных правильных (с точки зрения русого языка) фраз можно составить, изменяя порядок слов в предложении:

1) ”Я пошел гулять”;

2) ”Во дворе гуляет кошка”?

6. Разложить на простые множители числа 30 и 210. Скольким способами можно записать в виде произведения простых множителей число:

1) 30;

2) 210?

7. Сколько различных четных четырехзначных чисел с повторяющимися цифрами можно записать, используя цифры 1, 2, 3, 5?

8. Сколько различных нечетных пятизначных чисел с повторяющимися

цифрами можно записать, используя цифры 1, 2, 3, 4, 6, 8?

9. Вычислите:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

10. Решите уравнение:

1) ; 2) .

11. Сколько различных пятизначных чисел с неповторяющимися цифрами можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, если:

1) число должно начинаться с 56;

2) цифры 5 и 6 в числе должны стоять рядом?

12. Сколькими способами можно записать в виде произведения простых множителей число:

1) 12;

2) 24;

3) 120?

13. Вычислите:

1) ;

2) .

Заключение

В первой части данной дипломной работы рассматривается вопрос об актуальности, проблемах введения теории вероятностей в школьный курс математики. Проанализировав собранный материал, было найдено множество аргументов подчеркивающих важность изучения школьниками теории вероятностей. На сегодняшний день включение этого раздела в школьный курс является одним из важнейших аспектов модернизации математического образования. Но на пути введения теории вероятности в школе встает ряд проблем, таких как перегрузка, фактор времени, ослабленная мотивация. Решать эти противоречия (между тем, что необходимо сделать и тем, что удается) можно лишь применением более тонких методических средств, для этого были изучены работы известных научных деятелей, таких как Гальперин П.Я., Ильенков Э.В., Фридман Л.М. и других. Из работы Гальперина можно выделить, что при обучении нужно делать акцент на ориентировку, опорные карты. Ильенков предлагает усилить самодеятельность, и подчеркивает, что школа должна тренировать не только память, но и способность самостоятельно решать задачи. Систематизировав материал, мы видим, что можно найти резервы, а именно в изменении методики преподавания, для введения теории вероятностей в школьный курс математики.

А так как еще не решен вопрос о массовом введении теории вероятностей, то в рамках факультатива можно разработать методику изложения этого курса (что представлено во второй части данной дипломной работы), где подчеркивается важность эксперимента, поскольку эксперимент усиливает ориентировку. Это поможет отойти от формального обучения и заинтересовать школьников.

Задачи, поставленные в задании дипломной работы, были выполнены.

Литература

1. Айзенберг А.Я. Самообразование: история, теория и современные проблемы, М: Просвещение, 1986г. - 126 с.

2. Бондаревский В.Б. Воспитание интереса к знаниям и потребности к самообразованию. - М: Просвещение, 1985г. - 143 с.

3. Гальперин П.Я. Методы обучения и умственное развитие ребенка. - М.: МГУ, 1985г. - 44 с.

4. Горский Д.П. Краткий словарь по логике. - М., 1991г. - 207 с.

5. Гусев В.А., Орлов А.И., Розенталь А.Л. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах. - М., 1995г. - 286 с.

6. Депман И.Я. История арифметики, М: Просвещение, 1959г. - 424 с.

7. Ермаков В.Г. Развивающее образование и функции текущего контроля. В 3-х частях - Гомель: ГГУ им. Фр. Скорины, 2000г. - 778 с.

8. Ильенков Э.В. Об идолах и идеалах. - М: Политиздат, 1968. - 319 с

9. Ильенков Э.В. Философия и культура. - М.: Политиздат, 1991г. - 464 с.

10. Скороход А.В. Вероятность вокруг нас. - Киев: Наукова думка, 1980г. - 195 с.

11. Фридман Л.М. Теоретические основы методики обучения математике: Учебное пособие. Изд.2-е, испр. и доп. - М.: Едиториал УРСС, 2005. - 248 с.

12. Фронденталь Г. Математика как педагогическая задача: книга для учителя, ч.2. - М.: Просвещение, 1983г. - 192 с.

13. Хавин В.П. Основы математического анализа. - Л: Издательство Ленинградского университета, 1989. - 448 с.].

14. Болотов В.А. О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной школы // Математика в школе. - 2003г. - № 9 - с.2-3

15. Бунимович Е.А. Вероятностно-статическая линия в базовом школьном курсе математики // Математика в школе. - 2002г. - №4 - с.52 - 54

16. Глотов Н.В., Глотова О.В. Вероятность и статистика в школе: взгляд биолога // Математика в школе. - 2002г. - №4 - с.64 - 65

17. Ивашев-Мусатов О.С. О теории вероятностей // Математика в школе. - 2005г. - №5 - с.63

18. Студенецкая В.Н., Фадеева О.М. Статистика и теория вероятностей на пороге основной школы // Математика в школе. - 2004г. - №6 - с.64 - 65

19. Ткачева М.В., Василькова Е.Н., Чуваева Т.В. О готовности учащихся к изучению стохастики // Математика в школе. - 2003г. - №9 - с.56 - 58

20. Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Элементы стохастики в курсе математики VII - IX классов основной школы // Математика в школе. - 2003г. - №3 - с.36 - 47.

Страница:


Подобные документы

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.

© 2000 — 2023, ООО «Олбест» Все права защищены