Существует много аргументов, показывающих важность изучения школьниками элементов теории вероятностей. На данный момент этот вопрос является одним из важнейших аспектов модернизации содержания математического образования, что обусловлено ролью, которую играет вероятностно-статические знания в общеобразовательной подготовке современного человека. Без минимальной вероятностно-статической грамотности трудно адекватно воспринимать социальную, политическую, экономическую информацию и принимать на её основе обоснованные решения.

В нашу жизнь властно вошли выборы и референдумы, банковские кредиты и страховые полисы, таблицы занятости и диаграммы социологических опросов. Общество все глубже начинает изучать себя и стремиться сделать прогнозы о самом себе и о явлениях природы, которые требуют представлений о вероятности.

Полноценное существование гражданина в сложном, вариантном и многоукладном обществе непосредственно связано с правом на получение информации, с ее доступностью и достоверностью, с правом на осознанный выбор, который не возможно осуществить без умения делать выводы и прогнозы на основе анализа и обработки зачастую неполной и противоречивой информации.

Как следствие этих обстоятельств на станицах научных журналов ведется напряженное обсуждение важности и актуальности теории вероятности в современном обществе. Е.А. Бунимович, автор одной из таких работ, пишет: ”Мы должны научить наших детей жить в вероятностной ситуации. А это значит извлекать, анализировать и обрабатывать информацию, принимать обоснованные решения в разнообразных ситуациях со случайными исходами.

Ориентация на демократические принципы мышления, на многовариантность возможного развития реальных ситуаций и событий, на формирование личности, способной жить и работать в сложном, постоянно меняющемся мире, с неизбежностью требует развития вероятностно-статического мышления у подрастающего поколения. Эта задача может быть решена в школьном курсе математики на базе комплекса вопросов, связанных с описательной статистикой и элементами математической статистики, с формированием комбинаторного и вероятностного мышления” [15, с.52].

Однако не только социально-экономическая ситуация диктует необходимость формирования у нового поколения вероятностного мышления. Вероятностные законы универсальны. Они стали основой описания научной картины мира. Современная физика, химия, биология, социология, демография, лингвистика, философия, весь комплекс социально-экономических наук построены и развиваются на вероятностно - статической базе.

Вот, что пишут биологи Н.В. Глотов и О.В. Глотова: ”Много лет назад занимаясь преподаванием генетики и биометрии (математических методов в биологии) в разных вузах и в биологии в школе, мы обратили внимание, что трудности, которые возникают и у учащихся, и у преподавателей при изучении ряда биологических проблем, связаны с несовершенством программ математического образования в школе. Отсутствие теории вероятностей и статистики в школьной программе препятствует формированию естественного взгляда на мир, который совершенно необходим любому человеку в современном обществе, независимо от того, кем он станет и чем будет заниматься в жизни…. Сейчас в общем курсе школьной математики нет никаких элементов теории вероятности и статистики. Если же ученик сталкивается с этими разделами при изучении углубленного курса математики (а в биологических вузах таких много), то такого краткого знакомства с этими дисциплинами недостаточно; необходимо не просто научить решать какие-то частные задачи, но выработать элементы вероятностно-статического мышления. Иногда говорят, что мы живем в вероятностном мире. Может быть, это слишком сильное утверждение. Скорее, мы живем в детерминистско-вероятностном мире. Однако когда речь идет о живом, вероятностный аспект усиливается" [16, с.64 - 65].

Подросток не отделен от этого мира глухой стеной, да и в своей жизни он ежедневно сталкивается с вероятностными ситуациями. Игра и азарт составляют существенную часть жизни ребенка. Круг вопросов, связанных с соотношениями понятий ”вероятность” и ”достоверность”, проблема выбора наилучшего из нескольких вариантов решения, оценка степени риска и шансов на успех, представление о справедливости и несправедливости в играх и в реальных жизненных коллизиях - все это, несомненно, находится в сфере реальных интересов подростка. Подготовку к решению таких проблем и должен взять на себя курс школьной математики.

Одновременно само знакомство школьников с очень своеобразной областью математики, где между черным и белым существует целый спектр цветов и оттенков, возможностей и вариантов, а между однозначными ”да" и ”нет” существует еще и ”быть может" (причем это ”быть может" поддается строгой количественной оценке!), способствует устранению укоренившегося ощущения, что происходящее на уроке математики никак не связано с окружающем миром, с повседневной жизнью.

Именно вероятностно-статическая линия, или, как ее стали называть в последнее время, - стохастическая линия, изучение которой невозможно без опоры на процессы, наблюдаемые в окружающем мире, на реальный жизненный опыт ребенка, способна содействовать возвращению интереса к самому предмету ”математика”, пропаганде его значимости и универсальности.

Работы психологов утверждают, что наиболее благоприятен для формирования вероятностных представлений возраст 10-13 лет, что примерно соответствует V-VII классу.

В течение последних десятилетий элементы теории вероятностей и комбинаторики то вводились разделом в курс математики общеобразовательной школы, то исключались вообще. Внимание, которое уделяется этому учебному предмету во всем мире, позволяет предположить, что концепция его введения является актуальной.

Рассмотрим подробно вопрос о том, как проблема внедрения теории вероятности и математической статистики решается в средних школах ряда зарубежных стран. Ограничимся анализом, для примера, четырьмя развитыми капиталистическими странами: Великобританией, США, Японией и Францией.

В английской школе даже на самом низком уровне и на этапе начального обучения предусмотрено владение некоторыми вероятностными умениями и навыками. Экзамен на получение Общего аттестата об образовании в последние годы включает пять основных тем, одной из которых является - элементы теории вероятностей и математической статистики. Получить представление о требованиях к вероятностной подготовке английских школьников можно, если рассмотреть содержание тех задач, которые предлагаются учащимся на экзаменах. Эти требования оказываются достаточно высокими.

Для получения Общего аттестата об образовании обычного уровня школьники должны владеть следующим материалом по теории вероятностей: вероятность события, комбинация событий, случайная величина, биномиальное распределение, сложение и умножение вероятностей, математическое ожидание, медиана.

Для отдельных групп учащихся уровень требований к их знаниям значительно выше. Мы имеем в виду тех учащихся, которые сдают экзамен для получения Общего аттестата об образовании повышенного уровня по программе SMP (School Mathematics Project).

Математическая подготовка школьников в США неоднородна. Это связано со спецификой системы образования в США, выражающейся в делении учащихся по способностям, начиная с первых лет обучения в школе. Две трети всех учащихся изучают математику на самом элементарном уровне. Теоретико-вероятностные знания преподаются в основном в старшей средней школе, однако, в некоторых программах младшей средней школы встречаются понятия вероятности и элементарные сведения статистики. Углубленное изучение теоретико-вероятностных вопросов осуществляется в старшей средней школе лишь незначительным числом наиболее способных к математике учеников. Подготовка таких учеников довольно серьезная, и сами обучаемые достигают высоких успехов.

Несмотря на довольно узкий охват школьников США обучению стохастики, следует подчеркнуть широкую методическую установку педагогов. В методических рекомендациях школ США отмечается важность понимания вероятностных закономерностей для современного гражданина, которому предстоит ориентироваться в информационном потоке. Предполагается широко использовать игры, игровые ситуации для построения вероятностных моделей и определения вероятности выигрыша.

При обучении японских школьников систематически, с начальной школы, развиваются представления о вероятностных методах и методах математической обработки результатов наблюдений. Минимальная математическая подготовка оканчивающего среднюю старшую школу включает довольно значительный объем материала: элементарные сведения по комбинаторике, случайные события и способы их изучения. Программа максимального объема содержит элементы теории вероятностей и математической статистики. Японские педагоги-математики и методисты-математики много сделали по преподаванию стохастики. В частности, авторы учебников удачно излагают на доступном уровне все основные понятия теории вероятностей. Объем теоретико-вероятностного цикла составляет 2,5% от общего объема математики.

За введение элементов теории вероятности во французскую школу издавна выступали прогрессивные деятели народного образования Франции. Об этом свидетельствуют проекты программ тех лет. Действующие в настоящее время программы по теории вероятности и математической статистике были приняты в конце 60-х годов, незначительные изменения направлены лишь в сторону большей доступности изложения материала в 1981 - 85 годах. Как в образовательной, так и в профессиональной французской школе элементы теории вероятностей и математической статистики преподаются во II цикле, начиная с 16-летнего возраста учащихся. Но в настоящее время французские педагоги ищут и находят пути более раннего (с 13-летнего возраста) обучения школьников основам теоретико-вероятностным знаниям.

Вопрос о модернизации школьного математического образования в отечественной школе был поставлен в начале 60-х годов выдающимися математиками Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоровым, А.Я. Хинчиным. Обращаясь к широкому кругу читателей - математиков, педагогов и методистов, - Б.В. Гнеденко писал: "Сейчас крайне назрела потребность введения в школьное обучение элементов теории вероятностей: В этом нуждаются и методологическое воспитание школьников, и последующая практическая деятельность их, и межпредметные связи". В связи с реформой школьного математического образования, проводимой в 60-е годы, появился целый ряд работ ученых методистов, которые ставили своей целью разработать методику преподавания теории вероятностей как отдельной темы школьного курса математики. Однако в 70-х годах из обязательных программ были исключены даже самые начальные сведения по теории вероятностей в силу неподготовленности школы к их восприятию. Реформой 80-х годов элементы теории вероятностей и математической статистики были включены в программы профильных классов, в частности, физико-математического и естественнонаучного.

Несмотря на то, что идея введения стохастической линии в школьный курс математики разрабатывается уже почти 40 лет и встречает практически полную поддержку в среде математиков и педагогов-практиков, в практику нашей школы теория вероятностей и математическая статистика введена лишь номинально. Основными причинами такого положения дел является нетрадиционность, новизна этого материала для самой математики, отсутствие прочных методических традиций преподавания его школьникам, неподготовленность части учителей к изложению материала в духе прикладной, а не чистой математики. Но самое главное - социально-экономическое состояние общества, при котором умение грамотно анализировать имеющуюся информацию, делать научно обоснованные прогнозы, предвидеть последствия принимаемых решений, - а все это призвана формировать вероятностно-статистическая линия курса математики, - осталось невостребованным.

В Российской Федерации также были попытки ввести курс теории вероятностей в качестве эксперимента в нескольких школах. Для этого разработано учебное пособие: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. ”Алгебра: Элементы статистики и теории вероятностей” для учащихся 7 - 9 классов. Появились учебники, включающие элементы комбинаторики, статистики, теории вероятностей: а) ”Математика”: учебник для 5 классов общеобразовательных учреждений (под редакцией Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина), б) ”Арифметика”: учебник для 5 классов общеобразовательных учреждений (под редакцией С.М. Никольского, М.К. Потапова, Н.Н. Решетникова, А.В. Шевкина) и другие учебники.

Однако, несмотря на то, что изучение элементов теории вероятностей, как уже общепризнано, необходимо любому современному человеку, в журнале ”Математика в школе" была опубликована статья О.С. Ивашев-Мутасова, в которой сказано: ”… решение вероятностных задач с самого начала требует существенного привлечения интуиции и здравого смысла. Это абсолютно не присуще курсу математики в средней школе. Поэтому введение теории вероятностей в средней школе - противопоказано" [17, с.63].

Примечательно, что после этой статьи на страницах журнала больше не было ни одного упоминания о теории вероятностей!

Основные аргументы за и против введения элементов теории вероятностей систематизированы в следующей таблице (таблица 1).

1.2 О способах решения проблем введения теории вероятностей в школьный курс математики

Рассмотрим вопрос о том, что необходимо изменить для возможности ведения теории вероятностей в школьный курс математики.

На сегодняшний день встает проблема организации учебной деятельности. Одним из путей решения изучаемой нами проблемы в обучении учащихся различным приемам самостоятельного познания, в активизации позиции ученика в процессе обучения, а также в применении деятельностно-ориентированного обучения. ”Плохой учитель преподносит истину, а хороший учит находить ее самостоятельно” (А. Дистерерг).

Одной из преград введения теории вероятностей в школьный курс математики является фактор времени. Эту проблему можно решить при применении более тонких методических средств, таких как ориентировочное, целенаправленное действие, самообразование, познавательная активность школьников.

Проблема развития у школьников познавательной активности и самостоятельности издавна привлекала внимание ученых. Её изучали такие выдающиеся мыслители и педагоги, как Я.А. Коменский, Джон Локк, Ж.Ж. Руссо, И.Г. Пестолоцци, А. Дистерверг. Педагоги прошлого возлагали большие надежды на активные методы обучения, на внесение в процесс обучения исследовательского начала, на исключение догматики, формирование у учащихся мыслительных операций (анализ, обобщение, группировку). Выступали против зубрежки и схоластики в школе, за воспитание у школьников творческой активности. По их мнению, процесс обучения должен служить всестороннему развитию личности [1].

Бондаревский В.Б. говорит о том, что "главной задачей должно стать не воспитание человека, способного поступать правильно в тот момент, когда он находится под контролем родителей, учителей и т.д., а человека, способного к внутреннему самоконтролю, прекрасно понимающего значение самообразования и самовоспитания, умеющего творчески и содержательно организовывать свою жизнь" [2, c.31-33].

Фридман Л.М. в своем пособии ”Теоретические основы методики обучения математике” пишет: ” Постановка обучения математике в школах вызывает всеобщее недовольство. Американский исследователь С. Пейперт считает, что "тот род математики, который навязывается детям школой, бессмыслен, скучен и крайне беспомощен". И в нашей стране все время раздаются голоса, осуждающие постановку обучения математике. Знания многих учащихся средних школ все еще страдают формализмом. Во многих случаях они крайне непрочны. Успеваемость недостаточна. Заучивание фактов зачастую преобладает над пониманием и умением применять методы. Самостоятельное мышление развивается совершенно недостаточно. Приобретенные знания забываются очень быстро. С тех пор положение с обучением математике в наших школах не только не улучшилось, но стало еще хуже. Многие обращают внимание на оторванность школьной математики от жизни" [11, с.5].

Фридман Л.М. выделил принципы организации учебного процесса, к которым отнес следующие: принцип развития самодеятельности, принцип самоорганизации, принцип индивидуального подхода, принцип ролевого участия школьников в учебном процессе, принцип личной ответственности, принцип психологического обеспечения учебного процесса, а также дифференцированное обучение. Где в поддержку принципа самоорганизации он приводит следующие слова психолога С.Л. Рубинштейна: ”Всякая попытка воспитателя - учителя ”внести" в ребенка познание и нравственные нормы, минуя собственную деятельность ребенка по овладению ими, подрывает, как это отлично понимал еще Ушинский, самые основы здорового умственного и нравственного развития ребенка, воспитания его личностных свойств и качеств”.

А что касается принципа самодеятельности, то Фридман говорит: ”Самостоятельность личности - это такая деятельность человека, которая обеспечивает ему свободу выбора решений, носит творческий характер, реализует его инициативы, выполняется самостоятельно на основе мастерства, приобретенного в процессе обучения. Она имеет особую воспитательную ценность, когда в ней объединяются личностные интересы и ответственность за дело своего коллектива. Этот принцип непосредственно вытекает из главной цели школы - воспитание развитой, высоконравственной, творчески активной, социально зрелой, самостоятельной личности каждого ученика. Воспитывающий эффект учебного процесса зависит от того, чем является этот процесс для ученика, ради чего ученик учится, что побуждает его принимать активное участие в этом процессе” [11, с.214 - 215].

Приведенные выше принципы помогут избавиться от формального преподавания математики и правильно организовать учебный процесс. И это очень важно, так как школа должна быть нацелена на будущее и служить прогрессу общества.

Профессор Гальперин П.Я. в своей работе ”Методы обучения и умственное развитие ребенка" выделил ориентировочную и исполнительную части во всем целенаправленном действии: ”При таком обучении в каждом целенаправленном действии ясно выступают две особенности его строения. Одна, присущая всякому целенаправленному действию, состоит в разделении ориентировочной и исполнительной части: сначала ребенок ориентируется в задании, а затем выполняет действие. В ходе обучения разделяющая их последовательность все более уменьшается, и обе части, ориентировочная и исполнительная, все более как бы сливаются. И это значит, что, в отличие от бессубъективного действия, всякое целенаправленное действие субъекта обладает бинарной структурой, и что в психологии нельзя рассматривать вместо действия только одну исполнительную часть (как это нередко делается до сих пор). Именно ориентировочная часть в первую очередь отвечает за ход обучения и качество его результатов. Другая особенность целенаправленного действия, свойственная уже только человеку состоит в его опосредованности своеобразным психическим орудием, которая в записи на ориентировочную и исполнительную части представлена как ”отдельная вещь”. В развитии орудий заключаются главные возможности повышения эффективности действия” [3, с.6].

П.Я. Гальперин предложил метод введения понятия числа: ”Здесь остро выступили два вопроса: с чего ”вообще" начинать изучение чисел (чтобы они не представлялись ребенку рядом произвольных названий) и как адекватно раскрыть ребенку само число, особенно первое из них - единицу (из которой строятся все остальные числа натурального ряда). Мы остановились на том, что начинать нужно с того, как числа входят в окружающую ребенка жизнь. В ней указание на число предметов означает результат их измерения - в повседневной жизни за числом стоит измерение. Для измерения нужна мера - мера является важнейшим средством внесения собственно математического начала в мышление ребенка. Но мера - сложный объект, и в представлении о ней выделяются, прежде всего, ее качественные и количественные стороны. Качество меры проявляется тем, что каждую величину можно измерять только своей мерой. ”Отрабатывая” эту сторону понятия о мере, мы спрашиваем детей, чем можно измерить ”эту вещь” и чем нельзя (например, можно ли измерить воду веревочкой? А чем можно?). В дальнейшем мера оказалась важнейшим средством разделения разных свойств, параметров вещи и ее оценки по каждому параметру в отдельности. Количественная характеристика меры тоже составляет довольно сложную проблему: что можно взять в качестве меры? Мера (одна мера) может состоять из нескольких вещей (частей!) и может составлять лишь часть какого-либо предмета. Меру нужно откладывать точно (а не ”как-нибудь”) и не забывать о том, что мера была отложена (для этого откладывают метки). Для меток нарочно берется самый разнообразный материал - чтобы его фактура не совпадала с его функцией (напоминать, что была отложена мера) и не подменять ее. Откладывание меток (по мере откладывания меры) вело к тому, что конкретная величина открывалась перед ребенком двояко: и как реальная вещь, и как множество (отложенных меток). Конкретное представительство математической величины само выступало как наглядно представленная вещь. Это означало переход величайшей важности - от конкретной величины к конкретному множеству, этой математической основе о числе. Получив конкретные множества, мы переходили к их количественному сравнению - еще без числа! Детям предлагались две кучки меток (два множества) и спрашивали, где меток больше. Если дети отвечали произвольно, ”как покажется”, то обращали их внимание на разные ответы, и опять спрашивали, как ”доказать" точно, где меток больше, а где меньше. Если никто из детей не мог это сделать, то им показывали прием взаимнооднозначного соотнесения двух параллельных рядов меток. На этих рядах ”отрабатывали" представления ”равно” (столько же), ”больше" и ”меньше”, ”больше на…" и ”меньше на…" (”вот столько" - показ на избыток или недостаток элементов одного ряда по сравнению с другим). Лишь после этого вводилось представление о единице, которая определялась так: то, что отложено с помощью данной меры и равно своей, своей и только своей мере…. Таким образом, в понятие числа с самого начала вводилось отношение (равенство своей мере), и это отношение с самого начала разъяснялось как ”относительное”: только для ”своей” меры. Дальнейшие числа строились по формуле 1, причем сложение всегда и немедленно сопровождалось вычитанием. Ноль разъяснялся не как ”ничего”, а как условная точка отсчета (отмеривания) ” [3, с.23 - 25].

Эти разнообразные и только в действии приобретенные знания сказываются в неожиданно легком усвоении дальнейших все более сложных разделов курса начальной математики и в легком переходе к решению задач.

Обычно внимание уделяют исполнительной части, а по Гальперину внимание надо уделить ориентировке. В этом помогут опорные карты и более основательная работа с базовыми понятиями. Есть так называемая ”математика понятий" и ”математика алгоритмов”. Вторая сейчас развивается в ущерб первой и порождает массу проблем. Необходимо вернуться к работе над адекватным освоением учащимися базовых понятий, что откроет просмотр для самодеятельности учащихся и является необходимым условием активизации их деятельности.

В качестве еще одного образца для подражания можно взять учебник В.П. Хавина ”Основы математического анализа”, где автор показывает неформальное преподавание математике. В.П. Хавин пишет: ”Сверхстрогие изложения, гордящиеся своей формальностью, а иногда и полным отсутствием рисунков и намеков на какие бы то ни было общенаучные связи, при всей их стройности и красоте мало могут дать для овладения живым анализом, как и их ”понятные" антагонисты. Также обстоит дело и с общностью. Постепенно повышаясь по мере знакомства с теорией, ее уровень не должен быть чрезмерно высоким с самого начала. Главная трудность в изложении анализа для начинающих - это поиск разумного компромисса между естественным стремлением к простоте, сохранению живого духа анализа, с одной стороны, и требованиями строгости и общности - с другой…. Разделяя некоторые установки авторов ”понятных" книг, мы стремимся постоянно указывать на подлинные цели и основные идеи, не заслоняя здание анализа строительными лесами. В тоже время мы полагаем, что полностью снять эти леса нельзя. Приходится примириться с тем, что овладение анализом без затраты значительного времени и сил на изучение языка так же мало возможно, как внезапное и профессиональное исполнение сонаты Бетховена человеком, не знающим нотной грамоты и не игравшим гамм” [13,7-8].

Хавин говорит о том, что если начинать издалека изложение курса математического анализа (это применительно и к теории вероятности, и к математике в целом), то это утомительно и пропадает интерес к дальнейшему изучению. Нужно искать неформальные пути обучения.

Яркий педагогический пример ”узкого коридора в сложное" дает проведенный Э.В. Ильенковым анализ ”практической стадии первоначального очеловечивания” слепоглухонемого ребенка в системе И. Соколянского - А. Мещерякова. В силу сложившихся обстоятельств при обучении слепоглухонемого ребенка пользоваться ложкой для утоления голода педагог вынужден в буквальном смысле слова руководить его рукой, но должен это делать только до тех пор, пока не обнаружатся первые робкие и неуклюжие попытки ребенка самостоятельно совершать те же движения. ”Как только такой намек появиться, - пишет Э.В. Ильенков, - сразу же ослабляй, педагог, руководящее усилие! И продолжай его ослаблять ровно в той мере, в какой усиливается активность руки малыша! … Если ты, не заметив ее, будешь продолжать руководить ребенком с прежней силой и настойчивостью - активность ручонки его ослабнет и угаснет, и тогда уже никакими понуканиями ее не разбудишь вновь" [9, с.37].

В разделе ”Школа должна учить мыслить" книги [8] Э.В. Ильенков пишет: ”Надо организовать процесс усвоения знаний, процесс усвоения умственной культуры так, как организует его тысячи лет лучший учитель - жизнь. А именно: так, чтобы ребенок постоянно был вынужден тренировать не только (и даже не столько) память, сколько способность самостоятельно решать задачи, требующие мышления в собственном и точном смысле слова, - ”силы суждения”, умения решать, подходит данный случай под усвоенные ранее правила или нет, а если нет, то, как тут быть? ” [8, с.164]. ”… отношение к противоречию и является очень точным критерием культуры ума. Даже, собственно говоря, показателем его наличия…. И ум с самого начала надо воспитывать так, чтобы противоречие служило для него не поводом для истерики, а толчком к самостоятельной работе, к самостоятельному рассмотрению самой вещи” [8, с.167 - 168].

Таким образом, можно подобрать методики введения понятий, которые позволят избежать традиционного для современной математики формального подхода к обучению, который и является главной причиной неудач учащихся в усвоении математики и, соответственно, причиной перегрузок и стрессов. Задача учителя помочь учащимся сориентироваться в основных понятиях, а потом упростить и систематизировать материал. Если так перестроить все обучение математике, то остается время и место для теории вероятностей.

2. Методика изложения теории вероятностей в школе