Відомості з історії математики як засіб формування мотивації учіння молодших школярів

Розв'язання. Якщо х - вага ноші мула, тоді (х-1) - вага ноші віслюка, збільшеної на 1; отже, початкова його ноша (х-2). Але (х+1) у 2 рази більше, ніж ноша віслюка, зменшена на 1, тобто (х-3). Маємо рівняння х+1=2(х-3). х=7. Отже, ноша мула - 7 кг, ноша віслюка - 5 кг.

Відповідь. Ноша мула - 7 кг, ноша віслюка - 5 кг.

Задача з Бахшалійського рукопису

З чотирьох жертвувателів другий дав удвічі більше, ніж перший, третій - утроє більше, ніж другий, четвертий - учетверо більше, ніж третій, а всі разом дали 132. Скільки дав перший?

Розв'язання. Нехай перший дав x. Тоді другий - 2x, третій - 3(2x), четвертий - 4(3(2x)). Разом же вони пожертвували: x+2x+3(2x)+4(3(2x))=132. Розв'язавши рівняння, дізнаємось, що перший дав 4.

Відповідь. 4.

Задача з "Арифметики" Л.Ф. Магницького

Біля мосту через річку зустрілися ледар і чорт. Ледар поскаржився на свою бідність. У відповідь чорт запропонував: "Я можу допомогти тобі. Щоразу, як ти перейдеш цей міст, у тебе гроші подвояться. Але щоразу, перейшовши міст, ти маєш віддати мені 24 коп.". Тричі проходив ледар міст, а коли заглянув у гаманець, там було порожньо. Скільки грошей було в ледаря?

Розв'язання. Нехай x коп. було у ледаря, тоді після 1 разу стало 2х-24, після 2 разу стало 2(2x-24)-24=4x-72, після 3 разу стало 2(4x-72)-24=8x-144-24=0. Отже, 8х=168, x=21.

Відповідь. 21 коп.

Задача з оповідання А.П.Чехова «Репетитор»

Купець придбав 138 аршин чорного і синього сукна на 540 карбованців. Скільки аршин він купив того й іншого сукна, якщо синє коштувало 5 карбованців за аршин, а чорне - 3 крб.

Розв'язання. Нехай синього сукна було х аршин, тоді чорного (138- х) - аршин.

5 х +3(138- х)=540;

5 х +414-3 х =540;

2 х =126;

х =63(аршини) - синього;

138-63=75(аршин) - чорного.

Відповідь. 63 аршини синього сукна, 75 аршин чорного.

Задача з "Курсу чистої математики" Войтяхівського

Пляшка з пробкою коштують 12 копійок. Пляшка коштує на 10 копійок дорожче, ніж пробка. Скільки коштує пляшка і скільки пробка?

Розв'язання. Нехай пробка коштує х коп., тоді пляшка (х +10) коп.

х+(х+10)=12;

2 х=2;

х=1(коп.) - коштує пробка.

1+10=11 (коп.) - вартість пляшки.

Відповідь. Пробка коштує 1 коп., пляшка - 11 копійок.

Задача з "Арифметики" Л.Ф. Магницького

Купець купував олію. Коли він давав гроші за 8 бочок олії, то у нього залишилося 20 алтин. Коли ж став давати за 9-ту бочку, то не вистачило півтора рублі з гривнею. Скільки грошей було у купця?

Довідка.

1 рубль=10 гривень, 1 гривня=10 копійок, 1 алтин=3 копійки.

Розв'язання. Нехай бочка коштує х руб.

8х+0,6=9х-1,6;

х=2,2 руб.

До покупки в нього було 2,28+0,6=18,2 руб.

Відповідь. У купця було 18 рублів і 2 гривні.

Задача з "Арифметики" Л.Ф. Магницького

Один чоловік, найнявши працівника на рік, пообіцяв йому дати 12 руб. і каптан. Але той, відпрацювавши 7 місяців, захотів звільнитись і попросив гідної плати з каптаном. Господар дав йому гідний розрахунок - 5 руб. і каптан. Питається, яка ціна каптана?

Розв'язання. Нехай х - вартість каптана. Маємо рівняння:

7·(x + 12):12 = x + 5;

7х+84=12х+60;

5х=24;

х=4,8.

Відповідь. 4,8 руб. вартість каптана.

З народної творчості

Летить зграя гусей, а назустріч їм летить один гусак і каже: «Здрастуйте, сто гусей!». «Нас не сто гусей, - відповідають йому гуси. - Якби нас було стільки, скільки тепер, та ще стільки, та півстільки, та чверть стільки, та ще ти, гусак, з нами, так тоді нас було б сто гусей». Скільки було гусей у зграї?

Розв'язання. Нехай кількість гусей - х, тоді отримаємо рівняння: x+x+x/2+x/4+1=100.

Відповідь. 36 гусей.

Задача з використанням чисел Фібоначчі

Головоломка з «Книги абака» Леонардо Фібоначчі

У січні тобі подарували новонароджених кроликів. Через два місяці вони народжують нову пару кроликів. Кожна нова пара кроликів через два місяці після народження народжує нову пару. Питання: скільки пар кроликів у тебе буде в грудні?

Розв'язання. Розв'язуючи цю задачу, можна побачити, що кількість кроликів, народжуваних кожен наступний місяць - це числа Фібоначчі. У січні - 1 пара, у лютому - 1 пара, у березні - 2 пари, в квітні - 3 пари, у травні - 5 пар, у червні - 8 пар, у липні - 13 пар, у серпні - 21 пара, у вересні - 34 пари, у жовтні - 55 пар, у листопаді - 89 пар, у грудні - 144 пари.

Відповідь. 144 пари.

Задачі, які розв'язуються логічними міркуваннями

Задача, яку в юні роки розв'язав Пуассон (1781-1840 рр.)

Ця задача визначила життєвий шлях Пуассона, який присвятив математиці все своє життя.

Один чоловік має 12 пінт меду і хоче відлити з цієї кількості половину, але в нього немає посудини місткістю 6 пінт. У нього 2 посудини: одна місткістю 8 пінт, а друга - 5пінт. Яким чином налити 6 пінт у посудину на 8 пінт?

Розв'язання. Основні ходи переливання по 2 посудинах представлені такою таблицею:

8-пінтова посудина 8 3 3 0 8 6 6

5- пінтова посудина 0 5 0 3 3 5 0

Відповідь. У таблиці.

Задача Р. Смалліана

Ця задача цікава і дуже проста. Вона здобула широку популярність.

У темній кімнаті стоїть шафа, у ящику якої лежать 24 червоних і 24 синіх шкарпеток. Скільки шкарпеток слід взяти з ящика, щоб з них свідомо можна було скласти принаймні одну пару шкарпеток одного кольору?

Відповідь. Зазвичай на це питання дають неправильну відповідь: 25 шкарпеток. Якби в задачі запитувалося, скільки шкарпеток слід взяти з ящика, щоб серед них було принаймні 2 шкарпетки різного кольору, то 25 шкарпеток була б правильною відповіддю. Але в нашій задачі мова йде про те, щоб серед узятих з ящика шкарпеток принаймні 2-і шкарпетки були одного кольору, тому правильною є відповідь 3 шкарпетки.

Задача Р. Смалліана. Про залізничний рух

Потяг відходить з Бостона до Нью-Йорка. А через годину інший потяг відправляється з Нью-Йорка до Бостона. Обидва поїзди їдуть з однією і тією ж швидкістю. Який з них у момент зустрічі буде на меншій відстані від Бостона?

Примітка: розмірами (довжиною) поїздів можна знехтувати.

Відповідь: Потяги в момент зустрічі будуть на однаковій відстані від Бостона.

Суд Париса

Богині Гера, Афродіта і Афіна прийшли до юного Париса, щоб той вирішив, хто з них найпрекрасніша. Поставши перед Парисом, богині стверджували:

Афродіта. Я найпрекрасніша. (1)

Афіна. Афродіта не найпрекрасніша. (2)

Гера. Я найпрекрасніша. (3)

Афродіта. Гера не найпрекрасніша. (4)

Афіна. Я найпрекрасніша. (1)

Парис, прилігши відпочити на узбіччі дороги, не вважав за потрібне навіть зняти хустку, якою прикривав очі від яскравого сонця. Але богині були наполегливі, і йому потрібно було обирати. Твердження найгарнішої з богинь істинні, а всі твердження двох інших богинь помилкові. Чи міг Парис винести рішення, хто найпрекрасніший серед богинь?

Відповідь. Афродіта - найвродливіша з богинь, згідно з "суду Париса", оскільки істинними можуть бути твердження 1 і 4, помилковими 2, 3, 5.

Головоломка Перельмана. Задача про розмноження мікробів

У банку потрапив 1 мікроб, і через 35 хвилин банка була наповнена мікробами, причому відомо, що кількість мікробів щохвилини подвоювалася. За скільки хвилин банка була наповнена мікробами наполовину?

Відповідь. За 34 хвилини, тому що за 35 хвилин вся банка буде заповнена.

Головоломка Переламана. Рік за три

Позавчора Федору було 17 років У наступному році йому буде 20 років. Як таке може бути?

Відповідь. Дане твердження висловлене 1 січня. День народження Феді - 31грудня. Позавчора йому було 17. Вчора йому виповнилося 18. У цьому році буде 19, а в наступному - рівно 20.

Головоломка Перельмана. Зграя качок

Летіла зграя качок. Одна попереду, дві позаду, одна позаду і дві попереду, одна між двома і три в ряд. Скільки летіло качок?

Відповідь. Летіли одна за одною три качки.

Після виконання ряду історичних завдань нами спостерігалося значне підвищення мотивації до вивчення математики. Діти із задоволенням виконували поставлені завдання та з нетерпінням чекали нових уроків із використанням історичного матеріалу.

2.3 АНАЛІЗ РЕЗУЛЬТАТІВ ДОСЛІДЖЕННЯ

Використання історизмів на уроках математики сприяє формуванню й розвитку пізнавального інтересу, а також є важливою умовою гуманізації змісту математичної освіти, ефективності навчально-виховного процесу і розвитку учнів. Зупинимося на цьому пункті більш детально.

У програмі з математики 2008-2009н.р. зазначено, що важливу роль у навчанні математики відіграє систематичне використання історичного матеріалу, який підвищує інтерес, стимулює потяг до наукової творчості, пробуджує критичне ставлення до фактів, дає уявлення про математику як невід'ємну складову загальнолюдської культури.

Моє курсове дослідження проводилося на базі Луцької ЗОШ №15 І-ІІІ ступеня.

Для з'ясування питань: чи використовують учителі початкових класів історичний матеріал на уроках математики, чи справді він викликає інтерес в учнів, якщо викликає, то який саме матеріал (історичні задачі, біографії вчених, повідомлення про походження символів, знаків, термінів), які труднощі відчувають вчителі при підготовці даного матеріалу, - ми провели анкетування вчителів (Додаток Е).

Рис 1.

Крім того, я з'ясувала, на якому етапі вивчення теми використовують учителі історичний матеріал (рис. 2).

Рис 2.

Як видно з діаграми, вчителі здебільшого використовують історичний матеріал на початку вивчення теми й на останньому уроці семестру, проте, на жаль, дуже низький показник отримано за пунктом „систематично протягом семестру”.

На запитання: «Чи доцільно використовувати історичний матеріал на уроках математики, у позакласній роботі, з метою розвитку інтересу до вивчення математики» - практично всі відповіли „так”.

На запитання: «Які труднощі методичного характеру Ви відчуваєте при підготовці до уроків» - відповіді розподілились так, як подано на рис. 3.

Рис. 3.

Останнє запитання анкети для вчителів початкових класів визначило напрямки моєї роботи і показало, які саме прогалини існують.

У своєму дослідженні я також розглядали наявність історичного матеріалу в шкільних підручниках. (рис. 4).



Рис. 4.

Отже, на думку вчителів, кількість історичних задач і біографій учених необхідно збільшити. Проте обсяг підручника обмежений, і підручники спрямовані на виклад основного матеріалу, який зазначений у програмі. Оскільки результати анкетування вказують на зацікавленість учителів методичними розробками, що стосуються використання історичного матеріалу в шкільному курсі математики, то доцільним буде детальніше вивчити цю проблему та намітити шляхи її розв'язання.

ВИСНОВКИ

мотивація навчання історичний математика

Під час проведення курсового дослідження на практиці мною було з'ясовано, що у кожному класі поступово виділяються конкретні типи відношення дітей до навчання, на які насамперед слід орієнтуватися вчителю.

Найбільш поширений перший тип - хороші виконавці («слухачі та відповідачі»). Вони старанні, але безініціативні. Провідний мотив їхньої діяльності - опосередкований інтерес: радувати батьків, завоювати авторитет у класі, заслужити похвалу вчителя.

Другий тип - діти з інтелектуальною ініціативою: вони мають власну думку, уникають підказок, прагнуть працювати самостійно, люблять складні завдання.

Третій тип - діти, у яких проявляється особливе ставлення до напруженої навчальної діяльності. Вони активні, добре метикують, але думають повільно, а тому перебувають увесь час у напрузі. Вимагають індивідуального підходу.

Четвертий тип - діти із заниженими інтелектуальними здібностями. Вони не можуть самостійно виконувати навчальні завдання, перебувають у пригніченому стані або, навпаки, демонструють відчайдушність. Головне для них, щоб учитель їх не помітив. Причини тут різні: незрілість дитини, слабка дошкільна підготовка. Нарешті, в кожному класі є невелика група дітей, яких об'єднує негативне ставлення до навчання. Діти не можуть освоїти шкільну програму по причині інтелектуальної відсталості, глибокої занедбаності.

На жаль, більшість стародавніх головоломок складні, і тому не підходять для початковій школи. Як не дивно, але у вітчизняних навчальних посібниках багато порівняно простих завдань даного класу. Адже підлягає сумніву, що вони допоможуть дітям у цікавій формі швидше освоїти дії додавання, віднімання і попрактикуватися в комбінаториці.

Форми включення історико-математичного матеріалу:

На уроках:

- історичні відступу на уроці (розмова 2-10 хвилин);

- повідомлення історичних відомостей, органічно поєднаних з програмним матеріалом;

- спеціальні уроки з історії математики.

На позакласних заняттях:

- математичні гуртки;

- історико-математичні вечори;

- стінна газета;

- позакласне читання;

- домашнє твір;

- складання альбомів і альманахів;

- робота зі збору «народної математики»;

- повідомлення вчителя, або учнів на класних зборах;

- розмови, лекції, доповіді вчителя, або запрошених науковців;

- перегляд спеціальних науково-історичних кінофільмів і діапозитивів.

Основні засади, у яких будуються пізнавальні завдання історико-математичного характеру:

- охоплення основних тем шкільного курсу математики;

- актуальність теми для історії краю чи країни;

- розкриття загальних закономірностей в історичному розвитку науки, особливостей у розвитку вітчизняної математики;

- розмаїтість пізнавальних завдань за формами і змістом, за рівнем складності;

- враховувати інтереси учнів.

Використання пізнавальних завдань призводить до позитивних результатів тоді, коли має місце:

- систематична постановка завдань;

- поступове і послідовне їхнє ускладнення;

- усвідомлення учнями ролі й значення завдань у розвитку їх пізнавальних здібностей;

- максимальне наближення завдань до потреб і основних тенденцій інтелектуального розвитку учнів.

Вимоги до розробки системи пізнавальних завдань історичного характеру:

- глибока науковість матеріалу завдань;

- органічність зв'язку з програмою з математики;

- спрямованість завдань на отримання нових знань, на повторення чи закріплення умінь і навиків, використання різних джерел отримання та методів дослідження;

- завдання мають носити проблемний характер, орієнтувати на самостійний пошук, дослідження і викликати підвищений інтерес.

Важливу роль у навчанні математики відіграє використання історичного матеріалу, який підвищує інтерес до вивчення математики, стимулює потяг до наукової творчості, пробуджує критичне ставлення до фактів, дає учням уявлення про математику як невід'ємну складову загальнолюдської культури. На дохідливих змістовних прикладах слід показувати учням, як розвивалися математичні поняття і відношення, теорії й методи.

Під час проведення експериментальної роботи по використанню відомостей з математики на уроках для формування мотивації учіння, я побачила, що незаперечним є те, що розв'язання історичних задач - один із засобів, що сприяють кращому засвоєнню математики і підвищенню математичної культури учня. За їх допомогою учні виразніше розуміють сутність математичних понять, теорем, математичних перетворень. Історичні задачі активізують розумову діяльність учнів, розвивають увагу, спостережливість, пам'ять, мову, підвищують інтерес до матеріалу.

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Баврин І.І., Фрибус Є.А. Цікаві завдання по математиці. - М, - 1999.

2. Баврин І.І., Фрибус Є.А. Давні завдання. - М., - 1994.

3. Бантова Н.А., Бельтюкова Г.В. Методика викладання математики у початкових класах: Навчальний посібник учнів шкіл. Відділень пед. училищ. (Спец. №2001) /За ред. М.А.Байтової - 3 вид., випр. - М.: Просвітництво, 2002 - 335с.

4. Бевз В.Г. Практикум з історії математики: Навчальний посібник для студентів фізико-математичних факультетів педагогічних університетів. - К.: НПУ імені М.П.Драгоманова, 2008. - 312 с.

5. Бєлов В.М. Головоломки близькі й далекі.//Компьютерра 2000 №1.

6. Депнан І.Я. Історія арифметики. - М, - 1965.

7. Євтушенко Н.В., Коваленко О.І. Історичні задачі як засіб формування і розвитку загальнокультурної компетенції. Навчально-довідковий посібник. Вид. 1-е. - Чернігів: ЧОІППО імені К.Д.Ушинського, 2011. - 56 с.

8. Леман І. Захоплююча математика. - М., - 1985.

9. Нестеренко Ю.В.,Олесник С., Потапов М.К. Давні цікаві завдання. - 2-ге вид., випр. - М: Наука. Головна редакція фізико-математичній літератури, 1988. - 160 с.

10. Перельман Я.І. 101 головоломка/ Я.І. Перельман. - М.: АСТ Москва: Астрель, 2008. - 191с.

11. Пилипчук В.В. Розвиток педагогічної майстерності вчителя в предметних методиках навчання: Монографія. - К. - 2007. 0 176 с.

12. Пітерсон Л.Г. Математика, 1 клас, частина третя. - М.: «Баллас», «З-інфо», 2000. - 96с.

13. Попов Г.Н. Збірник історичних завдань із елементарної математики. М. - Л.: Головна редакція науково популярну і юнацької літератури, 1938.

14. Розуменко А.О. Інтегровані уроки з математики та історії в 6 класі середньої загальноосвітньої школи/ А.О.Розуменко // Математика в школі. - 2004. - №7. - С.45 - 48.

15. Сухін І.Г. Цікаві матеріали: початкова школа. - М.:ВАКО, 2004. - 240с. (Майстерня вчителя).

16. Чистяков В.Д. Давні завдання елементарної математики. - 3-тє вид., випр. - Мінськ: «Вища школа», 1978. - 272с.

17. Штейнгаус Р. Сто завдань: перекл. з польск. - 3-тє вид., стереотипн. - М.: Наука, - 1982. - 168с.

ДОДАТОК А

Алгоритм “Перевізник”

1. Перевезти на другий берег козу.

2. Взяти капусту і перевезти на другий берег.

3. Забрати козу на перший берег.

4. Залишити козу на першому березі.

5. Перевезти вовка на другий берег.

6. Повернутись і забрати козу.

ДОДАТОК Б

Біля криниці дві порожні банки. Одна вміщує 5 літрів води, а друга - 3 літри. Наливаючи воду з криниці та переливаючи її з банки до банки, треба зробити так, щоб в одній із банок залишився 1 літр води.

Як, маючи лише 2 глечики місткістю 2 і 7 літрів, набирати з криниці 3 літри води?

1.____________________________________________________________

2.____________________________________________________________

ДОДАТОК В

Цікаві відомості з історії математики, використані під час проведення уроків математики

Число. Натуральні числа. Римська система числення

У місцях, де жили стародавні люди, археологи знаходили предмети з вибитими крапками, надряпаними рисочками, глибокими зарубками. Ці знахідки свідчать про те, що вже в кам'яному віці люди вміли не тільки рахувати, а й фіксувати («записувати») результати своїх підрахунків спеціальними значками для позначення певної кількості предметів. Це відкриття було зроблене близько за 3000 років до нашої ери. Такий запис фактично був прототипом сучасної десяткової системи числення.

З розвитком суспільства удосконалювалася й лічба. Адже потреби торгівлі та виробництва не могли задовольнити такі примітивні засоби лічби, як зарубки на палиці, вузли на мотузці або камінці, складені в купки.

У Стародавньому Римі використовували іншу, недесяткову, форму запису чисел:

І - один, С - сто,

V - п'ять, D - п'ятсот,

X - десять, М - тисяча.

L - п'ятдесят,

Римська система числення ґрунтується на такому принципі: якщо менша цифра стоїть після більшої, то вона додається до більшої: VI = 6, XXXII = 32; якщо менша цифра стоїть перед більшою, то вона віднімається від більшої: IV = 4, VL = 45.

Ця система збереглася і до наших днів. Римські цифри зустрічаються на циферблатах годинників, на пам'ятниках архітектури. Записи «XXI століття», «Розділ VI» добре нам знайомі. Натуральні числа виникли дуже давно. Число - одне з основних понять математики, яке дозволяє виразити результати лічби або вимірювання. Спочатку з'явились числа 1 і 2, трохи пізніше - 3. Комбінуючи ці числа, отримували числа до шести. А про все,що більше за шість казали “багато”.

З плином часу люди навчилися облічувати все більші і більші кількості. Довго вважалося, що існує якесь найбільше число. Наші пращури називали найбільше число “колода” і вважали його рівним 1096. При цьому додавався коментар: “Этого же числа несть более розумети человеку”. І лише згодом люди зрозуміли, що найбільшого числа немає.

Найвидатнішим досягненням людства є сучасна десяткова позиційна система числення. За допомогою цієї системи записують як завгодно великі числа, використовуючи лише десять різних цифр. Таке можливо тому, що одна й та сама цифра має різні значення залежно від її позиції в числі.

Цифри 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 називають арабськими. Однак араби лише розповсюдили систему, створену індусами.

Деякі племена і народи використовували інші позиційні системи числення. Наприклад, індіанці майя використовували двадцяткову систему, а стародавній народ шумери - шістдесяткову.

Сліди двадцяткової системи можна віднайти в деяких європейських мовах. Так, французи замість «вісімдесят» кажуть «чотири рази по двадцять». Розбиття однієї години на 60 хв., а однієї хвилини на 60 с - приклад явного спадку шістдесяткової системи.

Найвидатнішим досягненням людства є сучасна десяткова позиційна система числення. За допомогою цієї системи записують як завгодно великі числа, використовуючи лише десять різних цифр. Таке можливо тому, що одна й та сама цифра має різні значення залежно від її позиції в числі.

Цифри 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 називають арабськими. Однак араби лише розповсюдили систему, створену індусами.

Деякі племена і народи використовували інші позиційні системи числення. Наприклад, індіанці майя використовували двадцяткову систему, а стародавній народ шумери - шістдесяткову.

Сліди двадцяткової системи можна віднайти в деяких європейських мовах. Так, французи замість «вісімдесят» кажуть «чотири рази по двадцять». Розбиття однієї години на 60 хв., а однієї хвилини на 60 с - приклад явного спадку шістдесяткової системи.

«Числа» спалили парламент

У далекому минулому числа позначали зарубками на паличках. Такий спосіб запису чисел був особливо поширений у торгівлі й у побуті. На паличці робили надрізки, що відповідали сумі боргу чи податку. Потім її розколювали пополам і одну половину давали боржникові, а другу зберігав той, хто давав позичку. Правильність розрахунків перевіряли, складаючи обидві половинки палички.

Такий спосіб боргів існував до недавнього часу в Англії. У 1834 р. було вирішено ліквідувати старі селянські боргові платежі, а нагромаджені палички спалити в печах парламенту. В результаті виникла така пожежа, що згорів і сам будинок парламенту. Разом з ним згорів еталон англійської міри довжини - фут, що зберігався в стіні, і з того часу англійці не мають точної довжини цієї міри.

Улюблена цифра імператора

Розповідають, ніби Карл IV, імператор так званої «Священної Римської імперії», дуже любив цифру чотири.

У країні було чотири столиці, в кожній з них сидів один з чотирьох великих князів. Жив імператор у чотирьох великих палацах, займаючи в них по чотири кімнати. В кімнатах було по чотири вікна, четверо дверей, чотири столи й чотири світильники.

В урочистих випадках імператор надівав чотирикутну корону, виготовлену із сплаву чотирьох металів. Імперію свою він поділив на чотири частини, армію - на чотири корпуси.

Він їздив у кареті, яка була запряжена чотирма кіньми, носив одяг чотирьох кольорів і розмовляв чотирма мовами. Їв він чотири рази на день. Їжа його складалась з чотирьох страв, запивав він її вином чотирьох сортів.

У Карла IV було четверо дітей. Коли він помирав, біля його ліжка було четверо лікарів і четверо духівників, кожний з них писав заповіт однією з чотирьох мов.

Від лічби на пальцях - до обчислювальних машин

Хто винайшов рахівницю?

Коли поняття числа розширилося так, що на пальцях стало лічити важко, люди почали винаходити різні лічильні прилади. Стародавні греки, єгиптяни, римляни використовували абак - лічильну дошку, поділену на смужки, в яких клали й переміщували камінці, а пізніше - спеціальні кружечки - жетони.

Індійці-брахмани використовували кісточки на шнурку, які вони перебирали, перелічуючи імена богів. На сході була поширена китайська рахівниця - суан-пан. На кожній дротині цієї рахівниці було сім кісточок - в одній половині 5 і в другій 2. Одна кісточка другої половини означала 5 кісточок першої. Японська рахівниця - соробан - відрізнялася від суан-пана тим, що в другій половині у неї було не дві, а одна кісточка. Ці рахівниці були побудовані, по суті, на основі п'ятіркової системи числення.

Найзручнішу рахівницю винайшов російський народ. В її основу покладено десяткову позиційну систему числення. У 1812 році під час походу Наполеона на Росію у полон попав французький офіцер Понселе. Від'їжджаючи після поразки наполеонівських військ у Францію, він взяв з собою російську рахівницю. Завдяки її зручності вона швидко поширилась у Західній Європі.

Перехідною ланкою від рахівниці стали механічні лічильники. ст. французький математик Блез Паскаль побудував обчислювальну машину, що стала прототипом сучасного комп'ютера. Батько Паскаля був збирачем податків, і йому часто доводилося довго сидіти за підрахунками. Хлопець, щоб полегшити роботу батькові, сконструював із старого годинника обчислювальну машину. Паскалю було тоді 18 років. Машина була недосконалою. Недосконалою була також лічильна машина, яку пізніше винайшов німецький математик Лейбніц. Тільки механікам кінця ХVІІІ ст. пощастило створити машини, які хоч і мали недоліки, але діяли безперервно. Ці машини стали прообразами сучасних арифмометрів.

Першою лічильною машиною, яка набула великого поширення, був арифмометр, сконструйований інженером Однером у 1874 р. А у 1878 р. великий російський математик Пафнутій Чебишов винайшов і виготовив першу в світі оригінальну обчислювальну машину-автомат.

Історія знаків =, >, <

Знак рівності ввів у ХVі ст. англієць Р.Рекорд у вигляді двох невеликих горизонтальних паралельних відрізків. Цей знак викарбовано на могильному камені Рекорда. Проте оскільки нові друкарські знаки в ті часи запроваджувались дуже повільно, навіть у ХVІІ ст. багато авторів для позначення рівності користувались двома паралельними вертикальними відрізками або словом «дорівнює».

Зате легко увійшли в ужиток знаки > і <, бо друкарні мали можливість використовувати знак V (римське 5), який існував з давніх-давен і в іншому положенні давав знаки > і <. Ці знаки вперше зустрічаються в ХVІІ ст. у працях англійського вченого Т.Гарріота.

Розв'язування задач за допомогою рівнянь

Пам'ятки стародавньої культури Єгипту свідчать, що вже 4 тисячі років тому деякі задачі розв'язували за допомогою рівнянь. Правда, робили це дещо інакше, ніж тепер, бо в ті часи навіть не було буквеної символіки, і все записували словами.

Великий грецький математик Діофант (ІІІ ст. до н.е.) багато зробив для розвитку математики. Він ввів деякі буквені позначення, щоб полегшити розв'язування рівнянь. Коефіцієнт Діофант ставив не перед змінною, як робимо це ми, а після змінної.

Алгебра виникла як наука про розв'язування рівнянь. Слово алгебра походить від назви праці узбецького вченого Мухаммеда бен-Муси з Хорезма (ІХ ст.) «Кітаб алджебр ал-мукабала» («Книга про відновлення і протиславлення»).

Як виникли знаки плюс і мінус?

Сучасні знаки + і - стали загальновизнаними, починаючи з ХVІІ ст. Уперше ці знаки з'явилися в праці Лейпцігського професора Й. Відмана (1489).

Вважають, що знаки + і - виникли з торговельної практики: знак - для позначення недостачі, збитку, з знак + для позначення прибутку.

У різних народів знаки додавання і віднімання спочатку мали різну форму. Так, у стародавніх єгиптян знак плюс нагадував зображення двох ніг, що рухалися вперед:, а знак мінус - зображення двох ніг, що рухалися назад:.

З історії виникнення знаків множення

У 1631 р. англійський математик Оутред для позначення дії множення ввів косий хрестик: Ч. Знак множення крапку, запропонував німецький математик Лейбніц. У ХVІІІ ст. цей знак став загальноприйнятим. Тепер, як ви знаєте, використовують обидва знаки множення: і крапку, і косий хрестик. Крапкою користуються при множенні в рядок, а косий хрестик використовують при множенні в стовпчик.

Множення і ділення

Протягом багатьох століть люди шукали кращі прийоми виконання множення. Спочатку дія множення зводилась до додавання. Якщо треба було помножити якесь число, наприклад, 26 на 2 чи на 3,4,5,6, то брали його доданком 2,3,4,5,6 разів і знаходили суму. Множення більших чисел зводили до послідовного множення і ділення на 2 («Подвоєння і роздвоєння»). Такий спосіб дістав «російського способу множення».

Таблиця множення вперше зустрічається в книзі «Вступ до арифметики» грецького математика Нікомаха (ІІ - І ст. до н.е.). однак вона мала досить складний вигляд. Взагалі багато таких таблиць аж до ХV ст. загромаджували словами: «один раз», «двічі», «тричі» і т.д.

В одних авторів таблиця має форму прямокутника, в інших - трикутника. Таблиця у формі трикутника вперше зустрічається в рукописах ХІІ ст. У ХV ст.. таку таблицю склали французький математик Шюке і чеський математик Відман, який надав їй майже сучасної форми.

Таблиця множення на пальцях

а) Множення на 9

Покладемо кисті рук долонями на парту і вважатимемо, що кожний палець має свій номер: перший зліва - 1, другий - 2, третій - 3 і т.д.

При множенні на 9 піднімаємо той палець, номер якого означає множене. Кількість пальців зліва від піднятого означає число десятків добутку, а справа - число одиниць. Наприклад, щоб помножити 4 на 9, піднімаємо четвертий палець. Зліва від нього - 3 пальці, а справа - 6. Отже, 4 • 9=36.

б) Множення чисел, більших від 5

Нехай треба помножити 7 на 8. На лівій руці, зігнутій у кулак, розгинаємо 2 пальці (7-5=2), на правій - 3 пальці (8-5=3). Число розігнутих пальців обох рук додамо: 2+3=5. Це - десятки добутку. Числа зігнутих пальців перемножимо: 2•3=6 - це одиниці.

Отже, 7•8=50+6=56.

Аналогічно, 6•8=(1+3)•10+4•2=48.

6•6=(1+1)•10+4•4=36.

Вправи з множення на пальцях доцільно виконувати з учнями замість фізкультхвилинки.

Історія знака ділення

У різні часи дію ділення записували по-різному. Довгий час спочатку записували дільник, а замість знака ділення писали дужки. Араби, а пізніше і європейці для позначення ділення писали горизонтальну риску. Фламандський математик Сімон Стевін (XVІ ст.) як знак ділення застосовував літеру D. Дві крапки як знак ділення запропонував Лейбніц (1684 р.).

Термін «ділення», «ділене», «дільник» у сучасному розумінні почали вживати в Х ст. Результат ділення ще довго називали «сумою ділення». Термін «частка» з'явився в ХІІІ ст. в італійського математики Леонардо Пізанського.

Учений ступінь за дію ділення

Вивчення дії ділення можна розпочати з такої бесіди.

Колись дія ділення вважалася надзвичайно важкою. В середні віки людям, які вміли добре виконувати ділення, присуджували вчені ступені. В XVІІ ст. ірландського ченця Беда, прозваного Високоповажним, вважали найосвіченішою людиною тому, що він умів майстерно виконувати ділення,йому приписують слова: «Хто вміє ділити, тому жодна справа не здаватиметься важкою». Таку саму думку висловлює в XVІ ст. французький математики П'єр Рамус: «Потрібен хороший розум, хороша пам'ять і хороша рука для щоденного вправляння в діленні тому, що велика різноманітність обчислень потребує високого розуму, постійної уваги і вірної руки більше, ніж будь-де. І ніхто не може вважати, що він воістину старанно займається математикою, якщо кожного дня під час занять арифметикою не робить ділення над кількома по можливості більшими числами».

Історія виникнення від'ємних чисел

Виникли від'ємні числа і Китаї в І ст. до нашої ери в зв'язку з розв'язуванням рівнянь. Оскільки в ті часи знаків плюс і мінус не було, то їх на відміну від додатних чисел зображали іншим кольором. Додатними числами позначали майно, наявні гроші, прибуток. Їм раділи і позначали їх червоним кольором (китайці їх називали «чен»), від'ємними числами позначали борг, збиток і зображували їх чорним кольором (їх називали «фу»).

Індійські математики Брахмагупта (VІІ ст. н.е.) і Бхаскара (ХІІ ст.) склали правила дій для від'ємних і додатних чисел:

«Сума майна є майно».

«Сума двох боргів є борг».

«Сума майна і боргу дорівнює їх різниці».

«Сума майна і такого самого боргу дорівнює нулю».

«Добуток боргу на борг є майно» і т.д.

Але важко було уявити, як це з боргів (перемножених) може вийти «майно». Тому довгий час від'ємних чисел не визнавали, вважали нас несправжніми, абсурдними, фіктивними. Бхаскара так і писав: «Люди не схвалюють від'ємних чисел».

Важко входили від'ємні числа в математику.. в Європі вперше про них згадує італійський математик Леонардо Пізанський (Фібоначчі, ХІІ - ХІІІ ст.). Німецький математик Михайло Штіфель (ХVІ ст.) називає від'ємні числа «меншими ніж ніщо». Він пише: «Нуль міститься між істинними і абсурдними числами».

У ХVІІ ст. французький математик Рене Декарт у славнозвісній книзі «Геометрія» зобразив нас за допомогою монорейкової дороги. «Монос» слово грецьке і означає «один», отже, монорейкова дорога - дорога з однією рейкою. Як лінійка. Але на лінійці відкладено лише додатні числа (справа від нуля). А на монорейковій дорозі, крім того, від'ємні числа, розміщені поряд з додатними числами, що розділяються нулем.

Дільники і кратні

Поняття дільника і кратного даного числа краще вводити паралельно. Можна розпочати з такого завдання: «В одній із старих легенд говориться, що батько, помираючи, заповів трьом синам поділити між собою 19 верблюдів. Старший син мав одержати половину, середній - четверту частину, а наймолодший - п'яту частину всіх верблюдів. Довго не могли брати поділитись, адже 19 не ділиться ні на 2, ні на 4, ні на 5. Тоді вони звернулись до мудреця, що їхав на верблюді. І він виконав заповіт батька так, що всі залишилися задоволеними. Як він це зробив?»

Відповідь. Мудрець додав до 19 верблюдів ще й свого верблюда і 20 верблюдів поділив на 2, 4, 5. Старший син одержав 10 верблюдів, середній - 5 - і наймолодший - 4, а мудрецю залишився його верблюд.

Прості і складені числа

Решето Ератосфена

Решетом Ератосфена називали дошку вкриту воском. Щоб дістати прості числа першої сотні, старогрецький учений Ератосфен записував на воску послідовність натуральних чисел до 100 і проколював голкою всі не прості числа. Перше просте число 2 Ератосфен залишив, а далі проколював усі числа, що діляться на 2, тобто кожне друге число. Перше число, що залишилося після двійки, 3. Воно просте. Далі виколював усі числа, що діляться на 3, тобто кожне третє число. Аналогічно виключав складені числа, кратні 5, і далі - кратні 7. Після цього залишаться тільки прості числа, бо наступне за 7 просте число 11, але добуток 11·7=77, а 11·11=121>100, отже, всі числа першої сотні, кратні 11, а також 13, 17 і т.д., вже «просіялись». Таким чином, Ератосфен одержав лише прості числа.

Історичний жарт

Видатний англійський фізик і математик Ньютон дуже не любив, коли його відволікали від наукових досліджень. Тому він, щоб кожного разу не відкривати кішці двері, зробив у них круглий отвір. Коли в кішки з'явились кошенята, він для кожного з них зробив такий же отвір, але меншого розміру. А коли один його друг зауважив, що кошенята могли б користуватись тим самим отвором, що й кішка, Ньютон відповів:

Бач, а я до цього й не додумався!

ДОДАТОК Г

Р. Сухін. «Цікаві матеріали».

1. Числові горизонталі з порожніми клітинами. (Завдання з додатковими умовами) с. 11.

У наступних завданнях-рівностях у порожні клітини потрібно помістити такі цифри, щоб приклади було вирішено правильно. Причому у одній клітці має бути лише одна цифра.

1. 9 + = 0 +

2. - 4 = 5 +

3. Тут немає однакових цифр. 9 + = 1 +

4. У правилах завдання немає нуля й однакових цифр.

9 + = 2 +

5. У нових завданнях у порожніх клітинах - однакові цифри.

6 - = + 6

6. 9 - = 3 +

Відповіді:

1. 9 + 0-0 + 9

2. 9-4-5 + 0

3. 9 + 0=1+8

4. 9+1=2 + 8

5. 6-2=2 + 2

6. 9-3 = 3 + 3

2. Завдання з цифрами, з 40.

В усіх наступних життєвих завданнях зазначена ціла кількість, потрібно виконати завдання, використовуючи набір однакових цифр, дозволяється використовувати лише знаки «+» і «-» (дужки не застосовувати).

Завдання з двійками.

(Рахунок від 0 до 10)

1. Двома двійками покажіть число 0.

2. Користуючись трьома цифрами 2, висловіть число 2.

3. Одержите число 4 із двох цифр 2.

4. Уявіть число 6 з допомогою трьох 2.

Відповідь:

1. 0-2-2

2. 2-2 + 2-2 чи 2-2 + 2

3. 4-2 + 2

4. 6 = 2 + 2 + 2

3.Заголовки з цифрами, що не повторюються.

(Рахунок від 0 до 10).

В усіх наступних завданнях пропонується певна кількість послідовно розташованих однозначних чисел (1, 2, 3, 4 тощо.) між якими необхідно розставити знаки «+» і «-». Порядок розташування цифр в жодному з завданні змінювати не можна. Знаки множення, ділення і дужки не застосовувати. При поопераційних обчисленнях не використовувати числа більші, ніж 10, й від'ємні числа. В усіх числових висловлюваннях цифри повинні розташовуватися по порядку з ліва направо, починаючи з одиниці.

П'ятьма цифрами.

Напишіть число 9 з допомогою цифр 1, 2, 3, 4 і 5.

Відповідь: 1+2-3 + 4 + 5

Старовинний математичний фокус, з 184.

Запиши тризначне число: таке, щоб перша цифра була на 2 більше, ніж третя. Наприклад: 755. запиши його цифрами у порядку: 557. Від першого вирахували друге: вийде 198. Ця кількість знову запиши навпаки: 891. Обидва останні числа додай: 198 + 891 = 1089.

Дивна річ, які б числа не брав, у відповідь завжди буде 1089!

Тепер запропонуй провести всі ці дій з числами комусь із друзів. Уявляєш, як вони здивуються, коли не будеш в нього запитувати, скільки вийшло внаслідок (як це буває в інших математичних фокусах), а сам скажеш відповідь.

ДОДАТОК Д

Олехин С. «Давні цікаві завдання». Частина перша. Т. Життєві історії.

Спекотний день з десятьма.

Спекотний день 6 косарів випили барило квасу за 8 годин. Потрібно дізнатися, скільки косарів упродовж трьох години вип'ють той самий барило квасу.

Відповідь: 16. Частина друга.

Скільки кому років?

Скільки років синові. с. 34.

«Скільки років твоєму синові?» - запитав один чоловік свого приятеля. Приятель відповів: «Якщо до віку мого сина додати стільки так ще половину, то буде 10 років».

Скільки років синові?

Відповідь: 4 року. Частина третя.

Задачі-жарти, задачі-загадки

Скільки качок. с. 53.

Летіли качки: одна попереду ще й дві позаду, одна минуло й дві попереду, одна між двома і ще дві до кількох. Скільки летіло качок?

Відповідь: 3 качки.

ДОДАТОК Е

Анкета для вчителів початкових класів

1. Як часто ви використовуєте історичний матеріал?

2. Коли ви використовуєте історичний матеріал на уроках?

3. Які труднощі методичного характеру Ви відчуваєте при підготовці до уроків?

4. Чи в достатній мірі наповнені підручники історичним матеріалом?

Размещено на Allbest.ru