Методика викладання курсу множин та відношень в сучасній школі

Размещено на http://www.allbest.ru/

Зміст

Вступ

Розділ І. Науково-теоретична і методична система досліджень

1.1 Множини і відношення як навчальний предмет у загальноосвітній школі

Розділ II. Методика викладання курсу множин та відношень в сучасній школі

2.1 Поняття множини. Елемент множини. Порожня множина

2.2 Способи задання множин

2.3 Відношення між множинами

2.4 Універсальна множина

2.5 Геометрична фігура

2.6 Круги Ейлера

2.7 Означення перерізу двох множин

2.8 Означення об'єднання двох множин

2.9 Розбиття множин на підмножини, що попарно не перетинаються

2.10 Означення різниці двох множин

2.11 Доповнення до об'єднання і перерізу множин

2.12 Числові множини

Розділ IІІ. Система задач для вивчення множин і відношень в сучасній школі

Висновки

Література

Вступ

Німецький математик Георг Кантор (1845 - 1918), коли йому було 30 років, досліджуючи тригонометричні ряди і числові послідовності, опинився перед необхідністю порівнювати між собою нескінченні сукупності чисел. Для розв'язання проблем, що постали при цьому, Кантор ввів поняття множини, відповідно розвинув це поняття і став одним із засновників теорії множин.

Поява теорії множин була зустрінута з ентузіазмом багатьма авторитетними математиками. Вони побачили в ній можливість створення метамови математики, тобто формальної одностайної системи понять і принципів, за допомогою якої можна було б викласти з єдиних позицій зміст різноманітних традиційно далеких один від одного розділів математики. Перші такі досить успішні спроби були виконані вже незабаром після виникнення канторівської теорії множин.

Однак пізніші дослідники виявили в теорії Кантора чимало суперечностей: так званих парадоксів або антиномій теорії множин. Виникла кризова ситуація. Одна частина математиків, посилаючись на штучність сформульованих антиномій, вважала за краще не помічати ці суперечності або не надавати їм великого значення. У той час як інша (скажімо, відповідальніша) група математиків зосередила свої зусилля на пошуках більш обгрунтованих та точних принципів і концепцій, на яких могла б бути побудована несуперечлива теорія множин.

У результаті було запропоновано кілька формальних (або аксіоматичних) систем, які служать фундаментом сучасної теорії множин, а значить, фундаментом всієї класичної математики. Важливість цих досліджень серед іншого підкреслює той факт, що значний внесок у становлення аксіоматичної теорії множин зробили такі видатні математики і мислителі нашого століття, як Б.Рассел, Д.Гільберт, К.Гедель та ін.

У сучасній математиці поняття множини вважається одним з основних. Так або інакше з нього починається викладання традиційних математичних дисциплін і побудова нових математичних теорій, що виникають у зв'язку з поширенням сфери застосування математики. Універсальність цього поняття полягає в тому, що під нього можна підвести будь-яку сукупність як матеріальних, так і нематеріальних об'єктів. Тут підійде все: марки, люди, зірки, птахи, квіти, книжки, числа, точки, функції, аксіоми, відтінки, типи людських характерів, війни, революції тощо.

Мета роботи дослідити методику вивчення множин і відношень.

Об'єкт роботи процес діяльності вчителя і учня при вивченні множин і відношень.

Предмет роботи методична система вивчення множин і відношень.

Відповідно до мети були поставленні наступні завдання:

- провести аналіз програм з математики;

- виявити взаємозв'язки між темами;

- проаналізувати методичне забезпечення дисципліни, зокрема по темі курсової роботи.

Для досягнення мети та розв'язання поставлених завдань були використанні теоретичні (аналіз психолого-педагогічної навчальної та методичної літератури з проблеми дослідження, змісту програм і підручників для різних типів шкіл) та емпіричні (вивчення вітчизняного та зарубіжного педагогічного досвіду, аналіз уроків, спостереження, бесіди з вчителями, батьками та учнями) методи досліджень.

Розділ І. Науково-теоретична і методична система досліджень.

1.1 Множини як навчальний предмет у загальноосвітній середній школі

множина відношення навчальний школа

Нині школи України працюють за навчальними планами, які певною мірою враховують національні особливості нашої держави і нові соціальні вимоги до форм і рівня освіти. Вони від повідають вимогам рівневої і профільної диференціації, потребам індивідуальної та групової роботи з окремими категоріями учнів. Згідно з планом математика вивчається (в основному) 4 год на тиждень в усіх класах, починаючи від 1 до 9 і 3 год - в 10-11 класах, тобто на вивчення математики припадає найбільша кількість годин порівняно з іншим предметами. У варіативній частині плану виділяється резерв годин для індивідуальних та групових занять на вивчення математики. Цей фактор накладає ще більшу відповідальність на вчителя математики за якість математичної підготовки школярів. Цілі навчання математики безпосередньо випливають з цілей завдань загальної середньої освіти, які зазначені у Державній національній програмі «Освіта» («Україна XXI століття»). Головною метою є подальший всебічний розвиток дитини як цілісної особистості, її здібностей і обдарувань, збагачення на цій основі інтелектуального потенціалу народу, Його духовності й культури, сформування громадянина України, здатного до свідомого суспільного вибору . Отже, всебічний розвиток особистості, створення для цього сприятливих умов - головна мета школи. Мета навчання і виховання підпорядковані розвитку і виступають як загальні форми, засоби розвитку. Виходячи із зазначеного, можна сформулювати основні цілі навчання математики в школі:

1)розумовий розвиток учнів - розвиток логічного мислення й інтуїції» просторових уявлень і уяви, пам'яті, алгоритмічної та інформаційної культури як особливого аспекту культури мислення; формування позитивних якостей особистості - розумової активності, пізнавальної самостійності, пізнавального інтересу, потреби в самоосвіті, здатності адаптуватися до умов, що змінюються, ініціативи, творчості;

2)забезпечення свідомого і міцного оволодіння системою математичних знань, навичок і умінь, потрібних у повсякденному житті і майбутній трудовій діяльності кожному членові сучасного суспільства, достатніх для вивчення інших дисциплін, продовження освіти в системі безперервної освіти; формування уявлень про ідеї і методи математики та її роль у пізнанні навколишнього світу, формування навичок математизації ситуацій під час досліджень різних явищ природи і суспільства;

3)формування наукового світогляду, загальнолюдських духовних цінностей; виховання національної самосвідомості, поваги до національної культури і традицій України; формування позитивних рис характеру (чесності й правдивості, наполегливості; волі, культури думки і поведінки, обґрунтованості суджень, відповідальності за доручену справу тощо); естетичне, екологічне, економічне, патріотичне, трудове виховання, професійна орієнтація на виховання здорового способу життя.

Множини вивчаються в загальноосвітній школі в одинадцятому класі. На дану тему виділено шкільною програмою 8 годин. Тема має назву:“Елементи комбінаторики”. Метою є: ввести поняття множини та її елементів, ознайомити з видами множин та операціями над ними. Навчитись виконувати зазначені операції.

Програма для класів із поглибленим вивченням математики на тему “Множини. Елементи математичної логіки. Комбінаторика ” виділяє у восьмому класі 12-17 годин, в дев'ятому - 17 -20 годин.

Під час вивчення теми “ Множини і відношення” учні повинні знати: означення перерізу, об'єднання, різниці, доповнення множин, впорядкованої множини; учні повинні вміти: задавати множини основними способами: утворювати підмножину даної множини, знаходити об'єднання, переріз, різницю даних множин.

Якщо навчальним планом школи передбачена інша кількість годин для поглибленого вивчення математики, то вчитель самостійно здійснює та обґрунтовує модифікацію даної програми та тематичне планування відповідно до вибраного підручника з урахуванням підготовленості класу, інтересів учнів.

Розділ II. Методика викладання множин і відношень в сучасній школі

2.1 Поняття множини. Елемент множини. Порожня множина

Теорія множин як галузь математики виникла порівняно недавно - в середині ЧІЧ століття. ЇЇ засновником є німецький математик Георг Кантор (1845 - 1918).

Основним поняттям в теорії множин є поняття множини. Воно первісне, тобто неозначуване, але його зміст можна розкрити шляхом опису, з допомогою конкретних прикладів. У повсякденному житті термін „множина” має ряд синонімів: сукупність, колекція, клас, ансамбль, група і ін. Наприклад, множина квітів у вазі - „букет”, множина птахів, що пролітають одночасно, - „зграя”, множина овець - „отара” і т.п.

В математиці термін „множина” також має ряд синонімів. Так, замість „множина значень змінної” говорять область значень змінної, „множина двох рівнянь” - „система двох рівнянь”, „множина кривих” - „сім'я кривих” тощо.

Отже, під множиною розуміють сукупність певних об'єктів, які мають деяку спільну ознаку чи властивість. (Останнє речення не слід вважати означенням множини, бо, як уже вказувалось, це поняття неозначуване).

Об'єкти, з яких складається множина, називаються її елементами. Множини прийнято позначати великими буквами латинського алфавіту

(А,В,С, ...), а елементи множин - малими буквами цього ж алфавіту (а,в,с, ...).

Якщо деякий елемент х належить множині А, то це записують так:

х є А; якщо ж деякий елемент у не належить множині В, то це записують так: у В, або у В (Знак „є” читається „належить”).

Якщо множина складається із скінченного числа елементів, то її називають скінченною множиною. Наприклад, множина цифр десяткової системи числення є скінченною, оскільки складається з десяти цифр, що є її елементами. Якщо множина складається із нескінченного числа елементів, то її називають нескінченною. Якщо множина не містить жодного елемента, то вона називається порожньою і позначається символом .

2.2 Способи задання множин

Задати множину - означає охарактеризувати її елементи так, щоб відносно будь-якого об'єкта можна відразу встановити, чи належить він даній множині, чи ні.

Є два способи задання множин: перелік і опис. Якщо деяка скінченна множина А вміщує, наприклад, 4 елементи а, в, с, d, то це записують так: А = { а, в, с, d } і читають: „ А - множина, елементи якої а, в, с, d”. Описом можна задати скінченну і нескінченну множини. Задати множину описом означає вказати характеристичну властивість елементів множини. Наприклад, множина А натуральних чисел, менших 6. Ця множина задана описом, тому що вказана характеристична властивість всіх елементів множини, а саме бути натуральним числом і меншим від числа 6. В символічній формі задання цієї множини переліком можна записати так: А = { 1, 2, 3, 4, 5}, а задання описом так:

А = { х / х є N х < 6 } або

А = { х / х є N, х < 6 }.

Знак „ ” читається „ і”. Все співвідношення читають так: „ множина А складається з таких елементів, кожен з яких є натуральним числом, яке менше 6”.

2.3 Відношення між множинами

Відношення включення

Якщо всі елементи множини В є також і елементами множини А, то говорять, що множина В включається в множину А, або множина В є підмножиною множини А. Символічно це записують так: В А. І читають В є підмножиною множини А. Це означає, що множина В перебуває у відношенні включення з множиною А.

Якщо кожний елемент непорожньої множини В належить до множини А, але множина А містить принаймні один елемент, який не належить множині В, то множина В називається власною підмножиною множини А. Це записується так: В А. (Знак називається знаком строгого включення). Цей запис читають так: В є власною підмножиною множини А. Наприклад, множини В = { 1, 2 }, С = { 1, 2, 3 }, Д = { 1 }, Е = { 2, 4 } є власними підмножинами множини А = { 1, 2, 3, 4 }.

Крім власних підмножин, кожна непорожня множина А має дві невласні підмножини: порожню множину () і саму себе. В символічній формі це записують так: А і А А.

Таким чином, непорожня неодноелементна множина А має дві невласні підмножини / і А / і кілька власних підмножин.

Відношення включення має такі властивості:

1) рефлексивність: А А, тобто кожна множина включається в саму себе;

2) антисиметричність / стосується відношення строгого включення /:

А В В А, тобто якщо множина А є власною підмножиною множини В, то множина В не є власною підмножиною множини А;

3) транзитивність:

А В В С А С, тобто якщо множина А є власною підмножиною множини В, а остання є власною підмножиною множини С, то множина А є власною підмножиною множини С.

Множини зображають внутрішніми точками круга або замкнутого криволінійного контура без точок самоперетину, наприклад,



Таке зображення називають кругом Ейлера або діаграмою Ейлера- Венна. Відношення строгого включення ілюструють так:

А В

Властивість транзитивності цього відношення ілюструється так:

А В В С А С

Відношення рівності

Якщо множина А є підмножиною множини В і навпаки, множина В є підмножиною множини А, то множини А і В рівні. Символічно це можна записати так:

А В В А А = В.

Іншими словами, це означає, що в множині В не існує жодного елемента який не належав би множині А, або ж, що множини А і В складаються з одних і тих самих елементів.

Рівними можуть бути не лише множини, задані переліком одних і тих самих елементів, але й множини, які задані описом, причому для них вказані різні характеристичні ознаки. Наприклад, множина А - прямокутників з рівними сторонами дорівнює множині В - ромбів з рівними діагоналями, оскільки вони обидві виражають множину квадратів. Відношення рівності має властивості:

а) рефлексивність: А = А

б) симетричність: А = В В = А

в) транзитивність: А = В В = С А = С.

Відношення перерізу

Якщо деякі елементи множини А є одночасно й елементами множини В, причому в кожній з цих множин є елементи, які не належать іншій множині,

то говорять, що множини А і В перебувають у відношенні часткового включення, або у відношенні перерізу.

Множину, що складається з елементів, які належать одночасно обом множинам (спільну частину множин), називають перерізом даних множин.

В символічній формі переріз множин записують так:

А В = { х / х є А х є В }.

На діаграмі переріз зображають так:

2.4 Універсальна множина

Якщо деяка множина вичерпує всі елементи певної природи у заданому масштабі, то її називають універсальною і позначають символом u, а на діаграмі зображають точками прямокутника. Всі інші множини, утворені з елементів універсальної множини, є її підмножинами. Наприклад, якщо u - множина студентів інституту, то множини А - студентів педагогічного факультету, В - студентів першого курсу, С - студентів - заочників та інші є підмножинами універсальної множини u. Поняття універсальної множини має відносний характер. Деяка універсальна множина може бути підмножиною іншої універсальної множини.

2.5 Геометрична фігура

В сучасному курсі математики геометричною фігурою називають будь - яку непорожню множину точок.

Отже, пряма, відрізок, промінь, трикутник тощо - все це геометричні фігури. Оскільки множина може складатись із одного елемента, то і окремо взята одна точка є геометричною фігурою, як і довільна скінченна множина точок. Якщо фігура є власною підмножиною фігури , то говорять також, що - частина фігури .

Наприклад, відрізок АВ - частина прямої АВ.

2.6 Круги Ейлера

Як уже вказувалось, множини зображають внутрішніми точками круга або замкнутого криволінійного контура без точок самоперетину, тобто діаграмами Ейлера - Венна.

Леонард Ейлер (1707 - 1783) - швейцарський математик, член Петербурзької Академії наук, який майже все життя працював в Росії.

Джон Венн (1834 - 1923) - англійський математик.

З допомогою діаграм Ейлера - Венна наочно зображають відношення між множинами. Так, якщо множини не мають спільних елементів, то діаграма має вигляд:

Якщо множина В є власною підмножиною множини А, тобто множини перебувають у відношенні строгого включення, то діаграма має вигляд:

Якщо множини А і В перебувають у відношенні часткового співпадання або перерізу, то діаграма має вигляд:



2.7 Означення перерізу двох множин

Перерізом двох множин А та В називають таку третю множину, яка складається з тих і тільки тих елементів, які одночасно належать обом множинам. Операцію перерізу позначають так: А В і читають „А в перерізі з В”.

Проілюструємо діаграмами Ейлера -Венна різні випадки перерізу:

1. А В = тоді, коли множини А та В не мають спільних елементів.

2. А В = { х / х є А х є В }

3. А В = А, якщо множина А є власною підмножиною множини В.

Зокрема, А А = А.



4. Легко переконатись, що переріз будь-якої множини А з порожньою множиною дорівнює порожній множині. А = .

5. А u = А.

2.8 Означення об'єднання двох множин

Об'єднанням двох множин А та В називається множина, яка складається з елементів, що належать хоч би до однієї з множин. Операцію об'єднання позначають так: А В.

Символічно означення об'єднання можна записати так:

А В = { х / х є А х є В }

Знак „” означає „або”.

Наприклад:

А = { 2, 3, 4, 5 }, В = { 4, 5, 6 }.

А В = { 2, 3, 4, 5, 6 }.

Як видно з наведеного прикладу, зручно користуватись на практиці „робочим” означенням операції об'єднання множин, а саме:

об'єднанням двох множин А та В називають таку третю множину, до якої належать всі елементи обох множин, причому спільні елементи враховуються лише один раз.

Зображення об'єднання двох множин з допомогою кругів Ейлера

1. А В = {х / х є А х є В}

2. Якщо А В = , то об'єднання множин А та В вміщує всі елементи обох множин. А В

1. Якщо А В, то А В = В

2. Легко переконатись, що об'єднання будь-якої множини А з порожньою множиною дорівнює тій самій множині А. А = А

5. А А = А 6. А u = u

2.9 Розбиття множин на підмножини, що попарно не перетинаються

Якщо задано деяку множину М, з якої за ознакою S виділено підмножину А, елементи якої володіють ознакою S, та підмножину В, елементи якої не володіють ознакою S, то говорять, що виконано розбиття множини М на підмножини А та В, які не перетинаються ( не мають спільних елементів), але в об'єднанні становлять множину М. Наприклад, якщо з множини натуральних чисел ( N ) за ознакою „ділитися без остачі на 2” виділити підмножину чисел, які володіють цією ознакою, то утворимо множину парних чисел. З інших елементів множини N утворимо підмножину чисел, які не володіють ознакою S, тобто не діляться без остачі на 2, і називаються непарними. Очевидно, що серед парних чисел немає непарних і навпаки, але множина парних чисел в об'єднанні з множиною непарних чисел становить множину натуральних чисел.

Таким чином, виконано розбиття множини натуральних чисел на парні і непарні за ознакою „ділитися націло на 2”. Схематично це розбиття можна зобразити так:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Взагалі, розбиттям множини М на підмножини ,... називається утворення таких непорожніх підмножин , ... за деякою ознакою, які попарно не перетинаються, а в об'єднанні становлять дану множину. В символічній формі це означення можна записати так:

, і = 1, 2, ... n М.

= , для всіх і, ј = 1, 2, ... n, і ј.

... = = М.

Розбиття множини М ще називають класифікацією. Якщо в результаті розбиття одержується 2 підмножини ( класи ), то класифікацію називають діхотомічною. Якщо в результаті розбиття утворюється 3 і більше класів, то класифікація недіхотомічна. Прикладом недіхотомічної класифікації є розбиття множини опуклих чотирикутників за кількістю пар паралельних сторін на 3 класи:

1) паралелограми ( 2 пари паралельних сторін );

2) трапеції ( 1 пара паралельних сторін );

3) чотирикутники з непаралельними сторонами ( 0 пар паралельних сторін).

Класифікації ілюструють схемами, приклад якої наведено вище та діаграмами Ейлера - Венна. Наприклад, за наведеною схемою класифікації натуральних чисел побудуємо діаграму:



Круг N зображає множину натуральних чисел, круг Р - множину парних чисел, а заштрихована на діаграмі область - множину непарних чисел. Класифікацію можна виконувати і за двома ознаками одночасно. Тоді говорять, що виконано розбиття за ознакою кон'юнктивної структури, бо кожен об'єкт кожного класу характеризується одночасно двома ознаками (наявністю чи відсутністю обох, або хоч би однієї ).

Наприклад, з множини М за ознакою виділяють два класи А і , елементи яких характеризуються відповідно наявністю та відсутністю ознаки .

Аналогічно за другою ознакою виділяють класи В і .

Після чого розглядають всі можливі перерізи класів А, , В, , внаслідок чого дістають 4 різних класи, елементи яких характеризуються наявністю чи відсутністю ознак і а саме:

А В = { х є М / (х) (х) } = .

( Читаємо клас А В складається з тих елементів множини М, яким властива ознака і ознака ).

А ={ х є М / (х) } = .

Очевидно, що елементи класу характеризуються наявністю ознаки і відсутністю ознаки .

В = { х є М / (х) } = .

= { х є М / = .

Клас вміщує елементи, для яких обидві ознаки і не виконуються. Проілюструємо цю класифікацію діаграмою.

На діаграмі цифрою (1) позначено клас , цифрою (2) - клас , цифрою (3) - клас , цифрою (4) - клас . Розбиття за двома ознаками зручно виконувати так: спочатку виконати розбиття множини на класи за першою ознакою, а потім кожен з одержаних класів розбити за другою ознакою.

Покажемо цей спосіб, виконуючи розбиття множини натуральних чисел за подільністю на 2, а потім за подільністю на 3.

В символічній формі кожен з класів запишеться так:

= { х є N / х 2 х 3},

= { х є N / х 2 },

= { х є N / х 3},

= { х є N / },



Класифікації широко використовуються не лише в математиці, а й в інших науках, зокрема в біології, хімії і ін.

Так, наприклад, ще в 1735 р. Карл Лінней опублікував працю „Система природи”, в якій наведено класифікацію рослинного і тваринного світу (на типи, класи, роди, види тощо).

2.10 Означення різниці двох множин.

Різницею двох множин А та В називають множину, яка складається з тих елементів множини А, які не належать множині В. Цю множину позначають символом А \В.

Отже, А \ В = { х / х є А х В}.

Аналогічно В \ А = { х / х є В х А }.

Наприклад: А = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }, А \В = { 1, 2, 3},

В= { 4, 5, 6, 7, 8, 9, }, В \ А = { 8, 9, }.

Очевидно, що А \В В \ А.

Зображення різниці двох множин з допомогою кругів Ейлера

1. Якщо множини А та В мають деякі спільні елементи, тобто А В , то різниця множин А та В ілюструється такою діаграмою:

А \В = { х / х є А х В}.

2. Якщо множини А та В не мають спільних елементів, тобто

А В = , то А \ В = А; В \ А = В.

3. Якщо множина В є підмножиною множини А ( В А ), то різницю А \ В називають доповненням множини В до множини А і позначають , тобто А \ В = і зображають так:

Область, заштрихована на діаграмі, відповідає множині А \ В, або .



4. Якщо розглядається різниця універсальної множини u і довільної її підмножини А, тобто u \ А, то її називають доповненням до універсальної і позначають . = { х / х А }.

2.11 Доповнення до об'єднання і перерізу множин.

Доведемо, що доповнення до перерізу двох множин дорівнює об'єднанню доповнень цих множин, тобто = .

За означенням доповнення маємо: = { х / х (А В)}, але х (А В) тоді, коли х А або х В.

Останнє означає, що якщо х є або х є , то за означенням операції об'єднання виходить, що х є .

Отже, { х / х А В } = { х / х є },

або ж = ( 1 ).

Аналогічно можна довести й те, що доповнення до об'єднання двох множин дорівнює перерізу доповнень до цих множин, = ( 2 ).

Рівності ( 1) і ( 2 ) називають правилами де Моргана ( по імені шотландського математика і логіка Августуса де Моргана ( 1806 - 1871 ), який вперше сформулював їх на мові логіки висловлень ).

Ці закони можна довести і з допомогою діаграм Ейлера - Венна,

проілюструвавши окремо ліву і праву частини рівності.

Проілюструємо рівність ( 2 ). = .

2.12 Числові множини

Елементами множини можуть бути предмети довільної природи. В математиці розглядаються найчастіше множини, елементами яких є математичні об'єкти ( числа, точки, рівняння, функції і т.п. ).

Множини, елементами яких є числа, називаються числовими множинами.

В математиці прийнято певні числові множини позначати так:

N - множина натуральних чисел,

Z - множина цілих чисел,

Q - множина раціональних чисел,

R - множина всіх дійсних чисел.

Співвідношення між ними зображається діаграмою Ейлера - Венна.

N Z Q R

Розділ ІІІ. Система задач для вивчення множин і відношень в сучасній школі

Розглянемо запитання та усні вправи для засвоєння поняття множин:

1) Назвіть основні способи задання множини.

2) Наведіть приклади множин. (Скінченних і нескінченних).

3) Як позначається належність і не належність елемента множині?

4) Як називається множина, яка не містить жодного елемента? Як її позначають?

5) Які множини називаються рівними? Навести приклади рівних множин.

6) Що називається підмножиною множини?

7) Що називається перерізом двох множин? Навести приклад і записати його символічно.

8) Що називається об'єднанням двох множин? Навести приклад і записати його символічно.

9) Що називається різницею двох множин?Навести приклад і записати його символічно.

Усні вправи:

1)Дано множину зірок - А, множину квітів - В, множину учнів класу - С, множину дерев лісу - Е. Назвіть серед них скінченні і не скінченні множини.

2) Як читається множина :

а) ,

б) .

3) Назвати всі підмножини множини .

4)Записати множину А, яка має такі елементи: 1,5,2,3,8.

5) Наведіть приклади скінченних і не скінченних множин.

Вправи

1)Нехай А - множина всіх дільників числа 32, тобто а В - множина всіх дільників числа 24 , тобто . Знайти переріз множин А і В.

Відповідь:

2)Множина а множина .Знайти об'єднання цих множин.

Відповідь:

3)Множина а множина .Знайти різницю цих множин.

Відповідь:

4)Записати множину А, елементи якої є натуральні числа дільники числа 24, використовуючи символічні записи характеристчної властивості і переліку елементів множини.

Відповідь:, .

5) Дано множини: , , , . Знайти:

а);

б);

в).

6) Зобразити на числовій осі наступні множини: , , .

7)Встановити в якому співвідношенні знаходяться множини А і В . Якщо:

а) А - множина парних чисел,

С - множина чисел, кратних 7;

б) А - множина парних чисел,

В - множина чисел, кратних 4;

в) А - множина парних чисел,

В - множина не парних чисел.

Розв'язування. а) Множини А і С перетинаються, так як містять спільні елементи -парні числа, кратні 7. Ален жодне із них не є підмножиною другого: серед парних чисел є числа, не кратні 7, а серед кратних 7 є такі , які не є парними, наприклад 49. За допомогою кругів Ейлера дані множини можна зобразити наступним чином (мал.1) :

Мал.1

б)Множини А і В перетинаються, так як містять спільні елементи - парні числа, кратні 4 . більше того множина В є підмножиною множини А , оскільки всяке число, кратне 4, є парним . За допомогою кругів Ейлера дані множини можна зобразити наступним чином(мал.4)

Мал.2 Мал.3

в) Так як множини А і В не мають спільних елементів, то вони не перетинаються. Тому на кругах Ейлера їх зображають як на малюнку 5.

8)Дано множину . Записати підмножини множини А, які складаються із чисел:

а)діляться на 4;

б)діляться на 9;

в)діляться на 5.

Розв'язування. а)Користуючись ознакою подільності на 4, встановимо, що на 4 діляться 72, 56, 324. Позначивши цю множину літерою В, отримаємо: , .

б) Із даних чисел на 9 діляться: 72, 513, 117, 324. позначимо цю множину літерою С, отримаємо:, .

в) Жодне з чисел, яке належить множині А, не ділиться на 5. Звідки слідує, підмножина чисел, кратних 5, порожня.

9) А - множина натуральних чисел, кратних 3, В -множина натуральних чисел, кратних 7. Задати множини і і вияснити, які з чисел 42, 15, 70, 26 їм належать .

Розв'язування. Згідно визначення, перетин даних множин А і В складається із натуральних чисел, кратних 3 і 7 одночасно, тобто множина складається із чисел, кратних 21. Так як 42:3 і 42:7, то число 42 міститься в перетині множин А і В, тобто . Число 15 не належить цьому перетину, так як воно не ділиться на 7, . Число 70 не ділиться на 3 , тому воно також не належить перетину множин, . Число 26 ділиться на 3, але не ділиться на 7, тому воно не належить перетину множин А і В, .

Згідно визначення, об'єднання даних множин А і В складається із натуральних чисел, кратних 3 або 7. Число 42 входить в об'єднання, так як воно кратне 3 і 7, число 15 також належить об'єднанню, так як воно кратне 3; число 70 є елементом об'єднання даних множин, так як воно кратне 7. Число 26 не є кратним ні 7 ні 3, тому воно не належить об'єднанню множин А і В.

10) А - множина натуральних чисел, кратних 3, В -множина натуральних чисел, кратних 7. Задати описом характерні властивості множини і назвати три числа,які належать цій множині.

Розв'язування. Згідно визначенням різниця даних множин А і В складається із натуральних чисел, кратних 3 і не кратних 7. Наприклад, різниці множини А і В належать числа 9, 24 і 30 - всі вони кратні 3 і не кратні 7.

11) Довести, що для будь-яких множин А і В справедлива рівність

Доведення.

Відомо, що Застосуємо цю формулу до виразу . Отримаємо: . Але оскільки , то маємо Таким чином,

Висновки

В результаті написання курсової роботи була досягнута мета за допомогою виконання тих завдань, які були намічені, тобто:

Систематизувати відомості про множини і відношення в шкільному курсі математики. Розглянути всі основні способи взаємного розміщення множин. З'ясувати місце множин та відношень в діючій та проекті нової програми з математики, конкретизувати вимоги до уявлень, знань, умінь та навичок учнів. Сформулювати навчальні цілі, до теми «Множини і відношення». Підібрати диференційовану систему вправ, подати приклади розв'язування рівнянь різної складності та для самостійного розв`язування.

З огляду на те, що на тему ”Множини і відношення ” виділяється мала кількість годин у школі, учителеві потрібно якомога доступніше і в стислий термін пояснити дану тему. Оскільки тема ”Множини і відношення ” є досить обширною, і охопити весь матеріал буде не можливо, то найбільшу увагу потрібно приділити наступним поняттям: ввести поняття множини та її елементів, ознайомити з видами множин та операціями над ними. Навчити виконувати такі операції: утворювати підмножину даної множини, знаходити об'єднання, переріз, різницю даних множин.

На уроках потрібно постійно акцентувати увагу на прикладному характері математики, дотримувати диференційованого підходу як під час вивчення нового матеріалу, так і в процесі формування вмінь та навичок. Необхідно справджувати такі форми та методи роботи, які активізують розумову діяльність учнів, сприяють їх самостійності та творчому пошуку. Тобто, намагатися організувати роботу на уроці так, щоб кожен учень працював із захопленням, отримував від цього задоволення, а головне, добре розумів, що результати цієї роботи будуть потрібні у його житті.

Список використаної літератури

1. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. Математика.

2. Математика в школах України: Науково-методичний журнал .-2006.-№8-9-9с.

3. І. А. Кушнір. Алгебра 8 кл.: Підручник. Поглиблене вивчення./ - К.:Харків.-2006р.

4. Столл Р. Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. - М.1968.

5. Лавров И. А., Максимова Л. Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. - М.1975р.

Размещено на Allbest.ru