«Как же можно записать результат такого деления? В русском языке есть известное вам слово треть, которое используется, чтобы обозначить результат деления целого на три равные части. Разрезав кусок на три равные части, мы получили три куска, длиною в треть метра каждый. В математике треть записывают в виде дроби: .» Зубарева И.И. Математика М.: Мнемозина, 2003.- С. 96

После этого авторы говорят, как называются верхняя и нижняя часть дроби. И в заключение для закрепления изученного материала предлагается следующая задача:

3. Кусок проволоки длиной 2 м разрезали на 3 равные части. Какова длина одной части?

Ниже в учебнике приведен план решения этой задачи.

После этого даётся вывод, который должны были сделать сами учащиеся, ответив на вопросы: как можно записать частное от деления натуральных чисел? каким компонентам деления соответствуют числитель и знаменатель дроби?

После учащимся предлагается учебное задание пропедевтическое к основному свойству дроби, выполняя которое ребята приходят к выводу, что отрезки длиной м и м равны, а значит, равны и дроби и . Здесь авторы не называют это свойство, но уточняют, что обязательно будут использовать его в дальнейшем при выполнении арифметических действий с дробями.

После этого дробь рассматривается как одна или несколько равных долей и обобщаются два способа получения дроби. В этом пункте учебника приведены несколько заданий, в которых нужно указать, какая часть изображенной фигуры закрашена, какая не закрашена.

Далее рассматриваются вопросы отыскания части от целого и целого по его части. Рассматривается основное свойство дроби, с применением рисунков.

Основные достоинства учебника: При объяснении практически каждой новой темы авторы опираются на жизненный опыт учащихся и на иллюстрации. Показывается практическая необходимость введения многих понятий. В учебнике достаточное количество иллюстраций для формирования понятия дроби как результата деления натуральных чисел и как части целого. В объяснении в учебнике даются полные обоснования, для чего необходимо рассматривать данный материал, рассматривается большое количество упражнений. Некоторые задания сформулированы так, что позволяют готовить учащихся к самостоятельным выводам.

Недостатки: Именно это можно считать недостатком, потому что большие тексты сами по себе отталкивают учеников. Основная идея учебника - развитие познавательной активности учащихся, однако полнота изложения полностью удовлетворяет эту познавательную активность и лишает учеников стимулов к самостоятельным размышлениям и поиску информации.

2.2.4 Э.Р. Нурк, А.Э. Тельгмаа «Математика»

В этом учебнике [21] перед введением понятия дроби рассматриваются две задачи:

1. посчитать количество учащихся в классе, количество мальчиков и девочек - решение выражается натуральным числом;

2. измерить ширину класса, используя линейку 1 м - возможно решение не будет выражаться натуральным числом.

Понятие дроби вводится на простейших примерах: одна вторая (половина), одна третья, одна четвертая - с этими словами ученики уже сталкивались в жизни. Далее приводится форма записи дробного числа, также даются названия и определения частей дроби. Так же рассказывается о том, что дробные числа, так же как и натуральные можно изображать на числовом луче.

В учебнике ученикам предлагается самостоятельно выполнить исследовательскую работу, результатом которой будет вывод правила сравнения дробей с одинаковыми знаменателями. При определении понятий правильной и неправильной дробей используются числовые примеры, практически отсутствует наглядность, при изложении материала авторы единицу рассматривают как отрезок длины 1. Сложение и вычитание дробей с равными знаменателями тоже иллюстрируются на примере суммы или разности длин отрезков.

При введении понятия десятичной дроби предлагается решить такую задачу: выразить 3 м 572 мм в метрах. В решении этого задания даётся обоснование расположения десятичных знаков, проводится аналогия с принципом записи натурального числа: «каждая последующая единица слева направо в 10 раз меньше по сравнению с предыдущей». После разбора нескольких примеров приводится алгоритм перевода обыкновенной дроби в десятичную, в котором авторы обращают особое внимание учащихся на запись числителя обыкновенной дроби. «Но - внимание! - он должен содержать столько знаков, сколько нулей в знаменателе».

При рассмотрении правила сравнения десятичных дробей, на примере показывается возможность отбрасывания или приписывания нулей справа от десятичной дроби.

Основные достоинства учебника: При объяснении практически каждой новой темы авторы в качестве наглядной схемы используют числовой луч. Показывается практическая значимость каждого из вводимых понятий. Практически все свойства и алгоритмы имеют обоснование или выводятся из конкретных примеров.

Недостатки: Использование в качестве наглядной схемы только числового луча позволяет рассматривать дробь лишь как число или как длину отрезка. Но не формирует наглядное представление о дроби как о части целого предмета, например апельсина. Это представление можно сформировать лишь при решении задач, но т. к. в объяснительном тексте учебника дробь не рассматривается как часть величины, то провести аналогию при решении задачи невозможно.

2.2.5 Н.Б. Истомина «Математика»

В основе учебника Н.Б. Истоминой [7] лежат идеи развивающего обучения. Вместо объяснительных текстов, которые учащиеся, как правило, не читают, присутствует диалог двух ребят Маши и Миши, позволяющий активизировать мыслительную деятельность на уроках. Многие задачи в учебнике решаются двумя способами в игровой форме. Нередко ученику предлагается придумать свой способ решения.

Введение понятия дроби начинается с рассмотрения дроби как части целого: «какую часть фигуры закрасили на рисунке?» Истомина Н.Б. Математика. 5 кл., Смоленск: Ассоц. XXI век, 2001.- С. 97. При этом на рисунке закрашена лишь одна из равных частей фигуры. Далее вводится определение дроби следующим образом: «В математике принято для обозначения частей использовать два натуральных числа, разделенных чертой: а/b. Такую запись называют обыкновенной дробью. Число под чертой показывает, на сколько равных частей разделили целое. Это число называют знаменателем дроби. Число над чертой показывает, сколько таких частей взяли. Это число называют числителем дроби» То же, С. 97.

Само определение обыкновенной дроби в этом учебнике устроено по сравнению с другими учебниками иначе: сначала определяется знаменатель дроби, затем числитель (в других учебниках наоборот).

На этапе закрепления понятия дроби как части целого рассматриваются несколько различных заданий, целью которых является показать учащимся, что можно по-разному целое делить на равные части. Ко многим заданиям даны подсказки или рекомендации по их выполнению. На наш взгляд это сделано как с целью помощи слабым ученикам, которые могут испытывать затруднения при решении, так и с целью показать всем учащимся алгоритм решения различных видов задач. В рекомендациях по решению многих задач имеется схема, в которой целое представляется в виде отрезка, который разбит на заданное количество равных частей. Применение схем при решении задач усиливает наглядность и облегчает их понимание.

Понятия правильных и неправильных дробей так же вводится при помощи задачи.

«По какому признаку можно разбить дроби на три группы ?» Истомина Н.Б. Математика. 5 кл., Смоленск: Ассоц. XXI век, 2001.- С. 113.

Вывод алгоритмов перевода неправильной дроби в смешанное число и смешанного числа в неправильную дробь осуществляется при помощи выполнения серии заданий, в результате чего одновременно выводятся, запоминаются и применяются эти алгоритмы.

Основные достоинства учебника: Изложение материала ведется в игровой форме, где-то ставится задача и требуется её решить, где-то представлены несколько решений, и нужно обосновать каждое из них. То есть способ изложения материала в учебнике нацелен на развитие мышления учащихся. Ко многим заданиям прилагаются поясняющие схемы, или краткие схемы условия, что способствует выработке алгоритмов решения определенного типа задач.

Недостатки: Вся теоретическая информация распределена по всему учебнику, а не записана отдельными блоками, что значительно увеличивает время поиска нужных теоретических сведений в учебнике.

2.2.6 «Арифметика» С.М. Никольский, М.К. Потапов и др.

Все действия с обыкновенными дробями в учебниках этого авторского коллектива изучаются в 5 классе. [1; 2] Этому в учебнике посвящена глава «Обыкновенные дроби», ей предшествует тема «Делимость натуральных чисел».

При введении понятия дроби рассматриваются задачи, решая которые приходится целое делить на несколько равных частей. Понятие дроби вводится как одна или несколько равных долей целого. Здесь же вводится термин «рациональное число». Наглядные геометрические модели автор практически не использует, а использует известные учащимся единицы измерения веса, длины, времени, в том числе квадратные и кубические единицы измерения длины.

Деление отрезка, длина которого равна единице, последовательно на 2, 4, 8 частей, приводит к основному свойству дроби, которое формулируется как в словесной, так и в буквенной форме. Здесь же авторы вводят операцию сокращения дробей, при этом оговаривается, что при сокращении дроби можно находить наибольший общий делитель числителя и знаменателя, при этом задания формулируются несколькими способами: «сократите дробь», «укажите все общие делители и НОД числителя и знаменателя дроби, сократите дробь» Никольский С.М. Арифметика: 5 кл М. : Просвещение, 2000.- № 774.- С. 163., «определите, сократима ли дробь» То же- № 772, 773.- С. 163.. Задания последнего типа формируют связь между изученными алгоритмом нахождения НОД чисел и операцией сокращения дроби. Кроме того, авторы уделяют внимание представлению натурального числа в виде дроби.

Далее рассматриваются задачи на нахождение части числа и числа по его части. Эти задачи решаются в два приема:

1) отыскание величины, которая приходится на одну долю;

2) отыскание величины, которую надо найти в соответствии с вопросом (требованием) задачи.

На конкретных примерах демонстрируется, как дроби с разными знаменателями можно представить в виде дробей с одинаковыми знаменателями. Авторы уточняют, что при приведении дробей к общему знаменателю лучше всего приводить их к наименьшему общему знаменателю. На примере двух дробей рассматриваются задания, направленные на формирование навыков приведения дробей к заданному знаменателю, к знаменателю, равному произведению знаменателей и к наименьшему общему знаменателю.

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями иллюстрируется с помощью рисунка. Правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями формируется на наглядно-интуитивной основе. Сравнение дробей с разными знаменателями сводится к сравнению дробей с одинаковыми знаменателями путем приведения их к общему знаменателю.

Сравнение дробей с одинаковыми числителями в теоретической части параграфа не рассматривается, но такие задания есть Никольский С.М. Арифметика: 5 кл М. : Просвещение, 2000.-№ 813, 814.- С. 172.. Более того, авторы предлагают задания на сравнение с единицей (№815), половиной (№816) и дополнений до единицы (№817). Но эти задания отмечены как задания повышенной трудности.

Правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями вводится на наглядно-интуитивной основе - сложение частей отрезка длины 1. Наряду со словесной формулировкой правила дается его буквенная формулировка в виде равенства:

.

Сложение дробей с разными знаменателями сводится к сложению дробей с одинаковыми знаменателями путем приведения их к общему знаменателю. Правило дается как в словесной, так и в буквенной формулировке:

.

Справедливость законов сложения для положительных рациональных чисел обосновывается с опорой на их справедливость для натуральных чисел.

Тема вычитания дробей начинается с определения разности двух дробей: «Разностью двух дробей называют дробь, которая в сумме с вычитаемым дает уменьшаемое» То же, С. 183.. Авторы оговаривают то, что пока будет рассматриваться только случай, когда уменьшаемое больше вычитаемого. Но авторы уточняют, что в дальнейшем будут введены отрицательные дроби, которые позволят находить разность любых дробей.

Далее авторы формулируют утверждение: «Разность двух дробей с общим знаменателем есть дробь с тем же знаменателем, числитель которой равен разности числителей уменьшаемого и вычитаемого:

» Никольский С.М. Арифметика: 5 кл М. : Просвещение, 2000.- С. 183.,

доказательство этого утверждения основывается на определении разности.

Правило умножения обыкновенных дробей дается без каких-либо обоснований, авторы формулируют его как аксиому или как определение (при этом авторы никак не характеризуют это утверждение - ни как аксиому, ни как определение): «Произведение дробей есть дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель - произведению знаменателей этих дробей:

» То же, С. 188..

Из этого правила выводится правило умножения натурального числа на дробь. Законы умножения формулируются позже, но в наборе заданий к этому пункту имеются задания как на умножение натурального числа на дробь, так и на умножение дроби на натуральное число. Здесь же вводятся понятия обратной дроби и взаимно обратных чисел. Справедливость переместительного и сочетательного законов умножения и распределительного закона для дробей обосновывается с опорой на их справедливость для натуральных чисел.

При объяснении правила деления дробей авторы действуют так же, как и в случае разности дробей. Вначале вводится определение - что называют частным дробей: «Частным двух дробей называют дробь, которая при умножении на делитель дает делимое» То же, С. 195.. Затем дается формула, по которой можно найти частное дробей:

.

Эта формула обосновывается с опорой на определение частного. После этого дается словесная формулировка правила деления дроби на дробь.

Используя правило деления дроби на дробь и тот факт, что любое натуральное число можно представить в виде дроби со знаменателем 1, авторы показывают, что обыкновенную дробь можно получить как частное от деления натуральных чисел, а черту дроби можно рассматривать как знак деления.

Только после этого выводится правило деления дроби на натуральное число - как частный случай деления на дробь.

Поскольку к этому моменту учащиеся знакомы и с умножением и с делением рациональных чисел, авторы имеют возможность обосновать правила отыскания части целого и целого по его части умножением или делением на дробь, соответствующую этой части.

Десятичные дроби изучаются в конце 6-го класса. К этому моменту все действия с обыкновенными дробями уже изучены и повторены. Понятие десятичной дроби и все операции над десятичными дробями сначала вводятся только для положительных чисел.

Понятие десятичной дроби вводится так же, как и в учебнике И.И. Зубаревой и А.Г. Мордковича, с точки зрения позиционной записи натурального числа. Но здесь вся теория изложена автором, организация самостоятельной деятельности учащихся автором не предусматривается. Система упражнений содержит задания для представления десятичной дроби в виде обыкновенной и обратные задания, причем некоторые задания сформулированы так: «Запишите в виде десятичной дроби по образцу: » Никольский С.М. Арифметика: 6 кл М. : Просвещение, 2001.- №719.- С.145.. Справедливость поразрядного сложения и вычитания доказывается при помощи перевода в обыкновенную дробь.

Далее авторы рассматривают перенос запятой вправо у десятичной дроби и формулируют правило: «Чтобы десятичную дробь увеличить в 10, 100, 1000 и т.д. раз, т.е. умножить на 10, 100, 1000 и т.д., надо в записи дроби перенести запятую вправо на 1, 2, 3 и т.д. цифры, приписав при необходимости нули справа». На примере проверяется справедливость правила, если записать в виде обыкновенной дроби. Аналогичным образом сформулировано правило для переноса запятой влево.

Умножение десятичных дробей обосновывается изменением произведения в зависимости от изменения сомножителей. Так же на примере проверяется справедливость умножения «в столбик» по правилам умножения обыкновенных дробей.

Вычисление частного двух десятичных дробей связывается с вычислением частного двух равных им обыкновенных дробей. После чего на примерах иллюстрируется правило деления десятичных дробей «уголком».

Основные достоинства учебника: изучение алгоритмов действий с обыкновенными и десятичными дробями осуществляется последовательно и систематично. Необходимость введения понятия дроби связывается с жизненными потребностями. Хорошо показываются взаимосвязи между различными понятиями. Различные понятия и их свойства в учебнике рассматриваются достаточно строго, что характерно для математической науки.

Недостатки: В некоторых местах изложение материала кажется чересчур строгим математически для младшего школьного возраста. Практически отсутствует опора на наглядность.

Заключение