Это целесообразно проиллюстрировать, изобразив отрезок [-/2;/2]. Заметим, что (х₁+х₂)/2 не что иное, как среднее арифметическое чисел х₁ и х₂, а, следовательно, принадлежит отрезку [х₁;х₂], который, в свою очередь, целиком лежит в отрезке [-/2;/2], то есть первое неравенство имеет место. Гораздо большую трудность вызывает обоснование второго неравенства. Заметим, что модуль разности х₂-х₁ - это расстояние между точками х₁ и х₂, а так как обе точки принадлежат одному отрезку [-/2;/2], то расстояние между ними не может превышать длины этого отрезка, то есть . С другой стороны модуль - функция неотрицательная, более того, в данном случае положительная, так как х₁ и х₂ различны. Имеем 0 х₂-х₁ , но так как х₁ х₂, то х₂-х₁ = (х₂-х₁). Разделив все части неравенства на 2, получим доказываемое неравенство.

Доказательство возрастания функции y=tg x на интервале (-/2;/2), целесообразнее всего проводить аналогичным образом, используя формулу разности тангенсов (см [11]). В случае же, когда преподавание ведется по учебникам, в которых тригонометрические преобразования изучаются после функций, то есть формула разности тангенсов к моменту исследования функций еще не известна, доказательство лучше проводить, разбив интервал (-/2;/2) на два полуинтервала [0;/2) и (-/2;0]. Обоснование возрастания функции y=tg x на полуинтервале [0;/2) не сложно и приведено во всех учебниках, а доказательство монотонности на втором интервале авторы учебников [16] и [2] почему-то считают сложным и опускают вовсе. Поэтому учителю следует обратиться к учебнику [3], в котором дано довольно строгое, но вместе с тем несложное доказательство:

Пусть -/2 х₁ х₂ 0, тогда 0 -х₂ -х₁ /2. Теперь числа -х₁ и -х₂ лежат в первой четверти, в которой тангенс возрастает, следовательно tg(-х₂ ) tg(-х₁). Так как y=tg x нечетная функция, то

tg(-х₂ ) tg(-х₁) -tg (х₂ ) - tg(х₁),

а следовательно tg(х₁) tg(х₂). Что и означает, что функция y=tg x возрастает на промежутке (-/2;0], а значит и на интервале (-/2;/2). Доказательство монотонности функции y=сtg x целесообразно предложить в качестве задания для самостоятельного выполнения.

5) Нули функции и промежутки знакопостоянства.

Нахождение нулей функций и промежутков знакопостоянства сводится к решению простейших тригонометрических уравнений и неравенств, которые учащиеся рассматривали при изучении числовой окружности и не вызывает затруднений.

6) Периодичность.

Изучению этого свойства необходимо уделить особое внимание, так как учащиеся впервые сталкиваются с периодическими функциями. Для отработки понятия периодичности функции целесообразно использовать следующие упражнения.

1. На рисунке изображена часть графика периодической функции на отрезке [-2;2], длина которого равна периоду функции. Постройте график функции на отрезках [-6;-2], [2;3].

2. Постройте график периодической функции y=f(x), с периодом равным 2, если известно, что f(x)=х²/2 на отрезке [-1;1].

3. Является ли число 16 периодом функции y=sin x? А ее основным периодом?

4. Найти основные периоды функций y=sin(6x), y=соs(x/2), y=sin(кx).

5. Докажите, что если функция y=f(x) является периодической, то и y=k*f(x)+b тоже периодическая.

6. Пусть функция f периодическая, Т₁ и Т₂ - ее периоды. Докажите, что любое число вида nТ₁ +mТ2, где n,mN, также является периодом функции f.

7. Докажите, что функции f(x) = sin x² и cos (x)*cos x не являются периодическими.

8. Докажите, что возрастающая функция не может быть периодической. И т.п.

Следует обратить внимание учащихся на тот факт, что периодическая функция имеет бесконечное множество периодов, среди которых стараются выделить, если это возможно, наименьший положительный период, который называют основным.

После этого все свойства тригонометрических функций желательно проиллюстрировать на графике и свести в одну таблицу.

Свойства	у=sin(x)	у=cos(x)	у=tg(x)	y=ctg(x)
Область определения
Область значений
Нули функции
…

Для дальнейшей отработки навыков по исследованию тригонометрических функций и построению их графиков используют гармонические колебания, которые имеют вид y =Asin(wt+a) и y =Acos(wt+a). Основной целью введения гармонических колебаний является наглядная демонстрация того, как изменяются свойства функций в зависимости от значения коэффициентов A,w и a. При этом целесообразно использовать задания вида:

1.По графику функций определите задающую ее формулу:

Рис.6

2. Какими свойствами обладают данные функции на отрезке [-/2; /2], а на отрезке [0; ]?

	Возрастает	Имеет ровно один корень	Пробегает всё множество значений	Убывает	Не меняет знак
Y=cos(x)
Y=cos(x/2)
Y=3cos(2x)
Y=cos(x+/4)
Y=2cos(/2-x)

Какими свойствами обладают данные функции на данных промежутках?

	[-/2; /2]	[0; ]	[-2;0]	[-3 /2;- ]	[-; ]
Y=cos(x)
Y=cos(2x)
Y=2cos(x/2)
Y=cos(x+/2)
Y=3cos(/4-x)

После того, как мы в достаточной мере хорошо научились оперировать свойствами тригонометрических функций, можно переходить к решению тригонометрических уравнений и к тригонометрическим преобразованиям. Но не стоит центр тяжести при изучении тригонометрических функций смещать в сторону алгебры, то есть не нужно выдвигать на первое место умения, связанные с выполнением тригонометрических преобразований. Эти умения, безусловно, важны и развивают у учащихся комбинаторные, логические и алгоритмические навыки, однако главное в изучении тригонометрических функций уходит при этом в тень. Таким образом, не следует забывать, что основная задача учителя математики - все-таки развитие умственных способностей ребенка.

§4 Опытное преподавание.

Опытное преподавание осуществлялось мной во время прохождения педагогической практики на выпускном курсе. Опытно-экспериментальной базой являлся 11б класс школы №10 города Кирова. В это время мной было проведено несколько уроков из темы «Тригонометрические функции».

Так как преподавание алгебры и начал анализа в данном классе велось по учебнику [2], потому к моменту изучения тригонометрических функций учащиеся уже умели решать тригонометрические уравнения и неравенства, а также выполнять тригонометрические преобразования (см. §2). Несмотря на это, у учащихся до сих пор возникали проблемы при работе с тригонометрической окружностью. Многие забыли как найти точку на числовой окружности, которая соответствует некоторому числу (особенно не выраженному в долях числа ), или найти числа, которые соответствуют точке с заданными координатами. Это можно объяснить, на мой взгляд, несколькими причинами. Первая - недостаточная работа с числовой окружностью на начальном этапе изучения тригонометрии в курсе алгебры и начал анализа. Вторая - достаточно большой временной разрыв между введением тригонометрической окружности и изучением тригонометрических функций1) Напомним, что обучение по учебнику [2] предполагает изучение тригонометрических уравнений в конце 10-го класса, а изучение тригонометрических функций только в начале 11го. . Кроме того, если изучение тригонометрических уравнений происходит после изучения тригонометрических преобразований, то часто решение первых просто сводится к «возне» со вторыми, а работа с тригонометрической окружностью как с самостоятельным объектом отходит на второй план. Поэтому было принято решение - провести урок повторения по данной теме.

Урок №1. «Числовая окружность на координатной плоскости»

Образовательные цели урока:

- Обобщить имеющиеся у учащихся знания о числовой окружности как о самостоятельном объекте изучения.

- Вспомнить основные принципы работы в двух системах координат - в криволинейной и прямоугольной декартовой.

- Повторить свойства синуса и косинуса, формулы приведения.

Ход основной части урока.

Данный урок был построен в форме беседы учителя и учащихся, в процессе которой были озвучены ответы на следующие вопросы:

Что такое окружность? А ее дуга?

Как найти длину дуги окружности?

Что такое единичная окружность? Почему удобнее использовать именно ее?

Что такое числовая окружность?

Как найти на числовой окружности точки, соответствующие данным числам?

Чем отличается построение точки на числовой прямой и на числовой окружности?

Как составить аналитическую запись дуги числовой окружности?

Как располагается числовая окружность на координатной плоскости?

Как найти декартовы координаты точки числовой окружности?

Как определить синус и косинус (угла и числа) с помощью координат?

Какие свойства синуса и косинуса хорошо иллюстрируются на числовой окружности?

Как проиллюстрировать основное тригонометрическое тождество с помощью числовой окружности? А формулы приведения?

В качестве иллюстрации ответов на вышеизложенные вопросы были рассмотрены решения следующих упражнений.

1) На единичной окружности отмечены точки А(1;0), В(0;1), С(-1;0) и Д(0;-1). Вторая четверть разделена пополам точкой М, а третья - на три равные части точками Р и К. Чему равны длины дуг АМ, ВК, ДС, ВР, СВ, ВС?

2) Найдите на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу а, если а = р, -р/2, р/3, -5р, 25р/4, 1, -5, 13.

3) Найдите декартовы координаты следующих точек числовой окружности: М(р/4), С(-3р/2), А(23р/6), В(-31р/4).

4) На числовой окружности укажите точку М, координаты которой удовлетворяют данным условиям, и найдите все числа, которым соответствует данная точка: а) у=-1/2, х<0 б) х=-3/2, у>0

5) Найдите на числовой окружности точки с абсциссой или ординатой, удовлетворяющей заданному неравенству и запишите (с помощью двойного неравенства), каким числам t они соответствуют. а) х<1/2 б) х-3/2 в) у>2/2 г) у 0.

6) Вычислите синус t и косинус t, если t = 0, р/2, -р/4, -5р/3, 23р/6.

7) Определите знак числа а) sin(4р/7) б) cos(-3р/8) в) sin(-12) г) cos5 д) sin(-14р/9)*cos(р/8).

8) Сравните: а) sin 2 и cos 2 б) sin 3 и sin( -3) в) cos 6 и sin 1.

9) Вычислите: cos(р +)*cos (--р/2)

(sin(-)* sin (р/2-))

Краткий анализ урока.

Несмотря на то, что ответы на многие вопросы были известны учащимся, активность проявляли не все. Многие были неуверены в правильности своих мыслей, поэтому некоторых учеников приходилось спрашивать поименно. Тем не менее, к концу урока активность возросла, да и количество правильных ответов тоже увеличилось. Результаты небольшой проверочной работы, проведенной на следующем уроке говорят сами за себя: из 23 учащихся, присутствовавших на уроке, 18 получили 4 и 5. Поэтому я считаю, что данное занятие прошло довольно неплохо.

Урок № 2. Функция у= sin х, ее свойства и график.

Образовательные цели урока:

1) Изучить свойства функции у= sin х.

2) Сформировать у учащихся умение изображать график этой функции и по графику находить область определения и область значений, промежутки возрастания и убывания, нули, наибольшее и наименьшее значения.

Форма занятия.

Так как многие свойства синуса учащимся известны, то лучше всего в качестве формы данного урока избрать беседу.

Содержание основной части урока.

1) Ввести функцию у= sin х. Обосновать, что это действительно функция.

2) Установить ее область определения и область значений. Обосновать.

(подробнее про обоснования всех свойств см. в §3. «Методика преподавания темы: «Тригонометрические функции» в курсе алгебры и начал анализа»)

3) Сформулировать и обосновать с помощью тригонометрической окружности такие свойства функции у=sinх как промежутки возрастания и убывания, нули, нечетность, ограниченность, а также наибольшее и наименьшее значения.

4) Воспользовавшись данными свойствами и равенством sin(x+2)=sin(x), построить график и сообщить, что он называется синусоидой.

5) Еще раз проиллюстрировать все свойства данной функции, но уже с помощью графика.

Практическая часть.

1) Не выполняя построения, ответьте на вопрос, принадлежит ли графику функции у=sin х точка с координатами: а) (-р/2;1) б) (р/2;1/2) в) (р;1) г) (0;0)?

2) Используя график функции f(х), где f(х)=sin х, найдите: а)f(р) б) f(3р/2) в) f(-р/2) г) f(23р) д) f(-15р/2).

3) Отметьте на графике функции у=sin х и назовите все точки, в которых значение функции равно а) Ѕ б) -3/2 в) 2/2 г) -1 д) 10.

4) Найдите все значения переменной х и отметьте их на числовой прямой, при которых функция у=sin х принимает значения: а) большие Ѕ б) меньшие 2/2 в) большие 0, но меньшие 3/2 г) меньшие -1, но большие -2.

5) Найдите наибольшее и наименьшее значение функции у=sin х а) на отрезке [р/4, 2р/3]; б) на луче [р/3, +]; в) на интервале (-3р/2,3р/4).

6) Сравните а) sin 0 и sin(-3); б) sin 2 и sin е; в) sin (-4) и sin 5; г) sin 8,3 и sin 9 д) sin 315 и sin 317 е) sin (-630) и sin (-631).

Краткий анализ урока.

Урок прошел хорошо. Ребята работали активно, так как практически все задания решались фронтально и полуустно за исключением 4 в) и 6 г), д) и е). Цели, поставленные на данный урок, были реализованы. По результатам 7-минутной проверочной работы, которая проводилась на следующем уроке, можно сделать следующие выводы: 1. Учащиеся научились строить график функции у=sin х. 2. Большинство из них, пользуясь схемой анализа, могли свободно перечислить все свойства этой функции. Неплохо решали задачи, подобные тем, что были разобраны. Наибольшее затруднение вызвали задачи подобные 5 в) и 6 е) и д). Хотя, в общем, с работой справились не плохо.

Урок № 3. Функция у= sin х, ее свойства и график.

Образовательные цели урока:

1) Способствовать формированию навыков применения свойств функции у= sin х при исследовании функций, для которых она является одной из составляющих.

2) Научить применять известные ранее правила преобразования графиков функций к функции у= sin х.

3) Выработать у учащихся навыки решения некоторых уравнений, содержащих синус, графическим способом.

Форма занятия.

Фронтальное коллективное и самостоятельное решение задач.

Содержание основной части урока.

1) Постройте и прочитайте график функции у= f (х), где

х² , если х 0,

f(х)=

sin х, если х 0.

Вычислите f(), f(/3), f(-2), f(-/2), f(3,14).

2) Постройте график функции у= f (х), где

х -2, если х 0,

f(х)= sin х, если -2 х 0,

х, если х 0.

Для данной функции найдите область определения, область значений, промежутки возрастания и убывания, нули и промежутки знакопостоянства.

3) (Для самостоятельно решения с последующей проверкой.)

Постройте график функции у= f (х), где

-(х +)², если х 0,

f(х)= sin х, если - х ,

(х -)², если х 0.

Запишите все известные вам свойства данной функции.

4) Постройте график функции у= sin(х+/4). По графику определите нули данной функции и промежутки знакопостоянства.

5) Постройте график функции у = sin(х-2/3)+2. По графику определите все известные вам свойства этой функции.

6) Решите графически уравнения а) sin(х) =+х б) sin(х) =3х в) sin(х) +(х+/2)² +1=0

7) (Для самостоятельно решения с последующей проверкой)

а) sin(х+4/3)-1= (х-)² б) -sin(х-/6)+1,5 - ((х-4/6)² +0,5)=0

Краткий анализ урока.

На данном уроке учащиеся научились исследовать кусочно-заданные функции, содержащие функцию у= sin х как одну из своих составляющих, научились применять известные ранее правила преобразования графиков функций к функции у=sinх, а также графически решать некоторые тригонометрические уравнения. Об этом можно судить исходя из результатов проделанной учащимися домашней работы, а также по последующему применению полученных умений при решении подобных задач для функции у= соs х. Поэтому можно сделать вывод о том, что цели данного урока были реализованы. Что касается затруднений, то наибольшие затруднения вызвали задания, связанные с преобразованием графиков. Часто учащиеся путались в вопросе - когда в какую сторону переносить график. Но в целом урок прошел неплохо.

Заключение.

Итак, приняв во внимание описанные в первом параграфе общие положения, касающиеся изучения тригонометрических функций, мы проанализировали наиболее распространенные учебники с точки зрения изложения данной темы (см. § 2) и обобщили полученные результаты в §3. Используя опыт практического преподавания, описанный в §4 можно сделать следующие выводы:

1. Тригонометрические функции являются наиболее удобным и наглядный средством для обучения учащихся исследованию функций.

2. Преподавание темы «Тригонометрические функции» требует тщательного подбора содержания, средств и методов обучения, то есть разработки эффективной методики.

3. Изучение тригонометрических функций будет более эффективным, в том случае когда:

ь перед введением тригонометрических функций проведена достаточно широкая пропедевтическая работа с числовой окружностью;

ь числовая окружность рассматривается не только как самостоятельный объект, но и как элемент декартовой системы координат;

ь построение графиков осуществляется после исследования свойств тригонометрических функций, исходя из анализа поведения функции на числовой окружности;

ь каждое свойство функций четко обоснованно и все они сведены в систему.

4. Наиболее удачным как с методической, так и с содержательной точек зрения является учебник [16].

Библиографический список:

1. Алексеев, А. Тригонометрические подстановки [Текст] / Алексеев А., Курляндчик Л. // Квант. - 1995. - №2. -с. 40 - 42.

2. Алимов, Ш.А. Алгебра и начала анализа 10-11[Текст] / Ш.А. Алимов // Учебник - Москва: Просвещение, 2001.

3. Башмаков, Алгебра и начала анализа 10-11 [Текст] /Башмаков //Учебник - Москва: Просвещение, 1992.

4. Бескин, Н.М. Вопросы тригонометрии и ее преподавания [Текст] / Бескин Н.М. - Москва: Учпедгиз, 1950.

5. Гилемханов, Р.Г. О преподавании тригонометрии в 10 классе по курсу В [Текст] / Гилемханов Р.Г. //Математика в школе. 2001-№ 6 -с. 26-28.

6. Горнштейн, П.И. Тригонометрия помогает алгебре [Текст] / Горнштейн П.И. // Квант. 1989-№5 - с. 68-70.

7. Дорофеев, Г. Периодичность и не периодичность функций [Текст] / Дорофеев Г., Розов Н. //Квант. 1977- №1- с.43-48.

8. Зарецкий, В.И. Изучение тригонометрических функций в средней школе [Текст] / Зарецкий В.И. - Минск: Народная асвета, 1970.

9. Земляков, А. Периодические функции [Текст] / Земляков А., Ивлев Б. // Квант. 1976-№12- с. 34-39.

10. Калинин, С.И. Задачи и упражнения по началам математического анализа [Текст] / Калинин С.И., Канин Е.С., Маянская Г.М., Ончукова Л.В., Подгорная И.И., Фалелеева С.А. - Киров: ВГПУ, 1997.

11. Колмогоров, А.Н. Алгебра и начала анализа 10-11 [Текст] /А.Н. Колмогоров// Учебник - Москва: Просвещение, 1999.

12. Крамор, В.С. Тригонометрические функции [Текст] / Крамор В.С., Михайлов П.А. - Москва: Просвещение, 1979.

13. Лященко, Е.И. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики [Текст] /Лященко Е.И. - Москва: Просвещение, 1988.

14. Мишин, В.И. Методика преподавания математики в средней школе (Частная методика). [Текст] / Мишин, В.И. - Москва: Просвещение, 1987.

15. Мордкович, А.Г. Методические проблемы изучения тригонометрии в общеобразовательной школе [Текст] / Мордкович А.Г. //Математика в школе. 2002 - № 6 - с.32-38.

16. Мордкович, А.Г. Алгебра и начала анализа 10-11 [Текст] /А.Г. Мордкович// Учебник- Москва: Мнемозина, 2003.

17. Панчишкин, А.А. Тригонометрические функции в задачах [Текст] / Панчишкин А.А., Шавгулидзе Е.Т. - Москва: Наука, 1986.

18. Раббот, Ж. Тригонометрические функции [Текст] / Раббот Ж. // Квант. 1972- №5- с. 36-38.

19. Синакевич, С.В. Тригонометрические функции [Текст] / Синакевич С.В. - Москва: Учпедгиз, 1959.

20. Смирнова, И.М. Необычный способ получения синусоиды [Текст] / Смирнова И.М. // Математика в школе. 1993-№3- с.56-58.

21. Цукарь, А.Я. Упражнения практического характера по тригонометрии [Текст] / Цукарь А.Я. //Математика в школе. 1993-№3- с 12-15.

22. Шаталов, В.Ф. Методические рекомендации для работы с опорными сигналами по тригонометрии [Текст] / Шаталов В.Ф. - Москва: Новая школа, 1993.

23. Шенфельд, Х. Что общего между заходом солнца и функцией y=sin х [Текст] /Шенфельд Х. // Математика в школе. 1993-№2- с.75-77.

Приложение

Факультатив «Тригонометрия помогает алгебре».

Известно, что «тот или иной материал усваивается школьниками не тогда, когда этот материал является целью обучения, а тогда, когда он становится средством для решения других задач»[10]. Поэтому целесообразно показать учащимся то, как можно применять свойства тригонометрических функций и тригонометрические тождества при решении, например, алгебраических задач.

Цели:

1) Провести межпредметные связи между тригонометрией и алгеброй.

2) Способствовать формированию умений решать некоторые виды уравнений алгебры с помощью тригонометрических подстановок.

Место изучения.

Этот факультатив желательно проводить после того, как изучены все разделы тригонометрии.

Ход факультатива:

Учащимся предлагается попробовать решить уравнение самостоятельно. Попробовав выполнить стандартное возведение в квадрат обеих частей, учащиеся натыкаются на уравнение 6-ой степени, решение которых в школьном курсе не рассматривается. Обратив внимание учащихся, на то, что областью допустимых значений переменной данного уравнения является отрезок [-1;1], учитель предлагает вспомнить изученные функции, областью значений которых является данный отрезок. После чего делается вывод: если из условия задачи следует, что допустимые значения переменной x определяются неравенством |x|?1, то удобны замены х=sinб, б, или х=cosб, б, причем какую из них выбрать, зависит от конкретной задачи.

Учащиеся совместно с учителем прорешивают данное уравнение.

«Поскольку функция 4х³-3х существует при любых значениях х, найдем область определения функции f(x)= : 1- х² ?0, значит х. Введем замену х=cosб. Нас интересуют все значения этой функции. Выберем для удобства любой отрезок, на котором функция косинус принимает все свои значения, например отрезок .

Подставим х=cosб в уравнение, получим

Так как б, то sinб ?0 и можно опустить модуль:

Условию б удовлетворяют три значения б₁=, б₂=, б₃=.

x₁=cos б₁=cos=,

x₂=cos б₂=cos=-sin= =

x₃= cos б₃=cos =-cos=.

Ответ: x₁=, x₂=, x₃=.

Пример 2. Сколько корней на отрезке [0;1] имеет уравнение

При отсутствии лишнего времени решение лучше вынести в качестве домашнего задания. Если уровень подготовки класса не очень высок, то учитель может сделать подсказку «Замена х=cosб, б ставит в соответствие каждому значению х на [0;1] ровно одно значение б. Значит, число решений исходного уравнения на [0;1] равно числу решений соответствующего уравнения на , причем так как х0 и х1, то можно взять б». Уравнение примет вид

Условию б удовлетворяют четыре значения б₁=, б₂=, б₃=, б₄=.

Ответ: уравнение на отрезке [0;1] имеет ровно четыре корня.

Пример 3. Решить систему уравнений

Внимательно посмотрев на первое уравнение системы, учащиеся сами (или с помощью учителя) замечают, что оно очень похоже на основное тригонометрическое тождество и делают вывод: если в задаче встречается равенство х²+y²=1, то часто бывает полезно сделать замену х= sinб, y= cosб, б, так как числа, сумма квадратов которых равна 1, это синус и косинус одного и того же числа. Дальнейшее решение системы не вызывает затруднений и может быть произведено учащимися самостоятельно.

Пусть х= sinб, y= cosб, б Второе уравнение системы примет вид

Условию б удовлетворяют четыре значения б₁=, б₂=, б₃=, б₄=.

х₁= y₁=

х₂= y₂=

х₃= y₃=

х₄= y₄=

Ответ: х= , y= ; x= , y= ; x= ,

y= ; x= , y= .

В качестве домашнего задания учащимся можно предложить решить задачу:

Числа a, b, c, d таковы, что a²+b²=1, c²+d²=1, ac+bd=0. Чему равно ab+cd?

Решение может выглядеть следующим образом. «Пусть а= sinб, b= cosб, б, c=sinв, d=cosв, в. Уравнение ac+bd=0 перепишем в виде

Преобразуем выражение ab+cd:

Так как cos(б- в)=0, то sin(б +в)*cos(б - в)=0, a значит ab+cd=0.

Ответ: ab+cd=0»

После этого учитель подводит учащихся к вопросу: «Можно ли применять тригонометрические подстановки для решения уравнений, в область допустимых значений которых входят все действительные числа?»

Можно, но в случаях, когда переменная может принимать различные значения, используются замены x=tgб, б и x=ctgб, б.

Пример 5. Доказать, что при любых действительных х и у

.

Замечание. Желательно обсудить с учащимися лишь необходимую замену. Все остальное они в силах проделать самостоятельно.

Положим , где . Тогда

Так как все значения выражения

лежат в промежутке [-1/2;1/2], следовательно, и все значения исходного выражения лежат в этом же промежутке. Что и требовалось доказать.