В курсе геометрии VII-IX классов систематически изучаются геометрические фигуры на плоскости, причем большое внимание уделяется многоугольникам, изучению их свойств, рассмотрению величин, характеризующих плоский многоугольник. В решении задач на многоугольники находят применение различные методы.

Систематическое изучение плоских многоугольников базируется на сформированных в I-III классах представлениях о простейших геометрических фигурах и служит средством развития логического мышления учащихся. Здесь вводится много определений, доказываются содержательные теоремы, введется работа по формированию понятий "свойство" и "признак". Уже в I-III классах они знакомы учащимся и служат хорошим дидактическим средством изучения арифметики. В I классе дети считают элементы многоугольников: вершины, стороны,., углы, измеряют их стороны. Разбитый на равные квадраты прямоугольник используется во II классе для иллюстрации переместительного закона умножения, задача на нахождение периметра прямоугольного закона умножения относительно сложения. В III классе формируются представления о площади фигуры, основное внимание при этом уделяется вычислению площади прямоугольника и квадрата.

При обучении элементам геометрии в IV-V классах многоугольник выступает не только как средство изучения арифметики и элементов алгебры, но и как объект изучения. Большое внимание при этом уделяется развитию пространственных представлений учащихся, работе с изображением отрезка, ломанной, угла, многоугольника, многогранника (прямоугольного параллелепипеда, куба). Основным для получения результатов является конкретно-индуктивный метод. Эпизодически вводятся элементы дедукции: формулируются некоторые определения (длина ломаной, дополнительные лучи, квадрат, куб и т.п.), отдельные свойства (отрезок АВ короче любой линии, соединяющий точки А и В, свойства измерения углов и др.), на которые учащиеся ссылаются при решении задач типа "Объясните, почему. "

Этот раздел школьного курса геометрии выполняет и определенные мировоззренческие функции. В процессе его рассмотрения ученики знакомятся с историей отдельных вопросов, узнают об их месте и роли в практической деятельности человека.

Вместе с тем при изучении многоугольников идет формирование знаний, умений и навыков, необходимых для изучения смежных дисциплин: физики, черчения, трудового обучения и др.

Изучение в курсе планиметрии свойства и признаки многоугольников находят широкое применение в курсе стереометрии. Учителю необходимо помнить об этом при организации текущего и итогового повторения.

В различных школьных курсах планиметрии понятие многоугольников трактуется неодинаково.

В одних курсах многоугольник А_1, А₂,., А_n трактуется как фигура, состоящая из отрезков A₁A₂, A₂A₃,., A_n-1A_n, А_nА₁ любые два из которых, имеющие общий конец, не лежат на одной прямой (4), (18). В этом случае при рассмотрении площади многоугольников (прямоугольника, параллелограмма, треугольника и др.) под каждым из них понимается соответствующий плоский многоугольник (конечная часть плоскости, ограниченная многоугольником).

В других курсах простой многоугольник (треугольник, четырехугольник и др.) трактуется с самого начала как часть плоскости, ограниченная простой замкнутой ломаной (2).

Если перечень вопросов курса, их объем предопределены программой, то структура материала внутри каждой темы, последовательность изучаемых вопросов обычно характерны для каждого отдельного учебника.

Так, учебники геометрии А.Д. Александрова и др. (2) и Л.С. Атанасяна и др. (4) отличает широкое использование практического опыта учащихся, различные приложения изучаемой теории.

Кроме того, нельзя не сказать о роли наглядности при изучении многоугольников. Наличие в учебнике большого числа рисунков ни в коем случае не ограничивает творчество учителя. В то же время это дает возможность ученику, вынужденному в силу сложившихся обстоятельств самостоятельно изучать тот или иной раздел, следить на хорошем иллюстративном материале за логикой рассуждений, "увидеть" идею и путь доказательства.

§2. Анализ содержания темы "Многоугольники" в школьных учебниках геометрии

Чтобы подвести к формулировке теоремы, можно в начале урока предложить учащимся следующее задание практического характера:

Начертите треугольник ABC.

Проведите луч MN и отложите от него угол KMN, равный углу ВАС. На луче МК отложите отрезок MP, равный отрезку АВ, а на луче MN - отрезок ME, равный отрезку АС.

Соедините точки Р и Е.

Измерьте и сравните отрезки ВС и РЕ, углы ABC и МРЕ, углы АСВ и МЕР.

Запишите равные между собой элементы построенных треугольников.

По ходу выполнения задания ставятся вопросы:

Сколько равных между собой углов можно отложить от данного луча?

Что значит "Треугольник МРЕ равен треугольнику ABC"?

Сформулируйте аксиому существования треугольника, равного данному, если считать данными треугольник ABC и полупрямую MN.

В результате выполнения задания на доске и в тетрадях появляется чертеж (рис.1) и запись:

Рис.1

По условию AB=МР, AC=МЕ, ВАС=РМЕ. Результаты измерений

АСВ=МЕР, АВС=МРЕ, ВС=РЕ.

Опираясь на определение равных треугольников, из того, что все шесть элементов одного треугольника соответственно равны мести элементам другого, делается вывод: АВС=МРЕ.

Это задание подводит учащихся к формулировке первого признака равенства треугольников.

Теорема 3.1: (признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

1. Пусть Дано: ?АВС и ?А₂В₂С_{2, (}по аксиоме IV).

Причем расположен он может быть следующим образом: одна его вершина совпадает с вершиной А₁ другая (В₂) лежит на луче А₁В₁ a третья - (С₂) лежит в той же полуплоскости относительно прямой А₁В₁, что и вершина С.

2. Т.к. А₁В₁=AB (по условию), то AB=A₁B₂ (из п.1), следовательно В₂ совпадает с вершиной В_1.

3. Т.к. B₁A₁C₁ = BAC (по условию), то B₂A₁С₂=BAC (из п.1), следовательно, B₁A₁C₁ = B₂A₁С₂

Тогда луч A₁С₂ совпадает с лучом A₁C_1.

4. AC= A₁C₁ (по условию), A₁С₂=AC (из п.1), следовательно A₁C₁= A₁С_2. Тогда вершина С₂ совпадет с вершиной С₁.

Таким образом, ?АВС = ?А₁В₁С₁

Ч. т.д.

После доказательства теоремы о первом признаке равенства треугольников предлагаются задачи:

Задача 1. В каждой из изображенных на рисунке пар треугольников равные элементы треугольников указаны пометками. Какие треугольники равны по первому признаку?

Задача 2. Отрезки AR и ВН делят друг друга пополам в точке F. Доказать, что AB=RH.

3адача 3. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Чему равен отрезок BD, если отрезок АС=10м?

Дано: АВUCD=0,AO=OB, CO=OD, АС=10м.

Найти: BD.

Решение.

?AOC=?BOD (по I признаку равенства треугольников).

1) AOC = BOD - вертикальные углы.

2) ОА=ОВ и OC=OD (т.к. точка О - середина отрезков АВ и CD).

Из равенства треугольников АОС и BOD следует равенство их сторон

АС и BD. А т.к. АС=10м (по условию), то и BD=10m.

Ответ: BD=1 Ом.

3адача 4. На стороне ВС ?АВС отмечена точка D, а на стороне B₁С₁ ?А₁В₁С_{1 -} точка D_1, причем BAD=B₁A₁D₁. Докажите, что если ?ADC=?A,D₁C_1, то ?АВС=?А₁В₁С₁.

Дано: ?АВС и ?А₁В₁С₁, BAD=B₁A₁D₁, ?ADC=?A,D₁C₁.

Доказать: ?ABC=?A₁B₁C1.

Ч. т.д.

Затем учащимся можно предложить систему задач:

1. Докажите равенство треугольников ADC и ABC, изображенных на рисунке, если AD=AB и 1=2. Найдите: ADC и ACD, если ACB=38⁰, ABC=102⁰.

2. Известно, что ?АВС=?А₁В₁С₁, причем A=A_1, B=B₁. На сторонах АС и A₁C₁ отмечены точки D и D₁ так, что CD=C₁ D₁. Докажите, что ?CBD=?C₁B₁ D_1.

3. Известно, что ?МКР=?М₁К₁Р₁ причем M=M₁, K=K_1. На сторонах MP и M₁P₁ отмечены точки Е и Е₁ так, что МЕ=М₁Е₁. Докажите, что ?МЕК=?М₁Е₁К₁.

4. Через середину О отрезка АВ проведена прямая, перпендикулярная прямой АВ. Докажите, что каждая точка X этой прямой одинаково удалена от точек А и В.

Аналогично рассматриваются доказательства II и III признаков.

Теорема 3.2 (признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам). Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема 3.3 (признак равенства треугольников по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

И можно привести следующую систему задач, направленную на выработку соответствующих умений и навыков:

1. В каждой из изображенных на рисунке пар треугольников равные элементы треугольника указаны пометками. Какие треугольники равны по II признаку, а какие равны по III признаку?

2. В треугольниках МРК и XYZ РМК=ZYX, MKP= YXZ и сторона РК равна стороне XY. Докажите равенство сторон РК и ZX.

3. На рисунке AB=CD и BD=AC. Докажите, что:

a) CAD =ADB;

б) BAO = CDB.

4. В треугольнике DEC и D₁E₁С₁ DE= D₁E_1, D=D_1, E=E₁. На сторонах DE и D₁E₁ отмечены точки Р и P₁ так, что DCP= D₁С₁ P₁. Докажите, что:

a) ?DCP=?D₁C₁P₁;

б) ?СРЕ=?С₁Р₁Е₁.

5. На рисунке, треугольник MNP равнобедренный с основанием MP, точка К - середина отрезка MP, MKE=PKF. Докажите, что ?NEK=?NFK.

3.3 Методика введения понятия теоремы обратной данной

В учебнике "геометрия 7-11" А.В. Погорелова (18) после доказательства теорем Т.3.3 ("В равнобедренном треугольнике углы при основании равны") §3 "Признаки равенства треугольников" п.23 "Равнобедренный треугольник" и Т.3.4 ("Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный"), того же параграфа п.24 "Обратная теорема", говорится, что Т.3.4 называется обратной Т.3.3.

В учебнике "Геометрия 7-9" Л.С. Атанасяна (4), сначала изучаются теоремы п.25 §1 "Признаки параллельности двух прямых" главы III. т.е.:

Теорема: Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Теорема: Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Теорема: Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180, то прямые параллельны.

Затем в §2 этой главы "Аксиома параллельных прямых" в п.29 вводят определение:

теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением - условие данной теоремы.

После чего школьникам предлагают доказать теоремы, обратные теоремам п.25.

Рассмотрим методику введения понятия "обратная теорема" на примере учебника А.В. Погорелова.

1способ: Вначале учащиеся доказывают Т.3.3: "В равнобедренном треугольнике углы при основании равны", затем Т.3.4: "Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный".

После чего учащиеся говорят "Теорема 3.4 называется обратной теореме 3.3 Заключение теоремы 3.3 является условием теоремы 3.4 А условие теоремы 3.3 является заключением теоремы 3.4

Не всякая теорема имеет обратную, т.е. если данная теорема верна, то обратная теорема может быть неверна. Поясним это на примере теоремы о вертикальных углах.

Эту теорему можно сформулировать так: если два угла вертикальные, то они равны. Обратная ей теорема была бы такой: если два угла равны, то они вертикальные. А это, конечно, неверно.

Два равных угла вовсе не обязательно быть вертикальными".

В то же время в методической литературе перечисляют затруднения, которые испытывают учащиеся.

школьнику кажется, что прямая и обратная теоремы выражают одну и ту же мысль;

если ученик различает содержание каждой теоремы, то убежден, что справедливость одной влечет за собой справедливость другой;

3) не вполне ясное выделение в теореме условия и заключения приводит к тому, что ученики часто смешивают прямую и обратную теоремы;

4) большинству учащихся кажется, что обе записи выражают одну и ту же мысль.

Поэтому можно предложить второй способ изложения этого материала.

II способ: Перед доказательством Т.3.4 учитель предлагает учащимся самостоятельно сформулировать ту теорему, которая получается из Т.3.3, если в ней поменять условие и заключение.

Учащиеся заполняют таблицу:

Учитель предлагает доказать эту теорему. После доказательства возвращается к первой строчке таблицы, вводятся термины "прямая теорема", "обратная теорема".

После доказательства Т.3.4 надо предложить учащимся ряд упражнений на образование обратных теорем:

Например, составить для каждой из теорем обратную:

1. Если сумма цифр числа нацело делится на 9, то само число делится на 9.

2. Если число оканчивается двумя нулями, то оно нацело делится на 4.

3. Если в одном и том же круге центральные углы равны, то и соответственные им дуги равны.

Ученик, составляя обратную теорему, должен сказать верна ли она.

В упражнениях полезно ввести и жизненные примеры: образовать обратное утверждение к следующему: если ученик болен, то он пропускает уроки.

Также полезно предложить учащимся привести примеры доказанных ранее теорем сформировать для них обратные. При этом лучше переформулировать теоремы таким образом, чтобы они читались: "Если., то.". Можно взять в качестве примера теорему о вертикальных углах, I и II признаки равенства треугольников и теорему о смежных углах.

На примере теорем 3.3 и 3.4 и признаков равенства треугольников показывается, что в этих случаях наряду с исходной теоремой верна и обратная; на примере теоремы о вертикальных углах - что возможен случай, когда прямая теорема верна, а обратная утверждение неверно.

Можно также предложить ученикам сформировать теорему обратную к теореме 3.4 (или к любой другой, которую они формировали как обратную), и убедиться в том, что теорема, обратная обратной, есть прямая теорема.

§4. Методика изучения темы "Четырехугольники"

Цели урока:

образовательные цели направлены на усвоение и закрепление понятия параллелограмма, его свойств, навыка построения параллелограмма и применения его свойств при решении задач;

развивающие цели данного урока направлены на развитие пространственного воображения учащихся, логического мышления; совершенствование графической культуры, формирование навыков осмысленного понимания теорем и быстрого их запоминания, развитие умений применять знания в различных ситуациях; умений самостоятельной работы;

воспитательные цели урока направлены на формирование положительной мотивации учения, воспитание самостоятельности и коллективизма.

Исходя из типа урока, целей урока, содержания учебного материала на уроке используются следующие методы и приемы обучения:

· эвристический (постановка проблемы и организация деятельности по ее решению);

· практический (закрепление умений и навыков происходит в ходе выполнения практических заданий);

· словесный;

· наглядный.

формы обучения

· общеклассная (на этапе изучения нового материала ведется работа со всем классом, что необходимо для закрепления материала обязательного уровня всеми учениками класса);

· индивидуальная и групповая (учащиеся работают самостоятельно, в парах, исходя из своих возможностей).

Обрудование: компьютер, мультимедийный проектор или интерактивная доска, линейки, угольники, циркули, нелинованная бумага, рабочая карта урока.

Урок проводится в сопровождении мультимедийной презентации PowerPoint.

Ход урока:

4.2 Методика изучения темы "Прямоугольник"