Методика изучения геометрических величин в курсе геометрии средней школы

36

Министерство общего и профессионально образования

Южный Федеральный Университет

Ростовский педагогический институт

Кафедра геометрии и методики преподавания математики

Курсовая работа на тему:

Методика изучения геометрических величин в курсе геометрии средней школы

Выполнила

студентка 62 группы.

ф-та «Математика»

Бурова И.В.

2010 г

Оглавление

• Введение
• 1 Теоретические основы изучения геометрических величин в средней школе
• 1.1 История возникновения и развития геометрических величин
• 1.2 О роли и месте величин, их измерений в процессе обучения
• 2 Методика изучения геометрических величин в курсе геометрии средней школы
• 2.1 Методика изучения длин в курсе геометрии средней школы
• 2.2 Методика изучения величин углов в курсе геометрии средней школы
• 2.3 Методика изучения площадей фигур в курсе геометрии средней школы
• 2.4 Методика изучения объемов фигур в курсе геометрии средней школы
• Заключение
• Список используемой литературы
• Приложение 1 Аксиомы теории величин
• Приложение 2 Тест для учащихся 8 класса по теме «Площади фигур»
• Приложение 3 Самостоятельная работа для учащихся 7 класса на тему «Измерение отрезков»

Введение

На современном этапе развития общеобразовательной школы главные её задачи состоят в том, чтобы дать учащимся глубокие знания основных наук, совершенствовать их диалектико-материалистическое мировоззрение, развивать творческие способности и трудовые навыки, прививать желание и умение самостоятельно приобретать и углублять свои знания. Решение этих задач требует всемерной активности их учебной деятельности, осмысленного изучения материала.

Представления учащихся о взаимосвязи математики и окружающего мира достигается сочетанием теоретического и современных прикладных аспектов школьного курса математики. Этому способствует и тот факт, что в программе и учебных пособиях отражены внутрипредметные и межпредметные связи . На уроках математики, как правило, готовится весь аппарат, необходимый для изучения смежных предметов на достаточно высоком уровне. Большой интерес представляют те понятия, которые находят применение в нескольких школьных предметах. Одним из таких понятий является понятие величины.

Величина -- одно из основных математических понятий. Изучение в курсе математики средней школы величин и их измерений имеет большое значение в плане развития школьников. Это обусловлено тем, что через понятие величины описываются реальные свойства предметов и явлений, происходит познание окружающей действительности; знакомство с зависимостями между величинами помогает создать у детей целостные представления об окружающем мире; изучение процесса измерения величин способствует приобретению практических умений и навыков необходимых человеку в его повседневной деятельности.

Объект исследования: процесс изучения геометрических величин в курсе геометрии средней школы.

Предмет исследования: методика изучения геометрических величин в курсе геометрии средней школы.

Цель курсовой работы заключается в описании методики изучения геометрических величин в курсе геометрии средней школы.

Задачи:

1. Рассмотреть историю развития геометрических величин.

2. Охарактеризовать понятие геометрической величины.

3. Установить роль и место величин, их измерений в процессе

обучения.

4. Описать методику изучения геометрических величин в курсе геометрии средней школы.

Данная курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка используемой литературы и трех приложений.

В первой главе рассматриваются теоретические основы изучения геометрических величин в курсе геометрии средней школы, а именно, история возникновения и развития геометрических величин, роль и место величин, их измерений в процессе изучения. Во второй главе описывается методика изучения геометрических величин в курсе геометрии средней школы.

1 Теоретические основы изучения геометрических величин в средней школе

1.1 История возникновения и развития геометрических величин

Величина -- одно из основных математических понятий, смысл которого с развитием математики подвергался ряду обобщений.

Задатки геометрических знаний, связанных с измерением площадей, теряются в глубине тысячелетий.

Еще 4--5 тыс. лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Квадрат издавна служил эталоном при измерении площадей благодаря многим своим замечательным свойствам: равные стороны, равные и прямые углы, симметричность и общее совершенство формы. Квадраты легко строить, ими можно заполнить плоскость без пробелов (в Древнем Китае мерой площади был прямоугольник).

Древние египтяне 4000 лет назад пользовались почти теми же приемами, что и мы, для измерения площади прямоугольника, треугольника и трапеции: основание треугольника делилось пополам и умножалось на высоту; для трапеции же сумма параллельных сторон делилась пополам и умножалась на высоту. Для вычисления площади S четырехугольника со сторонами а, b, с, d (рис. 1) применялась формула

т. е. умножались полусуммы противоположных сторон. Эта формула верна только для прямоугольника. С ее помощью можно вычислить приближенно площадь таких четырехугольников, у которых углы близки к прямым.

Для определения площади S равнобедренного тpeyгольника АВС, в котором |АВ| = |АС| , египтяне пользовались приближенной формулой:

Совершаемая при этом ошибка тем меньше, чем меньше разность между стороной и высотой треугольника, иными словами, чем ближе вершина В (и С) к основанию D высоты из А. Вот почему приближенная формула применима лишь для треугольников с сравнительно малым углом при вершине.

Понятие угла на протяжении веков не оставалось без изменений, оно обобщалось и расширялось под влиянием запросов практики и науки. Градусная система измерения углов, в которой за единицу принят угол, равный части угла, соответствующего полному обороту одной стороны угла около его вершины, восходит к III - II тысячелетиям до н. э., к периоду возникновения шестидесятеричной системы счисления в вавилонской математике.

Шестидесятеричное градусное измерение, как и шестидесятеричные дроби, проникло далеко за пределы ассиро-вавилонского царства и получило широкое распространение в странах Азии, Северной Африки и Западной Европы. Они применялись, в частности, в астрономии и связанной с ней тригонометрии.

Гиппарх, Птолемей и другие древнегреческие астрономы употребляли таблицы, в которых давались величины хорд, соответствующих данным дугам. Хорды (как и дуги) измерялись градусами, минутами и секундами, при этом один градус составлял обычно шестидесятую часть радиуса. Индийцы заимствовали через греков вавилонское градусное измерение дуг, но вместо хорд они измеряли линии синусов и косинусов. Градусным измерением пользовались и ученые стран Ближнего и Среднего Востока, внесшие большой вклад в развитие тригонометрии.

Выдающийся немецкий математик и астроном XV в. Региомонтан отступил от шестидесятеричного деления радиуса и за единицу измерения линии синуса принял одну десятимиллионную часть радиуса, что позволило выражать синусы целыми числами, а не шестидесятеричными дробями. Аналогично поступали и многие последовавшие за ним европейские математики.

Во время буржуазной революции конца XVIII в. во Франции была введена наряду с метрической системой мер и центезимальная (сотенная) система измерения углов, в которой прямой угол делился на 100 градусов, градус- на 100 минут, минута - на 100 секунд. Эта система применяется и поныне в некоторых геодезических измерения, но всеобщего употребления пока не получила.

В связи с возникновением и развитием теории пределов и математического анализа с целью придать многим формулам возможно более простой вид в тригонометрии ввели радианное измерение дуг и углов. Термин «радиан» происходит от латинского radius -- радиус.

Объемы зерновых амбаров и других сооружений в виде кубов, призм и цилиндров египтяне и вавилоняне, китайцы и индийцы вычисляли путем умножения площади основания на высоту. Однако древнему Востоку были известны в основном только отдельные правила, найденные опытным путем, которыми пользовались для нахождения объемов и площадей фигур. В более позднее время, когда геометрия сформировалась как наука, был найден общий подход к вычислению объемов многогранников.

Среди замечательных греческих ученых V--IV вв. до н. э., которые разрабатывали теорию объемов, были Демокрит из Абдеры и Евдокс Книдский.

Евклид не применяет термина «объем». Для него термин «куб», например, означает и объем куба. В XI книге «Начал» изложены среди других и теоремы, следующего содержания.

1. Параллелепипеды с одинаковыми высотами и равновеликими основаниями равновелики.

2. Отношение объемов двух параллелепипедов с равными высотами равно отношению площадей их оснований.

3. В равновеликих параллелепипедах площади оснований обратно пропорциональны высотам.

Теоремы Евклида относятся только к сравнению объемов, так как непосредственное вычисление объемов тел Евклид, вероятно, считал делом практических руководств по геометрии. В произведениях прикладного характера Герона Александрийского имеются правила для вычислений объема куба, призмы, параллелепипеда и других пространственных фигур.

1.2 О роли и месте величин, их измерений в процессе обучения

Длина, площадь, масса, время, объём - это величины. О возрастании роли величин в познании природы говорит тот факт, что они проникают и являются составной частью таких традиционно "нематематизированных" наук, как биология, психология, педагогика, социология и др. Но для математики и физики понятие величины является наиболее характерным.

Без величин изучение природы ограничивалось бы лишь наблюдениями и оставалось на описательном уровне. Именно количественные модели различных объектов, явлений наиболее описательны. Характерным общим понятием для всех моделей является понятие "величина".

Каждый объект имеет много различных свойств, которые отражены в соответствующих величинах.

Свойство объекта	Соответствующая величина
инертность	масса
пространственная протяженность	длина
препятствие прохождению электрического тока	сопротивление

Величины не существуют сами по себе, как некие субстанции, оторванные от материальных объектов и их свойств. С другой стороны, величины в некоторой степени идеализируют свойства объектов и явлений. В процессе абстракции всегда происходит огрубление действительности, отвлечение от ряда обстоятельств. Поэтому величины - это не сама реальность, а лишь ее отображение. Но практика показывает, что величины верно отражают свойства окружающей действительности. В самой природе нет сил, скоростей, импульсов и т.д.; величины используются в ходе познания для описания явлений природы.

Различают несколько видов величин: скалярные, векторные, тензорные. В школьном обучении нашли широкое применение скалярные и векторные величины.

Величины позволяют перейти от описательного к количественному изучению свойств объектов, т.е. математизировать знания о природе.

По словам С. Богданова [4], понятие величины является основополагающим не только в отдельных науках, но и в реальной, повседневной жизни. Поэтому понятие должно иметь единое содержание как в школьных учебниках, так и в реальной практике. Но силу того, что понятие величины является первичным, четкого, строго определения оно не имеет, поэтому трактуется по-разному. В школе оно вводится, как правило, описательно, на примерах величин, известных ученикам из практики, окружающей действительности.

Анализ учебной и научной литературы о величинах позволяет выделить два аспекта величин:

1. величина позволяет перейти от качественного описательного к количественному изучению свойств объекта, то есть математизировать знания об объекте;

2. в количественном описании величина представляется не только числом, но и единицей измерения.

К трактовке понятия величины существует несколько подходов.

I. Геометрические величины могут трактоваться как действительные числа, которые характеризуют геометрическую фигуру с точки зрения ее размеров - длин отрезков, величин углов, площади и объема.

Величины, которые вполне определяются одним численным значением, называются скалярными величинами. Такими, к примеру, являются длина, площадь, объём, масса и другие.

Важно заметить, что для характеристики значения одних величин достаточно числа (н-р, площадь, объем), а значение других величин характеризуется еще и направлением (н-р, скорость).

Геометрические величины, изучаемые в школе, являются скалярными аддитивными величинами. Каждая из них может быть определена аксиоматически, что сделано практически во всех школьных учебниках геометрии:

1. формулируется неотрицательность (иногда - положительность) величин;

2. показывается равенство соответствующих величин для равных геометрических фигур;

3. формулируется свойство аддитивности.

Таким образом, с помощью 1)-3) определяется сама величина, а не ее значения. Для нахождения числовых значений геометрических величин требуется введение еще одной аксиомы:

4)существует единица измерения (отрезок длиной 1, квадрат площадью 1, куб объема 1, угол, величина которого 1).

II. С точки зрения теории множеств, все геометрические величины являются примерами одного из основных определяемых аксиоматически общематематических понятий - меры множества. Пусть дано некоторое семейство множеств А, В, С, …, являющихся подмножествами некоторого универсального множества У. Говорят, что на этом семействе множеств определена мера, если каждому из них поставлено в соответствие некоторое действительное число m(A), удовлетворяющее аксиомам:

1)m(A)?0, m(A) = 0 тогда и только тогда, когда А - пустое множество;

2)среди данных множеств существует такое множество Е, что m(E) = 1;

3)равные множества имеют равные меры: (А=В) следует, что (m(A) = m(B));

4)мера двух непересекающихся множеств А и В равна сумме мер данных множеств m(A)+m(B);

5)если m(A) = m(B), а m(В) = m(С), то m(A) = m(С).

Легко проверить конкретный смысл этого определения для понятий длины отрезка, величины угла, площади фигуры, объема тела.

Величины тесно связаны с понятием измерения. Измерения являются одним из путей познания природы человеком, объединяющим теорию с практической деятельностью человека. Роль и значение измерений в процессе развития естественных и технических наук непрерывно возрастает, так как растет число и качество различных измерений величин.

Существует два основных способа измерения геометрических величин:

· непосредственное;

· косвенное.

Непосредственное измерение - сравнение данной величины с выбранной единицей измерения - основано на 1-й и 2-й аксиомах меры , соответствует первоначальному наглядному представлению, например, о длине отрезка как числе, показывающему, сколько раз единица длины или ее часть укладывается (содержится) в этом отрезке, и состоит в выполнении следующих шагов:

1.Выбрать единицу измерения (это можно сделать на основе 2-й аксиомы).

2.Сравнить данное множество с единицей измерения; число (на основе 1-й аксиомы), показывающее, сколько раз единица измерения содержится в данном множестве, есть его мера (длина отрезка, величина угла, площадь фигуры, объем тела).

Таким образом, в результате измерения величины находят некоторое число х которое называют числовым значением данной величины а при единице измерения е:

а = х · е, где х - число. Следовательно, величина задается с помощью чисел и единиц измерения. Например, 7 кг = 7·1кг, 12 см =12·1 см, 15ч =15·1ч.

Кроме того, определив умножение величин можно обосновать процесс перехода от одной единицы величины к другой.

3.Можно убедиться, что полученное таким образом число удовлетворяет аксиомам 3-5 и дает возможность выполнять сравнение, сложение, вычитание, умножение и деление на число измеряемых множеств и их мер.

Говоря о геометрических величинах, следует четко различать саму геометрическую фигуру, величину, и числовое значение этой величины. Например:

Геометрическая фигура	Величина	Значение величины
Отрезок АВ: А В	Длина отрезка АВ: АВ = 4 см	Числовое значение длины отрезка АВ: 4

Отличие длины отрезка от числового значения длины в том, что первое остается неизменным, а второе зависит от выбранной единицы измерения. [11]

Для практической реализации непосредственного измерения единица измерения наносится на материальные носители и получаются измерительные приборы: масштабная линейка, транспортир, палетка и др.

Заметим, что способ непосредственного измерения не всегда удобен (например, для измерения площади палеткой) и даже не всегда осуществим (например, для измерения объема). Поэтому используют косвенное измерение геометрических величин, которое состоит в том, что непосредственно измеряются только величины тех элементов геометрических фигур - отрезков, углов, для которых это сделать легко и практически удобно, а площадь и объем затем вычисляются на основе аксиом меры с помощью специально установленной зависимости между всеми геометрическими величинами данной фигуры.

Ниже рассматриваются методы установления такой зависимости, называемые методами косвенного измерения геометрических величин.

1)Метод равновеликости равносоставленных фигур, используемый для определения геометрических величин многоугольников и многогранников, основан на 3-й и 4-й аксиомах (конкретизируемых как свойства площадей и объемов) и следующей из них теореме: равносоставленные фигуры равновелики (две фигуры называются равновеликими, если их площади или объемы равны; две фигуры называются равносоставленными, если каждую из них можно разбить на соответственно равные части). Для многоугольников, в частности, справедлива и обратная теорема: равновеликие многоугольники всегда равносоставлены.

Примерами применения этого метода являются доказательства формул площади параллелограмма (преобразованного в прямоугольник), трапеции (достроенного до треугольника), формул объема призмы; геометрическая иллюстрация законов действий над числами и формул тождественных преобразований (последние, в частности могут быть использованы для вывода формулы площади прямоугольника на основе известной формулы площади квадрата).

2) Метод предельного перехода основан на определении геометрических величин некоторых фигур, которые не могут быть определены и измерены непосредственно (длина окружности или дуги) или составлены из многоугольников (площадь круга) или многогранников (площади боковой поверхности и объемы круглых тел) как предела последовательности соответствующих значений геометрических величин, вписанных в данную фигуру или описанных около нее фигур при неограниченном увеличении числа определяющих их элементов (например, сторон многоугольников).

Впервые этот метод применяется для определения длины окружности и формулы ее вычисления. Рассуждения выстраиваются следующим образом: так как единицей измерения длины (единичный отрезок) не совмещается с дугой окружности, можно вначале измерить длину окружности приближенно, например, как периметр вписанного (или описанного) в нее многоугольника. Чтобы увеличить точность приближенного вычисления, увеличивают (например, удвоением) число сторон многоугольника и вычисляют его периметр; теоретически этот процесс можно продолжить бесконечно. Таким образом, получается бесконечная последовательность длин периметров, вписанных в окружность многоугольников Р1, Р2, Р3,…,Рп , которая при п>? возрастает и ограничена сверху (например, периметром любого описанного многоугольника) и, следовательно, по теореме К. Вейерштрасса имеет предел. Этот предел называется длиной окружности и его вычисление приводит к формуле C=2?r. Аналогичные рассуждения можно провести для определения и вывода формулы площади круга, боковой поверхности и объема цилиндра, конуса, усеченного конуса.

3) Метод интегрального исчисления для вычисления площадей фигур, ограниченных сверху и снизу графиками непрерывных неотрицательных функций и объемов круглых тел основан на теоремах математического анализа о вычислении площади криволинейной трапеции и объема тела вращения по формулам и .

Примером непосредственного применения метода интегрального исчисления является вывод формулы для вычисления объема пирамиды в 11 классе.

Одна и та же фигура может иметь несколько разных формул для вычисления ее площади (объема) для разных частных случаев (так, например, известно около десятка формул площади треугольника). На формулах вычисления площадей и объемов геометрических фигур основан метод площадей (и объемов) для вычисления длин отрезков или величин углов.

Суть метода площадей (объемов):

1)запишите две или более формул площади (объема) данной фигуры, в одной из них известны все элементы, а в другую входит неизвестный элемент (элементы);

2)составьте уравнение (систему уравнений) на основе того, что эти формулы выражают одну и ту же величину;

3)решите полученное уравнение (систему уравнений) и найдите искомые элементы.

Разновидности метода площадей (объемов):

· одна фигура заменяется другой, которая ей равновелика и более удобна для решения задачи;

· отношение отрезков заменяется отношением площадей треугольников с общей вершиной (если они известны), основаниями которых являются рассматриваемые отрезки.

Данный метод и его разновидности используются и для доказательства свойств геометрических фигур (например, таким методом доказывается свойство биссектрисы угла). Как и при использовании этого метода, так и других, используют дополнительные построения и общие методы доказательства теорем.

В процессе обучения геометрии, можно выделить некоторые конкретные направления использования измерений.

Понятие величины в математике возникло в результате абстрагирования от качественных особенностей свойств реальных объектов, чтобы выделить только количественные отношения. Еще в глубокой древности в процессе измерений было найдено множество эмпирических фактов об общих свойствах величин, которые являются отражением свойств в реальном мире.

Иногда считают, что понятие величины не является специальным математическим понятием, так как в конечном итоге, как правило, обращаются с числовыми значениями величин или просто числами. Однако, как указывал академик А.Н. Колмогоров, "...более радикальным и правильным решением представляется вполне традиционный путь, восходящий к Евклиду: общие свойства скалярных величин предпосылаются систематическому курсу геометрии. "[4]

Понятие величины не потеряло своего значения в математике и в настоящее время; оно имеет ясно выраженную прикладную направленность. Так, Н.Я. Виленкин замечает: "Понятие величины является основным, когда речь идет о приложениях математики"[4]. Современная математика, давая общее представление о величине, отличает это понятие от понятия числа.

Между различными свойствами объектов и явлений окружающей действительности существуют определенные связи, часть из которых отражается в зависимостях между соответствующими величинами.

Изучение зависимостей между величинами позволяет учащимся видеть не только качественные связи различных сторон объективной реальности, т.е. на описательном уровне, но и оценивать их количественно.

Связи величин, их взаимозависимость выражаются с помощью формул. Истолкование формул в физике отличается от их истолкования в математике.

Математическая формула выражает в основном вид зависимости между символами, входящими в нее. Сами символы могут не содержать конкретного смысла. В физической формуле отражены связи между величинами реального мира.

В процессе изучения различных величин учащиеся должны знать не только их числовые характеристики, но и те свойства объектов, которые характеризуются данными величинами.

Известно, что не каждое свойство объектов, явлений можно измерять. Примерами могут служить многие понятия в психологии, педагогике, биологии, экономике (воля, смелость, вкус и т. д.). Иногда такие понятия также называют величинами, но в отличие от привычных - величинами латентными. Сравнение таких величин возможно лишь на некоторой интуитивной основе. Если говорят, что этот человек более волевой, чем другой, то о степени качества "воля" судят только через систему поступков, поведение человека. В этих случаях говорят об условных значениях величии или об условных мерах. Оценивать такие величины числами представляется искусственным.

Сложение, вычитание и другие арифметические действия с латентными величинами производить нельзя, так как не может быть установлено взаимно-однозначное соответствие между их множеством и множеством действительных чисел.

На примере использования величин в науках учащиеся знакомятся с одним из путей математизации знаний, с той ролью, которую играют математические методы в исследовании природы. Все это имеет важное значение для формирования у учащихся правильных представлений о взаимодействии математики с другими естественными науками.

Наряду с изучением конкретных величин в школе важно, чтобы учащиеся получили достаточно полное и в то же время доступное представление о:

· понятии величины, способах ее измерения;

· роли и месте величин в познании природы;

· свойствах величины, ее видах;

· сути математической обработки результатов измерений и т.д.

Понимание этих вопросов способствует формированию у учащихся научного мировоззрения. Изучая величины, учащиеся знакомятся также с основными метрологическими понятиями: размер, значение, размерность величины, эталоны единиц измерения и т.д.

Глава 2 Методика изучения геометрических величин в курсе геометрии средней школы

2.1 Методика изучения длин в курсе геометрии средней школы

В традиционной школе изучение величин начинается с длины предметов.

Теория измерения длины отрезков может быть построена по такой схеме:

· Определение длины отрезка как вещественного числа;

· Описание процедуры измерения отрезка;

· Установление существования и единственности длины отрезка при данном выборе единицы измерения с использованием аксиомы Архимеда;

· Установления существования отрезка, длина которого при данном выборе единицы измерения равна любому, наперед заданному положительному числу(с использованием аксиомы Кантора, геометрического эквивалента аксиомы непрерывности).

Первые представления о длине, как о свойстве предметов, у детей возникает задолго до школы. С первых дней обучения в школе ставится задача уточнить пространственные понятия детей. Важным шагом в формировании данного понятия является знакомство с прямой линией и отрезком, как «носителем» линейной протяжённости, лишенным, по существу, других свойств.

Сначала учащиеся сравнивают предметы по длине, не измеряя их. Делают они это наложением (приложением) и визуально («на глаз»).Например, учащимся предлагается рассмотреть рисунки и ответить на вопросы: «Какой отрезок длиннее, красного или зеленого цвета?»

Затем предлагается сравнить два предмета разного цвета и разные по длине практически - наложением. Например, учащимся предлагается рассмотреть рисунки и ответить на вопросы: « Какой ремень короче (длиннее) светлый или тёмный?» Через эти два упражнения дети подводятся к пониманию длины как свойства, проявляющегося в сравнении, то есть: если два предмета при наложении совпадают, то они имеют одну и ту же длину; если же какой - либо из сравниваемых предметов накладывается на часть другого, не покрывая его полностью, то длина первого предмета меньше длины второго предмета. После рассмотрения длин предметов переходят к изучению длины отрезка. Здесь длина выступает как свойство отрезка.

Разъяснение учащимся старших классов сущности аксиомы Кантора не представляет особых трудностей.

Случай, когда на перед заданное число рационально, аксиома Кантора применяется, а используется элементарное построение. Если это число иррационально, например х=2,313113111311113…, то поступаем так: введем на прямой систему координат(начало 0, направления единицу измерения).Мы можем построить точки А1 и B1, где А1 = 2,3; B1 = 2,4 - приближения с точностью 0,1. Если существует точка М, то ОА1<OM<OB1, т.е. точка М лежит между А1 и B1, т. е. внутри отрезка А1 B1. Мы можем найти A2 = 2,31 и B2 = 2,32 и т.д.

Неограниченно продолжая этот процесс, мы получаем, что если точка М существует, то она лежит внутри каждого из отрезков бесконечной последовательности: A1B1, A2B2,…,AпBп,…, обладающей следующими свойствами:

1. Каждый отрезок, кроме первого, лежит внутри предыдущего.

2. Длины отрезков стремятся к 0(или нет отрезка, лежащего внутри всех отрезков этой последовательности).

Существование точки лежащей внутри всех отрезков этой последовательности, и постулируется аксиомой Кантора.

Приняв аксиому Кантора, мы находим искомую точку М, а следовательно и отрезок ОМ, длина которого равна наперед заданному числу х.

2.2 Методика изучения величин углов в курсе геометрии средней школы

При изучении величин углов можно использовать следующую схему:

Общий обзор углов - углы с общей вершиной - градусное измерение углов.

В учебной методческой литературе угол определяется по разному:

Угол есть фигура, образованная двумя лучами, выходящими из общей точки.[10, стр. 9],[6,стр 12]

Угол есть неопределенная часть плоскости, заключенная между двумя лучами, выходящими из общей точки. [9, стр.8],[2,стр85-86]

Угол есть совокупность лучей, выходящих из общей точки и пересекающих данный отрезок. [3, стр. 86]

Углом называется «часть пучка лучей, ограниченная двумя лучами (того же пучка), подобно тому как отрезок есть часть прямой линии, ограниченная двумя точками. [2, стр86]

Углом называется совокупность точки и двух лучей, выходящих из этой точки... Под точками угла мы понимаем его вершину и все точки его сторон. [16, стр18]

В школьной практике обычно употребляются первое или второе определение (по существу они являются не определениями, а описаниями).

При этом надо заметить, что если используется первое определение угла, то вводится еще и понятие внутренней области угла.

В последующем школьном курсе элементарной математики понятие угла расширяется (в тригонометрии - угол как мера вращения, в стереометрии -- угол между двумя скрещивающимися прямыми, угол между прямой и плоскостью, двугранный угол и т. п.), причем понятие «неопределенной части плоскости» в явном виде уже не фигурирует. Поэтому первому определению следует отдать предпочтение.

Возможны следующие действия с величинами углов: сравнение, сложение вычитание величин углов, умножение угла на челое цисло и деление угла на целые части.

С понятиями прямого и развернутуго угла учащиеся знакомы из пропедевтического курса геометрии. Зная, что все развернутые углы равны между собой, и все прямые углы равны между собой, можно сообщить учащимся о том, что развернутый и прямой углы имеют постоянные величины (как и метр и килограмм, которые тоже имеют постоянную величину). Отсюда, естественно принять за единицу измерения углов угол, в часности прямой угол, как имеющий постоянную величину.

Величина угла - это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:

1) равные углы имеют равны градусные меры.;

2) если угол разбивается на части, градусные меры которых известны, то градусная мера всего угла равна сумме грусных мер этих углов.

3) меньший угол имеет меньшую градусную меру, и больший угол имеет большуюградусную меру.

При проведении уроков по теме «Величины углов» материал должен закрепляться на частных примерах. Желательно проводить самостоятельные работы, как обучающего, так и контролирующего характера по каждому из изучаемых случаев.

2.3 Методика изучения площадей фигур в курсе геометрии средней школы

В теме «Площади фигур» наблюдается синтез традиционно-синтетического и аналитического методов. Изучаемые здесь факты носят аналитический характер (например площадь треугольника), а доказательства основаны на применении традиционно-синтетического метода.

При изучении темы «Площади фигур» используется такая схема:

простая фигура - площадь фигуры как величина - площадь прямоугольника - площадь параллелограмма - площадь трапеции - площадь подобных фигур.

Перед введением понятия «простые фигуры» учащимся предлагается по готовым чертежам назвать: простую ломаную, замкнутую ломаную, простую замкнутую ломаную, выпуклый многоугольник, плоский треугольник, плоский пятиугольник. Напомним, что из определения треугольника как фигуры состоящей из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки следует, что он должен представляться как «скелет», «каркас»! Плоский треугольник - конечная часть плоскости, ограниченная треугольником. Выпуклый многоугольник - многоугольник, который лежит в одной плоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону. Плоским многоугольником называется конечная часть плоскости, ограниченная многоугольником. Простая замкнутая ломаная называется многоугольником. После этого дается определение:

Геометрическую фигуру будем называть простой, если ее можно разбить на конечное число плоских треугольников. Примером простой фигуры может служить плоский выпуклый многоугольник, который разбивается на плоские треугольники диагоналями, выходящими из одной вершины.

«Площадь простой фигуры - это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:

1) равные фигуры имеют равные площади;

2) если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей ее частей;

3) площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице;

В таком определении новой величины использован аксиоматический подход. С помощью свойств описана аддитивность площади простой фигуры, определена мера (единица измерения) площади. Первое свойство площади определяет термин «равновеликие». Если фигуры равны, то равны и их площади, однако обратное утверждение не всегда верно.

С формулами площадей некоторых фигур учащиеся познакомились в курсе арифметики. Измеряя площади при помощи памятки, школьники познакомились с оценкой ее по недостатку и по избытку. И таким образом они уже подготовлены к восприятию вывода формулы площади прямоугольника.

Первоначально доказываем следующее свойство: площади двух прямоугольников с равными основаниями относятся как их высоты.

а) Прямоугольники ABCD и AB1C1D имеют равное основание AD. Пусть S и S1 - их площади. Разобьем сторону АВ на n равных частей, длина одной части равна . Пусть m - число точек деления, лежащих на стороне АВ1. Тогда: ?

Разделив это неравенство почленно на АВ, получим:

б) Проводим через точки деления прямые, параллельные АD. Получим n равных треугольников со сторонами АD и , площади которых (по св-ву 1) равны и принимают значение . Поэтому, площадь АВСD выражается неравенством:

.

Разделив почленно на S, получаем:

в) Отношение и удовлетворяют одним и тем же неравенствам, причем числа и отличаются на величину .При сколь угодно больших n значение становится очень малым, а это возможно только тогда, когда числа равны. Итак:

, ч. т. д.

Для вывода формулы площади прямоугольника воспользуемся только что доказанным свойством по отношению к квадрату, со стороной 1 и прямоугольником со сторонами 1 и а и а и в. Получаем:

=; => S1=а, S=S1 в.

Следовательно:

S=ав.

Площади подобных фигур.

Площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров.

При доказательстве этого утверждения используют понятие простой фигуры, определение подобных фигур. Если фигура разбивается на простые треугольники, площади которых обозначим через , а фигура - на треугольники, площади которых и фигуры и подобны с коэффициентом , то линейные размеры треугольников в раз изменены, по отношению к размерам треугольников , то: и т. д., поэтому:

Площадь круга.

Круг - плоская фигура, но ее нельзя разбить на простые треугольники. Поэтому, такая фигура имеет площадь S, если существуют содержащие её простые фигуры и содержащиеся в ней простые фигуры с площадями, как угодно мало отличающимися от S.

При проведении уроков по теме «Площадь фигур» вывод общих формул должен закрепляться на частных примерах. Изложение теоретического материала должно быть максимально сокращено (в разумных пределах), что позволило бы сэкономить время для решения более сложных задач. (Возможно проведение уроков-лекций для изложения теории). Желательно проводить самостоятельные работы, как обучающего, так и контролирующего характера по каждому из изучаемых случаев.

2.4 Методика изучения объемов фигур в курсе геометрии средней школы

В изучении темы «Объемы тел» в курсе стереометрии прослеживается аналогия с темой «Площади фигур» и распределение учебного материала такое: простое тело - объем тела как величина - объем прямоугольного параллелепипеда - объем треугольной призмы - объем призмы - тела, имеющие равные объемы - объем полной треугольной пирамиды - объем произвольной полной пирамиды - объем усеченной треугольной пирамиды - объем произвольной усеченной пирамиды - объемы подобных тел - объем тел вращения.

Существуют различные методические подходы к изучению вопросов измерения геометрических величин в курсе стереометрии.

Принципиальные трудности, возникающие при изучении объемов, носят тот же характер, что и при изучении площадей, но имеют определенную специфику. Так, если при измерении площадей непосредственное сравнение площади конкретной фигуры с единицей площади вызывало затруднения, но все же было возможным, то для измерения объемов сравнение с единичным кубом практически вообще невозможно, ему на смену всегда приходит измерение косвенное. В то же время такой момент, как необходимость ввести новое определение понятия объема для фигур вращения, уже не вызывает у учащихся недоумения, так как этот новый подход уже применялся при вычислении площадей.

Для вывода формулы объема, могут быть использованы:

1. Принцип Кавальери: объемы (или площади) двух тел (фигур) равны, если равны между собой площади (длины) соответствующих сечений, проведенных параллельно некоторой данной плоскости (прямой).

2. Формула Симпсона:

.

Пусть промежуток [a,b] разбит на n частейных промежутков [xi, xi+1] длины , при этом n считается чётным числом, и для вычисления интеграла по промежутку [x2k, x2k+2] используется приведенная формула:

.

Принципиальным моментом в теории объемов тел является обоснование формулы для учащихся является достаточно трудным и сложным. Структурная сложность доказательства подсказывает, что при его изучении целесообразно воспользоваться приёмами выделения логической структуры доказательства (разбиения доказательства на отдельные шаги, составление логико-структурной схемы доказательства и т.д.). Наличие в доказательстве трудных для понимания рассуждений говорит о целесообразности использования приёмов конкретизации, моделирования и т.д.

Структура доказательства формулы объёма прямоугольного параллелепипеда:

1. устанавливается величина отношения высот двух параллелепипедов с общим основанием;

2. устанавливается величина отношения объёмов выбранных параллелепипедов;

3. сравнение полученных значений отношений;

4. вывод формулы объёма прямоугольного параллелепипеда, применяя доказанное свойство к единичному кубу и параллелепипедам с измерениями: a,1,1; a,b,1; a,b,c.

При решении задач учащиеся иногда “путают” свойства прямого и прямоугольного параллелепипедов, неправильно указывают их диагональное сечение и т.п. Более углубленное изучение этих понятий на этапе их введения обеспечивает применявшаяся ранее методическая схема:

1. проанализировать эмпирический материал;

2. математизировать эмпирический материал - построить определение;

3. составить алгоритм распознавания понятия;

4. включить понятие в систему понятий.

При выводе формулы объема цилиндра применяется предельный переход. Затем, при выводе формул для вычисления объема пирамиды, ученики используют метод интегрального исчисления. Нужно отметить, что с этим методом ученики знакомятся сначала в курсе математического анализа при вычислении площади криволинейной трапеции.

Старшеклассникам следует сообщить, что необходимость специального определения понятия объема для пирамиды и соответственно необходимость применения интегральных методов вызваны тем, что, оказывается, равновеликие многогранники далеко не всегда являются одновременно и равносоставленными.

Заключение

В работе были решены все поставленные во введении задачи, а именно рассмотрена история развития геометрических величин, охарактеризовано понятие геометрической величины, установлена роль и место величин, их измерений в процессе обучения, описана методическая литература по данной теме.

Понятие геометрической величины - одна из основных линий школьного курса геометрии, которая знакомит учащихся с важными идеями, понятиями и методами метрической геометрии.

Без величин изучение природы ограничивалось бы лишь наблюдениями и оставалось на описательном уровне. Именно количественные модели различных объектов, явлений наиболее описательны. Характерным общим понятием для всех моделей является понятие "величина".

Понятие величины в математике возникло в результате абстрагирования от качественных особенностей свойств реальных объектов, чтобы выделить только количественные отношения. Еще в глубокой древности в процессе измерений было найдено множество эмпирических фактов об общих свойствах величин, которые являются отражением свойств в реальном мире

Измерение геометрических величин связано с идеей аксиоматического метода, теорией действительного числа, методами математического анализа. Знакомство учащихся с различными формулами расширяет возможности применения в школьном курсе геометрии аналитического метода. Главная особенность изложения материала - сочетание различных математических идей и методов, например, в теме «Площади фигур» используется традиционно-синтетический и аналитический методы.

Список используемой литературы

1. Багишова О.А. Измерение длин в ходе практических работ.// Математика в школе. №4 2005. Стр.62-64.

2. Бескин Н.М. Методика геометрии.- М.:Учпедгиз. 1947.

3. Богомолов С.А. Геометрия.-М.:Учпедгиз.1949.

4. Виленкин Н.Я. О понятии величины.// Математика в школе. №3 1973. Стр. 4-7.

5. Виноградова И.К. Методика преподавания математике в средней школе. Р-на-Д.: Феникс. 2005.

6. Глаголев Н.А. Элементарная геометрия. Планиметрия. -М.: Учпедгиз. 1564.

7. Глейзер Г.И. История математики в школе. -М.: Просвещение. 1982.

8. Гусев В.А. Методика обучения геометрии.- М.: ACADEMA. 2004.

9. Давидов А.Ю. Элементарная геометрия.- М.: 35 Дуленова. 1915.

10. Киселев А.П. Геометрия ч. 1. Планиметрия.-М.: Учпедгиз. 1938.

11. Колягин Ю.М. Методика преподавания математики в средней школе.- М.: Просвещение. 1999г.

12. Корешкова Т.А., Цукерман В.В. Многоугольники и их площади в

школьном курсе математики.// Математика в школе. № 3 2003.Стр. 70-73.

13. Кучугурова Н.Д. Методика преподавания математики. Частная методика.- Ставрополь: СТИ. 2004.

14. Ляпин С.Е. Методика преподавания математики. -М.:Просвещение. 1965.

15. Мишин В.И. Методика преподавания математики в средней школе. -М.: Просвещение. 1987.

16. Перепелкин Д.И. Курс элементарной геометрии. -М.: Гостехиздат.1948

17. Саранцев Г.И. Методика обучения математики в средней школе.-М.: Просвещение. 2002.

18. Чичигин В.Г. Методика преподавания геометрии. -М.:Учпедгиз. 1959.

Приложение 1

Аксиомы теории величин.

Ещё в «Началах» Евклида (3 в. до н. э.) были отчётливо сформулированы свойства величины, называемых теперь, положительными скалярными величинами. Это первоначальное понятие величины является непосредственным обобщением более конкретных понятий: длины, площади, объёма, массы и т. п. Каждый конкретный род величины связан с определённым способом сравнения физических тел или других объектов. Например, в геометрии отрезки сравниваются при помощи наложения, и это сравнение приводит к понятию длины: два отрезка имеют одну и ту же длину, если при наложении они совпадают; если же один отрезок накладывается на часть другого, не покрывая его целиком, то длина первого меньше длины второго. Общеизвестны более сложные приёмы, необходимые для сравнения плоских фигур по площади или пространственных тел по объёму.

В соответствии со сказанным, в пределах системы всех однородных величин (то есть в пределах системы всех длин или всех площадей, всех объёмов) устанавливается отношение неравенства: две величины a и b одного и того же рода или совпадают a = b, или первая меньше второй

(a < b), или вторая меньше первой (a > b). Общеизвестно также в случае длин, площадей, объёмов и то, каким образом устанавливается для каждого рода величины смысл операции сложения. В пределах каждой из рассматриваемых систем однородных величин отношение неравенства a < b и операция сложения a + b = c удовлетворяют следующим аксиомам:

1) Каковы бы ни были a и b, имеет место одно и только одно из трёх соотношений: или a = b, или a < b, или a > b;

2) Если a < b и b < c, то a < c (транзитивность неравенства);

3) Для любых двух величин a и b существует однозначно определённая величина c = a + b;

4) a + b = b + a (коммутативность сложения);

5) a + (b + c) = (a + b) + c (ассоциативность сложения);

6) a + b > a (монотонность сложения) ;

7) Если a > b, то существует одна и только одна величина c, для которой b + c = a (возможность вычитания);

8) Каковы бы ни были величины a и натуральное число n, существует такая величина b, что a = nb (возможность деления);

9) Каковы бы ни были величины a и b, существует такое натуральное число n, что a < nb. Это аксиома называется аксиомой Евдокса, или аксиомой Архимеда. На ней вместе с более элементарными аксиомами 1-8 основана теория измерения величин, развитая древнегреческими математиками.

Если взять какую-либо длину l за единичную, то система Sl всех длин, находящихся в рациональном отношении к l, удовлетворяет аксиомам 1-9. Существование несоизмеримых отрезков (открытие которых приписывается Пифагору, 6 в. до н. э.) показывает, что система Sl ещё не охватывает системы S всех произвольных длин.

Чтобы получить вполне законченную теорию величин, к аксиомам 1-9 надо присоединить ещё ту или иную дополнительную аксиому непрерывности, например:

10) Если последовательности величин обладают тем свойством, что bn ? an < c для любой величины c при достаточно большом номере n, то существует единственная величина x, которая больше всех an и меньше всех bn.

Аксиомы 1-10 и определяют полностью современную теорию положительных скалярных величин. Если в системе положительных скалярных величин выбрать какую-либо величину l за единицу измерения, то все остальные величины системы однозначно представляются в виде a = ?l, где ? - положительное действительное число.

Приложение 2

Тест для учащихся 8 класса на тему «Площади фигур».

1. Выберите верные утверждения:

а) Площадь прямоугольника равна произведению двух его сторон;

б) Площадь квадрата равна квадрату его сторон;

в) Площадь прямоугольника равна удвоенному произведению двух его соседних сторон.

2. Закончить фразу: Площадь ромба равна половине произведения…

а) его сторон;

б) его стороны и высоты, проведенной к этой стороне;

в) его диагоналей.

3. По формуле можно вычислить площадь:

а) параллелограмма;

б) треугольника;

в) прямоугольника.

4. Площадь трапеции ABCD с основаниями AB и CD и высотой BH вычисляется по формуле:

а) S=AB:2•CD•BH;

б) S=(AB+BC):2•BH;

в) S=(AB+CD):2•CD•BH;

5. Выберите верное утверждение.

Площадь прямоугольного треугольника равна:

а) половине произведения его стороны на какую-либо высоту;

б) половине произведения его катетов;

в) произведению его сторон на проведенную к ней высоту.

6. В треугольниках ABC и MNK B=N. Отношение площадей треугольников ABC и MNK равно:

а)

7. В треугольниках MNK и DOS высоты NE и OT равны. Тогда SMNK:SPOS=…

а) MN:PO; б) MK:PS; в) NK:OS.

Приложение 3

Самостоятельная работа для учащихся 7 класса на тему «Измерение отрезков».

Вариант1

1. На отрезке АВ взяты точки М и N. Известно, что АВ=12см, АМ=8см, В N=10см. Найдите длину отрезка М N.

2. На отрезке АВ длиной 36см взята точка К. Найдите длины отрезков АК и ВК, если АК больше ВК на 4см.

3. Дан отрезок АВ=16см. Точка М - середина отрезка АВ, точка К - середина отрезка МВ. Найдите длину отрезка АК.

ДОПОЛНИТЕЛЬНО: На отрезке АВ длиной 36 см взята точка К. Найдите длины отрезков АК и ВК, если АК:ВК=4 : 5.

Вариант2

1. На отрезке АВ длиной 12см взята точка С так, что АС=10см, и точка D так, что С D=5см. Найдите длину отрезка ВD.

2. На отрезке АВ длиной 36см взята точка К. Найдите длины отрезков АК и ВК, если АК больше ВК в 3 раза.

3. Точка М - середина отрезка АВ, точка К - середина отрезка МВ. Найдите длину отрезка АК, если ВК=3см.

ДОПОЛНИТЕЛЬНО: На отрезке МТ длиной 36 см взята точка К. Найдите длины отрезков МК и ТК, если МК : ТК=7 : 5