Методика изучения геометрических величин в школе

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа

Методика изучения геометрических величин в школе

Содержание

Введение

1. Геометрические величины в школьном математическом образовании

1.1 Понятие величины в школьном курсе математики

1.2 Этапы изучения геометрических величин в основной школе

2. Методика изучения величин в курсе геометрии основной школы

2.1 Методика изучения длин в курсе геометрии основной школы

2.2 Методика изучения площадей фигур в курсе геометрии основной школы

Литература

1. Геометрические величины в школьном математическом образовании

1.1 Понятие величины в школьном курсе математики

Чтобы глубже познать окружающий нас целостный, единый мир, недостаточно применять только чувственные методы. Описание явлений и процессов в природе реализуется также научными методами. Эта идея в некоторой степени заложена в концепцию всего школьного обучения. В достаточной степени она реализуется в школьном математическом образовании, так как количественные модели того или иного процесса являются наиболее адекватными. Характерным общим понятием всех таких моделей является понятие «величина».

Понятие величины - одно из важнейших общенаучных понятий: величины изучает не только математика, но и физика, химия и другие естественные науки. Например, в физике величины - скорость, сопротивление, в математике - длина, площадь, объем; в информатике - объем информации; в экономике - затраты, выручка, прибыль, себестоимость; в технике - производительность, расход топлива; в географии - объем осадков, атмосферное давление; в химии - молярная масса, молярный объем; в психологии - коэффициент интеллекта и др.

В словаре С.И. Ожегова читаем: «Величина то (предмет, явление и т.п.), что можно измерить, исчислить». Однако спектр понимания каждым человеком понятия «величина» достаточно широк. Так, А.Н.Крылов писал: «Надо помнить, что есть множество «величин», то есть того, к чему приложены понятия «больше» и «меньше», но величин точно не измеряемых, например ум и глупость; красота и безобразие; храбрость и трусость; находчивость и тупость и т.д.; для измерения этих величин нет единиц, эти величины не могут быть числами».

Общее понятие величины - непосредственное обобщение конкретных величин. Интуитивно понятно, что величина может быть больше или меньше, две однородные величины могут складываться, величину можно делить на произвольное натуральное число, ее можно измерить (сравнить с другой величиной того же рода, принятой за единицу измерения). Однако сформулировать ответ на вопрос, что такое величина в математических терминах непросто и в рамках обязательной программы школьное обучение не должно давать ответ на это вопрос. В обучении имеют дело с конкретными величинами. В дальнейшем тексте описательно будут перечислены аксиомы - свойства общего понятия величины и отдельно представлены четыре аксиомы меры величины, которые возникают в связи с измерением величин.

В математике понятие величины устанавливает взаимосвязи между важнейшими математическими понятиями - числом и фигурой.

При этом можно выделить два аспекта:

· Величина позволяет перейти от качественного описательного к количественному изучению свойств объектов, то есть математизировать знания об изучаемом объекте;

· Количественное описание - величина - представляется не только числом, но и обязательно единицей измерения.

Проблема изучения величин в школе выделена в одну из основных содержательно-методических линий курса геометрии основной школы.

В курсе геометрии основной школы изучаются следующие геометрические величины: длина отрезка, величина угла, длина окружности, длина дуги, площади многоугольника и его частных видов (прямоугольника, треугольника, параллелограмма, трапеции), площадь круга.

Важно заметить, что в большинстве школьных учебников не делается различия между понятиями конкретной величины (например, «длина») и ее числовым значением, полученным после измерения. Поэтому каждое из понятий «длина», «площадь», «объем» понимается как действительное число, удовлетворяющее аксиомам меры.

Программа предъявляет следующие требования к подготовке учащихся основной школы, касающейся изучения величин:

· Ученик должен владеть практическими навыками использования геометрических инструментов для изображения фигур, а также для измерения длин отрезков и величин углов;

· Решать задачи на вычисление геометрических величин (длин, углов, площадей), применяя изученные свойства фигур и формулы, приводя аргументацию в ходе решения задачи.

Проблема изучения величин включает два основных вопроса:

1) что такое величина (длина, площадь и др.) - формально-логическая сторона проблемы;

2) с помощью каких инструментов измеряется величина; по какому закону, правилу, формуле вычисляется числовое значение этой величины - прикладная сторона проблемы.

В школе основной упор делается на прикладную сторону; ученики имеют дело с конкретными величинами, иллюстрирующими общее понятие величины, однако, для профильных специализированных классов, тех учащихся, которые продолжат изучение математики, важен и формально-логический аспект проблемы измерения величин.

Раскроем вкратце и на доступном уровне формально-логическую сторону проблемы.

Выше было замечено, что в математике определенные классы величин (класс скалярных величин, класс векторных величин и др.) имеют совершенно четкое, чаще всего аксиоматическое, определение. Дадим краткое описание аксиоматики скалярных величин, поскольку школьные курсы математики и физики связаны более всего именно с этим с классом величин.

Система скалярных величин задается аксиоматически следующими свойствами: сравнимостью, аддитивностью, упорядоченностью, коммутативностью и ассоциативностью относительно сложения, монотонностью, существованием разности, возможностью измерения. Эти свойства в явном виде не формулируются в школе, но выявляются в ходе решения практических задач непосредственно при работе с моделями либо с числовыми значениями величин.

Свойства величин, которые проявляются в процессе измерения, описываются с помощью так называемых аксиом меры Если какую-нибудь величину е принять за единицу измерения, то другая величина подобного рода а представима в виде а=е, где - положительное действительное число - мера величины а при единице измерения е:

· нормируемости: существование фигуры с мерой, равной единице;

· неотрицательности: каждой фигуре ставится в соответствие неотрицательное число;

· инвариантности: равные фигуры имеют равные меры;

· аддитивности: мера фигуры, составленной из конечного числа непересекающихся фигур, равна сумме мер этих фигур.

В курсе геометрии основной школы строгое аксиоматическое определение величин не только невозможно, но и вряд ли целесообразно.¹¹ Даже в учебнике А.В. Погорелова [12], в котором заявлено строгое аксиоматическое построение курса (см. п. 2. 1), величины, представленные как периферийные вопросы, излагаются не аксиоматически, а с привлечением наглядных соображений. Тем не менее, свойства, выражающие математическую сущность аксиом меры, должны быть известны учащимся. Они в явном или неявном виде находят применение при изучении конкретных геометрических величин. В обучении также допускается для упрощения языка отождествление меры величины с самой величиной (меры длины с длиной, меры площади с площадью, меры объема с объемом). Поэтому говорят «длина отрезка - действительное число» вместо «мера длины отрезка - действительное число».

В качестве основных этапов изучения величин в основной школе можно выделить пропедевтический и систематический этапы, которые и рассмотрим ниже.

1.2 Этапы изучения геометрических величин в основной школе

Пропедевтический этап связан с курсом математики 1-6-х классов. Он характеризуется развитием интуитивных представлений о величинах и их практическом измерении: непосредственное измерение длин отрезков, взвешивание, определение температуры, измерение величин углов с помощью транспортира и др. Очень осторожно вводятся первые формулы для вычисления величин, например, формула вычисления площади прямоугольника и даже объема параллелепипеда.

На данном этапе можно выделить следующие шаги формирования представлений учащихся о величинах:

1. Выяснение и уточнение представлений школьника о данной величине (обращение к опыту ребенка).

2. Сравнение однородных величин (визуально, наложением, приложением, путем использования различных мерок).

3. Знакомство с единицей измерения данной величины и с измерительным прибором.

4. Формирование измерительных умений и навыков.

5. Сложение и вычитание однородных величин, выраженных в единицах одного наименования.

6. Знакомство с новыми единицами величин, перевод однородных величин в другие, выраженные в других единицах измерения.

7. Сложение и вычитание величин, выраженных в единицах двух наименований.

8. Умножение и деление величин на число.

Таким образом, учащиеся усваивают, что для величин существуют отношения равенства и неравенства, их можно складывать, делить на доли, измерять. То есть на интуитивном уровне отрабатываются свойства величины.

Существенное расширение объема геометрических знаний учащихся связано с понятием угла и с задачей измерения величин углов. Непростым является само введение понятия угла, его необходимо мыслить сразу неограниченным. Дальнейшая практическая работа по сравнению углов наложением, опора на жизненные представления учащихся об углах между стрелками часов и др., позволит прийти к выводу, что величина угла не зависит от «длины сторон» угла. Таким образом, учащиеся приходят к мысли о величине угла и специальном инструменте для ее измерения (транспортире). Терминологическая трудность связана с тем, что специального термина для обозначения величины угла не существует. Практическое измерение позволит избежать трудностей, связанных с теорией вопроса.

Таким образом, на этом этапе речь идет лишь о прикладной стороне вопроса. Однако уже на этом этапе обсуждаются некоторые свойства конкретной величины (см. далее).

Систематический этап изучения величин относится к курсу геометрии основной школы и продолжается в курсе стереометрии. На систематическом этапе изучения величин в курсе математики основной школы развиваются знания и навыки, связанные с прикладной стороной вопроса, то есть с измерением и вычислением величин.

Измерение величин. В курсе геометрии основной школы изучение величин начинается с обобщения и систематизации тех знаний о величинах, которые получены на предыдущем этапе. Иногда в методической литературе этот процесс называется этапом методов косвенного измерения величин. Изучение косвенного измерения величин требует достаточно отчетливого представления о сущности процесса измерения, о тесной связи понятия величины с понятием числа. Школьник должен хорошо усвоить, что числа в своем историческом развитии возникли в результате двух основных операций: счета предметов и измерения величин. Измерить величину - это значит сравнить ее с другой, однородной величиной, принятой за единицу измерения.

Таким образом, процесс измерения величин состоит из двух этапов:

· Из данного рода величин выбирается некоторая величина, которую называют единицей измерения.

· Осуществляется процесс измерения - сравнение данной величины с выбранной единицей измерения.

В результате измерения величины находят некоторое число - числовое значение данной величины при выбранной единице измерения.

На систематическом этапе следует четко различать геометрическую фигуру, величину, относящуюся к фигуре и числовое значение этой величины. Взаимосвязь и отличие этих понятий можно проиллюстрировать таблицей.

Таблица 1

Геометрическая фигура	Величина	Значение величины
1. Отрезок АВ	Длина отрезка АВ	Числовое значение длины отрезка АВ
Обозначение: [АВ] Заметим, что в современных учебниках чаще всего не разделяется обозначение геометрической фигуры и ее величины.	Обозначение: |AB|=4см	4
2. Угол АВС	Величина угла АВС	Числовое значение величины угла АВС
Обозначение: АВС	Обозначение: АВС=60	60

Вычисления величин. После обобщение и актуализации знаний и умений по измерению величин изучаются многочисленные факты, позволяющие от измерений перейти к вычислению величин с помощью формул. Основное внимание здесь уделяется вычислению по формулам площадей фигур. Некоторое отражение получает и формально-логическая сторона вопроса: изучаются основные свойства длин и площадей - аналоги аксиом меры.

История возникновения единиц длины, площади может стать прекрасным дополнением урока, оживляющим его, повышающим познавательную активность учащихся. Учителю необходимо иметь материалы со старинными мерами, представленными в виде фрагмента компьютерной презентации, слайда, кодопозитива, наконец, плаката (в зависимости от технической оснащенности кабинета). Примерное содержание беседы учителя о возникновении понятия «длина» (методика изучения длин представлена далее) может быть следующим.

?Человек в своей жизни не может обойтись без измерений. Он не смог бы сшить одежду, построить дом, сделать машину, сконструировать космический корабль. Человек научился измерять многие величины, такие как время, температура. Какие еще величины вы знаете? (площадь, объем, длина, масса). Где они применяются в жизни человека? Проследим, как человек научился измерять длину. Первые единицы длины, как на Руси, так и у других народов древности, были связаны с различными частями тела человека: ширина ладони - 1 ладонь, 7 ладоней - 1 локоть, длина первой фаланги большого пальца руки - 1 дюйм, расстояние между концами пальцев разведенных в стороны рук - маховая сажень, расстояние от пальцев левой ноги до конца пальцев поднятой правой руки - косая сажень.

- «Локоть» - мера длины, которой купцы пользовались для измерения ткани, египтяне измеряли локтями подъем Нила;

- «ладонями» английские крестьяне измеряли высоту лошадей;

- «дюйм» - голландское название. Эта мера использовалась для измерения небольших предметов (вспомнить сказку Г.Х. Андерсена «Дюймовочка». Можно в качестве маленькой лабораторной работы предложить учащимся измерить длину тетради, учебника, пенала в дюймах).

Также известны другие единицы измерения: ярд (этой мере длины 900 лет. Она была равна расстоянию от конца носа короля Генриха I до конца пальцев его вытянутой руки). Один ярд равен трем футам, фут - «ступня», равен 12 дюймам и др.

Измерения давали разные результаты, потому что у всех людей разные по размеру руки. Это заметил английский король Эдуард II, который установил «законный дюйм, равный длине трех ячменных зерен, выложенных в ряд». В Россию дюйм пришел в царствование Петра I. Он равен 2см 5мм.

У нас сейчас принята система измерений длины, в основе которой лежит метр и его доли - метрическая система. Ее создали французы. В 1792 г. Академия наук измеряла длину земного меридиана, проходящего через Париж. В результате огромной работы была найдена длина парижского меридиана в «туазах». Парижская Академия наук предложила принять за единую меру длины новую единицу измерения - «метр», равную одной десятимиллионной доле четверти парижского меридиана. В России первым применил метр как единицу длины Н.И. Лобачевский. Инициаторами введения метрической системы мер как международной были русские ученые и, главным образом, Б.С. Якоби. Обязательной в нашей стране эта система стала после 1918 г. ?

После ознакомления с иррациональными числами рассказ учителя может быть дополнен сведениями о проблеме соизмеримости величин. Подобно тому, как единица была общей мерой целых чисел, величины должны иметь общую единицу измерения - быть соизмеримыми, каждая величина отождествлялась с целым числом составляющих ее единиц. Эта попытка отождествить целые числа с непрерывными величинами ни к чему не привела. Решающую роль в этом сыграло открытие пифагорейцами иррационального числа. В квадрате со стороной 1 отношение диагонали к стороне равно ; оно не выражалось в виде отношения целых чисел. Сторона и диагональ квадрата не имеют общей единицы измерения и называются несоизмеримыми. В связи с открытием несоизмеримых величин в греческую математику проникло понятие бесконечности.

2. Методика изучения величин в курсе геометрии основной школы

Остановимся теперь более подробно на методике изучения основных величин курса планиметрии - длин и площадей

2.1 Методика изучения длин в курсе геометрии основной школы

Ранее были выделены этапы изучения величин в школьном курсе. Конкретизируем их относительно понятия «длина».

На пропедевтическом этапе учащиеся знакомятся с длиной отрезка, единицами его измерения и овладевают приемами измерения отрезков с помощью измерительных инструментов. Сущность процесса измерения как процесса сравнения с единицей измерения данной величины должна быть выяснена достаточно отчетливо. Как необязательный материал может быть изучена формула длины окружности и понятие о числе как результате измерений [12. С. 13]. Принципиально необходимо установить различие между объектами и величинами. Отрезок есть фигура, его можно начертить, увидеть, а длина есть величина, ее можно записать в виде числа с наименованием, указывающим единицу измерения. Реальный путь овладения этой непростой мыслью - практические построения и измерения.

Таким образом, приходят к рассмотрению вопроса об измерении длины отрезка, причем неявно вводится понятие о его нормируемости (вводится единица измерения), аддитивности (рассматривается свойство: если отрезок составлен из непересекающихся отрезков, то его длина равна сумме их длин), инвариантности (свойство: равные отрезки имеют равные длины). Заметим, что, вообще говоря, при проверке утверждений о равенстве отрезков можно пользоваться двумя способами: можно измерить отрезки масштабной линейкой и сравнить длины отрезков, а можно использовать циркуль, то есть фактически проверить равенство отрезков, используя транзитивность отношения равенства и наложение третьего отрезка на каждый из сравниваемых. Понятие о числе как результате измерения отражает суть аксиомы неотрицательности. Однако подход к изучению свойств длины отрезка должен быть очень осторожным: они рассматриваются на конкретных примерах, уровень обобщения минимальный.

Систематический этап изучения длины отрезка начинается с первых уроков курса геометрии основной школы, так как отрезок входит в число простейших геометрических фигур.

В различных учебниках осуществлены различные подходы к изучению длины отрезка.

1-й подход. Оригинальный подход осуществлен в учебнике А.Н. Колмогорова [7]: расстояние от одной точки до другой (то есть длина отрезка) - одно из основных неопределяемых понятий (наряду с понятиями точка, прямая, плоскость).

Аксиомы расстояния поэтому описывают основные свойства длины как неотрицательной скалярной величины. Таким образом, в этом учебнике мы имеем дело с явно введенным аксиоматическим определением длины отрезка. Данный подход, безусловно, безупречен с математической точки зрения, однако, чрезмерно абстрактен, мало доступен учащимся этого возраста.

2-й подход. В учебнике Л.С. Атанасяна и др. [2] в самом начале курса практически также дается аксиоматическое определение длины отрезка, но делается это неявно: понятие аксиомы не введено, содержание аксиом не выделено в качестве основных свойств длины отрезка.

Изложение материала ведется подробно, на большом количестве примеров. В тексте специально выделены предложения, в которых отражаются практически все аксиомы длины отрезка [2. С. 13-15]:

“Измерение отрезков основано на сравнении их с некоторым отрезком, принятым за единицу измерения” (суть аксиомы нормируемости).

“Выбрав единицу измерения, можно измерить любой отрезок, то есть выразить его длину некоторым положительным числом” (суть аксиомы неотрицательности).

“Равные отрезки имеют равные длины” (аксиома инвариантности).

“Когда точка делит отрезок на два отрезка, длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков” (суть аксиомы аддитивности для двух отрезков).

Этот подход достаточно научен - практически сформулированы все аксиомы длины отрезка - и доступен учащимся на начальной стадии изучения курса планиметрии.

Созвучен только что охарактеризованному подход И.Ф. Шарыгина [15]. В самом начале курса автор ведет непринужденную беседу об окружающих объектах и их измерениях. Геометрическое тело имеет три измерения, поверхность - два, линия - одно, это измерение называется длина. Далее при рассмотрении отрезка говорится о возможности измерения его длины, если имеется единица измерения (неявная аксиома нормируемости). При этом замечается: «Что такое длина и как можно измерить отрезок, считаем известным». Затем выделяются очевидные свойства, по сути аксиомы меры: неотрицательности, инвариантности, аддитивности, добавлено свойство о постоянстве отношении отрезков независимо от выбора единицы длины. Таким образом, подход научен и доступен.

3-й подход. В учебнике А.В. Погорелова в самом начале курса дается интуитивное представление об измерении отрезков и вводятся основные свойства измерения отрезков [12. С. 6]:

“Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой”.

Таким образом, четко сформулированы свойства неотрицательности и аддитивности; не отражены в основных свойствах аксиомы нормируемости и инвариантности.

Сравнительный анализ учебников, руководствуясь соображениями компактности, представим в таблице.

Таблица 2

Авторы	И.Ф. Шарыгин [15]	А.Н. Колмогоров [7]	Л.С. Атанасян и др. [2]	А.В. Погорелов [12]
Действия	Вводится отношение двух отрезков	Определяются действия над однородными величинами	Определяется только сравнение отрезков	Определяются действия над отрезками
Понятие длины отрезка	Длина отрезка считается понятием интуитивно ясным, выражается числом	Длина отрезка есть величина «расстояние» - неопределяемое понятие, далее - число с указанием единицы измерения	Длина отрезка есть число с указанием единицы измерения	Длина отрезка есть геометрическая величина
Ед. изм.	Единица измерения - отрезок. Вводится описательно	Единица измерения - отрезок. Вводится описательно.	Единица измерения - отрезок. Вводится аксиоматически	Единица измерения - отрезок. Вводится аксиоматически
Аксиомы длины	Свойства длины отражают неявно аксиомы меры	Аксиомы расстояния отражают свойства длины	Отражены неявно все аксиомы длины	Не отражены аксиомы нормируемости и инвариантности
Связь понятий «длина» и «равенство»	Понятие длины входит в определение равенства отрезков	Понятие расстояния (длины) входит в определение конгруэнтности фигур	Понятие длины входит в определение равенства отрезков	Понятие длины автономно, не затрагивает понятие равенства
Вопрос о соизмеримости	Соизмеримость и несоизмеримость не рассматриваются	Соизмеримость и несоизмеримость не рассматриваются	Соизмеримость и несоизмеримость не рассматриваются	Соизмеримость и несоизмеримость не рассматриваются

В учебнике А.Н. Колмогорова намеченный аспект рассмотрения длины как величины, имеющей числовое значение, затем сближается с подходами, отождествляющими расстояние и число при выбранной единице измерения. Но заметим, что только в пособии А.В. Погорелова длина - это геометрическая величина, она характеризует протяженность. У нее имеется численное значение, но сама она не является числом.

Что касается прикладной стороны проблемы, рассматриваемой во многих учебных пособиях, то можно наметить следующую схему изучения измерения длин отрезков:

· Описание процедуры измерения отрезка.

· Установление существования и единственности длины отрезка при данном выборе единицы измерения (практическая работа по измерению отрезков).

· Установление существования отрезка, длина которого при данном выборе единицы измерения равна любому, наперед заданному положительному числу (практическая работа по построению отрезков заданной длины).

Итак, в самом начале курса геометрии основной школы рассмотрены: 1) прикладная сторона проблемы - рассмотрены практические приемы измерения длины отрезка; 2) в той или иной степени - формально-логический аспект: с различной глубиной изучены основные свойства длины отрезка.

Кроме длины отрезка в курсе планиметрии изучается длина окружности. Во всех учебниках методика изучения длины окружности практически идентична:

1) дается интуитивно-наглядное представление о длине окружности, которое сведено к длине отрезка (в ходе практической работы с помощью круглого тела и нити);

2) рассматривается идея длины окружности как предела периметра вписанного в него многоугольника;

3) доказывается теорема о постоянстве отношения длины окружности к ее диаметру, откуда выводится формула L = 2r.

Таким образом, рассматривается как формально-логическая, сторона проблемы - длина окружности выступает как предел (эта идея чрезвычайно важна, так как будет использоваться и в стереометрии), так и прикладная - выводится формула для вычисления длины окружности. Причем, от проблемы измерения длин (длина отрезка) переходим к более высокой ступени - проблеме вычисления длины окружности по формуле.

2.2 Методика изучения площадей фигур в курсе геометрии основной школы

На пропедевтическом этапе (1-6 классы) учащиеся знакомятся с площадью, единицами ее измерения, усваивают зависимость числового значения величины от величины мерки (единицы измерения), знакомятся с площадью прямоугольника. Очень важно, что при рассмотрении прикладной стороны вопроса кроме палетки, которая выступает в данном случае в качестве измерительного инструмента, появляется и первая формула - формула вычисления площади прямоугольника, которая широко применяется в курсе математики 5-6 классов, в том числе и при изучении чисел: формула площади прямоугольника моделирует свойства действий над числами.

Систематическое изучение площадей начинается в 8-9-х классах. Программой определено следующее содержание темы: [13. С. 16]:

“Площади прямоугольника, треугольника, параллелограмма, трапеции. Площадь круга”.

Понятие о площади произвольной фигуры программа предлагает изучать как необязательный материал, основное внимание уделено прикладной стороне: выводятся формулы для вычисления площадей конкретных фигур.

Однако в учебниках определенное внимание уделяется и формально-логической стороне. Так, общее понятие площади плоской фигуры вводится в учебнике И.Ф. Шарыгина при помощи эвристической беседы, проблемной ситуации, системы вопросов. В результате автор приводит учащихся к выводу, что «площадь - это число, которое ставится в соответствие ограниченной плоской фигуре» [шар. С.237]. В других учебниках рассматривается понятие площади многоугольника (учебник Л.С. Атанасяна и др.), простой фигуры¹¹ Под простой фигурой в учебнике [12] понимается геометрическая фигура, которую можно разбить на конечное число плоских многоугольников. (учебник А.В. Погорелова).

В этих учебниках рассматривается математическое содержание всех аксиом меры. Естественно, термин “аксиома” не используется, речь идет об основных свойствах площади [2. С. 117-119], [12. С. 182-183]. И.Ф. Шарыгин снабжает материал, касающийся свойств площади, небольшим, но емким, информационно насыщенным опорным конспектом, содержащим наглядные образы и подписи к ним [15. С.237]. Этот конспект целесообразно использовать учителям, работающим и по другим учебникам.

Рис. 1 Свойства площади

Целесообразно обратить внимание учащихся на аналогию Эту аналогию полезно будет продолжить в курсе стереометрии при изучении объемов геометрических тел, продолжив таблицу. в свойствах изученного ранее понятия длины отрезка и свойствах площади. Полезно при этом использовать таблицу.

Таблица 3 Формулировки в таблице соответствуют учебнику Л.С. Атанасяна и др. [2]..

ОТРЕЗОК	ПЛОЩАДЬ ФИГУРЫ
1. Длина отрезка - величина, выраженная некоторым положительным числом.	1. Площадь - это положительная величина, принимающая некоторое численное значение.
2. Выбрав единицу измерения, можно измерить длину любого отрезка.	2. Площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна 1.
3. Равные отрезки имеют равные длины.	3. Равные многоугольники имеют равные площади.
4. Если точка делит отрезок на два отрезка, то длина всего отрезка равна сумме длин этих отрезков.	4. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

Аналогия способствует обобщению, пониманию того, что понятия длины, площади (в дальнейшем объема) относятся к одному, более общему понятию геометрической величины.

Прикладная сторона вопроса - вычисление площадей - изучается во всех учебниках достаточно детально.

Основа для вывода формулы площадей частных видов многоугольников -площадь прямоугольника. Поэтому вывод формулы площади прямоугольника - узловой вопрос темы.

В учебнике Л.С. Атанасяна и др. [2] использован достаточно оригинальный прием доказательства: дополнение прямоугольника до квадрата со стороной а и введение “усиленной” аксиомы нормированности: “Площадь квадрата со стороной а равна а².

В учебнике А.В. Погорелова [12] доказывается, что площади двух прямоугольников с равными основаниями относятся как их высоты.

В учебнике И.Ф. Шарыгина [Шар] теорема о площади прямоугольника доказывается для двух случаев: если стороны выражаются рациональными числами; как необязательный материал - если хотя бы одна сторона выражена иррациональным числом. Суть рассуждений состоит в следующем. Дроби, выражающие длины сторон прямоугольника, приводятся к одному знаменателю. Затем стороны делятся на равное количество частей, соответствующее числителям обеих дробей соответственно. Через точки деления проводятся прямые, параллельные сторонам прямоугольника. В результате прямоугольник разбивается на число квадратов, равное произведению числителей дробей. Делается вывод о площади прямоугольника на основе знания площади каждого малого квадрата разбиения.

Представляется более наглядным и доступным подход, представленный в учебнике [2].

Далее во всех рассмотренных учебниках, после вывода формулы площади прямоугольника последовательно - используя предыдущую - выводятся формулы площадей параллелограмма, треугольника и трапеции. Методика вывода этих формул хорошо отработана, материал темы обычно не вызывает трудностей учащихся.

Учебник И.Ф. Шарыгина [15] отличается тем, что в нем приводится несколько различных формул площадей фигур, разнообразных способов их вывода.

величина аксиома мера площадь

Литература

1. Апанасов Л.Т., Апанасов Н.П. Сборник математических задач с практическим содержанием. - М.: Просвещение. 1987.

2. Атанасян Л.С. и др. Геометрия: Учебник для 7-9 кл. средней школы. - М. 2005.

3. Базовые методики обучения математике: Учебное пособие для студентов физико-математических факультетов пединститутов и педуниверситетов /Малова И.Е., Горохова С.К., Малинникова Н.А. и др. - Брянск: Изд-во БГПУ, 2011.

4. Бескин Н.М. Методика геометрии. М. 1947.

5. Дробышева И.В., Дробышев Ю.А. Лабораторный практикум по теории и методике обучения математике. - Калуга: КГПУ, 2013.

6. Дробышева И.В., Дробышев Ю.А., Малахова Е.И. Теоретические основы методики обучения математике. Тексты лекций. Часть 1. - Калуга: КГПУ, 2012.

7. Колмогоров А.Н. и др. Геометрия. Учебное пособие для 6-8 классов средней школы. М. 1979.

8. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики: Учебное пособие для студентов физико-математических специальностей пединститутов / Е.И. Лященко и др. - М.: Просвещение, 1988.

9. Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для вузов / Под научн. ред. Н.Л. Стефановой, Н.С. Подходовой. - М.: Дрофа, 2005.

10. Методика преподавания математики в восьмилетней школе / Под общей редакцией С.Е. Ляпина. - М.: Просвещение, 1965.

11. Методика преподавания математики в средней школе. Частная методика. - М. 1987.

12. Погорелов А.В. Геометрия: Учебник для 7-11 классов средней школы. М. 1987.

13. Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика, 5-11 класс. - М.: Дрофа, 2012.

14. Чичигин В.Г. Методика преподавания геометрии. Планиметрия. М.: Учпедгиз, 1959.

15. Шарыгин И.Ф. Геометрия 7-9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Дрофа, 2010.

Размещено на Allbest.ru