Понятие степенной функции возникло свыше 400 лет назад и имело практическую значимость. Понятия второй и третьей степени появилось в связи с определением площади квадрата и объема куба. Вавилоняне составляли и пользовались таблицами квадратов и кубов чисел.

Степенная функция играла важную роль в исследовании и развитии математики. Например, Декарт пользовался параболой, которая являлась графиком квадратичной функции для решения уравнения четвертой степени. Кубическую параболу французский математик, отец начертательной геометрии Г. Монж, использовал для построения действительных корней кубических уравнений.

Необходимость изучения степенной функции обнаруживалась как в самой математике, так и в ее приложениях в других науках и в технической практике. Например, кубическая парабола применяется на железнодорожных линиях, а квадратичная функция используется при строительстве шоссейных дорог на неровной местности в связи с вычислением площадей поперечных сечений насыпей и выемок. Аналогичные расчеты проводили строители при определении площади поперечного сечения, которая также зависит от глубины канала и рельефа местности.

Скорость равномерного движения выражается линейной функцией от времени движения: , а путь - квадратичными функциями: и . Зная эти функции, можно еще до запуска ракеты определить скорость ее движения и высоту, на которой она будет находиться в любой момент ее движения.

В самой математике со степенной функцией приходится встречаться при изучении многих вопросов причем, не только в алгебре, но и в геометрии, особенно при решении задач.

степенная функция электронное пособие

Вот почему степенная функция изучается в курсе высшей математики особенно подробно. Рассматриваются различные способы аналитического построения степенной функции, но все же некоторые вопросы остаются неосвещенными.

Таким образом, целью данной курсовой работы является систематизация и обобщение основных способов построения степенных функций как во множестве рациональных и действительных чисел, так и в поле комплексных чисел.

Объектом исследования являются элементарные функции.

Предметом исследования являются степенные функции.

В ходе выполнения данной курсовой работы преследовались следующие задачи:

1. Обобщение и систематизация основных способов построения степенных функций как во множестве рациональных и действительных чисел, так и в поле комплексных чисел.

2. Особое внимание уделить функциям с рациональным показателем, а именно, функциям арифметического корня, функции корня при n - нечетном, а также функции с дробным положительным рациональным показателем.

3. Исследование построения степенных функций с помощью разложения в ряд Маклорена и, как обобщение, биноминального ряда.

При решении этих задач использовались разнообразные методы исследования: анализ литературы по высшей математике, работ по истории математики, учебников и учебных пособий.

Практическая значимость исследования состоит в том, что:

1. Разработан теоретический минимум по теме "Степенная функция" в виде электронного конспекта.

2. Создано электронное пособие, содержащее обширный материал по вопросам данной темы, которые не рассматриваются в курсе высшей математики некоторых математических вузов, либо изучаются поверхностно.

Электронный конспект фондовых лекции может быть использован в учебном процессе для его усовершенствования и организации самостоятельной работы студентов.

Представленное электронное пособие может быть полезно студентам математического факультета, учителям математики для проведения факультативов в средних общеобразовательных школах, а так же уроков в классах (школах) с углубленным изучением математики.

Историческая справка. Развитие понятия степени. Символы и термины. Понятие степени, возникшее свыше 400 лет назад и первоначально означавшее произведение конечного числа равных сомножителей (степень с натуральным показателем). На протяжении веков неоднократно обобщалось и обогащалось по содержанию. Понятия второй и третьей степени числа появились, возможно, в связи с определением площади квадрата и объема куба. Вавилоняне составляли и пользовались таблицами квадратов и кубов чисел. Название квадраты и кубы для второй и третьей степени чисел древнегреческого происхождения. У Диофанта имеются специальные названия для первых шести натуральных степеней неизвестного, образованные комбинациями слов "дюнамис" (квадрат) и "кюбос" (куб) на основе аддитивного принципа. У него даны специальные названия и места первых отрицательных степеней неизвестного. Индийские ученые оперировали степенями с натуральными показателями до девяти включительно, называя их с помощью комбинации трех слов: "ва" (вторая степень, от слова "варга"-квадрат), "гха" (третья степень от "гхана"-тело, куб) и "гхома" (слово, указывающее на сложение показателей). Применялся мультипликативный принцип как основной: "ва-гха", например, означало шестую степень (2*3), "ва-ва-ва" - восьмую, "ва-гха-гхама" - пятую (2+3). Следует отметить, что до XVI века понятие степени относилось обычно не к числу вообще, а лишь к неизвестным в уравнениях. Средневековые математики, писавшие на арабском языке, решая уравнения, нередко исходили из квадрата неизвестного , называя его "мал" (имущество); само неизвестное называлось "жидр" (вообще, корень растения, а в данном случае - квадратный корень из ). При переводе на латынь в XII в. неизвестное стали называть res (вещь) или radix (корень), квадрат неизвестного - census (имущество), а позже potentia (сила, вероятно, прямой перевод диофантова дюнамис). Термин "степень" и есть перевод слова potentia. С тех пор и сохранился термин корень уравнения в смысле решения [3].

Как известно, итальянские математики пользовались термином cosa (по - итальянски - вещь) для обозначения неизвестного.

В 1494 году в Италии появилась одна из первых печатных книг по математике - "Сумма (знаний) по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности" Луки Пачали. В ней неизвестное обозначается co (cosa), вторая его степень - ce (censo), третья - cu (cubo) и т.п. Эти обозначения были использованы и замечательным итальянским математиком Тармалья и проникли даже в Германию. Под влиянием итальянских математиков находился французский ученый Никола Шюке, живший в XV веке в Лионе, где находилось много эмигрантов из Италии. Шюке внес большой вклад в алгебру, и разработал ряд целесообразных символов для обозначения степени, предвосхитив в известной мере достижения ученых XVII века. Так, например, он писал … вместо современных …, явно вводя таким образом понятие показателя степени [3].

В конце XVI в.С. Стевин выражение записал так: 3 (3) +5 (2) - 4 (1) +6.

Ученик Стевина - голландский математик Альберт Жирар в своей книге "Новое изобретение в алгебре" (1629) пишет (2) 17 вместо нашего . Современная запись была введена Декартом в его "Геометрии" (1637).

Декарт не пользовался показателем для записи второй степени, т.е. записывал aa вместо . Лейбниц же применял знак , считая, что упор должен быть сделан на унификацию символики [3].

1. Различные способы аналитического построения степенных функций

§1. Степенная функция с целым показателем

п.1 С натуральным показателем

Степенной функцией с натуральным показателем называют функцию

, где . (1)

Определение этой функции общеизвестно для и для .

Из самого её определения следует, что при любом натуральном k

и .

Функция определена на всей числовой оси [9].

а) Пусть - нечётно, то есть , тогда функция - нечётная.

Если , то , а потому график функции проходит через начало координат (рис.1) [4].

Исследуем функцию на монотонность.

Вначале проведём это исследование на полусегменте [9].

Пусть имеем:

.

Так как , то , а так как и , то и , следовательно, , то есть функция (1) монотонно возрастает на полусегменте [4].

Поскольку функция нечётная, то на полусегменте монотонно возрастает, так как если , то .

Функция непрерывна на всей числовой оси, как - непрерывных функций .

По теореме о бесконечно больших функций функциях получаем, что и [2].

б) Пусть - чётно, то есть .

Тогда функция - чётная функция. Очевидно также, что при чётном не принимает отрицательных значений.

Если , то , следовательно, график функции проходит через начало координат (рис.2.).

Эта функция строго возрастает при , так как при имеем: .

А на полуоси функция строго убывает, так как если , то .

Функция непрерывна на всей числовой прямой, как произведение - функций , непрерывность которых уже доказана [4].

По теоремам о бесконечно больших функциях получаем, что и .

п.2. Степенная функция с отрицательным целым показателем

Степенной функцией с целым отрицательным показателем называют функцию, где (2)

Функция определена при .

Для выражение не определяют, так что областью определения функции (2) является совокупность двух интервалов и [9].

а) Пусть - нечётное,.

Функция непрерывна на всей числовой прямой, исключая точку0.

Как и в случае натурального показателя нечётна.

Так как при положительных и из неравенства следует неравенство , то на интервале функция (2) монотонно убывает. Отсюда в свою очередь следует, что в интервале функция монотонно убывает, то есть функция строго убывает на области определения, при этом , , и [4].

б) Пусть - четное, .

Тогда функция непрерывна на всей области определения, исключая точку 0.

Функция чётна, то есть она неотрицательна для всех из области определения.

При положительных и из неравенства следует, что на интервале функция монотонно убывает. А в интервале функция монотонно возрастает, так как при следует неравенство .

При этом, , , и [2].

§2. Функция корня

п.1 Функция арифметического корня

По доказанному выше функция

(3)

монотонна на и, следовательно, имеет обратную функцию [4].

Так как функция на полусегменте принимает, очевидно, лишь неотрицательные значения, то отсюда следует, что и у функции, обратной к (3), и область определения, и множество значений есть полусегмент .

Эту обратную функцию обозначают и называют арифметическим корнем - ой степени из .

Из определения обратной функции следует, что , то есть, что , и, значит, есть число, - ая степень которого равна подкоренному числу , а для любого [9].

График функции , получается из графика функции , отражением относительно прямой (рис.5).

Этот график, как и график функции y, проходит через начало координат. Кроме того, поскольку , то и [2].

Заметим, далее, что так как функция (1) монотонно возрастает на , то и обратная ей функция монотонно возрастает в своей области определения, то есть также на .

Выясним теперь, можно ли построить функцию, обратную функции и в области отрицательных значений .

Если - четное число, то функция принимает одни лишь неотрицательные значения и вопрос о построении такой функции отпадает, так что, если при четном записью представлена функция, обратная к (1), то в этой записи, по необходимости, [9].

Для любых натуральных значений и при верно равенство

. (4)

В самом деле, в силу свойств степеней с натуральным показателем .

При справедливо равенство

. (5)

Чтобы доказать это равенство, достаточно заметить что - е степени обеих частей равны , причем обе части равенства (5) неотрицательны.

Если , а - четное число, обе части равенства (5) определены, но равенство уже может не иметь места. Дело в том, что при нечетном и четном в области имеем , но . Поэтому вместо равенства (5) следует писать в этом случае

(6)

в такой форме оно верно для любых .

Вместо пишут также .

Равенства (1) - (3) принимают вид:

[2].

Отметим также некоторые свойства арифметического корня.

1. В соответствии с определением арифметического корня для всех верны равенства и .

2. , при .

3. , при .

4. .

Действительно, в соответствии с определением арифметического корня корнем -ой степени из числа называется такое число, -ая степень которого равна , то есть =, если .

Пусть левая часть записанного равенства представляет собой корень -ой степени из числа .

Обозначим левую часть равенства за . Если возведем в степень и получим в результате , то данное свойство будет доказано.

Возведем правую часть равенства, то есть в - ую степень .

На основании первого свойства арифметического корня выражение в прямоугольных скобках есть , то есть , следовательно, , значит, есть корень - ой степени из .

Остается доказать, что , так как по условию арифметического корня , то - в целой степени , где .

5. , где .

Действительно, уже доказано, докажем . Рассмотрим , тогда .

Если , то можно переписать следующим образом, воспользовавшись правилом возведения в степень при целых показателях, можно записать , то есть является , то есть , но , значит, .

п.2 Функция корня при - нечетном

При нечетном функция , рассмотренная на интервале , монотонна уже во всем этом интервале, причем, при , поэтому теперь она имеет обратную функцию с областью определения . Эту функцию также обозначают через

(7)

и называют корнем - ой нечетной степени из .

Множество значений этой функции есть также интервал ; она будет, как и функция , монотонно возрастающей в [9].

График рассматриваемой функции является зеркальным отражением графика функции в 1-ой и 2-ой координатной плоскости [2].

Отметим также же, что при любом натуральном и , очевидно .

п.3 Степенная функция с положительным рациональным показателем

Определим функцию для дробного положительного рационального показателя .

Любое рациональное положительное число может быть (и притом единственным образом) представлено в виде частного двух взаимно простых натуральных чисел и , то есть . Исходя из этого, по определению полагают:

₍8).

При таком определении каждому , при котором существует, сопоставляется единственное число , и, следовательно, здесь есть функция от . Её и называют степенной функцией с положительным рациональным показателем (степенная функция с целым положительным показателем может быть рассмотрена как частный случай () функции (8), и оговорка, что рациональный показатель является дробным, излишне) [9]. Для степеней с рациональными показателями справедливы все свойства степеней с рациональными показателями:

1.

2.

3. ;

4.

5. .

Установим область определения функции (8). При нечётном , функция (7) определена на , поэтому при нечётном и функция (8) имеет областью существования . Если же - чётное число, то прежде всего - нечётно (иначе дробь была бы сократимой). Но функция (7) при чётном определена только при неотрицательных значениях подкоренного выражения. Значит, в (8) должно быть , или, что то же ( - нечётно) , то есть при чётном , область существования функции (8) есть полусегмент .

Отметим, что если , то несущественно, будет ли в определении функции (8) несократимой дробью или нет, ибо тогда при , (где и взаимно просты) области существования функций и одинаковы и вместе с тем и , откуда , (). (*)

Отсюда , так как в противном случае в силу монотонности степенной функции было бы , что противоречит (*).

В частности, при любом натуральном

.

При чётном (-нечётно) функция (8) является чётной: , а при нечётном и нечётном - нечётной: .

Исследуем теперь на монотонность. Вначале проведём это исследование на . Выше было показано, что функция при натуральном монотонно возрастает на , так, что если , то при и . Но функция (только обозначением аргумента отличающаяся от функции ) монотонно возрастает на , поэтому при и , или , то есть при , и, значит, монотонно возрастает на .

Если чётно, то функция (8) определена только на этом полусегменте, и поэтому при чётном дальнейшего исследования этой функции на монотонность проводить не нужно. Пусть теперь нечётно. Тогда функция (8) определена и на . И можно проводить дальнейшее исследование на монотонность.

Если и чётно, то, по доказанному выше, функция (8) нечётна и значит, монотонно возрастает и на полусегменте , если же чётно, точно, также по доказанному выше, эта функция чётна и, следовательно, монотонно убывает на .

Легко понять теперь, что при чётном и чётном функция (8) не монотонна в , тогда как при нечётном и нечётном она монотонно возрастает во всём интервале .

На рисунке изображены графики функций для чётных значений .

Рассмотрели степенную функцию с положительным рациональным показателем .

п.4 Степенная функция с отрицательным рациональным показателем

Если теперь есть отрицательное рациональное число, то под снова будем понимать по определению функцию .

Положим, , где взаимно простые натуральные числа. Функция определена всюду, где определена функция , кроме точки , и поэтому имеет своей областью существования интервал при четном и совокупность двух интервалов при нечетном .

на интервале монотонно убывает, а на интервале (-нечётное) монотонно возрастает при четном и монотонно убывает при . Рассмотрим еще случай , но тогда степенная функция принимает вид: . При такая функция не определена, а для остальных значений аргумента она тождественно с функцией , а потому её свойства слишком просты, чтобы на них стоило останавливаться.

Эта функция при любом рациональном монотонна на : монотонно возрастает при и монотонно убывает при [9].

§3. Степенная функция с действительным показателем