Методика изучения многогранников в школьном курсе стереометрии

Выпускаемые промышленностью модели не всегда могут удовлетворить потребности, возникающие при обуче-нии школьников математике. Поэтому учителя часто прибегают к из-готовлению моделей своими силами с привлечением учащихся. Это делается не только в тех случаях, когда в школе отсутствуют не-обходимая модель, прибор или инструмент, но и когда учитель считает, что имеющаяся модель, прибор не в полной мере способствуют ясному и четкому восприятию изучаемого материала. Внося в модель усовер-шенствования, учитель привлекает учащихся к изготовлению нового ва-рианта модели. Это содействует по-лучению учащимися более глубоких и прочных знаний, умений применять теоретический материал на практике. Модели как фабричного, так и самодельного изготовления мо-гут быть использованы при введении новых понятий и доказательстве тео-рем, при решении задач, при выпол-нении практических и лабораторных работ.

Другим удобным видом учебного оборудования являются резиновые штем-пели (штампы) с изображением различных плоских и объемных фи-гур, графиков, таблиц и т. д. К сожалению, такое средство обучения сейчас редко встречается в школе. При использовании этого вида учебного оборудования достаточно приложить штемпель к штемпельной подушке и прижать его к листу бумаги, чтобы получить нужное изображение, например изображение куба или прямоугольного параллелепипеда. При решении задач, связанных с построением изображений куба или прямоугольного параллелепипеда, учащиеся, воспользовавшись штемпелем, могут быстро получить в тетради правильный чертеж, что дает большую экономию времени. Естественно, применение штемпелей недолжно привести к утрате учащимися навыков вычерчивания фигур. Поэтому учитель должен вначале научить учащихся изображать фи-гуры на плоскости, а затем применять штемпели на уроке. Штемпели могут использоваться учителем при подготовке многовариантных кон-трольных заданий. Можно, например, заготовить 35-40 чертежей с изображением прямоугольного параллелепипеда, чтобы затем, про-ставив размеры, получить набор индивидуальных заданий.

Также при изучении многогранников можно использовать различные рабочие и справочные таблицы. Рабочие таблицы - это такие таблицы, по материалу которых можно организовать активную мыслительную деятельность учащихся как по усвоению нового теоретического материала, так и по его за-креплению. С помощью рабочих таблиц возможно осуществить вы-полнение большого числа упражнений, способствующих выработке и закреплению у учащихся определенных навыков, можно проводить опрос учащихся или создать проблемную ситуацию перед всем клас-сом. Например, при ведении понятия «пирамида» можно использовать таблицу с изображением пирамиды, ее основных элементов и частных видов. В отличие от рабочих таблиц справочные таблицы, т.е. таблицы для запоминания, предназначены для длительного воздействия на зри-тельный аппарат учащегося. Такие таблицы могут быть вывешены в кабинете математики на длительное время. Таким образом, основным свойством справочных таблиц является (помимо наглядности, которая в ряде случаев играет важную роль) их дидактическая направлен-ность. Таблицы эти предназначены для принудительного воздействия на память учащегося с целью запоминания основных фактов, формул, графиков и др. Примером таких таблиц может служить таблица «Вычисление площадей и объемов многогранников», в которой изображены различные виды многогранников и указаны формулы вычисления объема и площади поверхности для каждого вида.

Большие возможности воспитания само-стоятельности и активности открываются при использовании тетрадей с печатной ос-новой. В настоящий момент они все чаще появляются в школах. Тетради с печатной основой предназначаются для организации самостоя-тельной работы на этапе закрепления и пов-торения пройденного материала. Основная отличительная особенность тетради в том, что она позволяет более рационально исполь-зовать учебное время, так как ученики освобождаются при работе с тетрадью от механического переписывания текста заданий и основное внимание сосредоточивают на выполнении заданий, включенных в тетрадь. Как правило, такие тетради чаще используются в младших классах. Тетради с печатной основой включают большое число заданий. Цель заданий различна. Задания могут дать ученику образец способа рассуждений, решения, данные в тетради, могут содержать пропуски в тексте, которые ученики должны заполнить при работе с тетрадью (причем пропущены не случайные слова, а такие, которые заставляют ученика лишний раз обратиться к определениям, задуматься над последовательностью операций). Итак, тетрадь с печатной основой дает возможность отрабатывать понятия и прививать учащимся навыки решения типовых задач.

Также нельзя забывать и про такие средства обучения как диапозитивы, кодопозитивы, компьютерные средства, которые могут быть эффективно применены при изучении многогранников и не только их.

Нередко наглядные средства рассматривают лишь как временную опору при начальном усвоении знаний. Сторонники такой оценки роли наглядных средств полагают, что модели в этом случае приучают учащихся к очевидности и поэтому не способствуют развитию логического мышления. Выдви-гается даже дидактическое правило: чем старше учащиеся, тем меньше моделей должно применяться в преподавании математики. Принять такую точку зрения и вытекающее из нее дидактическое правило нель-зя, так как они несостоятельны. Правильно понимаемое применение наглядных средств не только уместно, но и необходимо на всех ступе-нях обучения.

Таким образом, готовясь к конкретному уроку, учитель выбирает те средства, с которыми легче организовать необходимую работу учащих-ся, т. е. наиболее в данный момент простые для их восприятия. Например, если на уроке предполагается начать знакомство с понятием какого-то частного вида многогранника, то наиболее удобными окажутся объемные изображения или изображения на киноэкране. В процессе же за-крепления этого понятия достаточно просты для восприятия пло-ские чертежи или словесные описания.

Таким образом, чтобы некоторая материальная модель позво-ляла организовать усвоение того или иного понятия, она должна не только правильно его отражать, но и быть простой для восприя-тия учащихся. [19], [21]

4.Опорные задачи по теме «Многогранники».

Как уже говорилось, изучение многогранников является важнейшей частью курса стереометрии. Они дают богатый задачный материал как при изучении самой темы «многогранники», так и при изучении последующих тем стереометрии. Чаще всего в учебниках мало простых задач «на геометрические тела», поэтому на уроке удается решить всего 2-3 задачи средней трудности. Но они не всем ученикам под силу. Если ограничиваться только такими задача-ми, то многие ученики не смогут принимать актив-ное участие в их решении, и будут отставать. Если же специально уделять на уроке время для задач, которые сводятся к одной-двум операциям и пото-му доступны для устного решения, то можно втя-нуть в работу всех учеников.

Устное решение задач «на многогранники» зна-чительно улучшает пространственное мышление уча-щихся, которое играет важную роль в стереометрии. Поэтому подробнее остановимся именно на таких задачах.

Так как основные геометрические тела, изучаемые в школе, это призмы и пирамиды, то задачи, приведенные ниже, посвящены темам: «Призма. Пирамида. Их сечения. Площади полной и боковой поверхностей». Кроме того, задачи разбиты на типы: задачи на доказательство, на исследование, на построение, на вычисление.

Большое количество задач можно предлагать для решения вместе с готовым рисунком, когда один рисунок будет сопровождать несколько задач, в которых идет речь об одном и том же геометрическом теле. Но готовые рисунки сопутствуют далеко не всем задачам, поскольку само изготовление изоб-ражения является важной частью решения. Учитель может варьировать стратегию обучения. В одних случаях - начинать с готового рисунка, а в других -демонстрировать рисунок (на откидной доске или на экране) только после того, как учащиеся сами сделали нужные изображения в своих тетрадях.

4.1 Задачи по теме «Призма».

Для простоты введем обозначения. Буквами а, b, c обозначим соответственно длину, ширину и высоту прямоугольного параллелепипеда, бук-вой d - длину диагонали основания. Прописные буквы Н, D и P соответствуют высоте, длине наибольшей диагонали призмы и периметру ее ос-нования, а буквы s, Q , S_б и S_n - площадям: s - основания, Q - диагонального сечения, S_б - боко-вой поверхности, S_n - полной поверхности приз-мы. Угол между диагональю прямоугольного парал-лелепипеда и плоскостью основания обозначаем греческой буквой г.

1) Задачи на вычисление.

Четырехугольная призма.

Перед решением задач 1 и 2 следует повторить формулы для вычисления элементов куба со сторо-ной a:

, , , .

Задача 3 и некоторые из следующих за ней, в которых речь идет о прямоугольном параллелепипеде, потребуют использования формул:

D²= а²+ b²+ с² ,d²=a² +b² , s = аb, Q = d • с, S_б= Р•с.

1. Ребро куба равно а. Найдите: диагональ гра-ни; диагональ куба; периметр основания; площадь грани; площадь диагонального сечения; площадь поверхности куба; периметр и площадь сечения, проходящего через концы трех ребер, выходящих из одной и той же вершины. .

2. По рис. 4.1 и по данным элементам в табл. 1 найдите остальные элементы куба.

Таблица 1

а	d	D	s	Q
5
	14
		11
			196

3. По рис.4.2 и по данным элементам в табл. 2 найдите остальные элементы прямоугольного па-раллелепипеда.

Таблица 2.

а	b	с	d	D	г	s	Q
3	4	5
5	12
7	24				45?
8	6
15		17	17

4. Перпендикулярным сечением наклонной 4-угольной призмы является ромб со стороной 3 см. Вычислите площадь боковой поверхности призмы, если боковое ребро равно 12 см.

5. Найдите боковую поверхность наклонного параллелепипеда с боковым ребром 32 см и смеж-ными сторонами перпендикулярного сечения 10 см и 8 см.

6. Сторона основания правильной четырехуголь-ной призмы равна 3 см. Высота призмы - 5 см. Найдите: диагональ основания; диагональ боковой грани; диагональ призмы; площадь основания; площадь диагонального сечения; площадь боковой поверхности; площадь поверхности призмы.

7. Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы равна -32 см, а площадь поверхности 40 см. Найдите высоту призмы.

Решение. Площадь основания равна S=(см²), сторона основания - 2 см, периметр основания Р = 8 см, а высота призмы (см²).

Треугольная, шестиугольная и n-угольная призмы.

Перед решением задач целесообразно повторить формулы; S_б = РН и S_п = 2S_б + 2s для произволь-ной призмы, а также формулы:

Р = 3а, s = - для правильной треугольной и

Р = 6а, s = -для правильной шестиуголь-ной призмы со стороной основания а.

8. Расстояния между боковыми ребрами наклон-ной треугольной призмы равны: 2 см, 3 см и 4 см. Боковая поверхность призмы - 45 см'. Найдите ее боковое ребро. -

Решение. В перпендикулярном сечении призмы - треугольник (рис. 4.3), периметр которого 2 + 3 + 4 = 9 (см), поэтому боковое ребро равно 45 : 9 = 5 (см).

9. Вычислите площадь боковой поверхности пра-вильной треугольной призмы, если известно, что площадь сечения, проходящего через средние ли-нии оснований, равна 25 см'.

Решение. В сечении - прямоугольник, у ко-торого одна сторона равна боковому ребру, а дру-гая - половина стороны основания (рис. 4.4). Следо-вательно, его площадь в 2 раза меньше площади бо-ковой грани. Итак, площадь боковой грани 50 см', а боковой поверхности - 50 • 3 = 150 (см').

10. Каждое ребро правильной треугольной приз-мы равно 12 см. Вычислите: площадь основания; площадь боковой поверхности; площадь поверхно-сти; площадь сечения, проведенного через медиану основания и боковое ребро, которые проходят через одну вершину основания.

11. В прямой треугольной призме все ребра рав-ны. Площадь боковой поверхности 12 см'. Найди-те высоту.

12. Найдите неизвестные элементы правильно треугольно й призмы по элементам, заданным в табл.3.

а	Н	Р	Sб	Sп
6			90
		6
	15		90
		12	144
			108	12б

13. Найдите площадь боковой поверхности пра-вильной шестиугольной призмы, если дана площадь Q большего диагонального сечения.

Решение. Площадь большего диагонального сечения (рис. 4.5) Q=2aH, aH=. Площадь боковой поверхности равна 6•Q = 3Q.

14. Через две неравные диагонали основания пра-вильной 6-угольной призмы проведены диагональ-ные сечения. Найдите отношение их площадей.

Решение. Отношение площадей диагональных сечений (рис. 4.5-4.6) равно отношению неравных диагоналей правильного 6-угольника, сторона ко-торого а: S₁,: S₂ = 2а : а= 2 :.

15. По элементам, данным в табл. 4, найдите неизвестные элементы правильной шестиугольной призмы.

Таблица 4

а	Н	Р	Sб	Sп
4	7
6			720
	5	18
	20		240
		12	144

16. В правильной n-угольной призме проведена плоскость под углом 60? к основанию так, что она пересекает все боковые грани призмы. Площадь основания равна 50 см². Найдите площадь сечения.

Решение. S_осн = S_сеч • cos 60,

S_{се ч}==100 (см ²).

17. Дана n-угольная призма. Найти сумму вели-чин ее плоских углов.

Решение. Найдем сумму плоских углов двух оснований и всех боковых граней: 180(n - 2) •2 + 360n = 360n - 720 + 360n = 720(n - 1).

2)Задачи на исследование.

1. Поставьте куб так, чтобы ни одна грань не была вертикальной. Будут ли тогда у него горизонталь-ные грани?

Ответ: нет.

2. Можно ли куб с ребром в 7 см оклеить лис-том бумаги в виде прямоугольника шириной14 см и длиной в 21 см?

Решение. Для оклейки нужны 6 квадратов со стороной 7 см. Данный прямоугольник разрезать на два со сторонами 7 см и 21 см, а потом каж-дый из них - на три квадрата со стороной 7 см. Получим 6 нужных квадратов, которыми можно оклеить куб. -

3. Сколько нужно взять прямоугольников и ка-ким свойством они должны обладать, чтобы из них можно было составить прямоугольный параллеле-пипед?

Решение. Два прямоугольника для оснований со сторонами а и b, четыре прямоугольника для боковой грани. Из них два со сторонами с и а и два со сторонами с и b.

4. Установите, прямой или наклонной является призма, у которой две смежные боковые грани пер-пендикулярны основанию.

Решение. Призма является прямой. Две смеж-ные боковые грани пересекаются по прямой, пер-пендикулярной плоскости основания. Остальные ребра параллельны данному ребру и, следователь-но, тоже перпендикулярны основанию.

5. Исследуйте, существует ли призма, имеющая 50 ребер? 54 ребра?

Решение. Число ребер n-угольной призмы 3n, поэтому призмы, имеющей 50 ребер, не существу-ет, а 54 ребра имеет 18-угольная призма.

6. Какой многоугольник лежит в основании призмы, если она имеет n граней?

Решение. Число сторон многоугольника, ле-жащего в основании, равно числу боковых граней призмы. Из условия следует, что это число равно n - 2, так как в призме две грани являются основа-ниями. Таким образом, в основании (n - 2)-уголь-ник.

3)Задачи на доказательство.

1. В параллелепипеде диагонали основания рав-ны, а боковое ребро перпендикулярно двум смеж-ным сторонам основания. Докажите, что паралле-лепипед прямоугольный.

Доказательство. В основании - параллелограмм с равными диагоналями, т.е. прямоугольник, а бо-ковое ребро перпендикулярно основанию по при-знаку перпендикулярности прямой и плоскости.

2. Докажите, что число ребер призмы кратно 3.

Доказательство. В n-угольной призме боковых ребер n, а ребер нижнего и верхнего оснований 2n, всего 3n ребер.

3. Докажите, что сумма двугранных углов при всех боковых ребрах четырехугольной призмы рав-на 360".

Доказательство. Рассмотрим перпендикулярное сечение призмы. В сечении - четырехугольник, сумма его углов S = 180°(4 - 2) = 360°.

4. Если призма имеет 18 граней, то в ее основа-нии лежит 16-угольник. Докажите.

Доказательство. У призмы две грани оснований и, значит, боковых граней 16. Следовательно, в основании 16-угольник.

5. В кубе из вершины N проведены диагонали граней NE, NF, NK Концы их соединены отрез-ками (рис. 4.7). Докажите, что многогранник NEFK- - правильный тетраэдр.

6. Если две боковые грани треугольной призмы взаимно перпендикулярны, то сумма квадратов их площадей равна квадрату площади третьей боко-вой грани (рис. 4.8). Докажите.

7. Докажите, что сечение параллелепипеда пло-скостью не может быть правильным пятиугольни-ком.

Доказательство. Среди сторон многоугольника в сечении параллелепипеда плоскостью найдутся параллельные, а у правильного пятиугольника ни-какие две стороны не параллельны.

4)Задачи на построение

Сечения можно рисовать на заранее подготов-ленном изображении призмы.

1. Постройте сечение куба в виде: а) треугольни-ка, б) четырехугольника, в) пятиугольника, г) ше-стиугольника.

2. Постройте плоскость, проходящую через сто-рону нижнего основания треугольной призмы. Ка-кие многоугольники получаются в сечении приз-мы при вращении этой плоскости вокруг стороны?

Ответ: сечение может иметь форму

треугольника, трапеции.

3. В правильной треугольной призме плоскость сечения ВСМ образует с плоскостью основания двугранный угол б (рис. 4.9). Постройте линейный угол этого двугранного угла. Дайте объяснения.

Построение. Проведем из вершины A правиль-ного треугольника АВС высоту АК. Точка K принадлежит ребру ВС. Соответственно отрезок МК перпендикулярен ребру ВС. Угол МКА- - искомый.

4. В основании прямой призмы (рис. 4.10) лежит равнобедренная трапеция. Сечение ABC₁D₁ обра-зует с плоскостью основания двугранный угол б. Постройте его линейный угол.

Построение. Это угол между высотами трапеций ABCD и ABC₁D₁ проведенными из их общей вер-шины тупого угла. (Используем теорему о трех пер-пендикулярах.)

5. Сечение BCD₁A₁ прямоугольного параллеле-пипеда (рис. 4.11) образует с плоскостью основания двугранный угол в. Как построить его линейный угол? Построение. Следует использовать теорему о трех перпендикулярах. Искомый угол - это угол между диагональю А₁В (или D₁C) .боковой грани и стороной основания АВ (или CD), лежащей в этой грани.

4.2 Задачи по теме «Пирамида».

1)Задачи на вычисление

1. В правильной четырехугольной пирамиде вы-сота составляет с боковой гранью угол, равный 37°. Найдите угол между апофемами противоположных боковых граней.

Ответ: 74°.

2. Боковое ребро правильной пирамиды вдвое больше ее высоты. Определите угол наклона боко-вого ребра к плоскости основания.

Ответ: 30°.

3. Периметр основания пирамиды равен 20 см, а площадь ее основания 16 см². Найдите периметр и площадь сечения пирамиды, проведенного парал-лельно основанию через середину бокового ребра.

Ответ:10 см, 4 см².

4. Боковые ребра пирамиды равны гипотенузе прямоугольного треугольника, лежащего в основа-нии, и равны 12 см. Вычислите высоту пирамиды.

Ответ: 6 см.

5. В правильной четырехугольной пирамиде бо-ковое ребро равно 20 см, оно составляет с основа-нием угол 45°. Определите расстояние от центра основания до бокового ребра.

Решение. Искомое расстояние d равно длине высоты, опущенной из вершины равнобедренного прямоугольного треугольника на гипотенузу, которой является боковое ребро, d = 10 см.

Ответ: 10 см.

6. Используя рис. 4.12, на котором изображена пра-вильная треугольная пирамида, заполните пустые ячейки в табл. 1 и табл. 2.

Таблица 1

№	а	b	h	k	в
1	6	4
2	12				45°
3		4			60°
4			4	2

Таблица 2

№	а	k	h	b	б
I	2
2			1		45°
3		4	2
4	4				60°

Указание. Перед решением задачи следует повто-рить и затем записать на доске формулы

NC = , ON = , OC =

7. Используя рис. 4.13, на котором изображена пра-вильная четырехугольная пирамида, заполните пу-стые ячейки в табл. 3 и табл. 4.

Таблица 3

№	а	k	h	b	б
1	2
2	2				45°
3		6	3
4		4			30°

Таблица 4

№	а	b	h	k	в
1		4			60°
2			2		45°
3		8	4
4	4	8

Указание. Перед решением этой задачи следует повторить и затем записать на доске формулы

AC = , ON = , OC =

8. Площадь боковой поверхности пирамиды, в основании которой лежит трапеция, равна 2Q. Бо-ковые грани пирамиды составляют с плоскостью основания равные углы. Найдите сумму площадей боковых граней, проходящих через непараллельные стороны трапеции.

Ответ: Q.

9. В основании пирамиды лежит ромб. Боковые грани пирамиды образуют с основанием равные углы. Площадь одной из боковых граней равна Q. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Ответ: 4Q.

10. Вычислите площадь боковой поверхности правильной пятиугольной пирамиды, если извест-но, что ее боковое ребро. равное а. со стороной основания составляет угол 60°

Ответ:

11. Дана правильная треугольная пирамида, у ко-торой а - сторона основания, k - апофема, P - периметр основания, S₁ - площадь боковой поверхности, S - площадь пирамиды. Заполните табл. 5.

Таблица 5

№	а	k	Р	S1	S
1	5			75
2		24	24
3		18		297
4			45	315
5				198	202

Указание. Задачу следует решать по заранее заготовленному чертежу.

Перед решением необходимо повторить и запи-сать на доске формулы:

, P=3a, S=S₁+S₂ , S₂= (S₂ - площадь основания пирам иды.)

12. Дана правильная четырехугольная пирамида. у которой а - сторона основания, k - апофема, P - периметр основания, S₁ - площадь боковой поверхности, S - площадь пирамиды.

Таблица 6

№	а	k	р	S,	S
I	6	12
2	13				689
3		16		288
4			44	396
5				352	416

Указание. Задачу следует решать по заранее заго-товленному чертежу.

Перед решением следует повторить и записать на доске формулы:

, P=4a, S=S₁+S₂ , S₂=a² (S2 - площадь основания пирамиды.)

2)Задачи на исследование.

1. Сколько вершин, ребер и граней имеет n-угольная пирамида?

Ответ: n + 1 вершин. n + 1 граней, 2п ребер.

2. Какое основание может иметь пирамида, у которой все ребра равны?

Решение. Плоские углы при вершине пира-миды равны 60°, так как каждая боковая грань - -равносторонний треугольник. Следовательно, бо-ковых граней меньше, чем 360°: 60° = 6. т.е. в основании может быть равносторонний треуголь-ник, квадрат или пятиугольник.

3. В каких пределах находится плоский угол б при вершине правильной n-угольной пирамиды. если n = 3, 4, 5, 6?

4. У треугольной пирамиды все боковые ребра равны. Может ли высота такой пирамиды находить-ся на одной из граней?

Ответ: может, если в основании прямоугольный треугольник.

5. Сравните термины: «правильная треугольная пирамида» и «правильный тетраэдр». Можно ли утверждать, что они определяют одно и то же?

6. Боковые ребра пирамиды равны. Может ли ее основанием быть: а) прямоугольная трапеция, б) ромб?

Ответ: а) не может, поскольку такую тра-пецию нельзя вписать в окружность; б) может только в случае, если осно-вание - квадрат.

7. При каком соотношении в правильной тре-угольной пирамиде между стороной основания а и боковым ребром b ее можно построить?

Ответ:

3)Задачи на доказательство.

1. Докажите, что число плоских углов в n-уголь-ной пирамиде делится на 4.

2. Если в правильной треугольной пирамиде высота Н равна стороне основания а, то боковые ребра составляют с плоскостью основания углы в 60°. Верно ли это утверждение?

Решение. Высота пирамиды проектируется в центр окружности радиуса R, описанной около основания, б - искомый угол,

tgб = = = , б=60°.

3. Доказать или опровергнуть утверждение: «если в пирамиде все ребра равны, то пирамида правиль-ная».

Решение. Основание пирамиды - правильный многоугольник. Так как боковые ребра равны, то вершина проектируется в центр основания, следо-вательно, пирамида - правильная.

4. Доказать, что сумма площадей проекций бо-ковых граней пирамиды на основание может быть больше площади основания.

Ответ: может, если высота пирамиды не

проходит через основание пирамиды.

5.. Сторона квадрата равна 10 см. Доказать, что нельзя, используя его в качестве основания, пост-роить правильную четырехугольную пирамиду с боковым ребром 7 см.

Решение. Половина диагонали квадрата является катетом в прямоугольном треугольнике, этот катет равен , а боковое ребро - гипо-тенуза - равно 7 см. Получается, что катет больше гипотенузы.

6. Доказать, что в правильной пирамиде угол наклона бокового ребра к плоскости основания б меньше угла наклона боковой грани к плоскости основания в.

4) Задачи на построение.

1. Постройте два изображения одной пирамиды, одно - имеющее наибольшее число видимых ре-бер, другое - наименьшее число видимых ребер.

Указание. Вид со стороны вершины, все ребра видимые. Вид со стороны основания, видны толь-ко ребра основания.

2. В правильной четырехугольной пирамиде (рис. 4.14) апофема образует с плоскостью основания угол 1. Обозначьте этот угол на рисунке.

3. На рис. 4.15 изображена пирамида РАВС, у кото-рой PH АВС, PK. ВС, TEРВС, Е PBC. Верен ли чертеж?

Решение. По условию PHАВС, PKВС, т.е. по теореме о трех перпендикулярах HK ВС, и PHK PBC. Так как, опять же по условию, TEРВС, то отрезок ТЕ либо параллелен плос-кости РНК, либо принадлежит ей. В любом случае чертеж неверен.

4. На рис. 4.16 изображена пирамида КАBCD. Че-рез точку М, МАВК, провести прямую, парал-лельную BD.

Решение. Проведем через прямую BD и дан-ную точку М плоскость. Она пересечет грань АВК по прямой ВЕ (ЕКА), а грань ADK по прямой ED. В построенной плоскости BED проведем через точку М прямую параллельно BD.

5. Постройте точку пересечения прямой МН с плоскостью основания пирамиды SABCD (рис. 4.17).

6. В основании треугольной пирамиды, боковые ребра которой равны, лежит прямоугольный тре-угольник (рис. 4.18). Постройте высоту пирамиды.

7. Через точку М на плоскости б (рис. 4.19) проведена прямая, которая пересекает грань АКС пирамиды КАВС в точке Н. Какую еще грань пересечет эта прямая?

8. Постройте многогранник, имеющий 11 ребер.

Указание. Четырехугольная пирамида имеет 8 ре-бер, если у нее «срезать» угол при основании, добавит-ся 3 ребра. Всего у многогранника будет 11 ребер. [25], [26], [8], [12], [13]

Заключение

Целью данной работы было рассмотрение особенностей методики изучения темы «Многогранники» в курсе стереометрии 10-11 классов. В связи с чем были выполнены следующие задачи: были рассмотрены различные подходы к определениям многогранника, выпуклого многогранника и правильного многогранника, а также были сделаны выводы о том, какие подходы целесообразнее использовать в школе. Кроме того, были рассмотрены особенности изучения темы в учебниках разной направленности: общеобразовательной, гуманитарной, с математическим уклоном. Были рассмотрены также различные средства наглядности, которые могут быть использованы при изучении данной темы. И, наконец, были подобраны опорные задачи, которые можно использовать на уроке при изучении данной темы.

Таким образом, в данной работе были рассмотрены основные, общие моменты изучения многогранников в школьном курсе стереометрии. В следствие чего дальнейшие исследования могут проходить в направлении более детального изучения отдельных разделов данной темы, а также пропедевтического введения многогранников в курсе математики 5-6 классов.

Литература

1. Автономова Т.В. Основные понятия и методы школьного курса геометрии: Книга для учителя./ Т.В. Автономова, Б.И. Аргунов. - М.: Просвещение, 1988.

2. Александров А.Д. Что такое многогранник? / А.Д. Александров// Математика в школе. - 1981. - № 1-2.

3. Александров А.Д. Геометрия для 10-11 классов: Учеб. Пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. - М.: Просвещение, 1992. - 464 с.

4. Атанасян Л.С. Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кодомцев и др. - М.: Просвещение, 1998. - 207 с.

5. Бескин Л.Н. Стереометрия. / Л.Н. Бескин. - М.: Просвещение, 1971.

6. Болтянский В.Г. Выпуклые многоугольники и многогранники. / В.Г. Болтянский, И.М. Яглом // Математика в школе. - 1966. - № 3.

7. Болтянский В.Г. Элементарная геометрия: Кн. для учителя. / В.Г. Болтянский. - М.: Просвещение, 1985. - 320 с.

8. Веселовский С.Б. Дидактические материалы по геометрии для 11 класса. / С.Б. Веселовский, В.Д. Рябчинская. - М.: Просвещение, 1998. - 96 с.

9. Глаголев Н.А. Геометрия: Стереометрия. / Н.А. Глаголев, А.А. Глаголев. - М.: Учпедгиз, 1958.

10. Джордж Пойа. Математическое открытие. / Джордж Пойа. - М.: Наука, 1976.

11. Земляков А.Н. Геометрия в 10 классе: Метод. рекомендации к преподаванию курса геометрии по учеб. пособию А.В. Погорелова: Пособие для учителя. / А.Н. Земляков. - М.: Просвещение, 1986. - 208 с.

12. Зив Б.Г. Задачи по геометрии: Пособие для учащихся 7-11 кл. общеобразоват. учреждений. / Б.Г. Зив, В.М. Мейлер, А.Г. Баханский. - М.: Просвещение, 2000.

13. Зив Б.Г. Задачи к урокам геометрии. 7-11 классы. / Б.Г. Зив. - С.-Петербург, 1998.

14. Каченовский М.И. Математический практикум по моделированию. / М.И. Каченовский. - М.: Просвещение, 1959.

15. Киселев А.П. Геометрия: Учебник для 9-10 классов средней школы. / А.П. Киселев. - М.: Учпедгиз, 1956.

16. Клопский В.М. Геометрия: Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы. / В.М. Клопский, З.А. Скопец, М.И. Ягодовский / Под. ред. З.А. Скопеца. - М.: Просвещение, 1979.

17. Люстерник Л.А. Выпуклые фигуры и многогранники. / Л.А. Люстерник. - М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.

18. Методика преподавания геометрии в старших классах средней школы. / Под. ред. А.И. Фетисова. - М.: Просвещение, 1967.

19. Методика преподавания математики: Общая методика. / Составители: Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. - М.: Просвещение, 1985.

20. Паповский В.М. Углубленное изучение геометрии в 10-11 классах: Метод. рекомендации к преподаванию курса геометрии в 10-11 кл. по учеб. пособию А.Д. Александрова, А.Л. Вернера, В.И. Рыжика: Кн. для учителя. / В.М. Паповский. - М.: Просвещение, 1993. - 223 с.

21. Петрова Е.С. Теория и методика обучения математике: Учеб.-метод. пособие для студ. мат. спец.: В 3 ч. Ч. 1. Общая методика. / Е.С. Петрова - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. - 84 с.

22. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. сред. шк. / А.В. Погорелов. - М.: Просвещение, 1990. - 384 с.

23. Преподавание геометрии в 9-10 классах. / (сб. статей) сост. З.А. Скопец, Р.А. Хабиб. - М.: Просвещение, 1980.

24. Саакян С.М. Изучение темы «Многогранники» в курсе 10 класса. / С.М. Саакян, В.Ф. Бутузов. // Математика в школе. - 2000. - № 2.

25. Сверчевская И.А. Устные задачи по теме «Призма». / И.А. Сверчевская. // Математика в школе. - 2003. - № 6.

26. Сверчевская И.А. Устные задачи по теме «Пирамида». / И.А. Сверчевская. // Математика в школе. - 2003. - № 7.

27. Смирнова И.М. В мире многогранников: Кн. для учащихся. / И.М. Смирнова. - М.: Просвещение, 1995. - 144 с.

28. Смирнова И.М. Геометрия: Учеб. пособие для 10-11 кл. гуманит. Профиля. / И.М. Смирнова. - М.: Просвещение, 1997. - 159 с.

29. Смирнова И.М. Об определении понятия правильного многогранника. / И.М. Смирнова. // Математика в школе. - 1995. - № 3.

30. Смирнова И.М. Уроки стереометрии в гуманитарных классах. Изучение многогранников. / И.М. Смирнова. // Математика в школе. - 1994. - № 4.

31. Ходеева Т. Свойства многогранников. / Т. Ходеева. // Математика. - 2002. - № 11.

Приложение 1.

Урок повторения по теме «Многогранники» (10 класс).

Урок был проведен в 10 классе после изучения основных многогранников перед изучением правильных многогранников и симметрии.

Цели:

1) повторить основные виды многогранников (призмы и пирамиды), их частные виды;

2) повторить основные формулы для нахождения площади поверхности многогранников и его частных видов;

3) решить задачи разного уровня сложности по данной теме с применением уже известных знаний по многогранникам.

Оборудование: справочная таблица «Вычисление площадей и объемов многогранников», которая содержит 4 столбца: вид многогранника, чертеж, площадь боковой и полной поверхности, объем; готовые чертежи на отвороте доски для решения задач.

Ход урока:

1) Организационный момент.

2) Актуализация знаний.

Проводится фронтальная работа по таблице. Листочками на таблице закрыты названия многогранников, основные формулы и чертежи. Постепенно открываются чертежи, учащиеся по чертежу называют вид многогранника и основные формулы нахождения его полной и боковой поверхности. Колонка таблицы с формулами объема в работе не участвует, так как объем изучается в 11 классе. Таким образом, учащиеся вспоминают все необходимые факты для решения задач.

3)Решение задач.

На уроке предлагается решить две задачи по готовым чертежам (устное решение), две задачи письменно с построением чертежа и дополнительную задачу более сильным ученикам.

Задача 1. Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ - куб. Найдите: tg б.(рис.1).

Задача 2.Дано: DABC - правильная треугольная пирамида, DO (ABC), AB = 3·DO. Найдите: б.(рис2).

Задачи 1 и 2 имеют своей целью повторение некоторых фактов планиметрии и ранее изученных тем по стереометрии (например, перпендикулярность прямой и плоскости) и использование их в решении задач. При решении задачи, как правило, затруднения не возникают, но можно решение задачи 2 записать в тетрадь (что и было сделано на уроке).

Задача 3. В основании пирамиды DABC лежит прямоугольный треугольник ABC, C = 90°, A = 30°, BC = 10. Боковые ребра пирамиды равнонаклонены к плоскости основания. Высота пирамиды равна 5. Найдите ребра пирамиды и площадь боковой поверхности пирамиды.

Вычисление длины ребер в задаче 3 происходит без затруднений, площадь вычисляется немного сложнее. Но главная особенность данной задачи в том, что необходимо понять, куда падает высота и чем является ее основание. (При проведении урока как раз этот момент и вызвал затруднение.)

Задача 4. В прямом параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ основанием служит ромб. Сторона ромба равна a, BAD = 60°. Диагональ параллелепипеда B₁D составляет с плоскостью боковой грани угол 45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Задача 4 сложна тем, что, во-первых, в ней не все данные представлены числами, во-вторых, сложности возникают при определении угла между B₁D и плоскостью боковой грани (задача была полностью разобрана на доске).

Задача 5. (дополнительная) В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна a . Угол между смежными боковыми гранями равен 2б . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

4) Подведение итогов. По мере решения задачи проверяются, в конце урока даются указания для решения пятой задачи.[12],[13]

Вывод: урок поставленной цели достиг, учащиеся повторили основные виды многогранников, решили задачи разного уровня сложности, кроме того, повторили такие факты по планиметрии, как вычисление площадей многоугольников, и по стереометрии: угол между плоскостями, между прямой и плоскостью и другие. В целом уровень сложности задач соответствовал уровню подготовки учеников, и больших проблем при решении задач не возникло.

Приложение2.

Различные доказательства теоремы Эйлера.

Современная теория многогранников берет свое начало с работ Леонарда Эйлера (1707-1783) - одного из величайших математиков мира, работы которого оказали решающее влияние на развитие многих разделов математики. Л. Эйлер был не только выдающимся математиком, но и крупной творческой личностью. Им было написано около 760 научных статей для журналов, 40 книг, 15 работ для различных конкурсов. Поражает работоспособность ученого, росшая на протяжении всей жизни. Так, в первые 14 лет научной деятельности им было написано 80 работ объемом около 4000 печатных листов, а в последние 14 лет жизни, несмотря на тяжелую болезнь - слепоту, опубликовано свыше 359 работ общим объемом приблизительно 8000 печатных листов. Многие рукописи Эйлера сохранились до наших дней. Эйлер долгое время (с 1727 по 1741 год и с 1766 до конца жизни) жил и работал в России, был действительным членом Петербургской академии наук, оказал большое влияние на развитие русской математической школы, на подготовку кадров ученых - математиков и педагогов России.

Работы Эйлера дали толчок к постановке и решению различных проблем, способствовали развитию многих разделов математики. Математики последующих поколений учились у Эйлера. Например, французский ученый П. С. Лаплас говорил: «Читайте Эйлера, он учитель всех нас».

В 1752 году Эйлером была доказана ставшая знаменитой теорема о числе граней, вершин и ребер выпуклого многогранника. Она была помещена в работе «Доказательство некоторых замечательных свойств, которым подчинены тела, ограниченные плоскими гранями».

Рассмотрим различные доказательства этой теоремы. В дальнейшем данный материал можно использовать как для факультативных и кружковых занятий, так и для самостоятельного изучения учениками.

Прежде чем рассматривать доказательство, обратимся к следующей таблице (Г- число граней многогранника, В - вершин, Р - ребер ):

Название многогранника	Г	В	Р
Тетраэдр	4	4	6
Четырехугольная призма	6	8	12
Семиугольная пирамида	8	8	14
Пятиугольная бипирамида	10	7	15
Правильный додекаэдр	12	20	30

Теперь найдем сумму Г+В-Р для каждого из представленных в таблице многогранников. Во всех случаях получилось: Г+В-Р=2. Справедливо это только для выбранных многогранников? Оказывается это соотношение справедливо для произвольного выпуклого многогранника. Это свойство впервые было подмечено и затем доказано Л. Эйлером.

Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника справедливо соотношение Г+В-Р=2 (*), где Г - число граней, В - число вершин и Р - число ребер данного многогранника.

Доказательство. Существует множество различных доказательств теоремы Эйлера. Предлагается рассмотреть три наиболее интересных из них.

1) Наиболее распространенный способ, берущий свое начало в работе самого Эйлера и развитый в работе французского математика Огюста Коши (1789 - 1857) «Исследование о многогранниках» (1811 г.), заключается в следующем.

Представим поверхность данного многогранника сделанной из эластичного материала. Удалим (вырежем) одну из его граней и оставшуюся поверхность «растянем» на плоскость. Тогда на плоскости получается сетка (рис 3), содержащая Г?=Г-1 областей (которые по-прежнему назовем гранями), В вершин и Р ребер (которые могут искривляться).

Для данной сетки нужно доказать соотношение

Г?+В-Р=1, (**)

тогда для многогранника будет справедливо соотношение (*).

Докажем, что соотношение (**) не меняется, если в сетке провести какую-либо диагональ. Действительно, после проведения некоторой диагонали в сетке будет Г?+1 граней, В вершин и Р+1 ребро, т.е.

(Г?+1)+В-(Р+1)=Г?+В-Р.

Пользуясь этим свойством, проведем в сетке диагонали, разбивающие ее на треугольники (на рисунке 3 диагонали изображены пунктирами), и докажем соотношение (**) методом математической индукции по числу n треугольников в сетке.

Пусть n=1, т.е. сетка состоит из одного треугольника. Тогда Г?=1, В=3, Р=3 и выполняется соотношение(**). Пусть теперь соотношение (**) имеет место для сетки, состоящей из n треугольников. Присоединим к ней еще один треугольник. Его можно присоединить следующими способами:

1. как ?ABC (рис 3). Тогда сетка состоит из Г?+1 граней, В+1 вершин и Р+2 ребер, и, следовательно,

(Г?+1)+(В+1)-(Р+2)=Г?+В-Р;

2. Как ?MNL. Тогда сетка состоит из Г?+1 граней, В вершин и Р+1 ребер, и, следовательно,

(Г?+1)+В-(Р+1)=Г?+В-Р.

Таким образом, в обоих случаях, т.е. при любом присоединении (n+1)-го треугольника, выражение (**) не меняется, и если оно равнялось 1 для сетки из n треугольников, то оно равняется 1 и для сетки из (n+1) треугольника. Итак, соотношение (**) имеет место для любой сетки из треугольников, значит, для любой сетки вообще. Следовательно, для данного многогранника справедливо соотношение (*). Такое доказательство предложено в [18].

2)Способ доказательства теоремы Эйлера, связанный с нахождением суммы плоских углов выпуклого многогранника. Обозначим ее ?_а. Напомним, что плоским углом многогранника являются внутренние плоские углы его граней.

Например, найдем ?_а для таких многогранников:

а) тетраэдр имеет 4 грани - все треугольники. Таким образом, ?_а = 4р;

б) куб имеет 6 граней - все квадраты. Таким образом, ?_а = 6?р = 12р;

в) возьмем теперь произвольную пятиугольную призму. У нее две грани - пятиугольники и пять граней - параллелограммы. Сумма углов выпуклого пятиугольника равна 3р. (Напомним, что сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна р (n-2).) Сумма углов параллелограмма равна 2р. Таким образом,

S₁ = 2?3р+5?2р=16р.

Итак, для нахождения ?_а мы вычисляли сначала сумму углов, принадлежащих каждой грани. Воспользуемся этим приемом и в общем случае.

Введем следующие обозначения: S₁, S₂, S₃, …, S_r - число сторон 1, 2, 3-й и т.д. последней грани многогранника. Тогда

?_а = р (S₁-2)+ р (S₂-2)+…+ р (S_r-2) = р (S₁ +S₂ +S₃ +…+S_r - 2Г ).

Далее найдем общее число сторон всех граней многогранника. Оно равно S₁ +S₂ +S₃ +…+S_r . Так как каждое ребро многогранника принадлежит двум граням, имеем:

S₁ +S₂ +S₃ +…+S_r = 2•Р

(Напомним, что через Р мы обозначили число ребер данного многогранника.) Таким образом получаем:

?_а = 2р (Р-Г). (1)

Сосчитаем теперь ?_а другим способом. Для этого будем менять форму многогранника таким образом, чтобы у него не менялось число Г, В и Р. При этом может измениться каждый плоский угол в отдельности, но число ?_а останется прежним. Выберем такое преобразование многогранника: примем одну из его граней за основание, расположим его горизонтально и «растянем» для того, чтобы на него можно было спроектировать Другие грани многогранника. Например, на рисунке 4.а показано, к чему мы придем в случае тетраэдра, а на рисунке 4.б - в случае куба. На рисунке 5 показан многогранник произвольного типа.

Заметим, что спроектированный многогранник представляет слившиеся две наложенные друг на друга многоугольные пластины с общим контуром, из которых верхняя разбита на (Г-1) многоугольник, а нижняя на грани не делится. Обозначим число сторон внешнего окаймляющего многоугольника через r. Теперь найдем ?_а спроектированного многогранника. ?_а состоит из следующих трех сумм:

1) Сумма углов нижней грани, у которой r сторон, равна р (r-2).

2) Сумма углов верхней пластины, вершинами которых являются вершины нижней грани, тоже равна р (r-2).

3) Сумма «внутренних» углов верхней пластины равна 2р (В-r), так как верхняя пластина имеет (В-r) внутренних вершин и все углы группируются около них. Итак,

?_а = р (r-2) + р (r-2) + 2р (В-r) = 2рВ - 4р. (2)

Таким образом, сравнивая выражения (1) и (2), получаем:

Г + В - Р = 2,

что и требовалось доказать.

Этот способ доказательства теоремы Эйлера рассмотрен в книге американского математика и педагога Джорджа Пойа. [10]

3)Способ, предложенный математиком Л.Н. Бескиным. [5]

Здесь, как и в случае 1), вырезаем одну грань многогранника и оставшуюся поверхность растягиваем на плоскость. При этом на плоскости получается некоторая плоская фигура, например, изображенная на рисунке 6.

Представим себе, что эта плоская фигура изображает собой остров, который со всех сторон окружен морем и состоит из отдельных полей - граней, отделенных друг от друга и от воды плотинами - ребрами.

Начнем постепенно снимать плотины, чтобы вода попала на поля. Причем плотину можно снять только в том случае, если она граничит с водой лишь с одной стороны. Снимая очередную плотину, мы орошаем ровно одно поле. Покажем теперь, что число всех плотин (т.е. Р - число ребер взятого многогранника) равно сумме чисел снятых и оставшихся плотин.

Итак, число снятых плотин равно (Г-1). Действительно, снимая плотины, которые омывает вода только с одной стороны, мы оросили все поля (т.е. грани, число которых равно (Г-1), так как одна грань была сначала вырезана). На рисунке 6 номера 1, 2, 3, … , 15 показывают порядок снятия плотин. Число оставшихся плотин равно (В-1). Покажем это. На рисунке 7 наша система изображена после снятия всех возможных плотин. Больше ни одну плотину снять нельзя, так как они омываются с двух сторон. Далее никакие две вершины системы, например B и D (рис. 7), не могут соединяться двумя путями, так как в противном случае получился бы замкнутый контур (рис 8), внутри которого не было бы воды, что противоречит тому, что все поля орошены водой. Отсюда следует, что в оставшейся системе плотин должен быть тупик, т.е. вершина, в которую ведет одно единственное ребро. Выберем какую-либо вершину, например вершину А (рис 7), и пойдем по пути, составленному из плотин, причем не будем проходить никакую вершину дважды. В конце концов, так как число вершин конечно, мы придем в тупик (например в вершину G на рис 7). Тогда отрезок-тупик, т.е. вершину G и прилежащее к ней ребро-плотину, отрежем. В оставшейся системе опять выберем какую-нибудь вершину, пойдем от нее и отрежем получившийся тупик. Поступая так, мы наконец придем к системе, в которой нет плотин, а имеется только одна вершина, которая останется после отрезания последнего тупика. Таким образом, число оставшихся плотин равно (В-1).

Окончательно получаем:

Р = ( Г - 1 ) + ( В - 1 ),

откуда

Г + В - Р = 2.

Теорема доказана.