Экстремальные задачи на внеклассных мероприятиях в школе

Размещено на http://www.allbest.ru/

Российский Государственный Педагогический Университет имени А.И. Герцена

Курсовая работа по методике обучения математике

"Экстремальные задачи на внеклассных мероприятиях в школе"

Беляева Юлия Александровна

Руководитель: Радченко

Санкт-Петербург

2011 год



Содержание

1. Введение

1.1 Актуальность темы

1.2 Цели

2. Подбор и систематизация задач на экстремумы

2.1 Наименьшее и наибольше значение квадратного трехчлена

2.2 Применение теорем о среднем геометрическом и среднем арифметическом

2.3 Применение производной для решения практических задач

2.4 Практические задачи, приводящие к линейной целевой функции

2.5 Геометрические задачи

3. Планирование факультатива

Литература



1. Введение

1.1 Актуальность проблемы

Среди различных математических задач встречаются задачи, в которых требуется найти наилучший вариант, кратчайший путь, наибольшее число с заданными свойствами и т. п. Подобные задачи обладают своеобразной привлекательностью. По-видимому, это объясняется тем, что они чем-то похожи на наши повседневные проблемы. Мы стараемся приобрести вещи наилучшего качества по возможности за наименьшую цену; пытаемся максимально увеличить свои доходы, прилагая к этому минимальные усилия; хотим поменьше рисковать и т. д. У всех этих жизненных проблем есть одно общее свойство: необходимо добиться наилучшего результата, выполнив определенные условия. В математике таким проблемам соответствует целый класс задач, в которых при заданных ограничениях нужно отыскать наибольшее (максимальное) или наименьшее (минимальное) значение некоторой функции. Оба понятия -- максимум и минимум -- объединяются одним термином "экстремум".

К сожалению, задачам "на экстремум" в школьном курсе математики уделяется явно недостаточное внимание. В лучшем случае школьники старших классов умеют найти экстремум простейших функций с помощью производной. У них создается ложное впечатление, будто это единственный метод решения подобных задач. Встретившись на вступительном экзамене с нестандартно сформулированной задачей "на экстремум", многие абитуриенты совершенно теряются и не знают, как к ней подступиться. Вместе с тем, в элементарной математике имеется целый набор приемов решения подобных задач. Так, например, многие задачи достаточно просто решаются применением теорем о средних, свойств квадратной функции;



1.2 Цель работы

Цель:

Раскрытие возможности рассмотрения экстремальных задач как содержания факультативного курса для учащихся.

Задачи:

1) подбор и систематизация различных задач на экстремум по способам их решения,

2) планирование факультативного курса для школьников на эту тему.



2. Подбор и систематизация задач на экстремум

Подбор и систематизация задач выполнен по следующему критерию:

- Какой теоретический факт лежит в основе метода решения этих задач;

2.1 Наименьшее и наибольше значение квадратного трехчлена

Теоретические факты:

Теорема.

Квадратный трехчлену=ах2+ bх + с имеет экстремальное значение, принимаемое им при

Это значение оказывается наименьшим, если а > 0, и наибольшим, если а < 0. Если существует y(макс), то y(мин) не существует, и наоборот.

Задачи:

№1. Разложить данное положительное число А на два слагаемых так, чтобы их произведение оказалось наибольшим.[2]

Решение. Обозначим одно из искомых слагаемых через х. Тогда второе слагаемое будет равно А -- х, а их произведениеили.

Таким образом, вопрос привелся к нахождению такого значения х, при котором этот квадратный трёхчлен получит наибольшее значение. По теореме 4 такое значение заведомо существует (ибо здесь старший коэффициент равен -- 1, т.е. отрицателен) и равно В таком случае и, стало быть, оба слагаемых должны быть равны друг другу.

Например, число 30 допускает такие разложения:



Все полученные произведения меньше, чем

№2. Имеется проволока длины L. Требуется согнуть её так, чтобы получился прямоугольник, ограничивающий по возможности наибольшую площадь.[2]

Решение. Обозначим (черт. 1) одну из сторон прямоугольника через х. Тогда, очевидно, другая его сторона будет а площадьили . Эта функция принимает своё наибольшее значение при, что и будет искомым значением одной из сторон прямоугольника. Тогда другая его сторона будет , т. е. наш прямоугольник оказывается квадратом. Полученное решение задачи можно резюмировать в форме следующей теоремы.

Теорема.

Из всех прямоугольников, имеющих один и тот же периметр, наибольшую площадь имеет квадрат.

Замечание.

Нашу задачу легко решить также с помощью результата, полученного при решении задачи 1.

В самом деле, мы видим, что площадь интересующего нас прямоугольника есть.Иначе говоря, есть произведение двух сомножителей х и Но сумма этих сомножителей есть,т. е. число, не зависящее от выбора х. Значит, дело сводится к разложению числа на два слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим. Как мы знаем, это произведение будет наибольшим при равенстве обоих слагаемых, т.е .

№3. Из имеющихся досок можно построитъ забор длиною в 200 м. Требуется огородить этим забором прямоугольный двор наибольшей площади, используя для одной стороны двора заводскую стену.[2]

трехчлен теорема производная функция

Решение. Обозначим (черт. 2) одну из сторон двора через х. Тогда другая его сторона будет равнаа его площадь будет

Согласно теореме наибольшее значение этой функции достигается ею при

Итак, сторона двора, перпендикулярная к заводской стене, должна равняться 50 м, откуда для стороны, параллельной стене, получается значение 100 м, т. е. двор должен иметь форму половины квадрата.

Замечание. Если бы мы и здесь захотели использовать результат решения задачи 1, то непосредственно это нам бы не удалось, ибоесть произведение двух сомножителей, сумма которых равна 200 -- х, т. е. зависит от х. Иначе говоря, мы не находимся в условиях задачи 1. Однако с помощью небольшого ухищрения можно всё же свести дело к задаче 1. В самом деле, рассмотрим вместо S величину z = 2S. Так как,то эта функция есть произведение двух сомножителей, сумма которых уже не зависит от х и, стало быть, z(макс) достигается при откуда х = 50.

№4. Дан квадрат ABCD (черт. 3). От его вершины отложены равные отрезки Аа, Bb, Cc, Dd и точки а, Ь, с, d соединены прямыми. При каком значении Аа площадь квадрата abсd окажется наименьшей?[2]

Решение. Если положить то, очевидно, окажется и, стало быть, по теореме Пифагора будет

Но площадь S квадрата abсd как раз и равна , S=. Поэтому наименьшее значение для S получится при Таким образом, точки а, b, с и d нужно поместить в серединах сторон основного квадрата ABCD.

№ 5. Из точек А и В (черт. 4) по указанным стрелками направлениям выходят одновременно пароход и яхта. Их скорости соответственно равны 40 км/час и 16 км/час. Через сколько времени расстояние между ними окажется наименьшим, если AB = 145 км?[2]

Решение.

Отметим буквами П и Я положение парохода и яхты через t часов после выхода из точек A и В. Тогдаи поэтому на основании теоремы Пифагора

Наименьшее своё значение этот корень примет при том же самом t, при котором будет иметь наименьшее значение подкоренное выражение, т.е. при

Итак, пароход и яхта окажутся на кратчайшем расстоянии друг от друга через 3 часа 7 минут 30 секунд после выхода из точек А и В.

№ 6. В данный круг вписать прямоугольник наибольшей площади.[2]

Решение.

Обозначим через R радиус круга, а через х сторону АВ искомого прямоугольника (черт. 5). По теореме Пифагора окажется , откуда для интересующей нас площади S получается выражение . Эта функция достигает своего наибольшего значения при том же самом х, что и функция . Но.Полагая получим

Значит у(макс) достигается при ,т.е. при Замечая, что при , мы видим, что искомый прямоугольник должен быть квадратом.



С использованием теоремы о квадратном трехчлене можно также решить следующие задачи[2]:

1) В данный шар вписать цилиндр с наибольшей боковой поверхностью.

2) В данный конус вписать цилиндр с наибольшей боковой поверхностью.

3) В треугольнике ABC провести прямуюab, параллельную основанию АВ, так, чтобы

площадь прямоугольника abсd оказалась наибольшей.

4) Показать, что из всех равнобедренных треугольников, вписанных в данный круг, наибольший периметр имеет равносторонний треугольник.

5) Доказать, что из всех прямоугольных треугольников с заданной гипотенузой наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник

2.2 Применение теорем о среднем геометрическом и среднем арифметическом

Теоретические факты:

Теорема.

Пусть - неотрицательные числа и n- натуральное число. Тогда .Здесь равенство имеет место тогда и только тогда когда .

Следствия из теоремы:

1) произведение nнеотрицательных сомножителей (сумма которых постоянна) принимает наибольшее значение, когда все эти сомножители равны.

2)сумма неотрицательных слагаемых, произведение, которых постоянно, принимает наименьшее значение, когда все слагаемые равны.

3) Функция в которой независимая переменная х принимает только положительные значения) достигает своего наименьшего значения при и только при этом значении х.

Задачи:

№1.Какое наибольшее значение может иметь многочлен ?[5]

Решение: Преобразуем многочлен так:

И обозначим 2-х через у. По теореме

Отсюда следует что наибольшее значение многочлена равно 1, и оно достигается, если х=2-х, то есть при =1( нетрудно проверить, что х и 2-х не могут быть оба отрицательными; поскольку мы ищем наибольшее значение, достаточно рассматривать их лишь тогда, когда они оба положительны).

В школе эту задачу, возможно, решить методом выделения полного квадрата

№2. Какое наименьше значение может иметь выражение для положительных значений х?[5]

Решение: Обозначим через y , тогда по теореме



Итак, наименьшее значение равно 2, оно достигается при .

Эту задачу, также как и предыдущую можно решить с помощью выделения полного квадрата

№3 Найти наименьшее значение выражения для положительных значений х , если a и b положительны, а m и n -натуральные числа.[5]

Решение:

Представим данное выражение следующим образом

Где взято m-раз, а взято n- раз. Тогда по теореме о среднем арифметическом и среднем геометрическом

Равенство достигается при, то есть при или

Итак, наименьшее значение данного выражения равно

№4 Практическая задача[5]:

Из квадратного листа жести со стороной а сделать ящик наибольшего возможного объема, открытый сверху, вырезая равные квадраты по углам и загибая затем жесть так, чтобы образовать бока ящика (см.рис 1)

Решение:

Пусть сторона каждого из вырезаемых квадратов равна x(см.рис. 2),найдем объем ящика. Применяя теорему о среднем арифметическом и среднем геометрическом получаем

Следовательно,

Равенство достигается при , то есть

№5 На вертикальной стене висит плакат АВ. На каком расстоянии о стены должен стоять наблюдатель, чтобы угол (, под которым он видит плакат, оказался наибольшим?[1]



Решение:

Обозначим через точку К точку пересечения стены с горизонтальной прямой, проходящей через глаз О наблюдателя(черт.9).Тогда искомое расстояние есть ОК. Обозначим его через х положимЕсли углы КОА и КОВ обозначить через , то очевидно что

Отсюда .Но . Стало быть, . так как наибольшее значение будет при наибольшем значении его тангенса, то наша задача сводится к нахождению такого значения х, при котором дробь будет наибольшей. Но ее числитель постоянен. Значит, нужно сделать наименьшим ее знаменатель . По третьему следствию искомое значение . С использованием теоремы о средних можно решить следующие задачи[5]:

1) Из круговых секторов данного периметра Р найти сектор наибольшей площади.

2) В данной окружности найдите наименьшую хорду, проходящую через точку А внутри окружности.

3) Найдите минимум выражения ..



2.3 Применение производной для решения практических задач

Теоретические факты:

1) Производной данной функцииназывается предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной, когда это приращение стремится к 0.

2)Если функция (имеющая производную) при принимает локальный максимум или минимум, то производная от этой функции при обращается в 0.

3) Для того чтобы функция( имеющая производную) имела при или минимум, необходимо , чтобы производная при этом значении х была равна 0.

4) Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке :

-Найти критические точки, лежащие внутри отрезка, т.е. на интервале (а,b).

-Вычислить значения функции в этих точках.

-Вычислить значения функции на концах отрезка.

-Из значений функций, найденных в предыдущих пунктах, выбрать наибольшее и наименьшее.

Задачи:

№1 Задача о прямоугольнике наибольшей площади[1]



Из куска, стекла, имеющего указанные на рисунке 23 форму и размеры, нужно вырезать прямоугольную пластину наибольшей площади.

Площадь пластины . За независимое переменное примем x( .Тогда из подобия треугольников АВЕ и СDЕ следует: , или , откуда . Поэтому . Исследуем эту функцию на экстремум , , Найденное значение х выходит из промежутка изменения х. Поэтому внутри этого промежутка стационарных точек нет. Значит наибольшее значение Sпринимает в одном из концов промежутка, а именно при x=100(мм), а тогда y=60(мм) и S=6000(мм^2)

№2.Задача о скорости течения воды в трубе. [1]

По трубе, сечение которой круг с радиусом r, течет вода. Известно, что скорость течения пропорциональна так называемому гидравлическому радиусу профиля сечения (заполненного водой).

Гидравлическим же радиусом профиля называется отношение площади профиля к длине смоченного (подводного) периметра профиля.

При каком заполнении трубы водой скорость течения (при неизменных других условиях) будет наибольшей?

Решение

Воспользуемся обозначениями: - центральный угол сегмента заполнения трубы водой (в радианах) (рис 24). F-площадь этого сегмента и R- гидравлический радиус. Тогда площадь сектора ОАСВ равна , а площадь треугольника АОВ равна , или . Смоченный периметр равен , а значит, . Эта формула будет верна и в том случае, если будет больше . Вообще, может изменяться от 0 до .

Найдем R' и составим уравнение для нахождения критических значений . Получаем

Но , поэтому , или . Полученное уравнение может быть решено графически. Единственный корень его .

Нетрудно сообразить, что производная от R ,равнаяпри переходе через , меняет знак с + на - .Значит, при скорость течения будет наибольшей.

№3 Задача Ферма[1]

Пусть точки А и В лежат в двух оптически разных средах, разделенных прямой CD (рис. 28), и луч света из А должен пройти в В. Пусть, далее, скорость света в среде, где находится точка А, равна , а в другой среде -- . В какой точке луч должен пересечь прямую CD?

Чтобы решить эту задачу, мы должны будем воспользоваться известным принципом Ферма, утверждающим, что свет идет из одной точки в другую по такому пути, для прохождения которого требуется наименьшее время.

-время в течении которого луч света пройдет единицу пути в среде , содержащей точку А, а - время прохождения единицы пути в среде, содержащей B. Отсюда , где-угол падения луча и -угол преломления его.

Найденное соотношение выражает известный в оптике закон преломления света, называемый часто законом Снеллиуса.

Другие практические задачи на экстремум[1]:

1)Из бревна цилиндрической формы, диаметр которого D, надо изготовить балку с прямоугольным поперечным сечением наибольшей площади. Какие размеры должно иметь поперечное сечение?

2) Какой формы должен быть прямоугольный участок земли данной площади, чтобы длина ограничивающей его изгороди была наименьшей.

3)Заготовлен материал для устройства изгороди длиною l м. Этой изгородью должна быть обнесена прямоугольная площадка, примыкающая к стене здания. Какой должна быть эта площадка, чтобы она имела наибольшую площадь?

4)Сооружается палатка конусообразной формы. Для этого используются шесты длиной Lм. Какой высоты должна быть палатка, чтобы она была наиболее вместительной.

5)Из трех прямоугольных кусков жести изготовляется закрытая цилиндрическая банка данной емкости. Каким должно быть отношение диаметра основания банки к ее высоте, чтобы используемые куски жести имели наименьшую площадь.

6)Чтобы уменьшить трение жидкости о стены и дно канала, нужно смачиваемую ею площадь сделать возможно малой. Требуется найти размеры открытого прямоугольного канала с заданной площадью сечения, при которых смачиваемая площадь будет наименьшей.

7)Рассмотрим химическую реакцию окисления окиси азота .Скорость протекания этой реакции (при данной температуре) пропорциональна концентрации кислорода и квадрату концентрации окиси азота в газовой смеси, где эта реакция протекает.

(Предполагается, что концентрации выражаются в объемных процентах.) При какой концентрации кислорода скорость реакции будет наибольшей?

8)Камень брошен с начальной скоростью под углом к горизонту. При каком угле а дальность полета камня будет наибольшей, если сопротивление воздуха не принимать в расчет?

9)На отрезке прямой линии, соединяющем два источника света, требуется найти наименее освещенную точку при условии, что оба источника имеют одну и ту же силу света. (А если сила источников света будет разной?)

2.4 Практические задачи приводящие к линейной целевой функции

Линейное программирование - это направление математического программирование изучающее методы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейной целевой функцией. Для решения задач линейного программирования составляется математическая модель задачи и выбирается метод решения.

Постановка задачи коммерческой деятельности может быть представлена в виде математической модели линейного программирования, если целевая функция может быть представлена в виде линейной формы, а связь с ограниченными ресурсами описать посредством линейных уравнений или неравенств. Кроме того, вводится дополнительное ограничение - значения переменных должны быть неотрицательны, поскольку они представляют такие величины, как товарооборот, время работы, затраты и другие экономические показатели.

Геометрическая интерпретация экономических задач даёт возможность наглядно представить, их структуру, выявить особенности и открывает пути исследования более сложных свойств. Задача линейного программирования с двумя переменными всегда можно решить графически. Однако уже в трёхмерном пространстве такое решение усложняется, а в пространствах, размерность которых более трёх, графическое решение, вообще говоря, невозможно. Случай двух переменных не имеет особого практического значения, однако его рассмотрение проясняет свойства задач линейного программирования, приводит к идее её решения, делает геометрически наглядными способы решения и пути их практической реализации.

Наиболее наглядна эта интерпретация для случая n =2, т.е. для случая двух переменных и . Пусть нам задана задача линейного программирования в стандартной форме

->max

Возьмём на плоскости декартову систему координат и каждой паре чисел поставим в соответствие точку на этой плоскости.



Обратим прежде всего внимание на ограничения . Они из всей плоскости вырезают лишь её первую четверть Рассмотрим теперь, какие области соответствуют неравенствам вида . Сначала рассмотрим область, соответствующую равенству . Как Вы, конечно, знаете, это прямая линия. Строить её проще всего по двум точкам.

Пусть . Если взять , то получится . Если взять , то получится . Таким образом, напрямой лежат две точки и . Через эти две точки можно провести прямую.

Если же b=0, то на прямой лежит точка (0,0). Чтобы найти другую точку, можно взять любое отличное от нуля значение и вычислить соответствующее ему значение.Эта построенная прямая разбивает всю плоскость на две полуплоскости. В одной её части , а в другой наоборот .Узнать, в какой полуплоскости какой знак имеет место проще всего посмотрев, какому неравенству удовлетворяет какая-то точка плоскости, например, начало координат, т.е. точка (0,0).

Каждое неравенство этой системы геометрически определяет полуплоскость с граничной прямойУсловия не отрицательности определяют полуплоскости соответственно с граничными прямыми x1 = 0; х2 = 0.. Система совместна, поэтому полуплоскости, как выпуклые множества, пересекаясь, образуют общую часть, которая является выпуклым множеством и представляет собой совокупность точек, координаты каждой из которых составляют решение данной системы. Совокупность этих точек называют многоугольником решений. Это может быть точка, отрезок, луч, замкнутый многоугольник, неограниченная многоугольная область.

Рассмотрим нахождение экстремума линейной функции на примере:



Построим допустимую область. Теперь начнем изображать прямые вида

Пусть, например, L=2. Тогда прямая проходит через точки (2,0) и (0,1) и изображена на рис. 8. Будем теперь увеличивать L. Тогда прямая начнёт двигаться параллельно самой себе в направлении, указанном стрелкой. Легко догадаться, что максимальное значение L получится тогда, когда прямая пройдет через вершину многоугольника, указанную на рисунке, и дальнейшее увеличение L приведет к тому, что прямая выйдет за пределы многоугольника и её пересечение с допустимой областью будет пустым. Выделенная вершина лежит на пересечении прямых и поэтому имеет координаты . Это и есть решение нашей задачи, т.е. есть оптимальный план задачи (1.41). При этом значение целевой функции , что и дает её максимальное значение. Обратите внимание на то, что оптимальный план, как правило, соответствует какой-то вершине многоугольника, изображающего допустимую область. И лишь в том случае, когда прямая случиться так, что решение не будет единственным. Но и в этом случае вершины, соответствующие границам этой стороны, дают оптимальные планы нашей задачи линейного программирования. Таким образом, вершины допустимой области играют в решении задач линейного программирования особую роль.

Ну, а если допустимая область неограничена, то и значение целевой функции может быть неограниченным.

Подводя итог этим примерам, можно сформулировать следующие положения:

1.Допустимая область - это выпуклый многоугольник;

2.Оптимум достигается в вершине допустимой области (если допустимая область ограничена и не пуста);

3.Ограниченность целевой функции в допустимой области является необходимым и достаточным условием разрешимости задачи.

Задачи решаемые с помощью целевой функции графическим способом[1]:

№1)Задача на использование сырья.

Некоторое производство выпускает продукцию двух видов: . Изготовляется эта продукция из четырех видов сырья: S1, S2, S3 и S4. Запас сырья и расход его на единицу каждого вида продукции задается Таблицей



Доход производства от единицы равен 7 денежным единицам, а от единицы -- 5. Как следует спланировать выпуск продукции, чтобы доход производства был наибольшим?

№2)Задача о пашне.

Колхоз намерен выделить под кормовые культуры 100 га пашни. Эту пашню предположено занять кукурузой и свеклой, причем свеклой решено занять не менее 40 га. Требуется установить, как должна быть распределена площадь пашни по культурам, чтобы получилось наибольшее число кормовых единиц. При этом должно быть учтено следующее: 1 ц кукурузного силоса содержит 0,2 ц кормовых единиц, 1 ц свеклы -- 0,26 ц кормовых единиц, на возделывание 1 га кукурузного поля необходимо 38 человеко-часов труда механизаторов и 15 человеко-часов ручного труда, а 1 га, занятого свеклой, соответственно -- 43 и 185, ожидаемый урожай кукурузы 500 ц с 1 га, а свеклы -- 200 ц с 1 га, и, наконец, всего на возделывание кормовых культур колхоз может выделить 4000 человеко-часов труда механизаторов и 15 000 человеко-часов ручного труда.

№3) Деталь некоторой машины изготовляют два цеховых участка А и В. Производственные возможности этих участков характеризуются следующими данными (табл. 7). Разработать наиболее оптимальный план изготовления этой детали участками А и В.

2.5 Геометрические задачи на экстремум

Если обратиться к геометрическим задачам на экстремумы, решаемым с помощью геометрических средств, то окажется, что используемые здесь приемы особенно разнообразны. Для нахождения экстремумов геометрических величин могут быть использованы многие теоремы геометрии.



Задачи:

№1.Дан угол ABC и внутри него точка D. Требуется построить треугольник, две вершины которого лежали бысоответственно на сторонах данного угла, а третьей вершиной была бы точка D и который имел бы наименьший периметр[1].

Решение:

Возьмем произвольный треугольник DКL, две вершины которого лежат соответственно на сторонах ВА и ВС, а третьей вершиной служит точка D (рис. 8). Построим точки Е и F симметричные точке D относительно сторон угла ВА и ВС, и соединим отрезками прямой эти точки соответственно с вершинами К и L треугольника. Так как КЕ = KD и LF = LD, то длина ломаной EKLF равна периметру треугольника DKL. Но нас интересует треугольник с наименьшим периметром, а наименьшим будет периметр, равный длине отрезка EF. Поэтому вершины и искомого треугольника определяются как точки пересечения прямой EF со сторонами данного угла.

№2) В треугольник, основание которого равно b, а высота равна h, вписан прямоугольник наибольшей площади так, что основание треугольника и одна из сторон прямоугольника лежат на одной прямой. Найдите площадь этого прямоугольника [6].



Решение. Пусть PMNK (рис. 1) - прямоугольник, вписанный в треугольник ABC с основанием АС, равным b (причем сторона РК прямоугольника и сторона АС треугольника лежат на одной прямой). Пусть BD - высота треугольника - равна h, стороны прямоугольника РМ и MN равны х и у соответственно, a. Тогда имеем ху = S (1). Из подобия треугольников MNB и АСВ имеемили (2).

Исключая у из уравнений (1) и (2), получаем

Так как постоянно, то S будет принимать наибольшее значение при том же значении х, при котором значение выражения x(h - x) является наибольшим. Произведение x(h - x), состоящее из двух переменных множителей, имеющих постоянную сумму h, будет принимать наибольшее значение тогда, когда эти множители будут равны, т.е. когда , откуда . = --h. Следовательно, одна сторона прямоугольника равна , а другая сторона прямоугольника равна . Тогда площадь прямоугольника PMNK равна .

Ответ:

Этим способом также решаются следующие задачи[6]:

1) Найдите на гипотенузе АВ прямоугольного треугольника ABC такую точку Е, что если опустить из этой точки на катеты треугольника перпендикуляры EF и ED и получившийся прямоугольник EFCD вращать около стороны CD, то получим цилиндр наибольшего объема.

2) Требуется разместить на земле участок площадью 700 м2, который состоит из трех прямоугольных частей и имеет форму многоугольника ABCDEFHN, изображенного на рис. 3, где CD = ВС = 5 м, DE = 10 м, а АВ > 10 м. Найдите наименьшее значение периметра такого участка и какие-либо значения длин KF, KN и АВ, при которых периметр является наименьшим.

3) Около данной сферы описан конус наименьшего объема. Найдите объем этого конуса.

4) Высота конуса равна h, радиус его основания равен R. Определите радиус основания и высоту цилиндра, вписанного в данный конус и имеющего наибольший объем.



3. Планирование факультатива

Основная задача обучения математике в школе - обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования.

Наряду с решением основной задачи изучения математики программа факультатива предусматривает формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие их математических способностей, ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой, подготовку к обучению в вузе.

Название: " Экстремальные задачи математики"

Цели:

Обучающие: Познакомить учащихся с экстремальными задачами и расширить аппарат решения этих задач .

Развивающие: развивать логическое мышление, память,, познавательный интерес, расширять представления учащихся об окружающем мире, поддерживать интерес к изучаемому предмету;

Ожидаемые результаты:

- Осознанное понимание учащихся понятия "Экстремальная задача";

- Овладение основными рассмотренными методами решения задач на максимум и минимум;

- Развитый интерес к задачам математики , как к задачам тесно связанным с жизнью.

- Умение создания по задаче, ее математической модели.

Планируемое количество часов: 10ч

Содержание:

"Наименьшее и наибольше значение квадратного трехчлена": теорема о наибольшем и наименьшем значении квадратной функции.

"Применение теорем о среднем геометрическом и среднем арифметическом": среднее арифметическое, среднее геометрическое, теорема о связи между средним арифметическим и средним геометрическим, и некоторые следствия из нее.

"Применение производной для решения практических задач": производная, основные теоремы, используемые для нахождения экстремума функции, нахождение экстремума функции на отрезке.

"Практические задачи, приводящие к линейной целевой функции": понятие линейного программирования, линейная функция двух переменных, графическое решение задач линейного программирования (случай двух переменных).

"Геометрические задачи": рассмотрение различных задач геометрического содержания на экстремум.

Тематическое планирование:

1) Наименьшее и наибольше значение квадратного трехчлена (2ч)

2)Применение теорем о среднем геометрическом и среднем арифметическом(2ч)

3)Применение производной для решения практических задач(2ч)

4) Практические задачи, приводящие к линейной целевой функции(2ч)

5)Геометрические задачи(2ч)

Подбор задач:

Задачи по каждой из тем были рассмотрены в предыдущем параграфе.

Конспект урока

Тема: "Универсальный метод решения задач на экстремумы".

Тип: Комбинированный урок.

Цели:

Обучающие: отработка и совершенствование навыков решения экстремальных задач с помощью производной, обобщить материал по теме "Решение экстремальных задач".

Развивающие: развитие волевых качеств, воспитание желание самосовершенствования, развитие навыков самостоятельной работы.

Воспитательные: воспитание интереса к математике, воспитание эмоционально-положительной направленности на практическую деятельность.

Задачи: повторить методику решения задач на максимум и минимум с помощью производной, прорешать основные типы задач на использование этого метода.

Оборудование: доска, мел, карточки с заданиями.

План урока

Содержание	Методы и приемы	Время
1. Орг. момент Сообщение цели урока	Инструктаж учителя	7 мин
2. Изучение нового материала 1.Суть метода. 2. Пример решения задачи с помощью дифференцирования.	Лекция (объяснительно-иллюстративный с элементами проблемного изложения) Учащиеся конспектируют, задают вопросы.	16 мин
3.Закрепление пройденного материала.	Учитель предлагает учащимся задачи для самостоятельного решения. Учащиеся самостоятельно решают задачи своего уровня сложности (репродуктивный, частично-поисковый)	31 мин
4. Подведение итогов	беседа	2 мин

Ход урока:

Деятельность учителя	Деятельность учащихся
I. Орг. момент. Здравствуйте, садитесь. На протяжении нескольких занятий мы с вами решаем экстремальные задачи. Мы рассмотрели довольно много задач на нахождение экстремумов. Те приемы, которыми мы решали эти задачи, оказались весьма разнообразными и порой довольно искусственными. Дело обстоит так, что почти для каждой задачи на экстремум приходилось "изобретать" подходящий для нее прием. Возникает поэтому вопрос: а нет ли достаточно общего приема решения задач на экстремумы? Такой прием есть. Его дает математический анализ.	Садятся. Слушают учителя, отвечают на его вопросы.
II. Лекция. 1. Суть метода. Общий прием решения задач на экстремум опирается на теорему Ферма. Если функция у = f(х) (имеющая локальную производную) при х = х0 принимает локальный максимум или минимум, то производная от этой функции при х = х0 обращается в 0. Геометрически это означает, что касательная к графику функции в соответствующей точке его параллельна оси х-ов. Чему же учит нас теорема Ферма? Она учит нас тому, что значения аргумента, при которых данная функция f(x) имеет локальные минимумы, следует искать среди корней уравнения f '(x) = 0. Она выражает необходимое условие экстремума: Для того чтобы функция (имеющая производную) имела при х = х0 максимум или минимум, необходимо, чтобы производная при этом значении х была равна 0. Необходимо, но не достаточно! Производная может быть равна 0, и все же при этом значении х функция экстремума может и не иметь. Так, например, производная функции у = х3 (у' = 3х2) при х = 0 обращается в 0, но эта функция при х = 0 экстремума не имеет (рис.2). Значит, уравнение f '(х) = 0 дает лишь "подозрительные" на экстремум значения х. Как же из этих "подозрительных" значений выделить те, при которых рассматриваемая функция действительно имеет экстремумы? Как для выделенных значений установить вид экстремума? По этим вопросам мы ограничимся соображениями, источником которых является наглядность. Рассмотрим рисунок, на котором изображены максимум и минимум функции у = f(x). По этому рисунку установим, какие по знаку значения принимает производная функция f '(x) для значений х, достаточно близких к х0, меньших и больших его. Если при х = х0 данная функция имеет максимум, то для значений х, меньших х0, но достаточно близких к х0, производная будет положительна, а для больших- отрицательна, т.к. в первом случае касательная к графику функции образует с положительным направлением оси х-ов острый угол, а во втором- тупой. Если же при х = х0 функция принимает минимальное значение, то получается наоборот. Таким образом, будет ли "подозрительная" точка х0 точкой экстремума и, если будет, то какого именно (максимума или минимума), зависит от значений, принимаемых в достаточной близости слева и справа от точки х0 производной функцией. Все возможные случаи можно записать в следующей таблице. х0+Дх, Дх<0 х0 х0+Дх Поведение f(x) f '(x) f '(x) f '(x) f '(x) + - + - 0 0 0 0 - + + - максимум минимум возрастает (экстремума нет) убывает (экстремума нет) Вот этой таблицей и можно пользоваться при решении задач на экстремумы. Но можно из этой таблицы сделать новые выводы и пользоваться ими. Вот о каких выводах идет речь. В случае максимума с возрастанием х и переходом через значение х0 производная убывает, поэтому производная от этой производной(т.е. производная второго порядка) отрицательна. В случае минимума производная при переходе х через х0 возрастает, а значит, производная второго порядка положительна. Поэтому если в "подозрительной" точке х0 производная второго порядка f ''(x0) отрицательна, то в этой точке данная функция имеет максимум, если же f ''(x0) положительна, то функция принимает минимальное значение. Чтобы проиллюстрировать рассмотренный общий прием решения задач на экстремумы, рассмотрим пример. 2. Пример решения задачи. Пример: (Задача о прямоугольнике наибольшей площади) Из куска стекла, имеющего указанные форму и размеры, нужно вырезать прямоугольную пластину наибольшей площади. Площадь пластины S = xy. За независимое переменное примем х(0<х?100). Тогда из подобия треугольников АВЕ и СDЕ следует: Найденное значение х выходит из промежутка изменения х. Поэтому внутри этого промежутка стационарных точек нет. Значит, наибольшее значение S принимает в одном из концов промежутка, а именно при х = 100 (мм), а тогда у = 60 (мм) и S = 6000 (мм2).	Ученики конспектируют, задают вопросы Слушают учителя, записывают решение в тетрадь, задают возникающие вопросы.
III Закрепление пройденного материала. Сейчас возьмите карточки с заданиями своего уровня и решите предложенные там задачи. Учитель следит за тем, что бы все работали, отвечает на возникающие вопросы. Если какая-та задача вызывает у многих затруднения, ее (полностью или частично) прорешивают на доске.	Учащиеся берут карточки с заданиями и Преступают к решению задач. Если возникают трудности, они обращаются за помощью к учителю.
IV Подведение итогов Итак, сегодня мы с вами рассмотрели еще два метода решения экстремальных задач и их применение. Какие у вас есть вопросы по пройденному сегодня материалу? (отвечает на вопросы, если они есть)	Задают вопросы, которые остались непонятными
V Запись домашнего задания Домашнее задание: посмотреть конспект сегодняшнего занятия, до решать задачи своей карточки.	Записывают.

Задачи предлагаемые учащимся.

Задача 1.

Требуется огородить забором прямоугольный участок земли площадью 294 м2 и разделить затем этот участок забором на две равные части. При каких линейных размерах участка длина всего забора будет наименьшей?

Решение:

Пусть х и у - линейные размеры участка в метрах, тогда площадь участка есть , откуда . длина всего забора выразится функцией причем по смыслу задачи x>0. Далее имеем откуда при (поскольку x>0). Если 0<x<14, то ; если же x>14, то ; поэтому x=14 есть точка минимума функции . в результате получаем, что x=14, у=21.

Ответ: x=14, у=21.

Задача2.

Число 81 разбить на 3 положительных сомножителя так, чтобы два из них относились как два к одном у, а сумма трех сомножителей была наименьшей.

Решение:

Обозначим первое слагаемое за х. Тогда второе слагаемое выразится как 2х, а третье 81/2х2. Найдем сумму слагаемых S. S=3х+81/2х2. Найдем наименьшее значение функцииS.Для этого найдем производную S'=3-81/х3=0 => х=3- минимальное значение функции. Тогда второе число 6, третье число 4,5.

Задача3.

Из квадратного листа железа со стороной а, надо изготовить открытую сверху коробку, вырезав по углам квадратики и загнув образовавшиеся кромки, чтобы ее объем был максимальным.

Решение:

Обозначим через х длину стороны основания коробки. Тогда длины сторон вырезанных квадратиков равны S (а -х), а объем коробки равен S (а -х)х2 на интервале (0, а). Таким образом задачу мы свели к следующей задачи: найти наибольшее значение функции V(x)=1/2(a - x)x2 на интервале (0, а). Находим критические точки функции :V/ (x) = ax - 3/2 x2, ax - 3/2 x2=0, т.е. х=0 или х=2/3 а V(2/3а) =1/2(a -2/3a)(2/3a)2= 2/27 a3. Т.к. V(0)=0 и V(a) =0, своего наибольшего значения на отрезке функция достигает при х =2/3а, т.е. maxV(x) =2/27 a3.

Полученный результат означает, что максимальный объем имеет коробка со стороной основания 2/3 а.



Заключение

Задачи на максимум и минимум часто встречаются как в науке, так и в повседневной жизни человека. Своей распространенностью они обязаны тому, что при решении задач мы находим наиболее выгодный из имеющихся вариантов.

При подготовки курсовой работы была изучена литература по данной теме, исторические задачи и их решения.

Также были рассмотрены различные подходы к решению задач на экстремум.

Приведена разработка факультатива на тему "Экстремальные задачи математики".

Целью курсовой работы было раскрытие возможности рассмотрения экстремальных задач как содержания факультативного курса для учащихся. Считаю, что задачи выполнены, цель достигнута.



Литература

1) Ф.Ф.Нагибин "Экстремумы"- Просвещение, Москва-1966 г.-120с.

2) И.П. Натансон " Простейшие задачи на максимум и минимум"- Москва, 1950 г-31 с.

3) В. Ю. Протасов "Максимумы и минимумы в геометрии" ,серия: "Библиотека ,,Математическое просвещение""М.: МЦНМО, 2005. --56 с.

4) Д.О. Шклярский и др. "Геометрические неравенства и задачи на максимум и минимум". Библиотека математического кружка, выпуск 12- Москва, 1970 г.

5) А.П.Савин "Максимум , минимум и теорема о средних" / "Квант", 1970 г., №11

6) Л.С. Сагателова " Приложение теоремы о среднем арифметческом и среднем геометрическом к задачам на "экстремум" по геометрии" / Математика в школе, №10- 2009 г.

7) Беляева Э.С., Монахов В.М. Экстремальные задачи. Пособие для учащихся. М.: Просвещение. 1977.-64 с.

8) ДемидовичВ.Б. Экстремальные задачи //Математика в школе. 2000. № 8.С.56 - 59.

9) Готман Э.Г. Задачи на отыскание наибольпшх и наименьших значений // Математика в школе. 1979. №2. С.36.

10) Тихомиров В.М. Рассказы о максимумах н минимумах. - М. : Наука, 1986.- 192 с.

11) Буслаева И.П. Решение экстремальных задач без использования производной Математика в школе. 1995. № 5.С.67 -70.

12) Генкин Г.З. Задачи на нахождение экстремумов функций в VIII классе // Математика в школе. 2003. № 9. С. 51-54.

Размещено на Allbest.ru