Размещено на http://www.allbest.ru/

Департамент образования города Москвы

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования города Москвы

"Московский городской педагогический университет"

Математический факультет

Кафедра алгебры, геометрии и методики их преподавания

Дипломная работа

По теме: Формирование алгоритмических умений на примере темы тождественных преобразований

По специальности 050201.65 Математика с дополнительной специальностью информатика

Москва, 2010

Введение

Один из важнейших показателей эффективности обучения заключается в том, как обеспечивается в процессе обучения психическое развитие ребенка и, в частности, развитие его мыслительных способностей. Следовательно, на уроке по любому предмету, в процессе обучения, необходимо развивать мышление учащихся. Применительно к математике можно сказать, что сам процесс ее изучения должен приводить к умению логически, доказательно мыслить, умению от стереотипных действий, творчески подходить к решению любой задачи.

Настоящая ситуация в школе такова: большинство задач решается по определенным алгоритмам, и быстрое их решение обычно зависит от знания формул и умения их применять. При этом основное усложнение задачи производится за счет увеличения действий решения, усложнения чисел. Многие этапы решения таких задач у учеников приобретает автоматический характер, они не задумываются над каждым из них.

Можно выделить следующие причины механического запоминания ряда действий при решении задач:

выбор метода решения не вызывает трудностей и сомнений;

решение сводится к одной и той же операции, которая может быть и довольно сложной, но состоящей из ряда элементарных операций;

эту операцию (ее результат) учащемуся не надо выбирать среди других, которые возможны в сходных условиях;

предлагаемые задачи являются задачами одного типа, вследствии чего не являются непривычными.

Учащиеся очень быстро перестают применять изученные определения, теоремы, сокращая обоснование решения задачи.

В объяснительной записке программ по математике для общеобразовательных учреждений говорится: "Ведущая роль принадлежит математике в формировании алгоритмического мышления, воспитании умений действовать по алгоритму и конструировать новые".

Цель дипломной работы состоит в разработке системы упражнений для формирования у школьников алгоритмических умений решения задач с помощью тождественных преобразований.

Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи:

- Изучить психолого-педагогическую характеристику старшеклассников;

- Проследить развитие линии тождественных преобразований в рамках школьного курса алгебры;

- Выявить особенности формирования алгоритмических умений;

- Для различных видов тождественных преобразований разработать цикл задач с общим алгоритмом их решения;

1. Психолого-педагогические особенности формирования алгоритмических умений тождественных преобразований

Это период ранней юности - период жизни и развития человека от 16 до 18 лет. Как правило, к концу этого периода юноши и девушки обычно достигают физической зрелости. Завершается период бурного роста и развития организма, наступает относительно спокойное время дальнейшего физического развития. Заметно нарастает мышечная сила и работоспособность, заканчивается формирование и функциональное развитие тканей и органов. Более отчетливыми становятся моральные понятия, оценки, крепнут этические убеждения. Чувство взрослости становится глубже и острее.

Формируется принципиальность, развиваются убеждения, чувство долга и ответственности. Высокого уровня развития достигают волевые качества: самостоятельность, инициативность, настойчивость, выдержка. Юношеский возраст отличается богатством и многообразием переживаемых чувств. У старшеклассников усиливаются сознательные мотивы поведения. Важное значение имеет статус личности в коллективе. Старшеклассники, в отличие от ценящих физическую силу подростков, уважают интеллектуальные качества. Больше всего ценятся живость ума, находчивость, умение остро чувствовать проблему, быстро ориентироваться в материале, необходимом для ее решения. Авторитетом в классе пользуются учащиеся, имеющие проницательный ум, способные за видимыми фактами находить скрытые причины, предвидеть, строить смелые предположения. Кроме этого, в юношеском возрасте развивается умение комплексной оценки человека. Сравнение себя с идеалом стимулирует процесс самовоспитания, направленный на преодоление тех или иных недостатков и развитие отдельных положительных качеств. Юность - время самоутверждения, бурного роста самосознания, активного осмысления будущего, пора поисков, надежд и мечтаний.

Происходят характерные изменения в умственном развитии юношей и девушек. Растет их сознательное отношение к труду и учению, которые становятся основными видами деятельности в этом возрасте.

Развитие высших психических процессов у старшеклассников обычно ярко выражено избирательное отношение к учебным предметам. Потребность в значимых для жизненного успеха знаниях - одна из наиболее характерных черт нынешнего старшеклассника.

Восприятие характеризуется целенаправленностью. Заметно развивается и совершенствуется способность к переключению и распределению внимания. Последнее, в частности, сказывается в формирующемся умении одновременно слушать объяснения учителя, и вести запись лекции-беседы, следить за содержанием и формой своего ответа.

В этом возрасте происходят важные процессы, связанные с перестройкой памяти. Активно развивается логическая память и скоро достигает такого уровня, что ребёнок переходит к преимущественному использованию этого вида памяти, а также произвольной и опосредованной памяти. Процесс запоминания у старших школьников сводится к мышлению, к установлению логических отношений внутри запоминаемого материала, а припоминание заключается в восстановлении материала по этим отношениям.

Существенные изменения происходят в мыслительной деятельности старших школьников, в характере умственной работы. Ведущей деятельностью в этом возрасте является учение. Большое значение приобретают уроки-лекции, самостоятельное выполнение практических работ, написание рефератов и докладов. В учении формируются общие интеллектуальные способности, особенно понятийное теоретическое мышление. Это происходит за счёт усвоения понятий, совершенствования умения пользоваться ими, рассуждать логически и абстрактно.

Мыслительная деятельность приобретает такой уровень развития процессов анализа и синтеза, теоретического обобщения и абстрагирования, который делает вполне «возможной самостоятельную, в известной мере, творческую деятельность в определенных областях. Для юношей и девушек становятся характерными тенденция к причинному объяснению явлений, умение аргументировать, делать выводы, связывать изучаемое в систему. В раннем юношеском возрасте завершается формирование когнитивных процессов и, прежде всего, мышления. В эти годы мысль окончательно соединяется со словом, в результате чего образуется внутренняя речь как основное средство организации мышления и регуляции других познавательных процессов.

Интеллект в своих высших проявлениях становится речевым, а речь интеллектуализированной. Возникает полноценное теоретическое мышление. Наряду с этим идёт активный процесс формирования научных понятий, содержащих в себе основы научного мировоззрения человека в рамках тех наук, которые изучаются в школе.

Приобретают окончательные формы умственные действия и операции с понятиями, опирающиеся на логику рассуждений и отличающие словесно-логическое, абстрактное мышление от наглядно-действенного и наглядно-образного.

Юность - это период расцвета всей умственной деятельности.

Самостоятельность мышления приобретает определяющий характер и крайне необходима для самоутверждения личности. Взрослые, в частности учителя иногда безапелляционно отвергают наивные, односторонние, еще далеко незрелые заключения, создавая своей бестактностью предпосылки для конфликтов и недоразумений.

Общая характеристика познавательных процессов

Познавательные процессы (восприятие, память, мышление, воображение) входят как составная часть в любую человеческую деятельность и обеспечивают ту или иную ее эффективность. Когда говорят об общих способностях человека, то также имеют в виду уровень развития и характерные особенности его познавательных процессов, ибо, чем лучше развиты у человека эти процессы, тем более способным он является, тем большими возможностями он обладает. От уровня развития познавательных процессов учащегося зависит легкость и эффективность его учения. Человек рождается с достаточно развитыми задатками к познавательной деятельности, однако познавательные процессы новорожденный осуществляет сначала неосознанно, инстинктивно. Ему еще предстоит развить свои познавательные возможности, научиться управлять ими. Поэтому уровень развития познавательных возможностей человека зависит не только от полученных при рождении задатков (хотя они играют значительную роль в развитии познавательных процессов), но в большей мере от характера воспитания ребенка в семье, в школе, от собственной его деятельности по развитию интеллектуальных способностей.

Познавательные процессы осуществляются в виде отдельных познавательных действий, каждое из которых представляет собой целостный психический акт, состоящий нераздельно из всех видов психических процессов. Но один из них обычно является главным, ведущим, определяющим характер данного познавательного действия. Только в этом смысле можно рассматривать отдельно такие психические процессы, как восприятие, память, мышление, воображение. Познание человеком объективной действительности начинается с ощущений и восприятия. Но, начинаясь с них, познание действительности не заканчивается, а переходит к мышлению.

Мышление как психический процесс имеет целенаправленный характер. Мышление необходимо прежде всего, тогда, когда в ходе жизни перед человеком возникает новая цель, новая проблема, новые обстоятельства и условия деятельности. Мышление ребенка зарождается и развивается сначала в процессе наблюдения, которое является не чем иным, как более или менее целенаправленным мыслящим восприятием. Мышление представляет собой активную целенаправленную деятельность, в процессе которой осуществляется переработка имеющейся и вновь поступающей информации - анализ и синтез. Анализ - это выделение в объекте тех или иных его сторон, элементов, свойств, связей, отношений и т.д.; это расчленение познаваемого объекта на различные компоненты. В отличие от анализа синтез предполагает объединение элементов в единое целое. Анализ и синтез всегда взаимосвязаны. Неразрывное единство между ними отчетливо выступает уже в познавательном процессе сравнения. Всякое сравнения предметов начинается с сопоставления или соотнесения их друг с другом, т.е. начинается с синтеза. В ходе этого синтетического акта происходит анализ сравниваемых явлений, предметов, событий и т.д. - выделение в них общего и различного. Так сравнение ведет к обобщению.

Любое мышление есть искание и открытие нового, самостоятельное движение к новым обобщениям, поэтому по сути всякое мышление всегда является творческим, продуктивным в большей или меньшей степени. В зависимости от степени новизны продукта, получаемого на основе мышления, его делят на продуктивное и репродуктивное. Продуктивное мышление характеризуется высокой новизной своего продукта, своеобразием процесса его получения и существенным влиянием на умственное развитие. Продуктивное мышление учащихся обеспечивает самостоятельное решение новых для них проблем, глубокое усвоение знаний, быстрый темп овладения ими, широту их переноса в относительно новые условия. Репродуктивное мышление характеризуется меньшей продуктивностью, но оно играет важную роль. На основе этого вида мышления осуществляется решение задач знакомой школьнику структуры. Оно обеспечивает понимание нового материала, применение знаний на практике, если при этом не требуется их существенного преобразования. Возможности репродуктивного мышления определяются наличием исходного минимума знаний. Главным признаком продуктивных умственных актов является возможность получения новых знаний в самом процессе, т. е. спонтанно, а не путем заимствования извне.

1.2 Изучение темы «Тождественные преобразования»

Система основных понятий линии тождественных преобразований чрезвычайно проста. В нее входят всего два понятия : тождество и тождественное преобразование. Развертывание этой системы в обучении не приводит к каким-либо принципиальным осложнениям, независимо от положенных в основу курса концепций. В любом случае формируемые понятия лишены разночтений , так как понятие тождества одноаспектно. Указанная особенность резко противопоставляет линию тождественных преобразований таким линиям, как функциональная или числовая. В последних случаях установление соответствий различных аспектов понятий - наиболее ответственное звено и в обучении, и в методических исследованиях.

Простота внутреннего строения линии тождественных преобразований накладывается на многообразие связей этой линии. В качестве важного примера рассмотрим соотношение тождественных и равносильных преобразований, которые систематически используются в составе одного оперативного блока.

Пример. Решить уравнения a) 5x-3x=2, б) 5x=2+3x, в) 6+(2-4y) +5y=3(1-3y) .

В задании а) упрощение достигается при помощи применении тождества - распределительного закона. Основанное на этом тождестве тождественное преобразование переводит данное уравнение в равносильное уравнение 2x=2 . Второе задание сводится к первому посредством равносильного преобразования - переноса слагаемого в противоположную часть равенства с изменением знака. Видно, что уже в решении такого простого уравнения используются оба типа преобразований - и тождественное, и равносильное. Это положение для более сложных заданий, таких, как в), становится нормой.

Отметим, что на первых этапах изучения алгебры ученики не располагают способами теоретического осмысления процесса решения уравнений за исключением опоры на правила, выведенные из свойств действий над числами. В частности, им неизвестно различие тождественных и равносильных преобразований. Особой нужды в этом различии и не ощущается. Оно становится необходимым лишь тогда, когда начинают применяться неравносильные преобразования. Роль логической компоненты в процессе решения уравнения при этом возрастает , и сам процесс приобретает расчлененный вид: некоторые используемые в нем преобразования становятся предметом специального рассмотрения. По отношению к ним рассматривается ряд вопросов как общего (свойства преобразований, условия применимости), так и частного (требуется ли проверка в случае применения) характера.

Интенсивность такой деятельности, однако, постепенно спадает. Вновт происходит свертка процедур применения преобразований. Деятельность по решению перестает восприниматься учениками как расчлененная. Она достигает известного автоматизма и в проведении выкладок, и в распознавании применимости того или иного преобразования, характеризации его влияния на процесс решения.

В итоге, динамика прохождения курса алгебры в отношении линии тождественных преобразований принимает следующий вид. На этапе начал алгебры - нерасчлененная система преобразований, представленная правилами выполнения действий над одной или обеими частями формул. На этапе формирования операционных блоков система преобразований разделяется на типы: тождественные и равносильные преобразования; производится систематическое изучение их свойств. На этапе синтеза организуется целостная система преобразований четко и надежно установленными связями отдельных составляющих ее частей.

Приведенное описание подводит к выводу, что развертывание линии тождественных преобразований проходит в тесной связи развитием теории уравнений и неравенств. Фактический анализ учебных пособий по алгебре показывает, что изучение тождественных преобразований несколько опережает формирование операционных блоков в линии уравнений и неравенств, хотя для различных классов уравнений, неравенств и их систем картины довольно сильно отличаются друг от друга.

Организация изучений отдельных тождеств обладает определенной спецификой в отношении используемых систем заданий. Рассмотрим некоторые из этих особенностей, опираясь на важное общеметодическое понятие цикла упражнений.

Понятия и действия, входящие в состав линии тождественных преобразований, раньше других подверглись углубленной методической разработке. Это связано с тем, что в исторической перспективе использование буквенной символики - наиболее заметная особенность алгебры при этом основой применения буквенной символики служат тождественные преобразования.

Содержание линии тождественных преобразований выделяется в настоящее время с полной определенностью. В нее входят изучение тождеств в числовой системе, их применение к упрощению выражений и решению уравнений, изучение тождеств в классе элементарных функций.

Именно на материале данной линии было выделено понятие цикла заданий. Теоретико-методическое описание. Цикл заданий характеризуется соединением в последовательности упражнений нескольких аспектов изучения и принципов расположения. Применительно к тождествам их можно описать так. Цикл заданий связан с рассмотрением одного выделенного для изучения тождества, вокруг которого группируются другие тождества, находящиеся с ним в естественной связи. В составе цикла, наряду с исполнительными, включаются задания, требующие распознавания применимости рассматриваемого тождества. Производится специализация тождеств на материале числовой системы. Изучаются соответствующие языковые средства.

Задания в цикле разбиты на две группы. К первой относятся те, которые выполняются при первоначальном ознакомлении с тождеством. Они служат материалом для нескольких подряд идущих уроков, тематически объединенных введением данного тождества. Вторая группа связывает изучаемое тождество с различными приложениями. Она не образует композиционного единства; упражнения этой группы разбросаны по различным темам курса алгебры и в последующих математических дисциплинах.

Отмеченная структура цикла относится к этапам, предшествующим синтезу курса. На этом этапе циклы видоизменяются в двух отношениях. Во-первых, происходит слияние циклов, относящихся к различным тождествам, так что в итоге формируется что-то вроде операционного блока произвести тождественное преобразование, аналогичное блоку решить уравнение. Однако, это слияние производится в большей своей части уже вне рамок школьного курса алгебры. Во-вторых, обе группы заданий соединяются, причем из первой исключаются некоторые простейшие упражнения, а задания остающихся типов усложняются.

Основные методические особенности заданий описанных двух групп можно изложить, воспользовавшись лингвистическими понятиями парадигмы и синтагмы. Первая группа заданий направлена на формирование математического языка в той его части, которая относится к данному тождеству. Развертывание происходит по мере выявления синтаксических особенностей формулы, выражающей данное тождество, а описание имеет форму парадигмы тех средств языка математически, которые связаны с этим тождеством. Вторая группа заданий включает введенные языковые средства в синтагматические связи с различными областями курса школьной математики.

Тождества, изучаемые в школьном курсе математики, можно разделить на два класса. Первый из них составляют тождества, связанные с числовой системой и определенными в ней арифметическими действиями. Эти тождества назовем кольцевыми. Второй класс образован тождествами, связывающими арифметические действия с элементарными функциями - показательной, логарифмической, степенной. Эти функции характеризуются тем, что они являются непрерывными и монотонными изоморфизмами групп R(+) и R+(.) друг в друга; назовем эти тождества групповыми. По роли в изучении математики кольцевые и групповые тождества очень близки. Следует отметить, что в настоящее время определенная часть материала, относящаяся к изучению элементарных функций, переносится в курс математики старших классов, в частности, это относится и к значительной части групповых тождеств. В этом пункте отметим лишь несколько специфических черт изучения групповых тождеств.

Эта специфика проявляется в том, что во первых, изучение групповых тождеств происходит по системе введения и изучения соответствующих классов функций и, во-вторых, групповые тождества появляются позже кольцевых и изучаются в условиях, когда общая идея тождества и навыки применения тождественных преобразований уже освоены. Указанные черты несколько усложняют анализ циклов, относящихся к групповым тождествам, но не приводят к необходимости внесения в циклы структурных изменений. Первое из отмеченных отличий влияет на характер синтаксических заданий в циклах по каждому из групповых тождеств. Второе различие учитывается при построении парадигматической и синтагматической частей циклов.

Наиболее резкой особенностью групповых тождеств по сравнению с кольцевыми служит необходимость систематического учета области определения; при изучении кольцевых тождеств этот вопрос возникает лишь в связи с изучением рациональных функций. Для осознания такой необходимости целесообразно использовать сопоставление разнородных по материалу заданий.

Каждая вновь вводимая в курсе алгебре элементарная функция расширяет область чисел, допускающих индивидуальное обозначение. Поэтому в синтаксической части цикла присутствуют задания на установление связи этих новых числовых областей и исходной области рациональных чисел. Такие типы заданий и являются тем новым, что отличает синтаксическую часть циклов для групповых от кольцевых.

Большинство тождеств, входящих в курс алгебры, в нем доказываются или, по крайней мере, поясняются. Эта сторона изучения линии тождественных преобразований имеет большое значение для курса алгебры в целом, так как доказательные рассуждения в значительной мере относятся именно к материалу данной линии. За ее пределами доказательные рассуждения значительно реже выделяются из состава применяемых средств обоснования.

Огромную сложность для методики математики представляет выделение оснований, на которых производятся доказательства в курсе алгебры. По видимому, не представляется возможным считать, что такими основаниями служат только аксиоматические системы различных числовых областей в том виде, как они изложены в теоретических курсах. В противном случае курс школьной алгебры допускал бы перестройку, при которой он, по крайней мере, внешне приобрел вид содержательно аксиоматизированого изложения предмета, подобно школьному курсу геометрии. Важнейшее обстоятельство, которое препятствует этому, состоит в решающем значении для алгебры не структур доказательств, а структур операций и преобразований. Кроме того, к обоснованию алгебраических свойств нередко привлекаются наглядные и содержательные соображения. Указанными причинами следует объяснить видимую при самом поверхностном взгляде на учебники по алгебре локальность их свойств, из которых производится развертывание материала.

Приведенные причины объективны, и поэтому структура курса алгебры в рассматриваемом аспекте не может быть изменена. Вместе с тем, в составе локальных средств, применяемых к обоснованию, можно указать некоторое устойчивое, глобальное ядро, которое участвует практически во всех доказательствах, хотя и не всегда последовательно. Это - основные свойства арифметических операций. Нередко они формулируются на первых уроках алгебры в школе и некоторое время довольно часто используются явно. Но вскоре ссылки на них все более сжимаются, и на первый план выступают свойства, характеризующие непосредственно изучаемые объекты - локальные свойства.

По характеру проведения и предметным областям доказательства в линии тождественных преобразований можно разделить на три типа: а) неполностью строгие рассуждения, требующие для придания им полной строгости применения математической индукции: они используются, например, при выводе свойств одночленов и правил действий с многочленами; б) полностью строгие рассуждения, опирающиеся на свойства, равносильные аксиомам поля; основная область их применения - тождества сокращенного умножения; в) полностью строгие рассуждения, использующие условия разрешимости уравнений вида f(x)=a, где f -элементарная функция; этот тип доказательств относится только к выводу групповых тождеств.

школьник тождественный преобразование алгебра

1.3 Развитие алгоритмического умения школьников в процессе обучения математике

Формирование алгоритмического умения - важная составная часть педагогического процесса. Помочь учащимся в полной мере проявить свои способности, развить инициативу, самостоятельность, творческий потенциал - одна из основных задач современной школы. Успешная реализация этой задачи во многом зависит от сформированности у учащихся познавательных интересов.

Математика даёт реальные предпосылки для развития алгоритмического умения, задача учителя - полнее использовать эти возможности при обучении детей математике. Однако, конкретной программы алгоритмических приемов, которые должны быть сформулированы при изучении данного предмета, нет. В результате работа над развитием алгоритмического умения идёт без знания системы необходимых приёмов, без знания их содержания и последовательности формирования.

Первоначальные математические знания усваиваются детьми в определённой, приспособленной к их пониманию, системе, в которой отдельные положения логически связаны одно с другим, вытекают одно из другого. При сознательном усвоении математических знаний учащиеся пользуются основными операциями мышления в достигнутом для них виде: анализом и синтезом, сравнением, абстрагированием и конкретизацией, обобщением; ученики делают индуктивные выводы, проводят дедуктивные рассуждения. Сознательное усвоение учащимися математических знаний развивает логическое мышление учащихся. Овладение мыслительными операциями в свою очередь помогает учащимся успешнее усваивать новые знания.

Познавая предметы и явления окружающей действительности, мы можем мысленно расчленять предмет или явление на составные части и мысленно же соединять части в одно целое. Операция мышления, направленная на расчленение целого на составляющие его части, называется анализом. Операция мышления, направленная на установление связи между предметами или явлениями, называется синтезом.

Эти операции мышления взаимно связаны.

Ф. Энгельс отмечает, что «.мышление состоит столько же в разложении предметов сознания на их элементы, сколько в объединении связанных друг с другом элементов в некоторое единство. Без анализа нет синтеза».

Анализ и синтез, взаимно связанные операции мышления, находят постоянное применение, как при изучении элементов арифметической теории, так и при решении примеров и задач.

Уже на первых шагах обучения при изучении чисел первого десятка учащиеся пользуются наглядно-действенным анализом (разложением) предметных множеств на составляющие их элементы и наглядно-действенным синтезом (соединением), группируя элементы во множества.

Наглядный анализ и синтез сменяется затем анализом и синтезом по представлению: ребёнок может выполнить разложение чисел или их соединение, оперируя со зрительными образами, которые сохраняются в его памяти и могут быть воспроизведены в его сознании.

Более высокой ступенью является умственный анализ и синтез, выполняемый мысленно при помощи внутренней речи.

При обучении любому разделу математики приходится опираться на анализ и синтез.

Анализ и синтез, как взаимосвязанные мыслительные операции находят своё применение при решении различных задач, связанные с тождественными преобразованиями.

Ученик под руководством учителя, прежде всего, анализирует содержание задачи, расчленяя его на последовательные шаги.

В процессе обучения математике находит своё применение приём выделение сходных и различных признаков у рассматриваемых выражений.

После тождественного преобразования учащиеся сопоставляют способы преобразования и упрощения выражений. Такое сопоставление помогает учащимся лучше осознать смысл выражений и прочнее установить связь между условием каждого выражения и способом его преобразования.

Сопоставление основано на анализе и синтезе: необходимо расчленить каждое выражение на составляющие его элементы, а затем мысленно соединить сходные элементы, выделив при этом существенные различия.

При объяснении учащимся нового для них преобразования часто используется приём аналогии: учитель предлагает решить аналогичную задачу с небольшими изменениями, которые можно выполнить устно.

Используя в начальном обучении математике различные методы, учитель применяет их так, чтобы они содействовали активизации алгоритмического мышления учащихся и тем самым способствовали его развитию.

1.4 Особенности формирования алгоритмических умений

Содержательно - методические линии во многих отношениях обнаруживают сходство друг с другом. К наиболее существенным общим чертам относятся ранняя выделенность ведущего в линии понятия; длительный срок его функционирования в курсе как предмета изучения; формирование систем понятий, раскрывающих содержание линии; установление многообразных связей внутри линии.

Реализация алгоритмической линии в известных нам учебниках алгебры, не обладает ни одной из перечисленных черт. Это находит выражение в особенностях ее положения в курсе школьной алгебры. Ведущее в алгоритмической линии понятие - алгоритм - выделяется в конце курса и, по существу, остается в ней изолированным, поскольку понятие блок-схемы выполняет только иллюстративные функции, а представление о программе и алгоритмических языках дается в ознакомительном плане. Понятие алгоритма служит предметом изучения весьма короткое время, и используется в ограниченном масштабе; главным образом, как термин, заменяющий такие понятия, как правило, последовательность операций и т.п., если требуется подчеркнуть алгоритмический характер действий. Для рассматриваемой линии наиболее характерна пропедевтика понятия алгоритма, которая производится при помощи определенной организации материала других линий.

Сходные особенности имеют и некоторые другие содержательно-методические линии, например прикладная, для которой ведущее понятие - математическая модель, вообще не входит в курс алгебры, а так же логическая. Факт принадлежности данной линии к одной из двух описанных здесь групп имеет определенное значение для исследования относящихся к этой линии методических проблем. Линии первого типа кажется естественным назвать выявленными, а второго - невыявленными.

Следует сказать, что выявленность - относительная характеристика линии. Она зависит от многих причин, в частности, от той эпохи или исторического периода, к которой относится создание анализируемого курса, от учебника, в котором эти курсы реализованы. В отношении алгоритмической линии представляется правдоподобным, что выявление ее в школьной алгебре - дело сравнительно недалекого будущего.

В отношении невыявленных линий важной проблемой является выбор материала, на котором происходит формирование содержания этой линии. Этот материал может быть специфическим для ведущего понятия линии, характеризующим его теоретическое содержание, либо неспецифическим, относящимся к основному содержанию курса алгебры. Например, понятие алгоритма можно пытаться вводить, используя различные известные формальные конструкции, но можно использовать осмысление обычных процедур, входящих в школьную алгебру. В дальнейшем будем рассматривать только материал, неспецифический для алгоритмической линии. Исходим при этом из того, что понятие алгоритма является математической моделью определенного класса процессов, играющих очень важную роль и в математике, и в ее приложениях; задача курса алгебры - адекватным образом сформировать эти модельные представления. Свое дальнейшее развитие они получат в курсе информатики и вычислительной техники.

Создание теории алгоритмов сопровождалось исключительно внимательным методологическим анализом природы алгоритмов и их роли в математике. В ходе исследований были выделены несколько компонентов понятия алгоритма: дискретность, детерминированность, результативность, массовость, конечная определенность. В итоге были созданы два понятия, содержательное и формальное, связанные друг с другом тезисом Тьюринга, который утверждает их содержательную эквивалентность. Дидактический и методический анализ понятия алгоритма проводился многими авторами. С точки зрения методики существенным оказывается то, что используя выделенные компоненты можно провести компонентный анализ и разработать систему изучения алгоритмической линии школьного курса алгебры. Материалом для организации пропедевтики понятия алгоритма при этом служат несколько операционных блоков при определенной методике их изучения.

Алгоритмы конкретных процедур целесообразно использовать в курсе алгебры не изолированно, а в составе операционных блоков. Разумеется, большинство процедур в операционном блоке имеют алгоритмическую природу, но не все они могут получить в обучении алгоритмическое развертывание, т.е. послужить материалом для выявления компонентов понятия алгоритмов.

Например, в линии уравнений и неравенств посредством выявленных алгоритмов могут быть описаны общие черты процесса решения нескольких классов уравнений, неравенств, систем, приведенных к нормальной форме. Но для описания процесса приведения к такой форме понятия алгоритма нехватает и приходиться пользоваться понятием исчисления. Главное различие алгоритма и исчисления: алгоритм это система предписаний, обязывающих выполнить некоторое действие всякий раз, как созданы условия для его выполнения; исчисление - система разрешений на такое использование действий.

Примером исчисления служит система обычных свойств арифметических операций в применении к заданиям на приведение к нормальной форме. Если дополнительно придать однозначность пути проведения выкладок, то оператор вида «привести к нормальной форме» уже возможно использовать в формулировке алгоритма. В учебниках алгебры алгоритм, использующий такие операции, появляется уже при изучении уравнений первой степени. Например, приведено такое описание процесса решения: «Для этого нужно: 1) перенести члены, содержащие неизвестное , в левую часть, а члены, не содержащие неизвестное, в правую. 2) Привести подобные члены, разделить обе части уравнений на коэффициент при неизвестном, если он не равен нулю». Здесь выделяются операции двух типов: приведение к нормальной форме и действия с нормальной формой; алгоритм принадлежит к простейшему виду линейных двучленных конструкций.

Можно предположить, что деятельность по выделению компонентов понятия алгоритма целесообразно начинать уже на таких, простейших примерах процессов алгоритмического характера.

По мере формирования навыка применения алгоритма деятельность по его исполнению становится свернутой . Это означает, что ученики приобретают способность представить данный алгоритм как потенциально выполненный, реально его не выполняя. Исключительное значение свертки в алгоритмической линии состоит в использовании свернутого алгоритма как оператора в другом алгоритме.

Алгоритмическая линия может быть реализована посредством неявного формирования понятия алгоритма на материале традиционных процедур алгоритмического типа школьного курса алгебры. Реализация алгоритмической линии может состоять в формировании на этом материале компонент понятия алгоритма при помощи специальных приемов рассмотрения операционных блоков.

К числу таких приемов относятся: изучение двучленных алгоритмов, включающих приведение к нормальной форме и последующее преобразование нормальной формы; включение алгоритма в состав операционного блока; применение переноса для выделения из состава алгоритма метода, имеющего большую область применимости; последовательная свертка алгоритмов, обеспечивающая их использование как операторов в других алгоритмах.

Систему развертывания алгоритмической линии, использующие описанные приемы изучения операционных блоков считается основой включения ее содержания в курс школьной алгебры.

2. Система упражнений

В данной главе представлены задания, на формирование алгоритмических умений у учеников. Задания разбиты на три раздела, в первом, представлены примеры, в которых основной идеей тождественного преобразования являются формулы сокращенного умножения, во втором, за основу взяты свойства тригонометрических функций, а третий раздел содержит показательные и логарифмические выражения.

Задания составлены, таким образом, что при решении первого пункта, становится виден алгоритм для решения последующих, но при этом задания существенно усложняются.

2.1 Формулы сокращенного умножения

1. Представьте в виде произведения:

а)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

б)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

в)

Размещено на http://www.allbest.ru/

.

Решение

а)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

В пункте а) формула разности кубов береться за основу, с помощью которой формируется алгоритмические умения при решении следующих пунктов:

б)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

В пункте б) уже ученик раскладывает число 64 как

Размещено на http://www.allbest.ru/

, чтобы следующим шагом было разложение по формуле сумме кубов.

в)

Размещено на http://www.allbest.ru/

В пункте в) для успешного разложения ученику потребуется представить не только одно из слагаемых, но и второе, причем в сочетании с буквенными выражениями для этого и представим как и соответственно, а дальше все раскладывается по формуле разности кубов.

Как видно данное задание формирует алгоритм разложения выражения используя формулу суммы и разности кубов.

2. Преобразуйте в двучлен:

а)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

б)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

в)

Размещено на http://www.allbest.ru/

.

Решение

а)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

В пункте а) явным образом дана формула разности кубов, это тот алгоритм, который ученик сможет применить, производя тождественные преобразования в последующих пунктах.

б)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

В пункте б) так же представлена формула разности кубов, ученик применяя алгоритм, сворачивает данное выражение

в)

Размещено на http://www.allbest.ru/

.

В пункте в) осложнение может вызвать коэффициент, стоящий перед

Размещено на http://www.allbest.ru/

, но вспоминая формулу, и применяя алгоритм сворачивания, ученик сделает тождественное преобразование.

3. Представьте в виде произведения:

а)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

б)

Размещено на http://www.allbest.ru/

.

Решение

а)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

б)

Размещено на http://www.allbest.ru/

.

4. Выделите полный квадрат:

а)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

б)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

в)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

г)

Размещено на http://www.allbest.ru/

.

Решение

а)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

б)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

в)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

г)

Размещено на http://www.allbest.ru/

.

5. Упростите выражение:

а)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

б)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

в)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

г)

Размещено на http://www.allbest.ru/

.

Решение

а)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

б)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

в)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

г)

Размещено на http://www.allbest.ru/

6. Упростите выражения, произведя «сворачивание» по формуле разности квадратов двух выражений.

а)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

б)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

в)

Размещено на http://www.allbest.ru/

.

Решение

а)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

б)

Размещено на http://www.allbest.ru/

7. Упростите выражение:

а)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

б)

Размещено на http://www.allbest.ru/

.

Решение

а)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

б)

Размещено на http://www.allbest.ru/

8. Упростите выражение

а)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

б)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

в)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

г)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

Решение

a)

Размещено на http://www.allbest.ru/

б)

Размещено на http://www.allbest.ru/

в)

Размещено на http://www.allbest.ru/

г)

Размещено на http://www.allbest.ru/

9. Сократите дробь

a)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

б)

Размещено на http://www.allbest.ru/

в)

Размещено на http://www.allbest.ru/

.

Решение

a)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

б)

Размещено на http://www.allbest.ru/

в)

Размещено на http://www.allbest.ru/

10. Упростите выражение:

а)

Размещено на http://www.allbest.ru/

б)

Размещено на http://www.allbest.ru/

в)

Размещено на http://www.allbest.ru/

г)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение

а)



Размещено на http://www.allbest.ru/

б)

Размещено на http://www.allbest.ru/

в)

Размещено на http://www.allbest.ru/

г)

Размещено на http://www.allbest.ru/

11. Упростите выражение:

a)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

б)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

в)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение

a)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

б)

Размещено на http://www.allbest.ru/

в)

Размещено на http://www.allbest.ru/

12. Разложите на множители выражение:

a)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

б)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

в)

Размещено на http://www.allbest.ru/

.

Решение

a)

Размещено на http://www.allbest.ru/

б)

Размещено на http://www.allbest.ru/

13. Найдите значение выражения:

а)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

б)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

в)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

г)

Размещено на http://www.allbest.ru/

.

Решение

а)

Размещено на http://www.allbest.ru/

б)

Размещено на http://www.allbest.ru/

в)

Размещено на http://www.allbest.ru/

г)

Размещено на http://www.allbest.ru/

14. Найдите значение выражения:

а)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

б)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

в)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

г)

Размещено на http://www.allbest.ru/

.

Решение

а)

Размещено на http://www.allbest.ru/

б)

Размещено на http://www.allbest.ru/

в)

Размещено на http://www.allbest.ru/

г)

Размещено на http://www.allbest.ru/

2.2 Тригонометрические выражения

1.Упростите выражение:

а)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

б)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

в)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

г)

Размещено на http://www.allbest.ru/

.

Решение

а)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

б)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

в)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

г)

Размещено на http://www.allbest.ru/

.

2. Упростите выражение:

a)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

б)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

в)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

г)

Размещено на http://www.allbest.ru/

.

Решение

a)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

б)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

в)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

г)

Размещено на http://www.allbest.ru/

.

3. Упростите выражение:

a)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

б)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

в)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

г)

Размещено на http://www.allbest.ru/

.

Решение

a)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

б)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

в)

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

г)

Размещено на http://www.allbest.ru/