В случае б), когда х, arcsin у = arcsin (sin x) = х-2р (см. рис. 14), т.е. х = 2р+arcsin у. Обратная функция задается формулой у = 2р + arc - sin х [19].

Найти обратную функцию к следующим функциям:

а) y=sin x на ; б) y=sin x на ; в) y=cos x на .

Решение:

а) Функция y = sin x осуществляет взаимно однозначное соответствие между D(f)= и E(f)= . Значит, обратная функция существует. Для явной записи обратной функции решим уравнение sin x=y при условии . Так как на этом отрезке arcsin (sin x) = 5 - x, то arcsin y= =arcsin (sin x) = 5-x, откуда y = 5-arcsin x (явная запись обратной функции).

б) Аналогично примеру а), arcsin y = arcsin (sin x) = --x, откуда y = -- arcsin x.

в) Аналогично примеру а), arccos y = arccos (cos x) = 4 +x, откуда x= =arccos y - 4. Переобозначая х и у, имеем у = arccos х -4.

Сравнить числа и .

Решение:

Заметим, что и .

Углы близки. Попробуем вычислить значения тригонометрических функций упятеренного аргумента, так как значения их для известны. При этом . Удобнее вычислить , т. к. его значения по разные стороны от имеют разные знаки.

3-ей четверти, а потому

.

Ответ: [17].

Сравнить числа и .

Решение:

I способ

Найдем , так как с вычислять труднее.

.

II способ

Заметим, что .

Часть угла (рис. 18), который обозначим как угол АОВ, расположена в четвертой, часть - в первой четвертях. Найдем синус этого угла, тогда будет ясно, в какой именно четверти находится угол . Обозначим и вычислим sin 5x.



Рис. 18

sin 5x = sin 4x. cos x + sin x. cos 4x= 2cos 2x. 2 sin x. cos x +sin x. (2cos² 2x -1)= = =

Ответ: [19].

V. Подведение итогов.

Итак, давайте вспомним, что сегодня мы сделали (учитель с помощью учащихся):

- научились строить различные графики, содержащие обратные тригонометрические функции, сравнивать числа и аркфункции, находить вид функции, обратной к тригонометрической;

- приобрели опыт решения примеров и построения графиков.

В завершении урока рекомендуем проверить усвоенные знания, предложив самостоятельную работу, где будут представлены один - два примера (из заданий для самостоятельной работы).

2.5.3 Конспект урока по алгебре №3 (10 класс)

Тема урока:

Обратные тригонометрические функции. Арктангенс и арккотангенс.

Тип урока: изучение нового материала.

Методы обучения: наглядный, словесный, практический.

Средства обучения: доска, конспект лекций, задачник, методические указания.

Цели урока:

1. Образовательная:

- ввести понятие арктангенса и арккотангенса, рассмотреть их свойства и графики;

- рассмотреть способ вычисления значения данных аркфункций, решения примеров, их содержащих.

2. Развивающая:

- вырабатывать память учащихся;

- развивать логическое и абстрактное мышление.

3. Воспитательная

- прививать интерес к математике;

- воспитывать положительное отношение к процессу обучения.

Ход урока

I. Организационный момент:

- приветствие класса;

- проверить готовность класса к уроку;

- сообщить тему урока и цели.

II. Изучение нового материала.

Изучение нового материала рекомендуется дать аналогично предыдущему уроку изучения нового материала (Урок №1). Теоретический материал для урока можно найти в первом параграфе, пункты 1.4 и 1.5. Следует проводить сравнение и аналогию с уже изученными арксинусом и арккосинусом, одновременно выявляя их отличия.

III. Домашнее задание.

Продиктовать примеры (один - два, использовать дидактический материал, содержащийся в параграфе 1 п. 1.4).

IV. Подведение итогов.

Ребята, сегодня мы познакомились с новыми обратными тригонометрическими функциями - арктангенсом и арккотангенсом, изучили их свойства, графики, научились находить их значения. Есть что-нибудь непонятное в этой теме?

Если есть, то учитель ещё раз повторяет непонятные положения.

2.5.4 Конспект урока по алгебре №4 (10 класс)

Тема урока:

Обратные тригонометрические функции. Арктангенс и арккотангенс.

Тип урока: обобщение и систематизация знаний.

Методы обучения: наглядный, словесный, практический.

Средства обучения: доска, конспект лекций, задачник, методические указания.

Цели урока:

1. Образовательная:

- обобщить и систематизировать знания и умения по изучаемой теме;

- повторить и закрепить пройденный материал.

2. Развивающая:

- развитие самостоятельности, интеллекта и воли учащихся.

3. Воспитательная

- прививать интерес к математике;

- воспитание целеустремленности и аккуратности.

Ход урока

I. Организационный момент:

- приветствие класса;

- проверить готовность класса к уроку;

- сообщить тему урока и цели.

II. Актуализация базовых знаний

Фронтальный опрос.

1. Дать определение арктангенса, назвать область определения и значений функции, схематично изобразить на доске график.

2. Дать определение арккотангенса, назвать область определения и значений функции, схематично изобразить на доске график.

3. Какими свойствами они обладают?

III. Упражнения (предполагается, что ученики решают самостоятельно у доски, но под контролем учителя).

Рис. 19

Найти arctg (tg ²).

Решение:

Так как , можем выполнить следующие преобразования: аrctg (tg ²) = аrctg (tg(3 + ( ²-3))) = |воспользуемся формулами приведения|= аrctg (tg(²-3)), где уже ²-3 , тогда arctg (tg ²) = =аrctg (tg( ²-3) = ²-3 [16].

Найти наибольшее значение

(sin11x) + и х, при которых оно достигается.

Решение:

(sin11x) Поэтому(sin11x)+ , при этом , если .

Ответ: [19].

IV. Подведение итогов.

Ребята, на этом уроке мы выполнили нелегкую задачу. Мы закрепили изученный нами материал, а также разобрались в непонятных вопросах. Но может, что-нибудь непонятное в этой теме все же осталось?

Если да, то учитель помогает учащимся до конца разобраться в данной теме.

Данный урок нацелен на повторение ключевых вопросов. Задания на этом уроке являются более сложными. Поэтому целесообразно подробно обсуждать ход решения каждой задачи, предлагать учащимся давать объяснения своих выводов. Если возможен не один способ решения упражнения, необходимо найти и обсудить их все.

3. Использование информационных технологий при изучении обратных тригонометрических функций

тригонометрический информационный функция обратный

В многочисленных публикациях, как в нашей стране, так и за рубежом отмечается, что компьютер может быть использован при изучении естественно-математических и гуманитарных дисциплин для решения самых различных задач: выполнения сложных вычислительных операций, анализа результатов учебных экспериментов, построения и интерпретации математических моделей физических, химических и других явлений и процессов. Он может выполнять функции информационной системы, банка данных, автоматизированного справочника. Указываются и многие другие возможности применения компьютеров в учебном процессе.

Отмечается, в частности, что компьютеры могут быть с успехом использованы на всех стадиях учебного занятия: они оказывают значительное влияние на контрольно-оценочные функции урока, придают ему игровой характер, способствуют активизации учебно-познавательной деятельности учащихся. Компьютеры позволяют добиться качественно более высокого уровня наглядности предлагаемого материала, значительно расширяют возможности включения разнообразных упражнений в процесс обучения, а непрерывная обратная связь, подкрепленная тщательно продуманными стимулами учения, оживляет учебный процесс, способствует повышению его динамизма, что, в конечном счете, ведет к достижению едва ли не главной цели собственно процессуальной стороны обучения - формированию положительного отношения учащихся к изучаемому материалу, интереса к нему, удовлетворения результатами каждого локального этапа в обучении [1].

Предлагаемая обучающе-контролирующая программа по теме «Обратные тригонометрические функции», в сущности, представляет собой модель школьного учебника по этой теме. Программа создана в Delphi - это среда разработки, ориентированная на работу в Windows, в основе которой лежит технология визуального проектирования и методология объектно-ориентированного программирования. Для представления программы в Delphi используется разработанный фирмой Borland язык Object Pascal, в основе которого лежит ставший классическим Turbo Pascal. Программа достаточно проста в обращении, имеет удобный интерфейс, а снабжение представляемого материала наглядными графическими изображениями помогает сделать процесс обучения не только эффективным, но и достаточно интересным.

При запуске программы появляется главная форма, содержащая следующие основные пункты меню: «Теория», «Тест», «Журнал», «О программе», «Выход». А теперь - подробнее о каждом пункте.

Название первого пункта меню - «Теория» - говорит само за себя. В нем представлен теоретический материал, рассчитанный на изучение в течение 4 учебных часов, содержащий следующие разделы: «Понятие тригонометрических функций», «Функция, обратная синусу», «Функция, обратная косинусу», «Функция, обратная тангенсу», «Функция, обратная котангенсу»; «Операции над обратными тригонометрическими функциями», «Основные тригонометрические соотношения».

В программе рассмотрены примеры задач (всего - более 30) на нахождение значений аркфункций; построение графиков обратных тригонометрических функций; нахождение функции, обратной тригонометрической, на заданном промежутке, а также примеры на нахождение наибольшего значения обратных тригонометрических функций. Кроме того, в каждом подразделе представлена система заданий для самостоятельного решения, в каждом - от 10 до 15 заданий.

Используемый материал дает возможность составить для учащихся индивидуальные задания с учетом их возможностей, диапазон сложности представленных заданий достаточно широк. Программа поможет экономить время учителя и учащихся в проведении занятий, и, кроме того, не представляет особой трудности внесение корректирующих изменений в ее теоретическую и практическую часть.

Проверка знаний осуществляется с помощью теста (пункт меню «Тест»), что обеспечивает обратную связь и своевременную коррекцию знаний. Тест рассчитан примерно на один урок, в течение которого ученики должны справиться с пятью заданиями. Время на каждое задание не ограничено, поэтому тестирующийся в праве сам решать, сколько ему затратить времени на каждое из заданий. Вопросы выбираются случайным образом из пятнадцати и они полностью соответствуют материалу, представленному в данной курсовой работе, т.е. на нахождение значений аркфункций, нахождение функции, обратной тригонометрической, на заданном промежутке, а также на нахождение наибольшего значения обратных тригонометрических функций. Оценивание происходит по классической схеме, подсчетом количества правильных ответов на предложенные 5 заданий.

Если учитель не успел просмотреть данные после тестирования, то они автоматически заносятся в электронный журнал (пункт меню «Журнал»), который можно открыть и просмотреть. Причем изменять данные без соответствующей подготовки невозможно, что препятствует подмене результатов теста.

Таковы основные преимущества электронной обучающе-контролирующей программы, структурная схема которой представлена на следующей странице (см. рис. 19).

Однако важно отметить, что основной формой организации учебного процесса был и остается урок, и не следует забывать об этом, доверяя образование персональному компьютеру. Как бы ни были развиты информационные технологии, компьютер не заменяет учителя, а является хорошим помощником в достижении высоких и прочных результатов обучения.

Заключение

Тема данной выпускной квалификационной работы продолжает и углубляет изучение обратных тригонометрических функций, что необходимо в настоящее время, так как возрастает ценность образования, изменяется содержание, задачи и цели обучения, а также и требования, предъявляемые к уровню знаний учащихся. А при обучении выполнению заданий, связанных с обратными тригонометрическими функциями, учащийся приобретает способность к научно-исследовательской деятельности.

В работе путем строгого аналитического изложения вводятся некоторые важные понятия и определения, способствующие успешному пониманию темы. А также разобраны основные методические положения, которые способствуют наиболее успешному и качественному изучению обратных тригонометрических функций.

В работе обобщен и систематизирован материал по теме «Обратные тригонометрические функции», создана обучающе-контролирующая программа, разработаны конспекты уроков по данной теме, разработаны методические рекомендации.

Осуществлена апробация занятий в 10 классе физико-математической школы при СГПИ в мае 2004 г. Апробация дала положительные результаты; выявлен довольно высокий уровень усвоения материала по изученному материалу. На занятиях учащиеся принимали активное участие в решении, успешно справлялись с задачами, чувствовалось их стремление выполнять более сложные задания.

В марте 2005 г. разработанные уроки были апробированы на 2 курсе факультета математики и информатики СГПИ (группа 2003-ин) в рамках факультативного курса «Пратикум по решению математических задач», а также на 4 курсе факультета математики и информатики СГПИ (группы 2001-м-1 и 2001-м-2) на факультативных занятиях. После изучения темы был предложен тест для выявления уровня полученных знаний. Задания, которые были использованы при тестировании, можно просмотреть в приложении стр. 71. Опираясь на результаты апробации, можно сделать вывод, что применение новых образовательных технологий при организации изучения темы «Обратные тригонометрические функции» целесообразно, а осуществление текущего контроля в форме компьютерного теста позволяет экономить время и получить достоверную информацию об уровне знаний, умений и навыков студентов по теме «Обратные тригонометрические функции».

По результатам исследования были сделаны доклады на ежегодных научно-практических конференциях в СГПИ на «Неделе науки» в апреле 2003, 2004 и 2005 гг. Подготовлена статья для публикации в сборнике по материалам научно-практической конференции СГПИ, так как доклад на «Неделе науки» факультета математики и информатики в апреле 2005 г.был признан одним из лучших.

Кроме того, составлено методическое пособие «Обратные тригонометрические функции», которое содержит теоретический материал по данной теме, примеры решения ключевых задач, а также задания для самостоятельного решения. Пособие может служить хорошим подспорьем как преподавателю на уроке, так и учащимся при подготовке к занятиям, выполнении домашнего задания и подготовке к сдаче ЕГЭ.

Учебные материалы, представленные в данной работе, включая подобранные для указанной темы системы задач, в том числе: устных, опорных, стандартных, нестандартных и исследовательских, рекомендуются учителям школ для проведения уроков и факультативных занятий по теме «Обратные тригонометрические функции», при подготовке учащихся к ЕГЭ, преподавателям педагогических вузов при подготовке к занятиям по курсу «Элементарная математика и практикум по решению математических задач», «Теория и методика обучения математике», а также студентам для самостоятельного изучения данной темы или подготовке к педагогической практике. Необходимо отметить, что и учащиеся школ могут самостоятельно освоить данную тему с помощью компьютерной обучающе-контролирующей программы, разработанной в рамках выполнения выпускной квалификационной работы.

Литература

1. Боревский Л. Методические основы обучающих компьютерных программ. Математика 21/2002. Еженедельное приложение к газете «Первое сентября». - с. 14-17.

2. Васильева Н.Я. Математика: В помощь выпускнику школы и абитуриенту. - СПб.: Паритет, 2000. -272 с.

3. Ваховский Е.Б., Рывнин А.А. Задачи по элементарной математике повышенной трудности. - М.: Просвещение, 1971 г. - 360 с.

4. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ 11: Учеб. пособие для шк. и кл. с углубл. изучением математики. - Новосибирск: Наука, 1995.

5. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. - М.: Большая медведица, 1999.

6. Гамезо М.В., Герасимова В.С., Горелова Г.Г., Орлова Л.М. Возрастная психология: личность от молодости до старости. - М.: Просвещение, 1992. -

с. 57-78.

7. Денищева Л.О., Бойченко Е.М., Глазков Ю.А., и др. Единый государственный экзамен. Математика. Варианты контрольных измерительных материалов. - М.:Дрофа, 2002. - 80 с.

8. Иванов О.А. Углубленное математическое образование в школе сегодня. Математика в школе 2/2001: научно-теоретический и методический журнал. - М.: ООО «Школьная пресса», - с. 40-44.

9. Иванов В.Л. Структура электронного учебника // Информатика и образование, 2001. №6. - с. 63 - 71.

10. Калинин И.А. Электронный учебник. 8/2000: научно-теоретический и методический журнал. - М.: ООО «Школьная пресса», - с. 75-77.

11. Козлова В.А., Левитас Г.Г. Саморепетитор по математике - М: Школа - Пресс, 1996. -272 с.12. Колягин Ю.М. Методика преподавания математики. Общая методика. - М.: Просвещение, 1975. - с. 79-167.

13. Лысенко Ф.Ф., Неймарк А.Б., Давыдов Б.Е. ЕГЭ - 2004. Математика. Учебно-тренировочные тесты. Ростов - на - Дону: подготовка к ЕГЭ - 2004 по математике. - Ростов - на - Дону: Сфинкс, 2004. -176 с.

14. Математика: задание №1 для 10-х классов (2001-2002 учебный год). - М.: МФТИ, 2003. - 32 с.

15. Математика: решение задания №1 для 10-х классов (2001-2002 учебный год). - М.: МФТИ, 2004. - 16 с.

16. Математика: задание №2 для 10-х классов (2002-2003 учебный год). - М.: МФТИ, 2003. - 32 с.

17. Математика: решение задания №2 для 10-х классов (2002-2003 учебный год). - М.: МФТИ, 2004. - 16 с.

18. Математика: задание №3 для 10-х классов (2003-2004 учебный год). - М.: МФТИ, 2003. - 32 с.

19. Математика: решение задания №3 для 10-х классов (2003-2004 учебный год). - М.: МФТИ, 2004. -16 с.

20. Матрос Д.Ш., Полев Д.М, Мельникова Н.Н. Управление качеством образования на основе новых информационных технологий и образовательного мониторинга. - М.: Педагогическое общество России, 1999. - 96 с.

21. Письменный Д.Т. Математика для старшеклассников. - М.: ООО «Рольф», 1993. - 281 с.

22. Программно-методические материалы. Математика 5-11 кл. Сборник нормативных документов. - М.: Дрофа, 2000. - 67 с.

23. Саакян С.М. Лекционно-семинарская система преподавания математики. // Математика. Еженедельное учебно-методическое приложение к газете «Первое сентября», 1996. - №4. - с. 1.

Размещено на Allbest.ru