Проблема обучения математике в профильных классах на примере темы "Логарифмические уравнения"
Исторические аспекты и современные тенденции развития профильного обучения. Результаты анализа учебных планов школ, участвующих в эксперименте по введению профильного обучения. Изучение темы "Логарифмические уравнения" в классах разного профиля.
| Рубрика | Педагогика |
| Вид | дипломная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 15.01.2014 |
| Размер файла | 513,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
решать уравнения, неравенства и системы с применением графических представлений, свойств функций, производной.
Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для построения и исследования простейших математических моделей.
Требования к подготовке школьников, изучающих математику по программе базового уровня, не предусматривают детального изучения логарифмических уравнений; от учащихся требуется умение решения простейших логарифмических уравнений, в большинстве случаев без глубокого анализа полученного ответа.
В целом, содержание материала темы "Логарифмические уравнения" на базовом и профильном уровнях остается практически одинаковым, однако глубина изучения материала на этих уровнях существенно различается.
§ 2. Примерное распределение времени на изучение темы "Логарифмические уравнения"
В данном параграфе приведены примеры распределения времени на изучение логарифмических уравнений для профилей, в которых математика не является профилирующим предметом (варианты I и II), и для профилей, в которых математика является профилирующим предметом (варианты III и IV). В зависимости от уровня подготовки класса, и при наличии дополнительных учебных часов учитель вносит коррективы в учебное планирование.
С.М. Никольский (10 класс)
I - 2,5 часа в неделю, всего 85 часов.
II - 3 часа в неделю, всего 102 часов.
III - 4 часа в неделю, всего 136 часов.
|
Название темы |
Количество часов по вариантам |
||||
|
I |
II |
III |
IV |
||
|
Логарифмические уравнения |
2 |
2 |
2 |
3 |
А.Н. Колмогоров (11 класс)
I - 2 часа в неделю в первом полугодии, всего 86 часов,
3 часа в неделю во втором полугодии.
II - 3 часа в неделю, всего 102 часа.
III - 4 часа в неделю, всего 136 часов.
|
Название темы |
Количество часов по вариантам |
|||
|
I |
II |
III |
||
|
Решение логарифмических уравнений и неравенств |
4 |
5 |
5 |
А.Г. Мордкович (11 класс)
3 часа в неделю, всего 102 часа.
|
Название темы |
Количество часов |
|
|
Логарифмические уравнения |
3 |
Н.Я. Виленкин (11 класс)
5 часов в неделю, всего 170 часов.
|
Название темы |
Количество часов |
|
|
Логарифмические уравнения |
6 |
[10], [17], [20]
§ 3. Сравнительный анализ содержания школьных учебников по теме
Логико-дидактический анализ представляет последовательность действий: определение цели обучения теме; логический и математический анализ содержания темы (теоретического и задачного материала); постановка основных учебных задач и выбор соответствующих учебно-познавательных действий; отбор основных средств, методов и приёмов обучения; определение форм контроля и оценки процесса и результата учебной деятельности учащихся.
Логический анализ темы, прежде всего, сводится установлению логической организации учебного материала в ней с учётом специфики аксиоматического метода. Математический анализ сводится к выяснению основной математической идеи темы (ответ на вопрос, о чём в этой теме узнаем), к выяснению математических обоснований выполняемых преобразований, исследований, доказательств, к осмыслению применяемых в теме математических методов и приёмов. Результатом выполнения логико-математического анализа будет определение "ядерного" материала, логической строгости его изучения и математических методов и приёмов изучения этого материала. На основе логико-математического анализа теоретического материала темы выполняется анализ математических задач. Результатом анализа математических задач будет в каждой теме своя типология; основные задачи, которые необходимо решать в классе; методическое отношение к остальным задачам.
Проведём логико-математический анализ темы "Логарифмические уравнения" в различных школьных учебниках. С этой целью выясним:
· какие новые понятия рассматриваются, даются ли им определения;
· какие новые утверждения изучаются, что они отражают, каковы основные идеи доказательств;
· какие новые виды задач и примеров рассматриваются в объяснительном тексте, каково их назначение, приводятся ли алгоритмы их решения;
· какие задачи приводятся в задачном материале пункта.
В рассматриваемых учебниках исследуемой теме отводится разное место. Так, в учебнике А.Н. Колмогорова [5] тема "Логарифмические уравнения" изучается в десятом параграфе пункт 39 главы "Показательная и логарифмическая функции". В учебнике С.М. Никольского [4] она изучается в шестом параграфе пункт 6.2 главы "Корни, степени, логарифмы". В учебнике Н.Я. Виленкина [1] во втором параграфе пункты 3-4 главы "Показательная, логарифмическая и степенная функции". А в учебнике А.Г. Мордковича [2] данная тема изучается в пятьдесят втором параграфе главы "Показательная и логарифмическая функции".
Проанализируем пункты этих учебников в отдельности.
В учебнике А.Н. Колмогорова тема "Логарифмические уравнения" объединена с логарифмическими неравенствами в пункте "Решение логарифмических уравнений и неравенств". Сразу (без определения) даётся простейшее логарифмическое уравнение и рассматриваются его свойства на примере логарифмической функции, из определения логарифма делается вывод, что его решением является . Затем рассматриваются примеры решения логарифмических уравнений и неравенств.
В учебнике С.М. Никольского тема "Логарифмические уравнения" выделена отдельным пунктом. Логарифмическое уравнение вводится следующим образом:
"Пусть a - данное положительное, не равное 1 число, b - данное действительное число. Тогда уравнение
называют простейшим логарифмическим уравнением".
далее в параграфе рассматриваются различные примеры решения уравнений.
В учебнике Н.Я. Виленкина данная тема разбита на два пункта и рассматривается одновременно с логарифмическими неравенствами:
1. "Простейшие логарифмические уравнения и неравенства", где вводится понятие логарифмического уравнения, корня уравнения и рассматриваются простейшие примеры:
"Простейшим логарифмическим уравнением (т.е. уравнением, содержащим неизвестное под знаком логарифма) является , где , . Так как равенство равносильно равенству , то получем:
Если , то корень уравнения равен ".
2. "Решение логарифмических уравнений и неравенств", где формулируется теорема:
Уравнение , где , , равносильно системе:
состоящей из уравнения и двух неравенств.
Даётся краткий алгоритм для решения логарифмических уравнений:
Для решения уравнения при , нужно:
1) решить уравнение f (x) =g (x);
2) из найденных корней отобрать те, которые удовлетворяют неравенству f (x) >0 (или, то же самое, неравенству g (x) >0; обычно используют более простое из этих неравенств), а остальные корни отбросить, так как они являются для данного уравнения посторонними.
Далее рассматриваются примеры решения логарифмических уравнений, но в данном учебнике они более сложные.
В учебнике А.Г. Мордковича тема "Логарифмические уравнения" выделена отдельным пунктом. Понятие логарифмического уравнения дано следующим образом:
"Логарифмическими уравнениями называют уравнения вида
,
где a - положительное число, отличное от 1, и уравнения, водящиеся к этому".
Сформулирована теорема:
Если и , то логарифмическое уравнение (где , ) равносильно уравнению .
Выделяются три основных метода решения логарифмических уравнений:
1) Функционально-графический метод. Он основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функции (он был рассмотрен ранее при изучении свойств функции).
2) Метод потенцирования. Он основан на теореме, изложенной в параграфе.
3) Метод введения новой переменной.
Все методы решения логарифмических уравнений рассмотрены в данном параграфе на примерах, или в предыдущих параграфах.
Задачный материал включает: простейшие логарифмические уравнения, а также более сложные, содержащие в подлогарифмическом выражении квадратный трёхчлен и иррациональность, содержащие в основании дробные числа, выражения с переменной и иррациональность, дробные логарифмические уравнения, уравнения, содержащие логарифм в степени, логарифмические неравенства и системы уравнений. В учебниках Колмогорова и Мордковича выделены обязательные задания и задания повышенного уровня. Профильное различие заключается в количестве практического материала и в сложности предлагаемых заданий.
Сравнительный анализ содержания школьных учебников показал, на наш взгляд, что для работы в классе с углубленным изучением математики, т.е. для физико-математических классов, больше всего подходит учебник Н.Я. Виленкина, для общеобразовательных классов учебники С.М. Никольского и А.Г. Мордковича, для гуманитарных классов, в которых математика изучается по минимуму учебник А.Н. Колмогорова.
Специально разработанные учебники по математике для разных профилей на данный момент ещё не получили широкого распространения, поэтому при подготовке к уроку учитель пользуется несколькими учебниками и различными методическими пособиями. Например, при подготовке к уроку математики в классе физико-математического профиля некоторые учителя пользуются одновременно учебниками А.Г. Мордковича и Н.Я. Виленкина, что обусловлено полнотой содержания по данной теме и трудностью подобранного задачного материала. В этом состоит одна из проблем обучения математике в классах разного профиля.
§ 4. Модульная карта изучения темы "Логарифмические уравнения"
|
1. Учебная цель: познакомить учащихся с логарифмическими уравнениями и способами их решения, научить решать логарифмические уравнения. |
||
|
2. Блок информации: учебник |
||
|
Урок 1. Решение логарифмических уравне-ний (с использованием модульного обучения и лекционного метода. Промежуточный контроль: Работа по карточкам, индивидуальная работа, самостоятельная работа, взаимоконтроль и взаимопомощь. Проверка домашних дифференцированных работ. Урок 2. "Подготовка к контрольной работе". Взаимоконтроль, выставление рейтинговых оценок, самооценка. Урок 3. Контрольная работа по теме: "Логарифмические уравне-ния". Промежуточный контроль: самоконтроль, взаимоконтроль, домашняя дифференцированная работа, контроль учащихся при выполнении заданий. |
Содержание карточек. 1) Решите уравнения: , , , , , на "3" , , . 2) Решите уравнения: , , , Найдите больший корень уравнения. Решите уравнения: на "4" , . 3) Решить уравнения: , , , на "5" Самостоятельная работа "Логарифмические уравнения". Решить уравнения: На "3": , , . На "4": , , . На "5": , , . На данном этапе решаются задания аналогичные заданиям в контрольной работе. Все задания поделены на три уровня. Со слабыми учениками решение всех заданий осуществляется на доске. Учащиеся, имеющие более высокие знания, решают самостоятельно, а затем проверяют своё решение по листу самоконтроля. Контрольная работа предполагает задания на "3", "4" и "5". Приведём примеры заданий: На "3": Найти x, если: . Найти область определения функции: . Решите уравнение: На "4": Найти x, если: . Найти область определения функции: . Решите уравнение: . На "5": Найти x, если: . Найти область определения функции: . Решите уравнение: |
§ 5. Методические рекомендации к изучению темы "Логарифмические уравнения"
5.1 Физико-математический профиль
Цели: раскрыть понятие "логарифмическое уравнение"; ознакомить учащихся с основными приёмами и методами решения уравнений этого вида; обеспечить овладение всеми учащимися основными алгоритмическими приёмами решения логарифмических уравнений.
Урок 1 "Решение логарифмических уравнений".
Тему лучше изложить лекционно. Содержание лекции может быть следующим:
Простейшим логарифмическим уравнением (то есть уравнением, содержащим неизвестное под знаком логарифма) является , где , .
Логарифмическая функция возрастает (или убывает) на промежутке и принимает на этом промежутке все действительные значения. По теореме о корне: пусть функция возрастает (или убывает) на промежутке , число - любое из значений, принимаемых на этом промежутке. Тогда уравнение имеет единственный корень в промежутке . Отсюда следует, что для любого данное уравнение имеет и притом только одно решение. Из определения логарифма числа сразу следует, что является таким решением.
То есть если , , то корень уравнения равен .
Основной способ решения логарифмических уравнений - это потенцирование, в результате чего получаем обычное алгебраическое уравнение. Найденные корни необходимо проверить, так как возможны случаи появления посторонних корней.
При решении логарифмических уравнений и неравенств используйте свойства логарифмической функции. Для этого левую и правую части представляйте в виде логарифмов с одинаковыми основаниями. Необходимым шагом в решении является учёт области определения логарифмической функции.
Теорема: Уравнение , где , , равносильно системе:
состоящей из уравнения и двух неравенств.
(В этой системе можно опустить одно из неравенств, так как каждое из них вытекает из уравнения и другого неравенства).
Таким образом для решения уравнения при , нужно:
1) решить уравнение f (x) =g (x);
2) из найденных корней отобрать те, которые удовлетворяют неравенству f (x) >0 (или, то же самое, неравенству g (x) >0; обычно используют более простое из этих неравенств), а остальные корни отбросить, так как они являются для данного уравнения посторонними.
Итак, логарифмическим называется уравнение, содержащее неизвестную величину под знаком логарифма.
Выделяют следующие основные методы решения логарифмических уравнений:
1. На основании определения логарифма.
Так решаются уравнения вида .
Приведём пример такого уравнения и решим его.
Пример: Решить уравнение .
Решение: ОДЗ: .
По определению логарифма имеем: (по формуле ).
Отсюда:
Проверка: - верно.
- верно.
Ответ:
2. Метод потенцирования.
Суть метода заключается в следующем: с помощью формул уравнение привести к виду . Это уравнение (при , ) равносильно системе
Пример: Решить уравнение .
Решение:
ОДЗ:
Перенесём из правой части в левую: , а из левой в правую: , получим:
Применим свойства логарифмов:
; .
Проверка:
1) , - корень.
2) - не существует.
Ответ: .
3. Метод подстановки.
Обычную замену (подстановку) производят после некоторых преобразований
Пример: Решить уравнение .
Решение:
ОДЗ:
Используя формулы, запишем уравнение так:
, то есть .
Заменяем . Тогда , то есть .
Отсюда ,.
Поэтому и .
Отсюда и
Сделав проверку можно убедиться, что оба корня - корни данного уравнения.
Ответ: , .
4. Метод приведения к одному основанию.
Обычно условие примера подсказывает, к какому основанию следует перейти. Используются формулы:
.
Как правило, метод приведения к одному основанию "работает" с методом подстановки.
Пример:
Решить уравнение .
Решение:
ОДЗ:
, перейдём к основанию 2:
, то есть
.
Обозначим . Тогда , то есть
,
.
Значит, .
Ответ: .
5. Метод логарифмирования.
Обычно логарифмируют уравнения вида . Поясним этот метод на примере.
Пример: Решить уравнение .
Решение:
Область допустимых значений переменной x дана в условии задания.
Логарифмируем по основанию 10:
, то есть
.
Обозначим . Тогда , то есть
и
Получаем: и и .
Ответ: , .
6. Графический метод.
Пример: Решить графически уравнение .
Решение:
ОДЗ:
В одной и той же системе координат строим графики функций и
Абсцисса точки пересечения графиков функций и равна примерно двум. Нетрудно проверить, что это точный корень данного уравнения.
Проверка:
Ответ: .
Домашнее задание можно предложить следующее: составьте опорный конспект по теме "Логарифмические уравнения".
Заполните следующую таблицу:
Таблица "Методы решения логарифмических уравнений".
|
Виды логарифмических уравнений |
Методы решения |
Примеры логарифмических уравнений |
|
Решите примеры из заполненной таблицы.
Урок 2-3 следует начать с письменной проверки опорного конспекта (не более 10 минут). После чего можно предложить выполнить следующие задания.
Задание 1: Определите, каким методом следует решить уравнение.
1) .
2) .
3) .
4) .
5) .
6) .
Задание 2: Проверьте по листу самоконтроля, правильно ли вы определили метод решения.
Задание 3: Решите уравнения задания 1, используя правильный метод решения.
Задание 4: Осуществите взаимопроверку задания 3 по листу самоконтроля.
Задание 5: Тестовое задание: Решите предложенные уравнения и выберите правильный ответ из предложенных четырёх.
1)
а) 1; - 5б) - 2; 1в) - 5; 4г) 1.
2)
а) - 2б) 2в) г) - 1.
3)
а) - 5; 5б) - 5в) г) 5.
4)
а) 4; 8б) в) 2; 3г) 8; 2.
Задание 6: Сдайте учителю на проверку ответы предложенных заданий.
Задание 7: Решите следующие уравнения, сложность которых оценена в баллах.
(3), (3),
(4), (4),
(5).
(5),
(5).
Задание 8: Проверьте решение уравнений по листу самоконтроля, и в соответствии с набранными баллами поставьте себе оценку.
25-29 баллов - оценка "5",
20-25 баллов - оценка "4",
13-19 баллов - оценка "3".
Задание 9: Выполните предложенную самостоятельную работу, выбирая тот вариант, который вы решите сами (самостоятельная работа находится в модульной карте и рассчитана на три уровня: на "3", "4", "5"). [1], [2], [11]
В дальнейшем, при окончании изучения темы "Логарифмические уравнения", необходимо рассмотреть уравнения с параметрами, которые включаются в задания ЕГЭ, например: "Найдём все значения , при которых уравнение имеет единственный корень”.
При наличии времени на уроках рекомендуется рассмотреть так называемые "нестандартные уравнения". Приведём пример такого уравнения: "Решить уравнение ”.
5.2 Общеобразовательный и гуманитарный профиль
Для классов общеобразовательного профиля излагать тему можно аналогичным образом. При этом раскрываются подробно три основных метода решения логарифмических уравнений:
1) Функционально-графический метод.
2) Метод потенцирования.
3) Метод введения новой переменной.
Из-за уменьшения количества часов, выделяемых на изучение данной темы, остальные методы можно назвать для ознакомления учащихся, не уделяя им много времени.
На уроке должно больше внимания уделяться практической работе и решению более лёгких уравнений (чтобы лучше разобрались отстающие ученики).
В гуманитарных классах меньше внимания уделять теоретическому аспекту, нужно познакомить учащихся с тремя выше названными методами решения. Далее отрабатываются умения решать наиболее распространённые логарифмические уравнения.
Задания составляются с учётом уровня подготовки учащихся и требованиями стандарта образования.
§ 6. Использование компьютерных технологий при изучении темы "Логарифмические уравнения"
При объяснении темы "Логарифмические уравнения", во время раскрытия методов решения логарифмических уравнений можно воспользоваться мультимедийной программой "Математика. Решение уравнений и неравенств" [22]. Её курс построен на визуальном и фонематическом восприятии информации. На экране воспроизводится уравнение и его решение. Объяснение решения сопровождается при помощи звукового ряда и выделения основных моментов решения.
Современный учебно-методический комплекс "Алгебра и начала анализа. Итоговая аттестация выпускников" [21] предназначен для отработки умений решать различные типы уравнений, в том числе логарифмических. Он может служить для отработки навыков решения логарифмических уравнений, снабжён подсказками и ссылками на теоретическую часть.
При помощи этой программы, используя компьютерное обеспечение, можно проводить уроки по отработке навыков решения уравнений. В данном случае учитель будет играть роль контроллера учебного процесса. Помощником при решении уравнений будет само программное обучение.
Обе программы содержат теоретический и практический материал.
Заключение
Данная выпускная квалификационная работа посвящена проблемам обучения математике в профильных классах.
Проделанная работа позволяет сделать вывод о реальности возникающих проблем при введении профильного обучения в России, а также актуальности их решения на современном этапе развития общества.
Рассмотрев изучение темы "Логарифмические уравнения" в классах различных профилей, мы можем сделать вывод, что количества часов, отводимых на изучение конкретной темы, влияет на глубину и объём изучаемого материала, а также на методы его преподавания.
Проведён анализ методической литературы и школьных учебников с точки зрения обучения решению логарифмических уравнений в профильных классах.
Разработан модуль "Логарифмические уравнения" и урок модульного обучения для физико-математического профиля.
Даны рекомендации по обучению теме в общеобразовательных и гуманитарных профильных классах.
Рассмотрены мультимедийные программы, которые можно применять при обучении учащихся теме: "Логарифмические уравнения".
Работа может быть интересна как с теоретической, так и практической точки зрения для студентов и молодых специалистов.
Литература
1. Алгебра и математический анализ.11 кл.: Учеб. пособие для шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд. - 8-е изд., стереотип. - М.: Мнемозина, 2001. - 288 с.
2. Алгебра и начала анализа.10-11 кл.: В двух частях. Ч.1: Учеб. для общеобразоват. учреждений. / А.Г. Мордкович. - 5-е изд. - М.: Мнемозина, 2004. - 375 с.
3. Алгебра и начала анализа.10-11 кл.: В двух частях. Ч.2: Задачник для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович, Л.О. Денищева, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская; Под ред.А.Г. Мордковича. - 5-е изд. - М.: Мнемозина, 2004. - 315 с.
4. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразоват. учреждений/ С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. - М.: Просвещение, 2001. - 383 с.
5. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. сред. шк. /А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.: Под ред.А.Н. Колмогорова. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1991. - 320 с.
6. Башмаков М. Профили и уровни обучения математике. \\ Математика. - 2006. - №14 - с.18-21.
7. Данищева Л.О., Краснянская К.А. Профильный экзамен по математике. \\ Оценка качества образования. - 2007. - №1 - с.41-47.
8. Дорофеев Г.В., Кузнецов Л.В., Седова Е.А. Об учебнике "Алгебра и начала анализа" для профильного курса математики в 10 классе. \\ Народное образование. - 2002. - №9 - с.38-39.
9. Ермаков Д., Петрова Г. Элективные учебные курсы для профильного обучения. \\ Народное образование. - 2002. - №2 - с.114-118.
10. Завич Л.И., Чинкина М.В. Классы с углубленным изучением материала. \\ Математика в школе. - 2004. - №6 - с.17-23.
11. Колягин Ю.М., Оганесян В.А., Саннинский В. Я, Луканкин Г.Л. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. Учебное пособие для студентов физ. - мат. пед. институтов. М.: "Просвещение", 1975. - 462с.
12. Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике: Алгебра. Тригонометрия.: Учебное пособие физ. - мат. спец. пед. институтов. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: ABF, 1995. - 352 с.
13. Министр образования России В.М. Филиппов. Об утверждении концепции профильного обучения на старшей ступени общего развития. \\ Народное образование. - 2002. - №9 - с.29.
14. Новожилова Н., Фирсова М. Курсы по выбору: отбор содержания и технологии проведения. \\ Народное образование. - 2004. - №2 - с.29.
15. Профильное обучение: вопросы и ответы. \\ Математика. - 2006. - №14 - с.2-9.
16. Рушель Р. О попытках введения профильной дифференциации в русской школе в 19-начале 20 века. \\ Математика. - 2006. - №14 - с.16-18.
17. Саакян С.М., Дудницин Ю.П. Примерное планирование учебного материала по математике в 10-11 классах. \\ Математика в школе. - 2004. - №7 - с.2-9.
18. Смирнова И.М. Профильная модель обучения математике. \\ Математика в школе. - 1997. - №1 - с.32-35.
19. Стандарт среднего (полного) общего образования по математике. \\ Математика. - 2006. - №14 - с.9-16.
20. Тульчинская Е.Е. Поурочное планирование и контрольные работы по алгебре и началам анализа. \\ Математика в школе. - 2005. - №8 - с.32-35.
21. Мультимедийная программа: "Алгебра и начала анализа. Итоговая аттестация выпускников"
22. Мультимедийная программа: "Математика. Решение уравнений и неравенств"
23. Электронный ресурс: http://do. rksi.ru
24. Электронный ресурс: http://festival.1september.ru
25. Электронный ресурс: http://portfolio.1september.ru
26. Электронный ресурс: www.1september.ru
Приложения
Приложение 1
Лист самоконтроля
Задание 1: Определите, каким методом следует решить уравнение.
1) .
2) .
3) .
4) .
5) .
6) .
Ответы:
1) Методом потенцирования.
2) Методом приведения к одному основанию.
3) По определения логарифма.
4) Методом подстановки.
5) Методом логарифмирования.
6) Графическим методом.
Задание 3: Решите уравнения задания 1.
1)
Решение:
ОДЗ: (1)
Перепишем уравнение так:
Потенцируем:
, то есть
Знак модуля можно опустить, так как из первого условия (1) следует, что . Поэтому имеем
то есть
При этих значениях условия (1) выполняются. Ответ:
2) .
Решение:
Отметим, что Переходим к основанию 2:
Обозначим Тогда
Отсюда (т.е. ) и
Тогда
Ответ: .
3) .
Решение:
По определению логарифма
Отсюда
Ответ:
4) .
Решение:
Отметим, что . (1)
Упрощаем выражение: тогда с учётом (1) имеем Обозначим . Тогда . Отсюда , , . Получаем
и
Ответ: ,
5) .
Решение:
. Проведём некоторые упрощения:
Поэтому уравнение имеет вид:
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию x:
Обозначим . Тогда
Следовательно: или
и
Ответ: , .
6) .
Решение:
ОДЗ:
В одной и той же системе координат строим графики функций и
Абсциссы точек пересечения графиков функций и равны примерно 1 и 2. Нетрудно проверить, что это корни данного уравнения.
Проверка: - верное равенство,
- верное равенство.
Ответ: , .
Задание 5: Тестовое задание:
1) а;
2) в;
3) г;
4) а.
Решение тестового задания:
Решите уравнение:
1) .
Решение:
Данному уравнению удовлетворяют те значения x, для которых выполнено равенство . Мы получили квадратное уравнение , корни которого равны и . Следовательно, числа и - решения данного уравнения.
Ответ: , .
2) .
Решение:
Это уравнение определено для тех значений x, при которых выполнены неравенства и . Для этих x данное уравнение равносильно уравнению , из которого находим . Число не удовлетворяет, однако, неравенству . Следовательно, данное уравнение корней не имеет.
Ответ: корней нет.
3) . (1)
Решение:
Учитывая, что , преобразуем данное уравнение к виду (2)
Это уравнение, как легко установить, имеет решения , .
Обратим внимание на то, что в уравнении (2), выражение определено для всех , в то время как в исходном уравнении (1) соответствующее выражение определено лишь при . Проверка показывает, что из двух решений уравнения (2) лишь является решением уравнения (1).
Ответ: .
4) .
Решение:
Обозначим: , получаем уравнение
Ответ:
Задание 7: Решите уравнения:
.
Решение:
Потенцируя по основанию 2, получаем
Подставляя эти решения в уравнение, убеждаемся в том, что они являются решениями и этого уравнения.
Ответ:
.
Решение:
Преобразуем сумму логарифмов в логарифм произведения: .
Это уравнение имеет решения (смотри предыдущий пример) Подставляя в исходное уравнение, получаем верное равенство , значит - решение исходного уравнения. При подстановке уже в первом слагаемом левой части получаем выражение: , которое не определено. Значит, не является решением исходного уравнения.
Ответ: .
.
Решение:
Преобразуем данное уравнение:
Отсюда , . Для все выражения, стоящие под знаком логарифмов в исходном уравнении, положительны, значит - решение этого уравнения. Для не определён уже , поэтому не является решением исходного уравнения.
Ответ: .
.
Решение:
Пусть , тогда и, значит,
Это число не удовлетворяет неравенству: , поэтому не является решением исходного уравнения.
Пусть , тогда и исходное уравнение сводится к уравнению . Его решением является . Это же значение x является и решением исходного уравнения.
Ответ: .
.
Решение:
Обозначим , перейдём к основанию 2 и воспользуемся формулой для логарифма произведения. Будем иметь
В результате исходное уравнение запишется в виде
Решив это уравнение, найдём, что . Следовательно, получаем
Ответ:
. (1)
Решение:
(1) запишется в виде
, то есть .
Решаем это уравнение методом введения новой переменной. Положим , получим: , корни которого , .
Теперь задача свелась к решению совокупности двух уравнений: ; .
Из первого уравнения получаем , откуда .
Из первого уравнения получаем , откуда .
Проверка показывает, что оба найденных значения и являются корнями уравнения (1).
Ответ: ,
.
Решение:
Так как то заданное уравнение можно переписать следующим образом:
.
Введём новую переменную, положив . Получим:
.
Но
Ответ:
Задание 8: Проверьте решение уравнений по листу самоконтроля, и в соответствии с набранными баллами поставьте себе оценку.
25-29 баллов - оценка "5",
20-25 баллов - оценка "4",
13-19 баллов - оценка "3".
Задание 9: Выполните предложенную самостоятельную работу, выбирая тот вариант, который вы решите сами (самостоятельная работа находится в модульной карте и рассчитана на три уровня: на "3", "4", "5").
(5), (1)
Решение:
(1) запишется в виде
, то есть .
Решаем это уравнение методом введения новой переменной. Положим , получим: , корни которого , .
Теперь задача свелась к решению совокупности двух уравнений: ; .
Из первого уравнения получаем , откуда .
Из первого уравнения получаем , откуда .
Проверка показывает, что оба найденных значения и являются корнями уравнения (1).
Приложение 2
Решение задания из ЕГЭ и "нестандартного уравнения"
Пример: Найдём все значения , при которых уравнение
. (1)
имеет единственный корень.
Решение:
Преобразуем уравнение к виду .
Далее получаем , откуда
. (2)
Уравнение (1) имеет единственный корень в следующих случаях:
1) уравнение (2) имеет единственный корень и этот корень удовлетворяет уравнению (1);
2) уравнение (2) имеет два корня, но из этих корней один является посторонним для уравнения (1).
Рассмотрим первый случай. Уравнение (2) имеет один корень, если его дискриминант D равен нулю. Имеем
.
при или при . Случай, когда , отпадает, так как при правая часть уравнения (1) не определена. Если , то из уравнения (2) находим - единственный корень уравнения (2) и, как показывает проверка, удовлетворяющий и уравнению (1).
Рассмотрим второй случай, когда . В этом случае уравнение (2) имеет два корня:
.
Чтобы найденные корни были корнями уравнения (1), необходимо и достаточно, чтобы они удовлетворяли неравенству . Значит, из найденных корней уравнения (2) один будет корнем уравнения (1), а другой не будет корнем этого уравнения тогда и только тогда, когда
или
где , .
Решим первую систему. Имеем:
откуда имеем , то есть .
Решим вторую систему. Имеем:
Эта система не имеет решений, так как либо , либо , то есть либо первое, либо второе неравенство последней системы не имеет решений. Итак, второй случай имеет место при .
Окончательно получаем, что уравнение (1) имеет единственный корень, если или если .
При наличии времени на уроках рекомендуется рассмотреть так называемые "нестандартные уравнения". Приведём пример такого уравнения:
Пример: Решить уравнение
. (1)
Решение:
Заметив, что , а , перепишем уравнение (1) в виде
. (2)
Нетрудно показать, что . Для этого достаточно переписать это неравенство в виде и воспользоваться неравенством , если . В то же время . В самом деле, , а (тогда в силу убывания функции ) .
Итак, левая часть уравнения (2) не меньше чем 2, а правая не больше чем 2, значит, каждая из них равна 2, то есть мы приходим к системе уравнений
или
Из второго (более простого) уравнения системы получаем . Тогда первое уравнение системы принимает вид , откуда .
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Средства систематизации учащихся при обучении старших школьников и их влияние на математическую подготовку. Методика обучения учащихся систематизации учебного материала на уроках алгебры. Цели и содержание темы "Показательные и логарифмические уравнения".
дипломная работа [100,1 K], добавлен 30.05.2015Профильное обучение как вид дифференцированного обучения. Создание и функционирование филологических профильных классов. Мониторинг организации допрофильной подготовки и результативности функционирования. Система управления учебными заведениями.
статья [23,8 K], добавлен 19.02.2009Опыт профильного обучения в Казахстане. Цели и возможные формы организации профильного обучения в модели 12-летнего образования, разработка его методики. Анализ программы подготовки учащихся класса технологического профиля на примере профессии "Швея".
дипломная работа [1,9 M], добавлен 29.05.2015Сущность и эффективность профильного обучения, опыт его применения за рубежом и в России. Взаимосвязь профильного обучения со стандартами общего образования и единым государственным экзаменом, его психолого-педагогические проблемы и пути разрешения.
курсовая работа [201,5 K], добавлен 18.08.2009Освоение графических редакторов как проблема методики преподавания информатики в старших классах. Элективные курсы профильного обучения как форма организации учебной деятельности. Условия формирования практических навыков работы в графическом редакторе.
дипломная работа [1,2 M], добавлен 20.02.2012Концепция профильного обучения в старшей школе. Задачи организации функционирования межшкольных профильных групп. Модели межшкольного (сетевого) взаимодействия. Разработка целевых региональных программ развития образования и его cовершенствование.
методичка [544,0 K], добавлен 25.02.2009Психолого-педагогические основы развития одарённых учащихся в процессе обучения математике. Методические особенности постановки обучения математике в 5-6 классах, направленного на развитие одарённых детей. Реализация данных целей во внеклассной работе.
дипломная работа [386,3 K], добавлен 19.04.2011Основы использования тестов в процессе обучения математике. Значение тестового контроля в условиях реформы российского образования. Использование информационных технологий в процессе обучения математике в старших классах общеобразовательных школ.
дипломная работа [629,0 K], добавлен 22.10.2012Выборка респондентов для мониторингового исследования эффективности обучения. Условия обеспечения доступности учащихся к качественному образованию. Обеспеченность учебниками, учебными пособиями, программами для профильных классов. Результаты аттестации.
методичка [79,4 K], добавлен 25.02.2009Новые требования к системе и качеству образования. Роль образования на современном этапе развития страны. Введение профильного обучения в старших классах средней школы. Концепция российского образования.
реферат [28,1 K], добавлен 14.06.2007
