Прикладна спрямованість курсу геометрії і формування уявлень в учнів про математичне моделювання

Размещено на http://www.allbest.ru/

Зміст

Вступ

1. Математичне моделювання

1.1 Що таке математичне моделювання

1.2 Основні етапи математичного моделювання. Приклади задач

1.3 Класифікація моделей

2. Роль і місце моделювання та наочності у формуванні евристичної діяльності учнів

3. Аналіз програм і підручників

4. Текстові задачі виробничого, фізичного змісту та методи їх розв'язування

5. Основні методи розв'язування екстремальних задач

6. Екстремальні задачі в курсі геометрії

7. Прикладні задачі як засіб реалізації між предметних зв'язків

Висновки

Список використаної літератури

математичний моделювання учень геометрія

Вступ

В даній курсовій роботі на тему „Прикладна спрямованість курсу геометрії і формування уявлень в учнів про математичне моделювання" я хотів би звернути увагу на проблему, яка існує в курсі геометрії та в курсі математики взагалі. Передусім необхідно згадати, що учні не вивчають моделювання як такого і дуже мало увагу приділяють прикладним задачам.

Також тут я буду намагатися як можна ширше розкрити дану проблему і наведу кілька прикладів прикладних задач, які на мою думку потрібно було б розглядати в курсі геометрії і сприяти кращому розвитку учнів. Актуалізую увагу на трьох етапах розв'язування таких задач.

Метою цієї роботи - це показати всю значимість моделювання та прикладних задач, необхідність розвитку та дослідження даного питання. Ці задачі потрібні для кращого сприйняття учнями того теоретичного матеріалу, який вивчається на уроках. Самі учні зрозуміють всю важливість тієї чи іншої теми з геометрії чи курсу взагалі. Також метою є показати, що прикладні задачі є джерелом між предметних асоціацій, а також визначити за допомогою конкретних прикладних задач шляхи реалізації між предметних зв'язків математики та інших навчальних дисциплін у процесі навчання геометрії.

Завданням дослідження є проаналізувати програми і підручники, які діють на цей час та проспостерігати за навчанням в школі та вивченням учнями тем, які мають прикладний характер.

На мою думку ця проблема на даний час не є дуже значною, так як в математиці існують більш значні проблеми, такі як скорочення курсу та годин, але все ж таки вона потребує уваги і розв'язання. І перш за все вона повинна бути розв'язана як найкраще для учнів, так як учні є найголовнішим елементом навчання.

1. Математичне моделювання

1.1 Що таке математичне моделювання

З середини ХХ ст. в самих різноманітних галузях людської діяльності стали широко застосовувати математичні методи в ЕВМ. Виникли такі нові дисципліни, як „математична економіка", „математична хімія", „математична лінгвістика" і т. д., які вивчали математичні моделі відповідних об'єктів і явищ, а також методи дослідження цих моделей.

Математична модель - це наближений опис будь - якого ряду явищ чи об'єктів реального світу на мові математики. Основна мета моделювання - дослідити ці об'єкти і передбачити результати майбутніх досліджень. Хоча моделювання - це ще й і метод пізнання навколишнього світу, який дає можливість керувати ним.

Математичне моделювання і пов'язаний з ним комп'ютерний експеримент незамінний в тих випадках, коли натурний експеримент неможливий або важко застосовний по тим чи іншим причинам. Наприклад, неможливо поставити натурний експеримент з історії, щоб перевірити „що було б, якби...". Неможливо перевірити правильність тієї, чи іншої космологічної теорії. Проте все це можливо здійснити на комп'ютері, побудувавши передчасно математичні моделі, явищ, які вивчаються.

Математична модель - це спеціальний спосіб наближеного опису деякої проблеми, який дозволяє при її аналізі застосовувати формально - логічний апарат математики. Математичне моделювання - один з най важливіших методів пізнання. На протязі віків фізики з успіхом застосовували цей метод, досягаючи відатних успіхів. Ньютонівська механіка, квантова механіка, теорія відносності і другі математичні моделі надійно слугують людині, створюючи необхідну розрахункову базу його практичної діяльності.

При вивченні математики школярі, як правило, макють справи з уже готовими математичними моделями. В цьому поані шкільний курс фізики вігідно відрізняється тим, що етап побудови математичної моделі досліджуваного явища детально обговорюється і математична модель народжується загальними зусиллями учня і викладача. При вивченні моделей, якими користуються у фізиці, звертає увагу їхня різноплановість. Навіть при вивченні одного і того ж явища використовується цілий набір моделей. Цей факт є відображенням тієї обставини, що кожна з моделей дає тільки наближений опис явища, причому в різних моделях знаходять своє івдображення ті чи інші властивості явища. В курсі математики подібних прикладів, нажаль, немає. Дослідження отриманого рішення часто зводиться до підстановки знайденого рішення в досліджувану модель, наприклад систему рівнянь або ж полягає у повторенні і перевірці всіх міркувань в знайденому розв'язку. Якщо первий варіант є тільки внутрішньомодельною перевіркою, то другий виконується учнями без належного ентузіазму і віднімає багато невиправданого часу. Замість того, навіть на високому рівні представленому в шкільному курсі навчання внутрішньомодельному етапі розвязку є великі недоліки. Побудувавши математичну модель, учні не проводять дослідження результатів моделі в плані отримання практичного результата. Почавши досліджувати модель, учні не звертаються до вихідних параметрів. Учнів взагалі не знайомлять із загальними методами перетворення побудованої моделі, які призводять її до вигляду, більш зручного для практичного використання.

1.2 Основні етапи математичного моделювання. Приклади задач

І. Побудова моделі. На цьому етапі задається деякий „нематематичний" об'єкт - явище природи, конструкція, економічний план, виробничий процес та ін. При цьому, як правило, чіткий опис ситуації досить важкий. Спочатку виявляються основні особливості явища і зв'язки між ними на якісному рівні. Потім знайдені якісні залежності формулюються на мові математики, тобто будується математична модель. Це самий важкий етап моделювання.

ІІ. Реалізація моделі математичними методами. На даному етапі побудована раніше модель реалізується за допомогою математичного апарату, тобто переноситься на мову формул, матриць, графіків та інших математичних засобів розв'язування задачі.

ІІІ. Аналіз одержаних результатів та перенесення їх на образ, що вивчається. Тут висновки, що були одержані з моделі на мові математики, переносяться на мову тієї області, звідки була розв'язана задача. Також аналізуються результати і співставлення їх з теоретичними наслідками з моделі в інтервалі визначеної точності.

Користуючись цією схемою діяльності математичного моделювання, покажемо кілька прикладів задач, що розв'язуються за допомогою математичної моделі.

Задача (аналітична геометрія, тема: „Скалярний добуток векторів"). Обчислити, яку роботу виконує сила F (3; -2; -5), коли точка її прикладання, рухаючись прямолінійно, переміщується з положення А (2; -3; 5) в положення В (3; -2; -1).

Розв'язання (за етапами евристичної схеми).

І. Побудова моделі.

Позначимо роботу буквою А, вектор АВ через s, тоді з аналізу слідує, що А = F ? S. Отже, слід знайти скалярний добуток двох векторів F та s, заданих своїми координатами.

ІІ. Реалізація моделі математичними методами.

Скалярний добуток двох векторів, заданих своїми координатами, дорівнює сумі добутків відповідних координат цих векторів. Звідси слідує, що якщо: F (3; -2; -5), S (3-2; -2-(-3); -1-5) = S (1; 1; -6), то А = 3 ? 1 + (-2) ? ? 1 + (-5) ? (-6) = 3 - 2 + 30 = 31.

ІІІ. Аналіз одержаних результатів та їх перенесення на образ, що вивчається.

Сила вимірюється в ньютонах, переміщення в метрах, робота - в джоулях, тому шукана робота дорівнює 31 Дж.

Задача.

Поблизу заводу А будується за наміченою прямою залізниця до міста В. Під яким кутом до запроектованої залізниці потрібно провести шосе від заводу А, щоб доставка вантажів з А до В була найдешевшою, якщо вартість1 т ? м шосейною дорогою в m разів дорожча, ніж залізницею.

Розв'язання

І. Побудова моделі.

Позначимо місце розташування заводу точкою А. Місто В - точкою В, N - проекція точки А на пряму, що зображає залізницю, Х - місце будівництва станції перевантаження з автотранспорту на залізничний транспорт.

Нехай |NB| = а (км); |АN| = с, k - грн. - вартість перевезення 1 тонни на 1 км по залізниці; m · k грн. - вартість перевезення 1 тонни на 1 км по шосе;

y (m) - план перевезень;

(км),

(км).

Мал. 1

Вартість перевезення:

Кут б потрібно вибрати таким, щоб мінімізувати значення функції g(б) (очевидно, що б є (0?; 90?]). Ця задача рівносильна знаходженню точки мінімуму функції

ІІ. Реалізація моделі математичними методами.

Знайдемо точку мінімуму функції:

Побудуємо діаграму знака похідної функції

Отже, - точка мінімуму.

ІІІ. Аналіз одержаних результатів та їх перенесення на образ, що вивчається.

Для мінімізації транспортних витрат шосе потрібно прокласти під кутом до залізниці.

На цих двох задачах ми розглянули тільки саму суть і застосування трьох етапів математичного моделювання.

1.3 Класифікація моделей

Класифікувати моделі можливо за різними критеріями. Наприклад, за характером вирішуваних проблем моделі можуть бути розділені на функціональні і структурні. В першому випадку всі величини, які характеризують явище чи об'єкт виражаються кількісно. При цьому одні з них розглядаються як незалежні змінні, а інші - як функції від цих величин. Математична модель зазвичай являє собою систему рівнянь різного типу (диференціальних, алгебраїчних і т. д.), які встановлюють кількісні залежності між величинами, що розглядаються. В другому випадку модель характеризує структуру великого об'єкта, який складається з окремих частин, між якими існує певний зв'язок. Як правило ці зв'язки не піддаються кількісним вимірам. Для побудови таких моделей зручно використати теорію графів. Граф - це математичний об'єкт, що представляє собою деяку множину точок (вершин) на площині або в просторі, деякі з яких з'єднані прямими (ребрами).

За характером вихідних даних і результатів пророкувань моделі можуть бути розділені на детерміновані та імовірно - статистичні. Моделі першого типу дають визначені, однозначні результати. Моделі другого типу засновані на статистичній інформації, а результати, отримані з їх допомогою мають імовірний характер.

2. Роль і місце моделювання та наочності у формуванні евристичної діяльності учнів

Метод моделювання використовується в усіх сферах наукового пізнання, йому притаманна велика евристична сила. За його допомогою вдається звести вивчення складного до простого, незнаного до знайомого, зробити складний об'єкт доступним для ретельного і всебічного вивчення.

„Моделювання в основному використовується при розв'язанні неалгоритмічних задач для подолання труднощів, які виникають в ході розв'язання. Ці труднощі можуть бути, по-перше, суто психологічного характеру, пов'язані зі складністю задачі, з тим, що для її розв'язання необхідно уявити собі всі умови задачі, всі зв'язки і відносини між даними і невідомими в легкооглядній формі. Для подолання цих труднощів використовуються всілякі моделі у вигляді схем, креслень тощо, які називають допоміжними моделями задачі. При цьому пошук розв'язання і саме розв'язання здійснюється при опорі на допоміжну модель. По-друге, труднощі можуть бути змістовного характеру, коли для розв'язання даної задачі суб'єкт не може знайти відповідного методу, і тоді він замінює цю задачу іншою - її моделлю, яку можна назвати вирішальною".

Вид і характер моделювання визначаються головним чином характером сформованих в учня евристичних схем пошуку розв'язання і характером самої задачі.

Розробляючи методику викладання навчального матеріалу із залученням різноманітних моделей, ми максимально враховуємо індивідуальні особливості сприйняття, надаючи можливість самостійного вибору моделі.

Виявилося, що залучення різних допоміжних моделей створює добре підґрунтя для оволодіння вмінням самостійно відкривати знання, стимулює продуктивну пізнавальну діяльність, позитивно впливає на мотивування діяльності, а отже сприяє формуванню та розвитку евристичного мислення учнів.

Паралельне використання кількох моделей основної задачі дає змогу особистого вбору учнем найкращої моделі саме для нього та формування алгоритмів (або евристик) у досить згорнутому і ефективному варіанті.

У процесі навчання важливо допомогти учням встановити систему досить стійких аналогій (моделей), які відповідають його особистості та допомагають орієнтації у складному теоретичному матеріалі або у пошуку шляхів розв'язання складних задач.

Інтерес до навчання, підтриманий вдалим підбором навчального матеріалу, форм його подачі, зокрема задач і вправ, відіграє провідну роль у формуванні системи мотивів навчання..

У трактуванні поняття наочності дотримуємося В. Болтянського, який сформулював її як „Ізоморфізм + простота". Принцип максимального унаочнення вбачаємо в обиранні під час розв'язання задачі, розглядання теоретичних питань саме тієї моделі, яка є найпростішою (або зрозумілою) учневі та найкраще пристосованою для розв'язування задач та теоретичних питань.

Запровадження цих принципів до навчання дало змогу одержати такі результати: поглиблення й посилення мотивації до занять математикою, підвищення інтересу до неї, як до навчальної дисципліни; підвищення рівня виконання інтелектуальних операцій, успішності виконання контрольних робіт з математики. Більшість учнів при анкетуванні, де оцінювання велося за шкалою від 0 до 5 балів, зазначали, що наочні моделі допомогли краще розібратися у поняттях; придумати самостійно теореми, придумати алгоритми або способи розв'язування задач, перевірити правильність розв'язання.

3. Аналіз програм і підручників

Розглядаючи прикладний характер математики, необхідно звернути увагу на такий аспект, як програми та підручники за яким навчаються учні в школах України. Програма передбачає двічі застосування задач прикладного характеру: в загальній темі „Теорема Піфагора", яка вивчається протягом 16 годин та в темі „Початкові відомості зі стереометрії", яку вивчають наприкінці 9 класу та протягом 12 годин. В другій темі задачі прикладного характеру використовуються зокрема в задачах на обчислення площ поверхонь і об'ємів.

Аналізуючи підручники, не достатню увагу приділили автори на такі задачі. Зокрема в підручнику [9], таких задач зовсім немає. Що ж до підручника [13], тут ми можемо побачити тільки кілька задач до теми „Теорема Піфагора". В таких підручниках як [4] і [5], то в них підібрані досить мала кількість задач до обох тем.

Підсумовуючи це, можна сказати, що автори підібрали досить малу кількість задач прикладного характеру і на мою думку їм потрібно значно більше приділяти уваги. Зокрема в на ступному параграфі ми наведемо приклади задач, які можна було б включити в ту систему задач, які розв'язують учні на уроках геометрії.

4. Текстові задачі виробничого, фізичного змісту та методи їх розв'язування

Усі математичні задачі можна поділити на стандартні (алгоритмічні) і нестандартні (евристичні). Стандартні задачі - це задачі, для яких відомі правила, алгоритми розв'язання. Але, звичайно, найбільшої цікавості заслуговують нестандартні задачі, для яких не існує чіткого правила - алгоритму. Це стосується насамперед так званих сюжетних (текстових) задач. Існують різні підходи, різні способи, які дають можливість знайти шляхи розв'язання таких задач. Універсальним методом вважається алгебраїчний метод, який полягає в складанні за умовою задачі алгебраїчного рівняння, розв'язання якого дає можливість дати відповідь на запитання задачі. В найбільш простих випадках словесне формулювання майже механічно розчленовується на окремі блоки, які можна безпосередньо виразити математичними символами. Цей процес нагадує переклад з рідної мови на мову алгебраїчну. Останній крок перекладу дає нам бажане рівняння.

Розглянемо приклади задач.

1) Відображення виробничого процесу в сюжетних задачах

Дуже часто сюжетні задачі пов'язані з виконанням якоїсь роботи окремо чи сумісно різними особами, бригадами або механізмами, наповненням та спорожненням резервуарів.

Такі задачі теж умовно можна віднести до „задач на рух", оскільки в задачах цього типу об'єм роботи грає роль відстані, а продуктивність праці об'єктів, що здійснюють дану роботу, аналогічна швидкості руху.

Тобто основна формула, що описує залежності в цих задачах , де А - об'єм роботи; N - продуктивність праці, t - час виконання роботи, аналогічна формулі .

Інколи доцільно об'єм роботи в таких задачах приймати за 1. Тоді - означає частину роботи, виконану в одиницю часу.

Коли мова йде про сумісну роботу, то якщо один об'єкт виконує за одиницю часу об'єм роботи, а другий , то разом виконують частин роботи, а за час t виконають частин роботи. Якщо за умовою за цей час t має бути виконаний весь об'єм роботи, то маємо рівняння: .

a) Насос викачує з басейну води за хв. Попрацювавши 0,15 год насос зупинився. Знайти об'єм басейну, якщо після зупинки в басейні залишилося 25 м³ води.

Розв'язання: Нехай V - шуканий об'єм басейну. Тоді з першої частини умови знайдемо продуктивність насосу . Ця величина означає, що за хвилину насос викачує частину об'єму басейну. Отже, за 0,15 год = 9 хв він викачає

Після цього в басейні залишилося води. За умовою це 25 м³. Маємо ; V = 125 (м³)

Відповідь: 125 м³.

2) Задача з хімії

а) З двох розчинів солі - 10-процентного і 15-процентного треба утворити 40 г 12-процентного розчину. Скільки треба взяти грамів кожного розчину?

Розв'язання: 40 г 12-процентного розчину містить 40 · 0,12 = 4,8 г солі. Нехай треба взяти х г 10-процентного розчину, тоді треба взяти 15-процентного розчину. Маємо рівняння:

4,8 = х · 0,1 + (40 - х ) · 0,15;

4,8 = 6 - 0,05 х, 0,05 х = 1,2; х = 24.

Відповідь: 24 г 10-процентного і 16 г 15-процентного розчину.

Тепер розглянемо декілька прикладних задач, які доцільно запропонувати для розвязування учнями під час вивчення теми „Розвязування трикутників" у 9-му класі.

Задача: Два туристи вирушили по двох прямолінійних дорогах, які виходять з однієї точки під кутом б. Перший рухається зі швидкістю v₁ км/год, другий - v₂ км/год. Яка відстань буде між ними через t годин?

Розвязання: АВ = v₁ t, АС = v₂ t.

За теоремою косинусів шукана відстань буде

Колективне розвязування за готовим малюнком на таблиці.

Задача: На горі знаходиться башта, висота якої 100 м. Спостерігач А, що стоїть біля підніжжя гори, бачить вершину башти під кутом 60є до горизрнту, а вершину гори - під кутом 30є до горизонту. Знайтивисоту гори.

Розвязання: Нехай висота башти ВС = 100 м, висота гори ВD = Н, CAD = 60є, BAD = 30є. Тоді АВС = 90є + 30є = 120є; САВ = 30є, АСВ = 30є, тому АВ = ВС = 100 м, Н = АВ = 50 м.

Відповідь: 50 м.

При вивченні тригонометричного матеріалу доцільно розглянути також задачі прикладного характеру, які сприяють засвоєнню практичного матеріалу. Розглянемо декілька прикладів.

Є велика кілька способів віміру відстані до нестопнух предметів шляхом вирішення трикутників. Наведемо один із способів визначення висои скал, будинків, до яких неможливо підійти. Для цього вимірюється базис: а і кути б і в. Як знайти Н?

Розв'язок: а = АС - ВС = Нctg б - Нctg в = H (ctg б - ctg в),



Задача: Обрахуйте довжину х ременної передачі, яка з'єднує шківи, радіуси яких R і r; відстань між центрами шківів дорівнює а.

Розвязок:

,

DD₁ = рr, ЕЕ ₁ = рR, AD : 2рr = а : 2р, АD = rб, ВЕ = Rб, АА₁ = r(р - 2б), ВВ₁ = R (р + 2б),

5. Основні методи розв'язування екстремальних задач

Метод опорних функцій

Суть цього методу полягає в тому, що екстремальну задачу подають математичною мовою: записують функцію (опорну), яка задає критерій оптимізації, і у вигляді системи обмежень на змінні, які входять до неї, подають зв'язки між основними характеристиками досліджуваного процесу.

Метод оцінки

Суть цього методу полягає в тому, що складають певний алгебраїчний вираз Z, який характеризує основні зв'язки між даними в умові величинами і доводять справедливість однієї з нерівностей Z ? М або Z ? m (М і m визначаються умовами задачі).

При розв'язуванні задач цим методом часто доводиться використовувати нерівності, зокрема, нерівність, яка повязує середнє арифметичне і середнє геометричне

,

де а₁, а₂, а_п - додатні змінні.

З нерівності про середнє арифметичне і середнє геометричне додатніх змінних, а також з фактів, що рівність виразів досягається лише у випадку рівності всіх змінних, випливає два важливих твердження.

1) Якщо сума n - додатних змінних х₁, х₂, ...х_n стала і дорівнює S, то добуток Р = х₁ · х₂ ·... · х_n цих змінних досягає найбільшого значення при рівності всіх змінних між собою.

2) Якщо добуток n - додатних змінних х₁, х₂, ...х_n сталий і дорівнює Р, то їх сума S = х₁ + х₂ +... + х_n досягає найменшого значення при рівності всіх змінних.

Метод перетворення площини.

Нехай потрібно знайти екстремум елемента х фігури, яка однозначно визначається елементами х, а_і (і = 1, 2, ..., n). Метод знаходження екстремуму елемента х складається з таких етапів:

1) надаємо елементу х певного значення х = С і розв'язуємо задачу на побудову фігури F за заданими елементами С і а_і;

2) розв'язавши цю задачу, вважаємо, що елемент С змінний. Потім застосовуючи ті, чи інші перетворення площини фіксуємо ті особливості, які виникають при досягненні елементом х максимального чи мінімального значень. Після цього можна зробити висновок про екстремум елемента х фігури F.

6. Екстремальні задачі в курсі геометрії

Задача. У даний трикутник вписати прямокутник з найменшою діагоналлю.

Розв'язання. Легко довести, що коли трикутники із спільною основою і вершинами, розміщені на прямій, паралельній основі, перетнути прямою, паралельною основі. То відрізки цієї прямої MN, M₁N₁, M₂N₂, обмежені бічними сторонами цих трикутників, рівні між собою (мал. 2).

Звідси випливає, що прямокутники FMNK, F₁M₁N₁K₁, A₂M₂N₂K₂ також будуть рівні. Тепер задачу легко розв'язати, якщо замінити даний трикутник прямокутним, який має з даним трикутником спільну основу, причому вершини обох трикутників лежать на прямій, паралельній основі. Зрозуміло, що з усіх прямокутників, вписаних у прямокутний трикутник, найменшу діагональ матиме той, у якого діагональ перпендикулярна до гіпотенузи.

З доведеного випливає така побудова: з вершини А проводимо перпендикуляр АN до гіпотенузи В₁С прямокутного трикутника АВ₁С. Через точку проводимо пряму, паралельну основі і таку, що перетинає сторони трикутника АВС відповідно в точках M і N. З цих точок проводимо перпендикуляри MF і NK на основу АС. Прямокутник FMNK - шуканий.

Задача. Визначити, якої найбільшої товщини дерево можна розрізати на верстаті з круглою пилою, якщо її радіус дорівнює 300 мм, вріз АВ дискової пили в дерево дорівнює 500 мм (мал. 4).

Розв'язання. Позначимо через h товщину дерева, яка не повинна перевищувати CD, тобто h ? CD (мал. 4). CD виражається через ОС, ОВ і ВD так: CD = ОС - ОD = ОС - 134. Оскільки h ? CD = 134 мм, то max (h) = 134.

Задача. Дано кут АВС і точку М всередині його. Побудувати відрізок з кінцями на сторонах кута, який поділяється точкою М навпіл.

Розв'язання. Побудуємо кут, симетричний куту АВС відносно центра М. Точки перетину сторін цього і даного кутів будуть кінцями шуканого відрізка. Це випливає з симетричності знайдених точок відносно центра.

Доповнимо задачу новою вимогою, яка робить попередню задачу екстремальною, хоч хід розв'язування задачі той самий.

Задача. Через точку М, яка лежить усередині кута АВС, провести пряму, що відтинає від нього трикутник найменшої площі.

Розв'язання. Розв'язання попередньої задачі підказує учням, що шуканою є та сама пряма E_nF_n і F_nM = ME_n (мал. 5). Залишається довести, що площа ?E_nВF_n менша від площі ?EВF, де EF - довільна пряма яка проходить через точку М і перетинає сторони кута в точках F і E.

7. Прикладні задачі як засіб реалізації між предметних зв'язків

Однією з важливих проблем педагогічної науки є формування гармонійно розвиненої, активної і творчої особистості. Школа має підготувати учнів до входження у доросле самостійне життя, допомогти адаптуватися в умовах конкуренції та безробіття, забезпечити необхідними знаннями та вміннями, сприяти найбільш повній реалізації потенційних можливостей у навчанні та праці.

Суспільство ХХІ ст. цілком слушно називають „суспільством знань", бо саме знання визначають і матеріальне і духовне життя. Самі знання постійно примножуються, і людина, природно, витрачає дедалі більше часу для набуття знань.

Математика має широкі можливості для інтелектуального розвитку особистості, розвитку логічного мислення, просторових уявлень і уяви.

Проблемою між предметних зв'язків займалися відомі дидактик і психологи: І. Звєрєв, В. Ільченко, Д. Кирюшкін, В. Максимова, Г. Костюк, В. Федорова та ін.

Різні аспекти проблеми між предметних зв'язків досліджували: Ф. Бауер, І. Логвинов, Л. Шаповалові, І. Шаповал (математика і фізика), А. Панкратов, В. Євплов (математика і креслення), Є. Шмуклер, М. Тахиров (математика і хімія), О. Зикрін (математика і географія), М. Антонов, Р. Архонтова (загальні питання).

Введення елементів прикладної математики в шкільний курс розглядали методисти О. Астряб, Г. Бевз, Г. Возняк, М. Маланюк, З. Слєпкань та ін.

Багато вчених вбачають у між предметних зв'язках засіб формування гнучкої та продуктивної системи знань і узагальнених способів дій та вмінь. Вони підкреслюють, що джерела утворення між предметних асоціацій знаходяться всередині навчального предмета. Не лише предмети, а і окремі поняття, задачі також є джерелом міжпредметних асоціацій, а встановлення зв'язків - необхідною психолого - педагогічною умовою для формування цілісної системи знань учнів.

Міжпредметні зв'язки математики з іншими предметами можуть здійснюватися у двох напрямках:

1) різні природничі науки виступають джерелом задач для математики;

2) математичні теорії стають інструментом дослідження у природничих науках.

В. Кедров провели таку класифікацію між предметних зв'язків:

1) зв'язки між знаннями з окремих предметів, що стосуються змісту навчального матеріалу;

2) зв'язки між знаннями з окремих предметів, що стосуються способів діяльності учнів;

3) зв'язки між знаннями з окремих предметів, що стосуються формування мотивів навчання.

Мотивацію необхідності розширення і поглиблення математичних знань можна забезпечувати за допомогою ситуацій і задач, що в них виникають, в інших предметах.

Важливою передумовою, яка сприяє розвитку творчого мислення, є прикладна спрямованість навчання математики. Прикладні задачі є і метою, і рушійною силою розвитку математики. Їх можна пропонувати на різних етапах навчання.

Розв'язування прикладних задач на уроках геометрії не тільки реалізує міжпредметні зв'язки, а й активізує різні процеси мислення (аналіз, синтез, аналогія, узагальнення та ін.), сприяє пізнавальній активності учнів.

Висновки

В кінці нашої роботи можна підвести підсумки, що ця проблема є істотною, так як поєднання математики, зокрема геометрії з іншими предметами сприяє кращому засвоєнню як математичного матеріалу так і матеріалу з інших шкільних предметів. Тому досить важливо вчителеві в процесі навчання зуміти показати цей взаємозв'язок.

В роботі зосереджено увагу на задачах, тому що саме вони є тією ланкою, яка висвітлює поєднання. Саме на задачах учні вчаться застосовувати та засвоювати теоретичний матеріал. Також ми розкрили саму суть математичного моделювання: що це таке, класифікацію моделей та три етапи розв'язування прикладних задач. Далі ми проаналізували яке місце і яку роль відіграє математичне моделювання у формуванні евристичної діяльності учнів; які труднощі можуть виникнути в ході розв'язування. Також звернувши увагу на проблемність даного питання ми проаналізували діючі підручники на наявність задач прикладного характеру та програми з математики, точніше з геометрії, на те чи там відводиться час для математичного моделювання.

Вся наша робота, яку ми розробили допоможе вчителям сформувати в учнів уяву про математичне моделювання та навести приклади прикладних задач та за допомогою трьох етапів розвязати їх. Саме коли учні побачать взаємозвязок математики з іншими предметами в них зявиться інтерес до нашого предмета та побачать всю його необхідність.

Список використаної літератури

1. Бевз В. Міжпредметні зв'язки як необхідний елемент предметної системи навчання // Математика в школі. - № 6. - 2003. - с. 11 - 15.

2. Бевз Г. П. Методика викладання математики: Навч. посібник. - 3 - тє вид., переоб. і допов. - К.: Вища шк., 1989. - 367 с.: іл.

3. Бевз Г. П. Прикладна спрямованість шкільного курсу геометрії: Посібник для учителя. - К., 1999. - 56 с.

4. Бевз Г. П. та ін. Геометрія для 7 - 9 кл. загальноосвіт. навч. закладів / Г. П. Бевз, В. Г. Бевз, Н. Г. Владімірова. - 2 -ге вид., змін. і доповн. - К.: Вежа, 2004. - 312 с.: іл.

5. Бурда М. І., Савченко Л. М. Геометрія: Навч. посібник для 8 - 9 кл. шк. з поглиб. вивченням математики. - К.: Освіта, 1996. - 240 с.

6. Возна М. С., Гром'як М. І. Про встановлення взаємо узгодженості програм з математики та суміжних навчальних дисциплін. // Математика в школі. - 2003. - № 6.

7. Возняк Г. М., Маланюк М. П. Взаимосвязь теории с практикой в процессе изучения математики: Пособие для учителя. К: Рад. шк., 1989. - 128 с. - На укр. яз.

8. Возняк Г. М., Маланюк К. П. Прикладна спрямованість шкільного курсу математики. - К.: Рад. шк., 1984. - 80 с.

9. Гончарові І. Роль і місце моделювання та наочності у формуванні евристичної діяльності учнів // Математика в школі. - № 1. - 2002. - с. 37 - 39.

10. Кельбас М. П. Геометрія: Пробн. підруч. для 7 - 9 кл. серед. шк. - К.: Освіта, 1994.

11. Корін Г. Прикладні задачі як засіб реалізації між предметних зв'язків // Математика в школі. - № 9 - 10. - 2004. стр. 30 - 34.

12. Малкова Т. В. Монахов В. М. Математическое моделирование - необходимый компонент современной подготовки школьника // Математика в школе. - 1984. - № 3.

13. Погорєлов А. В. Геометрия: Учеб. для 7 - 11 кл. сред. шк. - М.: Просвещение, 1990. - 384 с.: ил.

14. Погорєлов О. В. Геометрия: Підруч. для 7 - 9 кл. серед. шк. - 5 - те вид. - К.: Освіта, - 2001. - 223 с.

15. Севрюк І. В., Михайлик П. Я., Горскіна С. І., Семено Л. Д. Математика 7 кл. Текстові задачі економічного, виробничого, фізичного змісту та методи їх розв'язання. (Методичний посібник для вчителів та учнів у підготовці до екзаменів, олімпіад і конкурсів) - Полтава.: Плюс. - 2000. - 50 с.

16. Скворцова М. Математическое моделирование // Математика. - № 14. - 2003. - с. 1 - 4.

17. Урок - економічна гра. Елементи прикладної математики // Математика в школі. - № 4. - 2001. с. 54 - 56.

18. Швець В. О., Бойко Л. М. Міжпредметні зв'язки математики і фізики: стан, проблеми, перспективи // Фізика та астрономія в школі. - 2002. - № 6. - с. 21 - 25.

Размещено на Allbest.ru