Функциональная линия в стандартах школьного образования

Основной же "внешней" бедой школы стало то, что она уже давно оторвалась от жизни и потому во многом утратила свое образующее влияние. Ибо еще Ушинский писал, что отвернуться от потребностей жизни - значит "сделать школу учреждением бессильным и бесполезным".

В педагогической печати многократно подчеркивалось, что "школа сегодня катастрофически оторвана от жизни". В более мягкой форме это не раз признавал и руководитель образовательного ведомства В.М. Филиппов, отмечая, что "мы лишили ребенка практической ориентации к жизни", что "наше нынешнее образование очень плохое в его практической направленности". Говоря о результатах международного исследования "по поводу практической ориентации знаний", В.М. Филиппов сокрушался: "Мы были поражены, что наши дети оказались в хвосте".

Может ли устраивать общество такое образование? И может ли рассчитывать такое образование на общественную поддержку? Равно как и на поддержку государства, ибо государство тоже постепенно приходит к убеждению, что увеличивать финансовую поддержку образования можно только при условии, если само образование начнет меняться. По крайней мере именно так ставит вопрос "Программа модернизации образования".

Это здравая постановка вопроса - и не только в прагматическом, но и в социокультурном, а шире - в цивилизационном смысле. Образование может работать либо на воспроизводство, либо на развитие общества. Но сегодня оно не способно работать на развитие. Воспроизводство же старого - это стагнация, это воспроизводство и наращивание отставания.

В этом плане вопрос о состоянии нынешнего содержания школьного образования давно уже вышел из педагогической в социальную плоскость. Консервация этого содержания образования имеет два фундаментальных социальных последствия: она, во-первых, заведомо закладывает неконкурентоспособность и социально-экономическое отставание страны; во-вторых, разрушает генофонд нации - здоровье подрастающих поколений. "Мы прямо утверждаем, - написано в декларации Красноярской ассоциации педагогов, - наши перегруженные и захламленные учебные программы - преступление против детства!"

Все последние девять лет образовательный стандарт выстраивался РАО как средство консервации школьного образования. И именно это вызывало резкую общественную аллергию как к проводимой стандартизаторской работе, так и к самой идее введения стандарта. Между тем стандарт может и должен быть инструментом не консервации, а развития образования. В том-то и состояла генеральная целевая установка Временного научного коллектива "Образовательный стандарт", созданного Министерством образования в апреле 2002 года, чтобы сделать стандарт фактором не торможения, а развития - развития личности, образования, а следовательно, в конечном итоге и страны. В этом главная цель и суть нового подхода к образовательному стандарту, принципиально нового взгляда на его роль и значение.

В соответствии с Законом РФ «Об образовании» “Российская Федерация в лице федеральных (центральных) органов государственной власти и управления в рамках их компетенции устанавливает федеральные компоненты государственных образовательных стандартов, определяющие в обязательном порядке обязательный минимум содержания основных образовательных программ, максимальный объем учебной нагрузки обучающихся, требования к уровню подготовки выпускников”.

Как указывается в «Концепции модернизации российского образования на период до 2010 года»[33], модернизация общеобразовательной школы предполагает «ориентацию образования не только на усвоение обучающимся определенной суммы знаний, но и на развитие его личности, его познавательных и созидательных способностей. Общеобразовательная школа должна формировать целостную систему универсальных знаний, умений и навыков, а также опыт самостоятельной деятельности и личной ответственности обучающихся, т.е. ключевые компетентности, определяющие современное качество образования». В Концепции подчеркивается также, что важнейшими задачами воспитания является «формирование у школьников гражданской ответственности и правового самосознания, духовности и культуры, инициативности, самостоятельности, толерантности, способности к успешной социализации в обществе и активной адаптации на рынке труда».

Проект федерального компонента государственного образовательного стандарта общего образования направлен на реализацию основной цели общего среднего образования - подготовку разносторонне развитой личности гражданина, ориентированной в традициях отечественной и мировой культуры, в современной системе ценностей и потребностях современной жизни, способной к активной социальной позиции в обществе и самостоятельному жизненному выбору, к началу трудовой деятельности и продолжению профессионального образования, к самобразованию и самосовершенствованию.

Аркадий Аркадьев, координатор проекта разработки образовательных стандартов, ректор института Новых образовательных систем, считает, что «стандарт - это просто определенная помощь учителю и защита его от произвола чиновника, от неквалифицированного методиста». После введения стандарта любой учитель может, сославшись на него, показать соответствие его программы официальным нормам.

В Конституции Российской Федерации написано, что каждый ребенок имеет право на образование. Но на какое образование? Именно это право должен закрепить законопроект о стандарте. Для примера можно рассмотреть ситуацию. Ученик приходит в обыкновенную общеобразовательную школу, в которой его обучают только таблице умножения и больше ничего не дают. На данный момент этот ученик даже не может подать в суд, потому что нигде не написано, чему именно его бесплатно должны обучать и сколько часов. Законопроект о стандартах говорит о том сколько часов минимум должно быть в каждой параллекли. То есть этот закон - защита учеников от того, что он останется неграмотным, и защита родителей, что их детям дадут законное бесплатное образование на должном уровне. Этот закон защищает конституционные права человека.

Несмотря на все положительные стороны введения общего стандарта есть и противники этой реформы.Один из них известнейший математик академик В.И. Арнольд. Он считает, что данная реформа направленна на подготовку рабов, обслуживающих сырьевой придаток господствующих хозяев, их учат только основам языка хозяев, чтобы они могли понимать приказы. В своей речи на парламентских слушаниях в Государственной Думе он говорит: «Не случайно подготавливаемая реформа финансируется иностранцами, давно мечтавшими избавиться от конкуренции со стороны российской науки и техники»[10]. В.И. Арнольд думает, что наши реформаторы стремятся привести Россию к уровню американского общества, которое не может обходиться без компьютеров и давно забыло о существовании простых дробей. Обучить после такого «образования» думать, доказывать, правильно рассуждать никого уже невозможно, население превращается в толпу, легко поддающуюся манипулированнию со стороны ловких политиков без всякого понимания причин и следствий их действий.

Академик приводит пример. Студент-математик 4 курса одного из лучших парижских университетов спросил у него во время трех часового письменного экзамена по теории динамических систем: «Помогите, пожалуйста: дробь 4/7 больше или меньше 1? Я свел задачу о поведении системы к исследованию сходимости интеграла, а это исследование - к асимптотике подинтегральной функции, и показатель степени этой асимптотики оказался 4/7, но ведь для окончательного вывода о сходимости интеграла нужно знать, больше ли это число чем 1, а вы компьютером на экзамене пользоваться не разрешаете, и я не могу решить задачу до конца».

Еще более жестко характеризует необходимость принятия стандарта Игорь Федорович Шарыгин - член исполкома Международной комиссии по математическому образованию (EC ICMI), заведующий лабораторией «Геометрия» Московского центра непрерывного математического образования. Он считает, что минимальный уровень будет всеми воспринят как максимальный. То есть преподаватели, не преданные своему делу, будут обучать детей только в рамках стандарта. А нужно это все специалистам, разрабатывающим, стандарт ради обогащения, руководящим работникам системы образования и чиновникам, выступающим от имени государства, ради создания рынка платных образовательных услуг. Он делает вывод: «Образовательный стандарт - чистой воды лицемерие. Его цель - ввести в заблуждение общество»[69].

Большинство педагогической общественности все же считает, что стандарты необходимы и должны быть приняты, они дадут направление по которому должны будут работать учителя, закрепят обязательный уровень усвоения материала. Учителя будут знать, что они должны иметь «на выходе».

§3. Проблемы введения нового стандарта

Разработка стандарта затрагивает интересы множества социальных групп: учителей, чиновников, министерства образования, представителей высших учебных заведений и академических институтов. Учеников и их родителей. Их интересы часто противоречат друг другу. Например, преподаватели вузов хотят, чтобы школа готовила абитуриентов, которых легко было бы учить дальше. Академические институты хотят, чтобы школьные программы отражали логику и современные достижения науки. Предметники - чтобы школьники 8 часов в неделю изучали их предмет. Ученики - чтобы им было легко и интересно учиться. Родители - чтобы дети получили качественное и нужное образование. Для того, чтобы удовлетворить интересы всех сторон необходимо организовывать конференции, съезды, сборы. Но на это практически не было времени.

Документ рождался в рекордные сроки: февраль-март 2002 г. -разработка концептуальных оснований, март-июль -2002 г. - разработка содержательного наполнения стандарта. август-сентябрь 2002 г. - общественное обсуждение и научная экспертиза, октябрь - доработка проекта, ноябрь - представление проекта стандарта в Министерство образования и внесение дополнений и изменений по замечаниям и предложениям министерства. Министерство образования заказало стандарт, организовало его обсуждение, внесло в него замечания и приняло, а потом отправило на утверждение в Государственную Думу.

В течение нескольких лет общим в агитации за добротное образование стали рассуждения о том, что образование связано с проблемами государственной безопасности, что это приоритетное направление государственной политики, что в этой сфере задействовано 38-40 млн. человек населения страны (если говорить честно, то затрагивает оно практически всё население: не учится сам - так учатся его дети, не дети - так внуки). Следовательно. обсуждать новые стандарты, если они так или иначе затрагивают всё общество, нужно вдумчиво, толково, спокойно, а главное - всем, кому небезразлична судьба его детей, внуков, будущих поколений, потому что стандарты принимаются не на один год и даже не на пятилетку. Несмотря на это Э. Днепров считает, что «педагоги, мягко говоря, преувеличивают свою роль, пытаясь диктовать обществу и государству свои часто весьма спорные и противоречивые представления об образовании и его содержании»[17]. Вот видимо так и обсуждался стандарт, без участия учителей, родителей и т.д.

В результате разработки все оказались в цейтноте: общество, которому для обсуждения предоставлялся лишь месяц; авторы учебников, которым пришлось бы срочно изготавливать новые учебники; учителя, которым в сентябре 2003 г. согласно имеющимся планам, пришлось бы преподавать по новым стандартам. В условиях цейтнота работали и предметные группы. Это явилось «серьёзной причиной, это признают руководители временного научного коллектива (ВНК) Э.Д. Днепров и В.Д. Шадриков, помешавшей выйти за рамки только первого рабочего варианта проекта стандарта высшей школы» [52,ч.1,стр.18]. Материалы были представлены для публикации в самое последнее время. Предисловие к стандарту, по существу, - это вынужденное признание руководителей ВНК в том, что качество проекта стандартов неудовлетворительно, а намеченные сроки, обозначенные в «Техническом задании», утверждённом Министерством образования, сорваны. За это ответственно само Министерство, утвердившее нереальный план.

Двумя главными установками для всего коллектива разработчиков были борьба с перегрузкой и смена программы школьного образования, выражающаяся в переходе от традиционной схемы изложения основ науки к схеме, декларируемые приоритеты которой - общее культурное личностное развитие. Авторы полагают уменьшить число часов, отводимых на естественные науки и увеличить - на гуманитарные..

Как же авторами велась борьба с перегрузкой. Посмотрим на БУП 1998 г. и объёмные показатели [52, ч.1, стр. 27-30] (ОП) 2002 г.

Уровень образования	БУП 1998 г.	ОП 2002г. без физкультуры	ОП с физкультурой	Требования СанПиН
Начальное общее. образование	2768	2736	3006	2904
Основное общее образование	4970	4690	5040	5320
Среднее (полное) общее образование	2240	Баз. уровень -1505 Проф. уровень - 2695	Баз. уровень -1645 Проф. уровень -2800	2520

Как видно из таблицы, авторы проекта поступили хитро: они выкинули из объёмных показателей часы по физической культуре, в результате чего их показатели стали ниже, чем в БУП 1998 г., то есть борьбу с перегрузкой они так и не осуществили. В части урезания курса естественных наук и увеличения курса гуманитарных наук дело обстоит так. В начальной школе было добавлено 204 часа на иностранные языки и 34 - на окружающий мир. Хотя добавление такого количества часов на изучение иностранных языков вызывает много споров, так как дети с трудом овладевают своим родным языком, не говоря уже об английском. В основной школе за счёт убавления часов по технологии, авторы добавляют часы на изучение литературы, обществоведения, музыки и изо. Здесь они сокращают курс математики на 105 часов, пытаясь спрятать это за объединением математики и информатики в одну общую графу. В старшей школе на базовом уровне сокращаются не только часы на математику, физику, химию, но и на историю, географию, биологию, искусство, ОБЖ и технологию. Зато добавляется время на изучение иностранных языков. На профильном уровне в основном добавляется время на изучение иностранного языка (210 часов), часы на математику выделяются на том же уровне, что в БУП 1998 г.

Посмотрим на раздел математики. Здесь введены принципиально новые разделы: «Элементы теории вероятности и статистики», Язык и логика», введены новые темы: «Комплексные числа», «Аксиоматика». Это никогда не проверялось на практике и есть большие опасения, что результатом будет переход от математики к антинауке (бездоказательству). Время будет уходить на разговоры о математике, о том, какая это важная и умная наука (роль аксиоматики в науке и повседневной жизни, риманова геометрия и т.п. [52, ч.2, стр. 87]). В курсе геометрии средней школы либо удалены, либо перенесены в старшую школу такие темы: «Вектор», «Радианная мера угла», «Метрические соотношения в треугольнике»; сводятся к минимуму задачи на построение.

Одной из важнейших проблем принятия стандартов, а точнее «работы» стандарта является финансирование. Очевидно, что даже если и принять стандарт, то всё равно в ближайшее время не смогут по нему работать, так как нет ещё соответствующей методической литературы, учебников, должного оснащения.

Игорь Шарыгин в своей статье «Минимальный подход к образовательному стандарту - это угроза обществу и государству» считает, что стандарты не будут созданы по трём причинам. Во-первых, этого не позволят сделать первопроходцы из системы РАО, отодвинутые от разработки стандартов, а заодно и от финансового потока. Во-вторых, в этом не заинтересованы сами разработчики. Здесь важен процесс, с окончанием которого заканчивается и финансирование. И, наконец, в третьих, образовательные стандарты, основанные на идее минимальности, невозможны в принципе.

Несмотря на такие критические взгляды, большинство считает, что стандарт должен быть принят в ближайшее время. Однако для этого его необходимо доработать и отредактировать.

Глава III. Методика преподавания функциональной линии по математическим стандартам

§1. Функциональная линия в общеобразовательной школе

1.1 История развития понятия функции

История функции уходит своими корнями в те далекие времена, когда человек начал понимать, что окружающие его явления взаимосвязаны.

В связи с развитием земледелия, ремесла, скотоводства, обмена увеличилось количество зависимостей., известных людям. Если из одного ведра глины можно было изготовить 5 горшков, то из 3-х ведер можно было изготовить 15 горшков. Тогда людям редко приходилось сталкиваться с более сложными зависимостями. Когда возникли первые цивилизации понадобились писцы, которые вели бы учет налогов, количество- стройматериала, продовольствия.

Достигшие высокого уровня в математике вавилоняне, чтобы облегчить вычисления, составили таблицы обратных значений чисел., квадратов и кубов чисел и даже таблицы для суммы квадратов чисел и их кубов. У вавилонян были и таблицы функций двух переменных, например таблицы сложения и умножения двух чисел.

Древнегреческие математики нашли много различных кривых, изучали зависимости между отрезками диаметров и хорд в круге, эллипсе и других линиях.

Позже центр научных исследований переместился в арабские страны, где арабские ученые разработали новые тригонометрические таблицы.

Здесь же впервые встречается термин «Применимо ко всем таблицам», то есть речь идет о всевозможных зависимостях между величинами. Этот термин принадлежит хорезмийцу Аль Бируни, жившему в XI веке.

В XIV началось исследование общих зависимостей. Французский ученый Николай Оресм, который выражал интенсивность качеств отрезками, расположив перпендикулярно некоторой прямой, назвал их верхние концы, которые образовали некоторую линию, «линией верхнего края». В этой линии можно узнать график соответствующей функциональной зависимости. Чтобы развить идеи Оресма, нужно бьло уметь выражать зависимости не только графически, но и с помощью формул. Но буквенная алгебра была создана лишь в XVI веке. Только тогда удалось сделать следующий шаг в развитии понятия функции.

В XVI веке произошли глубочайшие изменения в жизни людей и их мировоззрении. Астрономия начала приносить новые сведения о мире. Основной задачей науки стало открытие законов мироздания, описания их в терминах математики, имевшей дело на тот момент только с постоянными объектами. Чтобы создать математический аппарат для изучения движений, понадобилось понятие переменной величины. Это понятие было введено французским философом и математиком Рене Декартом. Он ввел фиксированный единичный отрезок и стал рассматривать отношения других отрезков к нему. Зависимости между величинами стали выражаться как зависимости между числами. Это была неявно выраженная идея числовой функции числового аргумента.

При записи зависимостей между величинами Декарт стад применять буквы. Отношения между известными и неизвестными величинами Декарт выражал в виде уравнений, которые начал изображать геометрически.

К началу XVII века были знакомы уже такие кривые как эллипс, гипербола, парабола и другие. Но не было еще общего метода изучения линий. Открытия Декарта дали возможность изучения и получения новых кривых.

Вообще в течение XVII века было открыто очень много кривых, и в связи с этим понадобились общие понятия, которые позволили бы их изучать.

Четкого понятия функции в XVII веке еще не было, однако путь к первому такому определению проложил Декарт. Понятие функции у него было изложено на языке геометрии, так как запас функций в то время был очень узок. Для создания единого подхода в различных случаях зависимости величин друг от друга понадобилось новое, более общее понятие.

Часто бывает так, что в науке ученые долгое время применяют некоторое понятие в неявном виде. Оно встречается под разными именами, так как нет общего названия. И когда это понятие получает имя, все замечают, что давно работали с ним. Примерно такая ситуация и сложилась с понятием функции.

Слово «функциям (от латинского function - совершение, выполнение) начал употреблять знаменитый математик Г. Лейбниц с 1673 года в смысле роли, то есть величины, выполняющей ту или иную функцию. В начале понятие функции не было свободно от геометрической формы. Как термин выражение «функция от х» стало употребляться Г. Лейбницем и И. Бернулли начиная с 1698 года. Лейбниц ввел также термины «переменная» и «константа» (постоянная). Явное определение функции, свободное от геометрического языка, было дано в 1718 году учеником Лейбница, швейцарским математиком Иоганном Бернулли. «Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной ветчины и постоянных». Это определение опиралось не только на работы Лейбница, но и на труды Исаака Ньютона, который исследовал большое количество самых разных функциональных зависимостей.

Леонард Эйлер во «Введение в анализ бесконечных» (1748 год) примыкает к определению своего учителя Иоганна Бернулли, но немного уточняет его: «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким - либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств». И так понимали функцию на протяжение XVIII века. Но Леонард Эйлер постоянно подвергал понятие функции дальнейшему развитию.

В «Дифференциальном исчислении», вышедшем в свет в 1755 году, Л. Эйлер дает общее определение функции: «Когда некоторые количества зависят от других, таким, образом, что при изменении последних и сами они подвергаются, изменению, то первые называются функциями вторых». На основе этого французский математик С.Ф. Лакруа в своих работах отметил: «Всякое количество, значение которого зависит от одного или многих других количеств, называется функцией этих последних не зависимо от того, известно или нет, какие операции нужно применить, чтобы перейти от них к первому».

Как видно из приведенных определений, само понятие функции фактически отождествлялось с аналитическим выражением.

К середине XVIII века ученые решили много задач механики. В центре внимания встали и проблемы механики сплошных тел. Простейшей из проблем являлось изучение колебаний струны, закон которой определяется функцией двух переменных u=f (х,t). Между Эйлером и Даламбером вспыхнул спор о толковании найденного ими решения. Первоначальное отклонение струны могло задаваться различными выражениями на различных участках. Отсюда, вытекало, что одним из неизменных вопросов в XVIII веке, связанных с понятием функции был вопрос о том, можно ли одну функцию задать несколькими аналитическими выражениями. В спор вмешался еще один математик - Даниил Бернулли, который считал, что его решение охватывает самый общий случай. Эйлер и Даламбер были с ним не согласны, считая, что два различных выражения не могут задавать одну и ту же функцию. Д. Бернулли и Л. Эйлер не смогли доказать справедливость своей точки зрения. Вследствие этого в конце XVIII века математики давая определение функции, уклонялись от ответа на вопрос о том, как. же она выражается. Французский математик Лакруа писал: «Всякое количество, значение которого зависит от одного или многих количеств, называется функцией этих последних, независимо от того, известно или нет, какие операции нужно применить чтобы перейти оm них к первому». То есть Лакруа уже не отождествлял понятие функции с ее аналитическим выражением. Окончательный разрыв между понятиями функции и ее аналитическим выражением произошел в начале XIX века.

Большой вклад в решение этого спора внес французский математик Ж. Фурье. В представленных им мемуарах по теории распространения тепла в твердом теле Фурье привел первые примеры функций, которые заданы на различных участках различными аналитическими выражениями. Стало

ясно, что любая кривая может быть представлена в виде единого аналитического выражения.

Фурье удалось доказать, что любые функции имеющие период период П, можно представить в виде суммы бесконечного ряда. Позднее Фурье и его последователи изучили более общие разложения функций в ряды. Фурье говорил, что неважно, каким аналитическим выражением задана функция, а важно, какие значения принимает функция при заданных значениях аргумента. Таким образом, стало ясно, что приходиться пользоваться и такими функциями, для определения которых очень сложно или даже невозможно ограничиться одним лишь аналитическим аппаратом, что стало тормозить расширение понятия функции.

В 1834 году Н.И. Лобачевский писал: «Общее понятие требует, чтобы функцией от х называть число, которое дается для каждого х и вместе с х постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием которое дает средство испытывать все числа и выбрать одно них; или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной…».

После длительного уточнения этой идеи немецкий математик П. Дирихле так сформулировал общее определение понятия функции: «у есть функция переменной х (на отрезке а<х<в), если, каждому значению х (на этом отрезке) соответствует совершенно определенное значение у, причем безразлично каким образом установлено это соответствие - аналитической формулой, графиком, таблицей, либо даже просто словами».

Таким образом, примерно в середине XIX века после длительной борьбы мнений понятие функции освободилось от аналитического выражения. Главный упор делался на идею соответствия.

Математики конца XIX века подвергли сомнению выражение «переменная величина». Это определение говорило лишь о числах, о соответствии между числами. Общий подход к понятию функции мог возникнуть после того, как в конце XJX века появилось понятие множества.

Общее определение понятия функции формулировалось следующим образом: «если каждому элементу х множества А поставлен в соответствие некоторый определенный элемент у множества В, то говорят, что на множестве А задана функция у=f(х) или множество А отображено на множество В».

То есть после создания теории множеств в понятие функции была включена и идея множества.

В начале XX века возникла новая ветвь математики - функциональный анализ. Функциональный анализ находит применение в математике, физике, экономике.

Остро почувствовалась необходимость расширения понятия функции после выхода в 1930 году книги Поля Дирака «Основы квантовой механики», который ввел «дельта-функцию», выходящую за рамки классического определения функции.

После этого советский ученый Н.М. Гюнтер совместно с другими учеными опубликовал работы, в которых неизвестными являются не функции точки, «функции области», что соответствовало физической сущности явлений. В общем виде понятие обобщенной функции было введено французом Лораном Шварцем.

В результате поисков наиболее правильного и полного отражения в этом понятии сущности совершающихся вокруг нас процессов понятие функции неоднократно подвергалось изменениям и уточнениям.

И как бы далеко ни отходило то или иное обобщение понятия функции, в основе всех замысловатых построений лежала одна и та же мысль о существовании взаимосвязанных величин, знание значения одной из которых позволяет найти значение другой величины.

Обзор развития понятия функции показал, насколько это понятие сложное, широкое, многогранное, что оно заставляло задумываться над собой десятки умов великих ученых - математиков и физиков. И отсюда следует, что к формированию этого понятия в школьном курсе математики требуется найти особый подход, учитывая при этом и историческое прошлое понятия функции.

1.2 Функциональная линия в стандартах школьного образования

Как уже говорилось неоднократно в России существуют два стандарта школьного образования: один - БУП 1998 года, другой проект стандарта 2002 года, который в настоящее время находиться на доработке.

В этой части диплома, я хочу просмотреть функциональную линию в стандартах (обязательный минимум содержания образования и требования к функциональной подготовке школьников) и сделать вывод о изменениях произошедших в них.

Рассмотрим стандарт 1998 года, по которому в настоящее время работает большинство школ.

Задачами курса математики на разных ступенях обучения по функциональной линии являются:

· пропедевтика изучения функции;

· изучение свойств и графиков элементарных функций, использование функционально-графических представлений для описания и анализа реальных зависимостей;

· расширение и систематизация общих сведений о функциях, изучение новых классов элементарных функций;

· расширение и совершенствование математического аппарата, сформированного в основной школе (выражения, уравнения, неравенства, вычисления, включающие новые виды функций);

· ознакомление с элементами дифференциального и интегрального исчисления как аппаратом исследования функций, решения прикладных задач;

· расширение и углубление представлений о математике как элементе человеческой культуры, о применении ее в практике, в научном познании (осознание универсальности математических понятий, теорий, методов, иллюстрация их применения в различных областях человеческой деятельности);

· совершенствование интеллектуальных и речевых умений с помощью функциональной линии.

Данные задачи решаются с помощью содержания обучения, функциональная линия развивается по ступеням обучения следующим образом:

1) Начальная школа. Содержание обучения дает возможность осуществить пропедевтику изучения функций при введении буквенных выражений, при рассмотрении зависимости между компонентами арифметических действий, при решении текстовых задач, в которых используются зависимости между различными величинами (например, между скоростью, расстоянием и временем).

2) Основная школа. При обучении учащиеся приобретают систематизированные знания об элементарных функциях и их свойствах, овладевают навыками построения графиков. Основной материал данной линии связан здесь с линейной и квадратичной функциями.

3) Старшая школа. Развитие функциональной линии происходит в нескольких аспектах: рассматриваются новые свойства функций (периодичность, наличие точек максимума или минимума); изучаются новые классы функций - тригонометрические, показательные, логарифмические функции; вводятся понятия производной, первообразной и интеграла, которые находят широкое применение при решении различных задач, связанных с исследованием функций, решением физических задач и т. п.

Рассмотрим более подробно обязательный минимум содержания функциональной линии в стандарте 1998 года. Для этого обратимся к таблице:

Ступень обучения	Обязательный минимум содержания образования
Начальная школа	Пропедевтика материала. Отношения «больше на…», «меньше на…», «больше в…», «меньше в…». Зависимости между величинами: «цена, количество товара, стоимость», «расстояние, время, скорость» и др.
Средняя школа	Координатная плоскость. Функция. Способы задания функции. Область определения функции. График функции. Свойства функции: возрастание, убывание, сохранение знака. Линейная и квадратичная функции, функция y=k/x, y=x3, y=vx, их свойства и графики. Определение синуса, косинуса, тангенса угла. Графики этих функций.
Старшая школа	Числовые функции и их свойства. Синус, косинус, тангенс числового аргумента. Периодичность тригонометрических функций. Графики тригонометрических функций. Показательная и логарифмическая функции, степенная функция, их свойства и графики. Производная, ее геометрический и механический смысл. Таблица производных элементарных функций. Производная суммы, произведения и частного двух функций. Производная функции вида у=f(kx+b). Признаки возрастания и убывания функций. Экстремумы функции. Первообразная. Таблица первообразных. Простейшие правила нахождения первообразных. Определенный интеграл. Геометрический смысл определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.

Требованиями к функциональной подготовке школьников по ступеням обучения являются:

Основная школа.

Учащиеся должны:

- правильно употреблять функциональную терминологию (значение функции, аргумент, график функции, область определения, возрастание и др.), понимать ее при чтение текста, в речи учителя, в формулировке задач;

- понимать содержательный смысл важнейших свойств функции, уметь по графику функции отвечать на вопросы, касающиеся ее свойств: указывать промежутки возрастания и убывания, знакопостоянства;

- находить значения функций, заданных формулой, таблицей, графиком, решать обратную задачу;

- строить графики функций - линейной, прямой и обратной пропорциональности, квадратичной функции и уметь по графику функции отвечать на вопросы, касающиеся ее свойств;

- интерпретировать в несложных случаях графики реальных зависимостей между величинами, отвечая на поставленные вопросы.

2) Старшая школа.

Учащиеся должны:

- определять значение функции по значению аргумента при любом способе задания функции, применяя в случае необходимости вычислительную технику;

- понимать смысл основных свойств числовых функций (монотонность, сохранение знака, экстремумы, наибольшее и наименьшее значение, ограниченность, периодичность) и их графическую интерпретацию;

- изображать графики основных элементарных функций, описывать свойства этих функций, опираясь на график;

- понимать геометрический и механический смысл производной; находить производные элементарных функций, пользуясь таблицей производных и правилами дифференцирования суммы и произведения; применять производную для исследования функций в несложных ситуациях на монотонность и экстремумы, для нахождения наибольших и наименьших значений функций;

- находить в простейших случаях первообразные функции;

- вычислять в простейших случаях значения интегралов, применять интегралы для нахождения площадей криволинейных трапеций.

Теперь рассмотрим стандарт 2002 года, который в настоящее время находится в доработке и пока еще не вступил в действие. Сразу же надо отметить, что на старшей ступени обучения выделяется два курса - базовый и профильный.

Задачами курса математики на разных ступенях обучения по функциональной линии являются:

· пропедевтика изучения функции;

· овладение системой функциональных понятий, функциональным языком и символикой, использование функционально-графических представлений для описания и анализа реальных зависимостей; изучение функций, предусмотренных минимумом содержания обучения, их свойства и графики;

· формирование умения использовать различные языки математики (словесный, символический, графический) и свободно переходить с языка на язык для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства задач функциональной линии;

· расширение и систематизация общих сведений о функциях, изучение новых классов элементарных функций;

· расширение и совершенствование математического аппарата, сформированного в основной школе (выражения, уравнения, неравенства, вычисления, включающие новые виды функций);

· ознакомление с элементами дифференциального и интегрального исчисления как аппаратом исследования функций, решения прикладных задач;

· развитие умения применять приобретенные алгебраические преобразования и функционально-графические представления для описания и анализа закономерностей, существующих в окружающем мире и в смежных предметах;

· совершенствование интеллектуальных и речевых умений с помощью функциональной линии;

· научить примененять алгебраический и функциональный аппарат, обогащенный новыми видами функций, к решению уравнений, неравенств и систем и к исследованию реальных зависимостей;

· овладение основными понятиями, результатами и методами математического анализа в объеме, позволяющем исследовать элементарные функции и решать простейшие геометрические, физические и другие прикладные задач.*^* Здесь и далее в этой главе курсивом отмечен профильный курс

Данные задачи решаются с помощью содержания обучения, функциональная линия развивается по ступеням обучения следующим образом:

1) Начальная школа. Содержание обучения дает возможность осуществить пропедевтику изучения функций при введении буквенных выражений, при рассмотрении зависимости между компонентами арифметических действий, при решении текстовых задач, в которых используются зависимости между различными величинами (например, между скоростью, расстоянием и временем).

2) Основная школа. При обучении учащиеся приобретают систематизированные знания об элементарных функциях и их свойствах, овладевают навыками построения графиков. Основной материал данной линии связан здесь с линейной и квадратичной функциями. Проводится пропедевтика наибольшего и наименьшего значения функции.

3) Старшая школа. Развитие функциональной линии происходит в нескольких аспектах: рассматриваются новые свойства функций (периодичность, наличие точек максимума или минимума, монотонность, четность или нечетность, ограниченность, непрерывность); изучаются новые классы функций - тригонометрические, показательные, логарифмические, степенные функции; изучается обратная функция, преобразование графиков, вводятся понятия производной, первообразной и интеграла, которые находят широкое применение при решении различных задач, связанных с исследованием функций, решением физических задач и т. п.

Рассмотрим обязательный минимум содержания функциональной линии в стандарте 2002 года. Для этого обратимся к таблице:

Ступень обучения	Обязательный минимум содержания образования
Начальная школа	Пропедевтика материала. Отношения «больше на…», «меньше на…», «больше в…», «меньше в…». Установление зависимостей между величинами, характеризующими процессы: движения (пройденный путь, время, скорость), работы (объем всей работы, время, производительность труда), «купли-продажи»(цена, количество товара, стоимость).
Средняя школа	Координатная прямая. Прямоугольная система координат на плоскости. Координаты точки плоскости. Числовая последовательность. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы n-го члена арифметической и геометрической прогрессий. Числовая функция. Область определения и множество значений функции. Способы задания функции. График функции. Возрастание и убывание функции. Промежутки знакопостоянства функции. Наибольшее и наименьшее значения функции. Чтение графиков функций. Свойства и графики функций: прямой и обратной пропорциональности, функций y=x2 и y=x3, линейной функции, квадратичной функции, функции y=vx и y=|x|.
Старшая школа	Сложные процессы в природе и обществе и необходимость создания специального математического аппарата - дискретных и непрерывных моделей - для их количественного описания. Равномерные и равноускоренные процессы и их описание с помощью линейных и квадратичных функций. Периодические процессы и их описание с помощью тригонометрии. Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла, действительного числа. Периодичность синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Графики тригонометрических функций. Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму. Обратные тригонометрические функции. Свойства и графики обратных тригонометрических функций. Процессы быстрого (экспоненциального) роста. Геометрическая прогрессия как дискретный пример процесса быстрого роста. Легенда о создании шахмат, сложные проценты, примеры быстрого роста в живой и неживой природе. Свойства функций: монотонность, четность и нечетность, периодичность, ограниченность, непрерывность. Построение графиков функций, заданных различными способами. Необходимость построения непрерывной модели для описания непрерывного процесса быстрого роста и соответствующего обобщения понятия степени. Показательная, степенная и логарифмическая функции. Графики степенной функции с натуральным показателем, показательной и логарифмической функций. Свойства показательной, степенной и логарифмической функций. Обратная функция. Признак существования и свойства обратной функции. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции. Сложная функция. Преобразования графиков: параллельный перенос, симметрия относительно осей координат и относительно начала координат, симметрия относительно прямой , растяжение и сжатие вдоль осей координат. Вертикальные и горизонтальные асимптоты графиков. Графики дробно-линейных функций. Графики рациональных функций. Производная, ее геометрический и механический смысл. Таблица производных элементарных функций. Производная суммы, произведения и частного функций. Признаки возрастания и убывания функций. Экстремумы функции. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Производная функции вида у=f(kx+b). Первообразная. Основное свойство первообразных. Таблица первообразных. Простейшие правила нахождения первообразных. Определенный интеграл. Геометрический смысл определенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница.

Требованиями, сформулированными в знаниях, умениях, навыках, к функциональной подготовке школьников по ступеням обучения являются:

Основная школа.

В результате изучения функциональной линии ученик должен:

Знать и понимать:

- что функция - это математическое понятие, позволяющее описывать и изучать разнообразные зависимости между реальными величинами, что конкретные типы функций (прямая и обратная пропорциональности, линейная, квадратичная функции) описывают большое разнообразие реальных зависимостей;

Уметь (владеть способами познавательной деятельности):

- владеть: функциональными понятиями и терминами: «функция», «аргумент», «значение функции», «график функции», «область определения», «область значений», «возрастающая функция» и др., функциональной символикой; различными способами задания функций - таблицей, формулой, графиком, словесной характеристикой; терминологией и символикой, связанными с последовательностями и способами их задания;

- находить значения функций, заданных формулой, таблицей, графиком, соответствующие конкретным значениям аргумента;

- указывать по графику функции промежутки возрастания и убывания, промежутки знакопостоянства, наибольшее и наименьшее значения, нули функции;

- строить графики линейной функции, прямой и обратной пропорциональности, квадратичной функции и отвечать на вопросы, касающиеся их свойств;

- распознавать и конструировать арифметическую и геометрическую прогрессии; решать несложные задачи с применением формул n-го члена и суммы первых n членов арифметической и геометрической прогрессий.

Применять полученные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

- интерпретировать содержательно графики реальных зависимостей между величинами;

- переводить на функциональный язык и исследовать несложные реальные зависимости;

- распознавать арифметическую и геометрическую прогрессии в практических ситуациях и выполнять требуемые вычисления с использованием соответствующих формул;

Старшая школа.

В результате изучения функциональной линии на базовом уровне ученик должен:

Знать и понимать:

- значение математической символики и формул математики для описания общих закономерностей науки, практики, для экономии усилий в повседневной жизни;

- поведение графика функции в точках, где она не имеет производной;

- понятие первообразной;

- геометрический смысл понятия интеграла;

- взаимную обратность операции дифференцирования и интегрирования;

Уметь (владеть способами познавательной деятельности):

- пользоваться радианной мерой измерения углов;

- находить значения функций на основе определений, с помощью калькулятора, таблиц и других справочных материалов;

- приводить приближенные значения основных математических констант с точностью до сотых;

- решать простейшие уравнения и неравенства, содержащие изученные и новые функции;

- определять значение произвольной функции по значению аргумента при различных способах задания функции - аналитическом, графическом, словесном;

- строить графики основных изученных функций - синуса и косинуса, показательной и логарифмической;

- находить производные элементарных функций, пользуясь таблицей производных и правилами дифференцирования суммы и произведения;

- применять производную для исследования функций на монотонность и экстремумы, для нахождения наибольших и наименьших значений функций;

- находить первообразные для суммы функций и произведения функции на число;

- находить различные содержательные интерпретации заданного математического соотношения или свойств графика;

- использовать производную для описания свойств функции, заданной графически;

Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни; владеть:

- навыками описания свойств функций по их графикам, в том числе связанных с производной;

В результате изучения функциональной линии на профильном уровне ученик должен:

Знать и понимать:

- сущность функции как математического понятия, позволяющего описывать и изучать разнообразные зависимости между реальными величинами; конкретные типы функций (степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические функции) описывающие большое разнообразие реальных процессов в природе и обществе;

- значение идей и методов математического анализа для приложений математики;

- геометрический и механический смысл производной;

- смысл понятия первообразной, ее геометрическую и физическую интерпретации;

- определение понятия интеграла на интуитивном уровне и его геометрический смысл.

Уметь (владеть способами познавательной деятельности):

- определять значение функции по значению аргумента (в том числе, с помощью калькулятора) при различных способах задания функции;

- иллюстрировать основные свойства функций их с помощью графических изображений;

- строить графики основных функций, предусмотренных обязательным минимумом содержания;

- интерпретировать содержательно графики реальных зависимостей между величинами, отвечая на поставленные вопросы;

- переводить на функциональный язык и исследовать реальные зависимости, описываемые рассмотренными в курсе типами функций;

- функциональными понятиями и терминами, связанными со свойствами функций, со способами задания функций, функциональной символикой;

- навыками применения свойств функций к решению уравнений и неравенств;

- навыками описания свойств функции по ее графику;

- навыками использования свойства функции для сравнения и оценки ее значений;

- навыками построения графиков функций с использованием основных приемов преобразования графиков.

- находить производные элементарных функций, пользуясь таблицей производных и правилами дифференцирования суммы, произведения и частного, формулой производной функции вида y = f(ax + b);

- находить первообразные для суммы функций и произведения функции на число;

- вычислять в простейших случаях площади криволинейных трапеций;

- использовать основные понятия, результаты и методы математического анализа для решения геометрических, физических и других несложных прикладных задач.

Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни; владеть:

- навыками применения производной для исследования функций на монотонность и экстремумы, для нахождения наибольших и наименьших значений функций и для построения их графиков;

- навыками вычисления площадей криволинейных трапеций.

Из анализа функциональной линии по двум стандартам можно сделать следующие выводы:

1) Задачи курса математики по функциональной линии в целом совпадают, но во втором стандарте упор делается на применение функций в жизни, на правильность «функционального языка»;

2) В целом развитие функциональной линии происходит на одинаковых ступенях обучения;

3) В средней школе содержание обучения по функциональной линии немного отличается:

· в первом стандарте предусмотрена пропедевтика тригонометрических функций, то есть с ними знакомят в описательном порядке, как с новым классом функций;

· в требованиях к математической подготовке школьников по функциональной линии в БУП 1998 года написано, что учащиеся должны овладеть системой функциональных понятий (функция, значение функции, график, аргумент, область определения и область значения, возрастание, убывание, сохранение знака) [63,50], поэтому можно сделать вывод, что в проект стандарта 2002 года добавлено чтение графиков и определение наибольшего и наименьшего значения;

4) В старшей школе наиболее заметна разница в содержании образования:

· во втором проекте делается упор на применение функциональной линии в жизни, описание процессов природы с помощью функций;

· базовый курс в целом совпадает с курсом по первому стандарту, единственное отличие, что в базовом курсе не является обязательным изучение геометрического смысла определенного интеграла;

· профильный курс уже гораздо сильнее курса по первому стандарту: добавлено обязательное изучение обратной функции, преобразования графиков, ассимптот графиков;

5) Так как на изучение базового курса в старшей школе объемными показателями отводиться гораздо меньше времени, чем в БУП 1998 года, а курс функциональной линии практически не сократился, то можно сделать вывод, что по новому стандарту предусмотрено недостаточно времени на изучение данной линии;

6) Несмотря на то, что в новом стандарте, все требования переведены на язык ЗУН, в целом требования к функциональной подготовке выпускников на базовом уровне практически не изменились, произошло увеличение требований к профильному курсу.

§2. Методика введения понятия функции по стандартам математического образования

2.1 Анализ различных учебных пособий

Функциональная линия является одной из самых важных линий в курсе математики. Без правильного введения понятия функции невозможен дальнейший процесс изучения данной линии. Поэтому далее в своей работе я буду рассматривать тему «Введение понятия функции» более подробно.

В школьных учебниках существовали и существуют различные подходы к определению понятия функции и ее введению и дальнейшему формированию, которые в той или иной мере являлись отражением исторического пути становления этого понятия, как зависимой переменной, как правила или закона, как выражения, и как соответствия или отношения.

Что жезаставляет методистов искать новые пути введения понятия функции? На поиски их толкает неудовлетворенность результатами изучения функции учащимися: слабая ориентация в системе координат, отсутствие у некоторых учащихся представления о графиках основных изучаемых функций, некоторые не видят связи между изучаемыми функциями и решением уравнений и неравенств, не умеют читать графики функций и, наконец, большинство просто не понимают определения понятия функции и бездумно его заучивают.

В немалой степени такое состояние функциональной подготовки учащихся было вызвано теми подходами к определению понятия функции, которые были приняты в школьных учебниках, отсутствием четкости в этих определениях, не позволившим точно, однозначно и доступно трактовать рассматриваемое понятие, несвоевременностью его введения.

Рассмотрим примеры определений, которые были даны в учебнике Киселева А.П. и учебнике Кочетковой Е.С.: