Процесс обучения математике на факультативных занятиях в классах основной школы

Психолого-педагогические особенности подросткового возраста и специфика обучения в школе. История развития математики как науки. Доказательства утверждений, образующих материал занятий. Структура и план факультативного курса, результаты его апробации.

Рубрика Педагогика
Вид дипломная работа
Язык русский
Дата добавления 26.12.2011
Размер файла 2,0 M

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

v. дедуктивно-эвристический;

vi. дедуктивно-исследовательский;

vii. обобщенно-репродуктивный;

viii. обобщенно-эвристический;

ix. обобщенно-исследовательский.

5. Тематическое планирование:

План занятий

1

Обобщенная теорема синусов

2

2

Теорема Чевы

2

3

Замечательные точки

2

4

Вписанная и вневписанная окружности

2

5

Теорема Штейнера-Лемуса

2

6

Ортотреугольник

2

7

Серединный треугольник и прямая Эйлера

2

8

Окружность девяти точек

2

9

Педальный треугольник

2

10

Контрольная работа

2

11 14

Решение задач

2

4.2 Планирование занятий

4.2.1 Обобщенная теорема синусов

Теорема синусов - это тригонометрическая теорема, которой мы будем часто пользоваться.

К сожалению, в учебниках она обычно появляется в урезанной форме, и в этом виде она не приносит всей той пользы, которую могла бы дать обобщенная теорема. Поэтому докажем эту теорему в желательной для нас форме.

Давайте вспомним формулировку теоремы синусов, о чем в ней говориться?

Учащиеся формулируют известную им теорему синусов (если требуется, то с помощью учителя).

Формулировка: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

.

Мы начинаем с треугольника АВС и описываем вокруг его окружность с центром в точке О и радиусом R, как показано на рисунке. Проведем диаметр CJ и хорду BJ.

Что можно сказать про угол CBJ?

Он прямой.

Почему?

Потому что он вписан в окружность и опирается на диаметр.

Да, в обоих случаях CBJ - прямой, так как он вписан в полукруг.

Следовательно, как тогда можно выразить sinJ?

Рассмотрим рисунок.

Что вы можете сказать про углы J и A, какие они?

Они равны.

Почему?

Потому что они опираются на одну и ту же дугу окружности.

На рисунке J=A, поскольку углы J и A опираются на одну и ту же дугу окружности.

А на втором рисунке, что вы можете сказать про углы J и A, какие они?

Скажите, вот вы сделали дополнительные построения, какую фигуру вы видите на рисунке.

Треугольник.

Скажите, какие дополнительные построения вы сделали?

Вокруг имеющегося треугольника мы описали окружность, построили диаметр CJ и хорду BJ.

Какая в итоге получилась фигура?

Четырехугольник, вписанный в окружность.

Так что можно сказать про углы J и A данного четырехугольника, какие они?

Противоположные.

А что вам известно про противоположные углы вписанного четырехугольника?

Они являются дополнительными.

Что это значит? Какой можно из этого сделать вывод? Как это можно записать?

J = 1800 - А

Давайте посчитаем синус J.

sinJ = sin(1800 - А)

А это почему?

Потому что противоположные углы вписанного четырехугольника являются дополнительными.

И что из этого следует? Какой можно сделать вывод? Чему же равен sinJ?

sinJ=sinA

Чем вы воспользовались, чтобы получить это равенство?

Мы воспользовались равенством sin = sin (1800 - ).

Скажите, этот вывод относится к какому рассматриваемому случаю, 1 или 2?

К обоим.

Почему к обоим?

Потому что данное равенство sin = sin (1800 - ) справедливо для этих двух случаев.

Теперь на основании сделанных умозаключений давайте сделаем вывод, что sinA = a/2R, так как sin = sin (1800 - ), и получим что a/sinA=2R.

Аналогично, если проведем подобные рассуждения, получим такие же результаты для остальных углов.

Объединяя результаты, мы можем сформулировать обобщенную теорему синусов следующим образом:

Запишем обобщенную теорему синусов.

Теорема 1.1: Для треугольника АВС с радиусом описанного круга R выполнены соотношения:

a / sinA = b / sinB = c / sinC = 2R.

Решение задач:

Приведенные ниже задачи разделены на 2 блока. Задачи из блока 1 - это задачи на применение теоремы синусов, задачи из блока 2 - задачи на применение обобщенной теоремы синусов.

Задачи блока 1 можно предложить для решения учащимся до введения нового материала.

Блок 1.

1. С помощью теоремы синусов решите треугольник, если:

а) А=600, В=400, с =14

б) А=300, С=750, b = 4,5

в) А=800, a = 16, b = 10

г) B=450, C=700, a = 24,6

д) А=600, a = 10, b = 7

2. В треугольнике АВС АС=12, А=750, С=600. Найдите АВ и SABC.

3. Найдите стороны треугольника АВС, если А=450, В=300, а высота AD равна 3 метрам.

4. В параллелограмме . Найдите BDC и DBC.

5. Найдите биссектрисы треугольника, если одна из его сторон равна а, а прилежащие к этой стороне углы равны и .

Блок 2.

6. Найдите угол А треугольника АВС, если известно, что радиус описанной около этого треугольника окружности равен 6, а сторона ВС равна 3.

7. Найдите сторону ВС треугольника АВС, если известно, что угол А равен 70 градусам и радиус описанной окружности равен 4.

8. Найдите радиус описанной около треугольника окружности, если одна его сторона равна 4, противоположный ей угол равен 55 градусам.

Домашнее задание:

Учить новый материал.

Задачи: Придумать 3 задачи на применение обобщенной теоремы синусов.

Сделать доклад на тему: «Джованни Чева - его теоремы и тд.»

Так же нужно вспомнить, как связаны площади треугольников с равными высотами и их основания.

Задание «Сделать доклад» дается 2 группам учащихся (каждая группа состоит максимум из 3 человек), предполагается соревновательная форма работы.

4.2.2 Теорема Чевы

Этап 1. Организационный момент. Проверка домашнего задания. Повторение изученного материала.

Этап 2. Введение нового материала.

Вы уже хорошо знакомы с понятием треугольник. Давайте вспомним, какие линии в треугольнике вам известны?

Учащиеся перечисляют известные им линии треугольника. Особое внимание учитель обращает на медиану, высоту и биссектрису. Далее учитель просит учащихся проанализировать эти три линии и найти их общие черты и различия. Учащиеся должны увидеть, что каждая из этих линии это отрезок, выходящий из вершины треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне.

Вводится определение.

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне, называется чевианой.

Краткая историческая справка.

Этот термин происходит от имени итальянского математика Джованни Чевы, который в 1678 году опубликовал следующую очень полезную теорему:

Учащиеся записывают

Теорема 2.1: Если три чевианы AX, BY, CZ (по одной из каждой вершины) треугольника АВС конкурентны, то:

.

Когда мы говорим, что три прямые (или отрезка) конкурентны, то имеем в виду, что все они проходят через одну точку, которую обозначим через Р.

Как результат выполненного домашнего задания учащиеся под руководством учителя формулируют факт о том, что площади треугольников с равными высотами пропорциональны основаниям треугольников.

Для доказательства этой теоремы (как только что было уточнено) вспомним, что площади треугольников с равными высотами пропорциональны основаниям треугольников.

Далее, путем построения простой логической цепочки рассуждений ученики выводят следующие факты:

Для доказательства справедливости утверждения теоремы классу предлагается проверить ее утверждение, используя уже полученный результат.

Классу сообщается, что теорема, обратная к этой теореме, также верна.

Ученикам предлагается сформулировать теорему обратную к исходной. Ученики формулируют и записывают:

Теорема 2.2: Если три чевианы AX, BY, CZ удовлетворяют нижеприведенному соотношению, то они конкурентны:

.

Доказательство этой теоремы можно предложить ученикам выполнить дома, в случае, если на дом ученикам дается другое задание, то доказательство можно провести на занятии. В зависимости, от планов учителя, доказывать теорему могут ученики или он сам.

Решение задач:

Следующим этапом предлагаются задачи с нарастающей трудностью:

Доказать, что в треугольнике АВС в одной точке пересекаются:

1. медианы треугольника

2. биссектрисы внутренних углов треугольника

3. высоты треугольника

4. прямые, выходящие из вершины треугольника с точками касания вписанной в него окружности

5. прямые, которые выходят из вершины треугольника и делят противоположные стороны пропорционально одним и тем же самым тригонометрическим функциям прилежащих углов

6. прямые, которые соединяют вершины треугольника с точками касания соответственных вневписанных окружностей.

Задачи 1-6 являются вспомогательными задачами, готовящими ученика к самостоятельной деятельности. Схематично задача А вместе с серией вспомогательных задач А1, А2, ……Аn изображается так: А1 - А2 - А3 - …-Аn. Самостоятельная деятельность ученика начинается с решения задачи А (тригонометрическая теорема Чевы). Если ученик за определенное время не может решить её, то приступает к решению первой вспомогательной задачи А1: А-А1 (теорема Чевы). В случае решения задачи А1 ученик возвращается к задаче А1: А - А1. Если задача А снова не решается, то ученик обращается к задаче А2. Решив задачу А2, возвращается к задаче А и т.д.

Возможен случай, когда школьник не сможет решить вспомогательную задачу А1. Тогда он приступает к решению задачи А2. От задачи Аn ученик последовательно возвращается к задаче А.

Вернемся к тригонометрической форме теоремы Чевы, которая является основной задачей и предлагается доказать ученику самостоятельно.

Домашнее задание:

Решить задачи 5-6.

По учебнику найти, какие точки называются замечательными. Подготовить доклад о найденных замечательных точках.

Вырезать из плотного картона остроугольный треугольник.

4.2.3 Замечательные точки

Этап 1. Проверка домашнего задания. Повторение.

Этап 2. Введение нового материала (метод - объяснительно-иллюстративный и частично поисковый).

Слова учителя:

Существует много специальных точек и линий, связанных с треугольником. Мы уже упоминали одну такую точку - центр окружности, описанной вокруг треугольника.

Условимся обозначать ее О. Она является точкой пересечения трех перпендикуляров, делящих пополам стороны треугольника. Радиус описанной окружности был уже обозначен буквой R. Эти 2 чертежа заранее приготовлены на доске.

Ученики конспектируют определения, понятия и делают записи и чертежи. Чевианы, которые связывают вершины треугольника с серединами противоположных сторон, называются медианами. На рисунке отрезки АА`, BB` и CC` - медианы, так что |BA`|=|A`C|, |CB`|=|B`A| и |AC`|=|C`B|. Применяя теорему 2, делаем вывод, что медианы конкурентны. Их общая точка G называется центроидом треугольника. Если бы треугольник был вырезан из однородного материала, то он оставался бы в равновесии, будучи подвешенным в этой точке. Другими словами, центроид есть «центр тяжести» треугольника. Для наглядности учащиеся берут сделанные дома заготовки и проверяют последнее утверждение.

Рассмотрим 2 треугольника SGBA`= SGA`C.

Что вы можете сказать про эти 2 треугольника?

Равны они или нет?

Нет.

Почему?

Они не равны, так как у них разные длины боковых сторон, а основания равны.

У них равны только основания?

Нет.

Какие еще элементы у них равны?

У них равны высоты.

Почему?

Их высоты равны, потому что вершины этих треугольников находятся в одной точке, а их основания лежат на основании треугольника АВС.

А что вам известно про треугольники с равными основаниями и высотами?

Их площади равны.

И так, мы обнаружили, что SGBA`= SGA`C, так как эти треугольники имеют одинаковые основания и одну и ту же высоту. На рисунке обозначим эти площади одной и той же буквой х.

А что можно сказать про треугольники BGC`, AGC`, CGB`, AGB`?

Площади треугольников BGC`, AGC` и CGB`, AGB` равны, так как у этих треугольников равны высоты и основания.

То есть, делаем вывод, что SGCB` = SGB`A и SGAC` = SGC`B.

Обозначим эти площади через y и z, и отметим это на чертеже.

А что вы можете сказать про треугольники CAC` и CC`B?

Их площади SCAC` = SCC`B так же равны между собой.

Чему равна площадь треугольника SCAC`?

SCAC` = 2y + z.

Чему равна площадь треугольника SCC`B?

SCC`B = 2x + z.

Но так как SCAC` = SCC`B, то 2y + z = 2x + z, сократим слева и справа равные элементы, получим 2y = 2x, а следовательно x = y.

А что вы можете сказать про треугольники SABA` и SAA`C?

Если провести такие же рассуждения, то получим, что y = z.

Какой можно сделать вывод из 2 последних рассуждений?

x = y = z.

Прекрасно вы показали, что x = y = z.

Теорема 3.1: Треугольник делится своими медианами на шесть меньших треугольников равной площади.

Далее ученикам сообщается уже известный факт.
Продолжая рассмотрение рисунка, отмечаем, что SGAB = 2SGBA`. Так как эти треугольники имеют общую высоту, то отсюда следует, что |AG|=2|GA`|. Аналогично, |BG|=2|GB`| и |CG|=2|GC`|.
Теорема 3.2: Медианы треугольника делят одна другую в отношении 2:1.

Другими словами, каждая медиана отсекает треть другой.

Чевианы AD, BE, CF, перпендикулярные прямым BC, CA, AB, соответственно, называются высотами треугольника АВС. Теорема, обратная теореме Чевы, устанавливает их конкурентность. Их общая точка Н называется ортоцентром.

Ученики записывают определение

Сами точки D, E, F называются основаниями высот. Соединяя их попарно, мы получим треугольник DEF - ортотреугольник треугольника АВС.

Следующий блок информации дается учителем, ученики записывают теоремы, определения и делают чертежи.
Другое важное семейство чевиан образуют биссектрисы внутренних углов. На рисунке показана одна такая биссектриса AL.
В данный момент можно попросить учеников сформулировать теорему 1.1 и спросить - почему ее можно применить в данном случае?
Применяя теорему 1.1 к двум треугольникам ABL и ALC (углы которых в точке L, равные синусы), мы получаем:
.
Так как можем получить аналогичные результаты для биссектрис внутренних углов B и C, то таким образом доказали.
Теорема 3.3: Каждая биссектриса внутреннего угла в треугольнике делит противоположную сторону на отрезки, длины которых пропорциональны длинам прилегающих сторон.

Следующие три момента нужно отдельно выделить, после их предварительного воспроизведения учащимися.

Любая точка на прямой AL равноудалена от прямых CA и AB. Аналогично, любая точка на биссектрисе внутреннего угла В равноудалена от прямых ВА и ВС. Следовательно, точка I, в которой эти две биссектрисы пересекаются, находится на равных расстояниях r от трех сторон:

Из последнего вывода делается вывод (он хорошо известен учащимся из курса планиметрии и проверен на практике, заодно можно вспомнить понятие конкурентности).

Теорема 3.4: Биссектрисы трех внутренних углов треугольника конкурентны.
Окружность с центром в точке I и радиуса r касается всех трех сторон и поэтому является вписанной окружностью.

Решение задач:

1. В остроугольном треугольнике АВС высоты АА1 и ВВ1 пересекаются в точке О. Найдите угол ОВА, если угол ОСА = 38°.
2. В треугольнике АВС биссектрисы ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О. Найдите отношение площадей треугольника ВОА и АОС, если АВ = 10, АС = 15.
3. В остроугольном треугольнике АВС серединные перпендикуляры сторон АВ и АС пересекаются в точке О и ОА = 8. Найдите площадь треугольника ОВС, если угол ОВС = 60°.
4. В остроугольном треугольнике АВС высоты ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О. Найдите угол ОАВ, если ВС = 2ВС1.
5. В треугольнике АВС медианы ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О и взаимно перпендикулярны. Найдите ОА, если ВВ1 = 36, СС1 = 15.
Домашнее задание:

Решить задачи:

1. В остроугольном треугольнике АВС серединные перпендикуляры сторон ВС и АС пересекаются в точке О. Найдите строну Ос, если АВ = 10, а угол ВОА = 120°.
2. Во внутренней области треугольника АВС взята точка О, равноудаленная от его сторон. Найдите угол АОС, если угол АВО = 39°.
3. Найдите углы треугольника, если известно, что одна из биссектрис этого треугольника разбивают его на два равнобедренных треугольника.

Доделать задачи, которые не сделаны на уроке.

Подготовить доклад на тему «Вневписанная окружность»

4.2.4 Вписанная и вневписанная окружности

Этап 1. Проверка домашнего задания.

Этап 2. Введение нового материала.

Перед введением нового материала выслушивается доклад сделанный учениками по теме урока. В это время остальной класс делает конспект делаемого доклада. После завершения того, как доклад будет заслушан подводятся итоги по полученной информации и делаются выводы самими учениками под руководством учителя. А после этого уже сам учитель дополняет и корректирует материал текущего урока.
На рисунке изображена вписанная окружность, касающаяся сторон ВС, СА и АВ в точках X, Y, Z. Обозначим через x длины отрезков AY и AZ, через y длины отрезков BZ и BX, через z длины отрезков CX и CY.
Почему AY = AZ, BZ = BX, CX = CY?
Они равны. Так как две касательные к окружности, проведенные из внешней точки, равны, и мы получаем, что |AY|=|AZ|, |BZ|=|BX|, |CX|=|CY|.
На рисунке длины этих отрезков обозначены x, y, z так что y + z=a, z + x=b, x + y=c.

Сложим эти равенства. Что получим?

Получим 2x + 2y + 2z = a + b + c = Р, то есть периметр.
Для нужного нам обозначения используем введенное Эйлером обозначение s для полупериметра (от «semiperimetr»), получим 2x + 2y + 2z = a + b + c = 2s, поэтому х + y + z=s, т.е. справедлива
Теорема 4.1: Для треугольника, изображенного на рисунке, выполняются соотношения:

x=s-a,

y=s-b,

z=s-c.

Здесь x, y, z - длины равных отрезков касательных проведенных из точек А, В и С (А, В,С - вершины треугольника АВС) к окружности с центром в точке I и радиусом r, s - полупериметр треугольника АВС.

Дальнейшие рассуждения направлены на рассмотрение и доказательство следующей теоремы.

Рассмотрим треугольник IBC.
Чему равна площадь треугольника IBC с основанием а и высотой r?
Так как треугольник IBC имеет основание а и высоту r, то его площадь равна
А чему равны площади треугольников ICA и IAB?
Какое равенство будет получено, если сложить все три выражения для площадей треугольников IBC, ICA, IAB?
Мы получим: .
Тем самым вы доказали теорему.
Теорема 4.2: Для треугольника, изображенного на рисунке, выполняется соотношение:
SABC = sr.

Площадь треугольника АВС равна произведению полупериметра этого треугольника на радиус вписанной в него окружности.

Учащиеся под руководством учителя выполняют построения, фиксируют алгоритм построения и записывают следующие факты.
Построим произвольный остроугольный треугольник АВС. Продлим каждую из его сторон за вершины треугольника. Введем обозначения для продолжений сторон проведем дополнительные построения: а) построим биссектрисы внутренних треугольника и продлим их за стороны треугольника, б) построим биссектрисы внешних углов треугольника АВС, полученных продлением сторон треугольника за его вершины, в) точки пересечения биссектрис внутренних углов треугольника с соответствующими биссектрисами внешних углов обозначим как на рисунке, г) соединим полученные точки пересечения.
Мы получили изображение треугольника , стороны которого являются биссектрисами внешних углов треугольника АВС. Любая точка на биссектрисе угла В равноудалена от прямых АВ и ВС. Аналогично, любая точка на прямой равноудалена от прямых ВС и СА. Следовательно точка Ia, в которой эти биссектрисы пересекаются, находится на одинаковом расстоянии ra от всех трех сторон. Так как Ia равноудалена от сторон АВ и АС, то она должна принадлежать множеству точек, равноудаленных от этих прямых, то есть она должна лежать на прямой А1, внутренней биссектрисе угла А.
Теорема 4.3: Внешние биссектрисы любых двух углов треугольника конкурентны с внутренней биссектрисой третьего угла.
Для закрепления понимания понятия «конкурентности» у учащихся рекомендуется спросить расшифровку этого понятия.
Окружность с центром в точке Ia радиуса ra, касающаяся всех трех сторон треугольника, является одной из трех вневписанных окружностей. Каждая из вневписанных окружностей касается одной из сторон треугольника внутри, а двух других сторон (продолженных) извне.

Обозначив точки касания как на рисунке, т.к. две касательные из одной точки к окружности имеют одинаковые длины, то: ;

Следовательно, касательная из точки В (или любой другой вершины) к вневписанной окружности, расположенной за противолежащей стороной, имеет длину s. Действительно: .

Кроме того, так как: .

И так далее, то также и: .

Решение задач:

1. Пусть М - точка на стороне АС треугольника АВС. Обозначим через R1 и R2 радиусы окружностей, описанных около треугольников АВМ и СВМ соответственно. Докажите, что R1 относится к R2, как АВ к ВС.

2. Даны окружность и точка А вне ее. АВ и АС - касательные к окружности (В и С - точки касания). Докажите, что середины двух дуг, на которые разделена данная окружность точками В и С, являются центром вписанной и вневписанной окружности треугольника АВС.

3. Пусть J - центр окружности, вписанной в треугольник АВС, Ja - центр вневписанной окружности (касающейся сторон ВС и продолжений сторон АВ и АС). Докажите, что точки В, С, J, Ja - расположены на одной прямой.

4. Пусть J - центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Докажите, что прямая AJ проходит через центр окружности, проходящей через точки В, С и J.

5. Пусть Ja - центр вневписанной окружности. Найдите угол AJaB, если угол АВС равен .

6. Три окружности радиусам 1, 2, 3 попарно касаются друг друга внешним образом. Найдите радиус окружности, проходящей через точки касания этих окружностей.

Домашнее задание:

Решить задачи 5-6 и доделать задачи из классной работы.

Сделать доклад о Штейнере и Лемусе.

4.2.5 Теорема Штейнера-Лемуса

Этап 1. Проверка домашнего задания.

Этап 2. Повторение ранее изученного материала.

Учащиеся формулируют определения и теоремы, изученные на прошлых уроках.

Этап 3. Введение нового материала (объяснительно иллюстративный способ).

Учащиеся рассказывают подготовленную историческую справку о Штейнере и о Лемусе.

Ученики записывают формулировку теоремы.

Теорема 5.1: Любой треугольник, у которого равны длины биссектрис двух углов (измеряемые от вершины до противоположной стороны), является равнобедренным.

Одно из простейших доказательств этой теоремы опирается на следующие две леммы:

Лемма 5.1.1: Если две хорды окружности стягивают различные острые углы с вершинами на этой окружности, то меньшему углу соответствует меньшая хорда.

Доказательство: Две равные хорды стягивают углы с вершиной в центре окружности и равные углы (как их половины) с вершинами в соответствующих точках на окружности. Из двух не равных хорд более короткая, находясь дальше от центра, стягивает меньший угол с вершиной в центре и, следовательно, меньший острый угол с вершинами на окружности.

Учащиеся дома должны записать это доказательство в символьной форме
Лемма 5.1.2: В треугольнике с двумя различными углами меньший угол обладает большей биссектрисой.
Доказательство: Пусть АВС - треугольник, в котором угол В меньше угла С, как на рисунке; пусть отрезки BM и CN делят пополам углы В и С. Мы хотим доказать, что |BM|>|CN|. Возьмем точку М` на отрезке ВМ так, чтобы M`CN=1/2 B. Так как это угол равен углу M`BN, то четыре точки N, B, C, M` на одной окружности. Поскольку B < 1/2(B+C) < 1/2(A+B+C), то CBN < M`CB <90°.
По лемме 5.1.1 |CN|<|M`B|. Следовательно, |BM|>|BM`|>|CN|.
Доказательство теоремы: Часто бывает, что теорема может быть выражена в форме «противоположной к обратной» - эквивалентной к обратной. Вместо доказательства теоремы 5.1 для нас будет достаточно доказать, что если в треугольнике АВС: В С, то |BM| |CN|. Но это есть прямое следствие леммы 5.1.2.
В силу того, что теоретическая часть этого занятия носит исключительно ознакомительный характер, то на этапе решения задач предполагается решение задач подготавливающих к введению нового материала следующего занятия и повторение ранее изученного материала.

Решение задач:

1. Докажите, что прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.

2. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты Докажите, что треугольники подобны треугольнику АВС.
3. Треугольник , вершинами которого являются основания высот треугольника АВС. Найдите углы ортоцентрического треугольника остроугольного треугольника АВС, если углы треугольника АВС равны А, В, С.

4. Докажите, что высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами его ортоцентрического треугольника.

5. Найдите углы ортоцентрического треугольника тупоугольного треугольника, если углы треугольника АВС равны А, В, С (угол С тупой).

6. Найдите углы всех треугольников, которые подобны своим ортоцентрическим треугольникам.

7. Дан остроугольный треугольник АВС. Докажите, что точки, симметричные ортоцентру треугольника АВС относительно его сторон, лежат на окружности, описанной около этого треугольника.

8. Продолжения высот остроугольного треугольника АВС пересекают описанную окружность в точках. Докажите, что а) треугольник подобен ортоцентрическому треугольнику треугольника АВС и коэффициент подобия равен 2, б) высоты треугольника АВС являются биссектрисами треугольника .

9. Пусть Н - ортоцентр треугольника АВС. Докажите, что радиусы окружностей, описанных около треугольников АВН, ВСН и САН равны между собой и равны радиусу окружности, описанной около треугольника АВС.

Домашнее задание:

Решить задачи 6-9 и дорешать задачи из классной работы.

Подготовить доклад на тему «Ортотреугольник»
4.2.6 Ортотреугольник
Этап 1. Проверка домашнего задания и разбор не решенных задач.

Этап 2. Повторение ранее изученного материала.

Этап 3. Введение нового материала (объяснительно иллюстративный метод).

Прежде всего, учащиеся формулируют определение ортоцентра треугольника и ортоцентрического треугольника. Далее учащиеся записывают формулировку теоремы.
Теорема 6.1: Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.

Одно из простейших доказательств опирается на две следующие леммы:

Две следующие леммы, используемые для доказательства теоремы 6.1 уже хорошо известны учащимся из курса планиметрии.

Лемма 6.1.1: Если две хорды окружности стягивают различные острые углы с вершинами на этой окружности, то меньшему углу соответствует меньшая хорда.

Доказательство: Две равные хорды стягивают равные углы с вершиной в центре окружности и равные углы (как их половины) с вершинами в соответствующих точках на окружности. Из двух неравных хорд более короткая, находясь дальше от центра, стягивает меньший угол с вершиной в центре и, следовательно; меньший угол с вершиной на окружности.

Лемма 6.1.2: В треугольнике с двумя различными углами меньший угол обладает большей биссектрисой.

Доказательство:

Пусть АВС - треугольник, в котором угол В меньше угла С, как на рисунке; пусть отрезки ВМ и CN делят пополам углы В и С. Мы хотим доказать, что . Возьмём точку М` на отрезке ВМ так, чтобы . Так как этот угол равен углу M`BN, то четыре точки N, B, C, M` лежат на одной окружности. Поскольку то . По лемме 1.6.1 . Следовательно,

Доказательство теоремы 6.1:

При доказательстве этой теоремы важно обратить внимание учащихся на построении структуры логических рассуждений, которые делают доказательство данной теоремы более коротким.

Часто случается, что теорема может быть выражена в форме «противоположной к обратной» - эквивалентной первоначальной.

Например, вместо того, чтобы сказать: «Все люди смертны», мы можем также сказать «Бессмертные не есть люди».

Вместо доказательства самой теоремы 6.1. нам достаточно доказать, что если в треугольнике АВС: , то . Но это есть прямое следствие леммы 6.1.2.

Теорема 6.2: Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.

Учащимся предлагается самостоятельно показать доказательство этой теоремы дома.

Мы уже отметили на рисунке, что . А так как отрезок HD перпендикулярен отрезку DB, то и отрезок FD должен быть перпендикулярен отрезку OB. Перпендикулярность отрезков DE и OC, а также EF и OA показывается аналогично.

Решение задач:

Задачи 1-7 из задачника.

Домашнее задание:

Решить задачи 8-11 из задачника.

4.2.7 Серединный треугольник и прямая Эйлера

Этап 1. Проверка домашнего задания. Особое внимание уделяется проверке доказательства теоремы 6.2.

Этап 2. Повторение ранее изученного материала. Проводится сначала письменный опрос учащихся по материалу предыдущих уроков. После окончания работы ученики сдают листочки со своими ответами, и начинается устный опрос по тем же самым вопросам, что дает возможность учащимся проверить их работы.

Этап 3. Введение нового материала.

Учащиеся записывают определение:

Треугольник, полученный соединением середин сторон данного треугольника, назовем серединным треугольником.

На доске по заготовленному за ранее чертежу ведется объяснение.

На рисунке A`B`C` есть срединный треугольник треугольника АВС. Рассмотрим так же две медианы AA` и BB`, пересекающиеся в точке G, две высоты треугольника ABC, пересекающиеся в точке H, и две высоты треугольника A`B`C` пересекающиеся в точке O.

Что вы можете сказать про треугольники АВС и А`B`C`? Какие они?

Стороны треугольника A`B`C` параллельны сторонам треугольника АВС, поэтому эти треугольники подобны.

Далее, |C`B`|=1/2|BC|, поэтому отношение длин любых двух соответствующих отрезков (а не только соответствующих сторон) будет равно1:2. В действительности, отрезки B`C`, C`A`, A`B` разбивают треугольник ABC на четыре конгруэнтных треугольника. Кстати, точка P -середина отрезка B`C` - также является и серединой отрезка AA`

Далее мы видим, что AC`A`B` - параллелограмм, следовательно, прямая AA` делит пополам отрезок B`C`. Поэтому медианы треугольника A`B`C` лежат на медианах треугольника ABC, а это значит, что оба треугольника имеют один и тот же центроид G.

Высоты треугольника A`B`C`, изображенные на рисунке, являются срединными перпендикулярами сторон AB и BC треугольника ABC. Отсюда делаем вывод, что точка O - ортоцентр треугольника A`B`C` - является время и центром окружности, описанной вокруг треугольника ABC.

Так как точка H - ортоцентр треугольника ABC, а точка O - ортоцентр подобного ему треугольника A`B`C`, то |AH| = 2 |OA`|. По теореме 3.2 |AG| + 2 |GA`|. И так как оба отрезка, AD и OA`, перпендикулярны стороне BC, то они параллельны. Следовательно,

HAG = OA`G, HAG OA`G и AGH = A`GO.

Этим показано, что точки O, G, H коллинеарны и |HG| = 2 |GO|, то есть справедлива

Теорема 7.1: Ортоцентр, центроид и центр описанной окружности произвольного треугольника лежат на одной прямой. Центроид делит расстояние от ортоцентра до центра описанной окружности в отношении 2:1.

Решение задач:

№55 из задачника.

Домашнее задание:

Учить все определения и теоремы.

4.2.8 Окружность девяти точек

Рассмотрим рисунок. На нем точки K, L, M - середины отрезков AH, BH, CH, лежащих на высотах.

Так как BC - общая сторона двух треугольников ABC и HBC, а точки C`, B` и L, M являются серединами других их сторон соответственно, то отрезки C`B` и LM параллельны прямой BC. Аналогично, так как AH - общая сторона двух треугольников BAH и CAH, то оба отрезка C`L и B`M параллельны прямой AH. Следовательно, B`C`LM - параллелограмм. Так как отрезки BC и AH - перпендикулярны, то этот параллелограмм - прямоугольник. Аналогично, A`B`KL - прямоугольник. Следовательно, A`K, B`L, C`M являются тремя диаметрами окружности, как показано на рисунке.

Так как A`DK - прямой, то эта окружность проходит через точку D. Точно также она проходит через точки E и F.

В итоге получаем:

Теорема 8.1. Основания трех высот произвольного треугольника, середины трех его сторон и середины трех отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат на одной окружности радиуса (Ѕ)R.

Теорема 8.2. Центр окружности девяти точек лежит на прямой Эйлера, точно в середине отрезка между ортоцентром и центром описанной окружности.

Решение задач:

Задача № 54, 56-58 из задачника.

Домашнее задание:

Решить задачи №№59-63.

4.2.9 Педальный треугольник

Ортотреугольник и серединный треугольник являются примерами сопутствующих треугольников более общего типа. Пусть Р - любая точка внутри данного треугольника АВС, и пусть из точки Р на стороны АВ, АС, ВС опущены перпендикуляры РA1, РB1, РС1. Треугольник, А1В1С1 вершинами которого являются основания этих перпендикуляров, называется педальным треугольником треугольника АВС для педальной точки Р.

Теорема 9.1: Если расстояния от педальной точки до вершин треугольника АВС равны x, y, z, то длины сторон педального треугольника равны

В частном случае, когда , это утверждение общеизвестно.

Теорема 9.2: Третий педальный треугольник подобен исходному.

Доказательство следует из чертежа.

Решение задач:

Задачи №36-41.

Домашнее задание:

Подготовиться к контрольной работе. Решить задачи №№ 16-25.

4.2.10 Контрольная работа

Данная контрольная работа состоит из 2 вариантов, каждый вариант содержит 4 задачи.

1. Вариант

1. Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной в этот треугольник окружности.

2. Докажите, что серединные перпендикуляры сторон треугольника пересекаются в одной точке, совпадающей с центром описанной около этого треугольника окружности.

3. Докажите, что биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине С треугольника АВС равны тогда и только тогда, когда .

4. Дан треугольник АВС. Известно, что биссектриса СС1 внутреннего угла при вершине С равна биссектрисе СС2 внешнего угла при той же вершине. Может ли прямая СВ быть биссектрисой угла С1СС2?

2. Вариант

1. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2:1, считая от вершин треугольника.

2. Докажите, что точка М, лежащая внутри треугольника АВС является точкой пересечения его медиан тогда и только тогда, когда треугольники АВМ, ВСМ, САМ равновелики.

3. Может ли центр описанной окружности треугольника АВС лежать на его: а) стороне, б) высоте, в) биссектрисе, г)средней линии?

4. Докажите, что в прямоугольном треугольнике медиана и высота, проведенные из вершины прямого угла, образуют равные углы с катетами.

Все предложенные задачи взяты из части «Задачи для самостоятельного решения» приложения (В1: №1 - 1, №2 - 2, №3 - 8, №4 - 9, В2: №1 -15, №2 - 16, №3 -20, №4 - 21).

5. Описание эксперимента

Экспериментальная часть данной дипломной работы проводилась на базе ГОУ СОШ ЦО №1406, в десятых классах переводчиков и педагогов. В содержание апробации факультативного курса входило 12 занятий: по 9 основным темам, 2 занятия увеличенных по времени (1 занятие - 3 урока) специально отведенные для дополнительного решения задач и одно занятие - контрольная работа для проверки качества усвоения материала. Из каждого класса на факультативные занятия приходили практически все учащиеся. Надо отметить, что среди посещавших занятия учащихся был замечен огромный интерес к изучаемому материалу. Интерес учащихся выражался в их заинтересованности. Новизна изучаемого материала узнаваемого ими на основе уже имеющихся у них знаний и их новая интерпретация особенно нравилась ученикам. Учащиеся с огромным интересом делали чертежи предлагаемых теоретических фактов и решаемых на занятиях задач, и искали их модификации, а также выполняли задания направленные на их самостоятельную деятельность в подготовке исторических справок по изучаемому материалу. Еще один важный результат - учащиеся вне факультативных занятий, на уроках геометрии, искали пути применения новых знаний, и им это иногда очень успешно удавалось. Так же особый интерес у учащихся вызвало электронное сопровождение курса, специально для него разработанное. Электронное сопровождение курса особенно понравилось учащимся, так как в нем можно было самостоятельно создавать чертежи к содержанию занятий и произвольно их модифицировать, тем самым рассматривать различные случаи рассмотрения изучаемых фактов.

По результатам проведенного эксперимента были внесены изменения в содержание факультативного курса: общее количество занятий увеличилось, за счет добавления 4 занятий, отводимых для решения большего объема задач.

Заключение

В данной работе показано, что основные новообразования подростка самостоятельность, самосознание, самовоспитание в процессе обучения развивают познавательный интерес. Главное психологическое образование - это открытие своего внутреннего мира. У подростка учебные интересы определяют выбор профессии.

Факультативные занятия - одна из форм дифференцированного обучения, которая позволяет осуществлять личностно - ориентированный подход к обучению в основной школе.

Факультативный курс по геометрии формирует у учащихся устойчивый интерес к предмету, развивает творческие способности, формирует мировоззрение, показывает содержательную связь с историей развития науки.

Использование на занятиях эвристического, проблемного, частично - поискового метода включают учащихся в различные формы самостоятельной деятельности. Совмещение математической строгости изложения материала с математической красотой и занимательностью способствуют формированию культуры мышления учеников.

Анализ психолого-педагогической литературы дал возможность выделить требования к построению факультативных занятий. Соотношение факультативных занятий с основным курсом математики, соответствие содержания учебно-методическому обеспечению, воспитательным и развивающим задачам обучения, преемственность факультативных занятий к другим формам внеклассной работы по математике в сторону приложения математики - основные требования.

В результате исследования разработан факультативный курс - «Замечательные точки и линии треугольника», состоящий из 16 занятий и методика его проведения.

Изучение замечательных точек и линий треугольника подразумевает, что школьники в процессе занятий повторяют основные факты геометрии. Воспроизведение зрительных образов оказывается не пассивным отпечатком зрительного восприятия, а итогом анализа, синтеза, абстракции и обобщения.

Решение задач позволяет развивать логическое мышление, геометрическую интуицию, формировать математический склад ума.

Проведенный эксперимент подтвердил сказанное выше.

Все поставленные в ведении задачи выполнены.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.