Найти общее решение данной задачи можно, но довольно трудно, а решить ее в трех случаях, когда а < 0, и а >1, не представляет труда. Например, если а<0, то выражение слева можно представить как , которое принимает лишь положительные значения. Если , то его же можно представить как , и тогда очевидно, что оно принимает положительные значения в рассматриваемом промежутке. Если а>1, то выражение можно представить как . Рассмотренные три случая полностью исчерпывают все возможные значения параметра а.

Метод суперпозиции не следует смешивать еще с одной эвристикой - рассмотрением частных случаев, которые не исчерпывают всех возможных случаев. Тогда вывод, полученный по индукции, требует доказательства.

Иногда для поиска идеи решения задачи полезно рассмотреть какой-нибудь крайний, предельный случай. Эта эвристика так и называется «предельный случай». Рассмотрим задачу: доказать, что сумма расстояний от любой точки внутри правильного тетраэдра до его граней есть величина постоянная.

Чтобы доказать требование, желательно предварительно выяснить, что это за величина. Для этого и используется предельный случай. Возьмем в качестве произвольной точки одну из вершин тетраэдра. Тогда легко обнаружить искомую величину. Сумма расстояний от любой точки внутри тетраэдра до всех его граней равна высоте тетраэдра. С помощью предельного случая производится уточнение требования, его переформулировка, а для поиска пути доказательства могут быть привлечены другие эвристики.

Довольно часто при поиске решения задач может помочь еще одна эвристика - прием обобщения, когда вместо имеющейся задачи решается другая, более общая по отношению к данной.

Например, требуется определить, какое число больше: 19971998 или 19981997.

Преобразование разности этих выражений к успеху не приводит. Но если выражения прологарифмировать: 1998 lg 1997 и 1997 lg 1998, то вместо исходных можно сравнивать выражения и , тогда оказывается, что сравнивать надо два значения функции , т. е. требуется решить вопрос, какой характер монотонности имеет функция, а это стандартная задача.

Очень важной эвристикой, используемой при решении большого числа задач, является выделение подзадач, решение которых не составляет труда, внутри основной задачи. Тем самым упрощается структура основной задачи.

ЗАДАЧА. Из двух пунктов, расстояние между которыми 100 км, выехали одновременно навстречу друг другу два велосипедиста. Скорость одного из них была 15 км/ч, а другого-10 км/ч. Вместе с первым велосипедистом выбежала собака со скоростью 20 км/ч. Встретив второго велосипедиста, собака повернула обратно и побежала навстречу первому велосипедисту. Встретив первого велосипедиста, она снова повернула. Собака бегала между велосипедистами до тех пор, пока велосипедисты встретились. Сколько километров пробежала собака?

Если решение задачи начинать с рассмотрения движения собаки и второго велосипедиста, то перед решающим встает необходимость рассматривать последовательность встречных движений, что может оказаться очень непростым делом. А если внутри основной задачи выделить в качестве элементарной подзадачи движение велосипедистов навстречу друг другу, в которой требуется определить время до их встречи, то сразу вырисовывается и вторая элементарная подзадача - движение собаки, скорость и время которой известны, а маршрут движения - безразличен.

Прием выделения подзадач внутри основной задачи применяется при решении подавляющего большинства задач. Этот прием используется, в частности, когда решается любая задача на описанные и вписанные в сферу многогранники, когда требуется, например, доказать, что центр сферы, вписанной в правильную пирамиду, лежит на высоте пирамиды; что основание перпендикуляра, опущенного из любой точки высоты пирамиды на боковую грань, попадает на апофему боковой грани. Не зная, как решить задачу, решающий часто проводит рассуждения по схеме: «По данным задачи я могу найти то-то и то-то, а что это мне дает для решения основной задачи?»

При решении ряда задач может оказаться полезным метод непрерывных величин. При этом используется следующее положение: если некоторая величина меняется непрерывно в зависимости от некоторой другой величины и при этом при разных значениях второй величины значения первой окажутся больше и меньше некоторого числа С, то это означает, что существует значение второй величины, при котором значение первой равно С. Рассмотрим задачу.

ЗАДАЧА. На плоскости начерчен квадрат и не перекрывающийся с ним треугольник (см. рис.). Существует ли прямая, которая разделила бы одновременно каждую из этих фигур на две равновеликие части.

Заметим, во-первых, что любая прямая, проходящая через центр квадрата, разбивает его на две равновеликие части. При этом справедливо и обратное предложение. Следовательно, задачу можно переформулировать следующим образом: провести через точку О прямую так, чтобы она разбивала треугольник на две равновеликие части. Вначале рассмотрим некоторую прямую l, не пересекающую треугольник.

Затем начнем вращать эту прямую вокруг точки О. Тогда оказывается, что при некотором положении прямой площадь «заметенной» части треугольника меньше , а в какой-то момент, при достаточном угле поворота прямой, эта прямая заметет площадь, большую . Так как величина заметенной площади меняется непрерывно (малому изменению значения угла поворота соответствует малое изменение значения заметенной площади), то найдется такое значение угла поворота прямой, при котором величина «заметенной» части станет равной .

Метод вспомогательных неизвестных - эвристика, используемая как при решении алгебраических задач, так и при решении геометрических задач. Рассматриваемый метод имеет три модификации: когда при замене число переменных или уменьшается, или увеличивается, или остается неизменным. Цепи введения вспомогательных неизвестных при этом различные. Рассмотрим три задачи.

ЗАДАЧА 1 . Доказать, что при любых действительных, отличных от нуля х и у, справедливо неравенство:

, .

, .

И вместо исходного неравенства получаем: или .

Неравенство (*) выполняется для всех U, кроме .

Однако , т.е. . Значит, исходное неравенство выполняется при всех допустимых значениях х и у.

ЗАДАЧА 2. В качестве второго примера, когда при замене число переменных сохраняется, рассмотрим решение уравнения: .

Замена сводит исходное уравнение к достаточно хорошо известной форме: .

В качестве третьего примера рассмотрим стереометрическую задачу.

ЗАДАЧА 3. Около правильной треугольной пирамиды с плоским углом при вершине описана сфера. Найти отношение объема пирамиды к объему шара, ограниченного сферой.

В этой задаче требуется найти отношение величин. Объем выражается через значения каких-то линейных элементов, которые в задаче не заданы. Однако задача имеет решение, т. к. данный угол определяет всю задачную ситуацию с точностью до подобия.

Оказывается, что если какой-нибудь линейный элемент, например, сторону основания пирамиды, взять за неизвестное х, то все остальные линейные величины можно выразить через х и. При нахождении искомого отношения задачи вновь введенная переменная х сократится.

Ограничимся рассмотренными примерами эвристик как наиболее часто встречающихся при решении математических задач. Но не только математических. Методы анализа, переформулирования, рассмотрение частных и предельных случаев используются при решении физических, технических и задач других областей знаний.

Надо ли знакомить учащихся с эвристиками специально? Решающие находят, изобретают эвристики и сами. Но для этого нужны значительные усилия и время. Учителю полезно обратить внимание учащихся на метод, с помощью которого удалось осуществить поиск решения трудной задачи. Это можно сделать после решения задачи с помощью вопросов типа: «Как удалось переформулировать требование (условие) задачи?»; «Какие подзадачи удалось выделить, облегчив решение основной?»; «Как при решении задачи была использована аналогия?» Так постепенно вместе с учителем учащиеся осознают многие из используемых ими приемов, что позволит в дальнейшем сознательно привлекать их к решению других задач. При этом поиск решения становится более эффективным. Владение эвристиками расширяет творческие возможности учащихся.

И еще одно замечание относительно эвристик. Как правило, в чистом виде единичные эвристики при решений задач не применяются. Имеет место использование некоторой совокупности эвристик. Ни одна задача не обходится без методов анализа, переформулирования, выделения известных подзадач.

В методике Р.Г. Хазанкина, известного учителя из Белорецка, обучение эвристикам можно усмотреть в его методике решения «ключевых» задач. Ключевыми он называет задачи раздела, при решении которых раскрываются основные математические идеи, используемые для решения большого класса задач. Уроки решения «ключевых» задач проводятся в форме лекции, после чего учащиеся пытаются использовать рассмотренные идеи при решении других задач раздела.

4. Организация обучения решению математических задач

Фронтальное решение задач. Под фронтальным решением задач обычно понимают решение одной и той же задачи всеми учениками класса в одно и то же время. Организация фронтального решения задач может быть различной.

1) Устное фронтальное решение задач наиболее распространено в IV-VII классах, несколько реже, хотя и находит применение, в старших классах средней школы. Это прежде всего выполняемые устно упражнения в вычислениях или тождественных преобразованиях и задачи-вопросы, истинность ответов на которые подтверждается устными доказательствами. В настоящее время учителя математики IV-VII классов почти на каждом уроке проводят "пятиминутки" устных упражнений. К сожалению, часто этим и ограничивается выполнение устных упражнений. А надо отметить, что одной из задач обучения математике является обучение быстрым устным вычислениям. Решения этой задачи надо добиваться на всех этапах обучения, поэтому там, где это возможно (а не только на "пятиминутках" устного счета), вычисления следует выполнять устно. Если ученики научатся устно выполнять вычисления и несложные преобразования, то на уроках математики, физики, химии освободится значительная часть времени, которое сейчас расходуется на нерациональное выполнение вычислений и выкладок.

При организации устных фронтальных упражнений следует учесть, что использование табличек, таблиц, кодоскопа и других средств представления учащимся устной задачи значительно экономит время устных упражнений и оживляет уроки математики.

Таблички изготавливает обычно учитель или отдельные ученики по его заданию. Например, таблички с заданиями для устных вычислений при изучении умножения дробных и целых чисел (удобные размеры табличек 300 х 150мм).

Таблицы для устных упражнений могут иметь различную форм и применяются неоднократно с различными заданиями.

Как таблички, так и таблицы могут быть изображены на пленке и спроецированы на экран или доску через кодоскоп. Изготовление табличек и таблиц - более трудоемкое дело, чем кодопозитивов, а результаты использования практически равноценны.

2) Письменное решение задач с записью на классной доске. В практике обучения немало таких ситуаций, в которых удобнее, чтобы одну и ту же задачу решали все ученики класса одновременно с решением этой же задачи на доске. При этом задачу на доске может решать либо учитель, либо ученик по указанию учителя.

Наиболее часто такую организацию решения задач на уроках математики применяют: а) при решении первых после показа учителем задач по ознакомлению с новыми понятиями и методами; б) при решении задач, самостоятельно с которыми могут справиться не все ученики класса; в) при рассмотрении различных вариантов решения одной и той же задачи - для сравнения и выбора лучшего варианта; г) при разборе ошибок, допущенных несколькими учениками класса при самостоятельном решении задачи и т.д. Во всех этих случаях бывает полезно и коллективное решение (или коллективный разбор решения задач).

Рассмотрим подробнее, как можно провести сравнение различных вариантов решения задачи. Учитель может при фронтальном устном анализе условия задачи наметить вместе с учениками несколько вариантов решения задачи. Некоторые из них как нерациональные могут быть сразу отвергнуты. Другие же не отвергнутые варианты для лучшего рассмотрения, оценки и сравнения стоит записать на доске. В этих целях можно сразу вызвать двух-трех учеников к доске для одновременного решения задачи разными способами (если позволяют размеры доски). Надо только учесть, что руководство решением задачи в этом случае требует некоторого мастерства от учителя: необходимо правильно распределить свое внимание между учащимися, решающими задачу у доски, и остальными учениками класса. Нужно также предусмотреть, чтобы внимание учащихся класса, решающих задачу, не рассеивалось действиями учеников у доски. Можно варианты решения воспроизводить на доске поочередно, но это займет больше времени. Для ускорения работы учитель может сам быстро выполнить на доске необходимые записи некоторых вариантов решения. Возможно также использовать кодоскоп, с помощью которого можно воспроизводить заготовленные заранее записи других решений задачи.

3) Письменное самостоятельное решение задач. Наиболее эффективной является такая организация решения математических задач, при которой ученики обучаются творчески думать, самостоятельно разбираться в различных вопросах теории и приложений математики. Самостоятельное решение учащимися задач на уроках математики имеет многие преимущества.

Во-первых, оно значительно повышает учебную активность учащихся, возбуждает их интерес к решению задач, стимулирует творческую инициативу. Таким образом, повышается эффективность урока. Самостоятельное решение задач развивает мыслительную деятельность учащихся, а в этом заключается одно из основных назначений задач и упражнений на уроках математики.

Во-вторых, не имея возможности копировать решение задачи с доски, ученик вынужден сам разбираться в решении задачи, а потому и лучше готовиться к урокам математики.

В-третьих, самостоятельное решение математических задач часто сокращает время, необходимое для опроса учащихся на уроках математики, так как оценивать успехи учащихся в некоторых случаях можно и по итогам самостоятельного решения задач.

В-четвертых, учитель получает возможность направлять индивидуальную работу учеников по решению задачи, предотвращать ошибки, указывать пути их исправления.

Допустимы различные формы организации самостоятельного решения задач учащимися.

Некоторые учителя так организуют самостоятельные работы по решению задач на уроках математики: учитель подбирает задачи; в процессе работы учитель помогает некоторым ученикам советом, как лучше их решить, другим он советует обратиться к учебнику, третьи справляются с работой без помощи учителя. Учитель все время наблюдает за работой учеников, отмечая, кому из учеников и в чем он помог. Затем самостоятельная работа проверяется и оценивается с учетом степени самостоятельности ученика. При такой организации самостоятельной работы осуществляется и обучение, и контроль знаний по изучаемому разделу математики. Чаще всего учитель заранее предопределяет цели самостоятельных работ по решению задач. Такие работы могут быть обучающими новым знаниям, умениям и навыкам, могут быть предназначены для закрепления изученного и тренировки в применении теоретических сведений, могут быть предложены с целью проверки подготовленности учащихся по изученным вопросам. На обучающих самостоятельных работах по решению математических задач учитель может оказывать помощь отдельным учащимся, а может предложить самостоятельное решение задачи после предварительного ее анализа и составления плана решения.

Существуют и такие формы самостоятельных обучающих работ по математике, при выполнении которых учащиеся самостоятельно изучают небольшой теоретический материал, разбирают образцы решения задач, предложенные учителем, самостоятельно решают аналогичные задачи.

Для лучшего проведения самостоятельных работ учащихся по решению математических задач полезно перед началом такой работы проводить инструктаж, в котором четко указать, что должны выполнить учащиеся в такой работе, каков порядок ее выполнения, сроки и пр. Желательно после проверки правильности самостоятельных решений проанализировать с учащимися результаты такой работы. Это возможно на следующих уроках или на консультациях.

4) Комментирование решения математических задач. Комментирование решения задач заключается в следующем: все ученики самостоятельно решают одну и ту же задачу, а один из них последовательно поясняет (комментирует) решение. Некоторые учителя превращают комментирование в запись под диктовку: один ученик воспроизводит голосом все, что он записывает в тетрадь (без каких-либо пояснений), а все остальные поспешно записывают сказанное им. Ясно, что такое применение комментирования не приносит должной пользы.

Комментирование обозначает объяснение, толкование чего-нибудь. Именно так и следует понимать комментирование при решении математических задач. Ученик-комментатор объясняет, на каком основании он выполняет то или иное преобразование, проводит то или иное рассуждение, построение. При этом каждый шаг в решении задачи должен быть оправдан ссылкой на известные математические предложения. Вот пример комментирования: "Доказать, что сумма трех последовательных натуральных чисел не может быть простым числом.

Обозначим первое из этих чисел буквой n. Тогда два следующих за ним числа запишутся n+1, n+2, так как второе на 1, а третье на 2 больше первого числа. Запишем сумму этих трех чисел и преобразуем ее. Сначала раскрываем скобки, применяя сочетательный закон сложения. Затем приводим подобные члены. Вынося общий множитель (по распределительному закону), получаем результат. Полученное выражение есть произведение двух множителей 3 и n +1, а потому оно не может быть простым числом ни при каких натуральных значениях n."

Такое комментирование приносит явную пользу при решении задач. Учащиеся, даже недостаточно подготовленные по математике, услышав объяснение следующего этапа в задаче, постараются выполнить его самостоятельно. Правда, такое объяснение требует от учеников не только формального решения задачи, но, что очень важно, и понимания существа выполняемого преобразования, активной работы мысли. Но ведь этого и следует добиваться при решении задач.

Индивидуальное решение задач.

Необходимость индивидуального подхода при организации обучения решению задач. Фронтальное решение учебных математических задач не всегда приводит к желаемым результатам в обучении математике. При фронтальной работе все ученики класса решают одну и ту же задачу. Для одних учащихся эта задача может оказаться очень легкой, и они при решении такой задачи практически не почерпнут ничего нового. У других, наоборот, задача может вызвать серьезное затруднение. Поэтому необходим учет индивидуальных особенностей учащихся и в связи с этим индивидуальный подбор задач. Задачи следует подбирать и систематизировать так, чтобы, с одной стороны, учитывались возможности и способности ученика, с другой стороны, его способности развивались бы.

Задача учителя заключается, следовательно, в том, чтобы выяснить подготовку, возможности и способности к изучению математики каждого ученика класса и в соответствии с этим организовать решение математических задач. Важна индивидуализация учебных математических задач по силам и возможностям учащихся. Это позволяет овладеть необходимыми умениями и навыками слабым ученикам и в значительной степени совершенствоваться более сильным.

Индивидуализация самостоятельных работ учащихся по решению задач. В условиях, когда все ученики самостоятельно решают одну и ту же задачу, учитель может учитывать индивидуальные особенности учащихся лишь при оказании им помощи в решении задачи, при проверке выполненной работы. При этом не полностью учитываются возможности учащихся. Для более полного учета способностей и математической подготовки учащихся, использования их возможностей необходимо предлагать для самостоятельного решения учащихся не одинаковые, а различные задачи с учетом индивидуальных особенностей ученика. Но поскольку в классе есть примерно равные по успехам в математике ученики, то можно подбирать задачи не для каждого ученика в отдельности (это было бы затруднительно для учителя), а для отдельных групп школьников класса. В этих целях полезно использовать издающиеся теперь "Дидактические материалы по алгебре", "Дидактические материалы по геометрии" для различных классов. При такой постановке обучения слабые ученики, справившись самостоятельно или при помощи учителя с простейшими задачами, обретают веру в свои силы. Сильные же учащиеся имеют возможность совершенствовать свои способности и познания в математике. Разумеется, подбор индивидуальных заданий преследует цель для каждой выбранной учителем группы учащихся составить систему задач. Эти группы не должны иметь постоянного состава: по мере овладения необходимыми знаниями учащиеся "переводятся" из группы для менее подготовленных в другую - для более подготовленных.

Индивидуализация самостоятельных работ учащихся по устранению пробелов в знаниях математики. Исключительное значение приобретают самостоятельные работы учеников по устранению пробелов в знаниях математики. Такие пробелы могут быть выявлены с помощью проверочных и контрольных работ, а также при решении задач на уроке или дома. Ученикам, работающим над устранением пробелов в своих знаниях по математике, надо указать в тетради допущенные ошибки. При этом сильным ученикам достаточно подчеркнуть неверный результат, а ошибку такой ученик найдет сам. Одним ученикам полезно подчеркнуть допущенные ошибки, а некоторым, наиболее слабо подготовленным, исправить. В тетрадях указываются разделы учебника, которые ученик обязан восстановить в своей памяти, и выписываются .задачи (можно указать номера задач из задачников или учебников), которые надлежит ученику решить, чтобы восполнить имеющийся пробел в знаниях и умениях. Конечно, задачи подбираются с учетом причин, вызвавших ошибку. Дело в том, что одна и та же ошибка может быть допущена по различным причинам и устранять надо не ошибку, а причину, ее породившую. Такая организация решения задач по ликвидации пробелов в знаниях школьников приносит большую пользу, чем фронтальные работы над ошибками. При этом учитываются как индивидуальные особенности учащихся, так и характер изучаемого материала.

Домашнее решение задач учащимися. Содержание задач и упражнений, предлагаемых для домашней работы учащихся, должно быть подготовлено предшествующей работой на уроке. Это не означает, что для домашнего решения должны предлагаться лишь задачи, аналогичные решенным в классе. Такие домашние задания мало помогают усвоению математики. Решая домашние задачи "как в классе", ученики в лучшем случае прибегают к аналогии, а одной аналогии для обучения решению задач недостаточно. При такой работе ученики, как правило, сначала решают задачи (выполняют письменное задание), а затем читают учебник по математике. Порядок же должен быть иной: сначала повторение по учебнику теоретических сведений, затем решение задач.

Домашнее задание имеет целью не только повторение изученного на уроке, но и дальнейшее совершенствование математических знаний, умений и навыков. С учетом этого оно и должно быть составлено. Учитель дает необходимые указания по решению домашних задач, однако не устраняет всех трудностей, которые должны преодолеть учащиеся в процессе решения домашних задач. Ученики, решая задачи самостоятельно дома, обязаны проявлять свою инициативу, смекалку и настойчивость, мобилизовать для решения задач свои знания. Домашние задания по решению задач целесообразно связывать с углублением и уточнением изученного, с открытием каких-то новых его сторон.

Поскольку ученики обычно имеют индивидуальные особенности, различную подготовку по математике, следует индивидуализировать домашние задания по решению математических задач. При этом надо учитывать многие факторы: ученики при решении домашних задач должны устранить пробелы в знаниях (у кого они имеются), закрепить приобретенные на уроке знания, совершенствовать их. Через индивидуальные домашние задания (параллельно с работой на уроке) можно выявить наклонности отдельных учащихся, воспитывать у них увлечение математикой. Посильные же задания для слабых и отстающих учащихся помогут им преодолеть многие трудности в обучении решению задач. Надо заметить, что ученики с особым желанием решают задачи, предложенные им в индивидуальном порядке. Такие задания можно заготовить на специальных карточках.

5. Системы упражнений и требования к ним

В методике преподавания математики существуют две различные точки зрения на упражнения. Одна из них понятие упражнения рассматривает как синоним понятия задача, и исходя из этого упражнения наделяются различными функциями: мотивационной, организации подготовки к изучению нового материала, усвоения, закрепления и повторения изученного.

Чтобы специально выделить этапы закрепления и применения знаний, выяснить особенности организации деятельности учащихся на этих этапах, рассмотрим упражнения в их традиционном смысле - как многократное выполнение сходных действий с целью овладения умениями и навыками. С точки зрения теории деятельности упражнение - это та задача, для решения которой имеется ориентировочная основа. Упражнение предназначено для усвоения способа действия, отдельных операций действия, доведения действий до свернутой формы - до операции. При таком понимании упражнение - частный случай задачи, используемый при закреплении и применении.

В школьном курсе математики закреплению подлежат определения понятий, теоремы, правила, предписания по выполнению определенных действий.

При закреплении определений необходимо предусмотреть упражнения на выделение существенных свойств понятий, на их запоминание, на установление взаимосвязей между существенными свойствами, на усвоение терминологии, на установление объема понятия, на узнавание понятия, на выделение «зоны поиска» понятия, на получение следствий из имеющихся свойств понятий, раскрытие взаимосвязей с другими понятиями.

При закреплении теорем упражнения способствуют анализу формулировки и ее усвоению, запоминанию, узнаванию, уяснению области применения теоремы, получению следствии из теорем, установлению взаимосвязей с различными теоремами.

При закреплении правил, предписаний отрабатываются отдельные шаги и действие целиком, выясняется область их применения, особые случаи их использования.

Умения и навыки создаются в процессе выполнения упражнений, но не всякая их система приводит к формированию соответствующих умений и навыков.

Вопрос о системах упражнений является объектом внимания методистов, психологов, учителей. Однако он еще не стал традиционным вопросом методики преподавания математики, таким, например, как методика решения задач, изучения понятий. Есть необходимость в специальном рассмотрении вопроса в силу следующего важного обстоятельства.

В ряде школьных учебных пособий системы упражнений страдают различными недостатками, очень часто учителю самому приходится отбирать упражнения из имеющейся системы. Учитель является главным лицом, предъявляющим систему упражнений. «Там, где начинается чуть-чуть, - заметил И.Е. Репин,- начинается искусство». Чтобы владеть этим «чуть-чуть», необходимо знать определенные закономерности. Укажем отдельные закономерности, которых полезно придерживаться при отборе и составлении системы упражнений и при их выполнении.

Принципы отбора и составления систем упражнений

Рассмотрим вначале реализацию при отборе и составлении системы упражнений одного из основных педагогических принципов - принципа систематичности. Анализируя процесс познания, исходя из этого принципа, можно выделить следующие этапы при изучении нового материала (понятий, теорем, правил): изучение понятия, теоремы, правила как отдельно взятого факта, изолированного от ранее изученного материала, как факта самого по себе; установление связей между вновь изученным фактом и ранее изученным материалом, включение нового в различные системы изученного; систематизация накопленного материала с учетом вновь изученного факта.

Соответственно этим этапам все упражнения можно разделить на три вида: упражнения на изучение отдельных фактов изолированно от ранее изученного; упражнения, связывающий новый факт с ранее изученным, позволяющие рассматривать новый факт как элемент других систем и, наконец, упражнения на систематизацию изученного материала. Остановимся кратко на каждом виде упражнений.

Когда можно считать понятие, теорему, правило усвоенными учеником? Это возможно, если ученик понимает каждое слово в формулировке, запоминает формулировку, узнает и применяет их в стандартных и нестандартных ситуациях, когда факт встроен в имеющуюся систему знаний и умений.

Первый вид упражнений обеспечивает понимание и запоминание, а также узнавание и применение понятия, теоремы, правила в простейших случаях. Первый вид упражнений способствует рассмотрению объекта вне содержащей его системы. При этом объект подвергается всестороннему анализу. Эти упражнения не несут нагрузки в плане создания системы знаний. Упражнения этого вида, как правило, не требуют привлечения дополнительных сведений, кроме изученного факта. При отборе и составлении упражнений на этом этапе необходим детальный анализ формулировки определений, теорем, правил. Каждая составная их часть, каждое существенное свойство и отношения между ними находят свое отражение в упражнениях этого вида. Упражнения первого вида включают в себя отработку всех существенных сторон понятий, теорем, правил.

Например, при изучении понятия гомотетии упражнения первого вида могут выглядеть следующим образом:

1. Укажите, что означает тот факт, что гомотетия является преобразованием фигуры.

2. Обоснуйте, почему в равенстве .

3. Укажите порядок действий при построении точки, гомотетичной данной, с центром гомотетии 0 и коэффициентом к.

4. Постройте точки, в которые переходит данная точка при гомотетии с центром 0 и коэффициентом: а) 2; 6) 5; в) ; г) 1.

5. Укажите положение точки А, если известен центр и коэффициент гомотетии и точка , в которую перешла точка А.

6. Найдите коэффициент гомотетии, если известно положение трех точек О, X, , где О - центр гомотетии, X - данная точка, - ей гомотетичная.

Второй вид упражнений предполагает связывание вновь изученного материала с ранее изученным. Происходит многократное взаимодействие различных систем знаний, развитие старых знаний под воздействием новых.

Одновременно этот вид упражнений является препятствием на пути забывания старого, что происходит достаточно интенсивно, это подтверждает график забывания информации

Отдельные авторы считают, что выходом из такого положения является включение упражнений на повторение, сходных по некоторым несущественным признакам с упражнениями на закрепление нового материала, но в существенной части отличных от них.

Например, при решении упражнений на умножение смешанных чисел одновременно выполняются упражнения на сложение смешанных чисел. Такие упражнения одновременно выполняют функцию контрпримеров при изучении нового, что позволяет концентрировать внимание решающих на существенном и формировать устойчивые умения.

Такой подход важен, но не менее важно целенаправленное непрерывное повторение, непосредственно связываемое с изучением нового. Оно актуально также вследствие дефицита времени на организацию специального повторения. Непрерывное повторение позволит организовать рассредоточенное повторение материала, которое, является более эффективным, чем концентрированное. При необходимости любое содержание из изученного ранее может быть повторено при решении задач на применение вновь изученного материала.

Например, в действующих пособиях по планиметрии изучается богатая по своему применению теорема о вписанном угле. Применение этой теоремы может быть значительно расширено за счет установления взаимосвязей названной теоремы с такими разделами, как, например, координаты, векторы и т. д. Приведем примеры таких задач.

ЗАДАЧА 1. Даны три точки А(1;1), В(4;I), С(4;5). Доказать, что центр описанной около треугольника АВС окружности лежит на одной из его сторон.

ЗАДАЧА 2. Найти углы, образованные радиусами АО, ВО и ОС окружности, описанной около треугольника АВС, если А (0;3), В (2;3), С и т. д.

Аналогично можно связать с системой ранее изученного любое вновь изучаемое содержание.

Третий вид упражнений упражнения на систематизацию материала, полученного при выполнении упражнений первого и второго видов. Это могут быть упражнения на классификацию понятий, на установление генетических взаимосвязей между понятиями.

Например, установить зависимость между понятиями «подобие», «движение», «преобразование фигуры» (провести стрелки от более общего понятия к менее общему).

Составление генеалогических деревьев для понятия предполагает связывание в систему нескольких понятий раздела. Например, для понятия «угол» родословная таблица может выглядеть следующим образом:



Упражнениями третьего вида могут быть упражнения: на установление взаимосвязей между теоремами, например, указать взаимосвязь между теоремами Пифагора и косинусов; на построение родословных теорем, выделение свойств и признаков понятия, на группировку задач, теорем по методам их решения, доказательства.

Возможна систематизация материала по различным основаниям: выделение всех известных свойств некоторого понятия, всех полученных признаков, различных инвариантов преобразований, выделение сходного и различного в определениях, теоремах, методах решения, проведение сравнения и обобщения. Например:

- выделить все известные свойства подобных треугольников:

- сформулировать все признаки подобных треугольников;

- перечислить преобразования фигур, которые сохраняют неподвижной хотя бы одну точку;

- указать различие в положении соответствующих при гомотетии точек, если к > I, к = I и к < I;

- выделить общие свойства равностороннего треугольника и квадрата;

- сравнить свойства равных и подобных треугольников;

- сравнить признаки равных и подобных треугольников;

- привести примеры понятий, в определении которых используется понятие равных отрезков;

- привести возможные различные определения понятия квадрат и т. д.

Систематизации знаний, их гибкости способствует выполнение упражнений, направленных на выявление возможных различий в чем-то сходных ситуаций, требующих использования различных теоретических сведений. Пример такого упражнения: покажите, как следует провести плоскость сечения, чтобы в сечении куба этой плоскостью получить: 1) квадрат; 2) прямоугольник; 3) трапецию; 4) четырехугольник, не имеющий параллельных сторон; 5) равносторонний треугольник; 6) равнобедренный треугольник; 7) разносторонний треугольник; 8) прямоугольный треугольник.

Уровни систематизации материала при этом могут быть различными: локальная систематизация на уровне двух фактов, систематизация внутри одной темы, внутри нескольких тем, внутри всего предмета, между предметами.

Формы систематизации (уроки по обобщению и систематизации материала) описаны в методической литературе.

При отборе и выполнении системы упражнений важно соблюдение принципа последовательности. Этот принцип лежит в основе составления программ, написания учебников. При составлении и подборе систем упражнений он проявляется в том, что упражнения располагаются в порядке возрастания сложности: от менее сложного к более сложному, от менее трудного к более трудному, от более известного к менее известному. При этом в предлагаемых упражнениях производится вариация несущественного. Выделим, например, что может и должно варьироваться при изучении формулы разности квадратов двух выражений: это и обозначения переменных и наличие различных коэффициентов в выражениях, состав каждого выражения, порядок написания компонента вычитания и т. д. При этом следует придерживаться традиционной рекомендации: при переходе от одного упражнения к другому добавлять шаги решения следует постепенно, по одному. «По одной трудности за раз», как говорил К.Д. Ушинский. Это необходимо для того, чтобы при выполнении упражнений не требовалось существенных обобщений, значительных скачков мысли, на которые способны далеко не все учащиеся. Система упражнений по упомянутому правилу может быть следующей: а); б) х2 - у2; в) х4 - у2; г); д); е); ж) ; з) .

Перечисленные упражнения - это лишь представители видов, сама система содержит несколько упражнений каждого вида. При этом следует иметь в виду, что умение выполнить действие в стандартной ситуации не обеспечивает овладение этим действием в особенных случаях. Другими словами, без наличия упражнений на различные варианты широкого переноса нельзя обеспечить обобщенного умения учащихся. Ученику, не встречавшемуся с различными вариациями упражнений, приходится совершать акт творчества, на которое способен не каждый ученик.

Какие особые случаи могут иметь место при рассмотрении формулы разности квадратов двух выражений? Это применение формулы, когда одно из выражений или даже оба равны некоторому числу, в частности единице, когда слагаемое с минусом стоит на первом месте, когда одно или оба выражения являются двучленами или многочленами.

Значит, имеющийся набор упражнений следует дополнить упражнениями следующего вида:

100-с2; ; 812-92; ; и т. д.

Далее рассмотрим реализацию педагогического принципа прочности знаний при составлении систем упражнений. Принцип проявляется в наличии однотипных упражнений. По данным ряда психологов, чтобы у учащихся произошло самостоятельное обобщение, в некоторых случаях необходимо более ста однотипных упражнений. У сильных учащихся такое обобщение может происходить «с места», после решения единственного упражнения.

Не все учебники учитывают принцип прочности. В курсе алгебры седьмого класса при изучении формулы а2- в2 только в соответствующем разделе учебника приведено более сотни упражнений, а в пособии по геометрии А.В. Погорелова для закрепления, например, формул и - ни одного.

Отсутствие простейших однотипных упражнений сказывается на результатах обучения слабых учащихся.

При подборе или составлении однотипных упражнений необходимо руководствоваться закономерностью появления неверных ассоциаций. Она состоит в том, что если в процессе обучения выполняются три условия: 1) учащийся выполняет задания одного типа; 2) некоторые несущественные особенности заданий неизменно повторяются; 3) учащийся может получить верный ответ и в том случае, когда не осознает эту особенность, то степень осознания этой особенности снижается.

Пример.

.

Ответ получен правильный. Ошибка не проявилась. При наличии сходных упражнений, например, и т. д. неверная ассоциация закрепляется. Благоприятствует образованию неверной ассоциации то обстоятельство, что действие ускоряется, укрупняется, контроль сознания под влиянием однотипных упражнений ослабевает. Упрочение ошибочной ассоциации начинается после трех однотипных упражнений.

Созданию неверных ассоциаций препятствует система упражнений, включающая контрпримеры. Я.И. Груденов называет контрпримером любую задачу, любое упражнение, которое помогает выявить, а значит, устранить неверную ассоциацию. Такое использование термина «контрпример» отличается от принятого в логике. Это, если можно так выразиться, дидактический контрпример. В последнем случае таким контрпримером является система вида: .

Следовательно, каждое третье упражнение должно быть контрпримером, т. е. варьировать несущественные признаки системы упражнений.

В качестве подобного рода контрпримеров могут быть использованы различные взаимообратные упражнения. Еще И. П. Павлов доказал, что применение контрастных перемежающихся раздражителей вместо одного является рациональной основой обучения. Обратная задача, упражнение должны решаться вслед за прямой, пока информация находится в активной форме, при этом особенно благоприятным моментом для вторичного включения сознания, т. е. для решения обратной задачи являются ближайшие 30-40 минут. Важным моментом является наличие в системе упражнений полного цикла взаимно обратных упражнений.

Создание такого цикла упражнений предполагает наличие нескольких этапов: 1) изменение форм действий на обратные при сохранении данных; 2) выполнение обратного действия с последующей проверкой с помощью прямого; 3) выполнение упражнений без всякого порядка, проверка осуществляется в отдельных случаях. Примерами обратных упражнений к заданию разложить выражение на множители будут задания на восстановление записи: , , .

Последние три упражнения качественно отличаются от исходного. Если при выполнении однотипных упражнений ученик быстро перестает проводить обосновывающие рассуждения, сокращает звенья рассуждений, то при выполнении обратных - наоборот. Выполнение обратных упражнений предполагает осуществление проверки каждой операции, постоянного контроля, а значит, способствует развитию самоконтроля.

Следовательно, одновременное изучение взаимообратных действий и выполнение соответствующих упражнений целесообразно.

Исходя из этой точки зрения, формулу разности квадратов двух выражений следует изучать совместно с умножением разности двух выражений на их сумму, а не друг за другом, как это имеет место в школьной практике. Можно одновременно рассматривать нахождение дроби от числа и числа по его дроби, прямую и обратную пропорциональность и многое другое. В этом, проявляет себя принцип укрупнения дидактических единиц П. М. Эрдниева, принятый на вооружение многими учителями.

При выполнении системы упражнений важно соблюдение педагогического принципа сознательности.

Рассмотрим некоторые наиболее важные психологические аспекты выполнения упражнений, влияющие на сознательность усвоения изучаемого материала.

В теории поэтапного формирования умственных действий, разработанной П.Я. Гальпериным и Н.Ф: Талызиной, доказывается необходимость выполнения действий на первичное закрепление определений, правил, теорем развернуто, т. е. без пропусков отдельных операций в материализованной и громкоречевой формах, которые должны предшествовать действиям в уме.

Чтобы помочь учащемуся сознательно усвоить материал, чтобы научить ученика, особенно не очень способного к математической деятельности, учителю необходимо представить себе то умственное действие, которому он хочет научить ученика в полном объеме, без пропусков каких-либо операций, т. к. пропуски отрицательно сказываются на сознательном восприятии умственных действий. Противоположностью полноты является свернутость действия, пропуск какой-либо умственной операции. Все выделенные операции при закреплении действия необходимо выполнять во внешнем плане, т. е. делая записи и в громкоречевой форме - комментируя записи. В качестве примера рассмотрим полную запись решения примера на вычитание смешанных чисел:

Некоторое время ученики выполняют развернутое действие, проговаривая все операции в обобщенном виде, например: «Представим каждое из смешанных чисел в виде суммы целой и дробной частей, найдем наименьший общий знаменатель дробей, приведем дроби к наименьшему общему знаменателю, сравним числители получившихся дробей и т. д.» Такая форма позволяет осознать все операции действия, выполнять их с пониманием.

При выполнении различных умственных действий полезно не только выделять отдельные шаги - операции действия, но и материализовать действие, т. е. составлять некоторую видимую схему действия. В качестве примера материализации умственного действия рассмотрим процесс решения задач на дроби (нахождения дроби от числа, числа по дроби, отношения двух чисел).

При решении задач этих типов ученик должен уметь распознать задачу, выяснить является ли она задачей на нахождение дроби от числа, числа по его дроби или на нахождения дроби-части, которую одно число составляет от другого, а затем выполнить соответствующие преобразования - операции.

Для решения этих задач может оказаться полезной материализованная основа действия, состоящая из трех составляющих:

Все число (именованные единицы)	Значение дроби (именованные единицы)	Дробь (отвлеченное число)

Тогда на одних и тех же числовых значениях можно рассмотреть зависимости между отдельными составляющими структуры, т. е. найти каждый из компонент действия, если известно два других. Получаем в общем виде зависимость: I=II:III; II=I·III; III=.

При необходимости решить конкретную задачу, например, найти от числа 60 кг, вначале выясняется, какие элементы структуры задачи нам известны: что такое 60 кг и что такое .

Получается запись:

I. Все число (и.е.)	П. Значение дроби (и.е.)	III. Дробь
60 кг	?

Далее можно воспользоваться полученной ранее зависимостью: II = I·III. При выполнении упражнений в указанном разделе необходимо рассмотреть особые случаи, когда все число или значение дроби представлены правильной дробью и когда число в третьей графе превышает единицу.

Постепенно, с увеличением опыта, необходимость в материализованной опоре у учащихся отпадает, действие производится в громкоречевой форме, а затем и в форме внутренней речи, с ориентацией на ранее приведенную схему, но которой теперь перед глазами нет.

Согласно учению о поэтапном формировании умственных действий, контроль за их выполнением должен осуществляться со стороны учителя на этапах материализации и громкой речи до появления самоконтроля. Понятно, что в условиях классно-урочной системы пооперационный контроль со стороны учителя за действиями каждого ученика осуществить невозможно. Но возможна показательная корректировка отдельных ответов учащихся.

Использование идей теории поэтапного формирования умственных действий в школе дает ощутимые результаты, но в то же время эта теория требует специальных усилий по ее перенесению в условия работы со всем классом.

Представляется, что компактный метод использования формулировок правил, определений и теорем является одной из возможных модификаций использования теории поэтапного формирования умственных действий. Из опыта работы учителей выделены два метода применения определений, теорем, правил.

Первый из них - раздельный, когда учащиеся несколько раз повторяют изученную формулировку и лишь затем отрабатывают ее в упражнениях. Этот метод сравнительно часто используется в школе, т. к. он прост в организационном отношении. Он оправдан, если изучаемые формулировки достаточно просты, такие как, например, правило умножения обыкновенных дробей или определение медианы треугольника.

Если же формулировка не совсем простая, учащиеся не успевают ее осознать и запомнить и выполняют упражнения без опоры на теорию. Если изучаемая формулировка достаточно сложная, то ее запоминание облегчается, если оно проходит одновременно с формированием умения по применению этой формулировки. Эта закономерность, заключающаяся в том, что понимание материала является важнейшим условием его запоминания, и используется в другом методе, названным компактным.

Суть компактного метода заключается в том, что запоминание и умение использовать формулировку осуществляются одновременно. При этом необходимо учесть еще одну закономерность усвоения, что понимание затрудняется, если установка на полноту и точность запоминания появляется до того, как материал понят в целом. Например, бесполезно требовать от учащихся формулировок правила сложения двух дробей с разными знаменателями или теоремы о вписанном угле, если они не отработаны при выполнении соответствующих упражнений.

При этом предлагается следующая последовательность действий. Вначале учитель разбивает изучаемую формулировку на составные части. В определении выделяются существенные свойства, в теореме - отдельные части условия и заключения, а в правиле - отдельные шаги действия. Затем учитель показывает образец действия - читает формулировку по частям и одновременно выполняет упражнение. При этом непроизвольное запоминание, которое имеет место в условиях активных форм работы, оказывается более прочным, чем произвольное, опирающееся на пассивные формы работы.

ПРИМЕР. Допустим, учащиеся вместе с учителем вывели формулу квадрата суммы двух выражений. Полученная формулировка, представленная в учебном пособии, разбивается на составные части. Моментом материализации умственного действия при этом является проведение вертикальных черточек в тексте правила, осуществляющих разбиение: «Квадрат суммы двух выражений // равен квадрату первого выражения, // плюс удвоенное произведение первого и второго выражений //, плюс квадрат второго выражения».

Далее следует образец выполнения упражнения: учитель читает формулировку по частям и после прочтения каждой части выполняет соответствующую операцию. Например, выполняется упражнение (а + 2в)2. Учитель читает первую часть правила: «Квадрат суммы двух выражений», указывает на соответствующие обозначения квадрата и суммы и отмечает, что в данном случае имеет место полученная формула и что первое выражение -это а, а второе - 2в. Затем учитель читает дальше: «Равен квадрату первого выражения» и записывает промежуточный результат и т. д.

После этого ученик у доски выполняет другое упражнение аналогичным образом. Как можно видеть, такая работа позволяет одновременно запоминать формулировку и учиться ее применять. Компактный метод ориентирует учащихся при комментировании выполнения упражнений не на буквальное проговаривание записи, а на произнесение соответствующих формулировок по частям и реализацию каждой части формулировки в конкретном случае.

Итак, нами рассмотрен ряд требований, которые целесообразно предъявить к системе упражнений, исходя из общих педагогических принципов обучения. Эти требования не исчерпывают всего многообразия проблем, связанных с упражнениями, но позволяют планомерно и целенаправленно подходить к отбору и построению системы упражнений.