Формирование умения решать задачи на движение с помощью построения вспомогательных моделей на уроках математики в начальной школе

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФОРМИРОВАНИЕ УМЕНИЯ РЕШАТЬ ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ ПОСТРОЕНИЯ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ



Содержание

Введение

Глава I. Теоретические основы обучения младших школьников решению текстовых задач на движение

1.1 Психолого-педагогические основы формирования умения решать текстовые задачи в начальной школе

1.2 Текстовая задача и процесс ее решения. Задачи на движение, как один из видов задач, изучаемых в начальном курсе математики

1.3 Моделирование при решении текстовых задач на движение

Глава II. Опытно-экспериментальная работа по обучению младших школьников моделированию при решении текстовых задач на движение

2.1 Показатели и уровень сформированности умения решать задачи на движение у младших школьников 4 класса

2.2 Обучение решению текстовых задач на движение с помощью построения вспомогательных моделей

2.3 Результаты опытно-экспериментальной работы по обучению младших школьников моделированию при решении текстовых задач на движение

Заключение

Список используемой литературы

Приложение



Введение

Одной из целей математического образования является развитие умения мыслить математически, а значит, логически и осознанно исследовать явления реального мира. Использование на уроках математики в начальной школе различных видов вспомогательных моделей, решение различного рода нестандартных логических задач может способствовать реализации этой цели [22]. Необходимым элементом обучения является работа учителя в этом направлении.

Острой проблемой математической подготовки школьников в начальных классах была и остается эффективность обучения решению задач. Проблемы, как известно, возникают на основе противоречий, разрешение которых, во многом зависит, от их осознания.

Многие ведущие российские ученые такие, как В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев, Н.Б. Истомина, Ю.М. Колягин, Л.Г. Петерсон и другие, отмечают необходимость математического развития младшего школьника в учебной деятельности: «начальный курс математики способствует продвижению ученика в общем развитии, становлению нравственных позиций личности ребенка» [41, с.121].

Начальный курс математики раскрывается на системе целесообразно подобранных задач. Текстовые задачи занимают значительное место в этой системе. Они необходимы для того, чтобы сформировать у учащихся важные для обыденной жизни знания, а на их базе - умения и навыки, связанные с решением постоянно возникающих проблемных ситуаций.

Одно из главных мест при обучении математики занимает метод моделирования. В науке этот метод широко используется. Он заключается в том, что для исследования какого-либо явления или объекта строят или выбирают другой объект, в каком-то отношении подобный исследуемому. Построенный или выбранный объект изучают, и с его помощью решают исследовательские задачи, а затем результаты решения этих задач переносят на первоначальное явление или объект. В.В. Давыдов считает: «что перевод некоторого объекта в форму модели позволяет обнаружить в нем такие свойства, которые нельзя выявить при непосредственном оперировании с ним. Он указывает, что в процессе решения задач, используемые средства познания выступают в форме моделирования» [10].

В соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом начального общего образования моделирование относится к особой группе общеучебных универсальных действий знаково-символическим действиям. Моделирование это преобразование объекта из чувственной формы в модель, где выделены существенные характеристики объекта (пространственно-графическая или знаково-символическая).

В большинстве учебников математики для начальной школы учащимся предлагаются уже готовые модели, и нет систематической работы по обучению младших школьников составлять модель к задаче. Они к этому привыкают и как только встречаются с заданием, где самому надо построить вспомогательную модель, теряются и не знают, как это сделать. Задача учителя - научить младших школьников построению вспомогательных моделей при решении текстовых задач, а особенно построению этих моделей в задачах на движение.

Проблемами обучения младших школьников решению задач в курсе математики занимались такие авторы как Н.Б. Истомина, А.В. Белошистая, В.С. Овчинникова, Т.Е. Демидова, А.П. Тонких, Е.А. Попова, Л.П. Стойлова, И.В. Шадрина.

Объектом исследования является процесс обучения решению задач на движение в курсе математики начальной школы.

Предметом исследования является процесс обучения решению текстовых задач на движение на уроках математики в начальной школе с помощью построения вспомогательных моделей.

Цель исследования: разработать методическое обеспечение по математике, направленное на формирование умения решать задачи на движение с помощью построения вспомогательных моделей.

Гипотеза: формированию у младших школьников умения решать текстовые задачи на движение будет способствовать:

обучение построению различных вспомогательных моделей;

использование средств наглядности при решении задач.

Задачи исследования:

теоретически обосновать значимость проблемы формирования умения у младших школьников решать задачи на движение;

разработать методические рекомендации по обучению решению задач на движение с помощью вспомогательных моделей и сборник задач на движение;

опытным путем проверить эффективность применения разработанных рекомендаций.

Для выполнения поставленных задач выбраны следующие методы исследования: анализ и изучение литературных источников; наблюдение; педагогический эксперимент.

База исследования. Опытно-экспериментальное исследование проводилось на базе Муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения Гимназия №9 города Химки Московской области. В исследовании приняли участие младшие школьники 4 класса «А» (контрольная группа) и 4«Б» (экспериментальная группа). Возраст детей 9-10 лет. В исследовании приняли участие 50 младших школьников.

задача движение школьник обучение



Глава I. Теоретические основы обучения младших школьников решению текстовых задач на движение

1.1 Психолого-педагогические основы формирования умения решать текстовые задачи в начальной школе

Проблема формирования умения решать текстовые задачи учащимися является актуальной. Решение текстовых задач в математическом образовании занимает одно из важных мест. Умение решать задачи, текстовые, в том числе является одним из основных показателей глубины усвоения учащимися учебного материала и уровня математического развития. Поэтому обучению решению текстовых задач уделяется много внимания, программами выделяется большое количество часов на решение текстовых задач.

Известный физик М. Лауэ в афористической форме дал такое определение образованию: «Образование есть то, что остаётся, когда всё выученное уже забыто» [24, с. 169].

А что остаётся у человека после того, как всё выученное в школе забыто? У него остаются определённые привычки, убеждения, установки, навыки, умения и, главным образом, способности - бесценные приобретения подлинного образования.

Именно поэтому важнейшей задачей обучения математике является развитие у учащихся их способностей. Однако прежде чем рассматривать вопрос о развитии способностей в процессе обучения математике, необходимо разобраться в том, что собой представляют способности и связанные с ними понятия навыков и умений.

Формирование умений есть очень сложный и длительный процесс.

В процессе непосредственного или опосредованного (предметами, орудиями и средствами действий) общения с другими людьми, с взрослыми ребёнок овладевает навыком или умением. Наблюдая за действиями взрослых, подражая им, ребёнок начинает сам выполнять те или иные действия. В обучении учитель специально показывает и объясняет, как следует совершить то или иное действие, руководит его выполнением.

Следовательно, сначала ребёнок выполняет осваиваемое действие как предметное, внешнее действие с материальными объектами, и лишь постепенно это действие становится внутренним, психическим, умственным. Ребёнок уже может его выполнять мысленно, он может его свободно регулировать, планировать, предвидеть результаты его выполнения и т.д.

Этот процесс перехода внешнего, предметного действия во внутреннее называется интериоризацией. Интериоризация - переход, в результате, которого внешние по своей форме процессы с внешними вещественными предметами преобразуются в процессы, протекающие в умственном плане, в плане сознания; при этом они подвергаются специфической трансформации обобщаются, вербализуются, сокращаются, а, главное, становятся способными к дальнейшему развитию.

Процесс интериоризации умственных действий в обучении подробно исследованы в психологической школе П.Я. Гальперина. Исследованиями этой группы психологов доказано, что от того, как организован процесс формирования умственных действий, зависит и длительность формирования умений и навыков в выполнении этих действий, и результаты этого формирования: прочность и гибкость навыков и умений, их обобщённость, осознанность и т.д. [39, с. 128-132].

Из отдельных действий состоит учебная деятельность ученика. Эти действия весьма разнообразны и образуют сложную иерархическую структуру. Среди этих действий есть простейшие, которые приходится выполнять многократно, почти на каждом шагу. Например, действия по написанию цифр и чисел, действия чтения записи чисел, действия по нахождению суммы и разности чисел и т. д.

Затем следуют более сложные действия, в которые входят простейшие действия, как составной элемент. Очень важно достичь того, чтобы ученик мог выполнять их быстро и безошибочно, притом «не задумываясь», т.е. автоматически. Автоматизированное выполнение простейших основных действий называют навыком. Само действие, выполняемое с помощью навыка, превращается в операцию - составную часть более сложных действий.

«Навык, - указывает С.Л. Рубинштейн, - возникает как сознательно автоматизируемое действие, а затем функционирует как автоматизированный способ выполнения действия» [40, с. 36].

При выполнения более сложных действий, таких, например, как решение текстовых задач, решение уравнений и т.д., ученик должен владеть действиями по применению знаний и навыков. Такое владение сложной системой психических и практических действий, необходимых для целесообразной регуляции деятельности имеющимися у субъекта знаниями и навыками, называется умением [40, с.104]. Следовательно, умение - это осознанное применение имеющихся у ученика знаний и навыков для выполнения сложных действий в различных условиях.

Советский психолог В.А. Крутецкий так характеризует различие между умениями и навыками и способностями: «При анализе способностей всегда имеют в виду качества, особенности человека, выполняющего ту или иную деятельность, а при анализе умений и навыков качества, особенности деятельности, которую осуществляет человек» [21, с. 86].

Отсюда следует, что умения и навыки в решении задач - это наличные, уже имеющиеся у ученика возможности в решении задач изученных видов, а способности в решении задач - потенциальные возможности в решении любых задач, это главное условие быстрого, лёгкого и глубокого овладения умениями и навыками в решении новых видов задач [51].

Навыки, умения и способности ученика в решении задач взаимообусловлены: без наличия определённых способностей и определённого уровня их развития у него не могут формироваться навыки и умения и в то же время, без наличия у ученика определённых навыков и умений, не могут воспитываться и развиваться его способности.

Требования к организации процесса формирования умственных действий[7]:

Полнота ориентировочной основы умственных действий Предоставление учащимся такой системы указаний и ориентиров, пользуясь которой ученик может самостоятельно выполнять данное действие является началом формирования любого навыка или умения [39, с.140].

Ученикам может быть дана ориентировочная основа умственного действия в разной форме: в виде образца действий (учитель просто показывает, как надо выполнять то или иное действие), в виде словесного объяснения с одновременным показом процесса выполнения действия, в виде пошагового алгоритма и т.д.

Например, при начале работы с задачей, учитель задаёт наводящие вопросы:

О ком или о чём говорится в задаче?

Какие опорные (ключевые) слова ты можешь выделить?

Будем использовать их при краткой записи условия задачи?

Развёрнутость действия при его первоначальном показе и освоении Когда умственное действие учащимися уже освоено, и они приобрели достаточный навык или умение в его выполнении, то процесс выполнения происходит свёрнуто, в нём уже отсутствуют многие звенья, его составляющие, отдельные операции выполняются в уме и не фиксируются.

Например, на этапе закрепления решения задач определённого типа, учитель предлагает учащимся после решения задачи по действиям с пояснением, записать решение этой же задачи выражением.

Поэлементное усвоение сложного действия

Большое количество математических действий, которые должны быть освоены учащимися, сложны по своей структуре и содержат ряд элементарных действий. Когда ученик приобрёл навык в таком сложном действии, то он выполняет все элементарные действия совместно, одно за другим. Каждое из составляющих его элементарных действий надо осваивать отдельно, как самостоятельное действие.

Например, решение текстовых задач является достаточно сложным действием. В его состав входят такие действия, как анализ задачи, построение краткой записи (модели) задачи, составление уравнения и т.д. Для того чтобы все учащиеся приобрели умение решать такие задачи, надо каждое из этих элементарных действий отработать особо, с помощью заданий примерно такого характера:

проанализировать задачу, выделить её условия и требования;

составить краткую запись (модель) задачи;

по высказывательной форме задачи построить её математическую модель (уравнение) и т.д.

Осознанность и полноценность навыков

Учащиеся должны иметь знания, на основе которых выполняется данный навык. Они должны знать, почему данное действие выполняется именно так и можно ли его выполнить иначе. Навыки по планированию действия, прогнозированию его результата, навыки по контролю за ходом выполнения этого действия должны входить в состав умения. Значимо, чтобы ученик всегда мог объяснить, почему и как он выполняет данное действие и в каких случаях его можно применять [7].

Растянутость процесса формирования навыка

Формирование прочного навыка является длительным процессом, при этом его нельзя проводить уплотнённо, в течение короткого времени путём многократных и частых упражнений. Более эффективно растяжение процесса формирования навыка во времени. Для этого можно, во-первых, включать упражнения, подготавливающие учащихся к владению новым навыком, как это делает учительница начальных классов С.Н. Лысенкова. Это такие упражнения, в которых учащиеся отрабатывают какие-то элементы нового (пока ещё учащимся не знакомого) навыка. Во-вторых, поле того, как учащиеся уже познакомились с новым навыком и в какой-то степени им овладели, упражнения в этом навыке или умении должны не прекращаться, а продолжаться как составная часть новых навыков.

Поэтапная отработка каждого навыка

Чтобы сформировать полноценное умственное действие (т.е. ученик приобретает прочный навык в этом действии), необходимо, чтобы процесс формирования содержал ряд обязательных этапов [39, с. 200-210].

Особенно большую роль в обучении математики играют задачи. Эта роль определяется, с одной стороны, тем, что конечные цели этого обучения сводятся к овладению учащимися методами решения определённой системы математических задач. С другой стороны, она определяется и тем, что полноценное достижение целей обучения возможно лишь с помощью решения учащимися системы учебных и математических задач.

Было время, когда учащиеся решения отдельных задач заучивали наизусть без понимания, как эти решения найдены. Затем от учащихся стали требовать умения самостоятельного решения задач по готовым образцам. Для этого все используемые в обучении задачи разбивались на многочисленные типы, и для каждого из них учащиеся должны были знать определённый типовой метод решения (образец решения). При этом использовались главным образом задачи сугубо прикладного характера, преследующие в основном чисто практические цели.

В последнее время решение математических задач используется для разных функций. Среди этих функций одной из основных в обучении математике является функция формирования и развития у учащихся общих умений решения любых математических задач. Считается, что эти умения могут возникнуть лишь благодаря решению большого числа математических задач.

Учителя предлагают учащимся огромное количество задач и затрачивают на их решение не менее половины всего учебного времени.

Однако, результаты такой «титанической» работы более чем скромные: большинство учащихся, встретившись с задачей незнакомого вида, не знают, как к ней подступиться, с чего начать решение, и при этом обычно произносят печально-известные слова: «А мы такие не решали!»

Сейчас, когда учащиеся не имеют систематических знаний о задачах и сущности их решения, главное внимание учащихся (и учителей) направлено на то, чтобы найти решение задачи и притом как можно скорее. На заключительный анализ, на установление того, какие выводы можно сделать из выполненного решения, на всё это уже не остаётся ни сил, ни времени, а ведь это самое главное, ради чего и решаются задачи. Всё это ускользает от внимания учителей, так как оно заслонено другой, технической трудностью - найти и выполнить само решение.

Между тем, если бы учащиеся обладали необходимой системой знаний, умений и навыков и умели правильно вести поиск решения задачи, если бы решение задачи проводили по определённому плану, то все эти технические трудности отошли бы на второй план, а на первый выступила бы учебно- познавательная цель решения задач.

Эти знания нужны ещё и потому, что в школе невозможно, да и не нужно, рассматривать все виды математических задач. Сколько бы задач не решали в школе, всё равно учащиеся в своей будущей работе встретятся с новыми видами задач. Поэтому школа должна вооружить учащихся общим подходом к решению любых задач.

1.2 Текстовая задача и процесс ее решения. Задачи на движение, как один из видов задач, изучаемых в начальном курсе математики

Ребенок с первых дней занятий в школе встречается с задачей. Сначала и до конца обучения в школе математическая задача неизменно помогает ученику вырабатывать правильные математические понятия, глубже выяснять различные стороны взаимосвязей между объектами в окружающей его жизни, дает возможность применять изучаемые теоретические положения.

В психолого-педагогической и методической литературе не существует общепринятой трактовки самого понятия «задача». В широком смысле слова под задачей понимается некоторая ситуация, требующая исследования и разрешения человеком (или решающей системой).

Любое математическое задание можно рассматривать как задачу, выделив в нем условие, т.е. ту часть, где содержатся сведения об отношениях между ними, и требование (т.е. указание на то, что нужно найти) [19, с.197].

Математические задачи, которые решают младшие школьники, принято называть текстовыми (сюжетными, практическими, арифметическими и т.д.). Перечисленные названия берут начало от способа записи (задача представлена в виде текста), сюжета (описываются реальные объекты, явления, события), характера математических выкладок (устанавливаются количественные отношения между значениями некоторых величин, связанные чаще всего с вычислениями) [10].

Текстовая задача - это словесная модель некоторого явления (ситуации, процесса) [45].

Основной особенностью текстовых задач является то, что в них не указывается какое именно действие (или действия) должно быть выполнено для получения ответа на требование задачи.

Следовательно, задача есть носитель какой-либо познавательной информации и обладает следующими свойствами:

проблемность, воздействующая на потребностно-мотивационную сферу учащегося, и тем самым стимулирующая его деятельность;

необходимость в интеллектуальных усилиях, организующая систематические умственные упражнения, и прививающая «вкус» к интеллектуальному труду, а, следовательно, влияющая на развитие мышления;

неизбежность преобразовательных действий с моделями задач, обеспечивающая усвоение предметного содержания задачи и способствующая развитию продуктивных форм мышления.

Условие, требование, данные и искомое являются структурными элементами.

В условии рассказываются сведения об объектах и некоторых величинах, характеризующих данные объекты, об известных и неизвестных значениях этих величин, об отношениях между ними [45].

Требование - это часть текста, в которой указана искомая величина (число, множество). Оно может быть передано предложением в повествовательной, повелительной или вопросительной форме [45].

Данные - это, как правило, численные (числовые) компоненты текста задачи. Они выражают количественные отношения предлагаемой в задаче ситуации: значения величин, численные характеристики множеств и отношений между ними. Численные значения величин и численные характеристики множеств обычно обозначены числами. Так же, численные характеристики отношений между ними могут быть обозначены не числом, а словом, например: «в два раза больше», «столько же, сколько в первом» и т.п., Из-за этого дети могут «терять» данные и вообще не воспринимать эти численные характеристики как данные. В начальной школе тексты задач содержат данные, выраженные численно, а тексты задач первого года обучения содержат только численные данные. Это сделано для того, чтобы ребенок (особенно плохо читающий) «выхватывал» числа из контекста и выполнял с ними действия практически независимо от ситуации, заданной в условии (чаще всего ориентируясь на «ключевое» слово: улетели, дали, вместе, принесли и т.п.) [45].

Искомое. Обычно конечной целью процесса решения арифметической задачи является нахождение искомого в численном выражении [45].

Связи между данными числами указываются в условии задачи, а также между данными и искомым - эти связи определяют выбор арифметических действий, необходимых для решения задачи.

Под решением задачи понимается:

решением задачи называют результат, т.е. ответ на требование задачи;

решением задачи называют процесс нахождения этого результата, т.е. вся деятельность человека, решающего задачу, с момента начала чтения задачи до окончания решения;

решением задачи называют лишь те действия, которые производят над условиями и их следствиями на основе общих положений математики для получения ответа задачи [45].

При решении задачи учащиеся приобретают новые или закрепляют, углубляют и систематизируют уже имеющиеся математические знания.

Существуют различные способы решения текстовых задач:

практический,

арифметический,

алгебраический,

графический,

схематическое моделирование,

комбинированный способ.

Весь процесс решения задачи можно разделить на восемь этапов: 1-й этап - анализ задачи;

-й этап - схематическая запись задачи;

-й этап - поиск способа решения задачи; 4-й этап - осуществление решения задачи; 5-й этап - проверка решения задачи;

-й этап - исследование задачи;

-й этап - формулирование ответа задачи;

-й этап - анализ решения задачи [3, стр. 27].

Первый этап является важнейшим восприятие задачи (анализ текста). Целью данного этапа является понимание задачи, т.е. выделение всех множеств и отношений, величин и зависимостей между ними, числовых данных, лексических значений слов.

С точки зрения психологии восприятие текста - это его понимание, поэтому результатом является понимание задачи. Не поймешь задачу не решишь ее. В современной методике накопились разные приёмы для понимания текста задачи.

Приемы выполнения анализа задачи:

постановка специальных вопросов;

драматизация, обыгрывание задачи;

разбиение текста задачи на смысловые части;

переформулировка текста;

перефразирование задачи (заменить термин содержанием; заменить описание термином, словом; заменить слово синонимом; убрать несущественные слова; конкретизировать, добавив не меняющие смысл подробности);

построение модели (схема, рисунок, таблица, чертеж, предметная модель, выражение);

определение вида задачи и выполнение соответствующей схемы краткой записи [8].

Второй этап поиск плана решения. Данный этап долгие годы считался основным, но сразу выполнить этот этап невозможно, до него надо дойти. Соотнесение вопроса с условием является целью данного этапа.

Этот этап требует рассуждений. Но не все дети могут это устно, особенно дети «визуалы», они не освоят умения искать план решения задачи устно. Таким детям нужны приемы графической фиксации подобных рассуждений.

Приемы выполнения этапа:

рассуждения (от условия к вопросу; от вопроса к условию; по модели; по словесному заданию отношений);

составление уравнения;

частный подход к решению задачи, название вида, типа задачи [11]. Третий этап решения задачи выполнение плана. Один из существенных этапов, особенно при решении арифметических задач. Целью этапа является выполнение операций в соответствующей математической области (арифметика, алгебра, геометрия, логика и др.) устно или письменно.

Приемами выполнения этапа являются:

измерение, счет на модели;

арифметические действия, оформленные выражением, по действиям (без пояснения, с пояснением, с вопросами);

логические операции;

решение уравнений [11].

Анализируя школьную практику, можно сделать вывод, о том, что особое внимание уделяется второму и третьему этапам на уроках математики при решении текстовых задач. Считается, что первый этап пройден, если ученики смогли сказать, что в задаче дано, и что нужно найти.

Четвертый этап - проверка выполненного решения. Убеждение в истинности выбранного плана и выполненных действий является целью этого этапа. После выполнения этих действий формулируется ответ задачи.

Приемы выполнения этапа:

До решения:

прикидка ответа или установление границ с точки зрения здравого смысла, без математики [11].

Во время решения:

по смыслу полученных выражений;

осмысление хода решения по вопросам

После решения задачи:

решение другим способом;

решение другим методом;

подстановка результата в условие;

сравнение с образцом;

составление и решение обратной задачи [11].

Например: «Из двух городов, расстояние между которыми 28 км, отправились одновременно в противоположных направлениях два автобуса. Первый автобус ехал со скоростью 35 км/ч, а второй - со скоростью 40 км/ч. Какое расстояние будет между автобусами через 4 часа?»

1-ый способ	2-ой способ
1) 35?4=140(км) - проедет за 4 часа	1) 35+40=75(км/ч) - скорость
первый автобус.	удаления автобусов.
2) 40?4=160(км) - проедет за 4 часа	2) 75?4=300(км) - расстояние между
второй автобус.	автобусами через 4 часа, если они
3) 140+160=300(км) - расстояние	выехали из одного города.
между автобусами через 4 часа, если	3) 300+28=328(км) - расстояние
они выехали из одного города.	между автобусами через 4 часа.
4) 300+28=328(км)	Ответ: 328 километров
Ответ: расстояние между автобусами
через 4 ч будет 328 километров.

подстановка результата в условие;

35 км/ч

40 км/ч

35 км/ч

40 км/ч

? 328 км

составление и решение обратной задачи.

«Из двух городов, расстояние между которыми 28 км, отправились одновременно в противоположных направлениях два автобуса. Первый автобус ехал со скоростью 35 км/ч. Какова скорость второго автобуса, если расстояние между автобусами через 4 часа равно 328 км?»

35 км/ч

? км/ч



328 км

Исполнение всех 4-х этапов решения задачи очень важно. Выполнение их, позволяет считать решение задачи завершенным полностью.

Задачи на движение бывают следующих типов:

задачи на встречное движение

«Расстояние между двумя городами 81 км. Из них одновременно выехали два велосипедиста друг другу навстречу. Один велосипедист проезжает на 3 км/ч больше другого. На каком расстоянии от городов они встретились, если встреча произошла через 3 часа после выезда?»

задачи на движение в одном направлении

«Автотуристы в 1 день проехали 600 км, во второй день 200 км. На весь этот путь они затратили 8 ч. Сколько часов были в пути туристы каждый день, если они ехали с одинаковой скоростью?»

задачи на противоположное движение и движение в обратном направлении

«От одной пристани одновременно в противоположных направлениях отплыли 2 катера. Через 3 ч расстояние между ними стало равно 168 км. Найди скорость второго катера, если известно, что скорость первого катера составляет 25 км/ч»

Трудность задач на движение методически обусловлена двумя причинами.

Первой причиной является содержательная трудность. Скорость - это физическая величина, связывающая две величины, которые ребенок уже привык за период предыдущего обучения воспринимать каждую «саму по себе»: время и расстояние (длина). Для осознания каждой из них имеется либо визуальная опора (у длины, которую можно непосредственно «оценить глазом»), либо уже привычный за три года обучения инструмент измерения линейка, часы. Скорость - величина абстрактная, ее ребенок не может ни увидеть, ни непосредственно измерить или оценить (как, например, время). Сама запись единиц измерения скорости (км/ч, м/мин) не имеет для ребенка никаких аналогий, особенно сейчас, когда в последней редакции традиционного учебника математики не дается запись дроби. И даже если она детям известна (как в альтернативных учебниках), способ ее чтения ничего не дает для понимания смысла понятия «скорость».

Второй причиной является технологическая трудность. Долгие годы традиционный курс математики впервые знакомил детей со схемой задачи «в отрезках» именно на задачах «на движение». То есть, без всякой предварительной подготовки к использованию графической символики (обычно после двух-трех лет использования краткой записи в качестве модели при решении задач), ребенок должен был ее освоить сразу на задачах с содержательно трудным понятием «скорость». Задачи на движение появляются во втором полугодии последнего года обучения в начальной школе, поэтому становится понятно, почему многие дети с таким трудом адаптируются к этим задачам они просто не успевают так быстро освоить все сразу (новую величину с ее сложностями и чертеж в отрезках) [23].

Такие задачи не являются новым видом это задачи на пропорциональную зависимость с точки зрения математической структуры. Похожая зависимость присутствует в задачах «на куплю-продажу», «на площадь», «на работу» и т.п. Несмотря на это, многие учителя полагают, что задачи «на движение» представляют собой особую группу задач нового вида, и при обучении их решению нужны какие-то новые «особые» приемы. Покажем, что заранее сформированное у ребенка умение переводить словесно заданный текст задачи на язык графики является универсальным приемом самостоятельной деятельности ребенка при решении задачи на движение.

Задачи «на движение», содержащие пропорциональные величины, позволяют использовать как таблицы, так и схематические чертежи, причем последние являются, безусловно, более наглядной моделью.

«Два пешехода вышли одновременно в одном направлении из двух мест, находящихся на расстоянии 25 км одно от другого. Первый шел по 2 км в час, второй - по 4 км. Через сколько часов второй пешеход догонит первого?»

Рис. 1 Схематизированная модель (чертёж)

«Моторная лодка по течению реки преодолела 62 км за 5 ч. Против течения реки это же расстояние она преодолела за 7 ч. Сколько времени потребуется лодке, чтобы проплыть 53 км по озеру?»

	t	s	v
По течению	5 ч	62 км	? км/ч
Против течения	7 ч	62 км	? км/ч
В стоячей воде	? ч	53 км	? км/ч

Рис. 2 Знаковая модель (таблица)

Перед тем как, приступить к решению задач, содержащих величины «скорость», «время» и «расстояние», необходимо провести пропедевтическую работу. То есть, разъяснить учащимся само понятие скорости. При этом следует опираться на опыт детей, широко использовать практический и наглядный методы.

Например: «Муравьишка проехал на гусенице некоторое расстояние за 28 минут. За сколько минут муравьишка проедет на жуке расстояние в 4 раза большее, если скорость жука в 7 раз больше гусеницы?»

Дети часто употребляют в своей речи слова «быстрее», «медленнее», не отдавая себе отчета в том, что эти слова связаны со скоростью (дети больше связывают их со временем). Для разъяснения понятия скорости можно задавать детям такие вопросы:

Кто быстрее преодолеет данное расстояние? Как вы понимаете слова «быстрее пройдет данное расстояние?»

А почему он пройдет это расстояние за меньшее время

Значит, его скорость больше?

При решении задач на движение главная трудность заключена в том, что неподвижная картина является моделью равномерного непрерывного процесса (движения), в рисунок принято вводить стрелку, символизирующую это движение и его направление.

1.3 Моделирование при решении текстовых задач

Обучение младших школьников построению вспомогательных моделей при формировании умения решать задачи на движение является наиболее важной задачей. Это обусловлено тем, что в процессе освоения детьми этого способа решения задач используется такие операции мышления, как анализ через синтез, сравнение, классификация, обобщение, которые являются операциями мышления, и способствуют его развитию.

Сравнение - это сопоставление предметов и явлений с целью найти сходство и различие между ними.

Очень важную роль в учебной деятельности школьника играет сравнение. Благодаря сравнению, например, прилагательное и глагол, операции умножения и деления, треугольник и прямоугольник, ученик глубже познаёт особенности данных предметов или явлений.

Младшие школьники более успешно будут находить сходство между предметами, если при сравнении давать дополнительный предмет, отличный от сравниваемых. Этот вывод мы можем сделать благодаря исследованиям. Если продемонстрировать три картинки - овцу, козу и кошку, то учащиеся находят гораздо больше сходных признаков у овцы и козы.

Анализ - это мысленное расчленение предмета или явления на образующие его части, выделение в нем отдельных частей, признаков и свойств.

Синтез - это мысленное соединение отдельных элементов, частей и признаков в единое целое.

Процессы анализа и синтезы неразрывно связаны, находятся в единстве друг с другом в процессе познания: анализируем мы всегда то, что синтетически целое, а синтезируем то, что аналитически расчленено.

Анализ и синтез - важнейшие мыслительные операции, в единстве они дают полное и всестороннее знание действительности. Анализ даёт знание отдельных элементов, а синтез, опираясь на результаты анализа, объединяет эти элементы, обеспечивает знание объекта в целом.

«В одном пучке 12 редисок, а в другом - на 2 редиски меньше. Обозначь каждую редиску кругом и покажи, сколько редисок во втором пучке. Покажи, сколько редисок в двух пучках?»

«У хозяйки 9 кур, а уток - на 4 меньше. Обозначь каждую птицу кругом и покажи на рисунке, сколько всего птиц у хозяйки?

Маша сделала такой рисунок:

Рис. 3. Схематическая модель (условный рисунок)

Кто прав: Миша или Маша?»

Математическая модель - это описание какого-либо реального процесса на математическом языке [45].

Можно выделить три этапа математического моделирования:

I этап - это перевод условий задачи на математический язык; при этом выделяются необходимые для решения данные и искомые, и математическими способами описываются связи между ними;

II этап - внутримодельное решение (то есть нахождение значения выражения, выполнение действий, решение уравнения);

III этап - интерпретация, то есть перевод полученного решения на тот язык, на котором была сформулирована исходная задача.

При решении задачи наиболее сложным является перевод текста с естественного языка на математический, то есть I этап математического моделирования. Чтобы сделать эту процедуру наиболее лёгкой для ребенка, строят вспомогательные модели-схемы, таблицы и другие. В таком случае, процесс решения задачи можно рассматривать как переход от одной модели к другой: от словесной модели реальной ситуации, представленной в задаче, к вспомогательной (схемы, таблицы, рисунки и так далее); от неё к математической, на которой и происходит решение задачи.

Любая вспомогательная модель должна:

строиться на основании анализа текста задачи и максимально приближать абстрактные понятия к реальности;

нести информацию лишь о существенных в данной ситуации признаках объектов задачи;

давать возможность непосредственно обнаруживать зависимости между величинами, о которых идет речь в задаче, и допускать практические преобразования.

Учитель формирует у учащихся умение переходить от модели одного вида к другой в ходе работы над текстовой задачей. Допустим, на этапе анализа задачи возможен переход от словесной модели к высказывательной, где в процессе моделирования отбрасывается лишняя информация, которая не влияет на содержание задачи.

Вспомогательные модели бывают разные, и в методической литературе нет единообразия в их названии, поэтому вслед за Л.П. Стойловой [45] и В.С. Овчинниковой [29] будем пользоваться следующей классификацией моделей и соответствующей терминологией:

Таблица 1 - Классификация моделей

Схематизированные модели	Знаковые модели
Вещественные (или предметные) - обеспечивают физическое действие с предметами. Графические: рисунок; условный рисунок; чертеж; схематический чертеж (схема).	На естественном языке: краткая запись задачи; таблица. На математическом языке: выражение; уравнение.

Используются разные способы построения модели (моделирования) в начальной школе. Моделирование может быть предметным, т. е. модель строится с использованием вещественной, предметной наглядности (в этом случае учитель обычно использует наборное полотно, фланеле-граф, специальную полку для кубиков, машин и т. п.).

Наглядное воспроизведение реальной ситуации, которая описана в данной задаче, понимается как вещественная (или предметной) модель. К этому виду модели относят и мысленное воссоздание реальной ситуации, описанной в задаче, в виде представлений. Предметные модели могут строиться из каких-либо вещественных предметов (пуговиц, бумажных полосок, спичек и т.д.); наиболее удобными являются предметные картинки, наборы геометрических фигур, окрашенных с обеих сторон в разные цвета [45]. Неоднократно предметные модели используются в задачах, подготавливающих детей к ознакомлению с арифметическими действиями и с отношениями «больше на …», «меньше на …» между числами.

Первым действием является создание вещественной модели задачи, вторым - выделение на модели искомого и осуществление для этого, если необходимо, предметных действий над элементами модели -это есть собственно поиск плана решения, на основе которого уже определяется, что нужно делать для отыскания искомого. Третьим действием выполняется счет элементов множества, изображающего искомое, если искомым является число элементов; определение вида отношения и счет элементов подмножества одного из сравниваемых множеств, если нужно определить количественную характеристику отношений «больше на …», «меньше на …».

Графические модели, как правило, используются для обобщения, схематического воссоздания ситуации задачи. Модели этого вида сохраняют наглядность, присущую предметным моделям, но воспроизводят реальную ситуацию, описываемую в задаче, обобщенно: в виде рисунка, чертежа, схематического чертежа (схемы).

Например, рисунок к задаче: «У Маши было 12 цветков. Она составила букет из 5 цветков. Сколько цветов осталось?» может быть таким:

Рис. 4 Условный рисунок

Работа с рисунком подобна работе с предметной моделью, только рисунок не обеспечивает непосредственное физическое действие с предметами, и прежде чем с ним работать, его нужно выполнить на бумаге (на доске).

Чертеж как вспомогательная модель выполняется при помощи чертежных инструментов с соблюдением заданных отношений (масштаб), а схематический чертеж (схема) может выполняться от руки, но и на нем указываются все данные и искомые.

Например, к предыдущей задаче можно выполнить такой чертеж:

Рис. 5 Схематизированная модель (чертеж)



И следующий схематический чертеж (схема):

Рис. 6 Схематизированная модель (схема)

Для моделирования задач на движение двух тел (встречное движение, движение в одном направлении, движении в противоположных направлениях) также используется схематический чертеж. Особенность его заключается в том, что расстояние и время изображаются в виде отрезка, а скорость и направление движения в виде вектора (стрелки).

Например: «С одного аэродрома одновременно в противоположных направлениях вылетели два самолета. Скорость одного из них 600 км/ч, скорость другого - 720 км/ч. На каком расстоянии друг от друга находились самолеты через 3 часа?»

Схематический чертеж будет выглядеть следующим образом:

Рис. 7 Схематизированная модель (чертеж)

Знаковые модели могут быть выполнены как на естественном языке (то есть иметь словесную форму), так и на математическом языке (то есть с помощью символов).

К знаковым моделям, выполненным на естественном языке, относят краткую запись задачи и таблицы. Например, краткая запись задачи о цветах, к которой был предложен чертеж (см. выше), может быть такой:

Было - 12 цв.

Взяли для букета - 5 цв. Осталось - ?

Или такой:

Букет - 5 цв. Осталось - ?

12 цв.

Таблица как вид знаковой модели используется тогда, когда в задаче имеется несколько взаимосвязанных разнородных величин, каждая из которых задана одним или несколькими значениями. Такими задачами являются задачи на процессы. Приведем пример построения таблицы к задаче на движение самолетов в противоположных направлениях, которую рассматривали выше:

Таблица 2 - Задача

Объекты	Скорость	Время	Расстояние
I с.	600 км/ч	3 ч	? ?
II с.	720 км/ч	3 ч

Существует 4 вида математических моделей решения на различные виды движения (примеры из учебника 4 класса «Перспектива»):

-ый вид «Встречное движение»

«Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух посёлков и встретились через 3 ч. Первый велосипедист ехал со скоростью 15 км/ч, а второй - со скоростью 12 км/ч. Найди расстояние между посёлками.»

-ой вид «Движение в противоположные направления»



«Два мотоциклиста выехали одновременно из одного и того же пункта в противоположных направлениях. Сколько первого мотоциклиста 65 км/ч, а скорость второго 75 км/ч. Какое расстояние будет между мотоциклистами через 3 ч?»

-ий вид «Вдогонку»

«От причала отправился катер со скоростью 28 км/ч. Через 3 ч вслед за ним вышла моторная лодка со скоростью 70 км/ч. Через сколько часов моторная лодка догонит катер?»

-ый вид «Движение с отставанием»

В учебнике Г.В. Дорофеева не рассматриваются этот вид задач, но в учебнике Л.Г. Петерсон есть.

«Мальчик и мужчина вышли из одной и той же деревни в одно и то же время и пошли в город по одной и той же дороге. Скорость мужчины 6 км/ч, а скорость мальчика 2 км/ч. Найди расстояние между ними через 4 ч после начала движения.»

Знаковыми моделями текстовых задач, выполненными на математическом языке, являются: выражение, уравнение, система уравнений, запись решения задач по действиям. Поскольку на этих моделях происходит решение задачи, их называют решающими моделями. Остальные модели, обеспечивающие переход от текста задачи к математической модели (схематизированные и знаковые на естественном языке), называют вспомогательными моделями.

Необходимо помнить, что не всякая схема (рисунок, чертежи др.), выполненные для данной задачи, является ее моделью. Так как модель - это своеобразная копия задачи, то на ней должны быть представлены все ее объекты, все отношения между ними, указаны требования [37].

Действию моделирования нужно учить специально, как и всякому учебному умению. Опираясь на наглядно-образное мышление ребенка, характерное для младшего школьного возраста, возможно использование визуально воспринимаемых моделей. Период обучения в начальной школе является сензитивным для начальных этапов обучения визуально воспринимаемому моделированию. Если организовать обучение моделированию еще на подготовительном этапе, до начала обучения решению задач, то в дальнейшем можно формировать умение решать задачи на базе усвоенных принципов построения модели объекта, ситуации, процесса, явления и т. д.

Основными принципами построения учебной модели являются следующие:

модель должна отражать особые (в данном случае количественные) отношения реальной действительности;

модель может и должна замещать соответствующие реальные объекты, явления, процессы, ради которых она была создана;

модель, отображая структуру исследуемого объекта, процесса, ситуации и т. д. способна замещать его так, что ее изучение дает нам новую информацию об этом объекте, ситуации и т.п. [23].

При решении текстовых задач на процессы учащиеся начальных классов часто испытывают затруднения. И, прежде всего, потому, что такие процессы описываются тремя величинами, которые могут находиться в разных зависимостях и которые в явном виде в начальной школе, как правило, не изучаются. Исключение составляют задачи на движение. При решении других задач на процессы используется жизненный опыт детей, который у всех различный. Огромную трудность для младших школьников составляет понимание ситуации, описываемой в задаче, и выделение данных величин, ее характеризующих. Основные процессы, которые встречаются в школьных текстовых задачах и величины их характеризующие, представлены в таблице 1:

Таблица 3 - Задачи на процессы

Процесс	Величины, характеризующие этот процесс
равномерное движение	скорость	время	расстояние
Пример. Два поезда, встретившись на разъезде, продолжали движение, каждый в своем направлении. Скорость одного из них на 20 км/ч больше скорости другого. Через 3 ч расстояние между ними было 480 км. Найдите скорость каждого поезда.
купля-продажа	цена	количество	стоимость
Пример. За 7 книг и 5 альбомов заплатили 460 рублей. Сколько стоит книга и сколько альбом, если альбом дороже книги на 20 рублей?
измерение массы	масса одного предмета	количество предметов	масса всех предметов
Пример. До обеда в магазине продали 3 мешка сахарного песка, по 45
кг в каждом, а после обеда - 5 таких мешков. Сколько килограммов сахарного песка продали за день?
измерение длины	длина одного предмета	количество предметов	длина всех предметов
Пример. Купили 5 мотков электрического провода, по 56 м в каждом. Израсходовали 234 м провода. Сколько метров проволоки осталось?
измерение площади прямоугольника	длина прямоугольника	ширина прямоугольника	площадь прямоугольника
Пример. Длина участка, имеющего прямоугольную форму, 70 м, а ширина - 30 м. Найдите площадь данного участка.
работа	производительность труда	время работы	объем работы
Пример. За 8 часов токарь может выточить 24 детали, а его ученик в 3 раза меньше. Какое количество деталей они могут выточить за 5 часов, работая одновременно?
расходование материалов	норма расхода материала на одно изделие	количество изделий	расход материала на все изделия
Пример. Их двух кусков ткани сшили 14 одинаковых юбок. В первом куске было 32 м, а во втором - 24 м. Сколько юбок сшили из каждого куска ткани?
сбор урожая	урожайность	площадь посева	весь урожай, собранный с этой площади
Пример. С 6 грядок одного огорода собрали 504 огурца, а с 8 грядок другого огорода - 336 огурцов. С грядки какого огорода собрали урожай больше?
заполнение	скорость	время	объем емкости
емкости	заполнения	заполнения
Пример. Бассейн, объем которого 240 м2, наполняется одно трубой за 3 ч, а второй трубой - за 4 ч. На сколько скорость наполнения бассейна первой трубой больше скорости наполнения второй трубой?
подсчет количества мест	количество мест в ряду	количество рядов	количество всех мест
Пример. В зале 300 мест. Когда школьники заняли 8 полных рядов, в зале осталось 140 свободных мест. Сколько мест в каждом ряду, если все ряды одинаковые?
квартир	количество квартир на этаже	количество этажей	количество всех квартир
Пример. В новом двенадцатиэтажном доме на каждом этаже располагается 4 квартиры. Сколько семей получат квартиры в трех таких домах?
предметов в наборе	количество предметов в наборе	количество наборов	количество всех предметов
Пример. Библиотека получила 32 пачки учебников русского языка, по 8 штук в каждой, и несколько пачек учебников математики, по 10 штук в каждой. Всего было получено 506 учебников. Сколько пачек учебников математики получила библиотека?
пассажиров	количество пассажиров в вагоне (машине)	количество вагонов (машин)	количество всех пассажиров
Пример. Когда детей отправляли в летний лагерь, в каждый автобус сажали 30 детей. Сколько автобусов понадобилось, если в лагерь принимал 240 детей?

Предметное моделирование лучший способ организации деятельности учеников на этапе формирования понятия о смысле арифметического действия.

Однако пользоваться этим приемом постоянно и на этапе формирования умения решать простые задачи не стоит по причинам, которые были приведены выше. Целесообразнее постепенно заменить предметную наглядность другим способом моделирования простой задачи -схематическим моделированием (упрощенный вариант графической модели).

Таким образом, учитель начальных классов, при обучении решению задач обладает широким спектром разнообразных вспомогательных моделей, которые при эффективном использовании будут способствовать лучшему усвоению структуры задачи.



Глава II. Опытно-экспериментальная работа по обучению младших школьников моделированию при решении текстовых задач на движение

2.1 Показатели и уровень сформированности умения решать задачи на движение у младших школьников 4 класса

Опытно-практическая работа проводилась в Муниципальном бюджетном общеобразовательном учреждении Гимназия №9 г. Химки Московской области. В эксперименте принимало участие 50 учеников 4 классов. 25 человек составили экспериментальную группу, с которой проводилось экспериментальное обучение, направленное на формирование умения решать задачи на движение с помощью вспомогательных моделей, остальные учащиеся в количестве 25 человек составили контрольную группу. Экспериментальное обучение проходило в рамках уроков математики по учебнику из учебно- методического комплекса «Перспектива»: «Математика 4 класс. Учеб. для общеобразоват. организаций с прил. на электрон. носителе. В 2 ч. Ч. 2 / Г.В. Дорофеев, Т.Н. Миракова, Т.Б. Бука; Рос. акад. наук, Рос. акад. образования, из- во «Просвещение». 3-е изд. М. : Просвещение, 2014. 128 с.».

На первом этапе эксперимента был выявлен уровень умения строить вспомогательные модели к текстовым задачам и решать их. Для проведения констатирующего этапа эксперимента была разработана диагностическая работа, включающая в себя задания различной степени сложности. Учащимся было предложено решить 3 задачи, построив вспомогательную модель. На выполнение работы было отведено 20 минут.

Диагностическая работа по теме: «Решение задач»

Цель: выявить уровень сформированности умения решать задачи с опорой на моделирование.

Задача №1.

Построй чертеж и реши задачу (1 клеточка = 1 км).

Туристы решили пройти за день 15 км. Они уже прошли 2 ч со скоростью

3 км/ч. Какое расстояние им осталось пройти, двигаясь с прежней скоростью?