Формирование обобщённого умения решать задачи на основе моделирования

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Теоретические основы моделирования как способа формирования обобщённого решения задач в начальной школе умения решать задачи

1.1 Сущность моделирования в философской и психолого - педагогической литературе

1.2 Возможности использования моделирования в обучении

Выводы по I главе

2. Процесс обучения младших школьников обобщённому решению задач на основе методов моделирования

2.1 Содержание и организация деятельности на подготовительном и основном этапах

2.2 Ход и результаты констатирующего эксперимента

Выводы по II главе

Заключение

Список использованной литературы

Приложения

Введение

Актуальность исследования. Проблема моделирования в обучении младших школьников умению решать задачи всегда вызывала интерес, как в педагогике, так и в психологии. Именно оно многими рассматривается как важнейшее среди тех, которыми должны владеть учащиеся в средней школе.

Это связано с возрастанием роли теоретических знаний в науке, что вызывает необходимость повышения теоретического уровня знаний, формируемых на разных этапах обучения. Из анализа литературы следует, что одним из путей формирования теоретических знаний является моделирование, использование моделей, которые выступают как "абстракции особого рода" (В.В.Давыдов), позволяющие выявить внутренние связи и, отношения объектов.

Проведено большое количество исследований, посвященных проблемам моделирования, раскрывающих применение моделей и методов моделирования в отдельных науках: философии, психологии, педагогике.

В условиях образования, ориентированного на развитие теоретического мышления у младших школьников, особое значение в обучении и, прежде всего, при решении задач, приобретает овладение действием моделирования, поскольку, как показали исследования В.В.Давыдова, оно способствует формированию обобщённых знаний. Это определяет и основные пути организации деятельности учащихся, направленных на развитие мышления в процессе анализа задачи и поиска плана решения на основе моделирования, формирование необходимых для осуществления этого умений и способов действий. Моделирование в данной работе рассматривается не только как способ формирования обобщённого умения решать задачи, но и как одна из целей обучения математике.

Объект исследования - процесс обучения младших школьников умению решать задачи.

Предмет исследования - моделирование как способ формирования у младших школьников обобщённого умения решать задачи.

Цель исследования - разработать способы и средства формирования обобщённого умения решать задачи на основе моделирования.

Задачи исследования:

1. определить сущность моделирования в философской и психолого - педагогической литературе,

2. выявить возможности использования моделирования в обучении,

3. определить содержание и организация деятельности на подготовительном и основном этапах,

4. провести опытно-экспериментальную работу по формированию у младших школьников обобщённого умения решать задачи на основе моделирования.

Методологической основой исследования является:

- современные представления об общих методах познания и их применении в практике обучения (В.А.Штофф, И.Б.Новик, В.В.Давыдов);

- теория поэтапного формирования умственных действий (П.Я. Гальперин, Н.Ф. Талызина);

Для поставленных задач использовался комплекс методов исследования: теоретический анализ философской, психолого-педагогической, методической литературы; экспериментальные методы (психолого-педагогический эксперимент); методы изучения продуктов деятельности; методы статистической обработки данных.

Опытно-экснериментальная база. Экспериментальная работа проводилась на базе МОУ "Элистинская многопрофильная гимназия"

Структура работы. Курсовая состоит из введения, трёх глав, заключения, списка использованной литературы и приложения.

1. Теоретические основы моделирования как способа формирования обобщённого решения задач в начальной школе умения решать задачи

1.1 Сущность моделирования в философской и психолого - педагогической литературе

Проблема моделирования как способа научного познания широко разрабатывается не только в философии, но и получила признание практически во всех отраслях современной науки. В настоящее время термин "модель" широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений. Рассматривая понятие "модель" в той или иной области научного знания, можно отметить некоторую общность основополагающих идей. Одно из первых определений понятия "модель" принадлежит Г.Клаусу: "...под моделью понимается отображение фактов, вещей и отношений определенной области знания в виде простой, более наглядной материальной структуры этой области или другой области" [15, с62]. В более поздних определениях акценты ставятся уже на моделировании "скрытых внутренних свойств" объекта (В.М.Глушков, Ю.А.Гастев и др.).

Выделяются типы моделей: физические, вещественно -математические и логико - математические [6, 14].

Физические модели, как правило, имеют физическую, химическую или биологическую природу, сходную с природой изучаемого оригинала. Данные модели сохраняют геометрическое, физическое, динамическое и функциональное (т.е. относящееся к функционированию, поведению) подобие оригиналу и отличаются лишь размерами, скоростью течения исследуемых явлений, иногда материалом: аэродинамические испытания модели самолета, исследование злокачественных новообразований налабораторных животных и т.д.

Вещественно - математические модели имеют отличную от прототипов физическую, химическую или биологическую природу, но допускают одинаковое с оригиналом математическое описание: электромеханические, гидротепловые модели и т.д.

В логико - математических моделях физическая, химическая или биологическая природа оригинала и модели уже не играет никакой роли. Здесь важны только абстрактные, логические и математические свойства. При логико - математическом, то есть знаковом моделировании исчезает возможность экспериментирования (как это было возможно при физическом и вещественно - математическом моделировании), а новые знания об К.Е.Морозов под моделированием понимает "...построение (или выбор) и изучение объекта любой природы (называемого моделью), который способен замещать исследуемый объект и изучение которого дает новую информацию об этом объекте" [6, с,40]. В наиболее общем виде можно сказать, что научное моделирование -- это метод исследования различных объектов на их моделях - аналогах определенного фрагмента природной или социальной реальности.

В литературе принципиальной особенностью метода моделирования, отличающей его от других методов научного познания, можно считать опосредствованное изучение объекта, проводимое с помощью исследования другого объекта, аналогичного первому. При этом аналогия рассматривается как существенная связь между этими объектами, основанная на сходстве ключевых признаков отношений между ними. Сходство между объектами по случайным признакам не может считаться аналогией.

Смысл моделирования заключается в возможности получить информацию о явлениях, происходящих в оригинале, путем переноса на него определенных знаний, полученных при изучении соответствующей модели.

Этот метод основан на способности человеческого мышления к абстрактному сопоставлению свойств различных объектов, то есть к установлению аналогий.

В научном познании моделирование -- это метод, при котором изучается не интересующий объект, а заместитель, находящийся с объектом в отношениях соответствия: изоморфизма, гомоморфизма (изоморфизм - взаимно-однозначное соответствие структур заместителя и оригинала, гомоморфизм - обобщение изоморфизма, в котором отсутствует взаимно -- однозначное соответствие), и дающий при его исследовании новую информацию о моделируемом объекте. Это - действия с моделями, позволяющие исследовать отдельные, необходимые для нас стороны или свойства объекта. Моделирование служит не только для поисков физического смысла явлений и закономерностей, но и играет роль своего рода мостика, соединяющего исследователя с объектом познания, т.е. между исследователем и объектом познания стоит модель.

Моделирование, исходя из философского определения, предполагает три этапа: выбор (построение) модели; работа с моделью; переход к реальности. Данные этапы процесса моделирования адекватны этапам решения мыслительной задачи в психологии. Из данной науки известно, что процесс, решения мыслительной задачи представляет следующую структуру: постановка проблемы (формулирование вопроса) и анализ условия (выделение элементов, установление соотношений и связей мыслительной задачи); поиск возможных путей решения и решение мыслительной задачи (выдвижение гипотез и перекодировка содержания задачи); проверка решения (путём соотнесения полученных результатов и условия, вопроса; переосмысления задачи с точки зрения открытия других, ещё не решённых задач) [7, с.26-29].

Исходя из цели данного исследования понятие "модель" определяется нами как некий объект (система), исследование которого служит средством для получения знаний о другом объекте (оригинале). Знания об исследуемом объекте постоянно расширяются и уточняются, а исходная модель постепенно совершенствуется. Недостатки могут быть обусловлены малым знанием объекта, ошибками в построении модели и поиске возможных путей решения, в неумении выполнить умозаключение по аналогии.

Понятие "моделирование" рассматривается нами как способ и средство познания какого-либо явления или объекта, где для исследования выбирают или строят другой объект, в каком - то отношении подобный исследуемому. Построенный или выбранный объект изучают и с его помощью решают исследовательские задачи, а затем результаты решения этих задач переносят на первоначальное явление или объект [19, с.69]. Под моделированием процесса познания понимаем построение, изучение и применение моделей в процессе обучения.

Моделирование в обучении отличается от моделирования в научном познании рядом особенностей, проистекающих из содержания и способов использования моделей. Анализируя работы исследователей, занимавшихся проблемой моделирования в обучении (А.У.Варданян, В.В.Давыдов, Н.Г., Салмина, Л.М.Фридман, Д.Б.Эльконин), можно выделить следующие отличия:

* В обучении моделирование используется для "открытия" и усвоения учащимися известных науке фактов и положений, а в науке применяется для познания неизвестных явлений, процессов, объектов.

* Учебные модели являются средством, с помощью которого происходит познание изучаемых объектов, явлений, процессов, а научные модели сами являются объектами познания.

Анализируя отдельные характеристики и функции моделей, В.В.Давыдов и А.У.Варданян [26,с.142-145] выделяют следующие характерные особенности учебных моделей:

* знаковый характер учебных моделей -- они всегда представляют собой искусственные образования, в которых заключается динамичность и гибкость модели, и модель создается и используется как орудие деятельности; им присуща наглядность, фиксирующая общие отношения ряда явлений;

* образный характер учебных моделей; в процессе познания знак и образ не только не исключают друг друга, но и дополняют;

* оперативная роль моделей, указывающих способ организации действий детей, направленных на выяснение основных свойств изучаемого материала;

* внешний вид учебной модели зависит от того, какие стороны оригинала становятся объектом действий ребёнка, в какой мере они обобщены;

* эвристическая функция учебных моделей, т.е. при работе с моделями учащиеся получают новое значение, которое невозможно или трудно получить при работе с реальным объектом.

Моделирование в обучении является способом, а модель - средством познания при выявлении и фиксации в наглядной форме тех всеобщих отношений, которые отражают научно - теоретическую сущность изучаемых объектов.

В.В.Давыдов, Н.Г.Салмина, Л.М.Фридман и др. рассматривают моделирование как знаково -- символическую деятельность, заключающуюся в получении новой информации в процессе оперирования знаково -- символическими средствами. Моделирование -- это сложная деятельность, в которой выделяются следующие составляющие: предварительный анализ материала; перевод реальности или текста, ее описывающего, на знаково -- символический язык; работа с моделью или её преобразование; соотнесение результатов, полученных на модели, с реальностью. Каждый из этих компонентов имеет свой операционный состав, специальные средства, которые должны выступить предметом усвоения учащихся.

Итак, моделирование в обучении является способом познания, анализа и осмысления учебных фактов, средством, с помощью которого достигаются цели обучения. Использование учебных моделей позволяет получить те сведения об изучаемом объекте, которые сложно или невозможно получить действительно и прогнозировать дальнейшее поведение и развитие объекта изучения.

1.2 Возможности использования моделирования в обучении

Моделирование в содержании и построении учебной деятельности

В концепции учебной деятельности Д.Б.Эльконина-В.В.Давыдова моделирование включено как учебное действие, которое должно быть сформировано у учащихся. Рассмотрим его содержание в структуре учебной деятельности.

Содержанием учебной деятельности выступают теоретические знания, овладение которыми развивает основы теоретического сознания и мышления, а также творчески-личностный уровень осуществления практических видов деятельности. Изложение научных знаний осуществляется способом восхождения от абстрактного к конкретному, в котором используются содержательные абстракции, обобщения и теоретические понятия.

Характеристики способа восхождения мысли от абстрактного к конкретному описываются следующим образом. Приступая к овладению каким-либо учебным предметом, школьники анализируют содержание учебного материала, выделяют в нем некоторое исходное общее отношение, обнаруживая вместе с тем, что оно проявляется во многих других частных отношениях. Фиксируя в какой-либо знаковой форме выделенное исходное общее отношение, дети тем самым строят содержательную абстракцию изучаемого предмета. Продолжая анализ учебного материала, они раскрывают закономерную связь исходного отношения с его различными проявлениями и тем самым получают содержательное обобщение. Затем используют содержательную абстракцию и обобщение для выведения других, более частных абстракций. [12,с.177-179].

Учебная деятельность реализуется посредством выполнения школьниками соответствующих действий. Согласно общей закономерности интериоризации, первоначальной формой учебных действий является их развернутое коллективное выполнение на внешне представленных объектах.

Учебные действия направлены на решение учебных задач, которые требуют анализа и содержательного обобщения. Учебная задача направлена на анализ учащимися условий происхождения теоретических понятий и на овладение соответствующими обобщенными способами действий.

Остановимся на главных особенностях учебных действий.

Принятие школьниками учебной задачи или ее самостоятельная постановка должны быть обеспечены мотивацией у учащихся. Преобразование условий учебной задачи с целью обнаружения некоторого всеобщего отношения того объекта, который должен быть отражен в соответствующем теоретическом понятии. Преобразование условий задачи ориентировано на поиск, обнаружение и выделение определенного отношения некоторого целостного объекта. Поиск такого отношения и есть содержание мыслительного анализа, которое в своей учебной (])ункции выступает первоначальным моментом процесса формирования требуемого понятия. Данное учебное действие, в основе которого лежит анализ, вначале имеет форму преобразования предметных условий учебной задачи (это мыслительное действие первоначально осуществляется в предметно-чувственной форме). [17,с.67].

Моделирование выделенного всеобщего отношения в предметной, графической или знаковой (буквенной) форме. Учебные модели составляют необходимое звено процесса усвоения теоретических знаний и обобщенных способов действия. Поскольку в учебной модели изображается некоторое всеобщее отношение, найденное и выделенное в ситуации путем ее преобразования, то содержание этой модели фиксирует внутренние характеристики объекта, не наблюдаемые непосредственно. Учебная модель, выступая как продукт мыслительного анализа, затем сама может сделаться особым средством мышления человека. Преобразование модели с целью изучения свойств выделенного всеобщего отношения объекта. Это отношение в условиях учебной задачи как бы "заслоняется" многими частными признаками, что в целом затрудняет его специальное рассмотрение. В модели это отношение выступает можно сказать в "чистом виде". Поэтому, преобразовывая и переконструируя учебную модель, школьники получают возможность изучать свойства всеобщего отношения без его "затемнения" привходящими обстоятельствами. Работа с учебной моделью выступает как процесс изучения свойств содержательной абстракции всеобщего отношения.

Ориентация школьников на всеобщее отношение изучаемого целостного объекта служит основой формирования у них общего способа решения учебной задачи и тем самым формирования понятия об исходной "клеточке" этого объекта. Однако адекватность "клеточки" своему объекту обнаруживается тогда, когда из нее выводятся многообразные частные его проявления. Применительно к учебной задаче это означает выведение на ее основе системы различных частных задач, при решении которых школьники конкретизируют ранее найденный общий способ, а тем самым конкретизируют и соответствующее ему понятие ("клеточку"). Поэтому следующее учебное действие состоит в выведении и построении системы частных задач. Это действие конкретизирует исходную учебную задачу, превращая ее в многообразие частных задач, которые могут быть решены единым (общим) способом, усвоенным при осуществлении предыдущих учебных действий. Решая отдельные частные задачи, учащиеся подходят к ним как к вариантам исходной учебной задачи и сразу, как бы, "с места", выделяют в каждой из них то общее отношение, ориентация на которое позволяет им применять ранее усвоенный общий способ решения.

Содержание учебных действий позволяет выявить глубокое своеобразие усвоения понятий в собственно учебной задаче по сравнению с обычной и традиционной методикой преподавания, когда понятие формируется путем формально -- эмпирического обобщения частных ситуаций.

Понятие выступает итогом работы в таких ситуациях, усвоение идет "от частного к общему". А учебная задача позволяет формировать понятие на основе содержательно-теоретического обобщения при последующем переходе к действию в частных ситуациях, т.е. переход "от общего к частному". Перечисленные учебные действия все вместе направлены на раскрытие условия происхождения усваиваемого понятия. [10,с.92].

Важную роль в усвоении школьниками знаний играют учебные действия контроля и оценки. Контроль заключается в определении соответствия других учебных действий условиям и требованиям учебной задачи. Действие оценки позволяет определить, усвоен или нет общий способ решения данной учебной задачи. Вместе с тем оценка - это содержательное качественное рассмотрение результата усвоения общего способа и соответствующего ему понятия в его сопоставлении с целью. Выполнение действий контроля и оценки способствует тому, что учащиеся обращают внимание на содержание собственных действий с точки зрения их соответствия решаемой задаче. Учебная деятельность и отдельные ее компоненты (контроль и оценка) осуществляются благодаря основополагающему качеству человеческого сознания, как рефлексия.

Моделирование в обучении является способом познания и осмысления учебных фактов, позволяет получить те сведения об объекте, которые невозможно или сложно получить действительно, даёт возможность прогнозировать дальнейшее развитие объекта и применять полученные знания в других ситуациях, т.е. способствует систематизации и обобщению учебного материала.

Использование моделирования при решении задач в существующей практике обучения

Решение задач помогает решать различные проблемы в жизни, учит ребёнка, моделируя жизненную ситуацию, переводя её на язык символов и знаков, находить ответы на многие вопросы. Решение задач можно рассматривать как процесс познания, ибо в результате решения задачи субъект узнает, как правило, что-то для себя новое. Рассмотрим, каковы особенности средств познания, используемых при решении задач.

Особенностью всех этих средств является то, что они выступают в форме различных преобразований решаемой задачи и ее отдельных частей.

С.Л.Рубинштейн считал важной формой преобразования переформулирование задачи. Основные формы мышления, осуществляющиеся при "переформулировании", это анализ через синтез, когда у объекта, в процессе мышления, обнаруживаются другие связи и свойства и он выступает уже в новых качествах и понятиях.

Вид моделирования определяется главным образом характером самой задачи и сформированной у субъекта системой поиска решения. Л.М. Фридман выделил три класса моделей для изучения и решения задач: материальные или предметные, знаково-символические, идеальные. Рассмотрим каждый класс моделей [11, с.56].

Материальные или предметные модели, построенные или выбранные из каких--то материальных предметов и предназначенные либо для воспроизведения в наглядном виде сущности сюжета, либо для построения предметной модели, при помощи которой можно воспроизвести процесс её решения (данные модели делятся на статические и динамические).

Знаково-симеолические модели, представляющие собой сконструированные на каком-то языке модель -- представление о сущности задачи или процессе её решения. К данному классу моделей относятся и разного рода схематические записи условия задач. Так, весьма часто используются схематические модели, в которых условие задачи воспроизводится с помощью простейших знаковых обозначений: римские цифры обозначают названия отдельных значений величин; знаки вопроса -- неизвестные значения; фигурные скобки - соотношения соединения; знаки неравенства -- соотношения сравнения и.т.д. Весьма полезным видом моделирования является построение табличных моделей. Этот вид моделирования используется главным образом тогда, когда в задаче имеется несколько взаимосвязанных величин, каждая из которых задана одним или несколькими значениями. Знаково-символические модели делятся на следующие виды:

- иконические, построенные из каких-то наглядных символов, имеющие какое-то внешнее сходство с моделируемым объектом. К ним относятся разного рода рисунки, схемы, чертежи и т.п.

- знаковые, построенные с помощью какого-то языка, отличные от языка, на котором изложена задача. Это различного рода числовые выражения, уравнения, неравенства.

Идеальные (мысленные, умственные, воображаемые) модели, создаваемые субъектом в своём воображении в виде образа-представления или образа-воображения. В процессе решения субъект должен научиться создавать у себя умственную модель -- представление о решаемой задаче, которую он должен удерживать в памяти до конца процесса её решения, и воображаемую модель о том, какой вид эта задача может принять при том или ином её преобразовании. [14,с.164].

Н.Г.Салмина различает учебные модели по видам средств, используемых при их построении. Можно выделить три вида моделей: вещественные, графические, знаковые, которые различаются с точки зрения того, строится ли она самими учащимися или предоставляется им готовой. В экспериментах по сравнительной эффективности видов моделей и способов их введения лучшие результаты были достигнуты при работе с вещественными и графическими моделями при их самостоятельном построении [8, с.96].

Обзор методических подходов при формировании обобщенных умений и способов решения задач

Чтобы успешно формировать эти умения нужно знать, в чем и как они проявляются, какова их структура и операционный состав, какие компоненты являются вариативными, изменяемыми, а какие инвариантными, неизменяемыми.

Обучение общему умению решать задачи - это:

- формирование знаний о задачах, методах и способах решения, приемах, помогающих решению, о процессе решения задач, этапах этого процесса, назначении и содержании каждого этапа;

- выработка умения расчленять задачи на составные части, использовать различные методы решения, адекватно применять приемы, помогающие понять задачу, составлять план решения, умения выполнять его, проверять решение, умение выполнять каждый из этапов решения.

При формировании общего умения решать задачи предметом изучения и основным содержанием обучения являются: задача (в широком смысле слова), процесс решения задач, методы, способы и средства решения задач, приемы, помогающие осуществлению каждого этапа и всего процесса решения в целом. В этом случае следует рассматривать формирование этого умения с точки зрения жизненных потребностей человека, т.е. необходимо заботиться о творческом подходе к решению задач.

Обучение умению решать задачи определенных видов состоит из:

- знаний о видах задач, способах решения задач каждого вида;

- умения "узнать" задачу данного вида, выбрать соответствующий ей способ решения и реализовать его в "узнанной" задаче.

Обучение решению задач в образовательной системе Л.В.Занкова.

Главной задачей обучения в системе Л.В.Занкова является достижение оптимального общего развития каждого школьника. Дидактической основой системы являются дидактические притщпы, сформулированные в процессе научного исследования проблемы "Обучение и развитие", проведённого под руководством академика Л.В.Занкова в 50 - 70 годах XX века:

-обучение на высоком уровне трудности (с соблюдением меры трудности);

-ведущая роль теоретических знаний;

-быстрый темп изучения учебного материала;

-осознание процесса учения учащимися;

-целенаправленная и систематическая работа над общим развитием всех учащихся, в том числе и слабых.

В основе программы по математике лежит общая концепция личностно ориентированной системы обучения, а её содержание неоднородно и относится к трём разным уровням, каждый из которых имеет свою специфику и требует различного подхода. Рассмотрим структуру работы с задачами, которая предлагается в "занковской" системе (учебники И.И. Аргинской и др.).

Обучение решению задач по программе Л.Г.Петерсон.

Курс математики для начальной школы разработан с позиций комплексного развития личности ученика, гуманизации, гуманитаризации математического образования. Гуманитарная направленность выделяет базисный принцип построения программы - это принцип моделирования. Он состоит в следующем: содержание программы должно отражать основные идеи математического моделирования. Новое знание вводится не через передачу готового знания, а через самостоятельное "открытие" его детьми. Этим создаются благоприятные условия для разноуровневой подготовки учащихся и для реализации принципа моделирования (это говорит об использовании в практике обучения результатов исследования Л.В.Занкова, В.В.Давыдова).

Традиционная система обучения. [13,с.175].

Во многих школах России реализуется традиционная практика обучения в начальной школе. В основе учебно-воспитательного процесса в ней лежат принципы рассудочно-эмпирического мышления, приоритетными остаются процессы обучения, в которых учащийся играет пассивную роль по отношению к обучающему. Основным методом традиционного обучения является информационно-рецепторный (или репродуктивный) метод, который не учитывает учебно-деятельностной основы усвоения знаний и умений, а, следовательно, фактически игнорирует субъекта процесса учения.

В традиционной системе обучения (А.С.Пчелко, М.А.Бантова, М.И.Моро, А.И.Пышкало) умения решению формируются в процессе систематической и целенаправленной работы, которая осуществляется следующими этапами работы над задачей: [21,с.160].

1.Восприятие текста задачи.

2.Разбор (анализ) содержания задачи (выделение данных и вопроса).

3.Поиск пути решения задачи (установление зависимостей между величинами, обоснование выбора действий).

4.Составление плана решения задачи.

5.Запись решения задачи.

6.Запись ответа и проверка решения задачи.

Из всего вышесказанного видно, что обучение анализу и решению задач идет от формирования частных умений и навыков в решении определённых видов задач к формированию общего умения решать задачи.

В этом есть свои плюсы, такие, как усвоение отдельных видов задач, усвоение общего алгоритма работы над задачами. Но в методической литературе отмечается, что при таком подходе значительная часть учащихся имеет не вполне ясные представления о сущности задачи, о ее составе и структуре, о том, что значит решить задачу, что надо делать, чтобы найти решение. Решение задачи ведется главным образом по готовым образцам, путем копирования деятельности, демонстрируемой преподавателем.

Программа обучения не предусматривает формирования у учащихся общих представлений по решению задач, а учебные пособия и учебники не содержат необходимых для этого сведений. В этом отношении общее умение решать стоит особняком: для его формирования учащимся не дается никаких особых знаний. Считается, что единственный метод формирования у учащихся умения решать задачи -- это практика в решении большого числа задач. Результаты такой работы более чем скромные: многие учащиеся так и не овладевают общим подходом к их решению и, встретившись с задачей незнакомого или малознакомого вида, теряются и не знают, как приступить к решению. Между тем подлинный успех возможен лишь при опоре на формирование общих приемов решения задач. При этом формирование таких приёмов должно стать основой, на базе которой возможно будет успешно формировать частные умения решения задач. [27,с.132].

Особенности работы над задачей по программе "Школа 2100".

В Образовательной системе "Школа 2100" в качестве ведущей технологии в школе используется проблемно-диалогическое обучение как тип обучения, обеспечивающий творческое усвоение знаний учащимися посредством диалога с учителем, это выступает важнейшим направлением реализации парадигмы развивающего образования.

Обучение решению задач на основе теории поэтапного формирования умственных действий. Полноценное формирование действий по решению задач формируется на основе общего метода решения, который расчленяется на отдельные указания и ориентиры с позиций деятельностного подхода в обучении. Деятельность человека по решению любых задач рассматривается как процесс взаимодействия субъекта с объектом (задачей). Решение задачи имеет всегда определенную цель -- осуществление требований задачи, а основной целью процесса решения является поиск этого решения.

Таким образом, анализ использования моделирования в обучении выявило следующие его особенности: моделирование можно рассматривать как одно из учебных действий, входящих в состав учебной деятельности; моделирование является одним из видов знаково -- символической деятельности, применяемой в обучении; моделирование может выступать способом познания, исследования и осмысления учебных фактов, даёт возможность прогнозировать дальнейшее развитие объекта и применять полученные знания в других ситуациях, т.е. способствует систематизации и обобщению учебного материала.

Выводы по I главе

Таким образом, анализ понятий "модель" и "моделирование" в философской, психолого - педагогической литературе позволил:

- выделить общность взглядов в понимании модели как системы, служащей для изучения другой системы, а моделирование - как способ опосредованного познания, при котором изучается не интересующий нас объект, а его заместитель -- модель;

- определить, что структура моделирования адекватна процессу решения мыслительной задачи (в том числе и математической), поэтому имеются возможности применения моделей в обучении, а сами модели, используемые в обучении, обладают рядом характерных особенностей: знаковостью, образностью, оперативностью, эвристичностью и называются "учебными".

В рамках концепции развивающего обучения математике формируется общий подход к решению текстовых задач, в соответствии с которым задача рассматривается как модель некоторой проблемной ситуации, а её решение как процесс применения общих теоретических положений математики к условиям задачи для нахождения ответа на вопрос.

Моделирование рассматривается как способ переформулирования, преобразования задачи, как процесс построения цепи моделей задач; как учебное действие, которое используется для формирования обобщённого способа решения задач, как важнейший компонент теоретического познания.

Модель выступает и используется как своеобразный "инструмент" познания, средство, с помощью которого изучается познаваемый объект (ситуация, отражённая в тексте задачи). Поэтому дальнейшее изучение возможностей использования моделирования при обучении решению задач в рамках программ развивающего обучения является вполне обоснованным.

Необходимость совершенствования методов, способов и средств обучения решению задач поставлена сейчас самой жизнью, изменением целей и условий работы школы. Моделирование в обучении математике формирует и развивает научно-теоретический тип мышления.

2. Процесс обучения младших школьников обобщённому решению задач на основе методов моделирования

моделирование учебный школьник задача

2.1 Содержание и организация деятельности на подготовительном и основном этапах

На подготовительном (пропедевтическом) этапе формируются компоненты, составляющие психологическое и предметно-специфическое содержание решения задач и моделирования:

1.Символическая пропедевтика.

2.Логическая пропедевтика.

3. Предметно-специфическая или математическая пропедевтика.

1. Символическая пропедевтика

Математика, как никакой другой учебный предмет, напрямую связана с использованием символов, знаков, разных условных обозначений модельных объектов, идеализированных объектов, и поэтому ее усвоение требует развития символического мышления. Символы и знаки используются практически везде, в разных функциях: либо они представляют материал, с которым дети осуществляют деятельность (анализ, декодирование и др.), либо в знаках формулируется задание, либо в знаках должен быть дан результат. Можно выделить некоторые существенные уже в начальный период усвоения математики знания и умения: знание цифр, умение обозначить множество цифрой и подобрать к цифре соответствующее множество, умение соотносить числа, осуществлять операции сложения и вычитания, для формирования которых разработаны специальные задания (см. Приложение 1).

Умение решать задачи можно рассматривать, как умение переводить конкретное содержание на язык символов, связанное, прежде всего, с пониманием текста. Чтобы её решить, необходимо сначала "перевести" текст задачи со словесного описания какой-либо реальной ситуации на язык математических отношений. Для этого используется краткая запись или "перевод" текста задачи на язык графических моделей.

Символическая пропедевтика должна быть направлена на освоение умений:

-создавать знаки и символы для обозначения объектов, признаков объектов, свойств объектов, множеств, т.е. выделение объектов, их признаков и кодирование; при этом, как описывается в исследовании Н.Г.Салминой, И. Фореро Навас, наряду с обычно указываемыми признаками (цвет, форма, величина, ширина, длина, площадь, объём, вес) целесообразно включать также несущественные признаки (рисунок на фигуре и ДР-), пространственные характеристики (внутри-вне, пересечение), замкнутость -- незамкнутость фигур, характеристики линий (ломаная - кривая), материал, функции и др.[9, 117].

-оперировать системами знаково-символических средств, выражать содержание (объекты, явления, признаки, отношения, действия, тпреобразования) в разных знаково-символических формах; переходить от одного языка к другому, от одного плана к другому, т.е. по знакам восстановить реальность и обратно, отделять содержание от формы представления. Здесь речь идет не только о социально принятых системах, существующих в науках (буквенно-цифровая символика, таблицы разного рода, графики, логическое дерево и т.п.), но и о произвольной символике, самостоятельно создаваемой детьми для решения задач близких к жизненным. Существенным в данном случае является форма представления заданий: максимальное введение символики в формулирование заданий и визуализация заданий при сохранении одной и той же системы обозначений. Визуализация задания, т.е. представление его в символах, знаках, на материале разного рода картинок, схем, таблиц при использовании одной системы обозначений, делает задания понятными для всех.

2. Логическая пропедевтика.

В работах крупнейших математиков мира указывается, что большая часть математических знаний предполагает умение осуществлять логические операции. Как показали работы, проведенные под руководством П.Я. Гальперина, Н.Ф.Талызиной, эти приемы не развиваются полноценно без целенаправленного обучения. Согласно Ж. Пиаже, число - это синтез трех логических операций: сохранения, классификации и операции, которые и должны быть сформированы предварительно у детей, приступающих к изучению математики. Согласно В.В. Давыдову, синтез этих операций не происходит без специального обучения. В основе этого синтеза лежит специфическое действие ребенка, связанное с поиском кратного отношения величин в условиях их опосредствованного уравнивания. В процессе осуществления этого действия и возникает синтез классификации и операции и на его основе подлинное понятие числа.

Исследования, проведенные под руководством П.Я.Гальперина, показали, что в основе ошибочных решений задач на сохранение лежит неумение различать свойства объектов, неумение их выделять. Обучение детей зрению различать свойства объектов показывает, что необходимо расширить набор признаков и не ограничиваться выделением длины, ширины, высоты, формы, цвета, площади и массы, включая топологические характеристики, несущественные свойства объектов [9, 112]. Логическая пропедевтика предусматривает формирование понимания и использования некоторых аксиом для описания величин (В.Ф. Каган) [4, 18].

а) если А = В, то В = А;

б) если А > В, то В < А;

в) если А = В и В = С, то А = С;

г) если А < В и В < С, то А < С;

д) если А > В и В > С, то А > С.

Первые две аксиомы отражают важнейшее свойство величин - сравнимость любых двух из них. Так, например, всегда можно сравнить ширину доски и шкафа или длину двух полосок бумаги. Сравнение двух величин без привлечения третьего предмета называется непосредственным. В большинстве случаев непосредственное сравнение затруднено или невозможно. В этой ситуации необходимо привлечение третьего предмета.

Следующие три аксиомы и отражают эту возможность, они являются математическим выражением опосредствованного сравнения величин, т. е. сравнение величин А и С при помощи величины В. Однако понятие "величина" раскрывается не только через отношение сравнения, но и через связь этого отношения с операцией сложения. Дальнейшее уточнение аксиоматики было дано А. Н. Колмогоровым [23, с.151-152]:

е) для любых двух величин А и В существует величина С=А+В;

ж)А+В=В+А;

з) (А+В)+С=А+(В+С);

и) А+В>А;

к) если А>В, то существует одна и только одна величина С, для которой В+С=А (возможность вычитания).

Несмотря на кажущуюся очевидность этих аксиом, раскрытие их содержания требует специальной отработки.

Итак, логические операции включают в себя ряд умений: выделять признаки объектов при изменении их в ряду предметов, фигур; выстраивать ряды объектов по изменяющемуся признаку; строить фигуры в соответствии с выделенным принципом изменения фигур в рядах; образовывать классы объектов, понимать и использовать аксиомы величин. Типы заданий (см. Приложение 2) формируют данный ряд умений и помогают сделать доступными важнейшие математические понятия и действия, определяющие в дальнейшем содержание моделирования и решения задач. Установление отношений эквивалентности между объектами, множествами объектов предполагает формирование понимания и использования аксиом величин, которые необходимы для полноценного формирования понятия числа и математических отношений. Поэтому формирование этих логических отношений вынесено в отдельную логическую операцию - аксиоматику. Выполнение операции классификация предполагает разделять объекты на группы, ориентируясь на один, два, три признака. Суть выполнения логического компонента -- операция предполагает выделение оснований для упорядочения объектов и нахождения в ряду места дополнительному объекту. Сутью выполнения операции сохранения является сохранение количественных характеристик объектов при изменении условий их предъявления. Таким образом, типы заданий логической пропедевтики, представленные в приложении, предполагают формирование операций: аксиоматики, классификации, операции, сохранения и их синтеза,

3. Простейшие математические понятия и отношения.

На начальном этапе введения детей в математику, учащиеся устанавливают отношения между предметами и множествами предметов, учатся использовать в своей речи слова -- кванторы и решают так называемые "задачи - примеры", иллюстрируют ие изучаемые действия, вводимые в обучение (см. Прилоэюение 3).

При формировании начальных математических понятий на этапе пропедевтики учащиеся должны научиться:

1) соотносить элементы множеств; сравнивать множества, устанавливая их эквивалентность с формулированием результатов сравнения; уравнивать количество элементов разных множеств.

2) использовать слова -- кванторы (некоторый, любой, каждый, все, какой-нибудь, находить их в тексте, выполнять с ними задания. Семантический анализ на данном этапе проводится при работе с реальными предметами или вещественными моделями.

3) решать задачи - примеры для отработки смысла и техники арифметических действий. Структура таких задач проста, полностью соответствуя совершаемому действию. Здесь дается учащимся представление о новой классификации задач (задачи на объединение; задачи на изменение; задачи на сравнение;), совершенно отличной от традиционной, в которой выделяют задачи на нахождение суммы, остатка, увеличение, уменьшение числа на несколько единиц, задачи на сравнение. При решении задач - примеров широко используются материальные и материализованные объекты. Задачи на объединение двух различных множеств или двух частей одного множества (статика), где оба множества даны в условии задачи.

* В вазе лежало 5 яблок и 3 апельсина. Сколько всего фруктов в вазе?

Задачи на изменение, т.е. нахождение части целого, изменение одного множества (убавление, прибавление) - (динамика).

В условии используются слова: дали, взяли, уехали, подарили и др.

* В вазе лежало 5 апельсинов. Маша съела один апельсин. Сколько апельсинов осталось в вазе?

Задачи на сравнение, т.е. увеличение (уменьшение) на несколько единиц разных множеств; разностное сравнение множеств. Сюда же относятся задачи, выраженные в косвенной форме.

* На верхней полке 4 книги, а на нижней на 2 книги больше. Сколько книг на нижней полке?

На уроке решаются задачи на все виды отношений. Это позволит в дальнейшем выделять различные типы отношений в одной задаче.

* Билет на троллейбус стоит 4 рубля, а на автобус на 1 рубль дороже.

Сколько стоит проезд от дома до стадиона, если сначала надо ехать на автобусе, а потом на троллейбусе? (изменение, объединение).

4) выделять основные части задачи (условие, вопрос), находить связь между ними. С этой целью предлагаются задачи, различающиеся по характеру формулировки и месту расположения в них вопроса; задачи, различным образом сконструированные и, наконец, предлагаются тексты, которые нужно превратить в задачи, или отдельные вопросы, к которым нужно подобрать условие {см. Приложение 4).

Во время подготовительного этапа у учащихся формируются:

- начальные математические понятия;

- общие логические приемы и действия;

- умения переводить различные ситуации на язык знаков и символов.

Процесс усвоения содержания (этап пропедевтики) опирается на психологическую теорию поэтапного формирования знаний, умений, в соответствии с которой усвоение новых знаний должно начинаться с организации предметной деятельности с реальными объектами или их заместителями и последующего перевода ее через использование знаков и символов в умственный план. Большое значение придается отработке речи учащихся, для чего применяются формы работы с проговариванием, обсуждением собственной деятельности. Усвоение каждого компонента подготовительного периода организуется через определенные этапы:

- действие с реальными объектами;

- действие с реальными объектами в сочетании со схемами, символами и знаками;

- действия со схемами, символами, знаками.

В соответствии с теорией поэтапного формирования умственных действий обучение строится таким образом, что готовых приемов решения не дается, они находятся в совместной деятельности учителя и ученика.

Решение выделяется как нахождение способа, применение которого к разным ситуациям и составляет содержание заданий. Следует отметить, что отработка компонентов данного этапа осуществляется не последовательно, а одновременно, т.е. логическая и символическая пропедевтика должна проходить параллельно, здесь же выполняются задания на усвоение отношений. [29,с.144].

2.2 Ход и результаты констатирующего эксперимента

При диагностике умения решать задачи на основе моделирования мы опирались на принципы выделения уровней сформированности этих умений:

I. Умение решать задачи, включающее в себя:

* умение выделять структурные компоненты задачи;

* умение подбирать способы решения задач;

* умение классифицировать задачи по способу решения;

* умение преобразовывать и составлять задачи.

П.Умение пользоваться моделями, включающее в себя:

* умение воспроизводить содержание в знаково-символической форме;

* умение переходить от одних средств изображения к дрзпгим;

* умение строить модели разных типов.

Используя моделирование как способ, а модель как эффективное средство анализа и решения задач, следует отметить характеристики уровней и овладения данными умениями в начальной школе. Принципы выделения уровней связаны:

- с объектом усвоения - структурой задачи;

- деятельностью по преобразованию и построению;

- содержанием учебного действия моделирования;

- требованиями разрабатываемого математического стандарта: I уровень -- минимальный, низкий; II уровень -- необходимый, средний; III возможный, высокий. [15,с.187].

Эксперимент проводился на базе МОУ "Элистинская многопрофильная гимназия". В исследовании принимали участие 2 экспериментальных и 2 контрольных класса, общее количество учащихся составило 80 человек, в каждой из групп - по 20 человек. Во время проведения эксперимента изменялся количественный состав учащихся, в зависимости от цели и вида работы. В качестве экспериментальных и контрольных групп были выбраны классы, в которых обучение проводилось по программе развивающего обучения Д.Б.Эльконина-В.В.Давыдова и программе Л.Г.Петерсон.

Основания для выбора были следующими:

-принцип моделирования - базисный принцип построения программ;

В содержании программы Л.Г.Петерсон отражаются основные идеи математического моделирования; в концепции развивающего обучения Д.Б.Эльконина-В.В.Давыдова моделирование включено одним из действий учебной деятельности, которое должно быть сформировано у ученика уже к концу начальной школы.

При обучении решению задач используются знаково-символические средства, однако, методические подходы к их использованию значительно отличаются друг от друга: в учебниках Л.Г.Петерсон модель применяется в основном в качестве иллюстративного средства, у учащихся не формируются обобщённые умения решения задач на основе модельного подхода, хотя учащиеся получают определенную начальную базу в этой области, связанную с отдельными модельными операциями (замещение объекта, выбор модели, работа с моделью по образцу и т. д.).

Цель констатирующего эксперимента состояла в выявлении использования моделирования при решении задач, в установлении исходного уровня оперирования системами знаково-символических средств.

В ходе исследования были проведены две серии констатирующего эксперимента. Целью первой серии исследования являлось выявление у младших школьников уровня овладения умением решать задачи с использованием модельных средств: умение выделять структурные компоненты; умение подбирать способы решения; умение классифицировать задачи по способу решения; умение преобразовывать и составлять задачи.

Итоги этого эксперимента отражены в результатах контрольной работы №1 и №2. Целью второй серии исследования являлось выявление у младших школьников уровня умения пользоваться моделями: умение воспроизводить

содержание в знаково-символической форме; умение переходить от одних средств изображения к другим; умение строить модели разных типов. Для диагностики символической функции проводилась методика "Пиктограмма" и выполнялось задание под условным названием "Таблица".

В ходе исследования были выделены уровни овладения моделированием и умением решать задачи: низкий - I уровень, средний - II уровень, высокий - III уровень.

В основу выделения уровней овладения моделированием положено различие в степени освоенности компонентов, входящих в её состав, которые в целом совпадают с компонентами деятельности по решению задач.

Низкий уровень - учащиеся не владеют моделированием как способом решения задач, как универсальным учебным действием или выполняют отдельные действия, используя привычные способы построения моделей, т.е те, которые выполняются по программе под руководством учителя и только по заданному образцу.

Средний уровень - учащиеся выполняют часть действий и операций, входящих в структуру деятельности моделирования, т.е. переводят отдельные компоненты текста на знаково -- символический язык, используя привычные способы построения моделей и строя модели для простых задач.

При этом выбор, построение и преобразование учебной модели происходит под руководством учителя и в ряде случаев самостоятельно.

Высокий уровень - учащиеся используют моделирование как способ, а модель как средство анализа и решения задач, т.е. переводят компоненты текста на знаково-символический язык и строят модели для разных типов задач. При решении задач школьники выполняют все этапы деятельности моделирования. При этом построение учебной модели, её преобразование происходит самостоятельно, потому что у учащихся сформирован навык построения структурных компонентов задачи на знаково-символическом языке. [20,с.189].

Контрольная работа №1.

Цель: проверить умение подбирать способы решения и умение классифицировать задачи по способу рещения.

1. Катя выше Пети, а Петя ниже Васи, Катя стоит в строю первая. В каком порядке стоят все дети в строю?

2. Катя живет выше Пети, Петя живет ниже Васи, Вася живет на 2 этаже в трехэтажном доме. Кто на каком этаже живет?

3. Катя старше Пети, а Петя моложе Васи, который в будущем году пойдет в 1 класс. Катя уже заканчивает 3 класс. Кто из ребят старше, а кто моложе?