А) істинною;

Б) не формулою;

В) виконуваною;

Г) хибною.

Рівень ІІ

(Виберіть одну правильну відповідь)

16. Маємо два одномісні предикати задані на множині натуральних чисел. Предикат Р(х) означає «х ділиться на 2», предикат Q(x) - «х ділиться на 3». Множини ¦ і ¦. Нехай результат однієї з логічних операцій, виконаних над предикатами і . Який вигляд матиме множина істинності предикату , якщо . Відповідь обгрунтуйте і оберіть правильний варіант із запропонованих.

А) ¦;

Б) ¦;

В) ¦;

Г) ¦.

17. Розглянемо двомісний предикат «х+у>1», заданий на множині натуральних чисел. Якщо зв'язати квантором загальності змінну х, що отримається? Відповідь обгрунтуйте і виберіть правильну.

А) Одномісний предикат , який буде тотожно істинним для будь-якого значення у;

Б) Одномісний предикат , який буде тотожно істинним для будь-якого значення х;

В) Одномісний предикат , який буде тотожно істинним для будь-якого значення у;

Г) Одномісний предикат , який буде тотожно істинним для будь-якого значення х.

18. Побудуйте інтерпретацію для формули . Дайте розгорнуту відповідь та оберіть правильну.

А) , яка виконується на тих наборах дійсних чисел, для яких і ;

Б) , яка виконується на тих наборах дійсних чисел, для яких і ;

В) , яка виконується на тих наборах дійсних чисел, для яких і ;

Г) , яка виконується на тих наборах дійсних чисел, для яких і . [Повний перелік тестових завдань додається в додатку А, ст. 89]

3. Методика тестування студентів при вивченні модуля "логіка предикатів"

3.1 Організація та методика проведення тестування

Були обрані за формою проведення групові бланкові тести, які дозволяють охопити велику групу випробуваних одночасно, час відведений для виконання - 50 хвилин. Тести проводилися в робочій обстановці, не затримуючи студентів після пар. При виконанні завдань студентам не дозволяється користуватися допоміжними матеріалами, конспектами, підручниками і т.д. На першому етапі тестування виконується теоретична частина. Далі здаються роботи, і отримуються завдання практичної частини. На теоретичний блок відводиться 30 хвилин.

Перш ніж почати тестування, студентам необхідно дати інструкцію по його виконанню. Вона може мати такий вигляд:

1. Приготуйте два аркуші паперу та зазначте вгорі на кожному з аркушів свій курс, групу, прізвище і номер варіанта.

2. На першому аркуші вказуємо номери отриманих завдань, записуємо біля номера букву, яка позначає правильну відповідь. На виконання цього завдання (теоретичної частини) відводиться 30 хвилин.

3. На другому аркуші вказуємо номери отриманих завдань, записуємо біля номера букву, яка позначає правильну відповідь. На виконання цього завдання (практичної частини) відводиться 30 хвилин. Виконання завдання з практичної частини будуть зараховуватимуться лише в тому разі, якщо завдання буде розв'язано.

Тести розроблені за програмою вивчення курсу «Математичної логіки».

Містяться тести, які включають перевірку як теоретичного так і практичного матеріалу. Кількість питань теоретичної і практичної частини відрізняється, теоретична частина містить 15 запитань, практична - 5.

Тестові завдання розроблено для тематичного контролю знань. Тести містять завдання закритої форми.

Завдання закритої форми ми вибрали саме завдання в якому потрібно вибрати одну правильну відповідь, так як за їх допомогою порівняно за короткий час можна визначити рівень засвоєння великої кількості фактологічних знань. За їх використання найменше допускається (а то й зовсім не допускається) суб'єктивізму в оцінюванні результатів тестування. Оцінюємо їх на основі критеріїв: правильна-неправильна відповідь.

Тести, які розроблено будемо оцінювати дихотомічно, а саме за кожну правильну відповідь студент отримує один бал, а за неправильну відповідь або за пропуск завдання - нуль балів.

Тестове випробування характеризується тим, що студенти отримують однакові вказівки та інструкцію, жодному студентові не надається ніяких переваг перед іншими, розроблена система оцінювання застосовується однаково для всіх, у процесі тестового опитування ніхто не одержує додаткових пояснень і консультацій. Після отримання завдання кожен студент працює самостійно, не сподіваючись на допомогу сусіда.

3.2 Методика обробки емпіричних даних

Після збору емпіричних даних починається етап математико-статистичної обробки. За класичною методикою етап математико-статистичної обробки можна розбити на низку кроків [23, с. 219].

Перший крок. Статистична обробка результатів тестування починається з формування матриці тестових результатів, в якій кількісні дані представляються в систематизованій і стислій формі, щоб забезпечити їх подальшу обробку та інтерпретацію. Складання матриці починається з вибору певного правила для оцінки відповідей студентів на завдання тесту.

Якщо символом позначити результат виконання і-м випробуваним -го завдання тесту, то у скороченій формі наведене вище правило можна записати у вигляді:

Після вибору оціночного правила емпіричні дані зводяться в матрицю. Рядки матриці, що складаються з нулів та одиниць, відповідають відповідям студентів на різні завдання тесту. За стовпцями розташовуються профілі відповідей випробовуваних на кожне завдання тесту.

Другий крок. На другому кроці з матриці тестових результатів усуваються рядки та стовпці, які містять тільки нулі або тільки одиниці. Якщо міститься нульовий рядок, то це означає, що випробуваний не зміг виконати правильно жодного завдання в тесті. У цьому випадку висновок досить однозначний. Якщо склалася така ситуація, то тест непридатний для оцінки знань саме цього студента. Для його виявлення рівня знань тест необхідно полегшити, додавши кілька дуже легких завдань, які, швидше за все, більшість інших випробовуваних групи виконає правильно.

Настільки ж непридатний, але вже з іншої причини, тест для оцінки знань студента, якщо він виконав правильно всі без винятку завдання тесту. Причина непридатності тесту - його зайва легкість, яка не дозволяє виявити справжній рівень підготовки студента. Його результати вказують на знання запропонованого в тесті матеріалу, але не дозволяють встановити межу між освоєним і неосвоєним змістом курсу. Можливо, саме цей студент знає багато чого іншого і в змозі виконати по контрольованим розділам змісту набагато більш складні завдання, які просто не були включені в тест.

У цю, здавалося б, звичну для традиційного контролю та бажану для педагога ситуацію, коли випробуваний впорався з усім обсягом контрольованого матеріалу, необхідно використати елементи тестової науки. Хоча традиційний і тестовий контроль слугують одній і тієї ж мети - оцінці знань випробовуваних, між ними є істотні відмінності не тільки за формою проведення, але і за якістю одержуваних оцінок. На відміну від традиційних тестові методи контролю дозволяють відповісти на найбільш важливе питання: наскільки точна оцінка знань кожного випробовуваного і чи слід їй взагалі довіряти? [23, с. 221].

Сама по собі постановка питання ніяк не пов'язана з вадами тестових методів, оскільки помилка (похибка) вимірювання існує завжди і скрізь. У тому числі й у процесі тестових вимірювань виникає ряд похибок, що заважають отримати істинні бали студентів. Існування похибок призводить до думки про відносну точність оцінок, яка варіює і яку можна визнати як достатню.

Зазвичай, якщо нормативно-орієнтований тест зроблений добре, то достатньою точністю володіють приблизно 70% результатів, що знаходяться в центрі розподілу, а приблизно 5% найслабкіших і 5% найсильніших результатів, яким взагалі не можна довіряти, так як вони відображають справжній рівень знань студентів з дуже великою помилкою вимірювання. Саме з цих міркувань професійно організовані тестові служби при опрацюванні відкидають не менш 3% або 5% результатів на кінцях розподілу. На жаль, в нашій країні часто тестові оцінки випробовуваних виставляються без урахування теоретичних обмежень на можливі діапазони їх застосування.

Причина такого становища - практична необізнаність більшості викладачів з основами тестової теорії, незнання основних її положень. Особливо згубно це незнання позначається на якості тестів, що розробляються в нашій країні. Нерідко автор тесту, якщо його виконали всі або майже всі випробовувані групи, розцінює свою роботу як успіх. У цієї тенденції є свої сумні наслідки. Тестові оцінки, отримані зі значною помилкою вимірювання, породжують у викладачів численні сумніви в можливостях педагогічних тестів. По суті, тут винні не тести, а відсутність належного професіоналізму її розробників, але про це чомусь ніхто не думає, особливо в тих випадках, коли критикують педагогічні тести.

При правильному аналізі результатів рядки матриці, які містять тільки нулі або тільки одиниці повинні бути видалені.

Третій крок. Третій крок пов'язаний з підрахунком індивідуальних балів досліджуваних та кількістю правильних відповідей випробовуваних на кожне завдання тесту. Індивідуальний бал і-го випробовуваного - це кількість правильних відповідей на тест. Він підраховується підсумовуванням всіх одиниць, отриманих ним за правильно виконані завдання тесту. Для зручності отримані індивідуальні бали наводяться в останньому стовпці матриці результатів.

Кількість правильних відповідей на j-те завдання також отримуємо підсумовуванням одиниць, але вже розташованих по стовпцях. Число правильних відповідей на кожне завдання також поміщаємо у матрицю
результатів, зазвичай вона розташовується в останньому рядку під номером відповідного завдання тесту.

Четвертий крок. На четвертому кроці здійснюється впорядкування матриці результатів тестування. Для цього роблять перестановку стовпців, розставляючи в порядку спадання. Потім міняють місцями рядки матриці так, щоб верхній рядок відповідав випробуваному з мінімальним індивідуальним балом. Значення розміщують згори вниз у порядку зростання.

П'ятий крок. На п'ятому кроці здійснюється графічна інтерпретація емпіричних даних. Емпіричні результати тестування можна представити у вигляді полігону, гістограми, гладкою кривої (процентиль, огіви) або машинописного графіка.

Для побудови кривих необхідно впорядкувати результати експерименту. Їх можна записати у вигляді незгрупованого ряду довільної форми, рангового ряду, частотного розподілу або розподілу згрупованих частот.

Полігон частот. По ряду частотного розподілу можна здійснити графічне представлення результатів тестування у вигляді полігону частот. Для побудови полігона частот по горизонтальній осі відкладаються тестові бали, а по вертикальній - частота прояву кожного балу у тестованій вибірці студентів.

Гістограма являє собою послідовність стовпців, кожний з яких спирається на одиничний (розрядний) інтервал, а висота його пропорційна частоті спостережуваних балів. Середина стовпця поєднується з серединою інтервалу розряду, яка була обрана довжиною в один бал.

Вибір графічного представлення. Звичайно, для інтерпретації розподілу результатів виконання тесту слід вибрати один який-небудь графік. Часто перевагу віддають гістограмі, оскільки це найбільш відповідне для візуального сприйняття подання в тому випадку, коли змальовується не більше одного розподілу. До того ж гістограма досить зручна для візуального порівняння емпіричного розподілу з теоретичним нормальним.

Для порівняння двох або більше розподілів зазвичай використовують полігони частот, так як при накладанні гістограм виходить досить заплутана картина. Наприклад, за допомогою полігонів можна порівняти результати виконання тесту студентами різних груп, які мають однакову кількість студентів.

Шостий крок. На шостому кроці оцінюються міри центральної тенденції сукупності результатів, отримані при виконанні тесту. Міри центральної тенденції призначені для виявлення «центрального положення», навколо якого в основному групується множина значень розглянутого розподілу даних. Якщо припустити, що множина результатів розташовані на прямій, то «центральне становище» має точка, навколо якої за тою чи іншою ознакою групуються всі результати виконання тесту. При аналізі результатів тестування можна використовувати різні підходи до визначення центру розподілу. Найбільш простий спосіб ґрунтується на виявленні моди розподілу.

Мода - це таке значення, яке зустрічається найчастіше серед результатів виконання тесту. Зазначимо, що якщо всі значення зустрічаються з однаковою частотою, то мода відсутня; коли два сусідні значення мають однакові частоти, які більші за частоту будь-якого іншого значення, то мода визначається як середнє сусідніх значень ; якщо два несуміжні значення мають однакові частоти, які більші за частоту будь-якого іншого значення, то існує дві моди. У цьому випадку кажуть, що група оцінок має бімодальний розподіл.

Середнє вибіркове (середнє арифметичне) визначається підсумовуванням всіх значень сукупності і подальшим поділом на їх кількість. Для сукупності індивідуальних балів групи N випробовуваних середнє значення буде

. (3.1)

Середній результат студентів за кожним завданням обчислюється

. (3.2)

На відміну від моди на величину середнього впливають значення всіх результатів. Таким чином, середнє арифметичне характеризує всю сукупність значень. Воно узагальнює індивідуальні особливості складових розподілу, в ньому зрівнюються окремі значення розглянутої величини. [23, с. 231].

Інтерпретація мір центральної тенденції. Міри центральної тенденції певною мірою допомагають при оцінці якості тесту в тому випадку, коли вона проводиться за результатами апробації тесту на репрезентативній вибірці студентів. Зазвичай вважають, що хороший нормативно-орієнтований тест забезпечує нормальний розподіл індивідуальних балів репрезентативної вибірки студентів, коли середнє значення балів знаходиться в центрі розподілу, а інші значення концентруються навколо середнього за нормальним законом, тобто приблизно 70% значень в центрі, а інші сходять нанівець до країв розподілу.

Якщо тест забезпечує близький до нормального розподіл балів, то це означає, що на його основі можна визначити стійкість середнього значення балів, яке приймається в якості однієї з репрезентативних норм виконання тесту.

Нормальний розподіл унімодальний і симетричний, тобто половина результатів, розташована нижче моди, в точності співпадання з іншою половиною, розташованій вище, а мода і середнє значення рівні. Відсутність повної симетрії в полігоні частот на практиці призводить до змішування моди щодо середнього значення.

У малих вибірках мода, як і середнє значення, втрачає свою стабільність, хоча причиною нестабільності може служити й неправильний підбір за складністю завдань в тесті. Наприклад, якщо за репрезентативною вибіркою вийшла гістограма з бімодальним розподілом, то середнє значення розподілу, що знаходиться в центрі, ніяк не може служити нормою виконання тесту. Швидше за все, тест був сконструйований невдало, що послужило причиною відсутності нормального розподілу емпіричних результатів виконання тесту.

Зміщення середнього значення вліво або вправо, говорить про занадто складну або відповідно занадто легку добірку завдань тесту.

Таким чином, правильно сконструйований нормативно-орієнтований тест на репрезентативній вибірці студентів повинен забезпечувати близький до симетричного розподіл індивідуальних балів, коли мода і середнє значення приблизно рівні, а інші результати розміщені навколо середнього за нормальним законом [23, с. 233].

Сьомий крок. На сьомому кроці визначаються описові характеристики. Введення характеристик пов'язано з необхідністю виявлення додаткових підстав для обґрунтованого порівняння різних розподілів за тестами. При порівнянні декількох розподілів з однаковими середніми за допомогою додаткових характеристик можна виявити істотні відмінності в структурі, що вказують на значні відмінності в якості тестів.

Найбільш важлива характеристика вказує на особливості розкидання емпіричних даних навколо середнього значення балів по тесту. Окремі значення індивідуальних балів можуть бути тісно згруповані навколо свого середнього балу або ж навпаки, сильно віддалені від нього. Тому необхідні оцінки характеристик розподілу, що відображають варіацію, або, як кажуть інакше, мінливість балів по тесту.

Для характеристик ступеня розсіювання окремих значень навколо середнього використовуються різні міри: розмах, дисперсія, стандартне відхилення.

Розмах вимірює на шкалі відстань, в межах якої змінюються всі значення показника у розподілі.

Варіаційний розмах легко обчислюється, але використовується вкрай рідко при характеристиці розподілу балів по тесту. І для цього є вагомі підстави. По-перше, розмах є досить наближеним показником, так як не залежить від ступеня мінливості проміжних значень, розташованих між крайніми значеннями в розподілі балів по тесту. По-друге, крайні значення індивідуальних балів, як правило, ненадійні, оскільки містять у собі значну помилку вимірювання. У зв'язку з цим більш вдалою мірою вважається дисперсія.

Дисперсія. Підрахунок дисперсії ґрунтується на обчисленні відхилень кожного значення показника від середнього арифметичного у розподілі. Для індивідуальних балів значення відхилень несуть інформацію про варіації сукупності значень балів N студентів, тобто відображають міру неоднорідності результатів по тесту.

Сукупність з більшою неоднорідністю буде мати великі за модулем відхилення, і навпаки, для однорідних розподілів відхилення повинні бути близькими до нуля. Знак відхилення вказує на місце результату студента по відношенню до середнього арифметичного по тесту. Для студента з індивідуальним балом вище середнього значення різниця буде додатною, а для тих, у кого результат нижче , відхилення буде менше нуля. Якщо підсумувати всі відхилення, взяті зі своїм знаком, то для симетричних розподілів сума буде дорівнювати нулю. І це не дозволяє оцінити міру неоднорідності розподілу, оскільки від'ємні та додатні складові дають в сумі нуль. Для подолання цього ефекту кожне відхилення підносять до квадрату і знаходять суму квадратів відхилень.

Тоді сума виду

(3.3)

буде великою, якщо результати тестування відрізняються істотною неоднорідністю, і малою - у разі близьких результатів випробовуваних по тесту.

Величина суми залежить також від розміру вибірки студентів, які виконували тест. Залежність тут цілком очевидна: чим більше студентів, тим більше додатних доданків у сумі, що характеризує варіацію балів по тесту. Тому при порівнянні характеристик мінливості розподілів, що відрізняються за обсягом, виникає перешкода, яка знімається шляхом ділення кожної суми на N-1, де N - кількість студентів, що виконували тест. Визначена таким чином міра мінливості називається дисперсією.

Вона зазвичай позначається символом і обчислюється за формулою

. (3.4)

Стандартне відхилення. Крім дисперсії, для характеристики мір мінливості розподілу зручно використовувати ще один показник варіації, який називається стандартним відхиленням. Стандартне відхилення дорівнює кореню квадратному із дисперсії

(3.5)

Інтерпретація. Дисперсія грає важливу роль в оцінці якості нормативно-орієнтованих тестів. Слабка варіація результатів випробовуваних вказує на низьку якість тесту. Підстави для подібного висновку цілком очевидні. Низька дисперсія індивідуальних балів говорить про слабку диференціацію випробовуваних за рівнем підготовки в тестованій групі.

Дуже висока дисперсія, характерна для випадку, коли всі студенти відрізняються за кількістю виконаних завдань, також загрожує неприємними наслідками і потребує переробки тесту. Перевищення дисперсії призводить до спотворення виду розподілу, який починає істотно відрізнятися від планованої теоретичної нормальної кривої.

При переробці тесту слід керуватися простим правилом: якщо перевірка узгодженості емпіричного розподілу з нормальним дає позитивні результати, а дисперсія зростає, то це означає, що відбувається підвищення диференційовної здатності тесту. Звичайно, використовувати будь-який з існуючих критеріїв для перевірки нормальності розподілу в практиці досить незручно. Тому найчастіше непрофесіонали в оцінці характеру розподілу керуються простим співвідношенням. Для цього величину X порівнюють з потроєним стандартним відхиленням. Якщо ця рівність виконується, тобто якщо

, (3.6)

то дисперсія оптимально висока і можна прийняти гіпотезу про нормальність розподілу.

Восьмий крок. На наступному кроці оцінюються міра симетрії і гостровершинності кривих розподілу.

Асиметрія. Ступінь відхилення розподілу спостережуваних частот вибірки від симетричного розподілу, характерного для нормальної кривої оцінюється за допомогою асиметрії. Наявність асиметрії легко встановити візуально, аналізуючи полігон частот або гістограму. Більш ретельний аналіз можна провести за допомогою узагальнених статистичних характеристик, призначених для оцінки асиметрії в розподілі. На рис. 2.1 представлені криві розподілу з від'ємною, нульовою і додатною асиметрією (зліва направо) відповідно.

Рис. 2.1. Від'ємна, нульова і додатна асиметрії

Найбільш вдала формула для підрахунку асиметрії має вигляд

, (3.7)

де - індивідуальний бал і-го студента; - середнє значення балів по групі, яка проходить тестування; - куб стандартного відхилення; - число учасників.

Інтерпретація. Таким чином, асиметрія розподілу додатна, якщо основна частина значень індивідуальних балів лежить праворуч від середнього значення, що зазвичай характерно для легких тестів. Асиметрія розподілу балів від'ємна, якщо більшість студентів отримали оцінки нижче середнього балу. Ефект від'ємної асиметрії зустрічається у занадто складних тестах, незбалансованих правильно по складності при відборі завдань тесту.

У добре збалансованому за складністю тесті, як уже було сказано раніше, розподіл балів має вигляд нормальної кривої. Для нормального розподілу характерна нульова асиметрія, що цілком природно, так як при повній симетрії кожне значення балів, які менші врівноважують симетрію більшими ніж [23, с. 243].

Ексцес. За допомогою ексцесу можна отримати уявлення про те, чи є полігон частот або гістограма гостровершинним чи плоским. На рис. 2.2 зображені три криві, які відрізняються ексцесом.

Рис. 2.2. Гостровершинна, середньовершинна, плоска криві

Перша крива - гостровершинна, має явно виражений додатний ексцес, друга крива - середньовершинна, має нульовий ексцес, характерний для нормальної кривої, третя крива - плоска, криві такого типу мають ексцес, який менший нуля.

Зазвичай ексцес обчислюється за формулою

(3.8)

де - індивідуальний бал і-го студента; - середнє значення балів по групі, яка проходить тестування; - куб стандартного відхилення; - число учасників.

Інтерпретація. При інтерпретації отриманих оцінок ексцеса необхідно пам'ятати про те, що поняття «ексцес» застосовне лише до унімодальних розподілів. Більш того, інтерпретація результату, що вказує на крутизну кривої розподілу, можлива в порівнянні з невеликою областю моди і втрачає свій сенс у міру віддалення вздовж кривої.

У тому випадку, коли розподіл даних бімодальний (має дві моди), необхідно говорити про ексцес в області кожної моди. Бімодальна конфігурація вказує на те, що за результатами виконання тесту вибірка студентів розділилася на дві групи. Одна група впоралася з більшістю легких, а інша із більшістю складних завдань тесту. Один з найбільш важливих висновків у разі бімодального розподілу націлений на корекцію складності завдань тесту. Мабуть у тесті недостатньо представлені завдання середньої складності, що дозволяють вирівняти розподіл балів, наблизивши його до нормальної кривої.

На закінчення необхідно провести перевірку значущості знайдених значень асиметрії і ексцесу. Для цього необхідно додати інформацію про рівень ризику допустити помилку в статистичному висновку. Найбільш прийнятним для педагогічних вимірювань є рівень в 5%, який допускає помилку в п'яти випадках зі ста.

Дев'ятий крок. Дев'ятий крок призначений для обчислення показників зв'язку між результатами студентів з окремих завдань тесту. При оцінці якості завдань важливо зрозуміти, чи є тенденція, коли одні й ті ж студенти досягають успіху в будь-якій парі завдань тесту. Або навпаки, такої тенденції, що вказує на зв'язок результатів, немає, і склад студентів, які досягли успіху, повністю змінюється при переході від одного завдання до іншого в тесті.

Очевидно, для відповіді на поставлені питання необхідно провести аналіз даних, зібравши їх у таблицю. Однак такий візуальний аналіз даних - справа досить виснажлива, а для більших вибірок і просто неможлива. Тому відповідь на питання про існування зв'язку між двома наборами даних отримують за допомогою кореляції.

Кореляція. Кореляція в широкому сенсі слова означає зв'язок між явищами і процесами. Однак для дослідження зв'язку встановити її наявність недостатньо, необхідно також правильно вибрати її вид і форму показника, призначеного для оцінки міри зв'язку між явищами.

Зв'язок між двома наборами даних і можна виразити графічно за допомогою діаграми розсіювання.

Коефіцієнт кореляції Пірсона. Коефіцієнт кореляції Пірсона обчислюється:

. (3.9)

Коефіцієнт . Для оцінки зв'язку між результатами виконання двох завдань тесту коефіцієнт кореляції Пірсона необхідно перетворити, оскільки результати виконання завдань представляються за дихотомічною шкалою. Дійсно, в матриці містяться стовпці з нулів та одиниць. Кожна одиниця і кожен нуль відповідають результатам відповідей студентів на завдання тесту.

Перетворений коефіцієнт Пірсона, обчислюваний за дихотомічними даними, називається коефіцієнтом «фі». Після переходу формула для обчислення коефіцієнта кореляції результатів за двома завданнями тесту з номерами j і l має вигляд

(3.10)

де - частина випробуваних, які виконали правильно обидва завдання тесту, тобто частина тих, хто отримав 1 по обом завданням; - частина випробуваних, які правильно виконали - те завдання; - частина випробовуваних, які виконали правильно l - е завдання тесту,

Далі для даних матриці підраховується кореляція між результатами. Результати підрахунку значень коефіцієнта кореляції між результатами по окремим завданням тесту зводяться в матрицю.

Десятий крок. На десятому кроці за допомогою підрахунку значень коефіцієнта бісеріальної кореляції оцінюється валідність окремих завдань тесту.

Формула для підрахунку, отримана за результатами виведення, має вигляд

(3.11)

де - середнє значення індивідуальних балів випробовуваних, які виконали правильно j-те завдання тесту; - середнє значення індивідуальних балів випробовуваних, які виконали невірно j-те завдання тесту; - стандартне відхилення на множені значень індивідуальних балів; - число досліджуваних, які виконали правильно j-те завдання тесту; - число випробовуваних, які виконали невірно j-те завдання тесту; N - загальне число досліджуваних, - ордината нормованого нормального розподілу в точці, за якою лежить відсотків площі від нормальної кривої.

Обчислення за формулою 2.11 вимагає використання спеціальних таблиць для знаходження ординат стандартної нормальної кривої і певної математичної підготовки. Тому нерідко використовують інший коефіцієнт кореляції, який отримав назву точково-бісеріального коефіцієнта - . Підстави для подібної заміни цілком зрозумілі, оскільки і точково-бісеріальний і бісеріальний коефіцієнти дуже схожі і обчислюються за схожими наборами даних. Однак формула для визначення коефіцієнта бісеріальної кореляції набагато простіша, тому саме йому часто віддають перевагу в практичній роботі. Крім простоти в обчисленні, точково-бісеріальниі коефіцієнт в порівнянні з бісеріальним має ще одну важливу перевагу. Для підрахунку значення не потрібно ті гіпотези, які висуваються в силу необхідності щодо нормального характеру розподілу дихотомічних даних при визначенні міри зв'язку за формулою 2.11.

Припущення про нормальний розподіл вельми важливе для обчислення . У тому випадку, коли гіпотеза про норальності порушується, значення можуть виходити за межі інтервалу ; зміщуючись в ту або іншу сторону вздовж числової прямої.

На відміну від бісеріального точково-бісеріальний коефіцієнт не буває більше 1 або менше -1. Формула для обчислення значення , має вигляд

 (3.12)

де всі позначення - ті самі, що і в формулі 2.11. [23, с 241].

Інтерпретація. Аналіз значень коефіцієнта бісеріальної кореляції вказує на досить невдалі завдання тесту і для поліпшення тесту їх необхідно видалити.

Висновки

Навчання в університеті дозволяє впевнетися, що одним з ефективних методів педагогічного контролю є тестування, сутність якого полягає в застосуванні тестів у процесі контролю знань студентів.

В сучасній системі навчання перевірка та оцінювання знань, умінь і навичок студентів - невід'ємна складова частина навчального процесу у ВНЗ. Широке впровадження тестового контролю навчальних досягнень сприяють підвищенню ефективності навчального процесу, формуванню знань, умінь та навичок, професійної компетентності майбутніх фахівців освітньої галузі.

Використання тестового контролю дає змогу вирішувати важливі завдання щодо управління навчально-виховним процесом у вищих навчальних закладах: корегування змісту освітніх стандартів і навчальних програм, вдосконалення методів викладання предметів, підвищення ефективності самостійної роботи студентів, вчасно виявляти прогалини у вивченому матеріалі. Важливими педагогічними умовами ефективного впровадження тестового контролю знань з логіки предикатів є послідовне та систематичне тестування студентів, удосконалення методичної підготовки викладачів щодо проведення тестування, використання різних видів тестового контролю у поєднанні з традиційними.

Результати проведеного дослідження дозволяють зробити наступні висновки:

1. Систематизовано та узагальнено теоретичний матеріал модуля логіки предикатів курсу математичної логіки та теорії алгоритмів;

2. з'ясовано особливості методики викладання модуля логіки предикатів;

3. Підібрано систему завдань, що ілюструють основні теоретичні поняття даного модуля.

Список джерел

1. Игошин В.И. Математическая логика и теорія алгоритмов. - Саратов: Изд-во Сарат.ун-та, 1991. - 287 с.

2. Лісова Т.В. Математична логіка та теорія алгоритмів. [практикум] - Ніжин: Вид-ць ПП Лисенко М.М., 2011 - 116 с.

3. Бородін О.І., Теорія чисел. «Радянська школа», К., 1965. - 244 с.

1. Буренніков Ю.А., Дерібо О.В. Тестовий контроль знань студентів, як засіб підвищення ефективності навчального процесу // Вісник ВПІ. - 1994. - №2. - С. 81-84.

4. Бухштаб А.А., Теория чисел. Учпедгизд., М., 1960. - 375 с.

5. Дубів О.В., Нелюбов В.О. Методичні рекомендації по розробці тестових завдань для автоматизованого контролю знань студентів. - Ужгород: ЗакДУ, 2007. - 28 с.

6. Дуженков В.Д., Панасик Т.І. Деякі аспекти методики складання тестових завдань // Організація навчально-виховного процесу. - 2006. - №8. - с. 104-109.

7. Завало С. Т, Костарчук В.М., Хацет Б. І, Алгебра і теорія чисел. ч. 2, - К.:Вища школа, 1976. - 408 с.

8. Завало С.Т., Левіщенко С.С., Пилаєв В.В., Рокицький І.О. Алгебра і теорія чисел. Практикум. Ч. 1. - К.: Вища школа, 1983. - 232 с.

9. Кліменко В.М., Дупляк В.Д., Шиліна О.П. Об'єктивний контроль знань студентів // Вісник ВПІ. - 1994. - №2. - С. 87-88.

10. Коломієць М.П., Молодова Л.В. Словник іншомовних слів. - К.: Освіта, 1998. - 190 с.

11. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел, М.: Высшая школа, 1979. - 559 с.

12. Лосєва Н.М. Тестування в умовах багатоступеневої підготовки фахівців у вищій школі // Освіта і управління. - 2002. - №4. - с. 150 - 156.

13. Лузіна М.О., Голуб Г.Г., Возна А.М. Система комплексної діагностики знань студентів. Навчальний посібник. - Львів: Львівський банківський інститут НБУ, 2002. - 38 с.

14. Малихін А. Тестовий контроль і підвищення якості освіти у вищій педагогічній школі // Рідна школа. - 2006. - Червень. - С. 9-11.

15. Методика навчання і наукових досліджень у вищій школі. Навч.посіб / За ред. С.У. Гончаренко, П.М. Олійника. - К.: Вища школа, 2003. - 323 с.

16. Окунев Л.Я., Краткий курс теории чисел, Учебное пособие для пединститутов, М., 1956. - 240 с.

17. Практикум педагогічної майстерності: Навчальний посібник /Кол. автор.: Сергеєва Л.М., Молчанова А.О., Пащенко О.В. та ін./ За ред. В.В. Олійника - К.: ТОВ «Етіс Плюс», 2008. - 184 с.

18. Проскуряков И.B. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Наука, 1974. - 384 с.

19. Сметанський М.І. Контроль за навчально-пізнавальною діяльністю студентів: проблеми, шляхи розв'язання // Вища школа. - 2004. - №4. - С. 63 - 68.

20. Студентські наукові записки (Збірник наукових статей студентів фізико-математичного факультету). - Кіровоград: РВВ КДПУ ім. В. Винниченка, 2011. - Випуск 4. - 80 с.

21. Сушкевич А.К., Теорія чисел. Видавництво Харківського Державного Університета Імені А.М. Горького, Х., 1954.

22. Фадеев Д.К., Сочинський И.С. Сборник задач по высшей алгебре. - М.: Наука, 1977. - 288 с.

23. Челышкова М.Б. Теория и практика конструирования педагогических тестов: Учебное пособие. - М.: Логос, 2002. - 432 с.

24. Шторм Р. Теория вероятностей и математическая статистика. Статистический контроль качества. М.:Мир, 1970. - 471 с.

25. Євладенко В.М., Халецька З.П., Нарадовий В.В. Математична логіка та теорія алгоритмів. - К.:Код, 2009.-116 с.

26. Головко Н.М. Приклади застосування методу резолюцій // Наукові записки. - Випуск 6. - Кіровоград: РВВ КДПУ ім. В. Винниченка, 2013. - с. 12-15.

предикат математика логіка тестування

Размещено на Allbest.ru