Все действия с обыкновенными дробями в учебниках этого авторского коллектива, так же как и в Арифметике С.М. Никольского и др., изучаются в 5 классе. Этому посвящены две главы учебника: глава 8 «Дроби» и глава 9 «Действия с дробями». Так же, как и в Арифметике С.М. Никольского, изучению темы предшествует изучение делимости чисел. Рассмотрим, как развертывается алгоритмическая линия в этих главах.

Глава 8. Дроби

Доли. Что такое дробь.

Понятие доли вводится на наглядной основе при помощи модели яблока. Сначала формируется зрительное восприятие доли, как части целого, и слуховая связь с названием. Позже авторы говорят, что для обозначения части существует специальная двухэтажная запись - дробь [11, с. 158]. Называют компоненты дроби, вводят термины правильная и неправильная дробь. Изображают точки на координатном луче. Система упражнений разнообразна, разделена на два уровня сложности А и Б. Здесь же решаются задачи на нахождение части целого и целого по его части.

Основное свойство дроби вводится на примере деления круга на равные части. Правило формулируется и для умножения, и для деления, но в буквенном виде правило записано только для умножения. При сокращении дробей НОД не используется. Система упражнений содержит задания на приведение к заданному знаменателю.

Приведение дробей к общему знаменателю.

Авторы говорят, что при решении многих задач на дроби, имеющие разные знаменатели, приходится заменять равными им дробями с одинаковыми знаменателями [11, с. 172].

Сравнение дробей. Объяснительный текст содержит правила сравнения дробей с равными знаменателями, с разными знаменателями, сравнение дополнений до единицы, сравнение с единицей, частью единицы. Заданий на сравнение дробей с равными числителями нет.

Натуральные числа и дроби. С помощью задачи вводится понятие дроби как частного двух натуральных чисел.

Глава 9. Действия с дробями

Сложение дробей. Сложение смешанных чисел.

Вычитание дробных чисел.

Умножение дробей.

Деление дробей.

Нахождение части от целого и целого по его части.

В этом учебнике нарушение принципа последовательности изложения материала происходит в тот момент, когда начинается изучение действий умножения и деления. Здесь умножение и деление обыкновенной дроби на натуральное число рассматривается как частный случай умножения дроби на дробь: натуральное число представляется в виде дроби со знаменателем 1. Поэтому обоснование алгоритма умножения дробей опирается на рисунок:

1 м

1 м

м

м

Фактически это тот же прием, который используется в учебнике Н.Я. Виленкина и др.: замечаем, что площадь закрашенной части прямоугольника составляет м², с другой стороны эта же площадь должна быть равна произведению дробей . Таким образом, должно выполняться равенство: . Учащиеся замечают, что числитель дроби в правой части равенства равен произведению числителей, а знаменатель - произведению знаменателей дробей из левой части. Из этого делается вывод о том, что по такому правилу и надо выполнять умножение дробей.

Опять мы видим, что учащиеся обнаруживают некоторый факт, но объяснения ему найти не могут.

Ту же картину наблюдаем в теме «Нахождение части целого и целого по его части». Сначала задача на отыскание части целого (целого по его части) решается при помощи рассуждений, т.е. в два приема, а затем предлагается выполнить умножение (деление) данной величины на дробь. Опять замечается совпадение результатов и делается вывод, т.е. формулируется соответствующее правило.

На этому изучение обыкновенных дробей полностью завершено.

В начале 6-го класса повторяются обыкновенные дроби, но на более высоком уровне: усложняются задания на вычисление, изучаются многоэтажные дроби.

Десятичные дроби в учебниках Г.В. Дорофеева изучаются после изучения полно курса обыкновенных дробей. Этой теме посвящены Глава 3 «Десятичные дроби» и Глава 4 «Действия с десятичными дробями». Рассмотрим последовательность изучения этой темы.

Как записывают и читают десятичные дроби.

В повествовательной форме авторы объясняют, что для точных вычислений применение двухэтажной записи дроби не целесообразно, поэтому для дробей со знаменателем 10, 100, 1000 и т.д. была придумана десятичная запись. Способ записи десятичных дробей является естественным образом обобщением способа записи натуральных чисел. Чтение десятичных дробей происходит от чтения обыкновенных дробей, количество цифр после запятой равно количеству нулей в знаменателе дроби.

Перевод обыкновенной дроби в десятичную.

Дается правило перевода обыкновенной дроби в десятичную. Система упражнений содержит такое задание: «Заполните таблицу и запомните результат» Дорофеев, Г.В. Математика: 6 кл.- №224.- С. 74. . В таблице дроби , , , и , которые нужно записать как десятичные.

Десятичные дроби и метрическая система мер.

Сравнение десятичных дробей.

Сложение и вычитание десятичных дробей.

Сравнение, сложение и вычитание десятичных дробей вытекает из тех же операций с обыкновенными дробями, но приводится по одному примеру, после которого делается обобщение.

Умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000, умножение и деление десятичных дробей вводится с опорой на обыкновенную дробь, авторы приводят по одному примеру.

Итак, анализ комплекта учебников А.Г. Дорофеева, С.Б. Суворовой и И.Ф. Шарыгина выявил нарушение принципа систематичности и последовательности изучения материала при изучении операций умножения и деления обыкновенных дробей. Более того, теоретический материал учебника не носит столь математически строгий характер, как в комплекте учебников С.М. Никольского, но объяснение дается в повествовательной форме с опорой на один пример. Это формирует неверное представление у детей о законах логики рассуждений: учащиеся получает представление о том, что вывод (обобщение) можно делать на основании одного факта, что, конечно же, неверно. Тема «Десятичные дроби» в данном учебнике изложена, на наш взгляд, изложена очень хорошо, поскольку у учащихся формируется четкое осознание того, что десятичные дроби - это все-таки дроби и все операции выполняются так же.

5) Н.Б. Истомина

«Математика: 5 класс» Истомина, Н.Б. Математика. 5 кл. [Текст]: Учебник для общеобразоват. учеб. заведений / Н.Б. Истомина.--Смоленск: Ассоц. XXI век, 2001.- 240 с.

В отличие от других учебников, полный курс обыкновенных и десятичных дробей изучается в 5-м классе. Материал в учебнике излагается от лица Миши и Маши, которые решают задания, предназначенные для самостоятельной поисковой деятельности учащихся. Так же присутствует автор, который дает объяснительный «научный» текст.

Рассмотрим последовательность изучения темы «Обыкновенные дроби».

Дробь как часть целого.

Понятие дроби как части целого вводится на различных геометрических моделях. Автор использует не только привычные плоские фигуры, но и пространственные. Здесь же решаются задачи на нахождение части целого и целого по его части двумя способами: схематично и арифметически.

Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа. Вводятся только соответствующие термины.

Дробь как результат деления натуральных чисел.

Вводится так же, как и в учебнике Г.В. Дорофеева и др., на основе решения задачи о делении яблок. Здесь же учащиеся самостоятельно должны выявить алгоритм записи неправильной дроби в виде смешанного числа.

Основное свойство дроби.

Сокращение дробей с использованием НОД чисел.

Сравнение дробей. Автор организует поисковую деятельность учащихся, чтобы сформулировать правила сравнения дробей как с равными знаменателями, так и с равными числителями и разными знаменателями, сравнения неправильных и правильных дробей. Имеются так же задания на сравнение выражений (суммы или разности дробей).

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

Умножение и деление обыкновенной дроби на натуральное число. - так же, как в учебнике И.И. Зубаревой и А.Г, Мордковича.

Умножение и деление обыкновенных дробей.

Задачи на отыскание части целого и целого по его части умножением или делением на дробь, соответствующую этой части.

Здесь, как и в некоторых других учебниках, проблемы с реализацией принципа последовательности изложения материала возникают при обосновании алгоритма умножения дробей. Процитируем учебник.

«С помощью букв это можно записать так:

.

Для объяснения правила можно воспользоваться записью дроби в виде частного и свойством умножения числа на частное:

а (b: c) = (a b): c.

Запишем произведение в виде (3: 8). Пользуясь свойством умножения числа на частное, запишем равенство: (3: 8) = : 8 и воспользуемся правилами умножения и деления дроби на натуральное число. В результате проведенных рассуждений имеем:

= (3: 8) = : 8 = » Истомина, Н.Б. Математика: 5 кл.- С. 168..

Как видим, при обосновании правила умножения дробей автор ссылается на свойство умножения числа на частное. Естественно возникает вопрос, когда, в какой момент курса учащиеся знакомятся с этим свойством? Насколько справедливость этого равенства для них очевидна? Могут ли учащиеся сами догадаться применить это свойство после подсказки учителя, представить второй множитель в виде частного натуральных чисел?

В комплекте учебников Н.Б. Истоминой не удалось обнаружить и упражнений, выполняя которые учащиеся могли бы убедиться в справедливости этого свойства. Если же с этим свойством учащиеся, по замыслу автора, знакомятся в начальной школе, то тогда надо указать, что данный учебник может быть использован только в случае, если в начальной школе они обучались по учебникам того же автора.

Понятие десятичной дроби вводится так же, как в учебнике Г.В. Дрофеева и др., через обыкновенные дроби, но все операции автор основывает на действиях с натуральными числами и изменением значения произведения (частного) при изменении множителей в 10, 100, 1000 и т.д. раз.

Подведем некоторые итоги.

Анализ содержания пяти комплектов учебников, входящих в федеральный перечень, выявил, что строгое соблюдение принципа систематичности и последовательности изложения материала при изучении обыкновенных дробей имеет место только в учебнике И.И. Зубаревой и А.Г. Мордковича. Учебники других авторов не могли последовательно обосновать операции умножения и деления обыкновенных дробей. Наиболее полная система упражнений содержится в комплекте учебников С.М. Никольского и др., но изложение теоретического материала здесь кажется несколько математически строгим для учащихся младшего подросткового возраста. Наиболее полно используют графические модели авторы учебников И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович и Н.Б. Истомина, именно в этих учебниках материал изложен с целью организации самостоятельной поисковой деятельности учащихся.

При введении понятия дроби все авторы говорят о дроби как о части целого, некоторые вскользь упоминают о равносильности дробной черты и операции деления и только в учебниках И.И. Зубаревой и А.Г. Мордковича, Г.В. Дорофеева и др. и Н.Б. Истоминой целенаправленно формируется представление о дроби как результате деления натуральных чисел. При изучении темы «Сравнение дробей» полная система упражнений представлена только в учебнике С.М. Никольского. А авторский коллектив И.И. Зубарева и А.Г, Мордкович не выделили в своем учебнике эту тему как отдельную.

В современных учебниках реализованы два подхода в изучении курса десятичных дробей: в учебниках Н.Я. Виленкина и др. и И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович тема «Десятичные дроби» разбивает изучение темы «Обыкновенные дроби» на две части. Остальные авторы предпочли включить десятичные дроби после полного курса обыкновенных дробей. Методически обосновано это только в учебнике Г.В. Дорофеева и др., где понятие десятичной дроби и все операции с ними выводятся из соответствующих операций с обыкновенными дробями. В учебнике И.И. Зубаревой и А.Г. Мордковича эта тема основана на позиционной системе записи чисел. Другие авторы используют смешанную методику.

Установление связи между десятичными и обыкновенными дробями четко прослеживается в учебниках С.М. Никольского и др., И.И. Зубаревой и А.Г. Мордковича и Г.В. Дорофеева и др. В учебнике С.М. Никольского и др. этому посвящена отдельная глава «Обыкновенные и десятичные дроби».

3. Разработка уроков

3.1 Дробь как одна или несколько равных дробей

Цели и задачи:

- актуализация понятий «равные фигуры» и «равны части»

- введение понятия обыкновенной дроби как одной или нескольких равных долей;

- формирование умения читать и записывать обыкновенные дроби.

План.

I. Организационный момент.

II. Актуализация.

На доске (слайде) заготовлены фигуры.

8 5

У.: Какие из представленных фигур равны.

Д.: 1 и 9, 4 и 6, 5 и 8, 7 и 10.



У.: Сколько равных частей на каждом рисунке?

Д.: прямоугольник разбит на 3 равные части; круг - на 4 равные части; куб - на 6 равных частей; бант - на 2 равные части; треугольник - на 2 равные части.

У.: Фигура разбита на равные части?

Д.: Фигуры в верхнем ряду разбиты на равные части, а в нижнем - нет.

III. Изучение нового материала.

?? 1 м 1 м

У.: Если кусок проволоки длиной 1 м разрезать на 2 равные части. Какую часть метра составит один кусок проволоки?

Д.: половину, полметра.

У.: А если этот кусок проволоки разрезать на три равные части, какую часть проволоки составит один кусок?

Д.: одну третью часть метра, треть метра.

У.: В математике треть записывают в виде дроби: .

У.: А какую часть этой проволоки составят два куска?

Д.: две третьих метра.

У.: Как записать в виде дроби?

Д.: м.

У.: Что означает число над чертой?

Д.: Количество частей, которые взяли.

У.: Как называют это число?

Д.: Числитель.

У.: Что означает число под чертой?

Д.: На сколько равных частей разделили целое.

У.: Как называют это число?

Д.: Знаменатель.

У.: Как прочитать запись км? Что она означает?

Д.: Семь восьмых километра. Километр разделили на 8 равных частей и взяли 7 частей.

У.: Как прочитать запись кг? Что она означает?

Д.: Четыре пятых килограмма. Килограмм разделили на пять равных частей и взяли четыре таких части.

Итог.

У. Как прочитать запись ? Что она означает?

Д.: пэ кутыхых. Целое разделили на ку равных частей и взяли пэ таких частей.

У.: Какими числами могут быть буквы пэ и ку?

Д.: натуральными.

У.: Попробуйте сформулировать определение дробного числа: Число, которое можно записать в виде…

Д.: … (варианты ответов)

У. Итак, запишем: «Число, которое можно записать в виде , где и - натуральные числа, называют дробью или рациональным числом.

- числитель дроби; количество частей, которые взяли.

- знаменатель дроби; количество частей, на которое разделили целое.

IV. Первичное закрепление.

№1 Зубарева, И.И. Математика: 5 кл.- №312- С. 92.. Запишите в виде дроби, какая часть фигуры закрашена голубым цветом?

№2 Никольский, С.М. Арифметика: 5 кл.- № 740.- С. 157.. Постройте в тетради отрезок АВ=6 см. Постройте отрезок CD, равный:

а) ;

в) .

№3 Там же - № 732.- С. 156.. а) Сколько граммов в половине килограмма?

б) Сколько часов в одной трети суток?

в) Сколько килограммов в четверти тонны?

г) Сколько метров в одной восьмой части километра?

V. Домашнее задание.

№1. Укажи фигуры, которые разбиты на 2 равные части:

а) б) в) г)

№2 Зубарева, И.И. Математика: 5 кл.- № 315.- С. 92.. Сделайте в тетради такой же рисунок и закрасьте квадрата. Постарайтесь найти разные способы.

№3 Никольский, С.М. Арифметика: 5 кл.- № 734.- С.156. . а) Сколько миллиметров в сантиметра?

б) Сколько минут в часа?

в) Сколько сантиметров в метра?

VI. Итог урока.

У.: С какими числами мы сегодня познакомились?

Д.: С дробными; с рациональными.

У.: Что означает запись ? Как называется число над дробной чертой? под чертой?

3.2 Сравнение дробей

Цели и задачи:

- проверка умения видеть часть целого и записывать эту часть в виде дроби;

- формирование знаний, умений и навыков сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, одинаковыми числителями, правильных и неправильных дробей;

- первичное закрепление и проверка умения сравнивать дроби;

- закрепление умения решать геометрические задачи.

I. Организационный момент.

II. Математический диктант.

Задания заранее заготовлены учителем либо на доске, либо в виде слайда презентации. У каждого ученика имеется чистый тетрадный лист, сложенный вчетверо. Ответы записываются крупно на четверти листа. Учитель читает задания, учащиеся записывают ответ, затем ученики предъявляют ответы. Проверка осуществляется сразу же на уроке.



Математический диктант. Какому числу соответствует рисунок? Проверь себя:

1) Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1)

2) 2) 3) 3) 4) 4) 4
Математический диктант.

Какую часть метра составляет Дорофеев, А.Г. Математика: 5 кл. - № 794 а).- С. 170.

: Проверь себя:

5) 1 см 5)

м 6) 5 см 6) м 7) 20 см 7) м 8) 75 см 8) м

III. Актуализация опорных знаний.

У.: Ребята, какие действия мы можем выполнять с натуральными числами?

Д.: Складывать, умножать, вычитать, делить.

У.: Эти действия можно выполнить с любыми натуральными числами?

Д.: Сложение и умножение - всегда, вычитание и деление - иногда.

У.: А какую еще операцию можно выполнить с любыми натуральными числами?

Д: Мы можем сравнить любые два натуральных числа!

У.: То есть мы можем определить, что либо числа равны, либо одно больше (меньше) второго. А дробные числа мы умеем сравнивать?

Д.: Пока нет.

У.: Сегодня вы научитесь сравнивать дробные числа, а я буду вам помогать. Запишите тему урока: «Сравнение дробей».

У.: На координатном луче отмечены точки

О А (а) В (b) С(c) К(k)

0

Сравните координаты точек:

a…c, k…b,

b…a, b…c.

Д.: a<c, b>a, k>b, b<c.

IV. Введение нового материала.

№1 Истомина, Н.Б. Математика: 5 кл.- № 610.- С. 131. Что общего у всех данных дробей, чем похожи все данные дроби? Чем отличаются? , , , .

Д.: У дробей одинаковые знаменатели и разные числители.

У.: Давайте отметим эти точки на координатном луче. Начертите в тетради координатный луч, единичный отрезок возьмем 10 клеточек. На сколько частей нужно делить единичный отрезок, чтобы отметить наши дроби? (на 5 частей). Сколько клеток будет в каждой части? (2 клетки).

0 1 2

У.: Какая дробь больше всех?

Д.: .

У.: Какие дроби меньше единицы?

Д.: и (запись в тетради и на доске: , ).

У.: Что можно сказать про дробь ?

Д.: она равна единице (запись в тетради и на доске: ).

У.: Назовите любую дробь, большую ? Д.: .

У.: Как вы думаете, какая из дробей больше или ? Д.: .

У.: Попробуйте сформулировать правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями и разными числителя.

Д.: … (варианты ответов).

Правило (появляется на слайде или читается по учебнику): Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше, и меньше та, у которой числитель меньше.

У.: Как вы думаете, можно ли сравнивать только дроби с равными знаменателями или любые дроби?

Д.: любые.

У.: Сравните отрезки длиной м и м. Какой длиннее?



Д.: Треть длиннее.

У.: А что можно сказать о дробях и ?

Д.: >.

У.: Что можно сказать о дробях и ?.

Д.: .

У.: А как сравнить дроби и ? Не можем же мы постоянно чертить отрезки и делить их? И неудобно это делить отрезок на 87 частей! Какую закономерность вы заметили?

Д.: больше та дробь, у которой знаменатель меньше.

Правило: Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше, и меньше та, у которой знаменатель больше.

У.: Давайте посмотрим на такие пары дробей:

№2 Истомина, Н.Б. Математика: 5 кл.- № 616.- С. 131

. а) и ; б) и ; в) и ?

У.: Что общего у этих пар дробей, чем похожи эти пары?

Д.: В каждой паре одна дробь правильная, другая - неправильная.

У.: Что можно сказать обо всех правильных дробях по отношению к единице?

Д.: Правильные дроби меньше единицы.

У.: А неправильные?

Д.: Неправильные дроби больше единицы.

У.: Какой напрашивается вывод?

Д.: Неправильная дробь больше правильной дроби.

У.: Расставим знаки сравнения:

№2. а) < ; б) > ; в) < .

Промежуточный итог:

Какие дроби мы научились сравнивать? (с одинаковыми знаменателя, с одинаковыми числителями, правильные и неправильные).

V. Закрепление материала - учащиеся работают у доски.

№3. Запишите дроби и сравните их.

а) и б) и

Решение.

а) ; б) .

№4. Сравните дроби.

а) ; в) ; д) ;

б) ; г) ; е) ; ж) .

Решение.

а) ; в) ; д) ;

б) ; г) ; е) ; ж) .

VI. Первичная проверка знаний - самостоятельная работа с самопроверкой по слайду.

№5. Запишите дроби и сравните их.

а) и б) и

Решение.

а) ; б) .

№6. Сравните дроби.

а) ; в) ; д) ;

б) ; г) ; е) .

VII. Повторение - ломаная.

№6 Зубарева, И.И. Математика: 5кл.- № 108 а).- С. 35. . Запишите выражение для длины ломаной ABCD, если см, ВС в два раза длиннее АВ, а CD на 6 см короче AB.

Решение.

ABCD - ломаная.

см,

ВС - ?, в 2 раза > AB,

CD - ?, на 6 см < АВ.

ABCD=? (см)

1) (см) - длина ВС

2) (см) - длина CD

3) (см) - длина ломаной.

Ответ: см. (=4х - 6 см).

VIII. Домашнее задание.

Учить формулировки правил сравнения дробей.

№1. Сравните дроби:

а) ; в) ; д) ;

б) ; г) ; е) .

№2. Запишите выражение для длины ломаной ABCD, если см, ВС в 3 раза короче АВ, а CD на 8 см длиннее AB.

IX. Итог урока.

3.3 Понятие десятичной дроби

Цели и задачи:

- закрепление навыков сложения и вычитания обыкновенных дробей со знаменателем кратным десяти;

- введение десятичной записи дроби;

- формирование навыков чтения и записи десятичных дробей.

- повторение

I. Организационный момент.

На перемене каждому учащемуся раздается лист с заготовленными таблицами разрядов для работы на уроке.

II. Разминка.

У.: Ребята, давайте вспомним, как выполняются действия с обыкновенными дробями.

(Работа с классом у доски)

№1. а) (решение: );

б) (решение: );

в) (решение: =);

г)

(решение: =);

д) (решение: =).

(Если к этому моменту учащиеся уже изучили умножение и деление обыкновенных дробей, целесообразно включить соответствующие задания на умножение и деление).

III. Актуализация опорных знаний.

У.: Какую часть от 1 кг составляет 1 г? (); 5 г? (); 17 г.? (); 123 г.? ?

У: Какие еще единицы измерения, которые делят на десятые доли, вы знаете?

Д.: Тонна, центнер. Меры длины, площади, объема. Денежные единицы.

У.: Люди повседневно пользуются дробями, знаменатель которых равен 10, 100, 1000 и т.д. Но оперировать обыкновенными дробями с большими знаменателями, как вы убедились во время разминки, не очень удобно. Поэтому математики договорились использовать другую запись, о которой вы сейчас узнаете.

IV. Введение нового материала.

У.: Вспомним, как устроена десятичная система счисления. Рассмотрим натуральное число 11 111. Что означает цифра 1, стоящая на последнем месте?

Д.: Количество единиц.

У.: Что означает цифра 1, стоящая на предпоследнем месте? (Количество сотен).

…

У.: Что означает цифра 1, стоящая на первом месте? (Количество десятков тысяч).

У.: Давайте запишем число 11 111 в виде суммы разрядных слагаемых.

Д.: 11 111=10 000+1 000+100+10+1

У.: Теперь впишем каждое число в таблицу разрядов. Возьмите листы, которые вам раздали, запишите тему урока: «Десятичные дроби». Я работаю со слайдом, вы записываете в ваших листочках. Что нужно сделать дома с листочком? (вклеить).

№2.

Класс тысяч	Класс единиц
сот.	дес.	ед.	сот.	дес.	ед.
	1					10 000
		1				1 000
			1			100
				1		10
					1	1

- Как меняется положение единицы в каждой следующей строке по сравнению с предыдущей? (сдвигается на клетку вправо).

- Как при этом меняется ее значимость? (уменьшается)

- Как меняется величина числа? (уменьшается)

- Во сколько раз уменьшается? (в 10 раз)

- Какое действие соответствует уменьшению? (деление)

У.: Мы уменьшали 10 000 в 10 раз до тех пор, пока не дошли до единицы. А можно единицу уменьшить в 10 раз? Какое число получим?

Д.: .

У.: А места в нашей таблице для этого числа нет. Как изменить таблицу разрядов, чтобы в ней можно было записать одну десятую?

Д.: Добавить столбец справа и записать единицу туда.

Класс тысяч	Класс единиц
сот.	дес.	ед.	сот.	дес.	ед.
	1
		1
			1
				1
					1
						1

У.: Если уменьшить одну десятую еще в 10 раз, какое число получим и где в таблице разрядов его записать?

Д.: , запишем еще правее.

….

Класс тысяч	Класс единиц
Сот.	Дес.	Ед.	Сот.	Дес.	Ед.
				1						100
					1					10
						1
							1
								1
									1

У.: Подумайте, как назвать разряды? Обратите внимание, как читаются обыкновенные дроби.

Д.: десятые, сотые, тысячные.

У.: А как назвать класс?

Д.: Класс десятых.

ЦЕЛАЯ ЧАСТЬ	ДРОБНАЯ ЧАСТЬ
Класс тысяч	Класс единиц	Класс десятых
сот.	дес.	ед.	сот.	дес.	ед.	десятые	сотые	тысячные	Десятитысячные
					2	3
					2		3
			1	2		3
1					9			7
1	2			1	2			1	2

У.: Постарайтесь прочитать числа из таблицы.

У.: Как вы думаете, можно ли записать числа из таблицы так же, как и натуральные числа?

Д.: Наверное, можно.

У.: Если выписать число абсолютно также из первой строчки, то получим 23. Но нам нужно записать 2 целых 3 десятых. Чтобы не возникало путаницы, математики договорились отделять запятой (или дробной точкой) целую часть от дробной.

Число из первой строчки записывается так: 2,3 и читается две целых три десятых или два точка (запятая) три.

V. Закрепление.

№3 Зубарева, И.И, Математика: 5 кд. - №643.- С.182.. Попробуйте прочитать числа.



Сот.	Дес.	Ед.	десятые	сотые	тысячные	Десятитысячные
	3	4	6
	3		4	6
		3		4	6
			3	4	6
	3		4		6
					4	6

№4. Прочитайте числа и запишите их в таблицу разрядов.

Сот.	Дес.	Ед.	десятые	сотые	тысячные	Десятитысячные
	3	4	6
	3		4	6
		3		4	6
			3	4	6
	3		4		6
					4	6

№5 Истомина, Н.Б. Математика: 5 кл. - № 849.- С. 190.. Запишите в виде десятичной дроби.

а) (=0,47); в) (=4,08); д) (=0,14);

б) (=0,051); г) (=21,5); е) (=1,007).

№6. Запишите десятичные дроби в виде обыкновенной дроби или смешанного числа.

а) 0,68; 0,03; 0,206; б) 7,5; 4,05; 3,64.

Решение.

а) ; ; ; б) ; ; .

VI. Повторение. - решение текстовой задачи.

№7. Торговый дом «Чебурашка» приобрел конфеты двух сортов на общую сумму - 6570 р. Из них 40 кг конфет - по цене 96 р. за 1 кг, а остальные конфеты - по цене 78 р. за 1 кг. Сколько было куплено более дешевых конфет?

	Цена	Стоимость	Масса
I сорт	96 р./кг	? р.	40 кг
II сорт	78 р./кг	? р.	?
Смесь		6 570 р.	-

Решение.

1) (р.) - стоимость конфет I сорта.

2) 6570-3840=2730 (р.) - стоимость конфет IIсорта.

3) 2730:78=35 (кг) - масса конфет II сорта.

Ответ: 35 кг.

VII. Домашнее задание.

Вклеить листочек с классной работой в тетрадь.

№1. Представьте в виде обыкновенной дроби или смешанного числа:

а) 0,007; 0, 308; 0,150; б) 9, 8; 45,06; 302, 0054.

№2. Запишите в виде десятичной дроби.

а) в) ; д) ;

б) ; г) ; е) .

VIII. Итог урока.

3.4 Обыкновенные и десятичные дроби

Цели и задачи:

- проверка умения и навыков умножения удобным способом;

- закрепление умения представлять десятичные дроби в виде обыкновенных дробей;

- закрепление навыков разложения на множители, приведения обыкновенных дробей к заданному знаменателю;

- обобщение знаний и умений представления обыкновенной дроби в виде десятичной;

- первичное закрепление и проверка навыков представления дробного числа в заданной форме.

I. Организационный момент.

II. Математический диктант (выполняется на тетрадном листе, сложенном вчетверо, с самопроверкой).

№1. Вычислите. Зашифрованное слово - название комнатного растения.

M. ; К. ;

А. ; Л. ;

И. ; Е. ;

Н. ; Ц. .

721	1938	418	784	297	275	1568	2525

Ответ: цикламен.

III. Введение нового материала.

№2. Представьте десятичную дробь в виде обыкновенной дроби.

; ; ; ; ; .

У.: Как представить десятичную дробь в виде обыкновенной?

Д.: Записать дробь не в десятичной записи, а в виде двухэтажной дроби.

У.: Запишите дробь 0,375 в виде обыкновенной дроби.

Д.: .

У.: Эту дробь можно сократить? Разложите на множители числитель и знаменатель.

Д.: .

У.: Представим следующее число: 6,72.

…

;

;

;

.

У.: Как вы думаете любую десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной?

Д.: Да - просто записать в виде двухэтажной.

У.: Посмотрите на обыкновенные дроби, которые мы получили. Что в них общего?

Д.: …

У.: Обратите внимание на знаменатель, какие множители он содержит?

Д.: Два и пять.

У.: Как вы думаете, какие обыкновенные дроби можно представить в виде десятичных?

Д.: Такие обыкновенные дроби, знаменатель которых содержит числа 2 или 5.

У.: Этих условий достаточно? Получается, что дроби и ее нельзя привести к знаменателю, кратному 10? Попробуйте.

Д.: .

.

Дроби должны быть несократимыми!

У,: Попробуйте сформулировать правило, по которому можно представить обыкновенную дробь в виде десятичной.

Д.: …

У.: А как быть с дробями и ? Их можно представить в виде десятичной дроби?

Д.: нет!

У.: Вспомните, что означает черта дроби?

Д.: Деление!

У.: Давайте с помощью калькулятора разделим единицу на три. Что показывает табло?

Д.: 0,333333333…

У.: Это дробь? Записано в виде десятичной?

Д.: …

У.: До сих пор мы с вами рассматривали только десятичные дроби, которые называют конечными, потому что после запятой у них стоит конечное - определенное число цифр: одна две, три, четыре и т.д. (число цифр). Как бы вы назвали полученную десятичную дробь 0,333333…? Здесь многоточие ОБЯЗАТЕЛЬНО!

Д.: Бесконечная!

У.: Совершенно верно, но с бесконечными десятичными дробями мы подробнее познакомимся позже. Какой можно сделать вывод? Любую обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной?

Д.: Да.

У.: Значит, в наше правило нужно добавить еще одно слово: определение к слову «дробь».

Правило: Если знаменатель несократимой обыкновенной дроби не содержит никаких простых множителей, кроме 2 и 5, то эту обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби.

IV. Закрепление.

№3. Приведи дробь к знаменателю 10, 100 или 1000.

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .

№4. Определите, можно ли данную дробь представить в виде конечной десятичной. Если да, то запишите её.

а) ;

б) .

№5. Найдите значение выражения:

а) ;

б) .

V. Самостоятельная работа с самопроверкой по слайду.

№6. Приведи дробь к знаменателю 10, 100 или 1000.

а) ; в) ;

б) ; г) .

№4. Определите, можно ли данную дробь представить в виде конечной десятичной. Если да, то запишите.

а) ;

б) .

№5. Найдите значение выражения:

а) ;

б) .

VI. Домашнее задание.

Учить правило.

№1 Дорофеев, Г.В. Математика: 6 кл.- № 224. - С.73.. Заполните таблицу и запомните результат.

Обыкновенная дробь
Десятичная дробь

№2. Выпишите дроби, которые можно представить в виде десятичных:

; ; ; ; ; .

№3. Вычислите:

а) ; в) ;

б) ; г) .

VII. Итог урока.

У.: Ребята, что мы сегодня научились делать?

Д.: Представлять обыкновенные дроби в виде конечных десятичных дробей.

У.: Какими свойствами должна обладать обыкновенная дробь, чтобы её можно было представить в виде конечной десятичной дроби?

Д.: Дробь должна быть несократимой, в знаменателе этой дроби должны быть только множители 2 или 5.

Заключение

В ходе работы были решены все поставленные задачи:

1) Изучена психолого-педагогическая литература, касающаяся, во-первых, психолого-физиологических особенностей младших подростков. Мы выяснили, что основным новообразованием этого возраста является чувство взрослости. Именно в этот период происходит переоценка ценности обучения и своего положения в этом процессе. Пятиклассник стремится добывать глубокие знания в интересующих его областях. Поэтому важна соответствующая организация учебного процесса. Наиболее приемлемой видится деятельность учащегося, организованная учителем как самостоятельная поисковая деятельность.

Во-вторых, проанализированы психологические причины возникновения трудностей при формировании понятия дроби и операций с ними, предложены пути их преодоления. Уверенное представление о дроби возникает только тогда, когда учащийся самостоятельно проходит все ступени по формированию этого понятия. Сознательное оперирование осуществляется при верно построенной системе ассоциаций и полной связи между условием задачи и ее ответом. Система упражнений должна отвечать как методическим задачам, так и учитывать психологические основы слухового восприятия формулировок и зрительного восприятия комбинаций чисел. Важно сформировать у учащихся умение выделять существенные и несущественные признаки объектов и действий над ними.

И, в-третьих, анализ положений теории деятельности, представленной как теория планомерного поэтапного формирования умственных действий П.Я. Гальперина, выявил следующие принципы построения учебного процесса: мотивированность, последовательность, полнота и, главное, системность изучаемого предмета.

2) Изучена методическая литература по изучению курса дробей. Мы рассмотрели возникновение и развитие методики преподавания дробей, различные подходы к преподаванию систематического курса дробей в средней школе, начиная с XIX века. Кроме того, мы проанализировали современные подходы к преподаванию курса дробей. Критерием анализа выступило соблюдение принципов психологической теории деятельности, сформулированные в первой главе работы. Анализ содержания пяти комплектов учебников, входящих в федеральный перечень, выявил, что строгое соблюдение принципа систематичности и последовательности изложения материала при изучении обыкновенных дробей имеет место только в учебнике И.И. Зубаревой и А.Г. Мордковича. Учебники других авторов, как нам кажется, не могли последовательно обосновать операции умножения и деления обыкновенных дробей.

При введении понятия дроби все авторы говорят о дроби как о части целого, некоторые вскользь упоминают о равносильности дробной черты и операции деления и только в учебниках И.И. Зубаревой и А.Г. Мордковича, Г.В. Дорофеева и др. и Н.Б. Истоминой целенаправленно формируется представление о дроби как результате деления натуральных чисел. При изучении темы «Сравнение дробей» полная система упражнений представлена только в учебнике С.М. Никольского. А авторский коллектив И.И. Зубарева и А.Г, Мордкович не выделили в своем учебнике эту тему как отдельную.

В современных учебниках реализованы два подхода в изучении курса десятичных дробей: в учебниках Н.Я. Виленкина и др. и И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович тема «Десятичные дроби» разбивает изучение темы «Обыкновенные дроби» на две части. Остальные авторы предпочли включить десятичные дроби после полного курса обыкновенных дробей. Методически обосновано это только в учебнике Г.В. Дорофеева и др., где понятие десятичной дроби и все операции с ними выводятся из соответствующих операций с обыкновенными дробями. В учебнике И.И. Зубаревой и А.Г. Мордковича эта тема основана на позиционной системе записи чисел. Другие авторы используют смешанную методику.

Установление связи между десятичными и обыкновенными дробями четко прослеживается в учебниках С.М. Никольского и др., И.И. Зубаревой и А.Г. Мордковича и Г.В. Дорофеева и др. В учебнике С.М. Никольского и др. этому посвящена отдельная глава «Обыкновенные и десятичные дроби».

3) На основе сделанных в теоретической части работы выводов, были разработаны конспекты уроков, по темам: «Дробь как одна или несколько равных долей», «Сравнение дробей», «Понятие десятичной дроби», «Обыкновенные и десятичные дроби», в которых показана организация поисково-эвристической деятельности учащихся.

Подводя итоги проделанной работы, можно утверждать. Что цели дипломной работы достигнуты.

Библиография

1. Арифметика: Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 2000. - 255 с.

2. Арифметика: Учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. - 4-е изд., дораб. - М.: Просвещение, 2006. - 256 с.

3. Березанская, Е.С. Методика арифметики. Пособие для учителей средней школы [Текст] / Е.С. Березанская. - 5-е изд., переработанное - М.: Гос. учеб.-пед. изд-во м-ва просвещения РСФСР, 1955. - 540 с.

4. Богомолов, Н.В. Очерки по истории создания русских учебников по математике [Текст] / Н.В. Богомолов // Математика: прил. к газ. «Первое сентября». - 1999. - (№36, 45). - 2000. - (№12). - 2001. - (№21, 29, 30, 46, 47). - 2002. - (№15, 16, 17, 20, 46).

5. Брадис, В.М. Методика преподавания математики в средней школе [Текст] / В.М. Брадис; Под ред. А.И. Маркушевича. - 2-е изд. - М.: Гос. учеб.-пед. изд-во м-ва просвещения РСФСР, 1951. - 504 с.

6. Виленкин, Н.Я. Математика [Текст]: Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. - 5-е изд. - М.: Мнемозина, 1997. - 384 с.

7. Виленкин, Н.Я. Математика [Текст]: Учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. - 9-е изд., стереотип. - М.: Мнемозина, 2001. - 304 с.

8. Веденина, В.П. Развитие русской методики математики в XVIII-XIX вв. [Текст] / В.П. Веденина // Специалист. - 2004. - №8 - С. 25, 26.

9. Волковский, Д.Л. Как обучать дробям в начальной школе [Текст] / Д.Л. Волковский. - М.; Л.: 1-я типография Трансжелдориздата, 1934. - 97 с.

10. Далингер, В.А. Учебно-исследовательские задания по теме «Дроби и действия над ними» [Текст] / В.А. Далингер // Математика в школе. - 2008. - №4. - С. 13-17.

11. Дорофеев, Г.В. Математика [Текст]: 5 кл: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, И.Ф. Шарыгин и др.; Под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. - 9-е изд. - М.: Просвещение, 2007. - 302 с.

12. Дорофеев, Г.В. Математика [Текст]: 6 кл. Учеб. для общеобразоват. учреждений: В 2 ч. Ч. 1 / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, И.Ф. Шарыгин и др.; Под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. - 6-е изд., перераб. - М.: Просвещение, 2002. - 208 с.

13. Евтушевский, В.А. Методика арифметики [Текст]: Пособие для родителей, учителей и учительских семинарий / В.А. Евтушевский. - 7-е изд., испр. и доп. - СПб.: Типография В. Безобразов и комп., 1875. - 336 с.

14. Ермилова, Т.В. Устная работа в V классе [Текст] / Т.В. Ермилова // Математика в шк. - 2006. - №1. - С. 26-31.

15. Жохов, В.И. Преподавание математики в 5 и 6 классах [Текст]: По учебникам: Математика: Методические рекомендации для учителя / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С, Чесноков, С.И. Шварцбурд. - 3-е изд. - М.: Мнемозина, 2001. - 156 с.

16. Зубарева, И.И. Математика: 5 кл. [Текст]: Рабочие тетради: Учеб. пособие для общеобразоват. учреждений / И.И. Зубарева. - 2-е изд. - М.: Мнемозина, 2006. - Рабочая тетрадь №1. - 64 с. - Рабочая тетрадь №2. -68 с.

17. Зубарева, И.И. Математика: 5-6 кл. [Текст]: Методическое пособие для учителя / И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. - 2-е изд. - М.: Мнемозина, 2005. - 104 с.

18. Зубарева, И.И. Математика: 5 кл. [Текст]: Учеб. для общеобразоват. учреждений / И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. - 6-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2007. - 270 с.

19. Зубарева, И.И. Математика: 6 кл. [Текст]: Учеб. для общеобразоват. учреждений/ И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. - 6 - е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2007. - 264 с.

20. Истомина, Н.Б. Математика: 5 кл. [Текст]: Учебник для общеобразоват. учеб. заведений / Н.Б. Истомина.-Смоленск: Ассоц. XXI век, 2001. - 240 с.

21. Истомина, Н.Б. Математика. 6 кл. [Текст]: Учебник для общеобразоват. учеб. заведений / Н.Б. Истомина - Смоленск: Ассоц. XXI век, 2001. - 208 с.

22. Истомина, Н.Б. Десятичные дроби [Текст]: Тетр. по математике для 5 кл. общеобразоват. шк. / Н.Б. Истомина, Г.В. Воителева. - Смоленск: Ассоц. XXI век, 2005. - №3. - 63 с.

23. Истомина, Н.Б. Обыкновенные дроби [Текст]: Тетр. по математике для 5 кл. общеобразоват. шк. / Н.Б. Истомина, Г.В. Воителева. - Смоленск: Ассоц. XXI век, 2005. - №2. - 63 с.

24. Истомина, Н.Б. Обыкновенные и десятичные дроби [Текст]: Тетрадь по математике для 6 кл. общеобразоват. шк. / Н.Б. Истомина, З.Б. Редько. - Смоленск: Ассоц. XXI век, 2002. - 79 с.

25. Ланков, А.В. К истории развития передовых идей в русской методике математики [Электронный ресурс] / А.В. Ланков. - М.: Учпедгиз, 1951. - (http://www.biografia.ru/cgi-bin/qsave.pl? name=metmat02&oaction=print). 10.10.2008.

26. Менчинская, Н.А. Очерки психологии обучения арифметике [Текст] / Н.А. Менчинская. - 2-е изд., перераб. - М.: Гос. учеб.-пед. изд-во м-ва просвещения РСФСР. - 1950. - 120 с.

27. Менчинская, Н.А. Вопросы методики и психологии обучения арифметике в начальных классах [Текст] / Н.А. Менчинская, М.И. Моро. - М.: Просвещение, 1965. - 224 с.

28. Мехтизаде, З.М. Психологический анализ основных трудностей в усвоении учащимися V класса раздела о делимости чисел и операций с дробями [Текст] / З.М. Мехтизаде // Вопросы психологии обучения арифметики. Труды института психологии / Под ред. Н.А. Менчинской. - М.: Известия АПН РСФСР, 1955. - Выпуск 71. - С. 113-148.

29. Мульдаров, В.К. Теория деятельности [Текст] / В.К. Мульдаров, И.М. Кондаков. - (http://psi.webzone.ru/intro/intro03.htm). 22.11.2008.

30. Приказ Минобрнауки РФ от 13.12.2007 №349 «Об утверждении федеральных перечней учебников, рекомендованных (допущенных) к использованию в образовательном процессе в образовательных учреждениях, реализующих образовательные программы общего образования и имеющих государственную аккредитацию на 2008/2009 учебный год» // Российская газета - 26.12.2007. - №290.

31. Пчелко, А.С. Методика преподавания арифметики в начальной школе [Текст] / А.С. Пчелко. - 2-е изд. - М.: Учпедгиз, 1947. - С. 328.

32. Решетова, З.А. Организация деятельности усвоения и развитие учащегося [Текст] / З.А. Решетова // Вопросы психологии. - 2002. - №5. - С. 70-78.

33. Седова, И.К. Доли и дроби [Текст]: 3-5 классы / И.К. Седова. - СПб.: Литера, 2008. - 96 с.

34. Тульчинская, Е.Е. Математика: 5 кл: Блицопрос [Текст]: Пособие для учащихся общеобразоват. учреждений / Е.Е. Тульчинская. - М.: Мнемозина, 2007. - 112 с.

35. Тульчинская, Е.Е. Математика: Тесты. 5-6 кл. [Текст]: Пособие для учащихся общеобразоват. учреждений / Е.Е. Тульчинская. - М.: Мнемозина, 2007. - 96 с.

36. Фридман, Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе [Текст]: Учителю математики о псих. пед. / Л.М. Фридман - М.: Просвещение, 1983. - С. 49-58.

37. Фридман, Л.М. Психология детей и подростков [Текст]: Справочник для учителей и воспитателей / Л.М. Фридман. - М.: Изд-во Ин-та психотерапии, 2004. - 480 с.

38. Цукарь, А.Я. Практика и образы при изучении обыкновенных дробей [Текст] / А.Я. Цукарь // Математика в шк. - 1994. - №5. - С. 5-8.

39. Шарыгин, И.Ф. Задачи на смекалку [Текст]: Учеб. пособие для 5-6 кл. общеобразоват. учреждений / И.Ф. Шарыгин, А.В. Шевкин. - 9-е изд. - М.: Просвещение, 2007. - 95 с.

40. Шевченко, Н.И. Методика преподавания обыкновенных дробей. Педагогическая библиотека учителя [Текст] / Н.И. Шевченко. - М.: Изд-во акад. пед. наук РСФСР, 1958. - 131 с.

41. Шохор-Троцкий, С.И. Методика арифметики [Текст]: Пособие для учителей средней школы / С.И. Шохор-Троцкий; Под ред. Синакевича. - 5-е изд., перераб. - М.; Л.: Гос. учеб. пед. изд-во, 1935. - 344 с.

42. Шохор-Троцкий, С.И. Методика арифметики [Текст]: В 2 ч. Ч. I для уч. начальных шк. / С.И. Шохор-Троцкий. - 6-е изд., пересм. и доп. - М.; СПб.: Наследие Бр. Салаевых, 1900. - 264 с.

43. Шохор-Троцкий, С.И. Методика арифметики [Текст]: В 2 ч. Ч. II для уч. учеб. заведений с полным курсом арифметики / С.И. Щохор-Троцкий. - М.; СПб.: Наследие Бр. Салаевых, 1900. - 480 с.

44. Эльконин, Д.Б. Возрастные и индивидуальные особенности младших подростков [Текст] / Д.Б. Эльконин; Под ред. Д.Б. Эльконина, Т.В. Драгуновой. - М.: Просвещение, 1967. - 290 с.

Размещено на Allbest.ru