Система приемов учебной деятельности в развивающем обучении математике

Существуют различные типы уроков в современном учебном заведении.

1. Комбинированный урок (наиболее распространенный тип урока в массовой практике). Его структура: организационная часть (1 -2 мин), проверка домашнего задания (10--12 мин), изучение нового материала (15--20 мин), закрепление и сопоставление нового с ранее изученным материалом, выполнение практических заданий (10--15 мин), подведение итога урока (5 мин), домашнее задание (2--3 мин).

2. Урок изучения нового материала применим, как правило, в практике обучения старшеклассников. В рамках данного типа проводятся урок-лекция, проблемный урок, урок-конференция, киноурок, урок-исследование. Эффективность урока данного типа определяется качеством и. уровнем освоения нового учебного материала всеми учениками.

3. Урок закрепления знаний и совершенствования умений и навыков проводится в виде семинара, практикума, экскурсии, самостоятельных работ и лабораторного практикума. Значительную часть времени занимает повторение и закрепление знаний, практическая работа по применению, расширению и углублению знаний, по формированию умений и закреплению навыков.

4. Урок обобщения и систематизации нацелен на системное повторение крупных блоков учебного материала по узловым вопросам программы, имеющим решающее значение для овладения предметом в целом. При проведении такого урока учитель ставит перед учениками проблемы, указывает источники получения дополнительной информации, а также типичные задачи и практические упражнения, задания и работы творческого характера. В ходе таких уроков осуществляется проверка и оценка знаний, умений и навыков учащихся по нескольким темам, изучаемым на протяжении длительного периода -- четверти, полугодия, года обучения.

5. Урок контроля и коррекции знаний, умений и навыков предназначен для оценки результатов учения, диагностики уровня обученности учеников, степени готовности учащихся применять свои знания, умения и навыки в различных ситуациях обучения. Он также предполагает внесение изменений в работу педагога с конкретными учениками. Видами таких уроков в школь- ' ной практике могут быть устный или письменный опрос, диктант, изложение или самостоятельное решение задач и примеров, выполнение практических работ, зачет, экзамен, самостоятельная или контрольная работа, тестирование. Все эти виды уроков организуются после изучения крупных тем и разделов учебного предмета. По результатам итогового урока следующее занятие посвящается анализу типичных ошибок, «пробелов» в знаниях, определению дополнительных заданий Психология и педагогика. / Под ред. Радугина А.А. - М.: Центр, 1999..

В школьной практике используют и другие типы уроков, такие как урок-соревнование, консультация, взаимообучение, лекция, межпредметный урок, игра.

Поскольку в закономерностях отражаются взаимосвязи между внутренними процессами учебной деятельности учащихся и внешними, дидактическими условиями, то, опираясь на эти закономерности, учитель может путем видоизменения внешних условий координировать внутренние процессы, протекающие в сознании учащихся.

Таким образом, у педагога возникает возможность целенаправленно управлять мыслительной деятельностью учащихся. Тем самым учитель может выбирать методы обучения, наиболее подходящие к условиям своей работы, предвидеть, прогнозировать возможные последствия их применения, находить выходы из многочисленных затруднений, встречающихся на практике, а затем практически проверять свои выводы.

В соответствии с закономерностью свертывания рассуждений, желательно, чтобы первые упражнения новой темы учащиеся выполняли обоснованно, опираясь на изучаемые определения, теоремы. Если учитель этого не добивается, то обосновывать последующие упражнения этой темы учащимся становится все труднее. Эти соображения учителю желательно учитывать при оценке эффективности используемых приемов. Рассмотрим некоторые из приемов.

Комментированное решение задач. Этот прием был разработан в 60-е годы липецкими учителями. Его сущность состоит в следующем: к доске никто не выходит и при вызове учащиеся не встают. Весь класс выполняет одно и то же упражнение в одном и том же темпе. Это достигается таким образом. Учащиеся, сидя за партой на своем месте, поочередно вслух комментируют, обосновывают выполняемое упражнение. Каждый ученик внимательно слушает объяснения, так как учитель в любой момент может предложить ему продолжить объяснение. Поскольку переход от ответа одного ученика к ответу другого повторяется часто и даже в пределах решения одной задачи, то учащиеся приучаются не спешить, соразмерять свои записи при решении с комментариями вызванного ученика и привыкают к тому, что в любой момент могут спокойно продолжить ответ. Такое комментирование решаемой задачи нацеливает учащихся на то, что главное -- это не быстрота выполнения преобразований, а их обоснование. Прием хороший, но, к сожалению, в настоящее время он редко используется в школах, о нем мало упоминают в литературе, и многие учителя с ним незнакомы.

Комментированному решению задач или самостоятельной работе должна предшествовать коллективная работа с вызовом учащихся к доске. Такое мнение, основанное на опыте, высказывают многие учителя.

Коллективная работа с вызовом учащихся к доске -- первоначальный и необходимый этап изучения новой темы.

Побуждать учащихся к обоснованию решения задачи можно двумя путями: видоизменением структуры системы упражнений и организационными приемами. В последних особую роль играет повышение требовательности к ответу вызванного ученика.

При решении первой задачи нового типа педагог, как правило, применяет эвристическую беседу. В процессе ее обсуждается способ решения. Далее компактным или алгоритмическим методом учитель дает образец ответа на оценку «5». Естественно, его образец ответа включает в себя целый ряд заранее продуманных особенностей -- методических компонентов. Их роль -- облегчить работу класса. Весь класс нацеливается на то, что при решении задачи будет учитываться не только быстрота и безошибочность решения, но и четкое обоснование решения, которое должно быть доступным каждому ученику класса, грамотность речи, выбор правильного темпа, умение держаться у доски и т. д.

Отличная оценка вызванному ученику ставится за неукоснительное соблюдение всех этих требований. Поэтому на первые 5--7 упражнений ученики вызываются только по желанию.

Такие высокие требования заставляют учеников очень внимательно прислушиваться к ответам товарищей. Те, кто быстрее усваивает новый материал, стараются заметить и учесть все неточности и погрешности в ответах вызываемых учеников. Значит, хотя они и быстро улавливают сам ход решения, но не спешат и внимательно слушают ответ, все его детали. Те, кто новую тему усваивают медленнее, тем более слушают внимательно, так как сразу чувствуют, что весь темп работы, все объяснения приспособлены к их возможностям и помогают им хорошо понять материал.

Однако долго так работать не удается, да это и не нужно. Через некоторое время наступает момент, когда часть учащихся усваивает способ решения задач нового типа, и может свободно и легко объяснять решение. Этих учащихся заданный темп и стиль работы перестают удовлетворять, а для остального класса они еще необходимы.

Дифференцированное обучение. В тот момент, когда (при использовании предшествующего приема) одним учащимся объяснения по ходу решения задач становятся уже необязательными, а другим -- они еще нужны, переходят к дифференцированной работе. Класс разбивается на две группы. В первую -- объединяются все те учащиеся, которые считают, что уже поняли новый материал и могут работать самостоятельно. Им упражнения дают в одном варианте. Эти учащиеся списывать не будут. Самостоятельная работа выполняется по желанию. Однако учитель рекомендует некоторым из учащихся воздержаться от самостоятельной работы и продолжить работу с классом. Причем на этих рекомендациях учитель особенно не настаивает.

Ставится условие: все, кто работает самостоятельно, с вопросами к учителю не обращаются. Можно советоваться друг с другом, можно сверять свое решение с ответами и даже с фрагментами решений, заранее выписанными на доске или демонстрируемыми на экране. Такое условие вполне уместно на данном этапе обучения, так как все ученики, приступающие к самостоятельной работе, уже могут решать задачи новой темы, могут сами себя проконтролировать, могут посоветоваться друг с другом. С вопросами эти ученики могут обратиться к учителю после самостоятельной работы. Ее длительность 10--15 мин, не менее. Эта длительность определяется потребностями остальных учащихся класса.

В эти 10--15 мин учитель все свое внимание уделяет второй группе, т. е. тем ученикам, которые еще не усвоили новую тему достаточно хорошо. Эти ученики продолжают такую же коллективную работу, которая описана выше: поочередно выходят к доске, решают задачи и объясняют их. Но есть и очень существенные отличия. Теперь уже учитель не ставит такие «строгие» оценки, как сильным ученикам. Кроме того, учитель вызывает к доске сразу по 2--3 ученика. Один решает вместе с классом и комментирует вслух, другие работают молча. Когда первый заканчивает работу, ему ставится оценка за решение и объяснение. Теперь все вместе проверяют, верно, ли выполнили упражнения два других вызванных ученика. Им также ставятся оценки за записанные решения, но, как правило, без устных объяснений. К доске выходят следующие. 2--3 ученика и т. д. Все это делается для того, чтобы к доске вызвать как можно больше учеников.

Основная особенность описанной методики состоит в том, что на первом этапе к коллективной работе привлекается весь класс, а на втором -- педагог работает только с теми, кто новую тему усваивает медленнее.

Опыт работы показывает, что описанные приемы удобны лишь тогда, когда приходится выполнять много упражнений одного типа и когда самостоятельная работа с одной группой учащихся и одновременная коллективная работа с другой группой длятся не менее 10--15 мин. Использование всех этих приемов влечет за собой перестройку структуры всего урока. Изучение новой темы сдвигается к началу урока так, чтобы успеть завершить все запланированные формы работы Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики. - М.: Просвещение, 1999. .

Организовать на уроке коллективное решение неэлементарной задачи -- дело не простое. Трудность заключается в том, что обычно далеко не все учащиеся класса могут полностью решить неэлементарную задачу.

Наиболее опытные педагоги находят выход из этого положения в тщательной отработке со всеми учащимися элементов решения неэлементарной задачи (метод элементарных задач) и в разбиении ее на отдельные задания. К сожалению, такая методика используется редко. Сопоставим ее с менее удачными, но широко распространенными приемами.

Сущность одного из них. Вызывается учащийся. Он записывает на доске условие задачи полностью или в виде краткой схемы, оформляет рисунок, чертеж и т. д. Этот же учащийся остается у доски на протяжении всего решения задачи. Он находит способ решения, записывает и обосновывает его. Этот прием имеет ряд существенных недостатков.

В классе возникает неудачная психологическая ситуация, когда часть учащихся работает пассивно, механически списывает с доски. Такая неудачная ситуация является следствием двух причин: во-первых, многие учащиеся уверены, что задачу от начала и до конца будет решать один вызванный к доске ученик, а если он не справится с ее решением, то с места будут спрашивать только желающих. И это ожидание каждый раз действительно оправдывается. Во-вторых, вызванный к доске учащийся часто начинает решение без предварительного его обсуждения, когда и сам он, и класс еще не уяснили до конца идею решения. Ясно, что многие учащиеся в таких случаях вынуждены механически списывать с доски.

Ход урока ставится в зависимость от вызванного к доске учащегося. Если он решает задачу уверенно, все идет как будто гладко. В противном случае затягивается время, в классе возникает шум. По этой причине учителя стараются вызывать к доске для решения задачи лучших учащихся.

Вызванного к доске торопят. Если он по ходу решения задачи задумался, то учитель не ждет его, а сразу предлагает классу помогать ему. Из-за такой помощи в итоге неясно, чего же этот ученик действительно не знал, а что он знал, но просто не успел ответить, не успел сообразить. По этой причине педагоги часто завышают оценку вызываемому ученику, несмотря на неоднократную помощь и подсказки Методика преподавания математики в школе: Частная методика. / Сост. Мишин В.И. - М.: Просвещение, 1997..

Прием разбиения задачи на отдельные задания. Решение задачи подразделяется на следующие задания (они могут видоизменяться): усвоение условия; продумывание плана, идеи решения; коллективное обсуждение идеи решения; оформление решения. Эти задания у доски выполняет не один, а поочередно несколько учащихся.

1. Усвоение условия задачи. Один из учащихся (иногда сам учитель) кратко записывает на доске условие задачи, анализирует его. Например, когда дается геометрическая задача, он выполняет чертеж, записывает, что дано и что требуется доказать и т. д. Затем вызванный учащийся садится на место. Ему ставится за это задание оценка в тех случаях, когда оно представляет определенные трудности для класса, например при решении некоторых задач по геометрии.

2. Обдумывание идеи решения. Классу дается задание: наметить, продумать идею решения задачи. Выдерживается необходимая пауза, во время которой учащимся рекомендуется делать наброски решения на черновике, разрешается советоваться друг с другом. Записывать решение в тетради в это время педагог не разрешает, так как решение может оказаться нерациональным или неверным, а также, чтобы отдельные учащиеся не сидели без дела, когда весь класс будет записывать решение задачи.

Каждый учащийся ожидает вызова, поэтому во время паузы он не может думать ни о чем другом, кроме задачи. Тем самым в классе создается удачная психологическая ситуация, которая заставляет активно работать весь класс. Конечно, не каждый ученик находит способ решения задачи, но все думают над ней.

Во время паузы обычно наступает либо напряженная тишина, либо «рабочий шум». Чтобы не мешать работе класса, учитель беседует с отдельными учащимися только шепотом или вполголоса, отвечает на их вопросы, выслушивает предложения, помогает.

3. Обсуждение идеи решения. Классу предлагается обсудить идею решения задачи. Иногда рассматривают несколько способов решения, выбирают из них наиболее рациональный. Обсуждение часто выливается в дискуссию, что способствует повышению интереса к предмету. Учитель постепенно приучает высказывать идею решения в виде краткого плана, без подробных обоснований. Учащемуся, высказавшему идею решения задачи, он ставит положительную оценку, несмотря на то, что его ответ очень краток по времени. От него не стоит добиваться объяснений. Если он изложил идею, то почти всегда знает и детали решения, а их могут объяснить и другие учащиеся, например те, которые во время диску сии руки не поднимают. В конце дискуссии объявляются оценки тем учащимся, которые объясняли идею решения задачи перед всем классом или высказывали ее педагогу во время паузы.

Самостоятельная работа является необходимым этапом изучения любой темы. Как правило, она проводится после коллективного решения задач новой темы и обязательно предшествует контрольной работе по этой теме.

При проведении самостоятельной работы учитель сталкивается со следующими затруднениями:

1. Учащиеся заканчивают работу неодновременно. Поэтому целесообразно заранее включать дополнительное задание для тех, кто работает быстрее.

2. Трудно подобрать задание, одинаково посильное всем учащимся. Если выполняется ряд простых однотипных упражнений, например, на умножение и деление дробей, то здесь посильность задания регулируется его объемом. Труднее подобрать, например, геометрические задачи, одинаково посильные для всех. В этом случае хорошо помогает уже упомянутый прием сочетания устных и письменных упражнений. Сначала решают несколько задач устно, а затем некоторые из них включаются в самостоятельную или в контрольную работу.

3. Трудно организовать проверку самостоятельной работы. Иногда учитель собирает и проверяет тетради всех учащихся. Это хорошая форма проверки, но она не всегда осуществима. Поэтому используются и другие приемы. Среди них -- некоторые явно неудачные. Например, сначала выполняют самостоятельную работу, а к концу ее один из учащихся записывает решение задачи на доске для последующей проверки. Это приводит к лишней трате времени.

Гораздо лучше получается, когда один - два ученика записывают решения задач на вращающейся доске. К концу самостоятельной работы доски поворачиваются, и классу предлагается проверить решения задач.

Отметим ряд типичных недостатков, наблюдаемых, к сожалению, на многих уроках.

Некоторые учителя сами мешают спокойной и сосредоточенной работе учащихся, неоднократно прерывают ее всякими указаниями, репликами, замечаниями.

Заметив ошибку в тетрадях одного - двух учеников, учитель отрывает весь класс от работы и дает соответствующее указание всем ученикам, чтобы не повторили ошибку. Это лучше делать до или после самостоятельной работы.

Увидев, что отдельные ученики закончили работу и сидят без дела, педагог громко объявляет новое очередное задание. Это задание следует предусмотрительно давать до самостоятельной работы.

Объясняя одному ученику, учитель говорит слишком громко, тем самым, мешая работе всего класса.

Все ученики сосредоточенно работают, и в напряженной тишине время от времени раздается громкий стук каблуков при ходьбе учителя по классу.

Иногда педагог слишком долго дает объяснение одному ученику, не замечая, что три-четыре ученика все это время держат поднятые руки и просят его помощи. Это неправильно. Надо ориентироваться на весь класс, а не на отдельного ученика. Учителю следует, как можно чаще окидывать взглядом класс и спешить туда, где его помощь более необходима. Если поднимают руки сразу два-три ученика, можно кивнуть им, сейчас, мол, подойду. Ученики, удостоверившись, что педагог заметил их, обычно успокаиваются и продолжают свою работу.

В обучении математике используются и общедидактические методы, и те, которые разработаны в специфических условиях преподавания математики. Основой многих из них являются научные методы - индукция, дедукция, аналогия и др.

Индукцией называется такой метод рассуждений, при котором общий вывод (гипотеза) основывается на изучении отдельных частных фактов, если рассматриваются все факты без исключения, то индукция называется полной, в противном случае - неполной. Неполная индукция может привести к ошибочному выводу. Вывод, сделанный на основе полной индукции, всегда является достоверным, если не допущены ошибки в рассуждении.

В творчестве ученых-математиков, а, следовательно, и в школе важное место занимает неполная индукция. Она используется в школе в следующих случаях:

Ш для подведения учащихся к самостоятельному «открытию» математических предложений;

Ш чтобы убедить учащихся в справедливости той или иной теоремы, когда строгое доказательство им не под силу;

Ш для иллюстрации с помощью наглядных пособий теоремы или ее доказательств;

Ш как один из действенных методов поиска решения задачи.

Применяя индукцию для подведения учащихся к «открытию», необходимо учитывать следующие моменты:

Ш для экономии учебного времени подбирается минимальное количество частных примеров;

Ш рассматриваемые частные примеры не должны приводить учащихся к ложным выводам.

Значительно реже, к сожалению, неполная индукция используется как один из методов поиска решения задачи. Многие педагоги не показывают, в какой мере рассмотрение частных случаев, например, построение более точного графика, может ускорить и облегчить поиск решения задачи.

Дедукция - форма мышления, при которой утверждение логически выводится из некоторых данных утверждений. Чтобы доказать какую-либо теорему, следует свести ее к аксиомам или ранее доказанным теоремам.

Полная индукция также может служить примером дедуктивного доказательства. Чтобы убедиться в этом, достаточно обратить внимание на характерное для полной индукции умозаключение.

Дедуктивный метод является основным в школе, особенно в старших классах.

Сущность метода целесообразных задач сводится к тому, что, что для понимания изучаемого материала учащимся предлагают подготовительные задачи. Они могут подготавливать учащихся к пониманию нового определения, к «открытию» теоремы, к пониманию ее доказательства, к самостоятельному решению задачи. Иногда с помощью целесообразно подобранных задач можно изложить всю тему.

Условие применения метода целесообразных задач: при изложении новой темы с использованием метода целесообразных задач необходимо подбирать минимальное количество подготовительных задач, причем одна и та же задача может быть рассмотрена несколько раз, помогая оттенить некоторые отдельные детали темы Болтинский В.Г., Груденов Я.И. Как учить поиску решения задач. / Математика в школе. - 1998. - №1. .

В основе метода целесообразных задач лежит неполная индукция. В тех случаях, когда необходимо подготовить учащихся к пониманию доказательства теоремы, чаще всего выступает другой научный метод - дедуктивный.

В свою очередь метод целесообразных задач является разновидностью более общего метода обучения - эвристического.

Эвристическим называется метод, при котором педагог вместо изложения учебного материала в готовом виде подводит учащихся к «первооткрытию» теорем, их доказательств, к самостоятельному формулированию определений, к составлению задач. На уроках математики, кроме метода целесообразных задач, как разновидности эвристического метода, получили распространение и другие разновидности этого метода. Поэтому целесообразно будет выделить следующие виды эвристического метода:

Ё метод целесообразных задач;

Ё эвристическая беседа, при которой учащиеся подводятся к определенному выводу с помощью системы вопросов;

Ё постановка и решение (или только решение) проблемы;

Ё обобщение способов решения задач и составление рекомендаций для поиска решения подобных задач Эвристический метод. / Под ред. Коновалова А.И. - М.: ВЛАДОС, 2004..

Эвристический метод позволяет активизировать мыслительную деятельность учащихся, повысить их интерес и в соответствии с целым рядом закономерностей может приводить к хорошему усвоению материала, к развитию мышления и способностей учащихся. Но в то же время эвристическому методу присущи следующие недостатки:

Ё он требует большей, чем при сообщении готовых знаний, затраты времени;

Ё при этом методе особенно сильно сказываются индивидуальные различия учащихся: многие не успевают решать поставленных проблем, отвечать на вопросы учителя;

Ё активное участие в решении проблемы или эвристической беседе принимают лишь отдельные учащиеся, остальные - пассивны, это объясняется тем, что внимание некоторых учеников ослабляется при поиске решения задачи, проблемы.

Психологами установлено, что учащиеся, однажды занявшие второстепенные роли при решении проблемы, в дальнейшем не могут самостоятельно изменить своего учебного положения в группе.

Можно сказать, что эвристический метод обладает и достоинствами, и недостатками. Поэтому явно не оправдано чрезмерное увлечение, например, проблемным обучением, которое наблюдается в последние годы в психолого-педагогической литературе.

Эвристический метод следует использовать в разумной мере, нейтрализуя его недостатки с помощью различных приемов.

3. Разработка факультативных занятий по математике с использованием различных приемов