Применение программы "Цифровые образовательные ресурсы" (ЦОР) в общеобразовательной школе

Электронное издание «Живая геометрия» - это обучающая и развивающая среда, используемая для различных геометрических построений и экспериментов. Она представляет возможность работы с учащимися различных уровней подготовки. Программа позволяет создавать красочные, легко варьируемые и редактируемые чертежи, осуществлять операции над ними, а также производить все необходимые измерения. В ней содержится систематизированный набор компьютерных чертежей (около 1000), иллюстрирующих практически все теоретические материалы и задачи учебника. Главной особенностью чертежей, выполняемых с помощью этой программы, является их динамичность. Чертеж как файл существует вместе со своими возможными деформациями. Свойство варьируемости позволяет свободно перемещать по экрану с помощью мыши исходные элементы, причем все отношения сохраняются, и эстетическая привлекательность чертежей, их управляемость и редактируемость создают предпосылки для осуществления геометрического эксперимента. При определенных методических подходах программа позволяет учащемуся выявить закономерности в наблюдаемых геометрических явлениях, самостоятельно формулировать теоремы, подтверждать уже доказанные теоремы, применять их на практике. Новое качество приобретает самопроверка учащимися своих работ. Чертежи предназначены, прежде всего, для самостоятельной работы учеников. В процессе этой работы они находятся в прямом контакте с элементами чертежей (деформировать, перемещать, регулировать, вызывать имена объектов, производить измерения). Функции учителя в процессе такой работы являются в основном консультирующими и контролирующими.

Используя пакеты динамической геометрии, ученики познают строгость, красоту и мощь мира геометрии, создают фигуры и при помощи различных манипуляций исследуют их. Наглядность и четкость образов делают процесс обучения более увлекательным, позволяет привить ученику интерес к изучению предмета. 2

Программа позволяет:

- создавать в рабочее поле геометрические фигуры, построение которых строго придерживается аксиом инструментов (циркуля и линейки);

- использовать калькулятор для измерения длин, углов и площадей возможностью последующего выполнения вычислений по формулам;

- выполнять геометрические преобразования плоскости (параллельный перенос, поворот, симметрии, подобие);

- использовать координатную плоскость с прямоугольной или полярной системой координат, строить графики функций по заданной формуле.

При построениях сохраняется иерархия зависимости объектов друг от друга: изменение положения одного объекта приводит к изменению положения зависимых объектов.

Краткое руководство по работе в среде «Живая геометрия».

Описание базовых команд.

Выбор инструмента из набора (из готовальни). Щелкнуть мышкой на иконке инструмента.

Выбор инструмента из поднабора (поднаборы имеют «Указатель», «Стрелка» и «Отрезок»). Нажать кнопку мыши на иконке инструмента (при этом она окрасится в красный цвет), затем, не отпуская кнопки, сдвинуть курсор на нужную иконку из открывшегося ряда и опустить.

Выделить объект. Однократный щелчок мыши «Указателем» («Стрелкой») на объекте.

Снять выделение. Однократный щелчок мыши «Указателем» («Стрелкой») на чистом месте.

Выделить группу объектов. Выделить объекты один за другим при нажатой клавиши SHIFT.

Применит команду меню. Выделить те (и только те!) объекты, для которых команда определена (о них можно узнать из Справки). Щелкнуть на нужном меню, и, не отпуская кнопки мыши, сдвинуться по списку до нужной команды. Отпустить кнопку.

Как сделать надпись. Инструментом Текст выделит нужную площадь на чертеже, протащив мышь при нажатой кнопке, после чего вписать текст, меняя язык обычным образом.

Как начертить отрезок (если окружность, то тогда необходимо выбрать инструмент «Окружность»). Выбрать инструмент «Отрезок», отпустит кнопку мыши, подвести курсор к нужной позиции на чертеже, нажат кнопку мыши, и, не отпуская кнопки мыши, протащить мышь до второй нужной позиции, а затем отпустить кнопку.

Как построить круг (внутренность окружности). Выделить окружность и выбрать в меню «Построение» команду «Круг».

Как покрасить объект. Выделит и выбрать цвет в меню «Вид».

Как измерить расстояние (угол - выделить три точки). Выделить две точки между которыми оно измеряется, и выбрать команду «Расстояние» в меню «Измерение».

Как перенести объект на заданный точками вектор. Выделить две точки вектора, на который переносится объект, отметить его в меню «Преобразование», затем выделить объект и выполнить команду «Перенести».

Панель инструментов (готовальня) содержит инструменты для построения и измерения геометрических объектов, вывода и редактирования имен и надписей, получения информации об объектах.Точка. Создает точки. Циркуль. Создает окружности. Линейка. Создает отрезки, лучи и прямые. Буква. Включает текстовый режим. Последняя кнопка дает замечательную возможность создавать новые инструменты самим пользователем.

Первая кнопка «Выделитель» (): позволяет выделить объектов не только выделяют их на плоскости чертежа, но и преобразуют выделенные объекты (доступны сдвиг, поворот и растяжение).

«Точка» (): позволяет создать точку, «Начертить точку»

«Циркуль» (): позволяет создать окружность

«Линейка» (): позволяет создавать отрезки, лучи и прямые

«Текст» () «Напечатать на экране текст и имя»

Команды главного меню. Файл содержит команды для открытия, закрытия, сохранения и распечатки документов (чертежей и сценариев). Ред. (Редактор) Содержит команды для выделения объектов и редактирования чертежей и сценариев. Вид содержит команды для изменения вида чертежа и установки параметров изображения. Построение содержит команды для построения геометрических фигур на чертеже. Преобразование содержит команды для сдвига, поворота, (Преобразование) растяжения и отражения геометрических фигур, изображенных на чертеже. Измерение содержит команды для вывода числовых характеристик объектов и проведения вычислений.

Графики - команды работы с системой координат (полярной или декартовой).Работа содержит команду автоматического создания сценария и имена открытых чертежей и сценариев. Документ, имя которого выбрано, становится активным и оказывается сверху. Если при выборе имени сценария в меню нажать клавишу, то сценарий начнет выполняться. Дополнительное окно: Окно Сценария содержит дополнительно управляющие кнопки, похожие на те, что имеются в магнитофоне. Эти кнопки предназначены для записи и воспроизведения последовательности шагов при создании геометрических фигур в активном чертеже. ШАГ воспроизводит сценарий по шагам. ПУСК воспроизводит сценарий и выводит комментарии. БЫСТ (БЫСТРО) воспроизводит сценарий быстро, без вывода комментариев. ЗАП (ЗАПИСЬ) записывает в сценарий шаги построения в активном чертеже. СТОП останавливает запись или воспроизведение сценария. Кнопки тускнеют, когда соответствующая функция недоступна. Если, например, в сценарии ничего не записано, то кнопки воспроизведения сценария недоступны. Сценарии детально описаны в главе "Сценарии".

Доступ к инструментам.

CTRL - временно представляет любой инструмент Инструмент Выделитель.

TAB - временно превращает любой инструмент Инструмент Текст.

Стрелки вверх-вниз - движение по готовальне (панели инструментов).

Стрелки вправо - влево - движение по готовальне (панели инструментов), причем и по горизонтальным циклам.

F4 - Инструмент Выделитель.

F5- Инструмент Точка.

F6- Инструмент Циркуль.

F7 - Набор Линейка.

F8 - Инструмент Текст.

F9- Инструмент Информатор.

Часто используемые клавиатурные сокращения.

CTRL+A - выделить все объекты на чертеже.

CTRL+C - скопировать выделенные объекты в буфер.

CTRL+V - вставить выделенные объекты в буфера.

CTRL+X - скопировать выделенные объекты в буфер и удалить их из чертежа.

CTRL+H - спрятать выделенные объекты.

CTRL+L - построит отрезок (или луч, или прямую) по двум выделенным точкам.

CTRL+P - построить многоугольник по выделенным точкам как вершинам.

CTRL+I - построить точку на пересечении выделенных отрезков (лучей, прямых).

2.1 Возможности компьютерной среды «Живая геометрия»

Традиционный подход к преподаванию геометрии приводит к малой популярности этого предмета, особенно среди учащихся, далёких от математики. Наиболее очевидная причина этого заключается в том, что формулировки и доказательства теорем заучиваются, но не проверяются. Такой стиль обучения нацелен на развитие некритического, нетворческого мышления и естественно отторгается современными школьниками. Для активизации учебного процесса, повышения интереса к предмету, наглядности на уроке, я применяю компьютерную программу "Живая геометрия". Использование данной программы позволяет сделать процесс обучения интересным и наглядным, развивает творческую деятельность учащихся, их абстрактное и логическое мышление.

Программа «Живая математика» представляет собой уникальный продукт, позволяющий строить современный компьютерный чертеж, который выглядит как традиционный, однако, представляет собой качественно совершенно новое явление. Чёртёж, построенный на бумаге с помощью карандаша и линейки, имеет важнейшее значение, но обладает двумя недостатками: требует затрат времени и конечный продукт оказывается статичным. Программа «Живая геометрия» позволяет значительно экономить время, но самое главное: чертёж, построенный с помощью программы, можно тиражировать, деформировать, перемещать и видоизменять. Элементы чертежа легко измерить компьютерными средствами, а результаты этих измерений допускают дальнейшую компьютерную обработку. Возможны также многократные обмены чертежами с учителем, хранение нескольких вариантов одного и того же чертежа и т. п. Появляется возможность добиваться от учащихся точных и грамотных письменных формулировок (по крайней мере, констатирующих то, что они видят); их можно переделывать столько раз, сколько требуется.

«Живая геометрия» позволяет получать на плоскости такие чертежи, в которых сохраняется иерархия зависимости объектов друг от друга, поэтому изменения положения одних объектов приводит к изменению положения зависимых. «Потянув» мышкой за ту из точек, которая появилась на этапе построения чертежа в результате ее свободного выбора (например, как произвольная точка луча, отрезка и т.д.), можно наблюдать анимационное изменение всех тех элементов чертежа, построение которых зависело от перемещаемой точки. При этой процедуре не изменяются установленные ранее отношения между объектами чертежа (простое отношении точек, параллельность и т.д.).

Особое очарование среде придает возможность «спрятать», особо подчеркнем, не удалить, а именно спрятать, любые фрагменты чертежа, чаще всего вспомогательные, т.е. их невидимыми для пользователя (в течение любого промежутка времени).

Чтобы обратить внимание обучаемого на тот или иной фрагмент чертежа, не применяя для этого утомительное перечисление соответствующих букв с индексами и штрихами, можно в течение нескольких секунд окрасить этот фрагмент любым цветом, не заслоняя при этом построенные ранее линии, точки и их обозначения, выделить любым цветом любую линию, учитывая это обстоятельство, программу можно было бы назвать «Живая цветная геометрия».

Кроме этого, имеется возможность измерять длины отрезов, величины углов и многое другое; выполнять действия над величинами. Именно эти возможности, заложенные в ЦОР «Живая геометрия», дают возможность строить на плоскости геометрические модели, проводить математические исследования, превращают компьютер с этим программным средством в мини-лабораторию, которая так необходима учителям и учащимся Р.В. Майер. Решение треугольников с параметрами. Компьютерное сопровождение: учебное пособие. Красноярск: КГПУ, 1995.- 72 с.

При работе со средой «Живая геометрия» каждая обсуждаемая фигура изображается на экране монитора. При решении задач учащиеся могут выполнять задание на чертеже, приложенном к программе, а могут создавать собственные чертежи и сверять свои построения с образцом. Если же работа происходит в классе, оснащенном только одним компьютером и проектором, ученикам можно предложить выполнить решение в тетради, пользуясь при этом указаниями и подсказками, данными в задачах, и сверить свои построения с образцом.

Учителю математики, приступающему к работе с данной средой, достаточно владеть компьютером на уровне начинающего пользователя. Учащиеся могут установить программу на домашний компьютер и работать с ней индивидуально во внеурочное время. Из 6 учащихся 7 класса, в котором я работала, программа была установлена у 2 учащихся. Для того чтобы учащиеся получили первоначальные навыки работы в программе, достаточно 2-3 занятий. Я проводила занятия после уроков в компьютерном классе. Причём, если на первом занятии присутствовало 4 учащихся только из 7 класса, то на втором и третьем уже 11, то есть пришли еще учащиеся этого класса и учащиеся 5 и 6 классов. Учащиеся, присутствующие на первом занятии, стали активными помощниками на тех уроках геометрии, когда использовалась программа. Это спровоцировало «цепную реакцию»: на следующие занятия пришли даже те учащиеся, у которых дома компьютера нет.

Сама среда не является обучающей и "сама ничего не делает", она лишь предоставляет для этого необходимые средства, так же как и возможности для усовершенствования чертежей и их исследования.

При помощи программы УМК «Живая математика» можно:

Ш Объяснять сложные темы и изучать теоремы. Учебники геометрии содержат многочисленные определения, теоремы, которые бывает нелегко понять или воспроизвести. При помощи «Живой Математики» удобно создавать конструкции, моделирующие условия теорем, и экспериментировать с ними. Альбом «Теоремы и задачи школьного курса» составлен в соответствии с учебниками Атанасяна Л.С. «Геометрия. 7-9 кл.».

Ш Оживлять рисунки из учебника. Получив определенный навык работы в «Живой Математике», нетрудно понять, что проще и быстрее воспроизвести рисунок из учебника на компьютере, чем рисовать его на бумаге. Одному из учеников каждый урок дается задание подготовить чертежи ко всем задачам домашней работы. При этом оценивается динамичность (существование чертежа со всеми своими возможными деформациями) и соответствие чертежа условиям задачи. В качестве дополнительного необязательного задания учащиеся могут подобрать задачи по изучаемой теме из дополнительных источников, подготовить чертежи. Таким образом, каждый учащийся может создать свой собственный электронный учебник.

Ш Решать экспериментальные задачи. Задачи этого типа отличаются от задач на доказательство тем, что утверждение надо не только доказать, но и сформулировать. Экспериментируя с чертежом, учащийся формулирует гипотезы. После этого задача превращается в задачу на доказательство сформулированной гипотезы.

Ш Применять программу в других разделах математики. Легко убедиться, что «Живая Математика» -- незаменимый инструмент для изучения не только геометрии, но и вообще всех математических курсов, например, алгебры (тема «Функции и графики»).

Ш Использовать во внеклассной работе по предмету.

Работать с программой можно:

· через проектор и рабочий компьютер преподавателя;

· в компьютерном классе, когда каждый учащийся работает индивидуально;

· индивидуально дома.

По мере приобретения навыков работы с программой деятельность учащегося развивается по таким направлениям, как

· анализ

· построение

· доказательство

· исследование

· решение задач

· а также, решение головоломок

· и даже рисование

Разумное использование программы дает несомненные преимущества по сравнению с традиционным стилем преподавания геометрии.

· Достаточным (хотя далеко не исчерпывающим) основанием для его активного внедрения в наши классы является естественная и мощная техника построения ЧЕРТЕЖЕЙ - аккуратных, грамотно описываемых и легко редактируемых.

· Простая техника ИЗМЕРЕНИЙ элементов геометрических фигур, с которыми работает учащийся, позволяет усваивать метрические соотношения не догматически, а экспериментально - в том числе учащимся с затрудненным восприятием геометрии.

· Высокий эстетический уровень оформления программы делает изучение геометрии привлекательным и открывает возможности таких ее нетрадиционных приложений, как построение узоров, дизайн и т.п..

· Сервисные модули программы позволяют учащимся хранить и грамотно каталогизировать наиболее удачные построения - вплоть до создания мини-монографий.

Для проведения уроков геометрии на высоком уровне с использованием информационных технологий необходима четкая организация проведения каждого этапа урока. Четкой организации проведения урока можно добиться при использовании алгоритмов построения геометрических объектов.

При использовании компьютерных технологий прослеживаются все этапы урока (на примере урока геометрии):

1) проверка знаний (тест, устный опрос);

2) объяснение новой темы - традиционно с использованием чертежных инструментов;

3) объяснение новой темы на компьютере с помощью проецирующего устройства;

4) закрепление материала - выполнение учащимися разноуровневых заданий на компьютере.

С помощью "Живой Математики" можно действительно улучшить преподавание геометрии. Кроме того, через подобные уроки дети естественным способом знакомятся с новыми информационными технологиями, компьютер используется для поддержки процесса обучения, в ходе которого, в свою очередь, стимулируется освоение компьютера.

Ниже кратко перечисляются наблюдения, на которых это мнение основано.

Эмоциональная сфера. Дети (даже не очень интересующиеся математикой) увлечены работой, не отвлекаются, охотно и радостно делятся друг с другом своими достижениями, не хотят идти на перемену, выражают нетерпение по поводу возможности продолжить работу. Естественно развивается стремление к красивому и ясному оформлению чертежа, к кратким и выразительным надписям; возникает чувство авторства, ценности своих чертежей и т.д.

Качество геометрического воображения. Выученные формулировки теорем связываются с геометрическими образами, факты планиметрии запоминаются правильно, развивается умение рассматривать частные случаи.

Критическое восприятие геометрических утверждений, ответственность, готовность признать и исправить ошибки. Формулировки из заучиваемых и механически воспроизводимых фраз превращаются в экспериментально проверяемые утверждения, и учащиеся с готовностью и удовольствием составляют собственные суждения об их истинности.

Динамическое мышление. Каждая геометрическая фигура воспринимается вместе с её возможными вариациями. Учащиеся начинают "мыслить конфигурациями", у них развивается чувство степеней свободы, размерности и т.п.

Таким образом, одно из главных достоинств "Живой геометрии" - возможность непрерывно менять объекты, что создает предпосылки для развития компьютерного эксперимента. Использование компьютерного продукта влечет за собой повышение качества преподавания, так как программа позволяет усваивать метрические соотношения экспериментально - в том числе и учащимся с затрудненным восприятием геометрии. Какой же восторг испытывают учащиеся, когда приходят к желаемому результату. Значит, один из важнейших критериев заключается в эмоциональной сфере. Можно утверждать, что применение программы уже что-то дало учащемуся, если он издает довольные звуки (вопреки правилам поведения на уроке), гордо показывает свои творения одноклассникам. К тому же факты, открытые учащимися самостоятельно, усваиваются ими лучше, чем преподнесенные учителем в готовом виде.

И, подводя итог, еще раз хочется отметить, что благодаря возможностям программы "Живая Математика", мы уверено можем сопровождать стандартный материал и выходить за пределы школьной программы, иллюстрировать уже известные факты геометрии и предполагать открытие новых, проводить эксперименты и развивать навыки проведения доказательных рассуждений.

2.2 Использование среды при изучении нового материала

Программа "Живая Геометрия" -- эффективное средство для широкого спектра пользователей от -- учеников от 5-го класса до студентов вуза. Хотя в основном она рассчитана на поддержку школьного курса геометрии.

"Живая Геометрия" позволяет заинтересованному предметом учащемуся проверить выполнение подмеченных закономерностей. С помощью программы можно также найти примеры, ручной поиск которых занял бы много времени или же просто невозможен. На экранах компьютеров можно увидеть точно вычерченные чертежи и графики, ручное построение которых немыслимо; построить привлекательные фракталы, заставить вращаться идеально правильные многогранники и т. п.

Возможности работы с программой "Живая Геометрия" весьма разнообразны.

Буквально в каждую значительную тему Живая Геометрия привносит новое методическое измерение. Живая Геометрия -- прежде всего инструмент динамического построения. С этим связана и возможность исследования. Живая Геометрия теперь позволяет ученикам изучать -- а точнее, понимать геометрию такими средствами, которые просто не возможны с помощью традиционных инструментов. При этом под традиционными понимаются и обычные компьютерные средства изучения геометрии. [10] 10. Никифорова М. А. Преподавание математики и новые информационные технологии. // Математика в школе, 2005, № 7.

Сердцем программы является реализация идеи "Оживления чертежа".

С помощью Sketchpad учащиеся могут создать объект, а затем изучить его математические свойства, просто перемещая объект мышью. Все математические отношения, заложенные при построении, сохраняются, позволяя ученикам изучить целый комплекс аналогичных случаев за несколько секунд. Такой стиль работы, как давно заметили психологи, подводит их к обобщениям самым естественным путем. Sketchpad помогает процессу открытия, при котором студенты сначала представляют себе и анализирует проблему, и затем делают предположения, прежде, чем попытаются доказать. Живая Геометрия расширяет и углубляет изучение математики. [11] 11. Полат Е.С. Новые педагогические и информационные технологии в системе образования. - М: Омега-Л, 2004. - 215 с.

Рассмотрим, как возможно использовать программу «Живая геометрия» при объяснении нового материала, на примере темы «Неравенство треугольника».

Цель урока: развитие математической компетенции в области «Неравенство треугольника».

Задачи:

1. Образовательные - актуализировать субъективный опыт учащихся (опорные знания и способы действий, комплекс знаний), необходимый для изучения нового материала; организовать деятельность учащихся по восприятию, осмыслению и первичному закреплению знаний и способов действий.

2. Развивающие - развивать умения учащихся применять знания на практике, способствовать развитию логического мышления, воли и самостоятельности, умения работать в парах.

3. Воспитательные - создавать условия для воспитания интереса к изучаемой теме, воспитание мотивов учения, положительного отношения к знаниям, воспитания дисциплинированности, обеспечивать условия успешной работы в коллективе.

Тип урока: Урок усвоения новых знаний.

Оборудование. Компьютер, мультимедиа проектор, дидактический материал.

Методы обучения: беседа, фронтальный опрос, самостоятельная работа.

Средства обучения: доска, учебник.

Форма обучения: коллективная, индивидуальная.

Форма учебного занятия: классно-урочная.

Структура учебного занятия:

1. Организационный этап.

2. Постановка целей и задач урока, мотивация учебной деятельности обучающихся.

3. Актуализация опорных знаний и способов действий.

4. Первичное усвоение новых знаний.

5. Первичная проверка понимания нового материала с использованием программы «Живая геометрия».

6. Первичное закрепление изученного материала.

7. Проверка усвоения нового материала (в форме теста)

8. Информация о домашнем задании и инструктаж по его выполнению.

9. Рефлексия (подведение итогов занятия).

Ход учебного занятия

1. Организационный этап

Проверяется готовность учащихся к уроку

2. Постановка целей и задач урока, мотивация учебной деятельности обучающихся.

Сообщается учащимся, что мы сегодня продолжим работу по изучению свойств треугольника.

3. Актуализация опорных знаний и способов действий.

Задача 1

В треугольнике СDЕ проведена биссектриса ЕF, С = 90⁰, D = 30⁰.

а) Докажите, что ? DEF равнобедренный.

б) Сравните отрезки СF и DF.

D Вопросы учащимся:

1) В каком случае треугольник будет равнобедренным? (если у него две стороны равны или два угла равны)

F 2) Проанализировав условие задачи, чем можно воспользоваться: определением или признаком С E равнобедренного треугольника?

3) Каким свойством обладает биссектриса треугольника?

4) Что мы знаем об углах прямоугольного треугольника? (сумма острых углов равна 90⁰)

а) 1. Е = 90⁰ - 30⁰ = 60⁰.

2. DEF = CEF = 60⁰:2 = 30⁰.

3. Так как FDE = DEF, то ? DEF равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника).

б) Так как DF = FE, то достаточно сравнить отрезки CF и FE. FCE = 90⁰. В ?CFE FCE > CEF, значит, FE > CF, то есть DF > CF.

4. Первичное усвоение новых знаний.

Задача: с использованием дидактического материала (кусочки проволоки разной длины) построить треугольник АВС такой, чтобы:

а) АВ = 4 см, ВС = 5 см, АС = 6 см;

б) АВ = 5 см, ВС = 3 см, АС = 2 см;

в) АВ = 8 см, ВС = 4 см, АС = 3 см.

Учащиеся выполняют задания по рядам. Дается время на выполнение, затем по одному учащемуся от каждого ряда выходят к доске и объясняют решение. В ходе решения и обсуждения задач учащиеся приходят к выводу, что не всегда можно построить треугольник по трем отрезкам.

Возникает проблемная ситуация: как определить, не выполняя построения, существует ли треугольник с данными сторонами? Предлагается учащимся сравнить каждую сторону треугольника с суммой двух других сторон.

а) АВ < ВС + АС; ВС < АВ + АС; АС < АВ + ВС.

б) АВ = ВС + АС; ВС < АВ + АС; АС < АВ + ВС.

в) АВ > ВС + АС; ВС < АВ + АС; АС < АВ + ВС.

А теперь сделайте предположение, когда же треугольник с данными сторонами существует? Нарисовать произвольный треугольник в среде «Живая геометрия» и подтвердить гипотезу (если каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон). Это утверждение называется неравенством треугольника. Итак, тема нашего урока «Неравенство треугольника» (учащиеся записывают в тетрадь). Но это только предположение. Что же мы должны сделать? (доказать неравенство треугольника).

Теорема (неравенство треугольника) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Что нам известно по условию теоремы? (нам дан треугольник) Учащиеся строят треугольник и обозначают его.

К Дано: ? МЕК

Доказать: МК < МЕ + ЕК

Доказательство



Предлагается учащимся самостоятельно доказать теорему по учебнику (обозначения треугольников разные).

1. На продолжении МЕ отложим отрезок ЕО, ЕО = КЕ.

2. Так как ? КЕО - равнобедренный, то 1 = 2.

3. МКО: МКО > 1, значит, МКО > 2.

4. МО > МК (в треугольнике против большего угла лежит большая сторона), то есть МК < МО.

5. МО = МЕ + ЕО = МЕ + ЕК, значит, МК < МЕ + ЕК.

Вопрос учащимся: какую теорию мы применяли при доказательстве неравенства треугольника? (определение равнобедренного треугольника, свойство углов равнобедренного треугольника, теорему о соотношениях между сторонами и углами треугольника).

Следствие. Для любых трех точек А,В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства:

АВ<AC+CB, AC<AB+BC, BC<AB+AC

Вопрос учащимся: А что будет, если три точки лежат на одной прямой? (тогда выполняется одно из трех равенств: АВ = АС + СВ или АС = АВ + ВС или ВС = АВ + АС)

5. Первичная проверка понимания нового материала с использованием программы живая геометрия. Решение задачи по готовому чертежу

М Доказать: АК + КЕ > МК



6. Первичное закрепление изученного материала.

№ 250 (а)

Найдите сторону равнобедренного треугольника, если две другие стороны равны: а) 7 см и 3 см.

Наводящие вопросы:

1. Знаем ли мы длину основания равнобедренного треугольника? Длину боковой стороны треугольника?

2. Может ли длина боковой стороны быть равна 7 см? 3см?

- пусть длина боковой стороны треугольника равна 7 см, тогда стороны треугольника равны 7 см, 7 см, 3 см. 7 < 7 + 3; 3 < 7 + 7. Неравенство треугольника выполняется, значит, треугольник с такими сторонами существует. Третья сторона треугольника равна 7 см.

- пусть длина боковой стороны равна 3 см, тогда стороны треугольника равны 3 см, 3 см, 7 см. 7 < 3 + 3. Неравенство треугольника не выполняется. Такого треугольника не существует.

Ответ: 7 см.

7. Проверка усвоения нового материала (в форме теста)

Вариант 1

1. Существует ли треугольник со сторонами 7 см, 8 см, 10 см?

1. Такой треугольник существует.

2. Такой треугольник не существует.

3. Затрудняюсь ответить.

2. Существует ли треугольник со сторонами 5 см, 3 дм, 4 см?

1. Такой треугольник существует.

2. Такой треугольник не существует.

3. Затрудняюсь ответить.

3. Определите вид треугольника, если одна его сторона равна 5 см, другая - 3 см, а периметр равен 14 см.

1. Равнобедренный.

2. Разносторонний.

3. Такой треугольник не существует.

4. Длины двух сторон равнобедренного треугольника равны 3 и 5. Найдите все возможные значения периметра этого треугольника.

1. 11

2. 11 или 13

3. 13.

5. Длины двух сторон треугольника равны 5 и 11. Сколько различных целых значений может принимать длина третьей стороны этого треугольника?

1. 16.

2. 6.

3. 9.

Вариант 2

1. Существует ли треугольник со сторонами 4 см, 11 см, 5 см?

1. Такой треугольник существует.

2. Такой треугольник не существует.

3. Затрудняюсь ответить.

2. Существует ли треугольник со сторонами 6 см, 1 дм, 7 см?

1. Такой треугольник существует.

2. Такой треугольник не существует.

3. Затрудняюсь ответить.

3. Определите вид треугольника, если одна его сторона равна 5 см, другая - 3 см, а периметр равен 17 см.

1. Равнобедренный.

2. Разносторонний.

3. Такой треугольник не существует.

4. Длины двух сторон равнобедренного треугольника равны 2 и 7. Найдите все возможные значения периметра этого треугольника.

1. 11.

2. 16.

3. 11 или 16.

5. Длины двух сторон треугольника равны 4 и 15. Сколько различных целых значений может принимать длина третьей стороны этого треугольника?

1. 7.

2. 19.

3. 11.

Ответы:

Вариант 1 Вариант 2

Номер задания	1	2	3	4	5	Номер задания	1	2	3	4	5
Вариант ответа	1	2	2	2	3	Вариант ответа	2	2	3	2	1

8. Информация о домашнем задании и инструктаж по его выполнении.

п. 33 в. 9 №250 (б), № 251 (по учебнику), №252

Дополнительные задачи

Задача 1. В треугольнике АВС А = 40⁰, В = 70⁰. Из вершины С вне треугольника проведен луч СD так, что угол ВСD равен 109⁰59'. Может ли выполняться равенство АD = АС + СD?



Решение

1. Если данное равенство верно, то точки А, С, D лежат на одной прямой (иначе не выполнялось бы неравенство треугольника).

2. Если точки лежат на одной прямой, то АСВ + ВСD = 180⁰.

3. АСВ = 180⁰ - (40⁰ + 70⁰) = 70⁰.

4. АСВ + ВСD = 70⁰ + 109⁰59' = 179⁰59' ? 180⁰.

Ответ: нет.

Задача 2. Докажите, что в произвольном четырехугольнике ABCD

AB + CD < AC + BD.

Рис. 2

Решение

Пусть O - точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD (рис. 2). По неравенству треугольника:

AO + OB > AB;

CO + OD > CD.

Рассмотрим сумму AC + BD:

AC + BD = (AO + OC) + (BO + OD) =

= (AO + BO) + (OC + OD) > AB + CD.

Задача 3: a, b, c - стороны треугольника. a = 3,17, b = 0,75, c - целое число. Найти c.

Задача 4: Доказать, что в четырехугольнике диагональ меньше половины периметра.

9. Рефлексия (подведение итогов занятия).

· На уроке я работал активно / пассивно

· Своей работой на уроке я доволен / не доволен

· Урок для меня показался коротким / длинным

· За урок я не устал / устал

· Мое настроение стало лучше / стало хуже

· Материал урока мне был полезен / бесполезен

интересен / скучен

· Домашнее задание мне кажется легким / трудным

интересно / не интересно

Экспериментальная работа по теме: Неравенство треугольника (урок 1-2).

Задача урока: экспериментально установить при каких соотношениях между сторонами треугольника возможно треугольник построить.

Организационная форма урока - бригадная.

На I этапе урока учащиеся разбиваются на бригады по 3 человека и готовят свои предложения.

В программе «Живая геометрия» учащиеся строят треугольник и, двигая вершины, убеждаются, что в каких-то случаях треугольник превращается в отрезок, а в каких-то - не удается получить ни отрезок ни треугольник, мы имеем незамкнутую ломаную с 4 вершинами. Действия с треугольником проецируются на экран.



Для выяснения условий, при которых отрезки образуют треугольник, измеряют длины его сторон, находят их сумму и разность.

После выдвижения гипотез намечается план работы по их обоснованию. Ставится вопрос, являются ли неравенства треугольника необходимыми и достаточными условиями.

Часть бригад работает на необходимым условием, а часть - над достаточным, используя методы индуктивной логики: метод единственного сходства и единственного различия.

Формулируем задачу в терминах «если,… то…»:

1. Достаточные условия:

а) Если существует треугольник, то выполняется неравенство треугольника

б) Если три точки лежат на прямой, то выполняются равенства.

2.Необходимые условия.

а) Если длины отрезков удовлетворяют неравенству, то из них можно составить треугольник.

б)Если длины отрезков при сложении или вычитании дают длину третьего отрезка, то точки лежат на одной прямой.

Учащиеся заполняют таблицу, которая проецируется на экран

Таблица и чертеж для 1(а)

Если треугольник существует

АВ	АС	ВС	АВ+АС		АВ+ВС		АС+ВС		\АВ-АС\		\АВ-ВС\		\АС-ВС\
1,88	5,02	6,75	11,77	>ВС	8,63	>АС	6,9	>АВ	1,76	<ВС	4,83	<АС	3,13	<АВ
1,81	7,09	8,82	15,91	>ВС	10,62	>АС	8,9	>АВ	1,7	<ВС	7,01	<АС	5,29	<АВ

Если треугольник не существует

АС	FА	СG	CG+FА		АC+СG		АС+FA		\АF-СG\		\АC-СG\		\АС-FA\
3,92	1,07	1,03	2,93	<AС	4,96	>FА	5,62	>CG	0,67	<AС	2,89	>FА	2,22	>CG
4,65	1,7	2,09	3,79	<AС	6,74	>FА	6,35	>CG	0,39	<AС	2,55	>FА	2,95	>CG

В конце урока подводятся итоги, указывается, что неравенство треугольника является аксиомой, то есть не нуждается в доказательстве.

Задачи:

а)можно ли составить треугольник?

б)лежат ли точки на одной прямой?

в)существуют ли точки ?

г)как расположены точки?

д)принадлежит ли точка отрезку?

Практика показывает, что работа на уроках геометрии со средой «Живая геометрия» положительно отражается на усвоении учебного материала как «сильными» учащимися, которые достаточно быстро выходят на творческий уровень освоения предмета, так и «слабыми» учениками, которые лучше усваивают факты, «открытые самостоятельно», практически.

2.3 Использование среды в процессе формирования знаний и умений

Некоторые разделы геометрии закрепляются посредством тестов на ПК, которые разработали сами учащиеся. Для этого используется пакет прикладных программ Microsoft Office и УМК Живая математика - это компьютерная система моделирования, исследования и анализа широкого круга задач математики.

Рассмотрим более подробно, как использовать программу «Живая геометрия» на уроках обобщения и систематизации изученного материала.

Пример практической работы №1.

Тема: “Треугольник. Начальные сведения”.

Цель: “Систематизировать знания учащихся о различных видах и простейших свойствах треугольников. Измерение углов и сторон треугольника”.

Ход работы:

Первая часть:

1. Запустить программу «Живая Геометрия».

2. Построить точки А, В, С вершины треугольника (произвольно) с помощью инструмента ТОЧКА;3. Построить стороны треугольника, выделяя попарно соседние вершины (использовать клавишу Shift) и выбирая команду ОТРЕЗОК в меню ПОСТРОЕНИЕ;4. «Измерение» выбрать команду «Угол» - на листе появится значение угла ABC, аналогично и для углов ACB и BAC.

5. «Измерение» выбрать команду «Вычислить» (появится калькулятор) и найти сумму всех углов треугольника.

6. Треугольник изменится и на листе автоматически появятся значения углов нового треугольника, необходимо обратить внимании на значение суммы всех углов треугольника. Сделать вывод. Что сумма треугольника ABC…

Вторая часть: на этом же чертеже

1. AB - выбрать инструмент «Сдвиг» и щелкнуть левой кнопкой мыши на отрезке AB. В меню «Измерение» выбрать команду «Длина» - на листе появится значение длины стороны AB, AC и BC.

2. «Измерение» выбрать команду «Вычислить» (появится калькулятор) и найти периметр треугольника.

3. Убедиться, что против большего угла треугольника лежит большая сторона.

4. Выбрать инструмент «Сдвиг», навести курсор на одну из вершин и, нажав левую кнопку мыши, передвинуть вершину. Треугольник изменится и на листе автоматически появятся значения углов и длин сторон нового треугольника.

5. Убедиться, что против большего угла треугольника вновь лежит большая сторона. Сделать обобщающий вывод.

Пример практической работы №2.

Тема: “Замечательные точки треугольника”.

Цель урока: ”Дать наглядное представление о свойствах медиан, биссектрис, высот и серединных перпендикуляров треугольника и способах построения замечательных точек треугольника”.

Ход работы: Точка пересечения медиан треугольника.

1. Запустить программу «Живая Геометрия».

2. Построить точки А, В, С вершины треугольника (произвольно) с помощью инструмента ТОЧКА;3. Построить стороны треугольника, выделяя попарно соседние вершины (использовать клавишу Shift) и выбирая команду ОТРЕЗОК в меню ПОСТРОЕНИЕ;4. AB - выбрать инструмент «Сдвиг» и щелкнуть левой кнопкой мыши на отрезке AB.

5. «Построение» выбрать команду «Точка посредине». Обозначить вновь полученную точку буквой D (см. п. 2).

6. D и C - выбрать инструмент «Точка», нажать клавишу «Shift», навести курсор на точку и щелкнуть левой кнопкой мыши.

7. «Построение» выбрать команду «Отрезок» и построить медиану CD.

8. AC и BC построить медианы, выходящие из вершин A и B. Убедиться, что все три медианы пересекаются в одной точке.

9. На основании вариаций чертежа сделать вывод. (Треугольник изменится, но все три медианы вновь будут пересекаться в одной точке).

Точка пересечения биссектрис треугольника.

1. В меню «Файл» выбрать команду «Новый чертеж».

2. A,B,C вершины треугольника - навести курсор на вершину и щелкнуть левой кнопкой мыши.

3. A,B,C - выбрать инструмент «Точка», нажать клавишу «Shift», навести курсор на вершину и щелкнуть

4. Левой кнопкой мыши «Построение» выбрать команду «Биссектриса угла» и построить биссектрису угла ABC, ACB и BCA.

5. Убедиться, что все три биссектрисы пересекаются в одной точке, при этом левую кнопку мыши, передвинуть вершину. Треугольник изменится, но все три биссектрисы вновь будут пересекаться в одной точке.

Точка пересечения высот треугольника.

1. В меню «Файл» выбрать команду «Новый чертеж».

2. A,B,C вершины треугольника - навести курсор на вершину и щелкнуть левой кнопкой мыши.

3. AB и точку C - выбрать инструмент «Сдвиг» и щелкнуть левой кнопкой мыши на отрезке AB, нажать клавишу «Shift» и щелкнуть левой кнопкой мыши на точке C.

4. «Построение» выбрать команду «Перпендикуляр» и построить высоту, выходящую из вершины C, A и B. Убедиться, что все три высоты пересекаются в одной точке.

5.Треугольник изменится, но все три высоты вновь будут пересекаться в одной точке.

Точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника.

1. В меню «Файл» выбрать команду «Новый чертеж».

2. Выбрать инструмент «Отрезок» и построить произвольный треугольник.

3. Выбрать инструмент «Текст» и обозначить буквами A,B,C вершины треугольника - навести курсор на вершину и щелкнуть левой кнопкой мыши.

4. Отметить сторону AB - выбрать инструмент «Сдвиг» и щелкнуть левой кнопкой мыши на отрезке AB.

5. В меню «Построение» выбрать команду «Точка посредине». Обозначить вновь полученную точку буквой D (см. п. 3).

6. Отметить одновременно сторону AB и точку D - выбрать инструмент «Сдвиг» и щелкнуть левой кнопкой мыши на отрезке AB, нажать клавишу «Shift» и щелкнуть левой кнопкой мыши на точке D.

7. В меню «Построение» выбрать команду «Перпендикуляр» и построить перпендикуляр, проходящий через середину стороны AB.

8. Повторяя действия пунктов 4-7, построить серединные перпендикуляры к сторонам AC и BC. Убедиться, что все три перпендикуляра пересекаются в одной точке.

9. Выбрать инструмент «Сдвиг», навести курсор на одну из вершин и, нажав левую кнопку мыши, передвинуть вершину. Треугольник изменится, но все три перпендикуляра вновь будут пересекаться в одной точке.

Примечание: Для удобства можно все линии сделать разноцветными, что делает восприятие эффектов, возникающих при трансформации треугольников, еще более наглядным.

Заключение

Во-первых, преподавание геометрии было и остается непростым делом. Сегодня верным помощником учителя в процессе обучения не только геометрии, но и других предметов, стал компьютер. Он просто творит чудеса, используя свои огромные возможности. С ним любят общаться ребята, ему охотно доверяют трудные задачи взрослые. На сегодняшний день создано множество различных обучающих программ. К ним относится компьютерная программа «Живая геометрия».

Во- вторых, в «Живой геометрии» все геометрические фигуры «оживают», их легко и просто можно изменить, скопировать, нарисовать. Ребята, используя возможности «Живой геометрии», самостоятельно начинают подмечать закономерности, выдвигать гипотезы, делать свои первые открытия. Эта программа как среда программирования в ней надо мыслить, чтобы получить результат.

Эта программа неоценима с первых шагов при изучении геометрии. Отработка навыков обозначения геометрических объектов (угол, луч, прямая, отрезок), измерения углов, отрезков, сравнение геометрических фигур, которое можно выполнить не мысленно, как предлагают в учебнике, а фактически, используя возможности компьютера. Все эти действия просты и наглядны.

В третьих, геометрия без теорем немыслима. Но как эти «мертвые» теоремы «оживить», сделать их наглядными, запоминающимися. Все очень просто, если с учениками смоделировать теорему, только она при этом на некоторое время сменит свой ранг: станет гипотезой.

В четвертых, особое место в геометрии занимают задачи на построение, которые трудны в своем решении, построении. На уроке обычно, на такие задачи тратится много времени, качество построений у учащихся очень низкое (циркуль не слушается, срывается, карандаш тупой, линия жирная). Совсем другое дело, если такие задачи решать в «Живой геометрии». Все измерения становятся точными, построения быстрыми, и ученики заботятся лишь об алгоритме решения задачи, который затем проверяется с изменением исходных данных.

Применение цифровых образовательных ресурсов оправдано, так как позволяет активизировать деятельность учащихся, дает возможность повысить качество образования, повысить профессиональный уровень педагога, разнообразить формы общения всех участников образовательного процесса. Но необходимо создать условия для творческой и исследовательской деятельности учащихся с различным уровнем развития.

С помощью компьютерной среды учитель может ярко и наглядно излагать изучаемый материал, использовать комплект на различных этапах урока, индивидуализировать задания, используя дифференцированный подход при решении задач различного уровня сложности, и что особенно важно, «Живая геометрия» не требует большой подготовки при его использовании.

Библиографический список

1. Т.Л. Афанасьева, Л.А. Тапилина. Геометрия 7 класс. Поурочные планы

2. Геометрия, 7-9: Учебник для образовательных учреждений/Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.-13-е изд.-М.: Просвещение, 2003.-384 с.:ил.

3. Геометрия. Тематические тесты. 7 класс / Т.М. Мищенко, А.Д. Блинков.

4. Геометрия. Дидактические материалы. 7 класс / Б.Г. Зив, В.М. Мейлер.

5. Из опыта обучения геометрии в 6 классе по учебному пособию «Геометрия, 6-10» А.В. Погорелова / В.В. Пикан, Г.А. Ястрибинецки, В.М. Миллер, А.Г. Баханский - М.: Просвещение. 1983.-46 с., ил.

6. Методика преподавания математики в восьмилетней школе./под редакцией С.Е. Ляпина - М.: Просвещение. 1995.

7. Методика преподавания математики в средней школе. Частная методика./ В.И. Мишин - М.: Просвещение. 1987.

8. Методика обучения геометрии./ Под редакцией профессора В.А. Гусева - М.: Академия.2004.

9. Методика преподавания математики./ В.П. Демидов, Г.И. Саранцев. - Мордовский государственный университет имени Н.П. Огарева, 1976.- 192 ст.

10. Мищенко. Первые уроки геометрии 7 класс// приложение Первое сентября. Математика №23. 2004.

11.Т. Мищенко. Первые уроки геометрии 7 класс// приложение Первое сентября. Математика №25-26. 2004

12. Никифорова М.А. Преподавание математики и новые информационные технологии. // Математика в школе, 2005, № 7.

13. Полат Е.С. Новые педагогические и информационные технологии в системе образования. - М: Омега-Л, 2004. - 215 с.

14. Специальная методика обучения геометрии в средней школе: Курс лекций: Учебное пособие для студентов физ-мат. спец. пед. вузов.- Тобольск: ТГПИ им. Д.И. Менделеева. 2002.-138с.

Размещено на Allbest.ru