Методические рекомендации по проведению первых уроков геометрии в школе

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Переоценить важность первых уроков невозможно. Изучение геометрии начинается с 7-го класса. Предмет «Геометрия» позволяет учителю развивать логическое мышление, пространственное воображение, учит ребят обобщать, систематизировать, видеть красоту, но он вызывает большие затруднения при изучении. Поэтому учитель должен всегда, а на первых уроках особенно, стремиться к тому, чтобы материал был доступен каждому ученику, преподносить его живо, красочно, чтобы ученик, уходя с урока, захотел в дополнительной литературе найти что-то новое, узнать больше того, что было задано на дом. Нельзя давать скуке овладеть детьми на уроке! Глаза каждого ребенка должны гореть огоньком познания!

На первых уроках изучения систематического курса геометрии закладываются основы курса планиметрии: вводятся основные понятия и свойства простейших геометрических фигур, позволяющие осуществить построение всего курса. Введение основных свойств геометрических фигур проводится на основе систематизации и обобщения знаний и представлений учащихся о геометрических фигурах, накопленных ими в процессе изучения математики в 1-6-х классах и жизненного опыта. Поэтому в методическом плане понятия, вводимые в начале изучения курса планиметрии достаточно просты и в известной степени знакомы учащимся, а значит, ни подготовительной работы, ни значительной отработки не требуют.

Изучение первых тем должно решить задачу введения терминологии, развития наглядных представлений и навыков изображения планиметрических фигур и простейших геометрических конфигураций, как по условию задачи, так и в ходе решения задач. Все это необходимо для дальнейшего изучения курса геометрии, в силу чего важными аспектами изучения систематического курса является работа с чертежами и рисунками, использование простейших геометрических инструментов (линейка, транспортир). При решении задач следует, прежде всего, опираться на наглядные представления учащихся. Тем не менее решение задач следует использовать для постепенного формирования у учащихся первых навыков применения свойств геометрических фигур как опоры при решении задач.

Здесь закладываются основы всего курса геометрии: вводятся основное понятия и система аксиом (основных свойств), позволяющая осуществить дедуктивное построение курса. А значит, учащиеся впервые встречаются со строго логическим изложением материала, с новой для них задачей - обосновать каждое утверждение, каждый шаг решения задачи, опираясь на определения и основные свойства простейших геометрических фигур при проведении доказательных рассуждений.

Обучение школьников грамотным логическим рассуждениям начинается с обучения их грамотной устной и письменной речи. Большинство задач и упражнений учебников, в которых происходит закрепление терминологии и изучение основных свойств геометрических фигур, способствует формированию у школьников умений точно формулировать мысль и проводить доказательные рассуждения. Приведенные в тексте учебников решения некоторых задач служат образцами таких рассуждений. Целесообразно, чтобы на первых порах образец ответа давал сам учитель, предлагая неоднократно повторить его при решении аналогичных задач. Каждый ответ учащегося надо завершать правильной и точной формуляров учителя, не снижая при этом оценку за «корявый язык» ученика при правильном понимании: сути теоретического материала и верном решении задачи.

При изучении этого материала необходимо проводить работу по обучению школьников доказательным рассуждениям, стремясь к тому, чтобы эти рассуждения явились обязательными компонентами решения каждой задачи. Особенно благодатным в этом отношении является материал, связанный с основными свойствами измерения отрезков и углов, так как это дает возможность при письменном оформлении задач делать ссылки на известные учащимся основные свойства. При этом следует постепенно повышать уровень требований к доказательным рассуждениям в ходе решения задач, поощрять любые попытки учащихся проводить такие рассуждения.

Главная цель - научить правильно мыслить, аргументировано доказывать, отстаивать свою точку зрения. Таким образом исследование первых уроков геометрии становиться актуальным.

В начале работы над данной темой была выдвинута гипотеза о том, что на первых уроках геометрии в общеобразовательной школе в связи с недостаточным количеством времени на изучение геометрии, из-за буквального понимания учителями раздельного изучения планиметрии и стереометрии у учащихся в недостаточной мере формируются пространственные представления, они не овладевают основными методами умозаключений, не могут усвоить осиновые геометрические понятия.

Объектом данной работы является процесс обучения геометрии в основной школе.

Предметом - методика проведения первых уроков геометрии в 7 классе.

В начале работы над выпускной квалификационной работой была поставлены следующая цель:

разработать такие методические рекомендации по проведению первых уроков геометрии, которые позволили бы повысить геометрическую подготовленность учащихся, интерес к предмету, развить пространственные представления и логическое мышление учащихся.

Назовем конкретные задачи которые определили содержание и структуру исследования в его теоретической и практической частях:

1. Исследовать вопрос об изучении геометрии в 5-6 классах, как пропедевтики изучения геометрии в 7 классе.

2. Разработать методические рекомендации по проведению первых уроков геометрии.

3. Разработать дидактический материал по темам первых уроков.

Данная выпускная квалификационная работа состоит из двух глав, содержащих теоретический материал к первым урокам геометрии в 7 классе и методические рекомендации к проведению данных уроков. В первой главе рассмотрены основные понятия и первые теоремы, аксиоматический метод построения геометрии и история ее развития. Вторая глава раскрывает личностные особенности учащихся подросткового возраста их интеллектуальное развитие и особенности учебной деятельности, проблему обучения школьников доказательству. Развитие пространственного мышления у учащихся 5-6 классов при изучении геометрического материала представлено в главе отдельно, так как является залогом дальнейшего успешного усвоения геометрии в 7-11 классах. Основой данной главы являются методические рекомендации к первым урокам геометрии, которые даны на базе учебного пособия Л.С. Атанасяна «Геометрия 7-9». Так же в работе представлены три приложения, содержащих богатый задачный материал, изложенный в виде таблиц, тестовых заданий и заданий по готовым чертежам, который в дальнейшем может быть успешно применен на первых уроках геометрии.

Методами исследования стали:

1. Исследования опыта учителей по темам первых уроков геометрии.

2. Анализ методической литературы.

3. Подбор методически обоснованных упражнений, способствующих успешному развитию как пространственных представлений, так и логического мышления.

урок геометрия школа методический

1. Теоретическая часть

1.1 Основные темы, изучаемые на первых уроках геометрии в 7 классе

Опираясь на учебный план для учебника «Геометрия 7-9» авторы Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и на рекомендации, изложенные в методическом журнале «Математика в школе», на изучение основных геометрических сведений, отводится от 7 до 10 часов, в зависимости от числа учебных часов в неделю.

К темам первых уроков геометрии можно отнести:

– начальные понятия планиметрии, геометрических фигур;

– понятие о равенстве фигур;

– понятие отрезка, равенстве отрезков, длине отрезка и ее свойств;

– понятие угла, равенстве углов, величины угла и ее свойств;

– смежные и вертикальные углы и их свойства; перпендикулярные прямые;

– свойства простейших геометрических фигур, понятие равенства фигур.

Материал данной темы посвящен введению основных геометрических понятий. Введение основных геометрических свойств простейших геометрических фигур проводиться на основе наглядного представления учащихся путем обобщения основных или известных из курса математики 1-6 классов геометрических фактов. Принципиальным моментом данной темы является введение понятия равенства геометрических фигур на основе понятия наложения.

Основное внимание в учебном материале этой темы уделяется двум аспектам: понятию равенства фигур (отрезков и углов) и свойствам измерения отрезков и углов, что находит свое отражение в заданной системе упражнений.

Изучение данной темы должно также решать задачу введения терминологии, развития навыков изображения планиметрических фигур и простейших геометрических конфигураций, связанных с условиями решаемых задач. Решение задач данной темы следует использовать для постепенного формирования у учащихся навыков применения свойств геометрических фигур как опоры при решении задач.

Изучение первых тем систематического курса ставит перед учителем сложные методические задачи:

1) начать обучение школьников четким геометрическим формулировкам и рассуждениям;

2) постепенно подводить учащихся к пониманию необходимости обоснования своих утверждений;

3) начать обучение умению выделять из текста геометрической задачи «что дано» и «что требуется найти (доказать)», кратко и четко записывают решение задачи;

4) отражать ситуацию, данную в условии задач и возникшую в ходе ее решения, на рисунке.

Всему этому учащиеся будут обучаться на протяжении всего курса геометрии, но в начале курса закладываются основы будущих умений и навыков.

В результате изучения начальных понятий геометрии учащиеся должны:

ознакомиться с тем, что изучает геометрия. какие разделы геометрии называются планиметрией и стереометрией;

знать:

1) определения: отрезка, луча, угла, равных фигур, равных отрезков, равных углов, биссектрисы угла, смежных и вертикальны углов, перпендикулярных прямых;

2) терминологию, связанную с описанием взаимного расположения точек и прямых на плоскости, с описанием взаимного расположения точек на прямой;

3) формулировки основных свойств: «через любые, две точки можно провести прямую, и притом только одну», основные свойства измерения отрезков и углов, основного свойства взаимного расположения точек на плоскости; формулировки и доказательства теоремы о сумме смежных углов и теоремы о равенстве вертикальных углов; теоремы о перпендикулярности прямых;

уметь:

1) обозначать точки и прямые на рисунке, распознавать на рисунке отрезки, лучи, углы, биссектрисы углов, смежные и вертикальные углы, перпендикулярные прямые;

2) изображать на рисунке отрезки, лучи, углы, биссектрисы, углов, перпендикулярные прямые; строить угол, смежный с данным, строить вертикальные углы;

3) выполнять, чертеж по описанию ситуации;

4) описывать ситуацию, изображенную на рисунке;

5) решать задачи с применением основных свойств, теорем о смежных и вертикальных углах.

1.2 Основные понятия, изучаемые на первых уроках

На рис. 1 точка, отмеченная на прямой, делит ее на две части. Каждую из образовавшихся частей вместе с отмеченной точкой называют лучом, а саму точку - началом луча.

Лучи принято обозначать одной маленькой буквой или двумя большими буквами латинского алфавита. Во втором случае первой читается буква, обозначающая начало луча, а затем называется любая другая точка, лежащая на луче. Например, на рис. 1,2 изображены два луча: луч m и луч CD (C - начало луча).

Представление о луче возникает при наблюдении за его «ближайшим родственником» - лучом света. Импульсный сигнал радиолокатора распространяется прямолинейно, подобно лучу света, пока не достигнет цели.

Каждый луч связан с прямой, частью которой он является. Принято говорить, что луч лежит на этой прямой или что прямая содержит этот луч.

Если два луча имеют единственную общую точку, которая не является началом ни одного из них, то лучи пересекаются в этой точке. Ее при этом называют точкой пересечения лучей. Аналогично единственную общую точку прямой и луча, если она не является началом луча, называют точкой пересечения прямой и луча. Например, на рис. 4 пересекаются лучи c и d, а также прямая s и луч t, но не пересекаются лучи a и b, e и t, прямая s и луч k.

Два луча называются противоположными, если они лежат на одной прямой и имеют единственную общую точку - начало.

Такую часть прямой вместе с точками C и D называют отрезком прямой или просто отрезком. Точки C и D называют концами отрезка.

Отрезок обозначают теми же двумя большими буквами, которыми обозначены его концы. Например, на рис. 6 изображены отрезки MN или NM, KL или LK, OP или PO.

Представление об отрезке возникает, когда смотришь на туго натянутую нить, или край листа бумаги, или линию его сгиба.

Отрезок, как и луч, связан с прямой, частью которой он является. Принято говорить, что отрезок лежит на этой прямой, или прямая содержит этот отрезок. Так как через две точки можно провести только одну прямую, то верно и следующее утверждение:

Если на прямой лежат оба конца отрезка, то на этой прямой лежит и весь отрезок.

Если два отрезка имеют единственную общую внутреннюю точку, то они пересекаются в этой точке. Аналогично отрезок пересекается с прямой или лучом, если у них есть ровно одна общая точка, которая не является ни началом луча, ни концом отрезка. Во всех этих случаях общую точку называют точкой пересечения отрезков, или точкой пересечения отрезка и прямой, или точкой пересечения отрезка и луча.

Чтобы установить, равны они или нет, наложим один отрезок на другой так, чтобы конец одного отрезка совместился с концом другого. Если при этом два других конца также совместятся, то отрезки полностью совместятся и, значит, они равны. Если же два других конца не совместятся, то меньшим считается тот отрезок, который составляет часть другого. На рисунке 11.б, в отрезок АС составляет часть отрезка АВ, поэтому отрезок АС меньше отрезка АВ (пишут так: АС < АВ).

Точка отрезка, делящая его пополам, т.е. на два равных отрезка, называется серединой отрезка. На рисунке 12 точка С - середина отрезка АВ.

Чтобы различать на рисунке прямую, отрезок и луч, условимся:

Изображая отрезок, выделять его концы;

изображая луч, выделять его начало;

изображая прямую, не выделять никаких ее точек.

На практике часто приходится измерять отрезки, т.е. находить их длины. Измерение отрезков основано на сравнении их с некоторым отрезком, принятым за единицу измерения (его называют также масштабным отрезком). Если, например, за единицу измерения принят сантиметр, то для определения длины отрезка узнают, сколько раз в этом отрезке укладывается сантиметр. На рисунке 13 в отрезке АВ сантиметр укладывается ровно два раза. Это означает, что длина отрезка АВ равна 2 см. Обычно говорят кратко: «Отрезок АВ равен 2 см» - и пишут: АВ=2 см.

За единицу измерения можно принимать не только сантиметр, но и любой другой отрезок. Выбрав единицу измерения, можно измерить любой отрезок, т.е. выразить его длину некоторым положительным числом. Это число показывает, сколько раз единица измерения и ее части укладываются в измеряемом отрезке.

Если два отрезка равны, то единица измерения и ее части укладываются в этих отрезках одинаковое число раз, т.е. равные отрезки имеют равные длины. Если же один отрезок меньше другого, то единица измерения (или ее часть) укладывается в этом отрезке меньшее число раз, чем в другом, т.е. меньший отрезок имеет меньшую длину.

Угол - это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а их общее начало - вершиной угла. Угол можно обозначить двумя малыми латинскими буквами, тремя большими латинскими буквам, либо одной большой латинской буквой, обозначающей вершину угла.

Угол называется развернутым, если обе его стороны лежат на одной прямой.

За единицу измерения углов принят градус - угол, равный 1/180 части развернутого угла. Положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном угле называется градусной мерой угла (1/60 часть градуса - минута, а 1/60 часть минуты - секунда).

Равные углы имеют равные градусные меры. Когда луч делит угол на два угла, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов. Угол называется прямым, если он равен 90⁰, острым, если он меньше 90⁰., тупым, если он больше 90⁰, но меньше 180^0.

Любой угол разделяет плоскость на две части. Если угол не развернутый, то одна из частей называется внутренней, а другая - внешней областью этого угла.

Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектрисой угла.

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными. Сумма смежных углов равна 180⁰.

Так как лучи OA и OC образуют развернутый угол, то AOB+BOC=AOC=180⁰. Таким образом, сумма смежных углов равна 180⁰.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Вертикальные углы равны.

Угол 2 является смежным как с углом 1, так и с углом 3. По свойству смежных углов 1+2=180⁰ и 3+2=180⁰. Отсюда получаем 1=180⁰ -2, 3=180⁰-2. Таким образом градусные меры углов 1 и 3 равны. Отсюда следует, что и сами углы равны. Итак вертикальные углы равны.

Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла. Обозначаются перпендикулярные прямые .

Две прямые перпендикулярные к третьей не пересекаются.

В самом деле, рассмотрим прямые АА₁ и ВВ₁, перпендикулярные к прямой PQ. Мысленно перегнем рисунок по прямой РQ так, чтобы верхняя часть рисунка наложилась на нижнюю. Так как прямые углы 1 и 2 равны, то луч РА належится на луч РА₁. Аналогично, луч QВ наложатся на луч QB₁. Поэтому, если предположить, что прямые АА₁ и ВВ₁ пересекаются в точке М, то эта точка належится на некоторую точку M₁, также лежащую на этих прямых, и мы получим. что через точки М и М₁ проходят две прямые: АА₁ и ВВ₁. Но это невозможно. Следовательно, наше предположение неверно и, значит, прямые АА₁ и ВВ₁ не пересекаются.

Аксиоматический метод построения геометрии

Изучаемая в школе геометрия является иллюстрацией метода построения теории, которая получила название аксиоматического метода.

К началу III в. до н.э. в работах древнегреческого ученого Аристотеля была сформулирована идея построения научной теории. Применительно к геометрии ее реализовал Евклид в своей работе «Начала». На основании накопленных к тому времени фактов и знаний он выделил и сформулировал несколько утверждений (постулатов), принимаемых без доказательств, из которых выводились их логические следствия в виде теорем. Система Евклида явилась первым опытом применения аксиоматического метода и просуществовала без изменений до XIX века н.э. Однако она обладала рядом недостатков с современной точки зрения на аксиоматический метод, и на рубеже XIX-XX веков была построена геометрическая система, свободная от этих недостатков.

Суть аксиоматического метода построения научной теории состоит в следующем:

перечисляются основные (неопределяемые) понятия,

все вновь возникающие понятия должны быть определены через основные понятия и понятия, определенные ранее.

Основные понятия делятся на два вида: одни обозначают объекты, которыми занимается теория, другие обозначают отношения между ними. Так, точка и прямая - это объекты геометрии, а то, что точка принадлежит прямой, - отношение между ними. Необходимость введения основных понятий очевидна, так как процесс, состоящий в том, чтобы определить одни объекты через другие, более простые, а эти в свою очередь через еще более простые, не будет ограничен до тех пор, пока некоторые объекты не будут считаться неопределимыми.

Далее формулируются аксиомы - предложения, принимаемые без доказательства. Доказывая какое-либо утверждение, опираются на некоторые предпосылки, которые считаются известными. Но эти предпосылки необходимо в свою очередь обосновать, опираясь на другие, и т.д. Чтобы оборвать эту бесконечную последовательность, вводят аксиомы - предпосылки, которые принимаются за исходные и составляют основу для доказательства теорем. Все остальные предложения должны являться логическим следствием аксиом или ранее доказанных утверждений.

Список основных понятий и формулировки аксиом составляет основу теории и, в частности, планиметрии. Необходимо отметить, что основные понятия и аксиомы (назовем их кратко системой) вовсе не обязательно имеют отношение к окружающему нас реальному миру (пример такой системы - система неевклидовой геометрии). Они являются основой абстрактной теории, которая выводится как логическое их следствие, безотносительно к тому, верна исходная система или нет с нашей точки зрения.

Для того чтобы абстрактная теория приобрела определенный смысл, необходимо найти объект-модель, т.е. указать систему конкретных объектов и отношений между ними так, чтобы соблюдались установленные аксиомы. Такую модель иначе называют еще интерпретацией аксиоматики.

Таким образом, изучаемая нами геометрия является моделью утвержденной ранее системы, в которой точку мы представляем как идеализацию следа остро отточенного карандаша, прямую - как идеализацию туго натянутой нити, а плоскость - как идеализацию гладкой поверхности стола.

Для отвлеченной аксиоматики неизвестно, могут ли выводы из нее привести к противоречию. Такая аксиоматика, заключающая в себе противоречие, заведомо не может реализоваться и не имеет смысла. Таким образом, первое условие для любой системы аксиом - это ее непротиворечивость. Вопрос о противоречивости системы решается представлением ее модели. В частности, непротиворечивость системы аксиом геометрии решается построением ее арифметической модели в рамках теории действительных чисел.

Другой вопрос, касающийся системы аксиом, - это желательная их независимость. Система аксиом называется независимой, если ни одна из них не является логическим следствием остальных. К примеру, независимость аксиомы о параллельных прямых в рамках аксиоматики евклидовой геометрии удалось установить только в XIX веке, после двух тысячелетий попыток вывести ее как следствие других аксиом системы.

Доказательство независимости данной аксиомы в системе достигается указанием модели, в которой выполняются все аксиомы, кроме данной, которая заменяется ее отрицанием. Далее желательно, чтобы система аксиом была полной, то есть такой, что добавление к ней новой аксиомы делает новую систему аксиом зависимой. Система аксиом геометрии является полной, но это скорее исключение, чем правило: обычно системы аксиом оказываются неполными.

К середине XIX века, как уже было отмечено, основания евклидовой геометрии оставались на том же уровне, как они были изложены в работах Евклида. Однако общая тенденция к повышению математической строгости во второй половине XIX века побудила многих авторов к пересмотру основ геометрии с целью предложить полную, непротиворечивую, независимую систему аксиом. Наибольшее признание среди различных сформулированных систем получила аксиоматика немецкого математика Давида Гильберта, изложенная в его книге «Основания геометрии» в 1899 г. Ему удалось построить аксиоматику геометрии, расчлененную настолько естественным образом, что логическая структура геометрии становилась совершенно прозрачной: три группы аксиом управляют каждая своим основным отношением - принадлежности, порядка, равенства. Такое расчленение позволило, во-первых, формировать аксиомы кратким и простым образом; во-вторых, исследовать, как далеко можно развить геометрию, если положить в основу не всю аксиоматику, а только ту или иную ее группу. При этом система задавала действительно абстрактную теорию, в которой объекты и отношения между ними - это просто какие-то мыслимые «вещи», про которые известно только то, что они удовлетворяют аксиомам.

Наряду с системой аксиом Гильберта можно назвать и другие варианты аксиоматики евклидовой геометрии: аксиоматика, предложенная в 1904 году Фридрихом Штурмом и основанная на понятии движения (наложения) (эта идея используется в учебнике геометрии для средних школ в России, изданного под научным руководством академика А.Н. Тихонова), аксиоматика, основанная на понятии о численном расстоянии, предложенная тогда же Вениамином Федоровичем Каганом, векторная аксиоматика Германа Вейля и др.

Несмотря на то, что вопрос о формулировке непротиворечивой, полной и независимой системы аксиом геометрии был решен, выбор «удобной» системы остается открытым еще и с точки зрения методики и наглядности изложения материала, т.е. с точки зрения педагогики. В связи с этим необходимо заметить, что приведенная система аксиом не является полной. Так, в частности, ниоткуда не следует, что между двумя данными точками прямой лежит еще точка этой прямой. Нам кажется это очевидным, так как прямая, по нашим представлениям, сплошная, непрерывная, без «дыр». Но это представление должно получить точное определение в виде свойства прямой. Аксиома, задающая это свойство, есть, и она называется «аксиомой непрерывности». Но эта аксиома не приводится, поскольку ее использование затруднит изложение и приходится поступиться строгостью в угоду наглядности и простоте. Не везде обосновывают и утверждения, которые кажутся очевидными, но их строгое обоснование трудоемко и объемно.

Аксиомы (основные свойства простейших геометрических фигур)

Аксиомы принадлежности

I1 Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

I2 Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

Аксиомы расположения

II1 Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

II2 Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

Аксиомы измерения

III1 Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

III2 Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен равен 180о. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

Аксиомы откладывания

IV1 На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок, заданной длины, и только один.

IV2 От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол заданной градусной мерой, меньшей 180о, и только один.

IV3 Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.

Аксиома параллельности

V Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.

На первых уроках геометрии, систематизируется и более строго формулируются аксиомы планиметрии, с которыми учащиеся уже знакомы из курса математики 5-6 классов. Им необходимо уделить особое внимание на занятиях при изложении теоретического материала и проведении практических.

Геометрия (греч. geometria, от ge - Земля и metreo - мерю), раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы, а также другие отношений и формы, сходные с пространственными по своей структуре.

Происхождение термина «Геометрия», что буквально означает «землемерие», можно объяснить следующими словами, приписываемыми древнегреческому учёному Евдему Родосскому (4 в. до н.э.): «Геометрия была открыта египтянами и возникла при измерении Земли. Это измерение было им необходимо вследствие разлития р. Нил, постоянно смывавшего границы». Уже у древних греков геометрия означала математическую науку, в то время как для науки об измерении Земли был введён термин геодезия. Судя по сохранившимся отрывкам древнеегипетских сочинений, геометрия развилась не только из измерений Земли, но также из измерений объёмов и поверхностей при земляных и строительных работах и т.п. Первоначальные понятия геометрии возникли в результате отвлечения от всяких свойств и отношений тел, кроме взаимного расположения и величины. Первые выражаются в прикосновении или прилегании тел друг к другу, в том, что одно тело есть часть другого, в расположении «между», «внутри» и т.п. Вторые выражаются в понятиях «больше», «меньше», в понятии о равенстве тел.

Путём такого же отвлечения возникает понятие геометрического тела. Геометрическое тело есть абстракция, в которой сохраняются лишь форма и размеры в полном отвлечении от всех других свойств. При этом геометрия, как свойственно математике вообще, совершенно отвлекается от неопределённости и подвижности реальных форм и размеров и считает все исследуемые ею отношения и формы абсолютно точными и определёнными. Отвлечение от протяжения тел приводит к понятиям поверхности, линии и точки. Это явно выражено, например, в определениях, данных Евклидом: «линия есть длина без ширины», «поверхность есть то, что имеет длину и ширину». Точка без всякого протяжения есть абстракция, отражающая возможность неограниченного уменьшения всех размеров тела, воображаемый предел его бесконечного деления. Дальше возникает общее понятие о геометрической фигуре, под которой понимают не только тело, поверхность, линию или точку, но и любую их совокупность. Геометрия в первоначальном значении есть наука о фигурах, взаимном расположении и размерах их частей, а также о преобразованиях фигур. Это определение вполне согласуется с определением геометрии как науки о пространственных формах и отношениях. Действительно, фигура, как она рассматривается в геометрии, и есть пространственная форма.

В развитии геометрии можно указать четыре основных периода, переходы между которыми обозначали качественное изменение геометрии.

Первый - период зарождения геометрии как математической науки - протекал в Древнем Египте, Вавилоне и Греции примерно до 5 в. до н.э. Первичные геометрические сведения появляются на самых ранних ступенях развития общества. Зачатками науки следует считать установление первых общих закономерностей, в данном случае - зависимостей между геометрическими величинами. Этот момент не может быть датирован. Самое раннее сочинение, содержащее зачатки геометрии, дошло до нас из Древнего Египта и относится примерно к 17 в. до н.э., но и оно, несомненно, не первое. Геометрические сведения того периода были немногочисленны и сводились прежде всего к вычислению некоторых площадей и объёмов. Они излагались в виде правил, по-видимому, в большой мере эмпирического происхождения, логические же доказательства были, вероятно, ещё очень примитивными. Геометрия, по свидетельству греческих историков, была перенесена в Грецию из Египта в 7 в. до н.э. Здесь на протяжении нескольких поколений она складывалась в стройную систему. Процесс этот происходил путём накопления новых геометрических знаний, выяснения связей между разными геометрическими фактами, выработки приёмов доказательств и, наконец, формирования понятий о фигуре, о геометрическом предложении и о доказательстве.

Этот процесс привёл, наконец, к качественному скачку. Геометрия превратилась в самостоятельную математическую науку: появились систематические её изложения, где её предложения последовательно доказывались. С этого времени начинается второй период развития геометрии. Известны упоминания систематические изложения геометрии, среди которых данное в 5 в. до н.э. Гиппократом Хиосским. Сохранились же и сыграли в дальнейшем решающую роль появившиеся около 300 до н.э. «Начала» Евклида. Здесь геометрия представлена так, как её в основном понимают и теперь, если ограничиваться элементарной геометрией; это наука о простейших пространственных формах и отношениях, развиваемая в логической последовательности, исходя из явно формулированных основных положений - аксиом и основных пространственных представлений. Геометрию, развиваемую на тех же основаниях (аксиомах), даже уточнённую и обогащенную как в предмете, так и в методах исследования, называется евклидовой геометрией. Ещё в Греции к ней добавляются новые результаты, возникают новые методы определения площадей и объёмов (Архимед, 3 в. до н.э.), учение о конических сечениях (Аполлоний Пергский, 3 в. до н.э.), присоединяются зачатки тригонометрии (Гиппарх, 2 в. до н.э.) и геометрии на сфере (Менелай, 1 в. н.э.). Упадок античного общества привёл к сравнительному застою в развитии геометрии, однако, она продолжала развиваться в Индии, в Средней Азии, в странах арабского Востока.

Возрождение наук и искусств в Европе повлекло дальнейший расцвет Геометрии. Принципиально новый шаг был сделан в 1-й половине 17 в. Р. Декартом, который ввёл в геометрию метод координат. Метод координат позволил связать геометрию с развивавшейся тогда алгеброй и зарождающимся анализом. Применение методов этих наук в Геометрии породило аналитическую геометрию, а потом и дифференциальную. Геометрия перешла на качественно новую ступень по сравнению с геометрией древних: в ней рассматриваются уже гораздо более общие фигуры и используются существенно новые методы. С этого времени начинается третий период развития геометрии. Аналитическая геометрия изучает фигуры и преобразования, задаваемые алгебраическими уравнениями в прямоугольных координатах, используя при этом методы алгебры. Дифференциальная геометрия, возникшая в 18 в. в результате работ Л. Эйлера, Г. Монжа и др., исследует уже любые достаточно гладкие кривые линии и поверхности, их семейства (т.е. их непрерывные совокупности) и преобразования. Её название связано в основном с её методом, исходящим из дифференциального исчисления. К 1-й половине 17 в. относится зарождение проективной геометрии в работах Ж. Дезарга и Б. Паскаля. Она возникла из задач изображения тел на плоскости; её первый предмет составляют те свойства плоских фигур, которые сохраняются при проектировании с одной плоскости на другую из любой точки. Окончательное оформление и систематическое изложение этих новых направлений геометрии были даны в 18 - начале 19 вв. Эйлером для аналитической геометрии (1748), Монжем для дифференциальной геометрии (1795), Ж. Понселе для проективной геометрии (1822), причём само учение о геометрическом изображении (в прямой связи с задачами черчения) было ещё раньше (1799) развито и приведено в систему Монжем в виде начертательной геометрии. Во всех этих новых дисциплинах основы (аксиомы, исходные понятия) геометрии оставались неизменными, круг же изучаемых фигур и их свойств, а также применяемых методов расширялся.

Четвёртый период в развитии геометрии открывается построением Н.И. Лобачевским в 1826 новой, неевклидовой геометрии, называемой теперь геометрией Лобачевского. Независимо от Лобачевского в 1832 ту же геометрию построил Я. Больяй (те же идеи развивал К. Гаусс, но он не опубликовал их). Источник, сущность и значение идей Лобачевского сводятся к следующему. В геометрии Евклида имеется аксиома о параллельных, утверждающая: «через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более чем одну прямую, параллельную данной». Многие геометры пытались доказать эту аксиому, исходя из других основных посылок геометрии Евклида, но безуспешно. Лобачевский пришёл к мысли, что такое доказательство невозможно. Утверждение, противоположное аксиоме Евклида, гласит: «через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не одну, а по крайней мере две параллельные ей прямые». Это и есть аксиома Лобачевского. По мысли Лобачевского, присоединение этого положения к другим основным положениям геометрии приводит к логически безупречным выводам. Система этих выводов и образует новую, неевклидову геометрию.

В тот же период зародилась топология как учение о тех свойствах фигур, которые зависят лишь от взаимного прикосновения их частей и которые тем самым сохраняются при любых преобразованиях, не нарушающих и не вводящих новых прикосновений, т.е. происходящих без разрывов и склеиваний. В 20 в. топология развилась в самостоятельную дисциплину. Так геометрия превратилась в разветвленную и быстро развивающуюся в разных направлениях совокупность математических теорий, изучающих разные пространства (евклидово, Лобачевского, проективное, римановы и т.д.) и фигуры в этих пространствах. Одновременно с развитием новых геометрических теорий велась разработка уже сложившихся областей евклидовой геометрии - элементарной, аналитической и дифференциальной геометрии. Вместе с тем в евклидовой геометрии появились новые направления. Предмет геометрии расширился и в том смысле, что расширился круг исследуемых фигур, круг изучаемых их свойств, расширилось само понятие о фигуре. На стыке анализа и геометрии возникла в 70-х гг. 19 в. общая теория точечных множеств, которая, однако, уже не причисляется к геометрии, а составляет особую дисциплину. Фигура стала определяться в геометрии как множество точек. Развитие геометрии было тесно связано с глубоким анализом тех свойств пространства, которые лежат в основе евклидовой геометрии. Иными словами, оно было связано с уточнением оснований самой евклидовой геометрии. Эта работа привела в конце 19 в. (Д. Гильберт и др.) к точной формулировке аксиом евклидовой геометрии, а также других «геометрий».

2. Практическая часть

2.1 Психолого-педагогический аспект темы

Личностные особенности и интеллектуальное развитие подростка.

Переход к подростковому возрасту характеризуется глубокими изменениями условия, влияющих на личностное развитие ребенка. Они касаются физиологии организма, отношений, складывающихся у подростков со взрослыми и сверстниками, уровня развития познавательных процессов, интеллекта и способностей. Во всем этом намечается переход от детства к взрослости. Организм ребенка начинает быстро перестраиваться и превращаться в организм взрослого человека.

Детей данного возраста отличает повышенная познавательная и творческая активность, они всегда стремятся узнать что-то новое, чему-либо научиться.

В подростковом возрасте появляются новые мотивы учения, связанные с расширением знаний, с формированием нужных умений и навыков, позволяющих заниматься интересной работой, самостоятельным творческим трудом.

Учение добавляется самообразованием, приобретая более глубокий личностный смысл. Происходит формирование системы личностных ценностей, которые определяют содержание деятельности подростка, сферу его общения, избирательность отношения к людям, оценку этих людей и самооценку.

В средних классах учащиеся приступают к изучению и усвоению основ наук. Им предстоит овладеть большим объемом знаний. Учащиеся должны овладеть системой научных понятий и научиться рассуждать в теоретическом плане. Новые учебные предметы направлены на развитие интеллекта - теоретического, формального, рефлексивного мышления. У подростка появляется способность рассуждать на основе одни общих предпосылок. На этом уровне все рассуждения, вплоть до заключения, идут в вербальном плане, поскольку непосредственным содержанием такого заключения являются высказывания. На основе этого проводятся первые уроки геометрии в 7 классе, непосредственно основанные на наглядности, интуитивных предположениях.

Новые в развитии интеллекта подростка является в изменении его отношения к познавательным задачам, как к таким, которые требуют прежде всего их предварительного мысленного решения через построение различных гипотез и их проверку. Поэтому перед введение темы необходима постановка проблемы. Подросток начинает анализ возникшей перед ним интеллектуальной задачи с попыток выявить все возможные отношения в имеющихся данных, создает различные предположения об их связях, а затем проверяет эти гипотезы. Но поставленная задача должга отвечать уже имеющимся знаниям учащихся. Такой задачей на первых уроках геометрии может служить вопрос о масштабе отрезка. Важнейшее приобретение подростка в анализе действительности - это умение оперировать гипотезами в решении интеллектуальны задач.

Теоретическое мышление формируется не у всех. У разных учащихся может быть разный уровень и качество его реальной сформированности. В целом для этого уровня мышления характерно осознание подростком собственных интеллектуальных операций и управление ими.

Контролируемой и управляемой становится речь, причем в некоторых лично значимых ситуациях подростки особенно стремятся говорить красиво, правильно. Необходимо стремиться развивать грамотную, математически правильную течь с первых уроков.

Развивается умение длительное время удерживать внимание на отвлеченном, логически организованном материале.

Характерной особенностью подросткового возраста является готовность и способность ко многим различным видам общения, причем как в практическом плане (трудовые умения и навыки), так и в теоретическом (умение мыслить, рассуждать, пользоваться понятиями). Еще одной чертой является склонность к экспериментированию. Подростки обнаруживают широкие познавательные интересы, связанные со стремлением все самостоятельно перепроверить, лично удостовериться в истинности, необходимо подогревать их заинтересованность все проверять на практике, а уже затем проводить обобщение полученных знаний и делать выводы. Мышление подростка характеризуется стремлением к широким обобщениям.

Одновременно с этим складывается новое отношение к учению. Подростков привлекают предметы и виды знаний, где они смогут лучше узнать себя, проявить самостоятельность. Возникает особое познавательное отношение к самому себе, выступающие в виде желания и умения анализировать и оценивать собственные поступки, а также способность вставать на точку зрения другого человека, видеть и воспринимать мир с других позиций, чем собственная.

Самостоятельность мышления проявляется в независимости выбора способа поведения. Подростки принимают лишь то, что лично им кажется разумным, целесообразным и полезным.

Подросток уже способен управлять своим произвольным запоминанием, способность к запоминанию постоянно, но медленно возрастает до 13 лет. С 13-ти до 15-16-ти лет наблюдается все более быстрый рост памяти. В подростковом возрасте память перестраивается переходя от доминирования механического запоминания к смысловому. При этом перестраивается сама смысловая память - она приобретает опосредованный, логический характер, обязательно включается мышление. Заодно с формой изменяется и содержание запоминаемого: становится более доступным запоминание абстрактного материала. Память работает на опосредованиях уже присвоенных знаковых систем, прежде своего речи.

Подросток вполне может управлять своим вниманием, может хорошо концентрировать внимание в значимой для него деятельности. Внимание подростка становится хорошо управляемым. Контролируемым процессом и увлекательной деятельностью.

В школе на уроках внимание подростков нуждается в поддержке со стороны учителя - долгая учебная деятельность вдохновляет подростка на поддержание произвольного внимания. В то же время подростки могут впасть в состояние глубокого утомления, когда внимание, кажется, тоже исчезает.

Учеба в школе занимает большое место в жизни подростка. Позитивное здесь - готовность подростка к другим вида учебной деятельности, которые делают его более взрослым в его собственных глазах. Такая готовность может быть одним из мотивов учения. Для подростка становятся привлекательными самостоятельные виды занятий. Подростку это импонирует и он легче осваивает способы действий, когда учитель лишь помогает ему.

Большое значение имеет подача материала учителем, умение увлекательно и доходчиво объяснять материал, что активизирует интерес, усиливает мотивацию учения.

В этом возрасте возникают новые мотивы учения, связанные с осознанием жизненной перспективы, своего места в будущем, профессиональных намерений, идеала.

Знания приобретают особую значимость для развития личности подростка. Они становятся той ценностью, которая обеспечивает подростку расширение собственного сознания и значимое место среди сверстников. Именно в подростковом возрасте прикладываются специальные усилия для расширения житейских, художественных и научных знаний.

Знания, которые получает подросток в процессе учебной деятельности в школе, также могут приносить ему удовлетворение. Но если подросток не видит жизненного значения определенного знания, то у него исчезает интерес, может возникнуть отрицательное отношение к соответствующим учебным предметам.

Успех или не успех в учении тоже влияет на формирование отношения к учебным предметам. Успех вызывает положительные эмоции, позитивное отношение к предмету и стремление развиваться в этом отношении.

Неуспех порождает негативные эмоции, отрицательное отношение к предмету и желание прервать занятия.

Овладение учебного материала требует от подростка более высокого уровня учебно-познавательной деятельности. Подростку необходимо не только заполнить схему, какое-то изображение, а уметь в них разобраться, что является условием успешного усвоения учебного материала.

Изменяется содержание устных высказываний, все большее место в них занимает описание, растет число слов, словосочетаний и фраз оценочного характера.

2.2 Обучение доказательству

Извечно актуальная проблема - обучение школьников доказательству - приобрела в данное время еще большую значимость. Осуществляемый процесс гуманизации образования предполагает направленность обучения на развитие личности, в частности ее нравственных качеств. Это во многом зависит от решения указанной проблемы.

Что понимать под обучением доказательству? Оказывается, что в разные периоды развития методики математики вкладывали различный смысл в содержание этого понятия. Примерно до 60-х гг. оно отождествлялось с заучиванием готовых доказательств. Истоки такого представления восходят к Евклиду и закрепляются трудами Аристотеля, Гильберта, которые сводили доказательство к его логической форме. Поскольку учащиеся не владели правилами вывода, то под обучением доказательству и можно было понимать лишь разучивание и воспроизведение доказательств, содержащихся в учебниках математики. Эта мысль очень ярко выражена в одной из работ того времени.

Ф.Н. Гоноболин выделяет три уровня понимания.

I. Первый характеризуется тем, что учащиеся схватывают лишь отдельные фрагменты доказательства без последующей их связи друг с другом;

II. Основная черта второго уровня состоит в понимании учащимися последовательной связи отдельных элементов доказательства, но без выделения логической схемы;

III. Третьему уровню свойственно понимание учеником идеи доказательства.

Ясно, что продвижение ученика в овладении приведенными уровнями понимания доказательства невозможно вне обучения его логическим действиям. Некоторыми исследователями обращается внимание на это. Так, рекомендуется специально обучать действиям подведения объекта под понятие, выведению следствий, правилам импликации, дедукции, контра-позиции и т.д. (Г.А. Буткин, М.Б. Волович, Э.И. Айвазян и др.). Однако, несмотря на значительные усилия исследователей, проблема обучения школьников логическим действиям не получила удовлетворительного решения. По-видимому, одной из причин этого было то, что предложенные авторами средства, в частности задачи, ориентируемые на формирование действий, не вписывались в тогдашнее представление о содержании обучения математике, методике формирования понятий и работе с теоремой.

С начала 70-х гг. под влиянием книг Д. Пойя, работ Ю.М. Колягина, 3. Крыговской и других меняется представление об обучении доказательству. Акцент смещается в сторону эвристической составляющей доказательства. Новый акцент в обучении доказательству значительно стимулировал исследования проблемы методики обучения решению задач, в частности обучения поиску способа решения задачи, использованию методов научного познания в изучении математики, формированию эвристических приемов и т.д. Надо сказать, что хотя в теории обучения решению задач и произошел поворот в сторону приобщения ученика к поисковой деятельности, в практике ощутимых конкретных успехов в обучении доказательству было мало. Основная причина этого заключалась в том, что рекомендации по реализации эвристической составляющей не имели необходимой логической основы. Готовые доказательства должны выступать как модели, на которых школьники обучаются приемам умственной деятельности, лежащим в основе умения доказывать, применять различные методы доказательств, самостоятельно искать доказательства. Однако практическая реализация этих важных и интересных мыслей не была найдена.

В книге И. Лакатоса «Доказательства и опровержения» (М., 1976), были высказаны важные положения об обучении доказательству. В частности, автор выделяет следующие уровни владения доказательством:

1) понимание и воспроизведение готовых доказательств;

2) самостоятельный разбор готового доказательства;

3) осуществление самостоятельного доказательства;

4) опровержение предложенных доказательств.

Прежде чем сформулировать обобщенную концепцию обучения доказательству, выделим ряд психологических положений, имеющих непосредственное отношение к ней:

1) структуры мозга, руководящие аналитической деятельностью, формируются к 13-14 годам;

2) развитие «доказательного» мышления проходит две стадии. В собственно подростковом возрасте школьник скорее усваивает доказательства, чем самостоятельно пользуется ими, и еще меньше он создает их. В юношеском же возрасте уже заметно выступает критическое отношение к готовым доказательствам и стремление к собственным доказательствам.

Резюмируя все сказанное, приходим к выводу, что обучение доказательству есть обучение анализу готовых доказательств, их воспроизведению или опровержению, самостоятельному поиску и конструированию доказательства. Особенность данной концепции не только в расширенном толковании обучения доказательству, но и в том, что она не противопоставляет логику и эвристику, а объединяет обе составляющие в единое целое. Практическая реализация этой концепции требует ее методического анализа.

Начальный уровень умения доказывать характеризуется пониманием необходимости логических обоснований, навыками осуществлять простейшие дедуктивные выводы и пониманием того, что из одних утверждений логическим путем можно выводить новые утверждения. Он соотносится в основном с обучением математике учащихся V-VI классов. Следующий уровень включает умение школьников осуществлять цепочки дедуктивных умозаключений, а также работу по формированию действий выведения следствий, преобразованию требования задачи (заключения теоремы) в новое, из которого данное вытекает как следствие, составлению вспомогательных задач. Эти действия образуют основу поиска способа решения задачи (доказательства теоремы), а также применения методов научного познания (аналогии, обобщения и т.д.) в различных ситуациях и в этом смысле имеют эвристический характер. Этот уровень по своему содержанию соотносится с первыми разделами систематического курса планиметрии, которые включают и многие эвристики, основанные на ассоциациях: «равенство отрезков - равенство треугольников», «равенство углов - равенство треугольников», «сторона а треугольника больше стороны b - угол, лежащий против стороны а, больше угла, лежащего против стороны b», «сравнить два объекта - ввести в рассмотрение третий объект, находящийся с данными в известных отношениях» и т.д. Обучение умениям осуществлять цепочки логических шагов в доказательстве и применять указанные эвристики составляет содержание рассматриваемого уровня в обучении школьников доказательству.