Методические рекомендации по проведению первых уроков геометрии в школе

Доказательства в школьном курсе геометрии содержательны, свернуты. В них присутствует в значительной мере интуитивный компонент, а порой даже делается ссылка на утверждение, отсутствующее в учебнике. Анализ доказательства: выделение логических шагов, поиск и устранение логических пробелов, развертывание дедуктивных умозаключений в логическую схему, выделение идеи доказательства и его воспроизведение - составляет содержание следующего компонента понимания доказательства, а его усвоение - содержание следующего уровня обучения школьников доказательству. Этот анализ готовит учащихся к самостоятельному поиску и осуществлению доказательства. Немаловажное значение в этом принадлежит и вооружению школьников эвристическими приемами, начало чему положено на предыдущем уровне усвоения доказательства. Эвристическая составляющая переходит в такие приемы, как прием элементарных задач, представления задачи в пространстве состояний, прием вспомогательной фигуры, рассмотрения предельных случаев, прием аналогии, обобщения и т.д. Возможности учебников геометрии для формирования указанных эвристических приемов значительны.

Участие школьников в самостоятельном открытии фактов, формулировках, конструировании доказательств, естественно, сопряжено с возникновением разного рода ошибок, поэтому важно умение критически оценивать результаты своей и своих товарищей работы, которое и формируется в процессе опровержения предложенных утверждений и доказательств.

В методической литературе неоднократно предпринимались попытки формирования у школьников навыков дедуктивного мышления, причем как на математическом, так и ином материале. Вот пример одного из таких упражнений: можно ли на основании предложений: «В понедельник я хожу в школу. Сегодня я был в школе» - сделать вывод: «Сегодня понедельник»? Еще П.П. Блонский отмечал, что младшему школьному возрасту посильны рассуждения по схеме правила заключения и правила отрицания. Причина этого в том, что весь ими специально подобранный для формирования навыков дедуктивного вывода материал не вписывался в школьные учебники математики.

Иную ситуацию мы имеем сейчас. Общеизвестно, что важным элементом методики формирования понятий являются упражнения на распознавание объектов, принадлежащих понятию.

Курс математики V-VI классов дает хорошую возможность для пропедевтики формирования умений рассуждать по указанным схемам.

Конечно, не следует надеяться на то, что ученики сразу же начнут грамотно рассуждать. Учитель должен терпеливо и настойчиво внедрять подобные рассуждения в обоснование учащихся и давать при этом образцы рассуждений.

Еще пример из учебника математики Э.Р. Нурка и А.О. Тельгмаа. Упражнение 603: «Какие из углов, изображенных на рис, 2: 1) больше 90°; 2) меньше 90°; 3) равны 90°?

Приведем рассуждения, сопутствующие выполнению упражнения 1. Угол больше 90°, если прямой угол является его частью. Угол EOB содержит прямой угол. Значит, угол EOB больше 90°. Обучение школьников умению логически рассуждать - важная задача учителя математики. При хорошо организованной пропедевтической работе в V-VI классах учащиеся VII класса уже с первых уроков овладевают рассуждениями, основу которых составляют правила заключения и отрицания, и используют эти правила в дальнейшем в качестве ориентировочной основы выполнения действия распознавания. Такая работа должна проводиться при выполнении упражнений не только на распознавание объектов, принадлежащих понятию, но и на распознавание ситуаций, удовлетворяющих теореме.

Пониманию структуры наиболее употребимых дедуктивных умозаключений может способствовать использование специальных упражнений на отыскание: а) большой посылки; б) малой посылки; в) вывода.

С первых уроков геометрии следует осуществлять систематическую работу и по формированию таких действий, как выведение следствий, переформулировка требования задачи, составление вспомогательных задач, образующих основу эвристических приемов. (Ясно, что пропедевтика их формирования может и должна осуществляться еще в V-VI классах.) Можно предложить следующую последовательность формирования указанных действий. Вначале акцент делается на овладении умениями извлекать информацию из условия и требования задачи, вычленять отдельные элементы, комбинировать их, соотносить требование с условием и т.д. Примеры упражнения, ориентированного на усвоение этих действий:

На луче АВ отложен отрезок АС. При каком условии точка С лежит между точками A и B?

Подобные упражнения выполняются, как правило, устно при изучении соответствующих фактов - при изучении основных свойств откладывания отрезков.

В качестве примера рассмотрим методику работы с упражнением 1. После выделения условия, заключения, выполнения рисунка проходит примерно следующая беседа.

Учитель: Итак, нам известно, что отрезок AC отложен на луче АВ. Что можно сказать о расположении точек A, В и С, если точки В и С не совпадают?

Ученик: Либо С лежит между A и В, либо В лежит между A и С.

Учитель: А что нам надо установить?

Ученик: Надо найти условие, которое вместе с данным позволило бы сделать вывод: С лежит между А и В.

Учитель: Что еще нужно знать, чтобы утверждать, что С лежит между A и C?

Ученик: Отрезок АС меньше отрезка АВ.

Учитель: Какое же утверждение мы должны включить в условие?

Ученик: АС< АВ.

Оформление решения этой задачи может быть таким; С между А и В при условии: С АВ, АС < АВ.

Сама же беседа обучает школьников грамотной постановке вопросов, ответов на них, служит образцом рассуждений.

Последующая серия упражнений ориентирована на овладение учащимися действием выведения следствий из данных. Это действие является важным компонентом логической составляющей доказательства, однако оно зачастую помогает найти путь к решению задачи, и в этом смысле прием выведения следствий относят к эвристическим приемам.

Примеры соответствующих упражнений:

3. Точка С лежит между точками A и B, а точка X - между точками A и С. Докажите, что точки A, В, С и Х принадлежат одной прямой. Сформулируйте все утверждения, полученные в процессе решения этой задачи.

4. Один из углов, которые получаются при пересечении двух параллельных прямых секущей, равен 30°. Что следует из этого?

При выполнении подобных упражнений внимание учащихся акцентируется на выводимых следствиях, что прямо подчеркивается в требовании задачи. Полученные следствия и данные утверждения можно использовать для составления учащимися задач. Выполняя упражнения этой группы, можно прибегать и к «развертке» получения отдельных следствий- с указанием большой и малой посылок.

На первых уроках геометрии VII класса специальным предметом формирования должен быть прием переформулировки требования задачи (заключения теоремы). Сущность его заключается в замене требования задачи новым так, чтобы из него вытекало первоначальное. Очевидно, использование его предполагает владение приемами выведения следствий, подведения объекта под понятие, навыками анализа ситуаций. Приведем примеры упражнений, ориентированных на его усвоение.

5. Решите задачи, заменив предварительно их требования новыми так, чтобы из них следовали первоначальные. (Такая редакция формулировки задачи принята потому, что ученики VII класса не знакомы с понятием равносильности.)

1) Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

2) Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О. Докажите, что если отрезки АС, ВС, ВD и АD равны, то прямые АВ и СD перпендикулярны.

В процессе доказательства приходится не только осуществлять выведение следствий, замену требования новым, но и самостоятельно формулировать промежуточные задачи. В нижеприведенных упражнениях предлагается учащимся к имеющемуся набору данных самостоятельно подобрать требование и решить полученную задачу.

6. Даны два луча АВ и ВО. Сформулируйте требование и решите полученную задачу.

Предполагаемые вопросы:

1) назовите лучи с вершиной А;

2) назовите лучи с вершиной В;

3) укажите лучи, не имеющие общих точек;

4) назовите дополнительные лучи.

7. Сумма вертикальных углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равна 50°.

Предполагаемые вопросы:

1) найдите эти углы;

2) найдите сумму двух других углов;

3) найдите все углы.

Конструирование упражнений, позволяющих организовать целенаправленную работу по формированию указанных умений, можно осуществить на заданном материале первых разделов учебников геометрии. Для этого необходима лишь небольшая корректировка задач учебников. Приведенные упражнения могут служить образцом в осуществлении этой работы.

Идея привлечения школьников к составлению геометрических задач может осуществляться при использовании готовых чертежей. Это позволяет формировать комплекс многих действий, составляющих умение доказывать. Действительно, такая работа предполагает анализ ситуации, заданной рисунком (выделить объекты, отношения между ними, привести словесную формулировку заданной ситуации, обозначить ряд требований, причем при этом приходится осуществлять простое и составимое вычленение фигур, представлять фигуру в плане различных понятий и т.п.), выведение следствий из данных рисунка. Отметим и то, что решение школьных задач в учебнике геометрии основано на трансформации словесной формулировки задачи в чертеж, а обратная трансформация не используется, что ведет к перекосу в обучении умения решать задачи, а в конечном счете - к значительным трудностям, испытываемым учащимися при решении геометрических задач.

Пример: составьте несколько задач, используя рис. 3.

Рис. 3 фиксирует конфигурацию, состоящую из смежных углов и их биссектрис. Требованиями задач могут быть следующие предложения:

а) найдите угол между биссектрисами;

б) докажите, что угол между биссектрисами смежных углов прямой. (На второе утверждение может навести восприятие рисунка.)

в) Можно предложить учащимся сформулировать утверждение, обратное утверждению б, и доказать его. (Два угла с общей стороной, биссектрисы которых образуют прямой угол, являются смежными.)

Решение этой задачи предполагает выполнение обратного действия, заключающегося в трансформации словесной формулировки задачи в ее графическую модель.

Активности ученика в процессе доказательства ' будет способствовать работа учителя по формированию эвристических приемов и повышению уровня логической строгости. Первое направление связано с использованием аналогии, обобщения, рассмотрением частных случаев, предельных положений и т.д.

Второе направление реализуется посредством привлечения упражнений на 'обоснование интуитивных положений, используемых в доказательствах теорем, на опровержение предложенных ученику утверждений и доказательств. Отыскание промежуточного предложения, корректировка доказательства и являются примером одного из отмеченных типов упражнений. Что же касается во многом нетрадиционного компонента обучения доказательству - обучения опровержению предложенных утверждений и доказательств, то его обсуждение заслуживает специальной статьи.

2.3 Развитие пространственного мышления учащихся 5-6-х классов при изучении геометрического материала

Программа по математике указывает на важность формирования у учащихся навыков логического мышления, развития пространственных представлений, воображения и творческого мышления.

В решении этих задач особое место принадлежит геометрии, так как ее изучение неразрывно связано с осуществлением таких операций, как абстрагирование, конкретизация и применение полученных знаний на практике. Школьному курсу геометрии традиционно отводится важная роль в развитии учащихся - развитие пространственных представлений.

В настоящее время в качестве одного из главных критериев математического развития личности многие психологи рассматривают уровень развития пространственного мышления, который характеризуется умением оперировать пространственным образом. Математика является одним из тех предметов, при изучении которого важное место отводится зрительному каналу поступления информации.

В последнее время отмечается снижение геометрической подготовленности учащихся. Это проявляется в первую очередь в низком уровне развития пространственного мышления. Учителям математики известно, что у большинства учащихся отсутствует интерес к предмету геометрии, а ЗУН по этому предмету находятся на удовлетворительном уровне.

Среди множества причин выделю две:

Первая - непонимание геометрии из-за недостаточного количества времени, отводимого на её изучение. Учащиеся ещё не успевают углубиться в одну тему, закрепить теоретический материал, как надо изучать новую.

Вторая - буквальное понимание учителем факта раздельное изучение планиметрии и стереометрии, не применяя взаимодействие и взаимопроникновение, раннее ознакомление с пространственными фигурами уже при изучении планиметрии - это приводит к тому, что у учащихся к 10 классу слабо развито пространственное воображение и пространственное мышление.

Одной из основных идей концепции школьного математического образования является приоритет развивающей функции обучения математике. По окончании начальной школы у учащихся объемные представления более развиты, чем плоскостные, хотя в рамках традиционной программы по математике младших школьников знакомят только с элементами плоскостной геометрии. Итак, образные компоненты мышления интенсивнее развиваются в младшем школьном возрасте, поэтому пространственное мышление как разновидность образного целесообразно развивать у учащихся средней школы уже с 5-6 класса.

Курс математики 5-6 классов является основой для изучения предметов, нуждающихся в математике (география, физика, химия, черчение). Поэтому оснащение подготовительного курса геометрии целесообразно подобранными и методически обоснованными упражнениями, способствующими успешному развитию, как пространственных представлений, так и логического мышления учащихся является первоочередной задачей, от решения которой зависит подготовка учащихся к последующему усвоению курса геометрии. Ранее изучение геометрии помогает при изучении предмета в дальнейшем. Например экономит время: все основные геометрические построения отрабатываются в 5-6 классе, т.е. целую тему 7 класса, что позволяет в дальнейшем использовать опережающее обучение некоторых тем или перераспределить на ликвидацию пробелов.

В настоящее время созданы учебники по наглядной геометрии, среди которых наибольшей популярностью пользуется учебное пособие И.Ф. Шарыгина и Л.Н. Ерганжиевой «Наглядная геометрия».

Процесс формирования пространственного мышления учащихся 5-6 классов должен быть направлен на создание условий для формирования определенных качеств пространственного мышления, которые характеризуются умениями, способствующими овладению учениками геометрического пространства. Возможности формирования пространственных представлений, тесно связанных с достижением достаточного уровня развития их логического мышления и культуры математической речи видятся в совершенствовании пропедевтического курса геометрии с помощью включения в учебный процесс специальным образом подобранных и методически обоснованных заданий, которые способствовали бы их развитию.

Для построения эффективной работы по формированию и развитию пространственных представлений необходимо решить следующие задачи:

выяснить запас пространственных представлений у учащихся, их полноту, осознанность, действенность и правильность;

выявить уровень сформированности пространственных представлений у учащихся и степень владения учебными действиями;

выявить основные причины и виды возникающих затруднений учащихся при усвоении основных геометрических понятий и выполнении практических упражнений систематического курса геометрии;

определить наиболее эффективные методы и средства для формирования и развития пространственных представлений, а также виды учебных задач, используемые в практике учителей для развития пространственных представлений;

К началу изучения систематического курса геометрии учащиеся еще не умеют: подмечать в процессе целенаправленных наблюдений существенные свойства, отличать эти свойства от несущественных; применять полученные навыки измерения геометрических величин в условиях их «нестандартного» расположения; решать простейшие задачи в «воображении» - представлять фигуры и мысленно выполнять различные операции над ними.

Основные причины недостаточного развития пространственных представлений для последующего изучения систематического курса геометрии и черчения:

отсутствие раннего изучения геометрии в 5-6 классах;

отсутствие должной согласованности в методах работы по формированию и развитию пространственных представлений при изучении различных предметов (рисования, труда, географии, математики);

не используются возможности по установлению прочных связей в изучении планиметрического и стереометрического материала; недостаточное использование средств наглядности;

нередко представления формируются без опоры на реальную действительность и учета накопленного учащимися опыта;

в традиционном курсе стереометрии фактически нет задач, требующих мысленного оперирования объемными или плоскими фигурами в пространстве без опоры на модели или изображения; формирование пространственных представлений как цель появляется в традиционной программе в 7 классе, причем работают учащиеся только в плоскости. А в 10 классе от учеников требуют умений работать в пространстве.

Таким образом целесообразность введения наряду с систематическим курсом математики, курса наглядной геометрии в 5-6 классах. В ее основе должна лежать максимально конкретная деятельность ребенка, связанная с различными геометрическими объектами, в этом курсе не должно быть теорем, строгих рассуждений. Но должны присутствовать такие темы и задания, которые бы стимулировали учащихся к проведению несложных обоснований, к поиску тех, или иных закономерностей. Теоретизация материала должна нарастать на последнем этапе изучения. Важнейшим направлением работы должно стать геометрическое моделирование, конструирование, дизайн. Программа курса должна соответствовать интересам детей этого возраста. Урокам можно придать характер игры, увлечь детей полезным и интересным делом.

В учебном комплекте под редакцией Г.В. Дорофеева существенно пересмотрен подход к изучению геометрии в 5-6 классах. Здесь представлена определенным образом упорядоченная система геометрических знаний, а не отрывистые, мозаичные фрагменты, подчиненные арифметико-алгебраической линии курса. Изучение геометрии организуется как процесс интеллектуально-практической деятельности, направленной на развитие пространственных представлений, изобразительных умений, на расширение геометрического кругозора. Учащиеся должны овладеть геометрической терминологией, узнать некоторые важнейшие свойства фигур, получив их посредством опыта и «здравого смысла».

В 7 класс учащиеся приходят уже с определенным багажом знаний в области геометрии, они еще не систематизированы, основаны на интуитивных представлениях, на жизненном опыте. Материал, предлагаемый учащимся, уже изучался ранее в 5-6 классе. Так в пятом классе дети впервые столкнулись с понятием отрезка, его длины, научились их сравнивать, узнали что такое треугольник. На интуитивной основе, через образное представление, вводиться понятие плоскости, прямой, луча. Впервые говориться о том, что через две точки можно провести прямую и притом только одну, а также, если две прямые имеют общую точку то они пересекаются, не зная при этом, что данные предложения являются аксиомами планиметрии. Понятие угла, его составных частей, обозначение, равенство углов и их виды так же вводится в 5 классе. В 6 классе в ходе изучения темы координаты на плоскости проходит знакомство с параллельными и перпендикулярными прямыми. Таким образом на первых уроках геометрии проводиться актуализация знаний, полученных учащимися в 5-6 классе. На уроках математики рассматриваются такие темы как площади и объемы фигур: вводиться формула площади прямоугольника и квадрата, формула объема параллелепипеда. Понятия о пространственных фигурах таких как сфера, куб, параллелепипед объясняются детям на наглядных примерах, на тех вещах, которые они видят в повседневной жизни. Процесс изучения геометрии именно в этом возрасте отвечает внутренним потребностям учащихся и создает положительный, эмоциональный фон, благоприятно влияющий на отношение к математике вообще, на развитие интереса к предмету. Вместе с тем визуальное изучение геометрической фигуры, проведение эксперимента и анализ его результатов предполагает работу различных форм мышления. А использование найденных свойств фигур для ее распознавания развивает умение оперировать соответствующим понятийным аппаратом. Таким образом, геометрия может оказывать развивающее воздействие на детей 10-12 лет.

2.4 Методические рекомендации к первым урокам геометрии в 7 классе

Управление процессом обучения.

Согласно первого варианта тематического планирования в 7 классе геометрия изучается во II, III, IV четвертях по два часа в неделю, и того 50 часов. При этом на начальные геометрические сведения отводиться 7 часов, которые можно распределить следующим образом, опираясь на учебное пособие «Геометрия 7-9» Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф.

Однако при составлении календарного плана многим учителям приходится увеличивать число уроков на изучение первой темы на 4 часа, сокращая тем самым число уроков на изучение последующих тем, в связи с трудностью изучения данного раздела в отведенное по программе время.

Таким образом, учитывая распределение учебного времени на изложение теоретического материала, можно предложить следующие методические рекомендации к проведению первых уроков геометрии в 7 классе.

Общеизвестны трудности курса геометрии 7 класса. Учителю в течении сравнительно короткого времени предстоит настолько развить абстрактные способности учеников, чтобы они смогли сознательно усвоить основные понятия геометрии, овладеть основами для них методами умозаключений. Необходимо также добиться, что бы ученики осознали необходимость доказательства различного рода положений; выработать у них потребность к таким доказательствам.

Особые трудности в изучении геометрии вызывают первые уроки геометрии. Они обусловлены рядом причин:

Психологическими особенностями учащихся этого возраста.

Выделение курса геометрии отдельным предметом и новизна ее структуры.

Резкое повышение уровня строгости логических рассуждений.

Введение большого числа понятий, новых терминов, новой символики.

Недостаточная развитость пространственного мышления, несформированность умений и навыков обобщения и абстрагирования.

Для преодоления этих трудностей необходимо опираться на следующие принципы в преподавании геометрии:

q Геометрия должна преподаваться в соединении наглядности и логики. Живое воображение должно быть пропитано строгой логикой.

q Должно быть строгое изложение без логических разрывов основных линий курса, но при этом учитывать, что абсолютная строгость достигаться не будет.

q Так как геометрия возникла из практики, то она должна быть связана с реальными предметами. В преподавание геометрии необходимо включить практическое изложение, реальность.

q Так как задачи обучения геометрии приводятся к развитию у учащихся следующих трех качеств: пространственного мышления, практического понимания, логического мышления, то преподавание геометрии должно опираться на следующие три точки: воображение, реальность, логика.

В преподавании геометрии нельзя включать ничего лишнего, второстепенного, малозначительного, оно не должно основываться лишь на координатном методе или алгебраическом. Необходимо включать дополнительный интересный материал, должно быть много наглядности.

Введение основных понятий опирается на наглядные представления и на тот опыт, который накоплен учащимися при изучении математики в 1-6 классах. Прежде всего необходимо раскрыть учащимся мысль, что развитие математики в целом и геометрии в частности обусловлено практическими потребностями людей. Таким образом, путем последовательного и многократного применения на уровнях принципа наглядности, у учащихся воспитывается сознание того, что математические законы, как и законы естествознания, существуют в природе, что их можно наблюдать, изучать и использовать в практических целях.

Необходимо также раскрыть перед учищимися мысль, что геометрические понятия появились как абстракции реального мира. Для этого применяют подвижные модели, приучают детей к представлять фируры в пространстве, в движении и тем самым подготовить подготовить переход от живого созерцания к абстрактному мышлению. Единство теории и практики - один из основных принципов преподавания геометрии. Решению задач отводится большая роль. Задачи по геометрии следует решать не от случая к случаю, а повседневно, на каждом уроке, в тесной связи с изучаемой теорией. На уроках геометрии надо чаще решать задачи на доказательство и построение. Очень важно научить ученика понимать чертеж, выделять на чертеже необходимые детали. Часто ученик не понимает содержание теоремы или решение задачи из-за того, что не видит отчетливо на чертеже те фигуры, о которых идет речь и рассмотрение которых дает решение вопроса. Задачи на построение являются важным средством формирования у учащихся геометрических представлений в целом. В процессе геометрических построений учащиеся в практическом плане знакомятся со свойствами геометрических фигур и отношений, учатся пользоваться чертежными инструментами, приобретают графические навыки. В правильности многих математических утверждений в большинстве случаев школьники убеждаются также в процессе геометрических построений. Для решения задачи развития пространственного мышления необходимо методически реализовать и поддержать содержательно (через посредство учебных заданий) транзитивную связь:

q Задание на построение;

q Развитие пространственного мышления;

q Математическое развитие учащегося.

В пользу существования такой транзитивной связи говорит ряд психологических и методических исследований, отмечающих неоспоримую роль задач на построение в развитии математических способностей учащихся; в установлении преемственных связей между геометрическим содержанием отдельных образовательных звеньев, в подготовке школьников к проведению доказательств.

На уроках геометрии в 7 классе учителю следует широко использовать наглядные пособия, которые в большинстве случаев можно изготовить собственными силами. К этой работе полезно привлекать учеников. Простейшие наглядные пособия должен изготовить к очередному уроку каждый ученик - это один из видов домашнего задания. Для хранения этих пособий целесообразно завести специальные конверты.

Начинающему учителю наиболее трудны первые уроки математики. Особенно ответственным является первый урок геометрии, так как он в значительной мере определяет успех последующих занятий. На ем необходимо дать понятие о происхождении геометрии, о предмете геометрии и ее значении для жизни.

Учитель должен заинтересовать учащихся новым предметом, вызвать у них желание изучать его.

Отечественной школой накоплен уникальный опыт преподавания геометрии. Учебник по преподаванию геометрии А.П. Киселева под редакцией А.П. Глаголева на протяжении десятилетий оставался образцом строгости, четкости и доступности изложения геометрии.

Конечно, этот и другие учебники геометрии прошлого века уже не вполне отвечают современной структуре и дидактическим требованиям к обучению. Недостатком этих учебников является то, что в них не предусмотрена дифференциация обучения, не учитывают индивидуальные склонности и способности учеников. Все это существенно обедняет курс геометрии в школе, делает его не интересным, не дает возможности сформировать у учащихся необходимые геометрические представления, сдерживает их интеллектуальное развитие.

Таким образом, обновление школьного курса геометрии состоит в том, чтобы, опираясь на достигнутый отечественной школой уровень геометрического образования, сделать его современным, интересным, учитывающим склонности и способности каждого ученика.

Рассмотрим несколько современных учебников геометрии, которые используются в обучении геометрии в 7 классе, и проведем их анализ.

Важной особенностью курса геометрии в изложении А.В. Погорелова является построение его на аксиоматической основе. Выделяя из всех сторон геометрии ее логическую строгость и стремясь с самого начала в школьном курсе все доказать, А.В. Погорелов расширяет аксиоматику и вводит в нее не только аксиомы измерения отрезков, но и аксиомы измерения углов. При этом в аксиомах измерения сопоставляет отрезкам и углам числа, не делая оговорок о зависимости этих чисел от выбора единиц измерения. По основной линии курс выстроен строго дедуктивно. Аксиомы вводятся в самом начале курса на наглядной основе. В четких словесных формулировках аксиомы фиксируют имеющиеся у учащихся интуитивные представления. Наряду с формально-логическими определениями понятий в пособи, как правило, даются конструктивные определения. Чрезвычайно важная роль отводится задачам. Предполагается. Что новые понятия, их свойства, способы рассуждений будут усваиваться учащимися главным образом в процессе их решения. В пособии предусмотрены серии задач, в которых одно и тоже понятие предстает в разных ракурсах, в качестве компонентов различных конфигураций. В учебнике А.В. Погорелова за аксиому принимается то, что каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой. Два отрезка называются равными. Если они имеют равные длины.

В 2001 г. издательство «Просвещение» выпустило новый учебник «Геометрия 7-9» И.М. Смирновой и В.А. Смирнова. Он рекомендован Министерством образования Российской Федерации и входит в Федеральный комплект учебников для общеобразовательной школы. В предлагаемом учебнике сохранены все основные разделы курса планиметрии, соответствующие программе основной школы. В учебнике виден явный подход к четкому изложению аксиоматического метода. Авторы глубоко убеждены, что аксиоматический метод построения геометрии не является трудным, для понимания школьников, а аксиомы можно рассмотреть как правила игры в геометрию. Если правила четко определены, то играть по ним легче, чем при отсутствии правил, одним из основных отношений в геометрии является отношение равенства. В предлагаемом учебнике понятие равенства отрезков и углов определяются без использования их длины и градусных величин соответственно. А именно вводится операция откладывания данного отрезка на данном луче от его вершины. Говорится, что любой отрезок можно отложить на данном луче от его вершины. Получающийся при этом отрезок называется равным исходному отрезку. Для отрезков определяются операции сложения, вычитания и умножения на натуральное число, отношение «меньше». Аналогичным образом для углов вводится операция откладывания данного угла от в той иной полуплоскости от данного луча. Говорят. Что любой угол можно отложить от данного луча в данной полуплоскости. Получающийся при этом угол называется равным исходному углу. Для углов определяются операции сложения, вычитания и умножения на число, отношение «меньше». Равенство произвольных фигур определяется через движение. При таком подходе к определению равенства фигур не используется ни понятие наложения, ни понятие длины. Конечно понятие длины отрезка и величины рассматриваются и дается способ их измерения. Однако они не входят в аксиомы и не используются при доказательствах теорем.

Структура учебника удобна для работы и в классе и дома. Все содержание разбито на пункты - занятия. Для изучения каждого из которых отводится, как правило, два урока. Помимо теории в занятие включен материл исторического, научно-популярного и прикладного характера, а также разнообразные задачи: устные, основные, повышенной трудности.

Рассмотрим так же учебное пособие автора Бевз, которое также используеся для преподавания курса геометрии в 7-9 классах. Если рассматривать с точки зрения аксиоматики, то данный учебник, так же как и учебник Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова дает аксиомы планиметрии не строго. Равенство отрезков вводится через равенство их длин, углов - если их меры равны, аналогично учебнику Погорелова. В отличии от всех выше рассмотренных пособий в учебнике Бевза вопрос о параллельных прямых, понятие накрест лежащих углов, признаки параллельных прямых вводятся на первых уроках геометрии. В учебник включены такие параграфы как «Теоремы и аксиомы», «Обратные теоремы», которые помогают учащимся, что же такое аксиомы, теоремы, что означают обратные теоремы. Приводится много задачного материала, при этом наблюдается обилие задач конструктивного характера.

Анализируя учебник «Геометрия 7-9» авторов Л.С. Атанасян В.Ф. Бутузов, можно заметить, что аксиоматическое строение геометрии дано в не достаточно строгой форме. Если же обратиться к учебнику тех же авторов для 10-11 классов, то аксиоматика стереометрии приводится на более высоком уровне. Не достаточная строгость на первых уроках приводит к более трудному усвоению и применению аксиоматики в старшей школе, так как большинство задачного материала будет основываться на аксиомах. В учебнике Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова авторы вместо термина «движение» пользуются термином «наложение». Они считают «наложение» основным понятием вместе с двумя другими основными понятиями - точки и прямой. Теоретический материал учебника содержит значительный объем информации связанный с применением геометрии на местности. Задачный материал богат упражнениями прикладного значения.

В данной выпускной квалификационной работе мы опираемся на учебное пособие Л.С. Атанасяна В.Ф. Бутузова «Геометрия 7-9», как наиболее популярное пособие, используемое для преподавания геометрии в средней школе.

Методика проведения первых уроков геометрии в 7 классе.

Урок 1.

Тема: Прямая и отрезок. Луч и угол.

Основные цели:

систематизировать знания учащихся о взаимном расположении точек и прямых; рассмотреть свойство прямой: через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну; ввести понятие отрезка. Напомнить учащимся, что такое луч и угол, ввести на наглядном уровне понятия внутренней и внешней областей неразвернутого угла, познакомить с различными обозначениями лучей и углов.

Тип урока: урок введения нового материала.

Урок полезно начать с беседы о возникновении и развитии геометрии, важно подчеркнуть, что геометрия возникла в результате практической деятельности людей. За несколько столетий до нашей эры в Вавилоне, Китае, Египте и Греции уже существовали начальные геометрические знания, которые добывались в основном опытным путем, но они не были еще систематизированы и передавались от поколения к поколению в виде правил и рецептов, например правил нахождения площадей фигур, объемов тел, построения прямых углов и т.д. Наибольшее влияние на все последующее развитие геометрии оказали труды греческого ученого Евклида, жившего в Александрии в III в. до н.э. Сочинение Евклида «Начала» почти 2000 лет служило основной книгой, по которой изучали геометрию.

Знакомя учащихся с геометрией необходимо подчеркнуть, что геометрия - это наука о свойствах геометрических фигур, но рассматриваются вовсе не все свойства фигуры. Так, например, цвет, вес, безразличен - геометрические свойства не зависят оттого из какого материала изготовлена фигура, металла или бумаги. Все свойства фигур, которые рассматриваются в геометрии определяются формами размерами.

Начальные сведения о прямой, отрезке, луче и угле были получены учащимися в 5-6 классе, так что на первых уроках геометрии в 7 классе данный материал дается в плане повторения, но при этом более систематизировано, строго. При рассмотрении понятия прямой необходимо заострить внимание на:

q Способах обозначения прямой будь то двумя большими латинскими буквами или малой латинской буквой.

q Прямая содержит бесконечно много точек.

q Через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

q Две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.

q Существование точек принадлежащих и не принадлежащих данной прямой.

Последние утверждения проверяются опытным путем, а именно перед учащимся ставиться вопрос можно ли провести через данную точку прямую? Если да, то сколько прямых можно провести через данную точку? Аналогично ставиться задача повести прямую через две точки. Учащиеся должны самостоятельно сделать вывод, что через одну точку можно провести бесконечно много прямых, а через две точки - одну прямую.

Для того, что бы выяснить вопрос о взаимном расположении прямых можно воспользоваться наглядными пособиями, где необходимо изобразить все возможные случаи расположения прямых (пересечение, параллельность), при этом необходимо сделать вывод: две прямые не могут иметь более одной общей точки.

При рассмотрении точек принадлежащих и не принадлежащих прямой возможно введение обозначение принадлежности и .

Для лучшего усвоения правил обозначения прямых, принадлежности точек прямой, взаимного расположения прямых целесообразно выполнить задания №1, №2, №3 учебника, в тетрадях и на доске с помощью карандаша и линейки.

Часть прямой, заключенной между точками А и В, включая точки А и В называют отрезком. При этом точки А и В называют концами отрезка АВ.

Полезно выполнить задание №5 для закрепления понятия отрезка и принадлежности точек прямой и отрезку.

№5. Проведите прямую a и отметьте на ней точку A и B. Отметьте:

a) точки M и N, лежащие на отрезке AB;

b) точки P и Q, лежащие на прямой а, но не лежащие на отрезке AB;

c) точки R и S, не лежащие на прямой a.

Решение:

А М N В P Q

S

R

a) , , ,

б), ,

в) ,

Аналогично, для введения понятия луча воспользуемся рисунком

А

Точка А делит прямую на две части. Каждую из образовавшихся частей вместе с отмеченной точкой называют лучом, а саму точку - началом луча. Также как и для прямой необходимо указать каким образом луч обозначается (маленькой буквой или большими буквами латинского алфавита).

Предлагается выполнить задание №8 учебника.

№8. Проведите прямую, отметьте на ней точки A и B и на отрезке AB отметьте точку C.

a) Среди лучей AB, BC, CA, AC и BA найдите пары совпадающих лучей;

b) Назовите луч, который является продолжением луча CA.

Решение:

a) Лучи AB и AC совпадают, BC и BA совпадают.

b) Луч BA является продолжением луча CA.

Примерами отрезка могут служить край листа, край парты и т.д. Для демонстрации луча можно воспользоваться лазерной указкой, которая наиболее наглядно отображает суть данного понятия.

Напомнить учащимся, что такое угол можно изготовив подвижную модель угла, которая представляет собой две закрепленные между собой, но при этом подвижные детали, изображающие лучи, исходящие из одной точки. При этом можно наглядно показать из каких частей состоит угол (двух лучей и точки), вводиться понятие угла, рассматриваются все виды углов, способы их обозначения (с помощью одной буквы при вершине угла, либо с помощью трех больших букв латинского алфавита, либо с помощью двух малых букв латинского алфавита), понятие внутренней и внешней области угла. Важно отметить, что луч, проведенный внутри угла делит его на два угла.

Предлагается выполнить задание №9, 12, для отработки навыков правильно обозначать углы, выявлять точки принадлежащие внутренней области угла и принадлежащие его внешней области.

Подведение итогов урока:

Учитель предлагает учащимся ответить на следующие вопросы:

1. Как можно обозначить прямую?

2. Сколько точек можно отметить на прямой?

3. Сколько прямых можно провести через две точки?

4. Что называется отрезком?

5. Что представляет собой луч?

6. Что называется углом?

Домашнее задание: №4, №7, №11, №13. Данные задания похожи на выполненные в классе, их цель направлена на закрепление темы прямая, отрезок, луч и угол.

№4. Отметьте точки A, B, C, и D так, чтобы точки A, B и C лежали на одной прямой, а точка D не лежала на ней. Через каждые две точки проведите прямую. Сколько получилось прямых?

Решение:

A a, B a и C a

Dа

Получилось три прямые.

№7. На рисунке 10 изображена прямая, на ней отмечены точки A, B, C и D. Назовите все отрезки:

a) На которых лежит точка C;

b) На которых не лежит точка B.

Решение:

a) СAD, CBD

b) BCD

№11. Начертите три луча h, k и l c общим началом. Назовите все углы, образованные данными лучами.

Решение:

Образовались углы hk, lk и hl.

Заключение

На первых уроках геометрии рассматриваются простейшие геометрические фигуры - точка, прямая, отрезок, луч, угол, вопрос сравнения и измерения отрезков и углов, вводятся понятия смежных и вертикальных углов, перпендикулярных прямых.

Введение основных понятий опирается на наглядные представления и на тот опыт, который накоплен учащимися при изучении математики в I-VI классах. Понятие аксиомы не формулируются в явном виде. Вместе с тем необходимые исходные положения, на основе которых изучаются свойства геометрических фигур, приведены в описательной форме уже на первых порах.

При решении задач по темам следует, прежде всего, опираться на наглядные представления учащихся. Необходимо сделать школьный курс геометрии современным, интересным, учитывающим склонности и способности каждого ученика.

Данная выпускная квалификационная работа будет полезна начинающим учителям средних школ, так как содержит хороший дидактический материал к первым урокам геометрии, студентам педагогических вузов при прохождении педагогической практики. Приведенные игровые формы обучения помогут заинтересовать учащихся в освоении столь сложного, но интересного предмета, как геометрия.

Поставленные в начале работы цели были достигнуты, методические рекомендации к первым урокам геометрии разработаны, дидактический материал предоставлен, курс математики 5-6 классов, как пропедевтической базы для уроков геометрии в 7 классе был рассмотрен.

Литература

1. Фридман Л.М. «Психолого-педагогические основы обучения математике в школе», М: Просвещение, 1983 г.

2. Скороходова Н.Ю. «Психология ведения урока», С-Петербург: Речь, 2002 г.

3. Буренок И.И. Губаева Л.И. Щедринский А.Д. «Психолого-педагогические и методические аспекты урока математики», Славянск-на/К, 2000 г.

4. Погорелов А.В. «Геометрия 7-9», М: Просвещение, 1990 г.

5. Атанасян Л.С. Бутузов «Геометрия 7-9», Москва 1997 г.

6. Смирнова «Геометрия 7-9»

7. Бевз «Геометрия 7-9»

8. Атанасян Л.С. Бутузов «Изучение геометрии в 7-9 классе», М: Просвещение 1997 г.

9. Погорелов А.В. «Изучение геометрии в 7-9 классе», М: Просвещение 1997 г.

10. «За страницами учебника математики»

11. Журнал «Математика в школе» №10, 2002 г.

12. Журнал «Математика в школе» №9, 2002 г.

13. Журнал «Математика в школе» №3, 1999 г.

14. Журнал «Математика в школе» №6, 1996 г.

15. Газета «Математика» Приложение №10, 13, 18, 25,26, 29, 30, 31,34, 38, 2004 г.

Размещено на Allbest.ru