Формирование знаний у учащихся средней общеобразовательной школы по теме "Углы"

Размещено на http://www.allbest.ru/

факультет математики и информатики

специальность: 032100 - математика; 030100 - информатика

кафедра математики и МПМ

Формирование знаний у учащихся средней общеобразовательной школы по теме «Углы»

Выполнила

Яковлева Ульяна Александровна

§ 1. Психолого - педагогический аспект изучения темы «Углы» в 8 классе средней общеобразовательной школы

§ 2. Проблемное обучение

§ 3. Анализ методических особенностей изложения темы «Углы» в 8 классе средней общеобразовательной школы в различных действующих учебниках по геометрии

§ 4. Тематическое планирование уроков в 8 классе по теме « Центральные и вписанные углы»

§ 5. Методические рекомендации к изучению темы «Центральные и вписанные углы»

§ 6. Планы - конспекты уроков по теме «Центральные и вписанные углы»

6.1 Урок № 1 «Градусная мера дуги окружности»

6.2 Урок № 2 «Теорема о вписанном угле»

6.3 Урок № 3 «Теорема об отрезках пересекающихся хорд»

6.4 Урок №4 Обобщение по теме «Центральные и вписанные углы»

6.5 Урок № 5 Контрольная работа по теме «Центральные и вписанные углы»

6.6 Факультатив «Другие углы, связанные с окружностью»

Заключение

Литература

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4

Введение

Угол - это самая простая геометрическая фигура, одна из первых, свойства которой человек узнал ещё в глубокой древности, так как эта фигура всегда имела широкое применение в практической жизни. Изображения угла встречаются в папирусах, в старинных индийских книгах и в других древних документах.

В наше время тема «Углы» в 8 классе средней общеобразовательной школы достаточно хорошо освещена и разработана. Но в связи с динамичными преобразованиями, происходящими не только в повседневной жизни людей, но и в школьном образовании, от учителя требуется дифференцированный подход к каждому классу и каждому отдельному ученику, развитие самостоятельности и активности учащихся.

Учитель вынужден внедрять новые методы обучения, разрабатывать эффективную методику обучения. Кроме того, этот материал вызывает у учащихся некоторые трудности при изучении.

Все выше сказанное, говорит об актуальности выбранной темы.

Итак, проблема исследования состоит в том, чтобы найти, разобрать и обосновать эффективные методы изучения темы «Центральные и вписанные углы» в 8 классе средней общеобразовательной школы.

Объектом исследования служит процесс обучения учащихся геометрии в средней школе.

Предмет исследования - методика изучения темы «Углы» в 8 классе средней общеобразовательной школы и ее применение в школе.

Целью данной работы является совершенствование методики изучения углов в 8 классе средней общеобразовательной школы.

Для реализации поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1) изучить и проанализировать основные теоретические положения по данной теме;

2) провести анализ психолого-педагогической и учебно-методической литературы;

3) определить методические особенности изучаемой темы;

4) подобрать дидактический материал;

5) создать электронное пособие по данной теме;

6) разработать планы - конспекты уроков и факультативное занятие.

Решение данных задач потребовало привлечения следующих методов исследования:

1) анализ научной, учебно-методической, психолого-педагогической литературы, пособий и справочников по геометрии;

2) ознакомление с современными публикациями и современным опытом учителей;

3) обобщение и систематизация теоретического и практического материала по данной теме;

4) решение задач по данной теме;

5) проектирование уроков по данной теме.

Апробация данной выпускной квалификационной работы была проведена в 8 классе МОУСОШ №17 им.В.И. Головченко п.Ильич Темрюкского района Краснодарского края.

Данная выпускная квалификационная работа состоит из введения, шести параграфов, заключения, списка литературы и приложения. Во введении обоснована актуальность исследования, даны его основные характеристики. Основная часть содержит психолого - педагогический аспект изучения темы, методические рекомендации к проведению уроков, а также создано электронное пособие по данной теме. В заключении работы приведены основные выводы и результаты проведенного исследования. В данной выпускной квалификационной работе имеется 4 приложения. Приложение 1содержит плакаты по данной теме. Приложение 2 содержит задачи с решением и указаниями из учебного пособия Атанасян Л.С. и др. «Геометрия 7-9» В приложении 3 разобраны карточки опроса учащихся, самостоятельная работа и контрольная работа. Приложение 4 содержит описание электронного пособия, а также вопросов теста.

Практическая значимость данной выпускной квалификационной работы заключается в том, что данный материал может использоваться студентами педагогических вузов для работы на лабораторных занятиях по методике преподавания математики. Для начинающих специалистов данная работа будет интересна некоторыми методическими рекомендациями. В данной работе разработаны и проверены учебные материалы для преподавания темы «Углы» в 8 классе средней общеобразовательной школы. Подобраны системы задач для указанной темы, в том числе разработаны методические рекомендации для учителей по организации обучения по представленному материалу.

Отрочество, подростковый возраст - период жизни человека от детства до юности (от 11- 12 лет до 14-15 лет). В этот самый короткий по астрономическому времени период подросток проходит великий путь в своем развитии: через внутренние конфликты с самим собой и с другими; через внешние срывы и колоссальные достижения он обретает чувство взрослости, приходит к порогу юности.

Учеба в школе занимает большое место в жизни подростка. Позитивное здесь - готовность подростка к тем видам, учебной деятельности, которые делают его более взрослыми в собственных глазах. Такая готовность может быть одним из мотивов учения [15].Подросткам интересно то, что требует самостоятельного обдумывания, для них характерна тяга к обобщениям, поиску общих принципов и законов, стоящих за частными фактами [9].Так, например, при изучении темы «Центральные и вписанные углы», мы можем вместе с ребятами увидеть, что доказательство теоремы о вписанном угле разбивается на три случая. Используя обобщения, можно подвести ребят к самостоятельному выводу о том, что результат данной теоремы не зависит от расположения сторон угла и диаметра, самостоятельное открытие данного материала повысит самооценку у большинства учащихся.

Интерес к учебному предмету в этом возрасте связан с качеством преподавания. Большое значение имеют подача материала учителем, умение увлекательно и доходчиво объяснить материал, что активизирует интерес, усиливает мотивацию учения. Постепенно на основе познавательной потребности формируются устойчивые познавательные интересы, ведущие к позитивному отношению к учебным предметам в целом [15]. Поэтому при изучении темы рекомендуется использовать разнообразные модели углов, чтобы ребята могли представить и научиться применять данный материал в разных ситуациях, использовать плакаты, а также постоянно обращаться к историческому развитию данной темы. При изучении геометрии учитель должен приводить различные примеры, связанные с жизнью, плакаты, рисунки.

В этом возрасте возникают новые мотивы учения, связанные с осознанием жизненной перспективы, своего места в будущем, профессиональных намерений, идеала.

Знания приобретают особую значимость для развития личности подростка. Они являются той ценностью, которая обеспечивает подростку расширение собственного сознания и значимое место среди сверстников. Именно в подростковом возрасте прилагаются специальные усилия для расширения житейских, художественных и научных знаний.

Эрудированный подросток пользуется авторитетом среди своих сверстников, как носитель особого фетиша, что побуждает его приумножать свои знания. При этом сами по себе знания доставляют подростку истинную радость, и развивает его мыслительные способности [15]. Поэтому рекомендуется почаще давать ребятам задачи устного и логического типа, несложные задачки хорошо развивают логическое мышление. Знания, которые получает подросток в процессе его учебной деятельности в школе, также могут приносить ему удовлетворение. Однако здесь есть одна особенность: в школе подросток не выбирает сам постигаемые знания.

Если подросток не видит жизненного значения определенных знаний, то у него исчезает интерес, может возникнуть отрицательное отношение к соответствующим предметам [15]. Чтобы этого не возникло при изучении темы «Центральные и вписанные углы», необходимо, чтобы ребята видели ценность изучаемого материала. Можно на конкретных примерах рассмотреть, где именно используются углы, чтобы ученики привели примеры из жизненного опыта, можно подсказать, что углы используются в строительстве и т.д.

Важным стимулом к учению являются притязания среди сверстников. Высокий статус может быть достигнут с помощью хороших знаний, при этом для подростка продолжают иметь значение оценки. Высокая оценка дает возможность подтвердить свои способности. Совпадение оценки и самооценки важно для эмоционального благополучия подростка [15].

Овладение учебным материалом требует от подростков более высокого уровня учебно-познавательной деятельности, чем в младших классах. Им предстоит усвоить научные понятия, системы знаков. Новые требования к усвоению знаний способствуют постепенному развитию теоретического мышления, интеллектуализации познавательной сферы. Поэтому рекомендуется на самостоятельное изучение дать учащимся материал исторического характера, чтобы ребята нашли, как изучаемый ими материал использовался раньше [15].

Новые требования учебный материал предъявляет и к процессам восприятия. Подростку необходимо не просто запомнить схему, какое-то изображение, а уметь в них разобраться, что является условием успешного усвоения учебного материала. Таким образом, постепенно происходит интеллектуализация процессов восприятия, развивается способность выделять главное, существенное. Например, определение дуги окружности как пересечения окружности и ее центрального угла, учащиеся запоминают без особых затруднений, но формально. После изучения этого определения вопрос: «Является ли линия АВ дугой окружности?» - не редко ставит учащихся в тупик. В дальнейшем при решении задач учащиеся опираются не на данное определение, а на индуктивно наглядный образ дуги как части кривой [5].

Все большее значение для подростка приобретают теоретическое мышление, способность устанавливать максимальное количество смысловых связей в изучаемом материале. Насколько быстро подросток способен выйти на уровень теоретического мышления, определяет глубину постижения им учебного материала и развитие его интеллектуального потенциала. Во всяком случае, в отрочестве престижно быть преуспевающим в интеллектуальной деятельности.

Обсуждая особенности учебной деятельности в отрочестве, мы брали предметом анализа возможностей этого возраста верхнюю планку в развитии мышления - решение, способность к рефлексии и т.д. Однако в действительности многие подростки продолжают оставаться на уровне конкретного мышления. Это может быть обусловлено индивидуальным развитием: через некоторое время подросток преодолеет этот уровень. Но для кого-то это может казаться пределом развития [15].

Возраст от 12 - 15 лет является периодом рождения гипотетико - дедуктивного мышления, способности абстрагировать понятия от действительности, формулировать и перебирать альтернативные гипотезы и делать предметом анализа собственную мысль. К концу подросткового возраста человек уже способен отделять логические операции от тех объектов, над которыми они производятся, классифицировать высказывания, независимо от их содержания, по их логическому типу.

Свои новые умственные качества подростки применяют выборочно, к тем сферам деятельности, которые для них очень значимы и интересны, а в других случаях могут обходиться прежними навыками. Поэтому, чтобы выявить реальный умственный потенциал личности, нужно сначала выделить сферу ее преимущественных интересов, в которой она максимально раскрывает свои способности [15].

В подростковом возрасте внимание, память, воображение уже приобрели самостоятельность - подросток настолько овладел этими функциями, что теперь в состоянии управлять ими по своей воле. В этот период начинает выявляться индивидуально доминирующая ведущая функция: каждый подросток может сам отрефлексировать, какая из функций является для него наиболее значимой. Рассмотрим особенности развития обсуждаемых функций.

Внимание

Подросток может хорошо управлять своим вниманием. Он может концентрировать внимание в значимой для него деятельности: в спорте, где он может добиться высоких результатов, в трудовой деятельности, где он зачастую проявляет чудо в умении сосредоточиться и выполнить тонкую работу, в общении, где его наблюдательность может соревноваться с наблюдательностью взрослых, у которых она является профессиональным качеством. Внимание подростка становится хорошо управляемым, контролируемым процессом и увлекательной деятельностью [9].

В школе на уроках внимание подростков нуждается в поддержке со стороны учителя - долгая учебная деятельность вдохновляет подростка на поддержание произвольного внимания. Учитель может использовать эмоциональные факторы, познавательные интересы, а также постоянную готовность подростка воспользоваться случаем и утвердить себя среди сверстников в удобной для этого ситуации. Поэтому при изучении темы «Углы» в 8 классе средней общеобразовательной школы, рекомендуется учащимся давать задачки устного, несложного характера, чтобы собрать внимание учащихся, остановить их внимание на каком то значимом для темы моменте, повторить ранее изученный материал, дать блеснуть учащимся своими знаниями. Например, по рисункам определить, какой из изображенных углов является вписанным, центральным, а какой не относится к ним [9].

Память

В это время подросток уже способен управлять своим произвольным запоминанием. Способность к запоминанию (заучиванию) постоянно, но медленно возрастает до 13 лет. С 13 до 15 лет наблюдается более быстрый рост памяти. В подростковом возрасте память перестраивается, переходя от доминирования механического запоминания к смысловому. При этом перестраивается сама смысловая память -она приобретает опосредованный, логический характер, обязательно включается мышление. Заодно с формой изменяется и содержание запоминаемого; становится более доступным запоминание абстрактного материала. Память работает на опосредованиях уже присвоенных знаковых систем, прежде всего речи [15].

Изучая тему «Углы» в 8 классе средней общеобразовательной школы, рекомендуется с учащимися делать «памятки», таблицы, рассматривать задачи на плакатах - это поможет запоминать им материал. А также все это поможет учащимся осмыслить и лучше запоминать изучаемый ими материал.

Воображение

В подростковом возрасте воображение может превратиться в самостоятельную внутреннюю деятельность. Подросток может проигрывать мыслительные задачи с математическими знаками, может оперировать значениями и смыслами языка, соединяя две высшие психические функции - воображение и мышление [15].

При изучении темы «Углы» в 8 классе средней общеобразовательной школы, рекомендуется использовать задачи устного типа, а также решать задачи на готовых рисунках, при этом можно использовать плакаты, чтобы ребята могли бы применять изученные теоремы и на нестандартных рисунках. Заставлять их приводить примеры из жизненного опыта, где они видят изучаемую фигуру, где она применяется, как используется.

В то же время подросток может строить свой воображаемый мир особых отношений с людьми, мир, в котором он проигрывает одни и те же сюжеты и переживает одни и те же чувства до тех пор, пока не изживет свои внутренние проблемы [15].

Подросток уже владеет действиями воображения, которые приносят ему удовлетворение: он властвует над временем, имеет свободную обратимость в пространстве, свободен от причинно-следственных связей существующих в реальном пространстве социальных отношений людей. Свобода проживания во внутреннем, психологическом пространстве продвигает подростка в развитии. Свободное сочетание образов и знаков, построение новых образно-знаковых систем с новыми значениями и смыслами развивает творческие способности, дарит неповторимые высшие чувства, которые сопутствуют творческой деятельности.

Воображение подростков может оказывать, таким образом, влияние на познавательную деятельность, эмоционально-волевую сферу и саму личность [15].

Развитие мышления учащихся

В методической литературе постоянно подчеркивают необходимость развития мышления учащихся на уроках математики. Многие авторы отмечают, что уже сам по себе процесс изучения математики приводит к умению логически, доказательно мыслить [5].

Очевидно, развитие мышления учащихся многократно ускоряется и усиливается, если учитель, обучая математике, одновременно учит умелому применению различных мыслительных приемов. Действительно, мышление учащегося (да и не только его) проявляется в умении анализировать и синтезировать, обобщать, конкретизировать и т. д., т. е. в умении применять различные приемы мыслительной деятельности к изучаемому материалу, к решению задачи, к любой жизненной ситуации. Так, например, изучая вопрос об измерении вписанного угла, обычно рассматривают 3 случая: а) одна из сторон вписанного угла является диаметром; б) диаметр окружности принадлежит вписанному углу; в) диаметр окружности не принадлежит вписанному углу. Утверждая, что, доказав справедливость теоремы для каждого из этих случаев, можно считать теорему доказанной в целом [8].

Развитие мышления учащихся, т. е. формирование у них умений и навыков применения различных приемов мыслительной деятельности, осуществляется следующими этапами:

1) Знакомим учащихся с отдельными мыслительными приемами. Причем знакомим с этими приемами обязательно в процессе изучения соответствующего материала.

2) Совместно с учащимися приходим к выводу, что прием, с которым сегодня познакомились в процессе изучения новой темы или решения задачи, не потребовал лишней траты времени. Более того, этот прием облегчил понимание. Его использование усилило интерес к изучаемому материалу [5].

3) Выбор того или иного мыслительного приема осуществляем в зависимости от содержания изучаемого материала. Поэтому в дальнейшем, когда учащиеся повторно встречаются с тем или иным приемом, напоминаем, что прием нам уже знаком. Далее выделяем те особенности данной и ранее изученной темы, благодаря которым целесообразно использовать именно данный прием.

4) Учим комплексному использованию различных мыслительных приемов во всевозможных комбинациях друг с другом [5].

5) В дальнейшем вырабатываем привычку самостоятельного применения мыслительных приемов. Для этого постоянно напоминаем о целесообразности тех или иных действий, если учащиеся забывают это. Рассмотрим примеры.

Учитель постоянно напоминает, что, прочитав в книге или услышав на уроке при объяснении, при ответе товарища какое-либо утверждение, например, что вписанный угол измеряется половиной дуги на которую он опирается, полезно проверить, действительно ли оно справедливо, поставив перед собой вопросы: «Почему?», «На каком основании?» (прием соотнесения); напоминает также, что преобразования, приведенные в книге, полезно воспроизводить, по возможности видоизменяя их (приемы воспроизведения и реконструкции) [5].

Учащихся приучают везде, где это возможно, сопоставлять изучаемый материал с прежними знаниями, устанавливая сходство и различия (прием сравнения). Учитель постоянно требует при воспроизведении изучаемого материала по теме «Центральные и вписанные углы» приводить свои примеры и контрпримеры (прием конкретизации).

Учащимся советуют при конспектировании располагать записи в наиболее удобной форме, потому что восприятие объектов облегчается, если они распложены в определенной, строго продуманной системе, требующей минимальных усилий со стороны органов чувств. Восприятие объектов расположенных хаотически, осуществляется неохотно и требует значительных волевых усилий. Учащимся рекомендуют различным образом оформлять свои записи, используя всевозможные символы: стрелки, подчеркивания, цветовые выделения (прием использования стимулирующих звеньев). Прочитав текст, учащиеся выделяют из него главное и коротко рассказывают, о чем идет в нем речь (прием составления плана). Например, дан вписанный угол, необходимо определить дугу, на которую он опирается. При этом можно подписать градусную меру угла на рисунке, а дугу выделить другим цветом [5].

Чтобы учащиеся действительно выполняли перечисленные рекомендации, чтобы целенаправленно управлять их мыслительной деятельностью, целесообразно руководствоваться закономерностью, активность мыслительной деятельности по ходу ознакомления с материалом по теме «Центральные и вписанные углы» возрастает, если соблюдаются следующие условия: учащийся знакомясь с материалом, одновременно выполняет конкретное задание, например, построить центральный и вписанный угол, найти центральный и вписанный угол, если известна дуга на которую они опираются; помогающее глубже понять данный материал; это задание направляет усилия учащегося на использование определенного приема мыслительной деятельности; учащийся обладает определенными знаниями, необходимыми для выполнения этого задания, и навыками применения данного приёма; этот приём соответствует содержанию материала, и чем в большей мере, тем сильнее активизируется деятельность; материал не являющийся чрезмерно легким; и дидактическим правилом, в котором подчеркивается, что сначала учитель ставит конкретное задание, направляющее усилия учащихся на использование определенных мыслительных процессов, а затем предлагает читать тот или иной абзац учебника, слушать объяснение [5].

Использование этого дидактического правила открывает заманчивые перспективы развития мышления учащихся. Учитель, опираясь на закономерность активности мыслительной деятельности, побуждает учащихся использовать те или иные мыслительные приемы. Эти приемы он сам выбирает применительно к содержанию данного материала. Тем самым учащиеся постепенно приучаются сами себе ставить подобные задания, побуждающие их применять мыслительные приемы, наиболее соответствующие содержанию изучаемого материала. Следовательно, они привыкают не просто слушать или читать, механически запоминая материал, а осмысливать, обдумывать его.Рассмотрим еще один пример комплексного использования ряда приемов [5].После изучения того или иного раздела полезно составлять с учащимися схемы и выполнять упражнения по этим схемам. Это позволяет повторять изученное с использованием целого ряда приемов мыслительной деятельности.

Пример. Изучив тему «Центральные и вписанные углы», предлагаем упражнение: «Составить схему, указывая в ней зависимости между определениями, теоремами и зашифровывая их формулировки».

Далее в схеме, изображенной на доске, стираются все стрелки и предлагаются упражнения:

1. Сформулировать определения, аксиомы, теоремы, указанные в блоках 1; 2; 3.

2. Восстановить стрелками все связи между определениями, аксиомами, теоремами в блоках 1; 2; 3. (Вызываемые ученики рисуют стрелки, остальные сверяют по своим тетрадям.).

3. Воспроизвести те фрагменты доказательств теорем, где выявляются связи, указанные в блоках 1; 2; 3. (Для ускорения работы заранее подготавливаются чертежи к соответствующим доказательствам.)

Очевидно, подобная работа позволяет обобщать изученный материал, устанавливать взаимосвязи, которые ускользают от внимания учащихся при изучении отдельных теорем. При этом учащиеся и повторяют материал, и учатся применять различные мыслительные приемы [5].

Подчеркнем еще раз, что целенаправленное обучение приемам мыслительной деятельности нисколько не замедляет процесс усвоения программного материала. Наоборот, этот процесс все более и более ускоряется по мере овладения этими приемами, т. е. по мере развития мышления учащихся.

Прочное усвоение математических знаний невозможно без целенаправленного развития мышления. Поэтому развитие мышления учащихся - одна из основных задач современного школьного обучения. В психологии мышление определяется как выделение ив сознании человека определенных сторон и свойств отображаемого объекта и постановка их в соответствие отношения с другими объектами с целью получения нового знания [5].

Таким образом, мышление есть активный процесс отражения объективного мира в сознании человека. Диалектика учит, что всякое явление, любой процесс представляет собой единство содержания и формы. Не представляет исключения и явление мышления. Структура отдельных мыслей и их особых сочетаний называется формами мышления. Все формы мышления отражают формы существования реальных. Правильность форм мышления обеспечивает правильное объективное изучение человеком объектов и явлений реальной действительности, обеспечивает прочную и достаточную систему знаний об окружающем мире. Понятно, какую большую роль для учителя математики представляет изучение форм мышления, их проявление у учащихся в процессе обучения [5].

Специфика математического мышления проявляется не только в том, что ему присущи все качества научного мышления, но и в том, что для него характерны особые формы (разновидности проявления мышления), которое в ходе их описания обычно выделяются специальными терминами: конкретное и абстрактное мышление, функциональное мышление, интуитивное мышление и т.п.

Так как в процессе обучения математике обычно используются так называемые конкретно - индуктивные или абстрактно - дедуктивные методы обучения, то, естественно возникает необходимость говорить о конкретном или абстрактном мышлении школьников.

Конкретное (предметное) мышление - это мышление в тесном взаимодействии с конкретной моделью объекта [5].

В процессе обучения математике в среднем и старшем звене школы воздействие на оперативное конкретное мышление учащихся проявляется при использовании различных наглядных пособий, диафильмов, кино и телевидения.

Оперативное конкретное мышление является более действительным для подготовки детей к овладению абстрактными понятиями. Самостоятельная мыслительная деятельность выделяется именно по мере, развития практической деятельности, лежащей в основе развивающей психики ребенка [5].

§2. Проблемное обучение

В качестве основы проблемного обучения предлагается следующая система дидактических принципов: научности и систематичности обучения; активности и самостоятельности учащихся в обучении; единства образования, воспитания и развития; связи теории с практикой; проблемности; мотивации учения и труда; трудности и доступности; бинарности; единства слова и наглядности; дифференциации и индивидуализации в обучении; профессиональной направленностью. По мнению М.И. Махмутова, обучение, основанное на указанных принципах, повышает уровень научности образования, способствует формированию научного мировоззрения учащихся, развивает познавательную самостоятельность и мыслительные творческие способности обучающихся, развивает эмоционально - волевые качества личности и формирует познавательную мотивацию учащихся [20].

В школьной практике проблемное обучение иногда сводится к эпизодической постановке вопросов, ответы на которые вызывают затруднения учащихся, хотя и традиционное обучение не исключает рассмотрения таких вопросов. Организация проблемного обучения предполагает качественно иное взаимодействие учителя и учащихся и специфическое построение учебного материала. Последнее основывается на выделении ведущих идей курса, их развитии, роли «человеческого фактора» в этом процессе. Важнейшим моментом взаимодействия учителя и обучающихся становится организуемое и руководимое учителем самостоятельное овладение учащимися знаниями. Познание учащихся осуществляется как исследование в процессе интеллектуальной учебной деятельности [5].

Важнейшим элементом проблемного обучения является содержательное обобщение. Вот как следовало бы организовать изучение школьниками темы «Методика изучения углов в 8 классе средне общеобразовательной школы», а именно темы «Центральные и вписанные углы» в контексте проблемного обучения. Учитель организует проблемную ситуацию, задает ученикам наводящие вопросы, тем самым помогает им решить поставленную задачу. Предположим, что учащиеся знакомы с понятием центрального и вписанного угла, с теоремой о вписанном угле и следствиями из нее. Выполняя доказательство теоремы о вписанном угле, учащиеся приходят к выводу, что при доказательстве теоремы необходимо рассмотреть 3 случая. Учащиеся видят, что эти три случая определяются расположением сторон вписанного угла относительно диаметра. Затем рассмотрев эти три случая делают вывод, что результат не зависит от расположения сторон относительно диаметра, рассматриваются практические применения полученных выводов.

Из существующих школьных учебников геометрии, пожалуй, в большей мере удовлетворяет требованиям проблемного обучения учебник геометрии под редакцией А. Н. Колмогорова. Однако опыт его использования высветил немало трудностей в работе с этим учебником [5].

В методике обучения математике проблемное обучение, понимаемое в узком смысле, на уровне средней школы вполне обеспечивается эвристическим и исследовательским методами, на уровне высшей школы -- методом проблемного изложения знаний и исследовательским. Остановимся на приемах постановки проблемных ситуаций.

Под проблемной ситуацией понимают осознанное затруднение, порождаемое несоответствием, несогласованностью между имеющимися знаниями и теми, которые необходимы для решения возникшей или предложенной задачи. Задача, создающая проблемную ситуацию, называется проблемной задачей или проблемой. В методической литературе выделены требования к проблеме и пути создания проблемных ситуаций. Проблема должна быть доступной пониманию учащихся, а ее формулировка -- вызвать интерес, постановка проблемы должна быть естественной, проблемную ситуацию нужно готовить, она должна создаваться всем ходом урока, быть его органической частью [5].

В качестве путей создания проблемной ситуации видят:

1) предварительную постановку практической проблемы;

2) разбор возможностей использования изученного материала;

3) поиск средств выполнения решения;

4) решение нешаблонных задач.

Проблемным называется такое обучение, при котором усвоение знаний и начальный этап формирования интеллектуальных навыков происходят в процессе относительно самостоятельного решения задач-проблем, протекающего под общим руководством учителя. Например, чтобы сформулировать теорему о вписанном угле, учащимся рекомендуется решить 3 задачи, которые являются доказательством данной теоремы. После решения этих задач, учащиеся видят, что они получили одинаковый результат. Теперь им необходимо попытаться сформулировать теорему.

Принцип проблемности, отвечая специфике продуктивного мышления -- его направленности на открытие новых знаний, является основным, ведущим принципом развивающего обучения [20].

Проблемны только те задачи, решение которых предполагает хотя и управляемый учителем, но самостоятельный поиск еще неизвестных школьнику закономерностей, способов действия, правил. Такие задачи возбуждают активную мыслительную деятельность, поддерживаемую интересом, а сделанное самими учащимися открытие приносит им эмоциональное удовлетворение и гораздо прочнее закрепляется в их памяти, чем знания преподнесенные в готовом виде. Эта активная самостоятельная мыслительная деятельность приводит к формированию новых связей, свойств личности, положительных качеств ума и тем самым -- к микросдвигу в их умственном развитии. Перед учащимися ставится проблема дать определение полуокружности. Здесь необходимо учащихся подвести к тому, что отрезок соединяющий концы дуги, является диаметром окружности.

Выбор задач для проблемного обучения прежде всего зависит от специфики их содержания. Материал описательного характера, подлежащий усвоению, вряд ли может служить средством проблемного обучения. Проблемными могут стать задачи на применение уже известных закономерностей в относительно новых условиях, но таких, которые предполагают более или менее значительную перестройку знакомых способов решения, выбор из многих возможных вариантов наиболее рационального способа действия, применение общих теоретических положений, принципов решений в реальных практических условиях, требующих внесения в них конструктивных изменений, и т. д. [5].

Наибольший эффект при проблемном обучении дают задачи, предполагающие открытие новых для учащихся причинно-следственных связей, закономерностей, общих признаков решения целого класса задач, в основе которых лежат еще не известные субъекту отношения между определенными компонентами исследуемых конкретных ситуаций. Учащиеся приходят к тому, что если центральный и вписанный угол опираются на одну дугу, то вписанный угол равен половине центрального угла [5].

Выбор задачи-проблемы зависит и от наличия у школьников исходного минимума знаний или возможности за относительно короткий срок до постановки проблемы ознакомить учащихся с необходимыми для самостоятельного решения сведениями. Вместе с тем надо помнить, что эти знания должны служить опорой для поисков пути решения, а не наводить, не подсказывать этот путь, иначе задача перестанет быть проблемной.

Степень сложности задачи, зависит и от уровня самостоятельности при постановке и решении проблемы. Наименьшая самостоятельность требуется от учащихся тогда, когда преподаватель сам ставит проблему и намечает основные вехи для ее решения, включая школьников лишь в отдельные звенья рассуждения, приводящего к определению искомого. Обычно так идет урок проблемного типа на начальном этапе работы над принципиально новым для школьников разделом программы, когда базис для решения такого рода проблем у них еще очень мал. Поставив проблему, учитель должен дать школьникам самим попытаться ее решить на основе имеющихся знаний и убедиться, что этих знаний для достижения цели явно недостает, а затем принять участие в построении доступных для них звеньев рассуждения, приводящих к новому знанию [5].

По мере накопления исходных знаний степень самостоятельности поисков решения должна нарастать. Учитель, поставив проблему, предоставляет школьникам самим искать путь ее решения, давая теперь лишь самые общие указания о направлении поиска. Далее он только ставит проблему и ограничивается критикой ложных ходов мысли при попытках школьников найти решение. Наконец, когда у школьников в изучаемой области накопились необходимые знания и навыки, следует предоставить им возможность самим увидеть в предполагаемых исходных ситуациях новую для себя проблему, сформулировать ее и найти способ решения, а педагог лишь в крайнем случае, если сами учащиеся в рассуждениях зашли в тупик, оказывает им минимальную помощь, намекая, как можно выйти из него [5].

Таковы некоторые более внешние, поддающиеся объективной оценке условия, определяющие проблемность задач. Однако следует особо подчеркнуть, что даже полностью отвечающая указанным условиям задача может не стать для школьников проблемной, если при ознакомлении с ней учителю не удастся создать у них проблемной ситуации. Проблемная ситуация отражает субъективное принятие задачи, реальное участие каждого школьника (хотя бы мысленно) в процессе ее решения. Важно, чтобы ученик сам задумался над сформулированной в классе проблемой, сам себе задал тот же вопрос и попытался дать на него ответ.

Наиболее эффективное средства для создания у школьников проблемных ситуаций -- использование противоречий, конфликта между усвоенными знаниями, знакомыми способами решения определенного класса задач и теми требованиями, которые предъявляет новая задача; школьники должны убедиться в том, что решение задач на основе уже имеющихся знаний приводит к ошибкам. Учитель сознательно заостряет конфликт, подчеркивает возникающее противоречие, стимулирует попытки найти выход из создавшегося положения, разрешить противоречие [20].

Проблемные ситуации у школьников могут быть созданы тем, что в задачах с недостающими и избыточными данными им будет предложено найти ряд возможных вариантов решения и обоснованно выбрать наиболее эффективный; часть данных в них определяется по таблицам, на основе дополнительных измерений и т. д. Решение таких задач приближает школьное обучение к жизненной практике, повышает действенность знаний, поскольку последние приобретены в процессе более или менее самостоятельной активной мыслительной деятельности [20].

Возникнет ли в условиях обучения у того или иного учащегося проблемная ситуация, обратиться ли он для ее решения к наиболее эффективному приему продуктивного мышления -- анализ через синтез или же к механической манипуляции данными -- зависит не только от объективных факторов, но и от факторов субъективных, и прежде всего -- от умственного развития школьников. Поскольку школьники одного и того же возраста имеют весьма существенные различия в достигнутом ими уровне умственного развития, полная реализация принципа проблемности не может быть осуществлена без индивидуализации обучения [20].

§3. Анализ методических особенностей изложения темы «Углы» в 8 классе средней общеобразовательной школы в различных действующих учебниках по геометрии

«Период традиционных современных учебников» для массовой школы - Л. А. Атанасян и др., А. В. Погорелов, И. Ф. Шарыгин, В. А. Смирнов и др. Появление этих учебников было связанно с желанием авторов вернуться к более традиционному подходу к изучению школьного курса геометрии. Но перед данными учебниками появилась новая проблема, связанная с внедрением в систему образования дифференцированных методов обучения. Оказалось, что для современной школы нужна не только достаточно четкая и строгая система изложения геометрических знаний, но и мотивация учения, этическое воспитание, связь с окружающим миром, учет индивидуальных особенностей и способностей учащихся и т.д. В настоящее время названные авторские коллективы пытаются адаптировать свои учебники к современным условиям [7].

В процессе обучения геометрии используются разнообразные методы обучения. Они должны составлять единый комплекс, основой которого являются учебники по геометрии. Все остальные средства обучения предназначены для лучшего усвоения школьного курса геометрии, они должны быть тесно связаны с учебником, разъяснять и развивать идеи учебника, служить общим (с учебником) целям формирования у учащихся прочных, стойких и пластичных математических знаний, умений и навыков.

Прежде всего она предназначена ученику, так как содержание текста, подбор примеров, язык, уровень формализации и т. д. рассчитаны непосредственно на ученика соответствующего возраста [7].

Нечеткость, расплывчатость представлений об углах нередко обрекают ученика на полное непонимание данной темы. Желательно при изучении темы «Центральные и вписанные углы» в 8 классе, использовать модели углов, плакаты и различные памятки.

Авторы учебников, зная об этих трудностях, каждый по своему избирает, как ему представляется наилучший подход к изучению темы «Центральные и вписанные углы» в 8 классе.

Если мы рассмотрим учебник Погорелова А. В. «Геометрия 7 - 11» -это пособие для учащихся, которое было написано в обновленном и более строгом изложении традиционной геометрии в духе А.П. Киселева, учебник которого вобрал в себя многовековые традиции преподавания геометрии. Главная задача геометрии - научить логически рассуждать, аргументировать свои утверждения, доказывать [7].

Учебник Погорелова А. В. - является книгой для самостоятельного чтения учеником после объяснения учителем, а все методические аспекты ( в том числе и различные подходы к объяснению материала) есть удел книги для учителя. Таким образом, здесь делается упор на высокую квалификацию учителя, на его методические вкусы. Анализ практики преподавания, как показывают наблюдения, что не все учителя стремятся вовлечь учащихся в активную познавательную деятельность по изучению геометрии, предпочитая информационную модель обучения, что не способствует эффективному интеллектуальному развитию учащихся, снижает эффективность изучения школьниками геометрии по данному учебному пособию [7].

В учебнике А. В. Погорелова тема «Центральные и вписанные углы» изучается следующим образом: в 7 классе в параграфе «Геометрические построения» в пункте «Углы, вписанные в окружность», на изучение этого пункта отводится 2 часа; в 9 классе в параграфе «Площади фигур» в пункте «Центральный угол и дуга окружности» на изучение этого пункта отводится 1 час. Данный учебник состоит из 21 параграфа и снабжен большим количеством фактологического материала. Теоретический материал в данном пособии изложен понятным доступным языком, небольшими порциями. Здесь имеется большое количество наглядных примеров, рисунков, есть богатый и разнообразный задачный материал. Много внимания уделяется задачам на вычисление, которые как показывает наблюдение, занимают ведущее место в курсе планиметрии. После изученного параграфа имеются вопросы и упражнения для закрепления темы. Поэтому рекомендуется использовать данное учебное пособие при изучении темы «Центральные и вписанные углы» [16].

Учебник «Геометрия 7-9» Смирнов В.А., Смирнова И.М. Данное учебное пособие следует традициям преподавания геометрии в школе, заложенном ещё в учебнике Киселева А.П., однако соответствует современной программе. Авторы учебника используют идею аксиоматического подхода к построению курса геометрии, при котором выделяются основные понятия и некоторые их свойства, принимаемые без доказательства [19].

Помимо классических разделов планиметрии в качестве дополнительного, в учебник включен научно-популярный материал, который отражает некоторые современные направления развития геометрии и носит общеобразовательный характер. В конце учебника излагаются «Начала стереометрии». В каждый параграф учебника включены задачи различного характера и уровня трудности. Кроме этого параграфы содержат дополнительный теоретический и практический материал, помеченный знаком «*» [19].

Тема «Центральные и вписанные углы» по данному учебному пособию изучается в 8 классе в параграфе «Параллельность на плоскости» в пункте «Углы, связанные с окружностью», на изучение этого пункта отводится 2 часа, по 2 часа в неделю. Содержание материала учебника разбивается на параграфы, которые соответствуют занятиям. В учебнике имеется богатый задачный материал, вычислению задач отводится большое количество времени. Здесь учащиеся знакомятся не только с историческими сведениями, тригонометрической функцией острого угла, тригонометрическим тождеством, тригонометрической функцией тупого угла, теоремой синусов и косинусов. В качестве дополнительного материала учащимся дополнительно предлагается изучить длину окружности, число , циклоидальные кривые, циклоида, кардиоида. Поэтому я считаю, данное учебное пособие отвечает всем требованиям необходимым для изучения темы «Центральные и вписанные углы».

Рассмотрим теперь учебник «Геометрия 7-9» Шарыгин И.Ф. Данный учебник привлекает многих учителей новизной идей, свежестью и оригинальностью решения некоторых теоретических проблем [17].

С помощью данного учебника, ученик реализует новые концепции изучения геометрии. Традиционно считается, что геометрия строго логическая наука, развивающая в первую очередь (и главным образом) логическое мышление. Автор учебника трактует назначение геометрии более широко. Он утверждает, что геометрическое мышление, которое формирует геометрия, имеет две составляющие - наглядно - образную и логическую, и что геометрия согласует обе эти составляющие [17].

В данном учебнике на начальном этапе изучения геометрии акцент делается на наглядно - образной составляющей и только по мере развития геометрического мышления возрастает значение его логического мышления, поэтому необходима хорошая пропедевтика в 5-6 классах. И в качестве неё выступает начальный курс в системе школьного геометрического образования - оригинальный курс «Наглядная геометрия». Здесь учащимся сообщается определенный объём геометрических знаний, они вооружаются геометрическим методом познания мира.