Методика изучения комплексных чисел в общеобразовательной школе

Размещено на http://www.allbest.ru/

56

Размещено на http://www.allbest.ru/

Департамент образования города Москвы

Государственное образовательное учреждениевысшего профессионального образованиягорода Москвы

"Московский городской педагогический университет"

Математический факультет

Кафедра математического анализа и методики его преподавания

Дипломная работа

По теме

Методика изучения комплексных чисел в общеобразовательной школе

Москва, 2010

Оглавление

комплексное число изучение школа

Введение

Глава 1. Психолого-педагогические и методические основы изучения в школе теории комплексных чисел

1.1 Элементы истории возникновения и становления теории комплексных чисел

1.2 Исторический обзор изучения комплексных чисел в советской и российской общеобразовательной школе: программы и учебники

1.3 Психолого-педагогические особенности старшего школьного возраста

1.4 Психолого-педагогические особенности восприятия темы «Комплексные числа» в старших классах

1.5 Обзор учебников по алгебре и началам математического анализа для 10 - 11 классов, содержащих тему «Комплексные числа»

Выводы по главе 1

Глава 2. Методическое обеспечение изучения комплексных чисел в 10 классе общеобразовательной школы

2.1 Тематическое и поурочное планирование по учебнику

А.Г. Мордковича, Семенова П.В. «Алгебра и начала анализа»,10 класс

2.2 Контрольно-проверочные материалы по теме «Комплексные числа»

2.3 Экспериментальная проверка методических разработок

Выводы по главе 2

Заключение

Библиография

Введение

комплексное число математический анализ педагогический

Современное общество предъявляет выпускнику школы достаточно высокие требования. Эти требования касаются и общей культуры выпускника и научной культуры. В нашем случае мы будем говорить о математической культуре, а еще точнее - об алгебраической.

С первого класса и до окончания школы главным понятием алгебры является понятие числа. Изучение чисел идет последовательно - натуральные числа, дроби, целые числа, иррациональные, действительные. На этом общеобразовательная программа ставит точку, оставляя существенный пробел в знаниях ученика, так как естественным и логически правильным является формирование более общего понятия - понятия комплексного числа. И на это есть несколько причин. Во-первых, тема «Комплексные числа» традиционно входила в программы по математике старшей школы с углубленным изучением математики. Во-вторых, эта тема включена в государственный стандарт среднего (полного) образования по математике (профильный уровень). В частности, приведем выдержку из стандарта (раздел «Числовые и буквенные выражения»): «Комплексные числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Действительная и мнимая часть, модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи. Комплексно сопряженные числа. Возведение в натуральную степень (формула Муавра). Основная теорема алгебры». (Курсивом в тексте стандарта выделен материал, который подлежит изучению, но не включается в Требования к уровню подготовки выпускников).

В-третьих, комплексные числа важны как область математики, в которой в полную силу работают знания и умения, полученные учащимися при обучении алгебре и тригонометрии.

И в-четвертых, переход от действительных чисел к комплексным является завершающим шагом во всем изучении понятия числа в школьном курсе математики.

К старшим классам ученики обладают уже достаточно зрелым математическим развитием: они в состоянии понимать и уважать нужды самой математической науки. Введение комплексных чисел представляет собой едва ли не самую яркую на протяжении школьного курса иллюстрацию диалектического развития математических понятий, логической простоты и завершенности. Понятие о числе выстраивается в единое стройное целое. Кратко говоря, множество комплексных чисел получается из множества действительных чисел «добавлением» только одного нового числа , для которого , и всех линейных комбинаций вида с действительными коэффициентами и . При «добавлении» единственного корня специального квадратного уравнения мы переходим к числам, в которых и любое квадратное, и любое кубическое, и любое уравнение -й степени имеет корни.

Вполне естественно также, что только в старших классах уместен полный, систематизирующий взгляд на развитие понятия числа.

Актуальность исследования определяется тем, что учащиеся должны иметь представление о множестве комплексных чисел, операций над ними, их различных приложений. В тоже время методических разработок по изучению комплексных чисел в школе в настоящее время сравнительно мало.

Объектом исследования является методика преподавания темы «Комплексные числа» в старших классах.

Целью исследования является разработка и практическая реализация тематического и поурочного планирований, контрольно-проверочных материалов по теме «Комплексные числа».

Научная проблема исследования состоит в разработке наиболее эффективных заданий для организации повторения и углубления знаний старшеклассников по теме «Комплексные числа».

Для решения проблемы были сформулированы следующие задачи:

1) проследить процесс становления темы «Комплексные числа» в Российской школе;

2) выявить психолого-педагогические и методические особенности преподавания темы «Комплексные числа» в старших классах;

3) разработать тематическое и поурочное планирование по теме «Комплексные числа» по учебнику А.Г.Мордковича, П.В.Семенова «Алгебра и начала математического анализа»;

4) разработать контрольно - проверочных тестовых заданий по теме «Комплексные числа» по учебнику А.Г.Мордковича, П.В.Семенова «Алгебра и начала математического анализа»;

5) произвести экспериментальную проверку разработанных материалов.

Основные методы исследования: изучение соответствующей психолого-педагогической, математической и методической литературы; анализ содержания школьных учебников по теме "Комплексные числа"; беседы с учителями и школьниками.

Практическая значимость. Результаты работы могут быть использованы в учебном процессе математической подготовки учащихся в системе общего среднего образования.

Глава 1. Психолого-педагогические и методические основы изучения в школе теории комплексных чисел

1.1 Элементы истории возникновения и становления теории комплексных чисел

Человечество всегда сталкивалось с проблемами неразрешимости каких - либо задач и искало, иногда успешно, иногда нет, пути их решения. Например, в математике, для того чтобы любое уравнение имело корни, положительных чисел оказалось недостаточно и за два века до н.э. китайскими математиками были введены отрицательные числа. Отрицательные числа помогли описывать единым образом изменение величин.

Для решения уравнений вида потребовалось введение дробных чисел. Известно, что за два тысячелетия до н.э. в Древнем Египте и Древнем Вавилоне уже применялись дроби [10]

В VIII веке нашей эры было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения - положительное и отрицательное, и то, что из отрицательных чисел квадратные корни извлечь нельзя: нет, например, такого числа , чтобы выполнялось равенство . В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым научиться извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В 1545 году итальянский математик Д. Кардано (1501 - 1576) предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений , не имеющая решений в множестве действительных чисел, имеет решение всегда, при , нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать, что [28]. Кардано называл такие величины «чисто отрицательными» и даже «софистически отрицательными», считая их бесполезными, и стремился не применять их, ведь с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение этой величины. Но уже в 1572 г. вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли (ок. 1526 - 1572), в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Далее комплексные числа применялись в различных вопросах алгебры, но практических применений пока не имели. Название «мнимые числа» ввел в 1637г. французский математик и философ Рене Декарт [35].

Вообще математики XVI в. и следующих поколений вплоть до начала XIX века относились к комплексным числам с явным недоверием и предубеждением. Они считали эти числа «мнимыми» (Рене Декарт), «несуществующими», «вымышленными», «возникшими от избыточного мудрствования» (Д. Кардано) [10]. Г. Лейбниц называл эти числа «изящным и чудесным убежищем божественного духа», а считал символом потустороннего мира (и даже завещал начертать его на своей могиле).

Многие ученые этого периода пытались интерпретировать комплексные числа на прямой линии и применять к таким понятиям, как например, температура, время и др., не требующим плоскостного изображения [28].

Позднее, Л. Эйлер (1707 - 1783) ввел в математику символ , где ( - это первая буква латинского слова imaginarius, что значит «мнимый», «воображаемый») [10].

Также Л. Эйлером была выведена формула , которая впоследствии была названа его именем, хотя до Эйлера этой формулой владел английский математик Р. Котес (1682 - 1716) [35]. Эта формула позволила:

· доказать периодичность экспоненциальной функции;

· вывести логарифмы комплексных чисел.

Более строгую теорию нового множества чисел, которые были названы комплексными, развил немецкий ученый Карл Гаусс (1777 - 1855), который также дал их геометрическое толкование, позволившее преодолеть многие трудности в их понимании. Хотя до Гаусса геометрическое толкование встречается у датского землемера К. Веселя (1745 - 1818) и французского математика Аргана (1768-1822). К. Гаусс в 1831 году дал глубокое обоснование комплексных чисел и их приложений в математике. После того как появилось наглядное геометрическое изображение комплексных чисел с помощью точек плоскости и векторов на плоскости (Гаусс в 1831 г, Вессель в 1799 г, Арган в 1806 г), стало возможным сводить к комплексным числам и уравнениям для них многие задачи естествознания, особенно гидро- и аэродинамики, электротехники, теории упругости и прочности, а также геодезии и картографии. С этого времени существование «мнимых» или комплексных чисел стало общепризнанным фактом и они получили такое же реальное содержание, как и числа действительные.

В XIX веке О. Коши (1789-1857), Г. Риман (1826-1866), и К. Вейерштрасс (1815-1897) на базе комплексных чисел создали новую математическую дисциплину - теорию функций комплексного переменного, которая играет важную роль в современной математике [28].

С развитием науки и техники становилось все более ясным, что без комплексных чисел нельзя обойтись во многих практических делах. Широкое применение нашли комплексные числа в электротехнике, гидродинамике, картографии, в теории самолета и многих других отраслях. Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли российские и советские ученые: Р.И. Мусхелишвили занимался ее приложениями к теории упругости, М.В. Келдыш и М.А. Лаврентьев - к аэродинамике и гидродинамике, Н.Н. Боголюбов и В.С. Владимиров - к проблемам квантовой теории поля. Сейчас трудно указать область физики, механики, технических дисциплин, где не применялись бы комплексные числа [35].

Следует отметить, что комплексные числа имеют большое познавательное и практическое значение. Их изучение в курсе математики средней общеобразовательной школы является весьма актуальным [10].

1.2 Исторический обзор изучения комплексных чисел в советской и российской общеобразовательной школе: программы, учебники

Рассмотрим программы средней школы по математике, учитывая объем и содержание темы «Комплексные числа» в различные периоды развития советской и российской школы.

Выделим несколько этапов:

I этап: 1917 - 1932г.г.

II этап: 1933 - 1965г.г.

III этап: 1965 - 1967г.г.

IV этап: 1968 г. - по настоящее время

I этап (1917-1932г.г.).

В эти годы понятия о комплексных числах входили в обязательную программу по математике. В программы, по которым работали школы до 1932 года, изучались лишь мнимые числа. Комплексные числа и идея расширения понятия числа в программу этих лет не входили. Мнимые числа использовались лишь в двух темах: «простейшие преобразования и действия со степенями и корнями» и «решение квадратных уравнений». Перед школьниками ставилась задача о необходимости извлечения квадратного корня из отрицательного числа и потребность установления числа корней квадратного уравнения. Этим объяснялось введение мнимых чисел. Впервые в школу было введено рассмотрение комплексных чисел в 1932 году. По программе этого года следует вводить комплексные числа в 8-м классе при исследовании квадратных уравнений. Программой предусмотрено изучение следующих вопросов: запись мнимого числа через i; степени i; комплексное число; сопряжённые комплексные числа; сумма и произведение комплексных чисел; разложение суммы квадратов двух чисел на произведение двух сопряжённых комплексных чисел" [31].

II этап (1932 - 1965 г.г.) С 1933 и до 1935 года, комплексные числа в школе изучаются уже в значительно большем объёме. Школьников знакомят с ними в 8 классе, а более подробно изучают в 9 классе, где кроме действий над комплексными числами дается их геометрическое представление. В 1935-1937 г.г. впервые в программу 10 класса включаются комплексные числа (действия над ними, их тригонометрическая форма). Их изучение дается в темах «Расширение понятия о числе» и «Обобщение понятия о числе» [31].

В Объяснительной записке к программе 1938 г. составители прямо указывают, что "в курсе алгебры 10-го класса перед введением комплексных чисел желательно привлечь внимание учащихся к идее эволюции понятия числа и сообщить краткие исторические сведения. Необходимо сообщить учащимся, что комплексные числа играют очень значительную роль в современной технике, в частности в авиации и электротехнике". В 1938 году общее название темы "Обобщение понятия о числе" было заменено названием "Комплексные числа" [24]. Но, несмотря на такие рекомендации в Объяснительной записке, самостоятельно вопросы расширения понятия числа не включались в программы вплоть до 1964 года.

В программу 1964 года была включена тема "Обобщение понятия числа "Комплексные числа" в следующем объёме (таблица 1):

Таблица 1

№	Содержание учебного материала	Объем учебного материала (часы)
1	Постановка задачи расширения понятия числа. Натуральные числа. Понятие о математической индукции. Рациональные числа. Действительные числа.	3
2	Комплексные числа. Условие равенства комплексных чисел и решение примеров, основанных на применении этого условия. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.	3
3	Сложение, умножение, вычитание и деление комплексных чисел. Возведение в степень с натуральным показателем.	6
4	Двучленные уравнения третьей и четвертой степени. Основная теорема алгебры (без доказательства).	3
5	Контрольная работа	1
6	Всего	16

В 1965 году из программы исключён вопрос "Основная теорема алгебры" (без доказательства).

Из таблицы видно, что если вопросы расширения понятия числа в какой-то степени затрагивались в программах средней школы, то вопросы приложений совсем не были развиты.

Характеризуя постановку преподавания комплексных чисел в общеобразовательных школах нашей страны на этом этапе, В.М. Кухарь пишет, «… за последнее время наметились три различных взгляда в постановке вопроса об изучении комплексных чисел. Первый взгляд сводился к необходимости внести изменения в изучение этой темы в средней школе с тем, чтобы учащиеся получили понятие о реальном содержании мнимых чисел. Второе мнение сводится к полному исключению этой темы из школьной программы по математике. Третье мнение сводится к тому, чтобы в средней школе ограничиться одним только понятием о комплексных числах, без рассмотрения их свойств и действий над ними. Изъятие из программы средней школы комплексных чисел, имеющих исключительно важное значение в современной механике и технике, противоречит целям политехнического обучения. По нашему мнению, количество часов, отведённых программой на изучение темы, надо сохранить, но в основу введения мнимых и комплексных чисел надо положить идею дальнейшего расширения и обобщения понятия о числе, показав реальную сущность и практическое применение. Мириться дальше с таким положением, когда учащиеся оперируют с мнимыми числами, реального смысла которых они не понимают, ни в коем случае нельзя. Выход из такого положения надо искать прежде всего в постановке вопроса об изучении комплексных чисел в средней школе».

III этап (1965 - 1967г.г.).

К середине 20 века выявилось отставание математической подготовки учащихся средней школы в теории комплексных чисел.

Действующая программа средней школы по математике мало способствовала формированию у учащихся правильного научного представления о понятии комплексного числа и его роли в общей идее расширения понятия числа.

Учащиеся допускали логические ошибки, не понимали реального значения комплексных чисел, полностью отсутствовали представления о приложениях комплексных чисел. В сознании учащихся этот раздел представлялся как формально-логическая игра, не имеющая никакого отношения к реальному миру. Эти недочеты отмечали многие ведущие математики и методисты страны [24]. Например, С.И. Новоселов, писал, «У учащихся возникают вопросы: какой реальный смысл числа и какие отношения окружающего мира оно отражает? Не находя ответа на эти вопросы, учащиеся невольно приходят к выводу, что вся теория комплексных чисел является фикцией. К сожалению, и в настоящее время среди молодежи, оканчивающей среднюю школу, можно встретить недоверчивое отношение к комплексному числу, как к чему-то несуществующему».

Н.Я. Виленкин в статье «Гибрид из мира идей или как комплексные числа стали прилагательными» прямо пишет: «Даже и теперь те, кто сталкивается с математикой лишь в средней школе, убеждены: никаких практических применений комплексные числа не имеют и иметь не могут, они придуманы лишь для того, чтобы портить жизнь школьникам.

Невозможно же, в самом деле, взвесить кг хлеба или отмерить метров сукна! Ведь даже само обозначение i для напоминает, что это число воображаемое, придуманное - оно происходит от латинского слова imaginarius - воображаемый, мнимый». Учитывая это, можно сделать вывод, что учащиеся лишь формально усваивают понятие комплексного числа и недостаточно глубоко вникают в его суть. В 1965 году был предложен проект программы средней школы по математике, где изучение комплексных чисел предлагалось начинать в 10 классе в курсе алгебры в темах (таблица 2):

Таблица 2

№	Содержание	Объем уч. материала в часах
1	Аксиоматический метод в математике. Расширение понятия числа.	15
2	Комплексные числа и многочлены.	40

При изучении темы «Аксиоматический метод в математике. Расширение понятия числа» учащихся предполагалось знакомить с такими понятиями, как группа, кольцо, поле, изоморфизм, и задачами расширения понятия числа.

В теме «Комплексные числа и многочлены» учащиеся должны были знакомиться с тригонометрической формой комплексного числа, с формулой Муавра и извлечением корня n - ой степени из комплексного числа.

В 1966 году был предложен проект программы, где тема «Комплексные числа» была включена второй темой в курс алгебры 10 класса, и на ее изучение отводилось 20 часов.

И, наконец, в 1967 году в журнале «Математика в школе» был опубликован «Проект программы средней школы по математике», в котором впервые в истории советской школы было предложено в дополнение к урокам математики ввести факультативные занятия с изучением на них специального курса «Дополнительные главы и вопросы математики». Согласно этому проекту тема «Комплексные числа» из обязательной программы была исключена и введена в курс «Дополнительные главы и вопросы математики». В объяснительной записке к проекту программы сказано: «Составители с большим сожалением отказались в общеобразовательной программе от темы «Комплексные числа». Но они считают, что сохранение ее в том сокращенном объеме, в каком она представлена в действующей программе, мало целесообразно. Зато в курсе «Дополнительные главы и вопросы математики» удалось поместить эту тему достаточно рано и использовать эти числа в ряде приложений».

Действительно, тема «Комплексные числа» в программе курса «Дополнительные главы и вопросы математики» на факультативных занятиях была представлена в более широком объеме, чем это было раньше во всех ранее существовавших программах. И в 1967 году, после обсуждения проекта, была утверждена программа по математике для средней школы. Согласно этой программе изучение комплексных чисел предусматривалось только на факультативных занятиях по математике в 9-ых и 11-ых классах в следующем объеме (таблица 3):

Таблица 3

№	Содержание учебного материала	Объем учеб. материала в часах
1	9 класс. Тема: «Обобщение понятия числа». Поле рациональных чисел. Иррациональные числа. Поле действительных чисел. Комплексные числа и их геометрическая интерпретация.	12
2	10 класс. Тема: «Комплексные числа и тригонометрия». Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрических функциях. Формула Муавра. Формула Эйлера. Применение комплексных чисел к теории колебаний.	14

Исключение темы «Комплексные числа» из программы общеобразовательной средней школы вызвало многочисленные возражения со стороны учителей, методистов и преподавателей ВУЗов. «Изучение комплексных чисел только на факультативных занятиях лишит большую часть учеников школы получить какое-либо представление о них. Для этой части будущих специалистов (если они не будут продолжать своего математического образования) комплексные числа останутся неизвестными. Изъятие этой темы обеднит уровень не только математического, но и общего развития учащихся, нанесет ущерб воспитанию у них диалектического мировоззрения».

«По не вполне ясным обоснованным причинам из «последнего» варианта проекта программы исключена тема «Комплексные числа». Мы за изучение этого вопроса в курсе элементарной математики, а не в курсе «высшей». «Разделяем сожаление составителей проекта программы об исключении из программы средней школы комплексных чисел. Без понятия комплексного числа изложение теории квадратных уравнений остается очень неполным».

IV этап (1968г. - по настоящее время).

Прошедшая в 1968 году модернизация общеобразовательного курса математики привела тому, что до настоящего времени раздел «Комплексные числа» в обычных школах не изучается. В школах с углубленным изучением математики на самостоятельное изучении раздела отводится 20 часов в следующем объеме:

1. Развитие понятия комплексного числа: натуральные, целые, рациональные и действительные числа.

2. Комплексные числа в алгебраической форме. Арифметические действия с комплексными числами. Сопряженные комплексные числа.

3. Решение квадратных уравнений с комплексными коэффициентами.

4. Комплексная область. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение, деление, возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра. Извлечение корней из комплексных чисел.

5. Комплексные корни многочлена.

Как можно заметить, и здесь изучение темы «Комплексные числа» ведется очень абстрактно, оторвано от жизни и не оставляет никаких следов в сознании учащихся. О широком применении комплексных чисел учащиеся школ, как правило, не знают.

1.3 Психолого-педагогические особенности подросткового возраста

Определение мышления.

Прочное усвоение знаний невозможно без целенаправленного развития мышления, одной из основных задач современного школьного обучения.

В психологии мышление определяется как процесс познавательной деятельности индивида, характеризующийся обобщенным и опосредованным отражением действительности [31], как особого рода теоретическая и практическая деятельность, предлагающая систему включенных в неё действий и операций ориентировочно - исследовательского, преобразовательного и познавательного характера [16], как социально - обусловленный, неразрывно связанный с речью психологический процесс поисков и открытия существенно нового [22]. Сущность его в отражении: - общих и существенных свойств предметов и явлений, в том числе и таких свойств, которые не воспринимаются непосредственно; - существенных отношений и закономерных связей между предметами и явлениями.

Мышление играет поистине огромную роль в познании. Оно расширяет границы познания, дает возможность выйти за пределы непосредственного опыта ощущений и восприятия, знать и судить о том, что человек непосредственно не наблюдает, не воспринимает. Оно позволяет предвидеть наступление таких явлений, которые в данный момент не существуют. Мышление перерабатывает информацию, которая содержится в ощущениях и восприятии, а результаты мыслительной работы проверяются и применяются на практике [11].

Отличие мышления от других психологических процессов состоит также в том, что оно почти всегда связано с наличием проблемной ситуации, задачи, которую нужно решить, и активным изменением условий, в которых эта задача задана. Мышление в отличие от восприятия выходит за пределы чувственно данного, расширяет границы познания. В мышлении на основе сенсорной информации делаются определенные теоретические и практические выводы. Оно отражает бытие не только в виде отдельных вещей, явлений и их свойств, но и определяет связи, существующие между ними, которые чаще всего непосредственно, в самом восприятии человеку не даны. Свойства вещей и явлений, связи между ними отражаются в мышлении в обобщенной форме, в виде законов, сущностей.

На практике мышление как отдельный психический процесс не существует, оно незримо присутствует во всех других познавательных процессах: в восприятии, внимании, воображении, памяти, речи. Высшие формы этих процессов обязательно связаны с мышлением, и степень его участия в этих познавательных процессах определяет их уровень развития.

Специфическим результатом мышления может выступить понятие - обобщенное отражение класса предметов в их наиболее общих и существенных особенностях [21].

Особенности мышления старшеклассников

Более сложные содержание и методы обучения старшеклассников требуют от них и более высокого уровня самостоятельности, активности, организованности, умений применять на практике приемы и операции мышления. Мышление становится более глубоким, полным, разносторонним и всё более абстрактным; в процессе знакомства с новыми приёмами умственной деятельности модернизируются старые, освоенные на предыдущих ступенях обучения. Овладение высшими формами мышления способствует выработке потребности в интеллектуальной деятельности, приводит в конечном счете к пониманию важности теории и стремлению применять её на практике.

Для старших школьников важна значимость самого учения, его задач, целей, содержания и методов. Старшеклассник сначала старается понять значимость приема мыслительной деятельности, а затем уже и освоить его, если он действительно значим. Изменяются и мотивы учения, т.к. они приобретают для старшеклассника важный жизненный смысл [22].

Ведущее значение в мышлении старшеклассника занимает абстрактное мышление, но роль конкретного мышления отнюдь не умаляется: приобретая обобщенное знание, конкретное мышление выступает в виде технических образов, схем, чертежей и т.п., оно становится носителем общего, а общее выступает как выразитель конкретного. Овладение абстрактными и теоретическими знаниями приводит к изменению у старшеклассников самого течения мыслительного процесса [27]. Мыслительная деятельность отличается у них высоким уровнем обобщения и абстракции, учащиеся стремятся к установлению причинно - следственных связей и других закономерностей между явлениями окружающего мира, проявляют критичность мышления, умения аргументировать суждения, более успешно осуществляют перенос знаний и умений из одной ситуации в другие. В ходе усвоения учебного материала старшеклассники стремятся самостоятельно раскрывать отношения общего и конкретного, выделять существенное, а затем формулировать определения научных понятий [26].

Все сказанное говорит о высокой степени развития теоретического мышления, многостороннем и глубоком проявлении внутренней речи, «доказывающего» мышления. Мышление юношей и девушек становится диалектическим: они не только осознают предмет и содержание мыслительной деятельности и рассматривают явления, события, процессы в непрерывном движении, изменениях и превращениях, но и начинают понимать некоторые закономерности своего мышления, сознательно используют операции и приемы мышления и пытаются совершенствовать их в процессе учебной деятельности.

Однако в некоторых исследованиях отмечаются и недостатки мышления старшеклассников. Так, немалое их число проявляют склонность к необоснованным рассуждениям, умозрительным философствованиям, оперированию абстрактными понятиями в отрыве от их реального содержания, к выдвижению оригинальных идей, вытекающих из неопределенных ассоциаций или фантастических вымыслов и домыслов [21]. Нередки случаи, когда существенное оценивается как менее значимое, чем несущественные, не всегда правильно или широко проводится перенос знаний, наблюдается слабое развитие речи, склонность к некритическому отношению к усваиваемым знаниям. Встречаются хорошо успевающие ученики, которые преувеличивают свои умственные способности и поэтому успокаиваются на достигнутом. Но все это, как обычно указывают авторы, касается только меньшинства старшеклассников или их отдельных представителей, а основная масса достигает достаточно высокого уровня развития мыслительных способностей и хорошо подготовлена к дальнейшей учебной и познавательной деятельности [27].

Учебная деятельность остается основным видом деятельности старшего школьника. Углубляется содержание обучения и вводятся новые учебные разделы, также учебная деятельность старшеклассников предъявляет гораздо более высокие требования к их активности и самостоятельности. Для того, чтобы достаточно глубоко усваивать программу, необходимо развитие теоретического мышления. Трудности, которые нередко испытывает в процессе учения старшеклассник, прежде всего связаны с неумением учиться в этих новых условиях.

Возникает противоречие между уровнем учебной деятельности, который сложился и закрепился у некоторых учащихся за время обучения в средних классах школы, и требованиями, которые предъявляет учебная деятельность в старших классах, и является движущей силой умственного развития старших школьников.

Отношение старших школьников к учению тоже изменяется. Ученики взрослеют, обогащается их опыт; они понимают, что стоят на пороге самостоятельной жизни. Растет их сознательное отношение к учению, которое приобретает непосредственный жизненный смысл. Старшеклассники отчетливо сознают, что необходимым условием полноценного участия в будущей трудовой жизни общества является наличный фонд знаний, умений и навыков, полученное в школе умение самостоятельно приобретать знания, или, как говорят, самообучаться. Потребность в знаниях - одна из самых характерных черт современного старшеклассника [15].

В числе некоторых других особенностей отношения к учению старших школьников следует отметить избирательное отношение к учебным предметам, причина этому - наличие у многих юношей и девушек сложившихся интересов, связанных с их профессиональной направленностью [18].

В последнее время появляется явное повышение интереса к учению. Это связано с тем, что наметились определенные сдвиги в организации учебного процесса: во-первых, учителя успешнее реализуют принцип активного и самостоятельного мышления учащихся, что повышает их интерес к учению; во-вторых, обучение начинает больше индивидуализироваться: учителя находят возможности приобщать к активной деятельности сильных учащихся и уделять больше внимания слабым [16].

Психология является необходимой базой методики любого учебного предмета, в том числе и математики. Знакомство с психологическими теориями и концепциями помогает учителю глубже понять основные направления в совершенствовании учебного процесса по математике [11].

Психолого-педагогическая функция образования включает воспитание математической культуры учащихся. Сюда входят знания и умения в формировании которых математика участвует наряду с другими школьными предметами, и также те знания и умения, которые составляют специфику самой математики.

Овладение практически любой современной профессией требует тех или иных знаний по математике. С математикой связана и компьютерная грамотность. Развитие науки и техники, высокий интеллектуальный уровень специалистов-все это приводит людей к необходимости пополнять свои знания и стремиться к повышению квалификации. Это выдвигает перед школой задачу всемерного развития у учащихся математических способностей, склонностей и интересов [19].

Важнейшая задача обучения математике - пробудить у школьников потребность активно мыслить, преодолевать трудности при решении разнообразных задач, искать наиболее рациональные пути решения этих задач. Научить их доказывать существование вводимых математических понятий, опровергать ложные предложения, проверять правильность обратного предложения и т.д.- такими логическими умениями должен овладеть школьник [30].

При построении занятий со старшеклассниками удобно использовать такие особенности мышления, как:

умение сравнивать - сопоставлять объекты познания с целью нахождения сходства и различия между ними;

умение анализировать - мысленное расчленение предмета познания на части;

умение синтезировать - мысленное соединение отдельных элементов в единое целое;

умение абстрагировать - мысленное выделение каких-либо существенных свойств и признаков объектов при одновременном отвлечении от всех других их свойств и признаков. Это умение особенно важно для математических наук, т.к. многие математические понятия являются абстрактными объектами;

умение обобщать - мысленное выделение общих свойств в двух или нескольких объектах и объединение этих объектов в группы (от частного к общему); мысленное выделение в рассматриваемом объекте или нескольких объектах их свойств в виде общего понятия (от общего к частному);

умение конкретизировать - может выступать в двух формах: мысленный переход от общего к единичному или восхождение от абстрактно-общего к конкретно частному путем выявления различных свойств и признаков этого абстрактно-общего [15].

Если соотнести содержание пунктов 1.1. и 1.3., то можно сделать следующий вывод: изучение комплексных чисел в школе способствует развитию мышления и математической культуры школьников

1.4 Психолого-педагогические особенности восприятия темы «Комплексные числа» в старших классах

Помимо общих целей обучения перед учителем математики стоят другие, специфические цели, определяемые особенностями педагогической науки. А конкретнее - формирование и развитие математического, логического, абстрактного мышления, формирование математической и общей культуры учащихся.

Говоря конкретнее об алгебраической культуре, стоит отметить, что в общеобразовательных классах не рассматривается понятие комплексного числа, ограничиваются лишь изучением действительных чисел. Но в старших классах школьники уже обладают достаточно зрелым математическим образованием и в состоянии понимать необходимость расширения понятия о числе. С точки зрения общего развития, знания о комплексных числах находят применение в естественных науках и технике, что немаловажно для школьника в процессе выбора будущей профессии. Авторы некоторых учебников включают изучение данной темы как обязательной в свои учебники по алгебре и началам математического анализа для профильных уровней, что предусмотрено государственным стандартом.

Рассмотрим подробнее, с какими сложностями приходится сталкиваться и учителю, и учащимся в процессе изучения темы «Комплексные числа».

Для начала сразу отметим, что данная тема вводится как обязательная лишь в старших классах профильного уровня. А к старшим классам мышление у школьников становится более глубоким, полным, разносторонним. Изменяются мотивы учения.

Однако даже в старших классах у многих школьников плохо развито абстрактное мышление, или очень сложно представить себе «мнимую, воображаемую» единицу, понять различия между координатной и комплексной плоскостью. Или же наоборот, школьник оперирует абстрактными понятиями в отрыве от их реального содержания.

В.А. Сухомлинский отмечал, что трудности учения в старших классах связаны со сложившейся ранее установкой на запоминание, заучивание обобщений, не основанных на самостоятельном анализе фактов. Причина трудностей, которые испытывают некоторые ученики - старшеклассники, заключается, по мнению педагога, в неумении пользоваться обобщающими понятиями в целях познания окружающей действительности, а неумение это рождается потому, что обобщающие понятия, выводы, умозаключения не формируются путем исследования явлений и фактов, а заучиваются [15].

Старшие ребята сами отмечают, что многие из них плохо подготовлены к обучению в X-XI классах. У них нет умения самостоятельно работать с учебными материалами, они не умеют обрабатывать материалы, поступающие из других, внеучебных источников.

С методической точки зрения тема “Комплексные числа” развивает и углубляет заложенные в основном курсе математики представления о многочленах и числах, в известном смысле завершая путь развития понятия числа в средней школе.

Изучение этой темы преследует следующие основные цели:

1. повышение математической культуры учащихся;

2. углубление представлений о понятии числа;

3. дальнейшее развитие представлений о единстве математики как науки.

Следует отметить важное прикладное значение данной темы ввиду обилия приложения изучаемых понятий как внутри самой математики, так и в различных областях физики, техники и других наук, использующих математический аппарат.

После изучения темы “Комплексные числа” ученики должны иметь четкое представление о комплексных числах, знать алгебраическую, геометрическую и тригонометрическую формы комплексного числа. Учащиеся должны уметь производить над комплексными числами операции сложения, умножения, вычитания, деления, возведения в степень, извлечения корня из комплексного числа; переводить комплексные числа из алгебраической формы в тригонометрическую, иметь представление о геометрической модели комплексных чисел, решать квадратные уравнения с комплексными коэффициентами.

Однако по теме «Комплексные числа» на данный момент существует ограниченное количество учебных пособий, методических разработок, учебно-методических комплексов. Учителю предоставляется право самостоятельного выбора методических путей и приёмов обучения данной теме.

1.5 Обзор учебников по алгебре и началам математического анализа для 10-11 классов, содержащих тему «Комплексные числа»

Существует небольшое количество авторов, включающих тему «Комплексные числа» в свои учебники для средних общеобразовательных учреждений.

В учебнике для математических классов Н.Я.Виленкина, О.С.Ивашева-Мусатова, С.И.Шварцбурда «Алгебра и начала математического анализа», тема «Комплексные числа» вводится в 11 классе. Изучение темы предлагается во втором полугодии 11 класса после того, как в 10 классе был изучен раздел тригонометрии, а в 11 - интеграл и дифференциальные уравнения, показательная, логарифмическая и степенная функции, многочлены. В учебнике тема «Комплексные числа и операции над ними» разбита на два параграфа: Комплексные числа в алгебраической форме; Тригонометрическая форма комплексных чисел.

Рассмотрение темы «Комплексные числа и операции над ними» начинается с рассмотрения вопроса о решении квадратных уравнений, уравнений третьей и четвертой степени и, как следствие, выявляется необходимость введения «нового числа i». Сразу же даются понятия комплексных чисел и действий над ними: нахождение суммы, произведения и частного комплексных чисел. Далее дается строгое определение понятия комплексного числа, свойства операций сложения и умножения, вычитания и деления. В следующем пункте говорится о сопряженных комплексных числах и некоторых их свойствах. Далее рассматривается вопрос об извлечении квадратных корней из комплексных чисел и решение квадратных уравнений с комплексными коэффициентами.

В следующем параграфе рассматриваются: геометрическое изображение комплексных чисел; полярная система координат и тригонометрическая форма комплексных чисел; умножение, возведение в степень и деление комплексных чисел в тригонометрической форме; формула Муавра, применение комплексных чисел к доказательству тригонометрических тождеств; извлечение корня из комплексного числа; основная теорема алгебры многочленов; комплексные числа и геометрические преобразования, функции комплексного переменного.

Как мы видим, материал учебника достаточно обширен, рассчитан на большое количество часов и включает в себя как все необходимые начальные знания по разделу «Комплексные числа», так и некоторые углубления [8].

В учебнике С.М. Никольского, М.К. Потапова, Н.Н. Решетникова, А.В. Шевкина «Алгебра и начала математического анализа», тема «Комплексные числа рассматривается в 11 классе после изучения всех тем, т.е. в конце школьного курса алгебры. Тема разделена на три параграфа: Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел; Тригонометрическая форма комплексных чисел; Корни многочленов, показательная форма комплексных чисел. Содержание параграфов достаточно объемное, содержится много понятий, определений, теорем. В параграфе «Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел» содержится три раздела: алгебраическая форма комплексного числа; сопряженные комплексные числа; геометрическая интерпретация комплексного числа. Параграф «Тригонометрическая форма комплексного числа» содержит определения и понятия необходимые для введения понятия тригонометрической формы комплексного числа, а также алгоритм перехода от алгебраической формы записи к тригонометрической форме записи комплексного числа. В последнем параграфе «Корни многочленов. Показательная форма комплексных чисел» содержится три раздела: корни из комплексных чисел и их свойства; корни многочленов; показательная форма комплексного числа.

Материал учебника представлен в небольшом объеме, но вполне достаточном для понимания учащимися сути комплексных чисел и овладением минимальных знаний о них. В учебнике небольшое количество упражнений и не рассматривается вопрос о возведении комплексного числа в степень и формула Муавра [4].

В учебнике Ю.М. Колягина, Ю.В. Сидорова, М.В. Ткачевой, Н.Е. Федоровой, М.И. Шабунина «Алгебра и начала математического анализа», 11 класс тема «Комплексные числа» рассматривается после изучения тем «Производная и ее применения» и «Интеграл». Тема разбита на 9 параграфов (два из которых со звездочкой), практическую часть - упражнения к главе «Комплексные числа» и раздел «Историческая справка». В первом параграфе «Определение комплексных чисел» рассматривается разрешимость уравнений в тех или иных множествах и вводятся новые числа, которые вместе с действительными числами образуют множество комплексных чисел. Дается определение комплексных чисел. Во втором параграфе «Сложение и умножение комплексных чисел» вводятся определения сложения и умножения комплексных чисел, переместительное, сочетательное и распределительное свойства сложения и умножения комплексных чисел. В третьем параграфе «Модуль комплексного числа» вводится понятие сопряженного комплексного числа и определение модуля комплексного числа. В параграфе «Вычитание и деление комплексных чисел» операция вычитании вводится как обратная операции сложения комплексных чисел, а операция деления - как обратная операции умножения комплексных чисел. Пятый параграф «Геометрическая интерпретация комплексных чисел» разбит на три пункта: «Комплексная плоскость», «Геометрический смысл модуля комплексного числа», «Геометрический смысл модуля разности комплексных чисел». Вводятся понятия комплексной плоскости, действительной и мнимой осей. В параграфе «Тригонометрическая форма комплексного числа» рассматриваются понятия аргумента комплексного числа, алгебраической формы комплексного числа, тригонометрическая форма записи комплексного числа, переход от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической форме записи комплексного числа. Седьмой параграф «Свойства модуля и аргумента комплексного числа» идет в данном учебнике под звездочкой, что подразумевает необязательное его изучение. В данном параграфе рассматриваются произведение и частное комплексных чисел в тригонометрической форме, а также формула Муавра. В следующем параграфе «Квадратное уравнение с комплексными неизвестными» рассматривается квадратное уравнение и выявляется, в каких случаях и сколько корней оно имеет. Далее переходят к рассмотрению корня из отрицательного числа и к решению квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом. Последний параграф темы «Комплексные числа» - «Примеры решения алгебраических уравнений» - в учебнике отмечен звездочкой и рассматривает 4 разных типа задач. В конце материал обобщается и делается вывод, который называют основной теоремой алгебры.

В данном учебнике каждый параграф темы «Комплексные числа» изложен кратко и содержит минимум информации по теме, также содержит несколько несложных примеров и небольшое количество упражнений. Некоторые сведения, которые другие авторы в своих учебниках вводят как обязательные, в данном учебнике находятся в параграфах, отмеченных звездочкой, например, формула Муавра, умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, а также основная теорема алгебры. Упражнений по теме «Комплексные числа» в учебнике мало и они, в основном, не сложные для выполнения, хотя присутствует несколько задач повышенной трудности [2].

В учебнике А.Г. Мордковича, П.В. Семенова «Алгебра и начала математического анализа», профильный уровень, 10 класс тема «Комплексные числа» вводится во втором полугодии 10 класса сразу после изучения тем «Действительные числа» и «Тригонометрия». Такое размещение не случайно: и числовая окружность, и формулы тригонометрии находят активное применение при изучении тригонометрической формы комплексного числа, формулы Муавра, при извлечении из комплексного числа квадратного и кубического корней. Тема «Комплексные числа» представлена в 6-ой главе и разбита на 5 параграфов: комплексные числа и арифметические операции над ними; комплексные числа и координатная плоскость; тригонометрическая форма записи комплексного числа; комплексные числа и квадратные уравнения; возведение комплексного числа в степень, извлечение кубического корня из комплексного числа.

Понятие комплексного числа вводится как расширение понятия о числе и невозможности выполнения некоторых действий в действительных числах. В учебнике представлена таблица с основными числовыми множествами и операциями, допустимыми в них. Перечисляются минимальные условия, которым должны удовлетворять комплексные числа, и затем вводится понятие мнимой единицы, определение комплексного числа, равенство комплексных чисел, их сумма, разность, произведение и частное.

От геометрической модели множества действительных чисел переходят к геометрической модели множества комплексных чисел. Рассмотрение темы «Тригонометрическая форма записи комплексного числа» начинается с определения и свойств модуля комплексного числа. Далее рассматривается тригонометрическая форма записи комплексного числа, определение аргумента комплексного числа и стандартная тригонометрическая форма комплексного числа.

Далее изучается извлечение квадратного корня из комплексного числа, решение квадратных уравнений. И в последнем параграфе вводится формула Муавра и выводится алгоритм извлечения кубического корня из комплексного числа.

Также в рассматриваемом учебнике в каждом параграфе параллельно с теоретической частью рассматривается несколько примеров, иллюстрирующих теорию и дающих более осмысленное восприятие темы. Приведены краткие исторические факты.

Отдельным издание выпущен задачник, в котором к каждому параграфу темы «Комплексные числа» приводятся задания трех разных уровней - легкие, средние и задания повышенной трудности [3].

В учебнике М.И. Башмакова, Б.М. Беккер, В.М. Голохового «Задачи по математике. Алгебра и анализ» последняя глава посвящена теме «Комплексные числа». Отметим сразу, что данная книга представляет собой не просто сборник задач. Задачи объединяются в циклы, которые начинаются с рассмотрения конкретных примеров, простых вопросов, постепенно переходя к более общим и трудным вопросам. Перед текстом отдельных задач, а также в начале параграфов помещен небольшой теоретический вводный текст, где сообщаются необходимые сведения: формулы, определения новых понятий и т.п. Таким образом изучение материала по данной книге можно проводить самостоятельно, а также задачник можно использовать независимо от того или иного учебного пособия. В конце книги ко всем задачам даны краткие указания, а к наиболее трудным, отмеченным звездочкой, задачам даны решения. Тема «Комплексные числа» разбита на три параграфа: «Действия над комплексными числами», «Комплексная плоскость», «Корни многочленов». Комплексные числа вводятся как расширение множества вещественных чисел. В первом параграфе «Действия над комплексными числами» рассматриваются следующие операции над комплексными числами: сложение комплексных чисел, нахождение обратного числа, комплексно -сопряженного, извлечение квадратного корня из комплексного числа. В параграфе «Комплексная плоскость» вводится понятие комплексной плоскости; определение модуля и аргумента комплексного числа; тригонометрическая форма записи комплексного числа, умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме; формула Муавра; равенство комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме; кубический корень из единицы; разложение по формуле Бинома Ньютона. В последнем параграфе «Корни многочленов» вводится основная теорема алгебры, приводится разложение многочлена на линейные множители с комплексными коэффициентами, рассматривается вопрос о кратности корня. Объем предлагаемого для изучения материала достаточно велик, изложен очень кратко и для каждого понятия количество заданий небольшое. Но в целом учебник дает достаточное полное представление о комплексных числах, их применении и значении в математике [6].