И наконец, рассмотрим учебник, по которому почти век училась вся Россия. Это учебник А.П. Киселева.

В учебнике «Алгебра Ч.II» А.П. Киселева тема «Комплексные числа» представлена в 9 главе после тем «Логарифмы» и «Исследование уравнений». Тема «Комплексные числа» разбита на 6 пунктов: «Мнимые числа», «Комплексные числа», «Действия над комплексными числами», «Геометрическое изображение комплексного числа», «Тригонометрическая форма комплексного числа», «Действия с комплексными числами, выраженными в тригонометрической форме». Изучение темы начинается с понятия мнимого числа, которое уже встречалось в учебнике ранее. В первом пункте вводится обозначение мнимых чисел и дано несколько примеров. В следующем пункте «Комплексные числа» вводится определение комплексного числа, сопряженные и противоположные комплексные числа. В пункте «Действия над комплексными числами» вводятся операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, извлечения квадратного корня из комплексного числа. Рассматривается несколько примеров для каждой операции. В третьем пункте «Геометрическое изображение комплексного числа» вводятся понятия вещественной оси и мнимой оси, приводится обоснование того, что комплексное число может быть геометрически представлено точкой плоскости. Здесь же вводится понятие модуля комплексного числа. В данном пункте содержится только теоретический материал. В пункте «Тригонометрическая форма комплексного числа» определяются понятия модуля и аргумента комплексного числа, рассматривается тригонометрическая форма записи комплексного числа. В последнем пункте «Действия с комплексными числами, выраженными в тригонометрической форме» рассматриваются операции умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня из комплексного числа.

В учебнике в виде сносок приводятся краткие исторические факты по изучаемому материалу. Материал представлен в большом объеме, приведено большое количество примеров и задач для самостоятельного решения [12].

Нами разработаны тематическое и поурочное планирования, контрольно-проверочные материалы к учебнику А.Г. Мордковича, П.В. Семенова по теме «Комплексные числа».

Выводы по главе 1

1. Понятие о числе развивалось долгие века. Находя способы решения ранее неразрешимых задач, человечество открывало новые законы и выдвигало новые теории. Таким образом возникновение и развитие теории комплексных чисел было вполне естественным и закономерным.

2. В школьную программу 1917-1932 г.г. изучение самих комплексных чисел и идея расширения числа не включались. Школьников знакомили только с понятием мнимых чисел. В 1933-1967 программа дополнилась некоторыми понятиями, связанными с комплексными числами и давалось их геометрическое представление. Однако при изучении данной темы не было никаких практических приложений и связи с реальной жизнью. В 1967 г. тема «Комплексные числа» была исключена из курса средней школы и попала в раздел «Дополнительные главы и вопросы математики», где излагалась уже в более широком объеме, но ее изучение предлагалось только на факультативных курсах.

3. Тема «Комплексные числа» в настоящее время исключена из обязательной программы. Однако авторы учебников для старших профильных классов по алгебре и началам математического анализа включают данную тему в свои учебники.

4. При построении занятий со старшеклассниками необходимо учитывать их психолого-педагогические возможности и потребности: развивать логическое мышление, которое учит внимательности, аккуратности, умению абстрагироваться от конкретного содержания; подбирать задания, способствующие проявлению самостоятельности и творческих способностей учащихся; создавать возможности для углубления и совершенствования знаний в направлении выбранной ими профессии; подкреплять все новые понятия историческими сведениями для дальнейшего развития математической культуры.

5. При изучении темы «Комплексные числа» в силу особенностей старшего школьного возраста у учителя и учеников существуют как проблемы, так и положительные моменты. Самые большие сложности вызывает «мнимая единица» - к старшим классам у многих школьников плохо развито абстрактное мышление. Ученикам очень сложно представить себе «мнимую, воображаемую» единицу, понять различия между координатной и комплексной плоскостью. Но с методической точки зрения тема “Комплексные числа” развивает и углубляет заложенные в основном курсе математики представления о многочленах и числах, в известном смысле завершая путь развития понятия числа в средней школе.

6. Обзор учебников по алгебре и началам математического анализа, содержащих тему «Комплексные числа» показал, что авторы стремились и стремятся дать в достаточном объеме представление о расширении понятия числа, о комплексных числах, действиях нам ними, их геометрическое истолкование и практическое применение. В учебнике А.Г. Мордковича, П.В. Семенова «Алгебра и начала математического анализа» для 10-ых классов профильного уровня тема «Комплексные числа» указана как обязательная для изучения и излагается удачным, на наш взгляд, образом, раскрывая все необходимые для выпускника факты и правила.

Глава 2. Методическое обеспечение изучения комплексных чисел в 10 классе общеобразовательной школы

2.1 Тематическое и поурочное планирование по теме

«Комплексные числа» по учебнику А.Г. Мордковича, П. В. Семенова

«Алгебра и начала анализа, профильный уровень», 10 класс

Таблица 4

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА	10
Комплексные числа и арифметические операции над ними	2
Комплексные числа и координатная плоскость	1
Тригонометрическая форма записи комплексного числа	2
Комплексные числа и квадратные уравнения	1
Возведение комплексного числа в степень. Извлечение кубического корня из комплексного числа	2
Зачет по теме «Комплексные числа»	1
Контрольная работа по теме «Комплексные числа»	1

Тематическое планирование по теме «Комплексные числа»

Цели:

· формирование представления о комплексных числах и операциях над ними;

· формирование умения использования двух форм записи комплексного числа при решении задач;

· овладение умением решения квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом, возведение комплексного числа в степень, извлечения кубического корня из комплексного числа.

Тема урока: Комплексные числа и арифметические операции над ними

Количество уроков: 2.

Типы уроков: проблемный, комбинированный.

Элементы содержания (дидактические единицы на основе общеобразовательного стандарта): комплексные числа, мнимая единица, действительная и мнимая часть комплексного числа, сумма, разность, произведение и частное комплексных чисел, сопряженное комплексное число, свойства сопряжения.

Работа с опорными конспектами работа, с раздаточными материалами

Имеют представление, что такое комплексные числа; могут определить действительную и мнимую часть, модуль и аргумент комплексного числа. Могут выполнять арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи. Умеют определять понятия, приводить доказательства.

Могут определить действительную и мнимую часть, модуль и аргумент комплексного числа. Могут выполнять арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи. Умеют работать с учебником, отбирать и структурировать материал.

Практикум, фронтальный опрос, решение упражнений

Знают комплексные числа; могут определить действительную и мнимую часть, модуль и аргумент комплексного числа. Могут выполнять арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи. Используют для решения познавательных задач справочную литературу.

Могут определить действительную и мнимую часть, модуль и аргумент комплексного числа. Могут выполнять арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи.

Тема урока: Комплексные числа и координатная плоскость.

Количество часов: 1.

Тип урока: комбинированный

Элементы содержания: координатная плоскость, отождествление комплексного числа с точками координатной плоскости, вектор суммы, вектор разности, вектор произведения.

Фронтальный опрос. Решение упражнений, составление опорного конспекта

Знают геометрическую интерпретацию комплексных чисел, действительной и мнимой части комплексного числа; могут найти модуль и аргумент комплексного числа. Умеют определять понятия, приводить доказательства. Могут определять геометрическую интерпретацию комплексных чисел, действительной и мнимой части комплексного числа; могут найти модуль и аргумент комплексного числа.

Тема урока: Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Количество часов: 2.

Типы уроков: проблемный, комбинированный

Элементы содержания: модуль комплексного числа, модуль произведения, свойства моделей комплексных чисел, неравенство треугольника, тригонометрическая форма записи комплексного числа, аргумент, равенство комплексных чисел.

Проблемные задачи, фронтальный опрос, упражнения

Имеют представление, как определить действительную и мнимую часть, модуль и аргумент комплексного числа; могут записывать комплексные числа в тригонометрической форме.

Могут определить действительную и мнимую часть, модуль и аргумент комплексного числа; могут записывать комплексные числа в тригонометрической форме.

Практикум

Решение упражнений, составление опорного конспекта, ответы на вопросы. Знают, как определить действительную и мнимую часть, модуль и аргумент комплексного числа; могут записывать комплексные числа в тригонометрической форме.

Могут определить действительную и мнимую часть, модуль и аргумент комплексного числа; могут записывать комплексные числа в тригонометрической форме.

Тема урока: Комплексные числа и квадратные уравнения

Количество часов: 1.

Тип урока: комбинированный

Элементы содержания: корень из комплексного числа, квадратное уравнение, алгоритм извлечения квадратного корня из комплексного числа.

Практикум, фронтальный опрос, решение упражнений

Знают, как найти корни квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом. Умеют извлекать необходимую информацию из учебно-научных текстов.

Могут извлекать квадратные корни из комплексного числа. Могут привести примеры, подобрать аргументы, сформулировать выводы.

Тема урока: Возведение комплексного числа в степень.

Извлечение кубического корня из комплексного числа

Количество часов: 2.

Типы уроков: Объяснительно-иллюстративный, репродуктивный

Элементы содержания: формула Муавра, возведение комплексного числа в степень, тригонометрическая форма записи комплексного числа, алгоритм извлечения кубического корня из комплексного числа.

Работа со сборником задач, ответы на вопросы

Могут выполнять арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи. Знают комплексно сопряженные числа. Могут собрать материал для сообщения по заданной теме.

Знают комплексно -сопряженные числа; возведение в натуральную степень (формула Муавра), основную теорему алгебры. Умеют составлять текст научного стиля.

Практикум, индивидуальный опрос, работа с раздаточными материалами. Могут выполнять арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи. Знают комплексно сопряженные числа. Могут составить набор карточек с заданиями.

Знают комплексно-сопряженные числа; возведение в натуральную степень (формула Муавра), основную теорему алгебры. Умеют, развернуто обосновывать суждения.

Тема урока: Зачет по теме «Комплексные числа»

Количество часов: 1

Тип урока: Исследовательский

Проблемные задания, ответы на вопросы.

Учащиеся демонстрируют теоретические и практические знания по теме «Комплексные числа». Умеют передавать, информацию сжато, полно, выборочно. Умеют, развернуто обосновывать суждения.

Учащиеся свободно применяют знания и умения по теме «Комплексные числа». Могут объяснить изученные положения на самостоятельно подобранных конкретных примерах.

Тема урока: Контрольная работа №7

Количество часов: 1

Тип урока: Урок контроля, обобщения и коррекции знаний

Индивидуальное решение контрольных заданий.

Учащихся демонстрируют умение расширять и обобщать сведения о комплексных числах и операциях над ними, а также ввести две формы записи комплексного числа. Могут свободно вводить и использовать две формы записи комплексного числа. Владеют навыками самоанализа и самоконтроля.

2.2 Контрольно-проверочные материалы по теме «Комплексные числа»

Все приводимые ниже тесты составлены по идеологии Единого государственного экзамена. Ссылки соответствуют нумерации параграфов в учебнике А.Г. Мордковича, П.В. Семенова «Алгебра и начала математического анализа», 10 класс.

§32. Комплексные числа и арифметические операции над ними

В §32 речь идет о равенстве, сложении, вычитании, умножении и делении, комплексных чисел, записанных в виде , уделяя особое внимание чисто мнимым числам. После отработки деления отдельно вводится понятие комплексно-сопряженных чисел. Это качественно новая операция, у которой нет аналога в действительных числах.

Тест №1 по теме «Комплексные числа и арифметические операции над ними» Часть А

А1. В какой из строк записаны чисто мнимые числа?

а)

b)

c)

d)

A2. Какие из записанных пар комплексных чисел равны:

а) и

b) и

c) и

d) и

А3. Вычислите: если

а) b) c) d)

А4. Вычислите: если

а) b) c) d)

А5. Вычислите:

если

а) b) c) d)

А6. Какое из чисел является сопряженным для

а) b) c) d)

А7. Вычислите: если

а) b) c) d)

Часть В

В1. Вычислите: если

Ответ: ______________________

В2. Решите уравнение:

Ответ: ______________________

В3. Вычислите: если

Ответ: ______________________

В4. Найдите два комплексных числа, сумма и произведение которых равны 2.

Ответ: ______________________

В5. Найдите

Ответ: ______________________

Часть С

С1. Найдите значение

С2. Докажите тождество:

§33. Комплексные числа и координатная плоскость

§33 достаточно прост с формальной точки зрения. В нем нет новых

определений, теорем и каких-либо доказательств. По существу, тут речь идет о построении модели - геометрическом изображении комплексных чисел в виде точек координатной плоскости. Этот раздел является своеобразным мостиком между материалом, изученным ранее, и всем дальнейшим материалом.

Тест №2 по теме

«Комплексные числа и координатная плоскость»

Часть А

А1. Каждому комплексному числу можно поставить в соответствие точку с координатами

а) b) c) d)

A2. Точка с какой координатой соответствует числу ?

а) b) c) d)

А3. Что означает фраза «Число принадлежит второй координатной четверти»?

а) действительная и мнимая часть положительны

b) действительная и мнимая часть отрицательны

c) действительная часть положительна, а мнимая часть отрицательна

d) действительная часть отрицательна, а мнимая часть положительна

рис. 1

А4. Какому числу соответствует точка на рис. 1?

а)

b)

c)

d)

А5. Какому числу соответствует точка на рис. 2?

а)

b)

c)

d)



рис. 2

А6. Выберите чертеж, на котором правильно изображены числа , если .

a) 1 b) 2 c) 3 d)4

1) 2)

3) 4)

Часть В

В1. Изобразите на координатной плоскости множество всех комплексных чисел, у которых:

а) действительная часть равна -3 b) мнимая часть равна 1.

c) отношение мнимой части d) сумма квадратов действительной

к действительной равно -2 и мнимой части равна 4.

В2. Для комплексных чисел и изобразите на координатной плоскости числа:

а) б) в) г)

В3. Для комплексного числа изобразить на координатной плоскости числа

а) б) в)

В4. Вставьте пропущенные слова:

Геометрически операция сопряжения есть …………………………………….. относительно оси ………………………. .

Часть С

С1. Обоснуйте геометрически свойство:

С2. Обоснуйте геометрически свойство:

§34. Тригонометрическая форма записи комплексного числа

§34 самый большой по объему, количеству теорем и по числу крайне важных понятий. В этом параграфе соединяются вместе и алгебраические и геометрические представления о комплексных числах. Разбираются такие понятия, как модуль, аргумент комплексного числа, умножение и деление комплексных чисел. Изучаются переход от алгебраической к тригонометрической форме записи комплексного числа, умножение и деление чисел в тригонометрической форме.

Тест №3 по теме

«Тригонометрическая форма записи комплексного числа»

Часть А

А1. Вычислите , если

а) b) c) d)

A2. Геометрически модуль комплексного числа - это

а) расстояние от до

b) расстояние от точки координатной плоскости, соответствующей числу , до начала координат

c) расстояние от точки координатной плоскости, соответствующей числу , до оси абсцисс

d) расстояние от точки координатной плоскости, соответствующей числу , до оси ординат

А3. Вычислите: если

а) 75 b) 25 c) 5 d) 5

А4. Вычислите: если

а) b) 40 c) d)

А5. Найдите аргументы комплексных чисел: и запишите их в соответствующем порядке:

а) b) c) d)

А6. Какая из записей является тригонометрической формой комплексного числа

а)

b)

c)

d)

А7. Запишите в стандартной тригонометрической форме комплексное число

а) b)

c) d)

А8. Вычислите , если и

а)

b)

c)

d)

А9. Вычислите , если и

а)

b)

c)

d)

Часть В

В1. Вычислите: если

Ответ: ______________________

В2. Запишите в стандартной тригонометрической форме комплексное число

Ответ: ______________________

В3. Где находятся комплексные числа, для которых

Ответ: ______________________

В4. Параметр t принимает любые действительные значение. Какое множество точек z на соответствует соотношению:

а)

б)

Ответ: а)______________________

б)______________________

В5. Представьте комплексное число в тригонометрической форме

Ответ: ______________________

Часть С

С1. Зная, что изобразить на комплексной плоскости следующие числа и найти их аргументы

а) б) в)

С2. Вставьте пропущенный знак и докажите неравенство треугольника:

С3. Докажите, что при делении комплексных чисел модули делятся, а аргументы вычитаются.

§ 35. Комплексные числа и квадратные уравнения

В § 35 рассматриваются такие вопросы, как извлечение квадратных корней из отрицательных действительных чисел, квадратные уравнения с действительными коэффициентами, квадратные корни из комплексных чисел и произвольные квадратные уравнения.

Тест №4 по теме

«Комплексные числа и квадратные уравнения»

Часть А

А1. Вычислите

а) 1 b) c) d)

A2. Вычислите ,

а) b) c) d)

А3. Решите уравнение:

а) b) корней нет c) d)

А4. Решите уравнение:

а) b) c) d) корней нет.

А5. Если число является корнем некоторого уравнения, то корнем этого же уравнения является также:

а) b) c) нельзя дать однозначный ответ d)

А6. Вычислите

а) b) c) d)

Часть В

В1. Вычислите

Ответ: ______________________

В2. Решите уравнение

Ответ: ______________________

В3. Корнями какого уравнения являются числа

Ответ: ______________________

Часть С

С1. Докажите равенство

С2. Решите уравнение

§ 36. Возведение комплексного числа в степень

В § 36 рассматривается формула Муавра с доказательством, а также 3 следствия из нее; вводится определение и формула для вычисления кубического корня из комплексного. Возведение в более высокие степени переносится в курс 11 класса.

Тест №5 по теме

«Возведение комплексного числа в степень»

Часть А

А1. Вычислите

а) b) c) d) 0

A2. Вычислите

а) b) c) d)

А3. Вычислите

а) b) c) d)

А4. Вычислите

а)

b)

c)

d)

А5. Выберите правильное геометрическое изображение

а) b)

c) d)

Часть В

В1. Вычислите

Ответ: ______________________

В2. Вычислите

Ответ: ______________________

В3. Выразите через

Ответ: ______________________

Часть С

С1. Найдите сумму

Итоговый Тест по теме

«Комплексные числа»

Часть А

А1. Даны комплексные числа .

Вычислите

а) b) c) d)

A2. Для комплексных чисел изобразите . Выберите правильный чертеж:

a) b)

c) d)

А3. Запишите комплексное число в стандартной тригонометрической форме.

а)

b)

c)

d)

А4. Вычислите:

а) b) c) d)

А5. Вычислите

а) b) c) d)

А6. Вычислите

а)

b)

c)

d)

Часть В

В1. Для комплексных чисел вычислите .

Ответ: ______________________

В2. Для комплексных чисел изобразить на координатной плоскости числа:

a) b)

c)

В3. Запишите комплексное число в стандартной тригонометрической форме.

Ответ: ______________________

В4. Для комплексных чисел найдите

Ответ: ______________________

В5. Решите уравнение

Ответ: ______________________

В6. Вычислите

Ответ: ______________________

Часть С

С1. Докажите, что .

С2. Докажите, что если то .

С3. Докажите формулу Муавра.

2.3 Экспериментальная проверка методических разработок

Экспериментальная проверка проводилась в ГОУ СОШ № 1320, в 10Є классе. В этом классе 29 человек (15 мальчиков и 14 девочек). Класс непрофильный, успеваемость средняя: 3 отличника, 8 хорошистов, 6 неуспевающих. Математикой интересуются в различной степени 9-10 учащихся. В классе у 12% неполные семьи, у 16% - достаток в семье выше среднего, 1 мальчик посещает уроки в школе редко по состоянию здоровья. В целом класс дружный, в основном ребята серьёзные, организованные.

В группу испытуемых вошли 16 человек: только те, кто изъявил желание. Учитывая загруженность расписания уроков, и то, что в исследовании участвовали не все учащиеся, занятия проходили во внеурочное время. Проводилось 10 занятий учителем математики по составленному нами поурочному планированию. Проводилось 6 тестирований (5 промежуточных, 1 одно итоговое) и зачет по теме «Комплексные числа».

После беседы с учителем математики выяснилась следующая информация: круг интересов ребят довольно ограничен, в основном это телевизор, интернет, за редким исключением - литература, и в большинстве случаев - это гадания, гороскопы.

В классе 3 отличника - это 2 девочки и мальчик, которым все интересно, они любознательные, одинаково хорошо занимаются по всем предметам, в основном объясняется это желанием получить медаль и поступить без экзаменов в высшее учебное заведение. В классе есть также интересующийся математикой как наукой мальчик. Он хорошо разбирается в математике, быстро схватывает, но, к сожалению, не имеет возможности развивать свои способности вне школы, дома.

У данного класса достаточно высокий уровень самостоятельности и активности, но низкий уровень заинтересованности. Поэтому для достижения высоких результатов на уроке, учитель должен заинтересовать учеников и организовать их деятельность.

В простейших математических ситуациях учащиеся умеют применять приемы и операции мышления, но в сложных ситуациях нужно натолкнуть, подсказать.

Абстрактное мышление плохо развито - учащиеся больше мыслят конкретно. Логическое мышление развито средне - успешно решают необходимый минимум задач такого типа, и 50% ребят справляются с творческими заданиями.

Учащиеся усваивают понятия вполне полно, чаще усваивается необходимое количество признаков понятия, но 7% учащихся редко вообще что-либо усваивают, т.к. нет базы знаний и желания. Учитель часто указывает на связи и отношения различных понятий друг с другом, поэтому ученики легко ими пользуются. Также ребята в большинстве случаев умеют оперировать усвоенными понятиями при решении задач, но бывают затруднения, поэтому немалую роль играет здесь наглядность, творческое мышление.

В группу испытуемых вошли 16 человек, объяснить это можно любопытством учащихся, даже любознательностью. Конечно, пришли дети, которые любят математику как предмет, наверняка, сыграла свою роль предварительная заинтересованность о решении квадратных уравнений с D<0. Многие из ребят хотят продолжить образование, где необходимо знание математики. Может быть, пришли некоторые, потому, что есть возможность проявить себя, попробовать свои силы в небольшой группе, поэтому пришли 4 слабых ученика. Возможно, ребятами двигал и интерес к молодому педагогу.

Анализируя результаты усвоения темы «Тригонометрические функции» мы сделали вывод, что большинство учащихся ее усвоило. По результатам тестирования по этой теме качество знаний 65% - допустимое; уровень обученности - 92% - высокий. Т.к. эта тема ребятами усвоена довольно успешно, то при изучении темы «Комплексные числа» особых затруднений не возникало, т.к. учащиеся обладают необходимыми знаниями и умения для усвоения этой темы.

Таблица результатов тестирования по теме «Комплексные числа и арифметические операции над ними».

А 1

А 2

А 3

А 4

А 5

А 6

А 7

В 1

В 2

В 3

В 4

В 5

С 1

С 2

%

1. Абдуллин Дамир

+

+

+

+

-

+

+

+

-

+

+

+

-

-

56

2. Асташина Анна

+

+

+

+

+

+

+

+

+

-

-

+

+

-

71

3. Болотина Алена

+

+

+

-

-

+

-

+

+

+

-

+

+

-

63

4.Данилин Глеб

+

+

+

+

+

-

-

-

+

+

+

+

-

+

68

5. Искадова Айнур

-

+

-

+

-

+

-

-

+

+

-

+

-

-

36

6. Иванов Виктор

+

+

+

+

+

+

+

+

-

+

-

+

-

-

56

7. Кузьмин Михаил

-

-

-

+

+

-

-

+

+

-

+

-

+

-

46

8. Мачусов Олег

+

+

-

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

95

9. Нишатова Катерина

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

100

10. Разанов Роберт

+

-

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

-

+

80

11. Совков Роман

+

-

-

-

+

+

+

+

-

+

+

-

+

+

71

12. Смирнов Тимур

-

-

+

+

+

+

+

+

-

+

+

+

-

+

68

13. Халилин Марат

-

+

+

+

+

+

+

+

-

+

+

+

+

+

88

14. Числов Сергей

+

+

+

-

+

+

-

+

+

+

+

-

+

-

63

15. Щербак Андрей

+

+

+

+

-

+

+

-

+

+

+

+

-

+

73

16. Юртаева Анна

+

-

+

+

-

+

+

+

+

+

+

+

+

+

90

Итого выполнили

12

12

12

13

11

14

11

13

11

14

12

13

9

9

70

Задание части А оценивается в 5 баллов, задание части В - в 7 баллов, части С - в 15 баллов. Всего ученик может набрать 100 баллов. Набранное количество баллов определяет процент качества знаний учащегося.

Таблица результатов тестирования по теме «Комплексные числа и координатная плоскость».

А 1

А 2

А 3

А 4

А 5

А 6

В 1

В 2

В 3

В 4

С 1

С 2

%

1. Абдуллин Дамир

+

+

+

+

+

+

-

-

+

-

-

-

51

2. Асташина Анна

+

+

+

+

+

+

+

+

-

-

-

-

60

3. Болотина Алена

-

+

+

-

+

+

-

+

+

-

+

-

57

4. Данилин Глеб

+

+

-

+

+

+

+

+

-

+

-

+

73

5. Искадова Айнур

-

-

-

+

+

+

-

-

+

+

-

-

39

6. Иванов Виктор

+

+

+

+

+

+

+

+

+

-

-

-

69

7. Кузьмин Михаил

+

-

-

+

+

-

+

+

-

+

-

-

62

8. Мачусов Олег

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

100

9. Нишатова Катя

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

100

10. Разанов Роберт

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

-

-

78

11. Совков Роман

+

+

-

+

+

-

-

-

+

+

+

+

68

12. Смирнов Тимур

+

-

-

+

+

+

-

-

+

+

+

-

57

13. Халилин Марат

+

+

+

+

+

+

+

-

+

+

+

-

80

14. Числов Сергей

+

-

+

+

+

+

+

+

+

+

+

-

82

15. Щербак Андрей

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

-

+

89

16. Юртаева Анна

-

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

93

Итого выполнили

13

12

11

15

16

14

11

11

13

12

8

6

72

Задание части А оценивается в 7 баллов, задание части В - в 9 баллов, части С - в 11 баллов. Всего ученик может набрать 100 баллов. Набранное количество баллов определяет процент качества знаний учащегося.

Таблица результатов тестирования по теме «Тригонометрическая форма записи комплексного числа».

А1

А2

А3

А4

А

А6

А7

А 8

А9

В1

В2

В3

В4

В5

С1

С2

С3

%

1.Абдуллин Дамир

-

+

-

+

+

+

+

-

+

+

-

+

-

-

-

-

-

42

2. Асташина Анна

+

+

+

+

+

+

-

-

-

+

+

-

-

+

-

-

-

48

3.Болотина Алена

+

+

+

+

+

+

+

+

+

-

+

-

-

+

-

-

-

57

4.Данилин Глеб

+

-

+

+

-

+

+

-

+

+

-

-

+

+

-

+

-

56

5.Искадова Айнур

+

-

-

+

+

+

-

+

-

-

-

+

-

+

-

-

-

43

6. Иванов Виктор

+

+

+

+

+

+

+

-

-

+

-

+

+

+

-

-

-

59

7.Кузьмин Михаил

+

-

-

+

+

-

-

+

+

+

+

+

+

-

-

-

-

59

8.Мачусов Олег

+

+

+

+

+

+

+

-

+

+

+

+

-

+

+

+

-

80

9.Нишатова Катерина

+

+

+

+

+

+

+

+

-

+

+

+

+

+

+

-

+

86

10. Разанов Роберт

+

-

+

-

+

+

+

+

-

+

-

+

+

+

-

-

+

68

11.Совков Роман

+

+

+

-

+

-

+

-

+

+

-

-

+

+

+

-

-

56

12.Смирнов Тимур

+

+

-

+

+

+

+

-

-

+

+

+

+

-

-

+

+

71

13.Халилин Марат

+

+

+

+

+

+

+

-

+

+

-

+

+

+

+

-

-

72

14.Числов Сергей

+

+

+

+

-

+

+

-

+

+

+

+

+

-

-

+

-

67

15. Щербак Андрей

-

-

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

-

-

-

65

16.Юртаева Анна

+

-

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

-

+

+

-

80

Итого выполни-ли

14

10

12

14

14

14

13

7

10

14

9

12

11

10

5

5

3

63

Задание части А оценивается в 5 баллов, задание части В - 6 баллов, части С: С1 - С2 - 8 баллов, С3 - 9 баллов. Всего ученик может набрать 100 баллов. Набранное количество баллов определяет процент качества знаний учащегося.

Таблица результатов тестирования по теме «Комплексные числа и квадратные уравнения».

А 1

А 2

А 3

А 4

А 5

А 6

В 1

В 2

В 3

С 1

С 2

%

1. Абдуллин Дамир

-

+

+

+

+

+

+

+

-

-

-

54

2. Асташина Анна

+

+

+

+

+

+

+

+

+

-

-

72

3. Болотина Алена

-

+

+

+

+

-

-

+

+

+

-

60

4. Данилин Глеб

+

+

+

+

+

+

+

+

-

-

-

63

5. Искадова Айнур

+

-

-

+

+

+

+

+

-

-

-

46

6. Иванов Виктор

+

-

+

+

+

-

+

+

+

-

+

70

7. Кузьмин Михаил

+

+

-

+

+

+

+

-

-

-

-

44

8. Мачусов Олег

+

+

-

+

+

+

+

+

+

+

+

97

9. Нишатова Катерина

+

+

+

+

+

+

-

+

+

+

+

91

10. Разанов Роберт

-

+

+

+

+

+

+

+

+

-

-

67

11. Совков Роман

+

+

+

+

+

-

-

-

+

-

+

58

12. Смирнов Тимур

+

+

+

-

+

+

-

-

+

+

+

75

13. Халилин Марат

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

-

86

14. Числов Сергей

+

+

-

+

+

+

+

+

+

-

-

67

15. Щербак Андрей

+

+

+

+

+

+

+

+

+

-

+

86

16. Юртаева Анна

-

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

93

Итого выполнили:

12

14

12

15

16

13

12

13

13

6

7

71

Задание части А оценивается в 7 баллов, задание части В - в 9 баллов, части С - в 14 баллов. Всего ученик может набрать 100 баллов. Набранное количество баллов определяет процент качества знаний учащегося.

Таблица результатов тестирования по теме «Комплексные числа и квадратные уравнения».

	А1	А2	А3	А4	А5	В1	В2	В3	С1	%
1. Абдуллин Дамир	+	+	+	+	+	+	+	+	-	80
2. Асташина Анна	+	-	+	+	+	+	+	+	-	71
3. Болотина Алена	+	-	-	+	-	+	+	+	+	73
4. Данилин Глеб	+	+	-	+	+	+	-	+	-	60
5. Искадова Айнур	+	-	-	+	-	+	-	+	-	49
6. Иванов Виктор	+	+	+	-	+	+	-	+	-	56
7. Кузьмин Михаил	+	+	+	+	+	-	-	+	-	60
8. Мачусов Олег	+	-	+	+	+	+	+	+	+	91
9. Нишатова Катерина	+	+	+	+	+	+	+	+	+	100
10. Разанов Роберт	+	+	+	+	+	+	+	+	+	100
11. Совков Роман	+	+	+	+	+	-	-	+	-	60
12. Смирнов Тимур	+	+	+	-	-	-	+	+	+	77
13. Халилин Марат	+	+	+	+	+	+	+	+	+	100
14. Числов Сергей	+	-	+	+	+	+	+	+	-	71
15. Щербак Андрей	+	+	+	+	+	+	-	+	-	65
16. Юртаева Анна	+	+	-	+	+	+	+	+	+	91
Итого выполнили:	16	11	12	14	13	13	10	16	7	75

Задание части А оценивается в 9 баллов, задание части В - в 15 баллов, части С - в 20 баллов. Всего ученик может набрать 100 баллов. Набранное количество баллов определяет процент качества знаний учащегося.

Таблица результатов итогового тестирования по теме «Комплексные числа»

А1

А2

А3

А4

А5

А6

В1

В2

В3

В4

В5

В6

С1

С2

С3

%

1. Абдуллин Дамир

+

+

+

+

+

-

+

+

+

-

+

+

-

+

-

66

2. Асташина Анна

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

-

-

-

+

-

58

3. Болотина Алена

+

+

+

+

-

-

+

+

+

+

+

+

+

-

-

72

4. Данилин Глеб

+

+

-

+

+

+

+

-

+

+

+

+

-

+

-

76

5. Искадова Айнур

+

+

-

+

-

+

+

+

+

-

+

-

-

-

-

48

6. Иванов Виктор

+

-

+

+

+

+

+

-

+

+

+

+

-

-

-

50

7. Кузьмин Михаил

+

+

+

+

+

-

+

+

+

-

-

+

-

-

-

54

8. Мачусов Олег

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

-

+

+

+

+

94

9. Нишатова Катерина

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

-

+

90

10. Разанов Роберт

+

+

+

+

+

-

+

+

+

-

+

+

-

+

-

70

11. Совков Роман

+

+

+

+

+

+

+

+

+

-

-

+

-

-

+

64

12. Смирнов Тимур

+

+

+

-

-

+

-

+

+

+

+

+

+

+

+

86

13. Халилин Марат

+

+

+

+

+

+

+

+

-

+

+

+

+

+

-

84

14. Числов Сергей

+

-

+

+

+

-

+

+

+

+

+

+

-

+

-

80

15. Щербак Андрей

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

-

+

+

-

+

84

16. Юртаева Анна

+

+

+

+

+

+

+

+

-

+

+

+

+

-

+

84

Итого выполнили:

16

14

14

15

13

11

15

14

14

11

11

14

7

8

6

73

Задание части А оценивается в 4 баллов, задание части В - в 6 баллов, части С - в 10 баллов. Всего ученик может набрать 100 баллов. Набранное количество баллов определяет процент качества знаний учащегося.

Анализ итогового тестирования.

Умение решать математические задачи является наиболее яркой характеристикой состояния математического мышления учащихся и его уровня.

Для того, чтобы увидеть насколько эффективно проходило усвоение понятия комплексного числа, учащимся в конце каждой темы предлагались разработанные нами тестовые работы и итоговый тест в конце всей темы.

В результате проверки итогового тестирования уровень обученности составил 100%, т.е. все учащиеся, посещавшие занятия, справились с контрольной работой. Причем качество знаний по этой теме - 73%, а это достаточно высокий показатель.

Основные ошибки, допущенные учащимися в итоговом тестировании:

- недостаточное знание предыдущих тем (формулы сокращенного умножения, тригонометрия)

- невнимательность (при возведении в степень мнимой единицы, при изображении комплексных чисел на плоскости, при переводе комплексного числа из алгебраической формы в тригонометрическую; при переводе комплексного числа из алгебраической формы в тригонометрическую форму; при использовании формулы Муавра)

- неглубокое понимание понятий (равенство комплексных чисел; точка на комплексной плоскости; модуль комплексного числа)

- нерациональность и нечеткость оформления решения (при решении систем, при нахождении дискриминанта и корней уравнения, при переводе комплексного числа из алгебраической формы в тригонометрическую форму)

Анализируя допущенные ошибки были выделены 3 типа ошибок:

1. логические (не выделяют существенных признаков понятий, связей между ними).

2. по содержанию (неумело пользуются основными понятиями, формулами, соглашениями).

3. процессуальные (формальное отношение к решению, нерациональность, невнимательность).

Средний процент по каждому типу ошибок: 1 - 21%; 2 - 42%; 3 - 49%.

Ребята допускают в работе логические ошибки, что говорит о недостаточном развитии гибкости, глубины мышления. Большой процент процессуальных ошибок свидетельствует о невнимательности учащихся при решении задач, о поверхностности мышления, т.е. о формальном отношении к процессу решения.

В целом, учитывая ошибки по содержанию и качество знаний по данной теме можно сделать вывод, что итоговое тестирование выполнено успешно, и это говорит об удачном завершении формирования понятия комплексного числа.

На некоторых занятиях проводились небольшие самостоятельные работы, тематические диктанты, чтобы выяснить насколько полно учащиеся освоили конкретное данное понятие, умеют ли они им пользоваться при решении задач, знают ли связи между понятиями. Отметим, что такая работа важна в первую очередь для учащихся, т.к. они могут самостоятельно оценить уровень своих знаний, умений и навыков по данным темам. Также два раза задавались на дом творческие задания, т.е. нужно было придумать самостоятельно задачу и решить ее. Сильные учащиеся очень ответственно отнеслись к этим заданиям. Но вот слабые иногда пользовались трудом своих одноклассников.

Но в целом ребята проявили большую заинтересованность, говорили, что особых трудностей тема не вызвала, это подтвердило итоговое тестирование, проведенное на последнем занятии.

Выводы по главе 2

1. Исходя из психолого-педагогических особенностей учащихся старших классов и объемов и особенностей содержания темы «Комплексные числа» в учебнике А.Г.Мордковича, П.В.Семенова «Алгебра и начала математического анализа», разработаны и практически реализованы тематическое и поурочное планирование, контрольно - проверочные материалы в формате ЕГЭ по теме «Комплексные числа».

2. По результатам проведенного эксперимента можно сказать, что тема «Комплексные числа» не вызывает особых трудностей при изучении в общеобразовательном классе. Все испытуемые справились с итоговым тестированием по теме «Комплексные числа».

3. Изучение темы «Комплексные числа» в старших классах средней школы способствует повышению уровня знаний, умений и навыков во многих других разделах школьного курса (многочлены, тригонометрия), позволяет привести в систему те разрозненные знания, которые были изучены старшеклассниками ранее.

Заключение

1. Изучение темы «Комплексные числа» в настоящее время предлагается либо на факультативах, либо в профильных классах старшей школы.

2. Необходимо учитывать психолого-педагогические особенности старшего школьного возраста:

· мышление становится более глубоким, полным, разносторонним и все более абстрактным;

· учебная деятельность старших школьников предъявляет гораздо более высокие требования к их активности и самостоятельности;

· старшеклассники осознанно и ответственно подходят к изучению математики, т.к. им предстоит обязательная сдача Единого Государственного Экзамена.

3. В ходе теоретического и экспериментального исследования по теме "Комплексные числа" были получены следующие результаты:

1) Изучение этой темы преследует следующие основные цели:

· повышение математической культуры учащихся;

· углубление представлений о понятии числа;

· дальнейшее развитие представлений о единстве математики как науки.

2) Учащиеся способны в 10 классе усвоить понятие комплексного числа, как показало экспериментальное исследование.

3) Учащиеся вполне успешно усваивают содержание и объем понятия комплексного числа, связи и отношения данного понятия с другими, а также умеют оперировать этим понятием при решении практических задач.

Библиография

Абакумова, Е.Г. Проблемное обучение на уроках математики [Электронный документ] / Е.Г. Абакумова. - (http://festival.1september.ru/articles/537107/). 24.12.2009

Алгебра и начала математического анализа [Текст] : 11кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений / Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров, М.В. Ткачева и др. - 4-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2004. - 24 с.: ил.

Алгебра и начала математического анализа [Текст] : 10 кл. : в 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразоват. учреждений (профильный уровень) / А.Г. Мордкович, Л.О. Денищева, Л.И. Звавич и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. - 6-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 348 с.: ил.

Алгебра и начала математического анализа [Текст] : 11 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников и др. - 7-е изд., дополн. - М.: Просвещение, 2008. - 464 с: ил.

Андронов, И.К. Математика действительных и комплексных чисел [Текст] / И. К. Андронов. - М.: Просвещение, 1975. - 155 с.

Башмаков, М.И. Задачи по математике. Алгебра и анализ [Текст] / М.И. Башмаков, Б.М. Беккер, В.М. Гольховой; Под ред. К. Фаддеева. - М.: Наука, 1982. - 192 с. - (Б-чка «Квант». Вып. 22).

Брадис, В.М. Методика преподавания математики в средней школе [Текст] : учебное пособие для студентов педагогических ВУЗов / В.М. Брадис. - М.: Учпедгиз, 1951. - 504 с.

Виленкин, Н.Я. Алгебра и начала математического анализа [Текст] : 11кл.: учеб. для учещихся общеобразоват. учреждений (профильный уровень) / Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд. - 14-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.

Виленкин, Н.Я. Гибрид из мира идей, или как комплексные числа стали прилагательными [Текст] / Н.Я. Виленкин // Знание-сила. - 1969. - № 1. - С. 19

Глейзер, Г.И. История математики в школе. IX - X кл. [Текст] : пособие для учителей / Г.И. Глейзер. - М.: Просвещение, 1983. - 351 с.

Демидов, В.П. Методика преподавания математики [Текст] : пособие для студентов пед. институтов / В. П. Девидом Г. И. Саранцев - Саранск: Мордовский гос. ун-т им. Н.П. Огарева - 1976. - 192 с.

Киселев, А.П. Алгебра [Текст] : в 2 ч. Ч. II / А.П. Киселев. - М.: Физматлит, 2005. - 248 с.

Колмогоров, А.Н. Проект программы средней школы по математике [Текст] / А.Н. Колмогоров, А.И. Маркушевич, В.Г. Болтянский и др. // Математика в школе. - 1967. - № 1. - С. 12

Котов, А.Я. Обсуждение проектов программ [Текст] / А.Я. Котов, П.И. Конопатов // Математика в школе, 1967. - №3.

Крутецкий, В.А. Психология [Текст] : учебник для учащихся пед. училищ / А. В. Крутецкий. - М.: Просвещение, 1980. - 352 с.: ил.

Крутецкий, В.А. Психология обучения и воспитания школьников [Текст] : книга для учителей и классных руководителей / В.А. Крутецкий. - М.: Просвещение, 1976. - 303 с.

Кухарь, В.М. Развитие понятия о числе [Текст] : Автореф. дисс. на соискание учен. степени, к. пед. наук / В.М. Кухарь. - Киев, 1955 - 31 с.

Метельский, Н.В. Дидактика математики [Текст] : лекции по общим вопросам для математических факультетов ВУЗов / Н.В. Метельский - Минск: Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1982. - 256 с.

Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика [Текст] / Ю.М. Коляги, Л.В. Оганесян, В.Я. Санинский, и др. - М.: Просвещение, 1980. - 368 с.

Мордкович, А.Г. Алгебра и начала математического анализа [Текст] : 10 кл.: учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. - М.: Мнемозина, 2007. - 411 с.: ил.

Немов, Р.С. Психология. Общие основы психологии [Текст]: Кн. 1: учеб. для студентов высших учебных заведений / Р.С. Немов - 4-е изд. - М.: Владос, 2003. - 688 с.

Немов, Р.С. Психология. Психология образования[Текст] : Кн. 2: учеб. для студентов высших учебных заведений / Р.С. Немов - 2-е изд. - М.: Владос, 1995. - 469 с.

Новоселов, С.И. О комплексных числах в курсе 10 класса [Текст] / С.И. Новоселов // Математика в школе. - 1968. - № 1. - С. 38

Петровский, А.В. Психология [Текст] : Учебник для студ. высш. пед. учеб. заведений / А.В. Петровский, М.Г. Ярошевский. - М.: Академия, 1998. - 512 с.

Пичурин, Л.Ф. Вопросы общей методики преподавания математики [Текст] : учеб. пособие для студ.-заочников III-IV курсов физ.-мат. фак-тов пед. институтов / Л.Ф. Пичурин, В.В. Репьев. - М.: Просвещение, 1979. - 80 с.

Подласый, И.П. Педагогика [Текст] : учеб. пособие для вузов / И.П. Подласый. - М.: Владос-пресс, 2004. - 365 с.

Поспелов, Н.Н. Формирование мыслительных операций у старшеклассников [Текст] / Н.Н. Поспелов, И.Н. Поспелов. - М.: Педагогика, 1989. - 157 с.

Савин, А.П. Энциклопедический словарь юного математика [Текст] : для сред. и ст. шк. Возраста / А.П. Савин. - М.: Педагогика, 1985. - 351 с.: ил.

Сластенин, В.А. Педагогика [Текст] : Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений / В.А. Сластенин, И.Ф. Исаев, Е.Н. Шиянов; Под ред. В.А. Сластенина. - М.: Академия, 2002. - 576 с.

Технология обучения комплексным числам на основе осуществления межпредметных связей в системе непрерывного профессионального образования [Электронный документ]. - (http://planetadisser.com/see/dis_242400.html). 13.11.2009

Хинчин, А.Я. Педагогические статьи [Текст] / А.Я. Хинчин. - М.: Академия пед. наук РСФСР, 1963. - 204 с.

Шарова, О.П. Комплексные числа в курсе математики средней школы [Текст] : Автореф. дисс. к. пед. наук. / О. П. Шарова. - Ярославль, 1969. - 16 с.

Шиманский, И.Е. Обсуждение проектов программ [Текст] // Математика в школе. - 1967. - №6. - С. 20

(http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D1%8B%D1%88%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5). 13.02.2010

(http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D1%8B%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0). 12.10.2009

Размещено на Allbest